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内蒙古大学硕士学位论文 两个奇数阶微分算子乘积的自共轭l i 生 摘要 本文首先讨论了正则和奇异两种情况下两个极限圆型三阶对称微分算式 生成的微分算子的乘积的自共轭性，运用矩阵分析和计算，得到了乘积算子为 自共轭算子时边界应满足的充分必要条件，同时得到了幂算子的自共轭性、自 共轭算子乘积的自共轭性等乘积算子的其它若干性质在这里我们注意到三 阶对称微分算式是复系数的，丽乘积算子是实系数的，这与偶数阶乘积算子 的情况有很大的区别 在此基础上，进一步讨论了两个高阶极限圆型对称微分算子在正则和奇异 两种情况下乘积的自共轭性，比较三阶情况，得到了若干其它类似的相关结论 关键词：对称微分算式，乘积算子，自共轭算子 a b s t r a c t o nt h es e l f a d j o i n t n e s s0 f p r o d u c to ft w 0o d d o r d e r d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h ea d j o i n t n e s so ft h ep r o d u c to ft w od i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sg e n e r a t e db y at h i r do r d e rn o r m a la n ds i n g u l a rs y m m e t r i cd i f f e r e n t i a le x p r e s s i o ni nt h el i m i t c i r c l ec a s e i sd i s c u s s e d t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h i c hm a k et h ep r o d u c to p e r a t o r s b e i n gt h ea d j o i n to p e r a t o r so b t a i n e db yt h em a t r i xa n a l y s i sa n d c a l c u l a t i o n a tt h es a m e t i m e ，t h ea d j o i n t n e s so ft h ep r o d u c to ft h ep o w e ra n da d j o i n t n e s so p e r a t o ro b t a i n e d h e r ew en o t et h a tt h ec o e f f i c i e n t so ft h et h i r do r d e rs y m m e t r i cd i f f e r e n t i a le x p r e s s i o na r e c o m p l e x ，t h ec o e f f i c i e n t so ft h ep r o d u c to fo p e r a t o ri s r e a l t h e r ei sal o to fd i f f e r e n c e b e t w e e no ft h ee v e no r d e ra n d o d do r d e r o nt h i sb a s i s ，t h ea s j o i n t n e s so ft h ep r o d u c to ft w oh i g ho r d e ro p e r a t o r sg e n e r a t e d b yah i g ho r d e rn o r m a la n ds i n g u l a rs y m m e t r i cd i f f e r e n t i a le x p r e s s i o ni nt h el i m i t c i r c l e c a s ei sd i s c u s s e d ，a n dc o m p a r i n go ft h et h i r d o r d e rs i t u a t i o n ，an u m b e ro fo t h e rs i m i l a r c o n c f u s i o n so b t a l n e d k e y w o r d s s y m m e t r i cd i f f e r e n t i a le x p r e s s i o n ，p r o d u c to fd i f f e r e n t i a lo p e r a - 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得应墓直太堂及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一周工作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：j 绎二建军一 指导教师签名 e t 期：圣竺坌2 ：! ! 擎e l 期 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权将 学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁盘。允 许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文。 为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学作者今后 使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同意；若用 于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表。 学位论文作者签名：装叠建军 指导教师签名： e t 期：盈掣笋e l 期： 内蒙古大学硕士学位论文 1 1 前言 第一章引言 令l 表示h i l b e r t 空间内由对称常微分算式f ( 秽) 及若干边界条件所规定的线性微分 算子设t ( u ) = 钒( t ) d 七y ，d = 摹，t i = k6 l 或【a ，o o ) 为区间，上具有适当可 微系数毗( t ) 的m 阶微分表达式，若口m ( ) o ，则称z ( 可) 正则以f 表示f 的伴随算子，若 2 ( 耖) 三2 ( y ) ，称2 ( ! ，) 是对称算式，具有适当定义域时，称z ( 妒) 为对称微分算子 微分算子理论在量子力学方面起着十分重要的作用，一个自共轭算子对应一个可观 察量，而一个对称算子则未必可以对应一个可观察量 关于微分算子的乘积或幂的自共轭性方面有许多论文在上世纪9 0 年代边学军进行 了算子方幂的研究文章研究了二阶对称微分算式t ( y ) = 一旷+ g ( z ) y 所生成的幂算子 在正则和奇异两种情形下的自共轭性曹之江和孙炯老师讨论了由正则和奇异的具有 不同边界条件的二阶对称微分算式生成的微分算子的乘积的自共轭性，得到了乘积算子 为自共轭算子时边界条件应满足的充分必要条件及其他一些相关结论张新艳，王万义和 杨秋霞利用自共轭算子的基本理论及矩阵运算，讨论了由正则和奇异的二阶对称微分算 式生成的微分算子的乘积的自共轭性，得到了三个算子的乘积算子是自共轭算子的充分 必要条件进一步，给出了由正则和奇异的2 钆阶对称微分算式生成的微分算子的乘积算子 的自共轭性，得到了充分必要条件孙炯和安建业也给出了两个微分算子在正则和奇异两 种情形下乘积算子的自共轭性的一些结论，给出了很好的结果 本文首先讨论了两个三阶微分算子乘积自共轭性的问题，得到区间f a ，6 和区间 f 0 ，。) 上两个三阶极限圆型微分算子乘积的自共轭性的充分必要条件同时，得到了乘 积算子自共轭的些相关结论在此基础上，进一步讨论了两个2 礼+ l 阶微分算子在正则 和奇异情况下乘积的自共轭性，得到了关于2 n + 1 阶微分算子相关的一些其它结论 本文共分三章，第一章引言；第二章两个三阶微分算子乘积的自共轭性；第三章两 个2 礼+ 1 阶微分算子乘积的自共轭性 1 引言 1 2 预备知识 一f 两我们给出本文涉及到的一些基本概忿和弓l 理 众所周知，线性算子的定义包括两方面的内容：线性算子的表达式及其定义域其中 算子的定义域对于算子的定义有极其重要的作用 定义1 1 设 z ( 剪) = 口七o ) d k y , d = 夏d ，t ，= k ，纠或【o ，o o ) ( 1 1 ) k = o 为区间，上具有适当可微复值函数系数口七( 亡) 的m 阶微分算式，口女( t ) 充分光滑，其中 ( t ) 0 设y ，z 是c m 【n ，研中两个任意的函数，分部积分七次，我们得到 1 0 7 一叠动( 七如= k 一鸯匆( b 1 ) 一( 一七乏) 7 y ( 知- 2 j + ，n + ( 一1 ) 七一1 ( 一南乏) q 一1 胡： + ( - 1 ) z 6 可( 口m 一七牙) 佧) d z ， 上式对毙求和， 导到 f 6 地) 烈x = p h 汁f 6 1 ，瓣z ，( 1 2 ) ，口，n 其中 f i ( z ) = ( - 1 ) m ( 硪澎) ( 仇+ ( 一1 ) - , - 1 ( 面2 ) ( m - 1 ) + + 丽z ，( 1 3 ) 而p ( 7 7 ，( ) 是关于变量 叼= ( ，y ：，妒一，y b ，玩，一1 ) ， ( = ( 气，艺，磐一，z b ，2 ，护一1 ) 的双线性形式， 定义1 2 公式( 1 3 ) 定义的微分表达式f ( z ) 称为2 ( 譬) 的共轭微分表达式 公式( 1 2 ) 称为己叼r 口叼e 公式 内蒙古大学硕士学位论文 将上述讨论应用于积分 f b r ( 2 ) 鲥z ， 得到 小批划钿) + z 6 痂z 因此，2 ( 可) 是f + ( z ) 的共轭微分表达式： 特别地，如果2 。( 可) = 2 ( 秽) ，我们称微分表达式f ( 秽) 是自共轭的 引理1 11 4 】微分算式 f 2 是= 0 ( z ) 萝( 七) ( 柚， 1 2 k + 1 = i 2 【( p ( z ) ( 七+ 1 ) 佧+ ( p ( z ) 箩( 七) ( k + d 】( k 0 ) 是对称的，其中p ( z ) 为实值函数，它们称为基本对称微分算式 推论1 2 1 任何实系数的对称微分算式2 ( y ) 的阶数必为偶教，且具有形式如下： l ( y ) = 分( r ) ( ) + 0 1 y ( r 一1 ) ) ( r 一1 ) + + ( 肼一l 矿) - i - p r y( 1 4 ) 其中p o ，p l ，p ，均为实函数 定理1 1 【4 lm 阶微分算式f ( 分) 为对稚的充分必要条件是它可以表示成有限个基本 对称微分算式的和。 定理1 21 4 1 ：若z ( ) 为对称微分算式，则有 【1 】【y z ( x ) = 一翮( z ) ； 【2 】q ( z ) = 一q ) ； 【3 】f q 1 ( z ) 】+ = 【q ( z ) 】_ 1 = 一q - 1 ( z ) 令【，】( 亡) 表示关于地) 的l 叼r o 佗夕e 双线性型，即有 肛脚z z 6 厕曲矧施m 州， ( 1 5 ) 3 引言 令q m ( t ) = ( 五知) m m 表示陟，z 】m ( t ) 的矩阵，即有 f y ，2 j m ( ) = r z ( ) q m ( ) c ( ) ，( 1 6 ) 其中 r ：( t ) = ( 2 ( t ) ，z 7 ( ) ，z ( m 一1 ( t ) ) ，c l ，( t ) = ( 秒( t ) ，y 7 ( ) ，秒( 仇一1 ) ( t ) ) t ， 删： 牙。1 ( - 1 嗍。鼎m ) 。s j 一1 ， ( 1 7 ) l 0 m 1 ，i ，k = 1 ，2 ，7 n ( 1 1 1 ) 引理1 6 设4 ，j b ，g 为mx 仇矩阵，b ，c - - t 逆，则 c a 乏 可逆，且 三三 - 1 = 三m 1 一口一c 。- a 1 c 一。 5 眈g m 触 + 欲以 m 随 + 蜘 i j 鲈 两个三阶微分算子乘积的自共轭性 第二章两个三阶微分算子乘积的自共轭性 2 1两个三阶微分算子在区间【a ，6 】上乘积的自共轭性 首先考虑一种比较简单的具有复系数的对称微分算式的自共轭性 定义2 1 今微分算子l j ( y ) ( j = 1 ，2 ) 定义如下 i j c y ) 刊匆) - 匆所州2 的) + 彬 ( 2 1 ) iy d j ( 1 ) cd m ( i ) ，t j = f 口，6 】 这里实函数p c ( 3 ) ( j r ) 由定理1 1 ，l j ( y ) ( j = 1 ，2 ) 为对称微分算子设其l 8 矿删e 双线性型矩阵 q 。( ) = ( 厶七( t ) ) a 3 ，由公式( 1 7 ) 有 q 3 ( t ) = 其定义域分别为： i p ( t ) 。c l ，= y 。m c z ，：a 。clz，=可。mcz，：c ， q ；1 ( t ) = 一曰 一d 00 0i i0 1 = 0 ， j 1 = 0 ， j 其中a ，b ，c ，d 为三阶常数矩阵，满足r a n k ( aob ) = r a n k ( cod ) = 3 6 0 幻 一 o 烈 1 1 0 0 0 0 删删州州州 d 删删删砖州删州 内蒙古大学硕士学位论文 下面考虑它们的乘积算子，令l = l 2 l 1 ，则有 ( 秽) = z 2 ( 擎) = 一秒( 6 ) 一2 p y ( 4 ) 一4 p 翟胛一( 9 2 p + p 2 ) y ” 一( 5 1 2 p 肼+ 2 p p ) 矿一( 1 2 p ( 4 + 1 2 p p + 1 4 ( 2 7 ) 2 ) ! ， ：一( 6 ) 一2 ( v y ，) ，一c ( s 2 f + p 2 ) 可) 7 一( 1 2 p c 4 ) + 1 2 p p + 1 4 0 ，) 2 ) y a c 暑，( n ) i 矿( 口) l i 矿( a ) j l ( 秽) ( 口) 1 7 ( 箩) ( 口) ( y ) ( n ) 一b d u ( b ) ! ，( 6 ) 矿( 6 ) = 0 f ( 可) ( 6 ) z b ) ( 6 ) ( 秽) ( 6 ) = 0 由定理1 1 ，l ( 可) 为对称微分算子其l 叼r 帆9 e 双线性型矩阵为 纵牡隅h 1 啦0 3 。 时= 旧善， 1 ( ) l【一日f ( t )月f 1 ( t ) 芦( ) 丑f 1 【t ) j 其中 其中 f ( t ) = 研( ) = 0 5 2 p ( ) + p ( t ) 2 p ( t ) 0 1 2 p 也) 0 1 10 o o 对j ( 轳) 求导两次，计算可得： 1 1 3 ( t ) = q ( ) = z ( 芗) f ( y ) ( 影) 一5 2 p ( ) 一p 2 ( t ) - 2 p 他) 0 2 p ( t ) 一2 p ( t ) 0 ，奸1 ( ) = = ( 飓( t ) o 飓( t ) ) 1 2 i p ( t )i p ( t ) 0 1 2 i p ( t ) 3 2 i p ( t )i p ( t ) 1 2 i p ( t ) 2 i p ( t ) 5 2 i p ( t ) 7 o0 0 1 1o ! ， ： y c s ) ，巩( ) = l 0 2 p ( t ) o 0 i 0 0i ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 两个三阶微分算子乘积的自共轭性 将( 2 2 ) 整理成标准形式有 以们刮2 ) ， 胙以功 ( 2 6 ) id ( l ) = y o m ( 1 2 ) ：m c 妒( a ) 一n c v ( b ) = 0 ) 其中q ( ) = ( 可( ) ，( ) ，箩( 5 ( ) ) t m=匕03一03ch3 c h 2 d d h 2 ( b ， i ( o ) ( ) ii 凰( 6 ) ) j 由r a n k ( aob ) = r a n k ( cod ) = 3 可得 引理2 1r a n k ( mon ) = 6 证明：由r a n k ( aob ) = r a n k ( c od ) = 3 ，进行初等列变换 k a b ，埘 其中r a n k ( a 1 ) = 3 c 仍0 3 。d ，。凰0 3 。6 ， _ 兰三 ， 其中r a n k ( c 1 ) = 3 所以： r a n k ( mon 1 = r a n k = r a n k r a n k r a n k 从而r a n k ( mon ) = 6 f a 0 3 b o s 【c h 3 ( n ) c 凰( 口) d h 3 ( b ) d 巩( 6 ) j 品03酬03ch3 d c h 2 d l ( n )风( b )( n )碣( b ) i a 1 ：q 0 3d 0 3 1 = r 。肌 a 1 a 0 3 ：。0 3 。 a 1c 1 划 8 口 定理2 1 算 证明：由于 l ( y ) = 1 2 ( 秒) = 内蒙古大学硕士学位论文 子l = l 2 l 1 为自共轭算子的充要条件是a q ；1 ( o ) c + = 口q i l ( 6 ) d + 一y ( 6 ) 一2 0 l ! ，胃) 帮一( ( 5 勿广+ p 2 ) 矿) 7 一( 1 2 p ( 4 ) + 1 2 p p + 1 4 ) 2 ) 暑， 由引理1 3 j 1 2 1 ，l = l 2 l l 为自共轭算子等价于m q 孑1 ( n ) m + = i v q i l ( 6 ) 胪 其中 而 一黼 一k 。口a 。攀掣 计算得 s = 一c h 2 ( a ) 奸1 ( o ) 磁( n ) c 。+ c 风( o ) 矸1 ( 口) 磁( a ) 矿 + c 日j ( n ) 何1 ( n ) f ( 口) 奸1 ( n ) 焉( ) g 。 圻1 ( t ) 匝( t ) = 一 ) h i 1 ( t ) = q ；1 ( t ) ， q i l ( t ) 磁( t ) = 0 o 0 i io 0 p u 2 p 引 - 1 2 i i pj l 0 呻 3 2 y 一、| 硼t p-52p甜,-12p52pp 7 l ， + i 风 ) q ；1 ( 幻= 一( q i _ 幻域 ”+ 2 1 5 p 矽- 一3 矽2 p 7 f o p q i l ( ) f ( t ) q i l ( ) 5 2 荛p p 01 一2i ， i 9 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 00 0 i i0 ( 2 1 1 ) 矿脚 矿 一 5 胆 一班矿胛一 o 咖 叫印o o o o 劢矽 两个三阶微分算子乘积的自共轭性 所以 q ；1 ( t ) 磁( t ) + 玩( t ) q i l ( ) 一q i l ( ) f ( t ) q i l ( z ) = 0 ( 2 1 2 ) 田公j 瓦( 2 7 j ，l z ，8 ) ，( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) ，0 z - 1 1 ) ，t z 1 2 ) 。碍y2u 因此 ， m q i 弋n ，m + = lc q i 0 ，3 。口，a 。a q i ：c l 同理q i l ( 妨。= l 。q i 0 。3 ( 6 ) b 。b q ；0 飞3 。l ， 所以m q i l ( n ) m = q i l ( 6 ) 等价于a q ；1 ( 口) 驴= b q ；1 ( 6 ) d 推论2 1 1 幂算子2 自共轭的充要条件为l 自共轭 ( 2 1 3 ) 口 注：由上面可以看出，若l 和2 自共轭，乘积算子乙= l 2 l 1 未必自共轭。若1 ，2 不 自共轭，乘积算子己= l 2 l l 却可能自共轭 例：设l 1 ，2 如上定义，取a = 玩，b = 2 e 3 ，c = 马，d = l 2 e 3 ，p ( x ) = ( z 一8 ) ( z 一 厶1 计算可得 a q ；1 ( o ) a = q 1 ( 口) ， c q ；1 ( 8 ) c + = q ；1 ( 口) ， 曰q i l ( 6 ) b + = 4 q i l ( 6 ) ， d q i l ( 6 ) d = 1 4 q ；1 ( 6 ) 所以1 ，l 2 为非自共轭算子 而 a q i l ( o ) c = q ；1 ( n ) = q 纩1 ( 6 ) = 口q ；1 ( 6 ) d ， 所以l = l 2 l 1 为自共轭算子 定理2 2 设l ，l 2 ，l 如上定义，若l l ，l 2 ，l 为自共轭算子，则l t = l 2 证明：由l = l 2 l l 为自共轭算子，则l 2 l l = l l l 2 ，由上面知，l 2 l 1 整理之后的边界 条件为 l ( y ) = z 2 ( y ) ，y d ( z ) id ( f ) = ! ，d m ( 1 2 ) ：m q ( n ) 一j v q ( 6 ) = 0 1 0 一一 蜜鍪直丕堂堡主堂垡笙壅 - _ _ _ - i _ - _ - _ i _ _ - _ - _ - - _ _ - - _ - _ _ _ _ - _ _ - _ _ _ - _ _ i - - _ - _ - - _ _ _ - - _ - _ _ _ 一 一一一 l a 0 3 b 0 3 l 舯舳肚lc g 。( a ) 。c 晶d 酬d h 2 ( 6 ) j i) c 凰( 口) 风( 6 ) ( 6 ) j 且r a n k ( mon ) = 6 同理l 1l 2 整理之后的边界条件为 ! 厶1 l 2 ( y ) = 产( 誊) ， y d ( 。) ( 2 1 5 ) id ( z ) = y d m ( 1 2 ) ： 矗q ( 口) 一1 q ( 6 ) = 0 其中尬。m = a c。口，a03。，童。6，b兄03h3 b 。 1a ( 口) a ( o )风( 6 ) b 兄( 6 ) l 且鼢n 七( 尬o 1 ) = 6 设m0n 的行向量为k ，k = 1 ，2 ，6 ，则m to 1 的每一行都可以用k 线性表 出特别的对m 1o 1 前三行中的任一行，不妨设为第一行， l o = ( c l l c 1 2c 1 3 000d ud 1 2d t a 0 0 o ) ， 则 o 可以由f 膏线性表出 l o = ( a l ，a 6 ) c mdj ) ， 刺 地叱03唰030 otl(x6 = ( ，) 1，l ， 进而 即 所以 ( 啦倥5o r 6 ) ( c h 2 ( a ) od h 2 ( b ) ) = 0 ， ( o t 40 1 5q 8 ) c 9 2 ( a ) = ( o r 4 0 1 5a 6 ) d h ( b ) = 0 由飓( 口) ，玩( 6 ) 可逆， ( o r 4 o r 5n 6 ) c = ( o r 4q 5口6 ) d = 0 ， ( 砒( 2 5 舭) ( c0d ) = 0 【砒蛳八u 出j2 又r a n k ( cod ) = 3 ，所以( o r 4 o r 5o t 6 ) = 0 1 1 两个三阶微分算子乘积的自共轭性 这就表明j o 只能由mon 的前三行线性表出所以( c0 3 d0 3 ) 可以由 ( a0 3 b0 3 ) 线性表出 同理( a0 3 b0 a ) 可由( c0 3d0 3 ) 线性表出，即( ab ) 和( cd ) 可以 相互线性表出，从而l l = l 2 口 2 2两个三阶微分算子在区间【0 ，o o ) 上乘积的自共轭性 考虑一种比较简单的具有复系数的极限圆型对称微分算式乘积的自共轭性 定义2 2 令微分算子l v ) ( j = 1 ，2 ) 定义如下 l j ( v ) 刮 ) = q 2 们+ 州 ( 2 1 6 ) ly d j ( z ) cd m ( o ，t i = 【0 ，0 0 ) 这里实函数p c ( 3 ) ( ，) 其定叉域分别为： d ( h ) ：协印以1 ) “吲o ) 加文剐_ 0 ) ( 2 1 7 ) 【d ( l 2 ) = y d i n ( 1 ) ：c c d o ) 一d q ，i p ( 。) = 0 ) 其中q ( o ) = ( o ) ，y 7 ( o ) ，y ”( o ) ) t ，q ，妒( o o ) = ( b ，妒1 】3 ( 。o ) ，龇妒2 】3 ( 。) ，妒3 】3 ( o o ) ) t ， 钕， = 1 ，2 ，3 为l ( v ) = o 的三个线性无关解a ，b ，c ，d 为3x3 数量矩阵，r a n k ( aob ) = r a n k ( cod 1 = 3 由定理1 1 ，岛0 = l ，2 ) 是对称微分算子其l a g r a n g e x ) 线性型矩阵q 3 ( ) = ( f j k ( t ) ) 3 x 3 为： q s ( t ) = oi i0 0o ，q i l ( ) = 00 0i lo 下面考虑其乘积算子，令l = l 2 1 ，则有 l ( y ) = z 2 ( 芗) = 一爹( 6 ) 一2 ( p y ) 一( ( 5 2 + p 2 ) 箩7 ) 7 一( 1 2 p ( 4 ) + 1 2 p p + 1 4 ( p ) 2 ) 管 a q ( o ) 一b q 妒( o o ) = 0 c g ( 管) ( o ) 一d g ( 彩，妒( o o ) = 0 ( 2 1 8 ) 】2 内蒙古大学硕士学位论文 由定理1 1 ，是对称微分算子，其l a g r a n g e 矩_ 阵为 似归【篡一h x ( t ) | 甜= b 0 3 0 3。0 吼淼) 1 l 吼( 芒)li 一竹1 ( 砖奸1 ( 亡以砖耳1 ( ) f 其中f ( t ) ，h l ( 亡) 由公式2 3 刁, 3 1 2 4 定义 将公式( 2 1 8 ) 整理成标准形式有 d l 国( l ，二2 ；了2d m ( ! ：2 i 手：。m c u ( o ，一q ，妒。，：。， c 2 9 ， i) = y 2 ) ： ) 一q ，妒( 。) = o ) 、。 其中g ( t ) = 姒块箩也) ，y ( 5 ( ) 严且 m = k 0 3 ， 设妒1 ，妒2 ，协为z ( y ) = o 的三个线性无关解，满足 ( 。( o ) ，( o ) ，( o ) ) = e 3 ，( 2 2 0 ) ( o ) = ( 忱( o ) ，讧( o ) ，钟( o ) ) ? ，i = 1 ，2 ，3 ，由于f ( y ) 是极限圆型，据定理1 5 ，妒1 ，妒2 ，协 l 2 ( ，) 由公式( 1 5 ) i o oi o o 0 = 2 ( 妒t ) 巧出c p d ( c p 了) d x = f 仇，伤】3 ( 。o ) 一慨，仍】3 ( o ) j 0j o 即 蛾，】3 ( 。o ) = 【蛾，v ，1 3 ( o ) ，l i ，歹3 再由公式( 1 6 ) 和( 2 2 0 ) 得 b 3 = ( 【红，】3 ( 。) ) t = ( 慨，仍】3 ( o ) ) t = 仉( o ) ( 2 2 1 ) 由定理i 4 直接可得 引理2 2 如果。z ( ! ) 为极限圆型，则f 2 ( 暑f ) 也是极限圆型 设0 i ，如，岛是z 2 ( 芗) = o 的3 个线性无关解，且满足 ( ( o ) ，岛。( o ) ，魄( o ) ) 6 = ( 0 3o 马) t ，( 2 2 2 ) 两个三阶微分算子乘积的自共轭性 这里岛。( o ) = ( 仇( o ) ，碰，以5 ( o ) ) ? ，k = 1 ，2 ，3 由定理1 5 ，o i ，0 2 ，0 3 l 2 ( ，) 又f ( 妒1 ) = 2 ( 妒2 ) = ( 仇) = 0 ，因而，忱，也是1 2 ( y ) = o 的解，且2 ( 饥) = i 妒+ 咖( 仇) + l 2 仇= 0 ，即硝= 一p ( 愀) 一l 2 p 妒k ，将此式两边逐次求导，再结合公 式( 2 2 0 ) 可得 ( q 。( o ) ，( o ) ，o 。( o ) ) 6 = ( 玩。矾( o ) ) t ( 2 2 3 ) 这里o 。( o ) = ( 妒七( o ) ，妒譬( o ) ，妒乎( o ) ) r ，后= 1 ，2 ，3 日4 ( t ) = - 1 2 p ( t )- p ( t ) o - 1 2 p ( )- 3 2 p ( t )- p ( t ) - 1 2 p ( t ) + 1 2 p ( t ) p ( t ) 一2 矿( t ) + p 2 ( t ) - 5 2 p ( t ) 因此妒l ，妒2 ，妒3 ，巩，6 1 2 ，6 7 3 的w r o n s k y 行列式为 ( 妒l ，妒2 ，妒3 ，0 1 ，0 2 ，以) ( o ) = 1 ，( 2 2 4 ) 于是妒l ，忱，0 1 ，6 1 2 ，如为z 2 ( 可) = o 的6 个线性无关解 由公式( 1 6 ) ，陟，z 】6 ( ) = 瓦秽q 6 ( ) q ( ) ，及公式( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) 计算可得 风=岛舟和，e3帅0303h 4 l玛i) ) 岛l ：l 以o ) + 磁( 0 ) 玩( 0 ) 一h i ( 0 ) 凰( 0 ) 一凰( 0 1 ( 2 2 5 ) ihi(o)03i 皿( o ) 凰( o ) = q 3 ( o ) - 3 ( o ) ，( 2 2 6 ) 所以f ( o ) + 磁( o ) 矾( o ) 一h i ( o ) h , ( o ) = f ( o ) 一埘( o ) q 3 ( 0 ) 一q 2 n + 1 ( o ) 风( o ) = 0 由此可得 风：f0 3 啦( 0 ) 1 ( 2 2 7 ) l - h i ( 0 ) 0 3j 引理2 3i l l l 若z ( s ，) ，三2 ( y ) 如上定义，则 ( 1 ) d m ( 1 2 ) cd u ( 1 ) ， ( 2 ) d o ( 2 ) cd o ( 1 ) 1 4 内蒙古大学硕士学位论文 同理 引理2 4 对任给y ，z d m ( 1 2 ) ，有 阿，2 j 6 ( t ) = 【2 ( y ) ，刁3 ( f ) + 【y ，f ( z ) 】3 ( t ) ，t f 0 ，o o ) 证明：由公式( 1 6 ) 【z ( 秒) ，2 4 3 ( ) = ( 丽) 吾q 3 ( o c t ( v ) ( ) = ( c - 7 手q 。( t ) ( 矾( t ) o 玩( t ) ) q ( ) ( 2 2 s ) ：( 巧而) 吾l 仉 ) 凰 ) 驰 ) 飓 lq ( t ) 1 0 30 3 l 训( z ) ) = ( 丽) 阳3 ( t ) q ( t ) = c 丽吾裂 而q 3 ( t ) 魄( t ) = 一日l ( 亡) ，蟛( t ) q 3 ( ) = 日( ) 且f ( t ) = 磁( ) q 。( ) + q 3 ( o ) 风( t ) ，由 q 6 ( t ) 形式可知 阿，z 1 6 ( t ) = 【 ( 秽) ，z 1 3 ( t ) + 【耖，z ( z ) 】3 ( t ) ，t ( 0 ，o o ) e l 因为以，如，如d m ( 1 2 ) cd m ( 1 ) ，由引理1 5 知： 存在常数如，0 ，k = l ，2 ，3 ) ，使得 其中y k o d o ( 1 ) ，弓( 歹，：1 ，2 ，3 ) 满足公式( 1 1 1 ) 中条件 即 定理2 3 任给y d m ( 1 2 ) ，有陟，帆】6 ( 。o ) = 【f ( 可) ，】3 ( 。) ，南= 1 ，2 ，3 证明：由引理3 3 及f ( 饥) = 0 ，k = 1 ，3 对任给t ，有 【y ，妒七】6 ( t ) = 【f ( 可) ，妒七】3 ( ) + 阿，f ( 妒七) 】3 ( t ) = ( f ( 秒) ，妒k 】3 ) ，k = 1 ，2 ，3 f 2 ( v ) ，妒七】。( o o ) = b ，妒七1 s ( o 。) 1 5 ( 2 3 0 ) 口 922 ，i 、 j ，jq 1j 3 3 o 0 嗡幻 。硝 一- 世， 巧 d 3 纠 上 轳 | | 七 口v 堕全三堕丝坌簦至垂塑鲤鱼基堑丝 一- _ _ _ - - - - i _ - - _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ 一一 一 其中 定理2 4 任给可d m ( 2 2 ) ，有 函，妒，1 3 ( o o ) 陟，妒2 1 3 ( 0 0 ) 陆，妒3 1 3 ( o o ) 风( t ) = = ( ( - h s ( 0 ) r ) o 飓( o ) ) i 0 - i v ( t ) 0i 0 00i 阿，a 】。( o o ) 陟，0 3 6 ( o o ) ，r = ( r t j ) 3 3 证明：由0 1 ，0 2 ，如为1 2 ( y ) = o 的解，则t ( o d hl ( v ) = o 的解 计算得： ( q ( p ，) ( o ) ，a 池) ( o ) ，a ( 如) ( o ) ) = f 如( o ) 结合( 2 2 0 ) 得： 2 ( 1 9 1 ) = i 妒1 + 咖( o ) 妒3 ， z ( 以) = i 魄，七= 2 ，3 由定理2 3 ，公式( 2 3 0 ) 及引理1 2 得 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) b ，口1 】6 ( o 。) = i t ( v ) ，0 1 1 3 ( o o ) + 陆，f ( p 1 ) 】3 ( 。o ) 3 = 【2 ( 可) ，r 1 歹仍】3 ( 。) + i v , i 妒1 + 咖妒3 】3 ( o 。) ( 2 3 4 ) j - - 1 3 = 可阿，仍】6 ( o o ) 一l 队妒1 1 3 ( o o ) 一i p y ，妒3 s ( o o ) j = l 同理： 3 陆，0 七1 6 ( o o ) = 两陟，仍】6 ( o 。) 一i y ，妒k 】3 ( 。o ) ，七= 2 ，3 ( 2 3 5 ) j = l 将上面两式组成关于i v , 妒。】3 ( 。) ，队妒2 1 3 ( o 。) ，阿，妒3 1 3 ( 。0 ) 的线性方程组，求解可得： 其中 【y ，妒1 1 3 ( o o ) 【y ，妒2 】3 ( 。) l y ，妒3 1 3 ( 0 0 ) = ( ( 一风( o ) 再) o 玩( o ) ) 1 6 【y ，妒1 】6 ( o 。) 恒，移3 】6 ( 。o ) ( 2 3 6 ) 内蒙古大学硕士学位论文 日j，=三三一毒。】一r=cr巧，ss 粘a 删0 3 定理2 5r a n k ( mon ) = 6 = 一b 艺徊) 兄b ： 口 定理2 6 乘积算子l = l 2 l l 为自共轭算子的充分必要条件是a q i l ( o ) c + 证明：由引理1 4 ，l = l 2 l i ：为自共轭算子等价于m q i l ( o ) m + + n b 6 n = 0 由前面可知， ，q 孑1 c 。， ，4 = c q ：。，a 。a q 乏1 0 ) c e 2 3 7 ， 下面主要计算n b 6 + ，计算可得 n b 6 n * ：l b 玩m 胆磁伊+ b h 5 页巩玩伊b 玩日1 矿l ld 矾蛾b 0 sl 计算可得： 玩h a = q 3 = b s ，( 2 3 8 ) 一日l 磁= q 3 = b s ， 贼一h 5 h t 醇h 善+ h a 毫h t h ；= 一q 3 r t h ；一h 0 | q 3 由引理1 可知，任给可d m ( z 2 ) ，都可以表示为 633 = y o + 办乃+ q 慨+ c a + s o i j = l i = 1i = 1 这里y o d o ( 1 2 ) ，乃满足公式( 1 1 1 ) ，力，c t 为常数 计算可得： 函，侬1 6 ( o 。) = ( 2 3 9 ) = ( 【妒l ，妒k 1 6 ( o o ) ，【以，妒七1 6 ( ) ) ( c l ，c 6 ) t ( 2 4 0 ) ，伶 鼢 岛 门 q 3 同 “ 蔚 妒 竹q 3 皿 两个三阶微分算子乘积的自共轭性 所以 于是 又 同理： b ，p 七】6 ( ) = ( 眵- ，氏】6 ( 。o ) ，【0 3 ，以】6 ( o o ) ) ( c z ，c 6 ) t ， ( b ，妒l 】6 ( o o ) ，陆，0 3 1 6 ( o 。) ) t = b 6 ( c 1 ，c 6 ) t 由于风可逆，因此 c c - ，t = 一罢二。，h 0 。 c t 秒，妒- ，e c o o ，【可，口s 】e c 。，t ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) ( e l ，c 2 ，c 3 ) t = ( 0 3o 圻1 ( o ) ) ( b ，妒1 1 6 ( 。) ，陆，以1 6 ( o 。) ) t ，( 2 4 4 ) ( c 4 ，c 5 ，c 6 ) t = ( 一h i - 1 ( o ) o0 3 ) ( b ，妒1 】6 ( 。) ，【y ，如】6 ( 。o ) ) t 6 3 3 y = y o + 乃乃+ c t + q + 3 y i o + j = l i = 1i = 1 所以： 进而： 3 阿，妒小( o o ) = q 川。十 i = 1 ( 陟，妒l 】3 ，陆，9 3 】3 ) t = b 3 ( c 1 ，c 3 ) r + b 3 面( c 4 ， 3 i = l j = l ( 2 4 5 ) 33 c i + s r i j 妒j ， i = l j = l 3 3 q + s 勺协，班】3 i = 1 j = l ，c 6 ) t = ( b 3 ( 0 3o 圻1 ) + b 3 r ( - h f lo0 3 ) ) ( b ，妒1 1 6 ，阿，以】6 ) t = ( 一岛舻矸1o 玩矸1 ) ( 陟，妒l 】6 ， 比较( 2 3 6 ) 和( 2 4 6 ) 得： 由公式( 2 3 8 ) ，陟：如】。) t 一岛舻酊1ob 3 竹1 = 一h s r o1 t 5 b 3 r t h 1 = h s r 1 8 ( 2 4 6 ) 内蒙古大学硕士学位论文 再由公式(