（基础数学专业论文）三元边界奇点在rh等价下的分类及识别.pdf

摘要 众所周知，分类问题是奇点理论中的非常重要而棘手的问题由于原 点处的光滑函数芽所形成的空间。是无限维实向量空间，对函数芽进行 分类，一个基本想法是运用n a k a y a m a 引理，将无限维简化为有限维来处 理将光滑函数芽用他们的t a y l o r 多项式来代替，因此人们自然会猜想： 对足够好的函数芽，通过取导网，它有可能与它的某一t a y l o r 多项式等价 这样一来，对函数芽分类可以归结为由多项式组成的有限维向量空间中 的分类问题这项工作前人已经得到了很多关于低余维分类的的结果 t h o r n 给出了余维数不大于5 的光滑函数芽的分类运用接触等价一 个充分必要条件，m a r t i ng o l u b i t s k y 给出了在接触等价下一个状态变量一 个分歧参数，余维数不大于4 的分歧问题的分类a r n o l d ，v i 给出了简单 边界奇点在右等价下的分类王伟研究了右等价下二元边界奇点的识别 条件任耀庆给出了右等价下，余维数不大于4 的二元边界奇点的完整分 类及识别 本文运用n a k a y a m a 引理得到了历备一等价一个充分必要条件，给出了 在右等价群下，余维数不大于3 的三元边界奇点的分类及相应的识别条 件 关键词：右等价；分类；识别；边界奇点 a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tt h ec l a s s i f f i c a t i o ni so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tb u tv e r y d i f f i c u l tp r o b l e m si ns i n g u l a r i t y s i n c et h ed i n m n s i o no ft h es p a c e nc o n s i s t i n go f s m o o t hf u n c t i o ng e r m sa tt h eo r i g i np o i n ti si n f i n i t e ，ab a s i ci d e ai st or e d u c et h e c a s eo fi n f i n i t ed i m e n s i o nt ot h a to ff i n i t ed i m e n s i o nb yu s i n go ft h en a k a y a m a l e m m a ，s u b s t i t u t e dt h es m o o t hf u n c t i o ng e r m sb yt h e i rt a y l o rp o l y n o m i a l s s oi t i sn a t u r a lt og u e s st h a taf u n c t i o ng e r mg o o de n o u g hm a yb ee q u i v a l e n tt oi t ss o m e t a y l o rp o l y n o m i a lt h r o u g hm a k i n gt h e i rj e t t h u st h et h ec l a s s i f f i c a t i o no ff u n c t i o n g e r m si sr e d u c e dt ot h a to ft h ef i n i t ed i m e n s i o n a lv e c t o rs p a c eo fp o l y n o m i a l s f o r t h i s ，t h e r eh a v eb e e nm a n yr e s u l t su n d e rl o wc o - d i m e n s i o n s 。 t h o r ng i v e st h ec l a s s i f f i c a t i o no fs m o o t hf u n c t i o ng e r m su pt oc o d i m e n s i o n5 b y u s i n gas u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o no ft h ec o n t a c te q u i v a l e n c e ，m a r t i ng o l - u b i t s k yg i v e st h ec l a s s i f i c a t i o no fb i f u r c a t i o np r o b l e m sw i t ho n es t a t ev a r i a b l ea n d o n eb i f u r c a t i o np a r a m e t e ru pt oc o d i m e u s i o n5u n d e rt h ec o n t a c te q u i v a l e n tg r o u p a r n o l d ，v ig i v e st h ec l a s s i f i c a t i o no fs i m p l eb o u n d a r ys i n g u l a r i t i e su n d e rr i g h te q u i v - a l e n c e w a n gw e is t u d i e st h er e c o g n i t i o nc o n d i t i o nu n d e rf i g h te q u i v a l e n c eg r o u p r e ny a o q i n gg i v e st h ec l a s s i f i c a t i o na n dr e c o g n i t i o no fb o u n d a r ys i n g u l a r i t i e sw i t h t w ov a r i a b l e su n d e rr i g h te q u i v a l e n c e ，u pt oc o - d i m e n s i o n4 as u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o no f 瓣一e q u i v a l e n c ei sg o tb yu s i n gn a k a y a m a a n dt h ec l a s s i f i c a t i o na n dr e c o g n i t i o no fb o u n d a r ys i n g u l a r i t i e sw i t ht h r e ev a r i a b l e u n d e rr i g h te q u i v a l e n c eg r o u pu pt oc o - d i m e n s i o n3a r eg i v e n k e y w o r d s ：r i g h te q u i v a l e n c e ；c l a s s i f i c a t i o n ；r e c o g n i t i o n ；b o u n d a r ys i n g u l a r i t i e s i i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本 声明的法律结果由本人承担 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留，使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本 人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编人有关数据库进行检索， 可以采用影印，缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在 年解密后适用本授权书 2 、不保密瓯 ( 请在以上相应方框内打“ ”) 作者猕蝴芳 导师签名：郗癌艺 日期：纠年月j 日 f ii 1 1 ：唧年6 月r 日 三元边界奇点在一等价下的分类及识别 1 引言 1 9 5 6 年m i l n o rj 证明了7 维球面上存在“怪异”的微分结构他构造 出拓扑同胚但不微分同胚的两个7 维光滑流形，这正是由于它们中存在奇 点这一结果导致现代微分拓扑学的迅速发展，形成了今天称为“奇点理 论”的数学分支 奇点理论的发展最早有2 0 世纪3 0 年代m o r s eh m 的临界点理论， 4 0 年代w h i t n e y , h 的与微分流形嵌入和浸入有关的奇点工作后来又有 t h o mr a r n o l dv i m a t h e rj 等的介入，奇点理论得到蓬勃发展 在奇点理论中，研究低余维奇点的分类与识别是一个非常活跃的课 题( 见文献【1 1 j 1 4 】【1 5 】 1 8 】 2 3 【2 4 】【3 2 】) 在奇点理论中由于等价关系的不同，可 以得到不同的分类结果文献 1 4 】中给出了简单边界奇点在绋一等价下 的分类结果，为简单奇点是指，在充分小的邻域内，只含有有限个彼此 不等价的芽简单边界奇点可以分为以下几类： ( 1 ) a k = 入士z 缸 1 ，k 1 ， ( 2 ) 瞰= 士z 2 + a 七，k 2 ， ( 3 ) g = a z 士z 七，k 3 ， ( 4 ) 只= 士入2 + z 3 运用n a k a y a m a 引理，对芽取导网运算，将光滑函数芽用他们的t a y l o r 多项式来代替，这样将无穷维问题化为有限维来处理文献【1 1 1 5 1 s 3 2 】 中给出了：中在右等价下余维数不大于5 的函数芽的分类，文献 2 5 】给 出了余秩为7 的可微函数芽的分类文献【2 3 】给出了余维数大于5 小于8 的可微函数芽的分类文献 3 中给出了纺备一等价下关于内蕴理想的命 题，及h 砧且h 是多项式芽关于有限余维的等价条件文献 1 】给出了 纺；r 一等价下，余维数不大于4 的二元边界奇点的完整分类及识别本文运 用刀备一等价的充分必要条件及n a k a y a m a 引理，对芽取导网运算，将光 1 硕士学位论文 滑函数芽用它们的t a y l o r 多项式来代替，这样将无穷维问题化为有限维 来处理，给出三元边界奇点在编一等价下的分类及相应的识别条件 一2 一 三元边界奇点在编一等价下的分类及识别 基本概念和基本术语 c o 。函数在0 时处的函数芽组成的集合记为。，兹为其极大理想， 由坐标函数芽，x n 生成三元函数芽g 构成的集合记为岛，舭，岛，掣，。有 极大理想编，简记为 记酞n = r p x r q x r 中的点坐标为( x ，y ，z ) = ( z 1 ，x 2 ，昂，y l ，y q ，z 1 ，磊) ， 设( h ，0 ) 是瞅中包含原点的二维光滑子流形芽，特别的，取h = ( z ，y ，名) 1 名= o ) 若g 岛，舭满足g ( o ，0 ，0 ) = 鲰( o ，0 ，0 ) = g v ( 0 ，0 ，0 ) = 玑( o ，0 ，0 ) = 0 ，则( 0 ，0 ，0 ) 为g 的奇点若g 还满足9 i 圩= 0 ，即夕( z ，y ，0 ) = 0 ，则称g 为一个三元边界 奇点问题如肌： 是由，( z ，y ，z ) = z 在g - 列，：中生成的理想易见所有 三元边界奇点问题g 构成的集合为岛幽： 劈= 圣i 圣为( r 3 ，0 ) 中的微分同胚芽 ， 么珞= 圣留i 圣( z ，y ，z ) = ( ( i h ( x ，y ，z ) ，q ) 2 ( x ，y ，z ) ，垂3 ( z ，y ，名) ) ，西3 ( z ，y ，0 ) = o ) 容易验证。绍是勿的子群 v 妒， 妒。西( z ，y ，z ) = 妒( 圣1 ( z ，y ，名) ，西2 ( z ，y ，z ) ，q ) 3 ( x ，y ，2 ) ) ， 妒。西( z ，y ，0 ) = 妒( 垂l ( z ，y ，o ) ，q ) 2 ( x ，y ，o ) ，0 ) = 0 ， 的为三元边界奇点，西铭，则 go 圣( 毛y ，0 ) = g ( q ) l ( x ，y ，o ) ，西2 ( z ，y ，o ) ，0 ) = 0 因此与g 右等价的函数芽仍为三元边界奇点问题 定义2 1 设g ，h 岛，舭，如果存在中，使得g = ho 圣则称g 和 h 是一等价的简记为g h 容易验证右等价关系是三元边界奇点问题所构成的函数芽集合中是 一个等价关系 一3 硕士学位论文 g 的彭绉一轨道岛= h l h g ，h 肌： 下面讨论轨道岛在g 处 的切空间，仿有限维流形在一点处切空间的定义，取 币。) 为瓣中过单位 元的一条“曲线 ，则 go 西) 是轨道编g 中的一条曲线 挫d t l t - o = 如( 圣) i 担o o 一l t t - o + 野( 圣t ) i t _ 0 0 挑d ) 2 tj ：o + 夕：( 垂) i 括。警f t _ o = 如( 。，y ，z ) 等i t = o + 砌( z ，y ，z ) 鲁b + g z ( x ，y ，名) 鲁b 又圣t ( o ，0 ，0 ) = 0 ，蛾( z ，y ，0 ) = 0 ，所以 鲁山( o ，0 ，0 ) = 0 ， 鲁i 扛o ( o ，0 ，0 ) = 0 ， ( 2 1 ) 旦| t = 0 ( z ，y ，0 ) = 0 ， 于是鲁| = o ，- 舯w 2 -旎肌：，且警i = 0 ： 因此定义轨道绑g 在g 处的切空间为 t ( g ) = d - f = ，掣声 + 霉，名 =霉，y ，名 + z ，y ，： 2e x , y ，z 在奇点理论中的一个非常有意义的课题是一个奇点问题在什么条件 下等价于给定的标准形式，因此必须寻找这一标准型在等价群瓣作用下 的轨道特征，借助于奇点理论中的有限决定性，这一问题可以约化为有限 维来处理可以将轨道描述为这样一些函数芽组成，他们的t a y l o r 系数满 足有限多个等式和不等式来约束，而这一描述正是识别问题的解 例如：g 纱( z 3 一a x ) 当且仅当 g ( o ，0 ) = k ( o ，o ) = 9 。( o ，o ) = 9 a ( o ，0 ) = o ，9 。( o ，0 ) g a 。( o ，0 ) o ，( 2 2 ) ( 2 2 ) 式为z 3 一a z 的识别条件 设j 是的理想，如果商空间e i 是有限维实向量空间，则j 叫做 e 。中余维有限的理想在这种情形中将n ，的维数定义为j 在e 。中的余 维数，记为c o d i m i 一4 一 三元边界奇点在历备一等价下的分类及识别 定义2 2 设9 岛舢： 若岛，舭 t ( g ) 为有限维实向量 空间，称g 是有限余维的实向量空间岛肋： t ( 9 ) 的维数称为9 在 岛，舭 中的余维数，记为c o d i m g 5 。 三元边界奇点在编一等价下的分类及识别 3 主要结果和证明 3 1 主要结果 定理3 1 若9 ( x ，y ，z ) 岛，舭 且t ( g ) 在岛肌。 中的余维数 标准形式余维数识别条件 夕( z ，y ，0 ) = 0 ， g l ( x ，y ，z ) = z 0 舷( o ，0 ，0 ) o ( 非奇点) g ( x ，y ，0 ) = g ：( 0 ，0 ，0 ) = 0 ， 9 2 ( x ，y ，z ) = z z 1 夕。( o ，0 ，o ) ，夕。掣( o ，0 ，o ) 不同时为0 夕( z ，y ，0 ) = 夕：( o ，0 ，0 ) = 9 3 ( x ，y ，z ) = z ( z + z 2 + y 2 ) 3 玑。( o ，0 ，0 ) = 玑”( o ，0 ，0 ) = 0 ， 仉。( o ，0 ，o ) 玑删( o ，0 ，0 ) 一g 一2 。簟( 0 ，0 ，0 ) 0 夕( z ，y ，0 ) = 夕：( o ，0 ，0 ) = 9 4 ( x ，y ，z ) = z ( z + x 2 一y 2 ) 3 玑。( o ，0 ，0 ) = 玑| ，( o ，0 ，0 ) = 0 ， 统z z ( o ，0 ，o ) g 删( o ，0 ，0 ) 一珐( o ，0 ，0 ) 0 ，使得川 e 当t o = 0 时， 一11 硕士学位论文 取r ( 0 ，s ) ，当t o = 1 时，取7 ( 一e ，o ) ，当t o ( 0 ，1 ) ，取r ( 一，) 由已知条件知， t ( h + r i o ) = t ( g + ( t o + r ) p ) = t ( g ) = t ( 九) ， 于是当r ( 豫，o ) ，t ( h + r p ) = t ( 九) ，由此可得h + r p h ，h = g + t o p 因 此，当t ( t o e ，t o + ) ，g + t p g + t o p 故当t o 取遍 0 ，1 】时，开区间集 ( 一g ，t o + ) l t o 【0 ，1 1 覆盖【0 ，1 】，因为 0 ，1 】是紧致的，所以存在有限个 开区间覆盖了【o ，1 】，所以根据等价关系的传递性可知， g + t p g ，t 【0 ，i i 证毕 引理3 5 设g 岛热石 是有限余维的且余维数大于0 ，则存在自 然数z 1 ，使得g 可表示为 g = 名f 九+ 克】，= 名l 忽+ 七j ， 其中h g 刎且h 关于z ，y 是( z 一1 ) 阶平坦的，k e x ，舭 证因为g 岛肌； ，所以存在，岛，舭使g ( x ，y ，z ) = z s ( x ，y ，z ) ，则 吼 ，y ，z ) = l ( x ，y ，名) + z l 0 ，y ，名) 又玑( o ，0 ，0 ) = s ( o ，0 ，0 ) = 0 ，故，磁肌：令 七( z ，y ，z ) = ，( z ，y ，z ) 一厂( z ，y ，o ) ，h ( x ，y ) = ，( z ，y ，o ) ，v ( x ，y ) ( 1 1 跫2 ，o ) ， 易见，七( z ，可，z ) 岛肌。 ，且危( z ，可) 旎， 下面证明存在自然数1 1 ，使得h 以，剪是z 一1 阶平坦的 令 w = t ( g ) = 岛，可，z + 岛，掣，： 19 因为 所以， t ( g ) 因此， 令 9 ( z ，y ，z ) = z f ( x ，y ，z ) ， 啦= z l ，g y = z h ，g z = ，+ z l ， 如，舭 + 岛，舭 ，舭 ( + ，舭 ) e 嚣，； 0 z l 。，譬| z ，z | 。茁| h 1 罄l 。，z l 。，f 七z l z ) 霉。材，： t ( g ) = 。，掣声7 1 ( 厂) 1 t f 、 = z m 。z 4 3 , 证考察g 的切空间的特点，即考虑 噩( 危) = 。，”， g ( x ，剪，z ) = z f ( x ，y ，z ) = z ( h ( x ，y ) + z q ( x ，y ，名) ) ， h ( x ，y ) 是l 一1 阶平坦的，即 l 1 ，h 刎 f ( x ，y ，z ) = h ( x ，y ) + z q ( x ，y ，z ) ， 厶= h z + z q x ，矗= h + z q y ，厶= z + q ( x ，y ，名) ， z 厶= z k + x z q 卅，掣+ 彳辔呈，名， y a = y h z + y z q x 刎，材+ 磁舭， z f = z h 霉+ z 2 z ，玑： ， z a = z h l ，+ z 2 如，z ， z 厶= x h 剪十x z q j , 卅，l ，+ 磁舭， 秒厶= 九掣+ y z ，”+ 彳经声， ，+ z 五= h + 2 z q + z 2 如 ， 所以丑( ，) 在岛，”中的余维数掣故t ( 9 ) 的余维数掣，即( 1 ) 成立 ( 2 ) 当l = 1 时，则h ( x ，y ) = 也( o ) z + b ( o ) 秒+ ，k ( o ) ，h y ( o ) 不同时为0 1 5 硕士学位论文 ，( z ，y ，z ) = z ( o ) z + ( o ) + h x = ( o ) z 2 + 2 h 。| ，( 0 ) z + h u u ( o ) y 2 + + z q ( o ) + z z q 茁( o ) + z y q 妙( o ) + z 2 q 。( o ) + ， 厶( z ，y ，名) = 。( 0 ) + 2 x h 。( 0 ) + 2 y h z ! ，( o ) + z q = ( o ) + ， 厶( z ，y ，石) = h y ( o ) + 2 x h 。( o ) + 2 y h 鲫( o ) + z q ! ，( o ) + ， z 厶 ，y ，2 ) = x h 霉( o ) + 2 x 2 h 。善( o ) + 2 x y h 筝( o ) + x z q 。( o ) + ， y f x ( z ，y ，z ) = y h 。( o ) + 2 x y h 。茁( o ) + 2 y 2 h 。( o ) + z y q 。( o ) + ， z l ( z ，y ，z ) = z h z ( o ) + 2 z x h z z ( o ) + 2 z y h z 耖( o ) + z 2 q 茁( o ) + ， z 厶0 ，y ，z ) = x h 掣( o ) + 2 x 2 h 。! ，( 0 ) + 2 x y h | ，l ，( o ) + 2 x z q l , ( o ) + ， 秽厶( z ，y ，z ) = y h 掣( o ) + 2 x y h 。( 0 ) + 2 y 2 危| ，l ，( o ) + 2 y z q ”( o ) + ， z 厶( z ，y ，z ) = z h ”( o ) + 2 x z h 。矽( o ) + 2 z y h 私l ，( o ) + 2 2 2 锄( o ) + ， ，( z ，y ，z ) + z l ( x ，y ，z ) = x h = ( 0 ) + y h 掣( o ) + z 2 h 。霉( o ) + 2 x y h z ( o ) + 2 h 材可( o ) + z q ( o ) + z z q 。( o ) + z y q , ( o ) + z 2 q ：( o ) + z q ( o ) + x z q 。( o ) + z ( 0 ) + 2 2 2 ( 0 ) + 容易验证霸( ，) c 兹胁。，下面要证旎肌；c 五( n 由n a k a y a m a 引理， 只要证以舢：c7 1 ( ) + 镌舭，为此，只要丑( ，) 的生成元截去二次及其以 上的项，用的生成元表示列成表1 表1 ： 当k ( o ) ，h u ( o ) 不同时为0 时，不论q ( o ) 是否为0 ，表l 中元素构成矩阵 1 6 三元边界奇点在勿备一等价下的分类及识别 的秩均为3 ，即z ，y ，z 可以表示成t l ( f ) 的生成元的形式，故有 磁，舭ct i ( f ) + 磁舭， 从而有旎舢。ct l ( f ) ，由此得t l ( f ) = 旎， ，又磁幽：在岛，舭的余维数 是1 故c o d i m g = c o d i m t l ( f ) = 1 ( 3 ) 当z 2 ，口( o ) 0 时，c o d i m g 堑2 唑 f ( x ，y ，z ) = h ( x ，y ) + z q ( o ) + z x q 。( o ) + z y q a o ) z 2 啦( o ) + ， 厶= h 。+ z q 。( o ) + ， 厶= h 可+ z ( 0 ) + ， 丘= g ( o ) 十x q 。( o ) + ， 容易验证t l ( f ) c 岛肌。，而 岛肌：在，舭中的余维数 业2 丑 ( 4 ) 当l = 2 ，q ( o ) = 0 时，与h ( x ，y ) = x 2 也善( o ) + 2 x y h = ( o ) + y 2 h | ，z ，( o ) + 有关 q ( x ，y ，名) = z q 霉( o ) + y q u ( o ) + z q = ( o ) + ， ，( z ，y ，z ) = h ( x ，y ) + z q ( x ，y ，z ) = x 2 k 茁( 0 ) + 2 x y h 。暂( 0 ) + y 2 h 鲫( o ) + x z q 。( o ) + y z q 3 , ( o ) + z 2 q ：( o ) + ， 厶( z ，y ，z ) = 2 x k 。( o ) + 2 y k j ，( o ) + z q z ( o ) + ， 厶( z ，y ，z ) = 2 x h z 掣( 0 ) + 2 y 鲫( o ) + z ( o ) + ， l ( x ，y ，z ) = x q = ( o ) + y q y ( o ) + 2 z q 。( o ) + ， z 厶( z ，y ，z ) = 2 x 2 h 。( o ) + 2 x y h 。| ( o ) + z z q 。( o ) + ， y l ( z ，y ，名) = 2 x y h 。( o ) + 2 y 2 h 。剪( o ) + z y q = ( o ) + ， z 厶( z ，y ，z ) = 2 z x h 。( 0 ) + 2 z y h 。( o ) 十z 2 q 。( o ) + ， z f ”( x ，y ，z ) = 2 x 2 h z 掣( 0 ) + 2 x y h 鲫( o ) + z z q y ( o ) + ， 矽厶( z ，y ，z ) = 2 x y h = 可( o ) + 2 y 2 h | ，”( o ) + y z q 剪( o ) + ， 17 硕士学位论文 z 厶( z ，y ，z ) = 2 x z h 。! ，( o ) + 2 z y h ( o ) + z 2 q y ( o ) + ， ( x ，y ，z ) + z 厶( z ，y ，z ) = x 2 h 霉。( o ) + 2 x y h 。耖( o ) + y 2 h 鲥( o ) + 2 x z q 。( 0 ) + 2 y z q 可( o ) + 3 2 2 吼( o ) + ， 显然，五( ，) c 镌舭，于是， c o d i m g = c o d i m f c o d i m 形2 z , 可，= = 4 当z = 2 ，q ( o ) 0 时， h ( x ，y ，名) = x 2 h 善。( o ) + 2 x y h z v ( o ) + y 2 h | ，y ( o ) + ， q ( x ，y ，z ) = q ( o ) + z q 。( o ) + y q 掣( o ) + z q ：( o ) + ， ，( z ，y ，z ) = h ( x ，分) + 孑g ( z ，y ，z ) = z q ( o ) + x 2 k 。( 0 ) + 2 x y h 霉耖( o ) + 影2 h 封可( o ) + z z ( o ) + y z q 掣( o ) + z 2 q ：( o ) + ， 厶 ，y ，z ) = 2 x h 霉。( o ) + 2 y h z | f ( o ) + z a 。( o ) + ， 厶( z ，y ，z ) = 2 x h 。掣( 0 ) + 2 y h v j ，( o ) + z q 搿( o ) + ， 厶x ，y ，z ) = q ( o ) + x q 。( o ) + ( o ) + 2 z q 。( o ) + ， z 厶( z ，y ，z ) = 2 x 2 h 霉z ( o ) + 2 x y h 。l ，( o ) + x z q 。( o ) + ， y 厶( z ，y ，z ) = 2 x y h z $ ( o ) + 2 y 2 h 。( o ) + 名秒啦( o ) + ， z 厶( z ，y ，z ) = 2 z x h 。茁( 0 ) +