（应用数学专业论文）时滞双曲方程、二阶阻尼微分方程的振动性准则.pdf

中文摘要 中文摘要 泛函微分方程振动性理论是泛函微分方程理论中一个重要分支，具有深刻的 应用背景它是在研究生物生态学，生理学以及神经网络等领域的振动问题中引出 的近年来，振动性理论及其应用受到广泛关注，并取得丰富的研究成果从整体 上看，大多数结果是关于离散时滞微分方程的，而关于具有连续分布时滞微分方程 的振动性结果较少在这篇论文中我们讨论了具有连续分布时滞的双曲型微分方程 以及二阶阻尼微分方程的振动性问题，建立了这些方程的振动性准则，这些结果推 广或改进了已有的一些振动性定理( 见文【1 卜【1 0 】) 本文分以下四章： 第一章概述泛函微分方程的振动性问题的背景及发展现状 第二章引进h 函数方法及积分平均，r i c c a t i 变换等方法研究了一类时滞双曲 微分方程 珈+ 委九( 咖( x , t - ) 】_ 酢灿刊咖一z 咖 渐艚( 瓦。眺) q 2 ，d 的振动性，建立了方程的振动性准则 第三章利用高阶化低阶及h 函数的方法研究了高阶非线性中立型偏泛函微分 方程 豢卅舯( 州叫】2 善a k 酬州啪一上m k g ( t 煳胂( 仃) 觚 o ，d 的振动性，获得了方程振动性充分条件 第四章利用积分平均的方法研究了非线性二阶阻尼微分方程 ( r ( ) 妒( z 7 ( t ) ) 9 ( z 7 ( 亡) ) ) - t - p ( t ) 9 ( z ( ) ) + 口( ) 厂( z ( 亡) ) = 0 的振动性，得到若干振动性充分条件 关键词：双曲微分方程；连续分布时滞；阻尼微分方程；振动准则；积分平均法 黑龙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t o s c i l l a t i o nt h e o r yo ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sa ni m p o r t a n tb r a n c ho f t h er e s e a r c hf i e l do ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w h i c hh a sd e e pb a c k g r o u n d so f a p p l i c a t i o n s i ta r i s e si nm a n yr e s e a r c ha r e a s ，s u c ha sb i o l o g y ，e c o l o g y ，p h y s i o l o g y p h y s i c sa n ds oo n i nt h er e c e n ty e a r s ，t h es t u d yo fo s c i l l a t i o nf o rf u n c t i o n a ld i f - f e r e n t i a le q u a t i o n sa t t r a c t sw i d ea t t e n t i o na n dg a i n sr i c ha c h i e v e m e n t si ns c i e n t i f i c r e s e a r c h m o s to ft h er e s u l t s ，h o w e v e r ，i sd e v o t e dt oe q u a t i o n sw i t hd i s c r e t ed e l a y s ， w h i l et h e r ea r ef e wr e s u l t sf o ro n e sw i t hc o n t i n u o u sd i s t r i b u t e dd e l a y sa n ds e c o n d o r d e rn o n l i n e a rd a m p e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h i sp a p e r ，w ee s t a b l i s ho s c i l l a t i o n c r i t e r i af o rt h e s ee q u a t i o n s ，w h i c hg e n e r a l i z eo ri m p r o v es o m ee x i s t i n go s c i l l a t i o n t h e o r e m s ( s e e 1 一 1 0 1 ) t h ep r e s e n tp a p e ri sd i v i d e di n t of o u rs e c t i o n s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dp r e s e n ts i t u a t i o no fo s c i l l a t i o n o ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c em e t h o d so fh f u c t i o n ，a v e r a g et h c h n i q u ea n dt r a s f o r - m a t i o no fr i c c a t it os t u d yo s c i l l a t i o nr e s u l t so fah y p e r b o l i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n w i t hd e l a y 象缸咖( x , t - r t 恻d a u - - p 咖一知 跏k 夕他 i nc h a p t e r3 , w es t u d yt h eo s c i l l a t i o nf o rh i g h e ro r d e rn o n l i n e a rp a r t i a lf u n c t i o n d i f f e r e n t i a le q u a t i o no fn e u t r a lt y p e 杀m 州愀m 州叫】= 妻“洲郇以) ) _ 6 如 刚砌钏磁 b yt h ew a y o ft u r n i n gh i g h e ro r d e re q u a t i o n si n t os e c o n do r d e ro n e sw i t hh m e t h o d w 爸 o b t a i ns o m eo s c i l l a t i o nc r i t e r i a i nc h a p t e r4 ，w es t u d yo s c i l l a t i o nr e s u l t sf o ras e c o n do r d e rn o n l i n e a rd a m p e d d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( r ( ) 妒( z ( ) ) ) + p ( t ) g ( x 7 ( 亡) ) + g ( 亡) 厂( z ( t ) ) = 0 b yu s i n ga v e r a g et e c h n i q u e k e y w o r d s ：h y p e r b o l i cf u c t i o n a le q u a t i o n ；c o n t i n u o u sd i s t r i b u t e dd e l a y ；d a m p e d d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；o s c i l l a t i o nc r i t e r i o n ；a v e r a g et e c h n i q u e i i 黑龙江大学硕士学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得黑龙江大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料 学位论文作者签名：季暖霞 签字日期：k 汐年歹月7 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解黑龙江大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人 授权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编本学位论文 学位论文作者签名： 苍嗄露 导师签名s p 谚、羌 签字日期：腓6 月7 日 签字日期1 朋簪 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 伽7 日 l 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 振动理论的提出及应用背景 自二十世纪七十年代起，泛函微分方程振动理论得到了迅速发展s t u r m 的工 作提出了对解进行定性研究得最初思想p o i n c a r e 的著名论文“微分方程所定义 的曲线”( 共四篇) 和l i a p u n o v 的博士论文“运动稳定性的一般问题”共同奠定了 定性理论的研究基础我国泛函微分方程振动理论的研究队伍与国外同行的交流增 多，实力增强，被国际同行称为中国学派，我们的研究水平已经达到了国际先进水 平研究泛函微分方程振动理论具有非常重要的实际意义自从f i t e w b 于1 9 2 1 年 发表第一篇具有影响力的关于振动理论的文章以来，己有一大批数学工作者加入到 这一领域的研究，并取得了大量优秀科研成果 众所周知，泛函微分方程的振动性理论有着广泛的应用背景如近代物理，种 群动力学，神经网络，通讯技术，计算机科学等领域中有着广泛的应用自从发现 中立型泛函微分方程并建立了这类方程的基本理论，并且在高速计算机无损传输线 路的网络设计中得到应用后，泛函微分方程渐进性理论成为微分方程领域中的热门 研究课题泛函微分方程振动性理论与稳定性理论同属于渐进性理论范畴本课题 研究泛函微分方程振动性理论中若干问题，将为这一理论及其应用提供有价值的成 果 黑龙江大学硕士学位论文 1 2 振动理论的发展及研究的问题 泛函微分方程振动理论作为泛函微分方程定性理论的一个重要部分，在最近3 0 多年中有了迅速的发展自从2 0 世纪8 0 年代以来，开创了中立型时滞微分方程 解的振动性与非振动性的研究，并取得了大量的成果，开创了时滞差分方程振动理 论的研究有时滞变元的偏微分方程的振动理论在生态模型的应用有很大发展，开 创了时滞脉冲微分方程解的振动理论研究国内泛函微分方程振动理论的研究始于 8 0 年代，张炳根于1 9 8 0 年昆明全国微分方程会议上作了国内在这一领域上的第一 篇论文报告，此后振动理论的研究引起国内常微分方程界的广泛关注，逐渐形成了 一支在国际上有影响力的泛函微分方程振动理论研究队伍，b a i n o v 称之为中国学 派这一理论的发展趋势由对一阶二阶方程的研究转向高阶方程；由离散偏差变元 方程转向连续分布偏差变元方程；由泛函常微分方程转向泛函偏微分方程总之， 发展趋势是由相对简单的方程向更为一般的方程发展 生物模型中出现大量时滞微分方程例如，h u t c h i n s o n ( 1 9 4 8 ) 建立单个种 群的时滞l o g i s t i c 方程 删- a n ( 孟) ( 1 一掣) ( 1 1 ) 其中延滞丁包含着对种群增长的各种影响，如孵化周期，怀孕时间，食物更新等在经 济学中价值法则的作用，也是由于生产与消费之间的时滞形成的，如果时滞过长， 经济会出现震荡现象，这已为社会生活所证实 工业方面，电磁开关触头的振动可归结为研究二阶时滞微分方程 z ( t ) + a x ( t ) + b x ( t ) - t - c x ( t 一7 - ) = 0 ( 1 2 ) 解的振动性在泛函微分方程振动性理论的研究中，二阶方程以其具有深刻的实际 背景而受到关注，诸如对线性、非线性、离散滞量及连续分布滞量的二阶方程的研 究，都有丰富的成果特别的，对于二阶非线性方程振动性的研究，至今已有不少 重要的结果例如，在文【l 】中作者给出了方程 筹争出产训- - - - a 扯出u 一小州中引斌) 】d 叱) ( 1 3 ) 振动性的充分条件在文 2 】中作者给出了方程 丽1 2 【u ( z ，) + p ( t ) u ( x ，一下) 】= o ( t ) 牡 ，) 一q c t ) f c u x ，口c o d ( 1 4 ) 第1 章绪论 振动准则在文【3 】中作者得到了方程 ( r ( z ) 矽( z 7 ( t ) ) z 7 ( t ) ) 7 + p ( t ) z 7 ( 亡) + 口( ) ，( z ( t ) ) = 0( 1 5 ) 振动性若干充分条件在这篇论文中，我们研究了具有连续分布时滞的双曲微分方 程以及二阶阻尼方程的振动性问题，推广和改进了上述结果 1 3 本文所做的工作 本文主要研究了几类泛函微分方程解的振动性： ( 1 ) 证明一类时滞双曲微分方程 , q 2 m , b 拓善出卜训( ”a u - p 咖一上煳让i x , g ( t , 钏如 解的振动性用p h i l o s 方法证明方程解的振动性，改进了以前的证明方法 ( 2 ) 研究高阶非线性中立型偏泛函微分方程 杀卅邢) 乱( x ，t - - 7 - ) 】- 苫a k ( 删卅以肛z 舡 帆蚓斌) 】) d ( 盯) 舰，- d 解的振动性获得了方程解振动的充分条件 ( 3 ) 研究了非线性二阶阻尼微分方程 ( r ( 亡) 矽( ( t ) ) ) 7 + p ( t ) g ( x ( t ) ) + 口( z ) ，( z ( t ) ) = 0 解的振动性将已有的结果作为本文的一种特殊情形，推广了已有的结论 这些都将在各章中详细介绍 黑龙江大学硕士学位论文 第2 章一类时滞双曲微分方程的振动准则 2 1 引言 本章考虑具有连续分布滞量的中立型时滞双曲微分方程 磊 锰+ a i ( t ) u ( x ，z 一气) 】_ a ( t ) a u - p ( z ，t ) 乱一卜( z 一洲z ，g ( t ，洲口( ) v ” ：一1 ，n ( z ，t ) qxr + = g( 2 1 ) 解的振动性质，其中q 为j 中具有逐片光滑边界a q 的有界区域，r + = f o ，+ 。o ) ， u = u ( z ，) ，a u = 警1 0 2 u o z ；，兀 0 ，( i = 1 ，2 ，m ) 均为实数 在全文中我们都将有以下定义： 称一个函数y ( t ) 为微分方程的一个解，是指y ( t ) 满足该方程我们假定讨论 的解y ( t ) 在半轴阮，0 0 ) 上存在且对每个t 乃，有s u p l y ( t ) i ：t t ) 0 ， 即为非平凡解 称微分方程的解是振动的，是指它在t t o 上有定义且零点集为无界集，否则 称它是非振动的；称一个方程是振动的，如果它的每一个解都是振动的；称一个方 程是非振动的，如果它存在一个非振动解或者最终为正或者最终为负从这个定义 中看到，解的振动性和非振动性质是解在无穷远点邻域中的性质 我们假设下列条件成立： ( h 1 ) o ( ) ，a i ( t ) c ( r + ，r + )i = 1 ，2 ，3 ，m ； ( 1 t 2 ) p ( z ，t ) c ( qxr + ，r + ) ，q ( x ，t ，f ) c ( axj “x a ，6 】，r + ) ； ( 日3 ) 夕( z ，) c c n + x 【a ，6 】r ) ，g ( t ，) t ， a ，6 】，9 ( t ，) 关于t ，分别是非减 的，且憋淋m i n 6 】夕( 2 ，) = + o o ； ( h 4 ) 口( ) ( 【a ，b 】，r ) 为非减函数，且方程( 2 1 ) 中的积分是s t i e l j i e s 积分 同时考虑如下三类边界条件 u ( z ，t ) = 妒( z ，t ) ，( z ，t ) a q r + 望竺：妒( z ，) ， ( z ，) a q 冗+ on 7 、。，、一。7 一7 丝-li-r(z，z)u：o，(z，t)aq皿o r iz zi t = i - it zi 卜仃玉z ，f n 。、“。，”。，。十 其中礼是a q 的单位外法向量， r ( x ，t ) c ( a qx 只+ ，r + ) ，妒( z ，z ) ，矽( z ，t ) c ( a q r + ，r + ) 一4 一 第2 章一类时滞双曲微分方程的振动准则 为证明本章的主要结果，需要下面的引理，他们引自文 8 】， 9 1 引理2 1 设y ( t ) r t 次连续可微，且满足条件： y ( t ) 0 ，可( n ( d 0 ，t t o ， 则存在t l t o 及整数f ( 0 ，1 ，2 ，佗) ，佗+ z 为奇数，使得 秒( ( 亡) 0 ，t t l ，i = 0 ，1 ，f ， ( 一1 ) i + l y ( i 0 ，t t 1 ，i = f ，z + 1 ，礼 引理2 2 设y ( t ) 满足引理( 2 1 ) 的条件，且 秒( n - 1 ) ( t ) 可( n ( t ) 0 ，t t o ， 则对任意常数0 ( 0 ，1 ) ，存在t l t o 和常数m 0 ，使得 l y l ( 巩) l m t n - 2 y 舻1 ( ) ，t t l 。 2 2主要结果 按照文 1 0 】，我们引进一类函数，定义 d o = ( ，8 ) ：t 8 芝t o ，d = ( t ，8 ) ：t 8 t o 函数h c ( d ，r ) 称为属于夕类，如果满足下列条件： ( i ) h ( t ，t ) = 0 ，t t o ，h ( t ，s ) 0 ，( t ，s ) d o ； ( i i ) h ( t ，s ) 在d o 上对第二变量s 的偏导数连续且非正； ( i i i ) 存在h c ( d ，r ) ，使得 - o h i ( t 一, s ) ：h ( t ，s ) 网，( z ，s ) d 0 口s 定理2 3 设h ，h ( c ，冗) ，使得日为汐类函数，若 n m s u p 赤肛娜) 一丽冲= o 。 其中 皿( ) = q ( t ，) ( 1 一九( t ) ) 出( ) + p ( ) 1 一九( t ) ) 】 q ( t ，) = m i n q ( z ，t ，) z q 则方程( 2 1 ) 的一切解在g 内振动 ( c 1 ) 黑龙江大学硕士学位论文 证明设u ( x ，t ) 为方程( 2 1 ) 的非振动解，不失一般性，设 u ( z ，t ) 0 ，u ( z ，t r ) 0 ，u ( z ，仃( t ) ) 0 ，( z ，t ) qxp 1 ，) 乱 z ，g ( t ，f ) 】 0 ，( z ，t ，) q t l ，0 0 ) x a ，6 】，t l 0 对方程( 2 1 ) 在g 上积分，我们有 瓤巾势亡) i 叫x , t - t t 删训伽州) 如 一q p ( z ，t ) “( z ，t ) 如一zz 6 g ( z ) 乱 z ，9 ( ，钏如( ) 如 ( 2 2 ) 利用g r e e n 公式，我们得到 z 酬卅以) ) = z q r u d s 。 ( 2 3 ) 由j e n s e n 不等式，我们得到 三6q ( z ，) u z ，9 ( ，) 】d 盯( ) d z = z 6 三口( 亡，z ，) 让 z ，9 ( t ，) 】d z d 盯( ) 6q ( ，) zu 【z ，夕( ，) 】d z d 盯( ) 小“) 丽1 肛顽亡，5 ) d x l q i d a ( 5 ) 其中 令 i q i = 上妣亡独 即) = 丽1 上出如， ( 2 4 ) ( 2 5 ) 联合( 2 2 ) - ( 2 5 ) ，产生 知) + 塾帅刊俐哪小“嘲斌) 】排) v ( t ) 0 ，y ”( ) 0 ，t t l( 2 8 ) 一6 一 第2 章一类时滞双曲微分方程的振动准则 由此可知 由( 2 7 ) ，( 2 8 ) 和( 2 9 ) ，我们有 管( t ) 0 ，t t 1 y ( t ) = 可( t ) 一a t ( 亡) y ( z 一死) l = l 可( z ) ( 1 一冲) ) ，t t 1 注意到( 风) 及( 8 ) ，我们得到 y g ( t ，) 】y ( t ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 联合( 2 6 ) ，( 2 7 ) ，( 2 1 0 ) 可”( 础 ) + 上q ( 厶9 1 一p ) 】酬。“幻 0 型2 型1 ( 2 1 1 ) 注意到( 2 9 ) 及g 关于t 及非减，上式可以写为 ( n ( t ) + ( t ) y ( 夕( t ，o ) ) 0 t t 2 ( 2 1 2 ) 其中皿( t ) 及q ( t ) 由( c 1 ) ，( c 2 ) 定义 由引理1 ，存在t 3 t 2 和f = 1 ，3 ，5 ，n 一1 ，使得 ! ，( 老) 0 ，t t 3 ，0 k i ( 一1 ) ( 七十。y ( 七) ( t ) 0 ，t2t 3 ，f k 佗 所以 可7 ( t ) 0 ，可( n 一1 ( t ) 0 由引理2 ，我们有 可7 ( 夕( z ，n ) ) m g ( t ，o ) 】n 一2 可( n 一1 ( 夕( ，o ) ) ，t t 4 t 3 令 则 呻，= 珥y ( n - 1 ) ( t ) ( 2 1 3 ) 叭岖拳一一亿均 一7 一 黑龙江大学硕士学位论文 利用引理2 ( 掣) w - 2 ( 抽) y - 1 ( 2 1 5 ) 利用( 2 1 2 ) 和( 2 1 5 ) ，由( 2 1 4 ) 产生 其中 即 吣带 m g ( n 一2 ) 9 讹，a ) w 2 ( 吉) 2 2 一皿( ) 一r ( t ) w 2 ( t ) r ( t ) 一m 2 。n2 、 ，a ) 讹。) ( t ) 一w ( t ) 一r ( t ) w 2 ( t ) 在t t t 4 上积分，我们得到 r 日s ) 皿( s ) 如一r 日 s ) ，( s ) d s f 日( 如) 兄( s ) 2 ( s ) 如 ， c ， = ( t ，丁) ( t ) 一上嘶危( 亡，s ) ( s ) d s 一上h ( t ，s ) 冗( s ) 2 ( s ) 如j t j t 圳归m丁)一，2【厕帅)+揣】2dsd+厂等dt j s = 日( t ，丁) w ( 丁) 一【讧丽面丽w ( s ) + 黑】2s + 等 s ， 么、f t l 5j 1 l o ， 于是，对t t ，我们有 a ( t ，t ) 三【日( t ，s ) 皿( s ) 一笔姜净】d s 日( t ，t ) w ( t ) 则 a ( t 4 ，t ) h ( t ，t 4 ) w ( t 4 ) h ( t ，t o ) l w ( t 4 ) l 由积分的性质及上式，我们得到 a ( t o ，t ) = a ( o ，t 4 ) + a ( t 4 ，t ) 日( t ，o ) qy(s)dspt4+ l ( t 4 ) i ) ，t o 因此 n i ns u p 赤肛( f 忡) 一鬻】d s 石4 喇s + | 川l 。 ( 2 - 1 6 ) n m s u p 高r 鬻揪 仁忉 存在西c ( r + ，r ) ，使得 l i m s u p 赤r 陬如) 帅) 一雨h 2 ( t , s ) 】d s 叩) ( 2 1 8 ) 其中 r t t a i m , 。垂2 + ( s ) 荆d s = ( 2 1 9 ) 其中v ( s ) 由( c 1 ) 定义， 冗( s ) ：i m g n 2 k - s ，。) 夕( s ，n ) 由上述定义，西+ ( 亡) = m a x ( o ( t ) ，0 ) 则方程( 2 1 ) 的一切解在g 内振动 证明设方程( 2 1 ) 存在非振动解钆( z ，t ) ，不妨设 u ( x ，t ) 0 ，( z ，t ) q f t l ，) ，z 1 0 v ( t ) 和y ( t ) 的定义为( 2 5 ) ，( 2 7 ) 则由定理( 2 1 ) 的证明，我们可以得到 可( n ( ) + ( t ) 可( 夕( ，o ) ) 0 ( 2 2 0 ) 其中，皿( z ) 由( e 1 ) 定义 设w ( t ) 的定义为( 2 1 3 ) 则由定理( 2 3 ) 的证明，我们可以得到 f 啪州d s h t m ? ) 一i t t 厕帅) + 揣一s + 净d s 则 h m s u p 赤肛枇，一喘净 黑龙伍大字坝士学位比又 咿) “m i n k i j 厕帅) 十揣】2 d s 由( 2 1 8 ) ，对t t o ，我们有 咿) 刈t i mi n f 可1 1 【厕帅) + 揣即s 由上式，得到不等式 w ( t ) 圣( t ) ( 2 2 1 ) 并且 l i 。m + 。i n f 万毒可 厕w ( s ) + 箩持】2 如w ( ) 一圣( 而) = m l i m i n f 高 蹶帅) + 揣】2 刈mi n f 高阮s 刚叭s ) + 互1 侮丽) 帅) 】d s ( 2 2 2 ) 定义 q = 赢阮邶( s ) 酽( s ) 幽 即) = 志丢厕球，s ) 帅) d s 则( 2 2 2 ) 可写成 l i r a i n f a ( t ) + 移( 亡) 】 0 ，存在墨t o ，使得 f 晔帆) d s 等t 2 丑 第2 章 一类时滞双曲微分方程的振动准则 因此，对t 正，我们得到 ) = 志脚) d 【脚) w 2 ( 州让】。( 。) 2 而高厶日( 如) d 【厶兄( 让) 钆) d 让】 由( 2 2 6 ) ，我们有 ：志t 肚型兄( 礼) w 2 ( 饥) d 钆】d s 一日( 亡，o ) 厶。o s 儿厶“p 叫p 。 芳高肛百o h ( t , s ) 】d s = 荔黜 ( 2 2 7 ) 因此，存在t 2 瓦，使得 联合( 2 2 7 ) ，( 2 2 8 ) ，我们有 丽h ( t 而, t 1 ) 叩 z 死 a ( 亡) p t t 2 由于舢是任意常数，我们得到 j i ma ( ) = o o - + o o 考虑一个数列 k ) 名。( t o ，o o ) 使得 且 l i n m 。i 。n f a ( t n ) + 多( t n ) 】= l i 卜r a ，。i n f l o w ( t ) + 芦( t ) 】n _ o 。_ 由( 2 2 3 ) ，我们得到存在一个自然数，使得 a ( t n ) 十p ( z n ) m ， n n 其中m 由上述定义，由( 2 ，2 9 ) ，我们有 因此，由( 2 3 0 ) 产生 l i m 乜( 如) = n o o l i r ab ( t n ) = 一 n ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 黑龙江大学硕士学位论文 联合( 2 3 0 ) 和( 2 3 1 ) 存在一个足够大的礼和常数( 0 ，1 ) ，使得 掣+ 1 q ( k ) 一一 因此，对于足够大的n 器 。 ( 2 3 2 ) 联合( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) ，有 l i m a 觚( t n l ) r 一, 如) = 阢) = 莉【e 丢何丽”) 阶) d s 】2 e 赢胁踯帆凇s c 高e 帮删 纠e 志e 帮酬 因此，当n 足够大时，我们得到 黜0 4 t 丢志t oe 帮4 r ( s d s n ) 。4 日( n ，) 氏) 注意到( 2 3 3 ) ，我们有 熙去e 掣拈 熙志帮拈o o 上式与( 2 1 7 ) 矛盾，故( 2 2 5 ) 不成立，因而( 2 2 4 ) 成立 最后，由( 2 2 1 ) 及( 2 2 4 ) ，我们得到 l i ms u p 垂；( s ) r ( s ) d s l i ms u p w 2 ( s ) r ( s ) d s 0 考虑边界条件； 等州州) 乱= 0 ，( 刈) a q 耐 其中n 为0 f t 上的单位外法向量，弘为非负连续函数 最近文 2 】建立了下列边值问题 嘉m 州) + 邢) 钆( x , t - - t ) 】- ) 出一m ) m k ) 】) ， ( z ，t ) q r 十三g 和边界条件 骞+ p ( 州) 珏= o ，( 州) a q 聪 ( b ) ( e 1 ) ( b 1 ) 黑龙江大学硕士学位论文 的振动准则显然，方程( e ) 是( e ) 的特例本章目的是建立边值问题( e ) ，( b ) 的振动准则 3 2 主要结果 我们同样引进一类汐函数，定义 d o = ( ，s ) ：t s t o ，d = ( 亡，8 ) ：t 8 t o 函数h c ( d ，r ) 称为属于夕类，如果满足下列条件： ( i ) h ( t ，t ) = 0 ，t t o ，h ( t ，s ) 0 ，( t ，s ) d o ； ( i i ) h ( t ，s ) 在d o 上对第二变量8 的偏导数连续且非正； ( i i i ) 存在h c ( d ，r ) ，使得 - o h i ( t 一, s ) ：h ( t ，s ) 厕，( 风 口s 定理3 1 设h ，h c ( d ，r ) ，使得h 为汐类函数，若 h m s u p 南肛蝴，一高等= 其中 妒( t ) = k q ( t ，) ( 1 一p g ( t ，) 】) d 盯( 专) q ( t ，) = m 也口( z ，t ，) ( c 2 ) 则边值问题( e ) ，( b ) 的一切解在g 内振动 证明设边值问题( e ) ，( b ) 在g 内存在非振动解u ( z ，z ) ，不妨设u ( x ，t ) 0 ， 铭( 。，t 一丁) 0 ，锃( z ，巧( t ) ) 0 ，( z ，t ) q 【t l ，) ，让p ，g ( 亡，专) 】 0 ， ( z ，t ) q 【t l ，c o ) 【a ，b 】t l 0 对方程( e ) 关于z 在q 上积分，我们有 杀 上出如例上让( x , t - r 捌 = 扣吃a u ( ：c , p k 一“咖 甜舢( z ，钏如 ( 3 1 ) 利用g r e e n 公式，我们得到 上撕删出= z n 嘉拈z # u d s 。 2 ， 第3 章高阶非线性中立型偏泛函微分方程的振动性 其中d s 是凹回执2 上的回积兀素 由j e n s e n 不等式，我们得到 。6 口( z ，) ，( 让 z ，9 ( 亡，) 】) d 口( ) d z = 6z 口( z ，z ，) ，( u 【z ，夕( t ，) 】) d z d 仃( ) f fq ( 斌) ，( 高z u k 如，钏i q ( )( 3 - 3 ) 其中，l q = 厶d x ，t t l 令 呻) = 去丘l 出如 ( 3 4 ) 联合( 3 一( 3 4 ) ，注意到条件鼍竽k o ，我们有 而o nm ) 呻叫】+ k 6 ，她剑酬) 。 ( 3 5 ) 令 y ( t ) = v ( t ) + p ( t ) v ( t 一7 - ) ( 3 6 ) 则 可( 亡) y ( z ) 0 ，可”( z ) 0 ，t t 1 ( 3 7 ) 由此可知 秒7 ( t ) 0 ，t t 1( 3 8 ) 由( 3 6 ) ，( 3 7 ) 和( 3 8 ) ，我们有 v ( t ) = y ( t ) p ( t ) v ( t 一7 - ) 可( t ) ( 1 一p ( ) ) ，t t l 联合( 3 5 ) ，( 3 6 ) ，( 3 9 ) ，我们有 ，o 可( n ( t ) + k q ( t ，专) 1 一p ( g ( t ，) ) 】可( 9 ( z ，) ) 如( ) 0 ， l ，o 注意到( 3 8 ) 及g 关于非减，上式可写为： 可( z ) + 妒( ) 秒( 夕( t ，o ) ) 0 ，t t 2 其中，妒( z ) 由( c - ) 定义 由引理1 ，存在t 3 t 2 和z = 1 ，3 ，5 ，死一1 ，使得 ! ，似) 0 ，t t 3 ，0 后2 ( 3 9 ) t t 2 t 1 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 黑龙江大学硕士学位论文 所以 由引理2 ，我们有 令 则 ( 一1 ) 七+ y ( 七( ) 0 ，t t 3 ，l k 铊 秒( z ) 0 ，可( n 一1 ( t ) 0 y ( 9 ( t ，n ) ) m g ( t ，n ) 】n 一2 秒伽一1 ( 夕( 亡，o ) ) ，t t 4 t 3 叭归酱可【 j 咖等一 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 利用引理2 ( 掣) i m g n - 2 ( 加) 扩地) ( 3 1 4 ) 利用( 2 1 2 ) 和( 2 1 5 ) ，由( 2 1 4 ) 产生 咖掣 m g ( n 一2 ) 9 印，a ) w 2 ( ) 2 2 一( ) 一r ( t ) w 2 ( t ) 其中 冗( ) ：下m g n2 t ，。) 夕俅，n ) ( 3 1 5 ) 即 妒( t ) 一w ( ) 一r ( t ) w 2 0 ) 在t t t 4 上积分，我们得到 f 即 s ) 帅) d s t ，我们有 a ( t ，t ) 三- 【日( 亡，s ) 矽( s ) 一鬻】d s 日( z ，丁) w ( t ) 则 a ( t 4 ，t ) n ( t ，t 4 ) w ( t 4 ) sh ( t ，t o ) l w ( t 4 ) i 由积分的性质及上式，我们得到 a ( t o ，亡) = a ( 亡o ，芒4 ) + a ( 亡4 ，亡) n ( t ，t o ) 妒(s)ds+1w(t,)l，t4) l ，t o 因此 n m s u p 去加批) 一帮( 4 删s 邶陬) l 。 ( 3 1 6 ) i 一 ，) 。 、 黜p 志f 鬻奴。 忉 存在a c ( r + ，冗) ，使得 l i m s u p 高r 陬如) 帅) 一涮h 2 ( t , 】d s a ( 丁) ( 3 1 8 ) 其中 t l i m ， t 。4 刖d s = ( 3 1 9 ) 其中矽( s ) 由( c 1 ) 定义，r ( s ) 由( 3 1 5 ) 定义，a + ( t ) = m a x ( a ( t ) ，0 ) 则问题 ( e ) ，( b ) 的一切解在内振动 黑龙江大学硕士学位论文 证明设l 司题【e ) ，( b ) 存在非振动解让( z ，t ) ，不妨设“( z ，t ) 0 ， ( z ，t ) q t l ，。) ，t 1 0 对方程( e ) 关于x 在q 上积分，我们有 。舻t n 上钍( z 瑚如+ p ( d 上钍( x , t - r ) d 劫 = 擎上酬蚴一z 小2 怎硝z 麒斌) 】) 蚓如 ( 3 2 。) 利用g r e e n 公式，我们得到 z 她硝州如= 厶知一厶脚s 。 ( 3 2 1 ) 其中d s 是曲面o n 上的面积元素 由j e n s e n 不等式，我们得到 。正z 6g ( z ，t ，f ) 厂( 乱 z ，夕( t ，) 】) d 盯( ) d z = z 6 上口( z ，t ，) ，( 札【z ，夕( t ，荨) 】) d z d 盯( ) z 6q ( ，) ，( 高上乱p ，9 ( 亡，剑如) 吲如( ) ( 3 - 2 2 ) 其中，i q i = 矗d x ，t t l 令 忡) = 击丘i 札( 州) 如 ( 3 2 3 ) 联合( 3 2 0 ) 一( 3 2 3 ) ，注意到条件巡k 0 ，我们有 即 p s “v y ( ) + p ( 2 ) y ( 一7 ) 】+ k 上她洲9 ( 删办( f ) o ( 3 倒 令 y ( t ) = v ( t ) + p ( t ) y ( z 一丁)( 3 2 5 ) 则 可( ) y ( t ) 0 ，秒”( ) 0 ，t t 1( 3 2 6 ) 由此可知 y ( t ) 0 ，t t l( 3 2 7 ) 由( 3 2 5 ) ，( 3 2 6 1 和( 3 2 7 ) ，我们有 v ( t ) = y ( t ) 一p ( t ) v ( t 一丁) 第3 章高阶非线性中立型偏泛函微分方程的振动性 秒( z ) ( 1 一p ( ) ) ， ( 3 2 8 ) 联合( 3 2 4 ) ，( 3 2 5 ) ，( 3 2 8 ) ，我们有 p d 可( n ( z ) + k q ( z ，) 1 一p ( g ( t ，f ) ) 】y ( 夕( t ，) ) d 盯( ) 0 ，t t 2 t l ( 3 2 9 ) ，8 注意到( 3 8 ) 及g 关于非减，上式可写为： 耖( n ( t ) + 矽( ) 可( 夕( z ，o ) ) 0 ，t t 2 ( 3 3 0 ) 其中，矽( t ) 由( c 1 ) 定义以下证明类似于定理2 4 我们略去 黑龙江大学硕士学位论文 第4 章非线性二阶阻尼微分方程的振动结果 4 1 引言 考虑非线性二阶阻尼微分方程 ( r ( t ) 矽( z ( t ) ) 9 ( z ( t ) ) ) 4 + p ( t ) g ( x ( t ) ) + 口( 亡) ，( z ( t ) ) = 0 ，t t o ( e ) 其中r ，p ，口c ( ，r ) i = t o ，o 。) ，t o 0 ，矽，g c ( r ，r ) 本章总假设下列条件成立； ( a 1 )r ( t ) 0 ，q ( t ) 0 ，p ( t ) 可微，t t o ； ( a 2 ) 0 0 ，x f ( x o ) ，z o ； ( a 4 )夕2 ( ) m y g ( y ) ，y 0 ，m 0 我们仅考虑方程( e ) 的非平凡解，它对充分大的t 有定义，( e ) 的解称为振动的， 如果它有任意大的零点否则称它为非振动的 本章目的是导出方程( e ) 的新的振动准则，我们的结果推广和改进了文 3 卜 5 】中 的相应结果 4 2 主要结果 定理4 1 设d = ( ，8 ) ：t s2t o ，日c ( d ，冗) ，满足下列三个条件： 【1 ) h 【t ，t ) = 0 ，t t o ，爿( t ，s ) 0 ，t 8 之t o ； ( i i )日( z ，s ) 在d 上对第二变量8 的偏导数连续且非正； ( i i i ) 存在h c ( d ，r ) ，使得 一掣叫和) 侮丽，独 若存在p c 1 ( ，r + ) ，r + = ( 0