（基础数学专业论文）两类动力系统的极限环分支和稳定性分析.pdf

论文题目：两类动力系统的极限环分支和稳定性分析 学科专业：基础数学 学位申请人：赵勇 指导老师：韩茂安教授 摘要 本文用定性分析和数值计算相结合的方法讨论了两类动力系统的极限环个数和稳 定性首先讨论了一类二次哈密顿系统在三次扰动下极限环个数，用m e l n i k o v 分支方 法获得了上述系统在三次扰动下有4 个极限环，其中有3 个在同宿轨附近产生其次， 讨论了一类非自治脉冲时滞b a m 神经网络模型的周期振动通过解等价原理将脉冲微 分方程转化为连续系统来处理由m 一矩阵、谱理论和分析不等式等方法，获得了周期 解的存在唯性以及指数稳定性，改进了一些已知结果【3 3 ，4 3 】 全文共分为3 章 第一章绪论介绍了动力系统的发展和研究的概况，动力系统的一些基本概念以及本 文作者的主要工作 第二章讨论了一类三次扰动下二次哈密顿系统的极限环个数问题 第三章讨论了一类非自治脉冲时滞b a m 神经网络模型的周期振动问题 关键词：三次扰动；近哈密顿系统；同宿环；非自治脉冲时滞b a m 神经网络； 周期解；谱理论；m 矩阵；全局指数稳定 论文类型：理论研究 t i t l e ：b i f u r c a t i o n so fl i m i tc y c l e sa n ds t a b i l i t ya n a l y s i so ft w oc l a s s e so f d y n a m i c a ls y s t e m s m a j o r ：b a s i cm a t h e m a t i c s d e g r e ea p p l i c a n t ：z h a oy o n g t u t o r ：p r o f e s s o rh a nm a o a n a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h en u m b e ro fl i m i tc y c l e sa n ds t a b i l i t yo ft w oc l a s s e s o fd y n a m i c a ls y s t e m su s i n gq u a l i t a t i v ea n a l y s i sa n dn u m e r i c a lc o m p u t i n g f i r s t ，w e d i s c u s st h en u m b e ro fl i m i tc y c l e so fac u b i cn e a r - h a m i l t o n i a ns y s t e mu n d e rc u b i c p e r t u r b a t i o n s b yu s i n gt h em e l n i k o vb i f u r c a t i o nm e t h o d ，w ef i n dt h a tt h es y s t e mc a l l h a v e4l i m i tc y c l e sw i t h3o ft h e mb e i n gn e a rt h eh o m o c l i n i cl o o p s e c o n d ，t h r o u g ht h e s o l u t i o np r i n c i p l eo fe q u i v a l e n c eo ft h ei m p u l s ed i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dt h ec o n t i n u o u s s y s t e m ，w er e d u c et h ei m p u l s ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nt ot h ec o n t i n u o u ss y s t e m b y t h em m a t r i x ，t h es p e c t r u mt h e o r ya n da n a l y s i si n e q u a l i t ym e t h o d sa n ds oo n ，w e o b t a i ne x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n ， i m p r o v i n gt h es o m ek n o w nr e s u l t s 3 3 ，4 3 t h i sp a p e rc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s w ed e s c r i b et h e mb r i e f l yo n eb yo n e i nc h a p t e r1 ，w eo u t l i n et h er e s e a r c ha d v a n c ea n ds o m ec o n c e p to fd y n a m i c a l s y s t e m s w ea l s oi n t r o d u c eo u rm a i nr e s u l t s i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h en u m b e ro fl i m i tc y c l e so fac u b i cn e a r - h a m i l t o n i a n s y s t e mu n d e rc u b i cp e r t u r b a t i o n s i nc h a p t e r3 ，w em a i n l yc o n c e r nw i t hp e r i o d i co s c i l l a t i o nf o rn o n - a u t o n o m o u sb a m n e u r a ln e t w o r k sw i t hi m p u l s e s k e yw o r d s ：c u b i cp e r t u r b a t i o n ；n e a r - h a m i l t o n i a ns y s t e m ；h o m o c l i n i cl o o p ； n o n a u t o n o m o u sb a mn e u r a ln e t w o r k ；p e r i o d i cs o l u t i o n ；g l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y t h e s i st y p e ：t h e r e o t i c a ls t u d y 学位论文独创性声明 上海师范大学硕士学位论文 学位论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果论文中除了特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成果其他同 志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意 论文作者签名：杰乡两 日期：加昭年岁月，垆日 上海师范大学硕士学位论文 论文使用授权声明 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其它手段保存论文保密的论文在解密后遵守此规定 论文作者签名：恕日期：沙g 年广月厂矽日 i袈 导师签名； 日期：d 护年厂月乒日 4 5 上海师范大学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 动力系统的研究最早始于1 9 世纪末对动力学问题的研究直到2 0 世纪6 0 年代， 由于微分几何和微分拓扑的发展，它的理论取得重大进展，并且在力学、物理、化学、 生态学、经济学、控制理论、数值计算以及空间技术领域获得广泛应用，成为当代最活 跃的数学分支之一随着人们认识的不断深入，他的应用前景十分广阔它已成为人们 研究线性及非线性问题的有力工具之一笼统的说，动力系统理论着重研究随时间演化 的系统的全局定性行为研究内容主要包括以下两个方面；定性理论和稳定性理论而 平面定性理论主要研究奇点以及极限环在内的相平面或相空间中轨线的全局结构和性 质，有关著作参见【2 3 - 2 9 ，5 8 ，6 1 6 4 1 大家普遍感兴趣的平面定性理论中的问题是：极限环个数、位置、稳定性，以及它 们性质随相关参数变化的规律它包含了大数学家h i l b e r t 提出的2 3 个问题中第1 6 问 题的一部分这些规律现象最后可以用来解释科学现象或生命规律，更好的再现真实 由于h a m i l t o n 系统的特殊性，在极限环的研究中占有重要位置目前，有关研究极限 环的结果很多( 参见【1 2 2 】) 韩，7 】利用m e l n i k o v 函数考虑了平面h a m i l t o n 系统在 多参数扰动下，给出了平面同宿环为2 的新条件，证明了非通有三次h a m i l t o n 系统的 同宿环在任意二次扰动下具有环性数2 但是，非通有的三次h a m i l t o n 系统的同宿环 在任意三次扰动下环性数是多少? 非通有的三次h a m i l t o n 系统在任意三次扰动下有多 少个极限环? 有关这方面的结果很少。另一方面，随着微分方程应用的不断深入，新的 方向不断出现，特别是近年来对生物数学的研究，出现了很多数学分支例如，成功地 应用于模式识别、图像处理、自动控制等领域的神经网络，已经引起了生物界和数学界 众多学者的兴趣目前，主要结果集中在考察解的稳定性态上，更多工作参见f 2 7 - 3 0 ， 4 0 】事实告诉我们事物不仅依赖当前状态，还依赖过去状态，在这种情况下考虑时滞微 分方程就很有意义，因为它描述的现实更能接近现实，文献邴等，4 2 4 3 】利用m 矩 阵及常数变易公式等工具研究了一类时滞的单双边神经网络模型的指数稳定性现实 事物的性态是复杂的，在发展的某些阶段，会出现快速变化，通常把这种现象称为脉冲 现象，为了更精确的描述事物的变化规律，已经被成功的应用在很多领域，还被成功的 应用于保密通信，混沌控制以及神经网络的研究目前，有关脉冲时滞方面的结果不多 4 0 ，4 4 4 6 ，5 3 - 5 5 ，6 4 ，研究脉冲时滞情况下神经网络模型的稳定性的处理方法成为大家 普遍关心的问题 1 第一章绪论 上海师范大学硕士学位论文 下面给出动力系统，极限环，稳定性的一些相关概念，这些对于我们更好的理解结 果是必要的，更多参见文献 2 3 - 2 9 j 考虑 2 7 = x ( z ，) ，多= y ( x ，y ) ( 1 1 ) 其中x ( x ，矿) ，y ( z ，y ) c ( r 冗) 以下假设微分方程( 1 1 ) 的右端函数连续，且满足李普希茨条件，以保证初值问题 解的唯一陛 我们将满足初值4 0 ) = x o ，y ( o ) = y o 的方程( 1 1 ) 的解记为 x ( t ) = z ( ，x o ，y o ) ，y ( t ) = y ( t ，x o ，y o )( 1 2 ) 在以t ，z ，y 为坐标轴的空间上定义了一条曲线成为积分曲线，其对应的空间称为增 广相空间 ， 将t 作为参数，在平面上定义了一条曲线称为轨线( 即积分曲线在z ，y 平面上的投 影) ，其对应的平面称为相平面 微分方程右端函数不显含t 的称为自治方程，反之称为非自治的而非自治的总可 以增加维数变成自治的来考虑，因此，为了行文的方便，下面总足在微分方程( 1 1 ) 上 讨论 为了更好的理解动力系统的概念，我们需要下面的恒等式： 方程组( 1 1 ) 的解规定了一个t 作为参数的空间变换群，即下列恒等式成立： i z ( t 2 ，z ( 1 ，x o ，y o ) ，矽( l ，x o ，y o ) ) = x ( h + t 2 ，x o ，y o ) ， ( 1 3 ) 【y ( t 2 ，x ( h ，x o ，y o ) ，y ( t l ，x o ，y o ) ) = y ( t x + t 2 ，x o ，y o ) 记妒0 ，t ) = 仇( p ) 表示自治方程( 1 1 ) 的当t = 0 时过p = ( x ，y ) 的解则固定t ， 妒 ，t ) = 忱( p ) ：r 2 _ r 2 定义了一个变换 p r 2 ，t r 妒，t ) r 2 此时恒等式( 1 3 ) 可以写为妒t 。( 妒t 。 ) ) = 妒t 。+ t 1 ( p ) 这说明变换妒满足群的性质 综上所述，我们可以给出动力系统的概念 如果微分方程( 1 1 ) 中，x ，y 连续且满足解的存在唯一性条件，又设每个解x ，y r ，则变换具有下列三条性质： 2 上海师范大学硕士学位论文 第一章绪论 ( 1 ) ) = p ； ( 2 ) 仇( p ) 对p ，t 一并连续； ( 3 ) ( f l t 。( q o t ，p ) ) = 帆。+ 圯0 ) 变换的全体 慨p ) i - o 。 0 和对任意给定的o ，都 存在叩( ，t o ) 0 ，使得当初始集五上的初始函数对任意的( ) 满足( t ) | i 0 ，当i i ( 圳 0 和k 1 ，使得i i x ( t ) l i k l l l l e 。( 卜t o ) 3 第一章绪论 上海师范大学硕士学位论文 在本文的第二章中，我们研究了我们考虑一类三次近哈密顿系统，它的未扰系统是 一个具有对称同宿环的二次系统即所研究的系统具有下面形式： 其中 宕= 现+ a i j x y j ，雪= 一凰+ y j + j s 3 + j 3 h = x y 2 + a x 2 3 ( a 一1 ) x + 3 ( a 一2 ) 】，ag 【- 1 ，2 】 ( 1 6 ) 利用文献【1 2 】中的方法，我们发现这个系统可以有四个极限环，其中三个在同宿环附 近然后我们给出了有四个极限环的条件 在本文的第三章中我们研究一种较广泛的具有脉冲的双向联想记忆模型( b a m 神经网络模型) ，它能够用下列形式的微分方程组描述t 娩( t ) = - a i ( t ) x i ( t ) + a i j ( t ) f j ( t ，y j ( t 一( ) ) ) + 厶0 ) ，t 0 ，t t k ， j = l a x i ( t 詹) = - y 伽x i ( t k ) ，i = 1 ，2 ，n ，k = l ，2 ， n 坊( t ) = - b 3 ( t ) y j ( t ) + b j i ( t ) g _ f ( t ，翰( t 一乃 ( ) ) ) 十j j ( t ) ，t 0 ，t 南， t = l a y j ( t k ) = 一七约( “) ，j = 1 ，2 ，p ，k = 1 ，2 ， ( 1 7 ) 由j ( t ) 和j ( t ) 双层组成，分别有他和p 个神经元组成，其中厶( ) 和j j ( t ) 表示外部 输入由于脉冲时滞的存在，采用通常的方法如通过构造合适的l y a p u n o v 函数是一件 相当困难的工作，受文献【4 0 ，4 2 ，4 3 ，4 4 ，5 4 5 6 】的启发，找到与之等价的非脉冲时滞微 分系统，通过讨论该系统的相关性质，获得脉冲时滞微分系统的周期解的存在唯一性以 及指数稳定性，并给出相关的推论 4 上海师范大学硕士学位论文第二章一类三次扰动下二次哈密顿系统极限环个数 第二章一类三次扰动下二次哈密顿系统极限环个数 2 1 引言 我们知道，在实平面微分系统的定性理论中主要问题之是对极限环问题的研究， 包括极限环的个数、位置关系以及稳定性问题一般来说，对于一个给定的平面多项式 微分系统，发现它的极限环个数是一项很困难的工作另一方面，在中心附近或者同 宿环附近的扰动系统中，产生极限环的问题已经有很多结果( 参看文献【1 】- 【5 】，【8 】- 【1 8 】， 【2 3 - 2 7 ) 对于在同宿环扰动的例子，韩等文献睁7 】已经证明了，非通有的二次哈密顿 系统在二次扰动下，同宿环附近有两个极限环在这一章里，我们考虑一类三次近哈密 顿系统，它的未扰系统是一个具有对称同宿环的二次系统利用文献【1 2 】中的方法，我 们发现这个系统可以有四个极限环，其中三个在同宿环附近然后我们给出了有四个极 限环的条件在文献 7 】启发下，我们考虑的系统具有下面的形式即( 1 6 ) ： 圣= 吼+ a i j x y j ，雪= 一也+ eb i j x y j - j 3 + j 3 其中 h = 叫剪2 + a x 2 3 ( a 一1 ) x + 3 ( a 一2 ) 】，ag 【一1 ，2 】 作为预备，我们给出一下平面实多项式微分系统在中心和同宿环附近扰动下极限环 分支的基本概念、相关理论和一般结果 2 2 预备知识 我们知道处理极限环存在的方法很多，比如比较经典的环域定理，后继函数法， m e l n i k o v 函数方法等，有兴趣的可参看【2 3 - 2 8 1 这里主要介绍平面近哈密顿系统极限 环分支的m e l n i k o v 函数方法 1 2 ，1 5 - 1 6 ，2 2 改变环的稳定性也可以获得更多极限环 【2 0 ，2 1 】 考虑近h a m i l t o n 系统 圣= 巩+ 印( z ，y ，6 ) f 2 2 1 ) 1 7 = 一上l + e q ( x ，y ，6 ) ， 5 第二章一类三次扰动t - - 次哈密顿系统极限环个数 土塑盟整太堂亟堂垡鲨塞 其中h ，p ，q 为c o o 函数，h 为小参数，6 dcj p 为有界参数向量，d 为有界集 本节假设存在j = ( q ，p ) 使当h ( a ，p ) 时，方程( 2 2 1 ) 1 。：0 有一系列闭轨l h ： h ( x ，y ) = h ，满足 j i ml h = l a 为中心， 凡+ a 1 1 觋l h = 为同宿轨 j u 如图2 2 1 所示：现取h o ( o ，卢) ，取点a o l _ i l o ，过点a o 作l b 的截线f 设 图2 2 1 方程( 2 2 1 ) 1 。：0 的闭轨族及其边界( 顺时针定向) 在h o 附近变化，取a ( h ) l h nf ，使a o = a ( h o ) 考虑( 2 2 1 ) 过点a ( h ) 的正半轨线 矿( 危，e ，6 ) ，当h h o 与均小时，存在一最小正数7 - ( ，6 ) 使在时刻7 l ，矿( 九，6 ) 与 f 相交，记该交点为b ( h ，e ，6 ) 这样，利用轨线所定义的由a 到b 的映射称为p o i n c a r e 映射，如图2 2 2 6 图2 2 2p o i n c a r e 映射 关于函数7 - 与b 的光滑性，有 l 上海师范大学硕士学位论文第二章一类三次扰动下二次哈密顿系统极限环个数 引理2 2 1 ( 韩【9 】) f 与b 作为( h ，s ，6 ) 的函数具有与方程( 2 2 1 ) 相同的光滑性 从而，进一步有 h ( b ) 一h ( a ) = d h = 凰如+ 凰d y ja bj a b = 【也( 吼+ 渤+ 凰( 一也+ e q ) d t = f o ( h = p + h v q ) d t ( 2 2 2 ) = “f ( 风p + h z , q ) l e = o d t + o ( e ) 】 = 6 m ( h ，6 ) + o ( e ) 】 = e f ( h ，6 ) ， 其中 m ( h ，6 ) = 9 6g 咖一p d x l 。：o ( 2 2 3 ) 由引理2 2 1 ，可证 引理2 2 2 ( 韩【9 】) ( i ) 函数m 关于( h ，6 ) ( q ，p ) d 与( 2 2 1 ) 同光滑( i i ) v h o ( a ，p ) ，则对充分小的h 与i 一i 函数f 关于( h ，6 ) 与( 2 2 1 ) 同光滑 称函数f 为( 2 2 1 ) 的后继函数，称函数m 为( 2 2 1 ) 的m e l n i k o v 函数或a b e l 积分 引理2 2 3 ( 韩【9 】) 给定h o ( q ，p ) ，当 0 充分小，6 d 时，( 2 2 1 ) 在 l b 的邻域内有闭轨当且仅当f ( h ，6 ) 关于危在 o 的邻域内有根 关于m 的导数，有下列结论： 引理2 2 4 ( 韩【1 9 】) 设m 由( 2 2 3 ) 给出，其中闭轨族厶由h ( x ，y ) = h 给出， 如果该闭轨族是顺时针( 逆时针) 定向的，则l h 随h ( q ，p ) 的增加而变大( 变小) ，且 甏肛z 。溉k 。班 关于极限环的存在性等有下列引理： 引理2 2 5 ( 韩【9 】) 设h o ( o l ，p ) ，如d ( i ) 若m ( h o ，如) 0 ，则当h 0 与1 6 一南i 均充分小时( 2 2 1 ) 在l b 附近没有 极限环 ( i i ) 若m ( h o ，南) = 0 ，m h ( h o ，品) 0 ( 或 o 为m ( h ，南) 的奇重根) ，则当h 0 与 陋一品i 均充分小时( 2 2 1 ) 有唯双曲( 或至少一个) 极限环l ( ，6 ) ，且当( ，6 ) _ ( 0 ，南) 时它趋于l _ i l o 7 第二章一类三次扰动下二次哈密顿系统极限环个数上海师范大学硕士学位论文 ( i i i ) 若有k 1 ，使 o 为m ( h ，南) 的k 重根，则当h 0 与1 6 一面i 均充分小时 ( 2 2 1 ) 在l b 的邻域内至多有七个极限环 一中心奇点附近的极限环 考虑c 近哈密顿系统( 2 2 1 ) 圣= + 印( z ，y ，s ，6 ) ， 雪= 一风+ c q ( x ，y ，e ，5 ) 及其未扰系统( 2 2 1 ) 1 # 0 设( 2 2 1 ) 1 忙0 有一初等中心，且位于原点，即有三乙( o ，0 ) = 巩( 0 ，0 ) = 0 ，且 d e t 帮( 。，。) 。 不失一般性可设 马y ( o ，0 ) = 1 ，如( o ，0 ) 0 ，也( o ，0 ) = 0 于是h 在原点有展式 h ( x ，可) = 吉y 2 + h 2 0 x 2 + h i j x 矿，h 2 0 0 ( 2 2 4 2 ) 一 件j 2 3 于是可得下述引理( 韩【17 】) 引理2 2 6 设( 2 2 4 ) 成立则m ( h ，5 ) 关于0 h 1 是c o o 的，且有形式展 式 m ( h ，6 ) = 九b z ( 5 ) h 2 ( 2 2 5 ) t o 此外，若( 2 2 1 ) 是解析的，则m 也是 利用展式( 2 2 5 ) 进一步可得( 韩【1 7 】) 引理2 2 7 在引理2 2 6 条件之下，若存在k 1 ，品d 使b k ( s o ) 0 且 b j ( 5 0 ) = 。，j = 。，1 ，七一1 ，d e 暑渊( 如) 。， ( 2 2 6 ) 其中5 = ( 5 1 ，如) ，m k ，则对任何c o 0 和原点的任何邻域y 都存在0 c o 及1 6 5 0 i 0 ，原点的邻域y 使对所有的0 c o ，1 6 一晶i 0 ，原点的 邻域y 使对所有的0 h c o ，1 6 一晶i e o ，( 2 2 1 ) 在y 内至多有k 一1 个极限环， 且k 一1 个极限环可以出现 从引理2 2 6 的证明过程可以给出计算量b o ，b l ，5 2 和6 3 等的程序，详略而利用另 一方法也可以获得这些公式，见( 侯衍芬，韩茂安【2 2 】上海师大学报) 为了应用方便， 这里对一般系统( 2 2 1 ) 列出b o ，b 1 与6 2 的公式 引理2 2 1 0 设 h ( x ，y ) = ( z 2 + y 2 ) + 件j 3h o x y j ， + 劬) i s ：o = o y 。 则b o = 2 7 r c o o ，且当c o o = 0 时 b l = - c w 7 l ( h 1 2 + 3 h 3 0 ) 一c o l 7 r ( h 2 1 + 3 h 0 3 ) + c 2 0 7 r + c 0 27 i ， b 2 = c l o a l o + c o l a o l + c 2 0 a 2 0 + c l l a l l + c 0 2 a 0 2 一c 3 0 7 r ( h 1 2 4 - 5 h 3 0 ) 一c 1 2 7 r ( h 3 0 十h i 2 ) 一c 2 1 7 r ( ，3 + 2 1 ) 一c 0 3 7 r ( 2 1 + 5 h 0 3 ) + 丌c ：4 0 + 7 r c d 4 + 百7 1 c 2 2 ， 其中 a l o = 3 57 i h 3 0 h 4 0 + 57 i ( h 1 2 h 0 4 + h i 2 h a o + h 2 1 h 3 1 十h 0 3 h 1 3 + h 3 0 h 2 2 1 + 3 ( h 1 2 h 2 2 + h 1 3 h 2 1 + h 0 3 h 3 l + h o a h 3 0 ) 一百0 7 u ，6 3 1 2 + 3 ；3 h 3 0 + 3 h 1 2 2 h 3 0 + 3 h 2 l h l 2 + 6 h 1 2 2 1 。3 + 6 h 。3 2 1 3 。) 一7 r ( 危1 4 + 3 2 + 5 h 5 0 ) 一_ 1 0 f 5 7 r 岛一 娑7 r ( 3 3 危1 2 + ；1 3 0 + 盈危1 2 ) ， a o l = 3 5 7 i h 0 3 h o a + 5 7 r ( h 2 1 h 4 0 + h 2 1 h 0 4 + h 1 2 h 1 3 + h a o h 3 1 + h 0 3 h 2 2 1 - 4 - 3 7 r ( h 2 1 h 2 2 a - h 1 2 h 3 1 + h 3 0 h 1 3 + h 4 0 h 0 3 ) 一x o 丌l ，。2 3 1 + 3 ；o h 0 3 + 3 h 2 2 1 h 0 3 + 3 h , 2 h 2 1 + 9 第二章一类三次扰动下二次哈密顿系统极限环个数上海师范大学硕士学位论文 6 h 1 2 危2 1 3 0 + 6 h 。3 危1 2 3 。) 一7 r ( 4 1 + 2 3 + 5 九。5 ) 一t 1 0 5 丌 3 3 一 萼丌( 盈蛔+ s + ；。蛔) ， a 2 0 - - - 百3 5 肼- 2 + 兰m 3 。+ h 2 2 1t2 ) + 兰m ；。+ 2 h 。s 蛔) 一砌。a + 畅+ 5 ) ， a l l = 5 r ( h 0 3 h 1 2 + h 3 0 h 2 1 ) + 3 7 i ( h 0 3 h 3 0 + h 1 2 h 2 1 ) 一7 r ( h 1 3 + h 3 1 ) ， a 0 2 - - - - 萼丌危淼+ 兰丌( 九孙+ ；。+ 2 蛔+ 兰丌( 镌。+ 2 h 肌z ) 一丌( + + 5 h 0 4 ) 二同宿环附近的极限环 继续考虑( 2 2 1 ) 设其未扰系统( 2 2 1 ) l 。：0 毫= h 。，| l i = 一h 嚣 有一过某双曲鞍点的同宿环( h o m o c l i n i cl o o p ) l o ，由h ( x ，y ) = 0 给出，可设鞍点在原 点，则取代( 2 2 4 ) ，可设成立 h ( x ，! ，) = 专y 2 + 2 0 2 2 + 矿，h 2 0 0 ，直线z = x 0 土型翌塾拦堡圭堂鱼至迨窒箜；章_ 类三次扰动下二次哈密顿系统极限环个数 对0 - h 1 形式上成立 关于上式表达式的系数c o ，c 3 的计算公式，我们有( 韩( 2 3 j ) 引理2 2 1 2 设( 2 2 8 ) 成立，进一步有 p ( x ，y ，0 ，6 ) = 矿，q ( x ，y ，0 ，6 ) = b i j x i y i ( 2 2 1 1 ) 0ojo 那么 饧= z 。g 如一砌j 仁。= z 。脚， c 。：一娑时( a l o + b o 。) ， c 2 = 魄+ 劬一n l o b 0 1 ) i 。：o d t + b c l ， c 3 = 等l 危2 。i - 【一2 2 0 ( 3 a 3 0 + 6 2 i + 2 h 2 0 a 1 2 + 6 h 2 0 6 0 3 ) 十 2 h 2 0 ( 2 b 0 2 + a x l ) ( 6 h 2 0 h 0 3 + h 2 1 ) + ( 2 a 2 0 - 4 - b 1 1 ) ( 3 h a o - 4 - 2 h 2 0 h 1 2 ) 】+ 5 c 1 ， 其中b 和5 为某常数 特别地，取代( 2 2 8 ) ，哈密顿函数h 具有如下形式。 日( 删) = 2 ( y 2 一z 2 ) + h q x i 矿 ( 2 2 1 2 ) 在这种情况下，由【1 2 ，我们有 推论2 2 1 2 除了( 2 2 1 2 ) 和( 2 2 1 1 ) 成立，那么 m ( h ，6 ) = c 0 ( 6 ) + c l ( 5 ) hi ni h i 十c 2 ( 5 ) h - 4 - c 3 ( 5 ) h 2i nl h i + o ( h 2 ) ，( 2 2 1 3 ) c o ( 6 ) = m ( o ，6 ) ：q d x p d y 酬， c 1 ( 驴一等， c 2 ( 6 ) = 溉+ 劬一o l o b 0 1 ) i e ：o d t + b c l ( 6 ) ， ( 2 2 1 4 ) c 3 ( j ) = 一丽1 ( - 3 a 3 0 - 6 2 1 - a 1 2 + 3 6 0 s ) 一扣6 0 2 + 0 1 ) ( 3 0 3 - - h 2 1 ) + ( 2 a 2 0 + b 1 1 ) ( 3 h 3 0 一九1 2 ) 】) + 5 c 1 ， 其中b 和5 为某常数 第二章一类三次扰动下二次哈密顿系统极限环个数上海师范大学硕士学位论文 利用这些系数可以讨论l o 附近极限环的个数，即有 引理2 2 1 3 1 1 2 】设( 2 2 8 ) 与( 2 2 i i ) 成立 ( i ) 如果存在5 0 曰n 使 c 2 ( 6 0 ) 0 ，c j ( 5 0 ) = 0 ，歹= 0 ，1 ， r a n k 耥( 品) _ 2 ， 则在( 0 ，南) 附近存在( e ，6 ) 使( 2 2 1 ) 在l o 附近可以有2 个极限环 ( i i ) 如果存在5 0 尼n 使 c 3 ( 6 0 ) 0 ，勺( 品) = 0 ，j = 0 ，1 ，2 ， r a n k 躲瑞( 驴3 ， 2 1 5 其中 面( 6 ) = 9 6 溉+ q y a l o b 0 1 ) l 。：o d t ， 则在( 0 ，5 0 ) 附近存在( g ，j ) 使( 2 2 1 ) 在l o 附近可以有3 个极限环 系数b o ，b l ，b 2 等和系数c o ，c l ，c 2 等可以联合使用而获得更多的极限环，即有下述 引理( 见韩茂安，王政，臧红 8 】) 引理2 2 1 4 设对0 0 时方程( 2 2 1 ) 可以有k 十4 个极限环 ( i i ) 当b k ( j o ) c 3 ( ( s o ) 0 ，那么我们有西6 0 = k l s 0 由 1 6 】，我们有 ( 2 3 1 0 ) m ( h