（计算数学专业论文）faà+di+bruno公式及其应用.pdf

摘要 本文研究了代数组合学以及数值逼近中的一些问题，主要针对差商形式的 f 碗d ib r u n o 公式以及其在行列式恒等式上的一些应用另外，以f 醯d ib r u n o 公式作为工具对h e r m i t e 插值给出了一种新的表达形式，即对称群循环指标表 示，同时研究了其数值微分公式及其余项的渐进表示 在曲线参数方程的多项式插值研究中，一般有其固定的框架通常的问题 是选取节点组8 0 ，8 1 ，8 n 让多项式r 逼近曲线，使得知( f ir 。小) 的逼近 阶尽可能高，这里 d p ( l i e 。，。】 p n ) = i n fij 厂og p i i ， 而g 是一个严格单调的函数 在误差的研究中，一般会考虑复合函数fog 的高阶导数的上界然而，这 里需要，og 是光滑性比较好的函数，在其光滑性较差的情形下，我们通常会考 虑复合函数，o 夕的高阶差商，希望通过，和夕的高阶差商的上界来估计，o 夕 的高阶差商的上界所以，本文第一个要解决的问题就是对于给定的函数，和 夕，以及给定的节点组t o ，亡1 ，t n ，复合函数h ：- - ，og 在这组节点上的凡阶差 商，被用函数j f 在节点组g ( t o ) ，9 ( 1 ) ，夕( ) 上的诸个差商( m = l ，2 ，n ) 和 g 在取自t o ，1 ，t n 的节点组上的诸个差商的组合表示出来 f 如d ib r u n o 公式是组合分析中一个非常重要的公式，主要是用来解决复 合函数高阶导数的显式表达问题，其在统计学中有着广泛的应用其具体表达 为： 2 n n 表地( t ) ) = ，( m ( 夕( t ) ) b 叩( ，他) ，产 一。 m = l 这里指数型部分b e l l 多项式 其中 玩，m ( ，z n ) ：= ( 郴) 7 z ；1 z 抄z 挈， o r n m 7 ：= g ：= ( 2 1 ，a 2 ，a 。) 酽1 1 0 1 + 2 a 2 + + n a n = n ) ， 7 r n ，m ：= o 7 r n l a l + a 2 + + = m ) ， 摘要 i i ( 几；口j 等雨可瓦西丽，口，m 在本文的第三章中，我们通过对差商的链式法则的研究及s t e f f e l l s e r l 公式的运 用，给出了四种不同表达方式的差商形式f 醯d ib r u n o 公式特别当给定的节 点完全重合时便导致关于fo 夕的高阶导数的f 如d ib r u n o 公式该公式的证明 方法多种多样，对其证明的研究与应用一直以来从未间断过，我们这个方法也可 以看作是对其的一个新的证明由于公式相对比较复杂，为了便于理解，我们对 阶数相对较低的情况给出了一些例子 m i n a 行列式恒等式是一个整齐漂亮的恒等式： 。媳i 面d j 叭瑚i = ( m ) ) 掣疆地 从而引起很多数学家的兴趣关于其的证明和推广已有大量的文献出现我们 利用差商的性质，以差商形式f 娩d ib r u n o 公式作为主要工具，给出了离散形 式的m i n a 行列式恒等式，特别当节点完全重合时，再一次得到了该恒等式进 一步，我们把离散形式的m i n a 行列式恒等式推广到关于复合函数的行列式恒等 式，使得离散形式的m i n a 行列式成为其一个特例同时，我们也考虑了带权函 数的行列式恒等式所有的结果都是对文献f 2 8 1 的进一步推广这些结果包含 了很多组合学上的经典恒等式我们给出了一些具体例子加以说明除此之夕 ， 我们考虑m i n a 行列式恒等式在g 导数意义下的情形，利用差商与q 导数的关 系，给出了相应的恒等式 最近，随着大量的关于多变量的复合函数的高阶导数求解文献的出现，f 如 d ib r u n o 公式也被推广为高维的形式【3 3 ，3 6 ，7 1 1 。然而，它们的表达和证明是 如此的繁琐以致很难被用来实际计算我们希望通过我们的研究来简化该表达 式和证明过程，同时推广f nd ib r u n o 公式假定函数，和g 满足，：v 一砸， 夕：u y ，而函数h ：u 一砸是一个复合函数并且等于，og ，用th ，( 9 ( ) ) 来表示f 表示实数集r 或复数集c 另外，ucf ，vcp ，s 是一个正整数 根据f 2 7 】中夕的差商的定义，我们能得到以下的推广的f 如d ib r u n o 公式， 扣= 善赤产b 溅口( 哿，掣，掣) ， 摘要 其中， 玩，q ( z 1 ，z 2 ，z 霸) ：= i 口i 。厶厶 上上“ e t l + + 矗i 口i = 口七l + - i - k l a i = nj = l 七1 ，k l o i 1 是一个含有多个向量变量z 1 ，z 2 ，。竹的普通型部分b e l l 多项式除此之外， 我们根据混合偏差商的定义和性质，对差商形式的f nd ib r u n o 公式也给出了 相应的推广形式，并且在此基础上给出了例子进行说明 最后，我们讨论了h e r m i t e 插值众所周知，插值和差商是数值分析中非常 重要的解析运算工具它们有着广泛的应用，如在方程求根、求积公式等等对 于h e r m i t e 插值很多教科书只讲到特殊的h e r m i t e 插值，即插值多项式及其一 阶导数满足已知的插值条件很少教科书会给出一般h e r m i t e 插值多项式的具 体表达式在本文中，我们结合组合分析中一个重要的概念，即对称群循环指标 多项式， 磊( 如) ：= 磊( t k l k i n ) ：= 磊( t l ，t 2 ，k ) 实际上，它有下面的具体表达形式 磊( 丸坛，t n ) = 去( 叩) 审弘学， 口”“ 这里 i r n ：= a ：= ( a l ，a 2 ，0 f 1 ) 1 妒1 1 a lj r2 a 2 + + 船n = n ) 是一个集合，其任意元素a ：= ( a 1 ，a 2 ，) 对应着一个将佗n 分拆为a 1 个 1 ，0 2 个2 ，个n 而且，对a 1 1 n ， 们f ( 礼；。) 等雨币瓦矛丽 即是礼个符号的由a 1 个长为1 ，口2 个长为2 ，个长为佗的循环合成的置换 的数目。我们以它作为表示工具，给出了一般h e r m i t e 插值多项式的显式表达 式，并且我们研究了其数值微分公式及其余项假定给定一点z ，在z 的充分小 的领域内被插函数是光滑的，我们可以用h e r m i t e 插值多项式的导数来逼近被 插函数的导数，并给出了相应的余项的渐进展开 关键词：f 醅d ib r u n o 公式，差商，m i n a 行列式恒等式，复合函数，h e r m i t e 插 值，对称群循环指标 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nm a i n l ys t u d ys o m ep r o b l e m si n a l g e b r a i cc o m b i n a t o r i c s a n dn u m e r i c a la p p r o x i m a t i o n t h es t u d ya i m sa tt h ed i v i d e dd i f f e r e n c ef o r mo f f 疵d ib r u n o sf o r m u l aa n di t sa p p l i c a t i o n so nd e t e r m i n a n ti d e n t i t i e s b e s i d e s a n e we x p l i c i tr e p r e s e n t a t i o no fh e r m i t ei n t e r p o l a t i o na l s oi sg i v e nb yu s i n g c y c l e i n d e xo fs y m m e t r i cg r o u p a l s o ，t h en u m e r i c a ld i f f e r e m i a t i o no ft h eh e r m i t e i n t e r p o l a t i o na n dt h ea s y m p t o t i cr e p r e s e n t a t i o n sf o rt h er e m a i n d e ra r ep r e s e n t e d i nt h ea p p r o x i m a t i o nt h e o r yo fp a r a m e t r i cc t l r v e l s ，ag e n e r a lf r a m e w o r kf o r 址g h - a c c u r a c y , p a r a m e t r i c p o l y n o m i a li n t e r p o l a t i o nm e t h o d sh a sb e e nd e v e l o p e d u s u a l l y , w ec h o o s eas y s t e mo fn o d e st o ，t 1 ，t n ，c o n s t r u c tap o l y n o m i a l 瓢b yi n t e r p o l a t i o na tt h e s en o d e st oa p p r o x i m a t et h ec u r v e1a n dg u a r a n t e e s t h ea p p r o x i m a t i o no r d e ri sa sh i g ha sp o s s i b l e ，h e r e d p ( f l n 】，肌) - m 9 f l l f 。g 一肌i l ， a n dgi sas t r i c t l yi n c r e a s i n gf u n c t i o n s u p p o s et h a tt h ec o m p o s i t ef u n c t i o nh ：= ，0gi ss m o o t he n o u g h ，t h e na b o u n do ft h eh i g h e rd e r i v a t i v eo ft h ec o m p o s i t ef u n c t i o nhi so f t e nc o n s i d e r e di n t h ee r r o ra n a l y s i s i nf a c t ，w h a ti sm o r er e q u i r e di sab o u n do nc e r t a i nd i v i d e d d i f f e r e n c eo fhi fhi sn o ts m o o t he n o u g h i ti st h ef i r s tm o t i v a t i o no ft h i sp a p e r t od e r i v ea ne x p l i c i tf o r m u l a 珐8 e x p r e s s e st h ed i v i d e dd i f f e r e n c eo fac o m p o s i t e f u n c t i o nh = f ogo nt h eg i v e nn o d e st o ，t z ，i nt e r m so fd i v i d e dd i f f e r e n c e s 0 ffo nt h en o d e sg ( t o ) ，夕( t 1 ) ，g ( t n ) a n dd i v i d e dd i f f e r e n c e so fgo nt h en o d e s o ，t 1 ，t n f a ad ib r u n o sf o r m u l ah a sa l w a y sp l a y e dav e r yi m p o r t a n tr o l e i nc o m b i n a t o r i a la n a l y s i s i ti sa p p l i e dt os o l v et h ep r o b l e mo nt h e h i g h e rd e r i v a t i v eo fa c o m p o s i t ef u n c t i o n i ta l s oh a sw i d ea p p l i c a t i o n si ns t a t i s t i c s t h ee x p r e s s i o no f f 如d ib r u n o sf o r m u l ai s _n 而ao 伯( t ) ) = ，( m ( 9 ( ) ) 鼠，m ( ，协) ，m ，产， a b s t r a c tv w h e r et h ee x p o n e n t i a lp a r t i a lb e l lp o l y n o m i a l a n d 玩，m ( 钆，z n ) ：= ( 哪) 心2 ：1 1 z 弘，z ， 口7 r t l 仉 f i n ：= a ：= ( a l ，a 2 ，) 1 酽1 1 a l + 2 n 2 + + n o n = 几) ， 7 h 舟：= _ ( 口耳虹1 + 她+ + = m ) ， ( 仃；n ) 7 ：= l a l a l1 2 幻口21 礼o 住! a 7 h m i nt h et h i r dc h a p t e ro ft h i sp a p e r ，b ym e a x lo ft h ec h a i nr u l ef o rd i v i d e dd i f f e r e n c e a n dt h es t e f f e n s e nf o r m u l a ，f o u rd i f f e r e n te x p r e s s i o n so ff a ad ib r u n o sf o r m u l a a r ed e r i v e d i np a r t i c u l a r ，w h e nt h eg i v e ns y s t e mo fn o d e sa r ee q u a lt oe a c h o t h e rc o m p l e t e l y , i tw i l ll e a dt or nd ib r u n o sf o r m u l ao fh i g h e rd e r i v a t i v e so f f u n c t i o nh v a r i o u sa p p r o a c h e st op r o v i n gt h i sf o r m u l ah a v eb e e np r o p o s e ds i n c e f nd ib r u n of i r s tf o u n dt h eg e n e r a lf o r m u l ai n1 8 5 7 o u rp r o o fc a l lb er e g a r d a san e wa p p r o a c ht op r o v i n gt h i sf o r m u l a i no r d e rt ou n d e r s t a n dt h ef o r m u l a w e l l ，w ea l s op r o v i d es o m ee x a m p l e s m i n a sd e t e r m i n a n ti d e n t i t yi sav e r yb e a u t i f u li d e n t i t y ： 哆d 搀e t 嘉圳 训) 掣 七! 七= 0 i t i ss oi n t e r e s t i n gt h a tm a n ym a t h e m a t i c i a n sg a v ev a r i o u sp r o o f sa n dg e n e r a l i z a t i o n s b yt h ep r o p e r t i e so fd i v i d e dd i f f e r e n c e sa n dt h ed i v i d e dd i f f e r e n c ef o r m o fr 疽d ib r u n o sf o r m u l a ，ad i s c r e t em i n a sd e t e r m i n a n ti d e n t i t yi sg i v e n a s as p e c i a lc a s eo ft h ed i s c r e t em i n a sd e t e r m i n a n ti d e n t i t y , w h e na l ln o d e sa r e e q u a lt oe a c ho t h e rc o m p l e t e l y , w ed e r i v et h em i n ad e t e r m i n a n ti d e n t i t ya g a i n f u r t h e r m o r e ，w ep r o p o s e dag e n e r a l i z a t i o no ft h ed i s c r e t em i n a sd e t e r m i n a n t i d e n t i t yw i t hc o m p o s i t ef u n c t i o n s m e a n w h i l e ，w es t u d yt h ed e t e r m i n a n ti d e n t i t i e sw i t hw e i g h e df u n c t i o n s a l lo ft h e s er e s u l t sg e n e r a l i z et h o s eo fc h u 2 8 】w h i c h i n c l u d ea1 0 to fc l a s s i c a li d e n t i t i e si nc o m b i n a t o r i 出a n a l y s i s a sa p p l i c a t i o n sw e p r e s e n ts o m ee x a m p l e s b e s i d e s ，w ed i s c u s sm i n a sd e t e r m i n a n ti d e n t i t yw i t h q - d e r i v a t i v e b yt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nd i v i d e dd i f f e r e n c e sa n dq - d e r i v a t i v e s ， w ep r o p o s ea na n a l o g o u so fm i n a sd e t e r m i n a n ti d e n t i t y a b s t r a c t r e c e n t l y s e v e r a lg e n e r a l i z a t i o n so fe 醯d ib r u n o sf o r m u l af o rm u l t i v a r i a t e c o m p o s i t ef u n c t i o n sh a v ea p p e a r e di nt h e1 r e r a t u r e 【3 3 ，3 6 ，7 1 】h o w e v e r ，i t s e e m st h a tt h ed e t a i l so ft h ep r o o f sa n de x p r e s s i o n sa r es oc u m b e r s o m et h a t t h e ya r ed i f f i c u l tt ob eu s e df o rc o m p u t i n gi np r a c t i c e 0 n eo fo u ra i m si st o f i n das i m p l ee x p r e s s i o nw h i c hi sf a i r l ye a s yt or e m e m b e ra n dt og e n e r a l i z et h e d i v i d e dd i f f e r e n c ef o r mo ff 峨d ib r u n o sf o r m u l a t h ef u n c t i o n s ，a n dgs a t i s f y ，：v f ，g ：u _ v ，a n dt h ef u n c t i o nh ：u _ f i st h ec o m p o s i t ef u n c t i o n 厂o 夕，w h i c hi sd e n o t e db yth ，( g ( t ) ) h e r ef d e n o t e st h es e to fr e a ln u m b e r s 豫 o rt h es e to fc o m p l e xn u m b e r sc m o r e o v e r ，ucf ，vcf 8a n d8i sap o s i t i v e i n t e g e r w 色f o l l o wt h ed e f i n i t i o no ft h ed i v i d e dd i f f e r e n c eo f 夕f r o m 【2 7 】s ow e c a no b t a i nt h ef o l l o w i n gg e n e r a l i z e dr 溢d ib r u n o sf o r m u l a w h e r e l h 竹) ( t ) ： t ： 、7 l _ l a l _ 0 等矿n = 1 + n l 篆 妻k - - - - 1 帆心_ n ) ) ， 或者，相当地，由级数展开式 击瞧z m 磊) 5 驴七写，梏叭怎 所定义指数型部分b e l l 多项式是k 次齐次的，它的准确表达式是 (蚧刊=。一丽甄祸南荆2z挈+2 8 1a 2 + + h a n 鄙1 、7 。、7”、 这里整数a 1 ，o , 2 ，a 3 ，都是大于等于零的 由上面的显示表达式我们可以得到 b o ，021 ，b 1 ，1 = x l ，扔，1 。z 2 ； b 2 ，2 = z ；，b 3 ，l = x 3 ，b 3 ，223 x 2 x 3 ； 第二章代数组合学的预备知识7 b 3 ，3 = z ，b n ，1 = z t l ，b 2 ，1 = z 7 b e l l 多项式有其许多良好的性质，其一在自变量取特殊值时可以得到一些 重要的组合数比如， 玩，k ( 1 ，l ，1 ) = s ( n ，七) ， ( 1 1 ，2 1 ，3 l ) _ ( 一k - 1 浩k ! 岛，( o ! ，11 ，21 ) = i s ( n ，七) l = s ( n ，后) ， ( 1 ，2 ，3 ) _ ( ：) 扩一， 我们分别称之为第二类s t i r r i n g 数，l a h 数，第一类无符号s t i r l i n g 数和幂等数 【3 l 】其二由b e l t 多项式的发生函数容易得到下列递归关系加1 ) - 氓奄2 l(掘，=k-1 、 玩，奄( z - + z ；，z 2 + 。：) = ，( ：) e ，p ( 钆) 玩- v , k - # ( z i ，z ：) 且 l 等f 壹k = l 让七占_ ，七c z ，z 2 ，z n ，) ， 或者，相当地，由级数展开式 ( 要三z m t 仇) 知= 薹岛，七亡n ， 所定义普通型部分b e l l 多项式也是k 次齐次的，它的显式表达式是 j b n , k ( 忍) - 乩：邑。鄙商砰1 a 1 4 - k 咄挈， 2 口2 + + t m n 鄙 - 这里整数a 1 ，a 2 ，a 3 都是大于等于零的对于普通型部分b e l l 多项式我们可 以给出另外的显式表达： 反，k ( x l ，z 2 一n ) = z b z k k l + k 2 + + j t m = n h ，七m 2 1 普通型部分b e l l 多项式与指数型部分b e l l 多项式一样也有相似的递归关系，这 里不再详细叙述 2 1 3 完全b e l l 多项式 在这里我们只讨论指数型的完全b e l l 多项式 定义2 1 3 1 指数形式的完全b e l l 多项式碥= k ( z 1 ，z 2 ，z n ) 由 酢一p ( p 争1 + 吾筹 第二章代数组合学的预备知识 所定义其显式表达为： k ( ，。仃) = a l + 2