（工程力学专业论文）基于突变理论的重力坝稳定性分析.pdf

摘要 沿建基面的失稳是重力坝的主要的破坏模式之一，无论从提高工程运行的效益出发， 还是从降低工程失事的风险、减小工程失事的损失考虑，对重力坝的安全性评价都是至关 重要的。 本文研究重力坝沿建基面的抗滑稳定安全性。首先比较分析传统方法的优点与缺点， 然后说明用突变理论研究的目的与意义。 接着根据混凝土重力坝的特点，建立了一个考虑裂隙介质应变软化的尖点突变模型， 并对混凝土重力坝沿建基面滑动的机理进行了分析。 对一个典型重力坝沿建基面的抗滑稳定问题用数值方法进行了分析，以期得出计算不 收敛时所关心的各从变量的值。为了消除评价过程中的人为性，进而采用突变理对结构破 坏过程中变形能的变化进行了具体分析，并对将变形能作为状态量结合突变理论分析结构 安全性的意义以及需要注意的问题做了一些阐述。 为了对重力坝沿建基面的抗滑稳定安全性进行度量，反映结构破坏是“从无序向有序” 不断演化这一过程，考虑了应变能密度的分布对结构安全性的反映，引用熵的理论进行了 分析。 关键词：非线性有限单元法；重力坝；抗滑稳定安全性；尖点突变理论；熵 a b s t r a c t 1 1 1 s 切b i l i t ) r0 f a 刚毋d 锄a l o n gi t sb a s es f a c ei so n eo f t h em 旬o rf a i l u r em o d e s sa 的 酬谢i o ni sv e d ri i i 驴r t a n tf o rb o mt l l ep 删e c tb e n e f i ta l l dr i s k 锄dl o s sr e d u c t i o no fap 喇e c t n e 觚t i s l i d i n gs 讪i l 蛔o fm ed 锄a l o n gi t sb a s e s l l r f a c ei ss t u d i e di nt i l i sp a p e r f i 础y t 1 1 em e r i t s 锄dd e m 丽t so f 讹d i t i o i l a lm e m o da r ec 0 m p a r e d 砒l da n a l y z e d ，t l l e nt h eo 场e c t i v ea n d s i 嘶f i c 觚c eo fc 魂随r o p h e 也e o 巧i s 谢d u c e d f i r s t l y ，a c c o r d 协gt 0c h a r a c t e ro fc o i l l c r e t e 铲a v i t ) ，妇，ac u s pc a t 嬲臼o p h e m o d e lo f c o i l a d e t e 剿时d 锄s l i d i n ga l o n g 也ec o n t a c ts u 抵eb 潮e e nd a i l l 勰df o u l l d a t i o n i s e 虹b l i s h e dc o n s i d e r i i 玛s t m i l ls o n 砌n ga | l dw a t e rp e 瑚e a t i i l gs o r e i l i n gc k 哦蛾e r so fn l ea a c k s l i d i i l gm e c h a l l i s mo fc o n c r e t eg m v i t yd a i ni s 砌y z e d ，n l e nt 0o 妇s l a v cv a r i 曲l ev a l u e sa tn 0c o n v e 马萨n c ep o i n t ，n l es 讪i l 埘o fa 帅i c a l 眇l v 时d a i i la g a i n s ts l i d i n ga l o n gi t sb a s es 耐i a c ei ss t u d i e d 诵t l l 咖m e r i c a lm 甜l o d f 1 j r t h e rm o r c ，c h a l l g e so f 鼬陷i ne n e 礓yd l l r i n gt h e 筋l u r ec o u r s eo f 舭t u r e sa r ea n a l y z e d 谢mm u t a t i o n 血e o 观t oe l i m i n a t et h ea r t i 丘c i a lf a c t o r s t h eb e n e f i t s 锄ds o m ep r o b l e i l l ss h o u l d b en o t i c e da r cp o i n t e do u t i nt h ee n d ，t 0e v a l l i a t e l ed e g ，e eo fs e c 耐锣o fs t m c t u r e s ，r e f l e c tt h ef 撕l u r ec o i u s ei sf i r o m d i s o r d e rt 0o m e r ，m er e n e c t i o no fs t r a i ne n c 嘲，d e i l s 时i sc o n s i d e r e d ，m ee 蛐的p yi su s e di n a n a l v s i s k e y w o r d s ：n o n - l i n e a r f i i l i t ee l e i n e n t m e t h o d ；g r a v i t yd 锄；s t a _ b i l i t ya n t i s l i d i l 玛；c 磷 p 诳t a s 仃o p h en l e o 巧；e n t r o p y 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同事对本研究所做 的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。如不实，本人负全 部责任。 论文作者( 签名) ：醢：盘 m 年多月，夕日 学位论文使用授权说明： 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊( 光 盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或电子文档，可以 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文 的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅。论文 全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权河海大学研究生院办理。 论文作者( 签名) ：醯蕉 h o 孑年6 月厂7 日 河海大学硕士学位论文 1 1 研究背景及意义 第一章绪论 历来人们都在不断地治理水患、建设水利工程，而重力坝【l 】是人类最早使用的一种水 坝坝型，其历史可以追溯到公元前2 9 0 0 年的一座高1 5 米顶长2 4 0 米的诞生在埃及尼罗河 的挡水坝，据历史记载这就是历史上第一座重力坝。从此，重力坝一直使用至今，且仍是 当今世界水坝中的主要组成部分。概括说来，重力坝具有以下一些优点： ( 1 ) 相对安全可靠，耐久性好，抵抗渗漏、洪水漫溢、地震和战争破坏能力比较强； ( 2 ) 坝体抗冲能力好，坝体中可布置引水、泄水孔口，解决发电、泄洪和施式导流等问 题； ( 3 ) 断面形状简单，结构作用明确，施工方便，安全可靠； ( 4 ) 对不同的地形和地质条件适应性强，任何形状河谷都能修建重力坝，对地基条件要 求相对不高； ( 5 ) 有丰富的设计建设经验，工作可靠，使用年限长，施工放样、扩建、维护简章。设 计、施工技术简单，易于机械化施工，适合于在各种气候条件下修建。 综上所述，重力坝以其悠久的历史、稳重的外观、简单的结构、可靠的运行历来博得 工程界人士的厚爱。爱者，必使其蓬勃也。近代以来重力坝家族家丁旺盛，在世界各地都 能见其踪影，为人类造福绵绵。 我国建国初期，全国兴起了修建水库、水电站的热潮【引。据统计从1 9 4 9 1 9 8 5 年间， 已建成重力坝达5 8 座，占总数的5 1 。近二十年以来，国家加快了水利水电尤其大型水利 水电开发的速度，同时加大了开发的力度。实行改革开放以后，已具更大规模开发和利用 水资源的条件，如在建的三峡和龙滩重力坝等都是世界一流的大型水利工程。由于设计理 论和施工技术的提高，重力坝建设速度加快，规模增大，2 0 0 米以上的高坝不断出现。 这些水利工程的兴建为人类带来诸多裨益，全国水库在历年的防洪抗洪中都发挥了不 可替代的作用。大坝成为祖国河山坚强的卫士，引导温顺祥和之水，驯服桀骜不驯之水， 造福人类，功不可没。 而这些工程在造福区域人民的同时也潜在地威胁着人们的生命财产安全。由于大坝是 挡水建筑物【3 】，除坝体自重外，还承受很大的水平推力和扬压力，存在向下游滑动的危险 第一章绪论 性，而重力坝的稳定性全靠坝体自重来维持，当作用在坝体上的全部荷载对坝基任意可能 滑动面的滑动力( 即对该滑动面的切向分量) 大于其阻滑力时，坝基就要发生剪切破坏或 滑动，对大坝安全造成很大的威胁。 因此，无论从提高工程运行的效益出发，还是从降低工程失事的风险、减小工程失事 的损失考虑，对重力坝的安全性的评价都是至关重要的。 1 2 国内外研究现状及存在的问题 1 2 1 重力坝沿建基面滑动失稳的原因及方式 混凝土重力坝沿建基面的滑动是一种典型的失稳方式，主要可能有下面的原因造成： ( 1 ) 坝踵或坝基浅部的岩体在外界荷载的作用下不断产生裂隙并不断扩展，当材料强度 降低至某一临界值时，即可能引起大坝沿建基面的突然滑动； ( 2 ) 由于外界荷载的突然增大，例如地震、暴雨等突发性强干扰作用，在瞬间超过了建 基面或浅部岩体的抗剪强度而导致坝体滑动【1 1 。 而其沿建基面破坏有两种形式1 6 j ( 图1 1 ) ：沿水平坝基面抗滑稳定和沿倾斜坝基面抗 滑稳定。 ( a ) 沿水平坝基面抗滑稳定( b ) 沿倾斜坝基面抗滑稳定 图1 1 重力坝沿坝基面抗滑稳定计算示意图 重力坝沿建基面的失稳破坏机理是：在坝踵处基岩和胶结面出现局部区域的剪切屈 服，进而屈服范围逐渐增大并向上游延伸，最后形成滑动通道，导致大坝整体失稳。 2 河海大学硕士学位论文 1 2 2 沿建基面稳定性分析的方法综述 水利工程中的主要建筑物如大坝、边坡等，都是大体积结构，它们在三个方向的尺寸 相差不大，是典型的三维问题。在各种荷载及约束下应力状态及变形状态都比较复杂，不 会出现象细长压杆、薄板和薄壳等结构的分叉点失稳或跳跃失稳这些弹性范围内的失稳现 象。它们的破坏属于强度因素引起的失稳，是极值点失稳，必须考虑材料的塑性屈服或开 裂。古往今来，无论是哪一类工程，安全性都受到了工程技术人员和科研工作者的极大关 注，并对这些结构的安全性进行了大量的研究，由于各个时期所具备的条件不同，研究的 内容也逐步由简单走向复杂，研究的方法逐步由近似趋向比较精确。 上个世纪六十年代中期以前，工程界主要采用结构力学或材料力学方法分析结构的应 力、变形和安全性。对简单问题，可用解析法求解；对复杂问题，往往基于经验，采用工 程类比的方法。对重力坝抗滑问题，多采用刚体极限平衡法；将重力坝作为悬臂梁，采用 材料力学方法求解。 研究重力坝抗滑稳定安全度主要有下面几种方法【6 1 0 】：刚体极限平衡法、变形体方法、 地质力学模型试验、非确定性方法。 ( 1 ) 刚体极限平衡法 刚体极限平衡法是一种传统的，较成熟的稳定性分析方法，也是规范规定采用的方法。 刚体极限平衡法的基本思想是：假定岩土体的破坏是由于滑动面上发生滑动而造成的，滑 动面上土体服从破坏条件，假设滑动面已知，其形状可以是平面、圆弧面、对数螺旋面或 其他不规则曲面，通过考虑由滑动面形成的隔离体的静力平衡，确定沿这一滑动面发生滑 动时的破坏荷载。具体方法是将有滑动趋势范围内的边坡岩体按照某种规则划分为一个个 小块体，通过块体的平衡建立整个边坡的平衡方程。 这是物理概念最清楚、应用最简单的一种方法。它是通过比较抗滑力与滑动力，来判 定稳定性的。 对于重力坝表层抗滑稳定检验，国内外均按下述两种原则进行，其公式为： 抗剪断摩擦公式： 后：笪丝 ( 1 1 ) z 抗剪强度公式： 七：等 ( 1 2 ) 第一章绪论 其中见f 为抗滑稳定安全系数，为垂直于滑动面的有效法向应力，丁为滑动方向的 滑动力，彳为计算滑裂面的面积，厂为基岩摩擦系数，厂为基岩纯摩擦系数。 刚体极限平衡法的优点在于计算简单，意义比较明确，有多年的经验，为广大工程技术 人员所熟悉，且规范内有与方法配套的容许安全系数。但也有其不可忽视的局限性。第一， 只考虑了系统的平衡条件，没有考虑变形协调条件和材料的本构关系；第二，滑移面一般 应事先给定，而且只有当滑移面为平面或者圆弧面时，计算结果才比较合理和唯一；第三， 因求解时须采用诸多假定，对一些地质条件特殊复杂的工程可能忽略了某些控制因素，期 间较多的人为因素也大大降低了计算的精度，对复杂重要工程这显然不够，需进入变形体 力学范畴最终核验抗滑稳定。 ( 2 ) 变形体方法 变形体方法是应用数值分析方法，确定系统的位移场和应力场，按照位移和应力的情 况，定性分析系统的稳定性和定量给出其整体稳定安全度。 数值方法6 0 年代引入稳定性分析中。它包括有限元法、边界元法、离散元法、块体 元法n 1 1 及混合法等。数值方法能从较大范围考虑介质的复杂性，全面地分析应力应变状态， 有助于对结构的变形和破坏机理的认识，对极限平衡方法有很大的改进和补充。随着计算 机的飞速发展，以及岩土力学基本理论水平的不断提高，以有限单元法为代表的数值计算 方法越来越成为工程设计中一种新的较有力的方法。且最近在混凝土重力坝设计规范 ( d l 5 1 0 8 1 9 9 9 ) 中增加有限元计算和坝基深层抗滑稳定等新技术内容，对复杂地基重力 坝的稳定性需进行有限元分析有了明确规定，从而使坝基深层抗滑稳定分析工作更为科学 更为符合实际情况【1 2 】。 有限单元法是把连续体或研究区域离散化为有限个单元的集合体来进行研究的。采用 有限元法分析重力坝深层抗滑稳定时，可以将坝体和一部分基岩作为一个整体进行计算， 分析中可以得到关注部位，如坝踵、基岩，尤其是基岩内部软弱夹层的应力应变规律与分 布，比较直观地观察到危险部位及破坏规律，为结构设计提供理论及数值依据，为合理的 坝基处理措施提供技术依据。 有限元法虽然对坝基安全性有了较深入的刻画和研究，但在最危险滑移路径的确定方 面，尚显无能为力。界面元【1 3 1 分析作为一门新兴的数值方法可以直接求得单元交界面上的 正应力和剪应力，进而可以方便地求得总的下滑力及总的阻滑力，进而求得任意给定的可 能滑动面安全系数。这一优点使得最危险滑移面的确定成为可能：在坝基稳定性有限元分 析成果基础上，拟定多条滑移路径，用界面元法进行静动力分析，从而定量分析最危险滑 4 河海大学硕士学位论文 移路径。 用变形体方法定量分析重力坝的整体稳定安全度常采用下面两种计算方法【8 3 】： 直接法在正常情况( 正常荷载、正常参数) 下，计算系统的位移场和应力场，由 以下的极限平衡公式直接计算 k ：! 挚生竺竺( 1 3 ) kc o s 触 式中，口和分别为该点运动方向和剪力方法与整体滑移方向之间的夹角。 间接法采用超载或强度储备的方法，使系统进入极限平衡状态，超载或强度改变 的倍数即为稳定安全度。 变形体方法的优点在于稳定性分析建立在仿真分析应力应变的基础上，得到的位 移场和应力场满足全部的基本方程和边界条件，使稳定性分析具有正确的基础。特别是间 接法，不必事先给出滑移面，而是在分析的过程通过自动搜索来确定，因而能够解决复杂 的工程问题。不足之处是直接法一般只适用于滑移面为平面或圆弧圆面的简单问题；而间 接法需要可以用来判定极限平衡状态的失稳判据。由于目前对于三维问题，还没有统一的、 为力学界和工程界共同认可的失稳判据，而根据不同失稳判据得到的稳定安全度一般是不 同的，这就给稳定安全度的确定带来困难，因此必须从理论上对这一问题进行研究。 ( 3 ) 水工结构模型试验方法 水工结构模型破坏试验，早在5 0 年前就已经开展，试验结果能给人以更直观的概念 和感受，以便从全局上把握岩体工程整体力学特征、变形趋势和稳定性特点，以及各地质 体与水工建筑物之间的相互关系，其次，也可以通过物理模型试验，对各种数值分析结果 进行一定程度上的验证，而不必等到工程施工以后，这无疑对大型或超大型岩体结构工程 研究和设计是有重大意义的【1 4 1 。过去一般按模型的破坏成因分析，相应地提出两种不同的 试验方法，即超载法【1 5 】与强度储备法。也有专家认为，对坝体而言，由于库水的存在，除 了前两种方法外，还应有第三种破坏试验方法，即超载与强度储备相结合的综合法。不论 何种结构模型破坏试验方法，都是分析结构物或地基的破坏形态及破坏机理，借以评价坝 体及地基的承载能力或安全度，从而对改进坝体结构设计及对地基的薄弱部位进行加固处 理提供依据1 6 1 。此法对试验条件要求高，费用较大，但精确度较低。 ( 4 ) 非确定方法 不确定性方法在结构稳定性分析中的出现约在7 0 年代初，一方面是由于一些新理论 和方法如可靠度理论、模糊数学、灰色预系统、分形几何，人工智能【1 7 】等的出现，另一方 第一章绪论 面是由于在边坡工程设计和分析中涉及有大量不确定性因素越来越被人们认识到，如岩体 性质，荷载等物理方面的不确定性取样、试验的统计不确定性，计算模型的不确定性和人 为过失造成的不确定性等这些不确定性造成的影响尽管可以通过提高岩石性状表观判断 上的随机性和模糊性，而且不可能无限度提高单项试验的精度、规模和完善确定性计算方 法【l 引。因此用较简单的测试手段，对岩石工程进行大量的信息采集，应用和发展各种随机 理论和方法，以提高边坡工程质量状况判断的精度，就显得十分必要。 其中应用最广泛的主要是可靠度方法【1 7 、1 9 2 0 】。种方法的基本思想是基于各种数据资料 的统计分析，求得概率参数，用可靠度理论求得结构的可靠度指标，以取代安全系数。现 行规范【2 l 】提出的极限状态设计方法就是以可靠度理论为基础，充分考虑了计算参数的变异 性，以抗力函数大于作用函数为标准来判断结构的安全度。这种方法迫使人们放弃原规范 【2 2 】安全系数稳定分析方法，其目的在于回避安全系数，为推行极限状态设计和可靠度分析 创造条件。但可靠度方法仍然不能深入研究重力坝深层抗滑稳定性问题内在机理，并且目 前还缺乏一个统一的可接受风险水平阀值，极少发生概率的事件往往容易被忽视，而这极 有可能产生严重后果。灰色预测系统法【2 0 _ l 是将结构视为一个灰色系统，根据影响结构稳定 性的不确定性因素之间发展状态的相似或相异程度，来衡量各因素间的关联程度，确定它 们对结构稳定性影响的主次关系，从而对结构的稳定性进行分析。灰色理论法应用于外延 明确，内涵不明确的对象，按研究对象的发展趋势进行分析，总的来说是一种定性的分析 方法缺少精确的定量分析，这在实际工程中是远远不够的，因此应与其它方法结合使用。 分形几何法【l8 】的优点是可由研究对象的自相似性对分辨率进行提高和降低，既可由大尺度 趋势复原小尺度趋势，又可由小尺度趋势复原大尺度趋势，但是，分形几何的应用必须在 无特征尺度区内，而且如果没有足够的经验，分数维所包含的信息将难以挖掘，因此应考 虑将分数维与各种方法综合应用。 总体来说，刚体极限平衡法在长期的工程应用中积累了丰富的经验，并有明确的安全 判别标准，因此目前仍然是坝基抗滑稳定分析最主要的方法之一。但由于种种缺陷该方法 在应用上受到了限制。物理模拟方法具有成熟的相似理论基础，且能直观、自动的模拟包 括坝体和基础在内的整个系统在特定加载路径下，从弹性、弹塑性直至破坏失稳的发生发 展全过程，有着数值模拟所不能替代的独特优势，不确定方法也有诸多优势，但都有各种 缺陷，最好要多种方法综合考虑。 有限元法作为一种理论上较为成熟且被广泛应用的分析方法，它考虑了岩体本身的变 形和本构关系，并可详细给出基础应力声场、位移场和破损区大小及其变化过程，但在临 6 河海大学硕士学位论文 界失稳状态及稳定安全系数的判别上不尽完善。不连续变形分析方法( 界面元法) 虽有理 论严密、精度高、且可模拟从破坏发生直至破坏后整个过程的优点，然而目前还未完全被 工程界接受，其应用的普遍性还有待于进一步论证。 1 2 3 突变理论在研究重力坝稳定分析中的应用现状 突变理论是研究系统状态随外界控制变量连续改变而发生不连续变化的数学理论团】。 堤坝工程建设是国民经济发展中一个非常重要的环节，堤坝的崩溃往往给人民生命财产安 全和环境带来极严重的危害，而堤坝的破坏往往具有突发性，因此对大坝进行突变机理的 分析具有重要的理论和实际意义【2 4 2 5 1 。 1 9 9 8 年，河海大学顾冲时【2 明等研究了利用突变理论分析大坝及岩基稳定性的基本原 理，提出了利用尖点突变模型分析大坝和岩基稳定状况的判据及计算模型。由实例分析表 明，其成果与有限元法分析和模型试验结果一致。 1 9 9 8 年，邓跃进2 跚等人基于大坝变形失稳的简化力学模型，考虑裂隙的非线性应变软 化和渗水软化，根据突变理论推导了大坝变形失稳的尖点突变模型，并利用该模型对大坝 变形失稳的机理和力学条件进行了分析，从整体上深化了对大坝变形失稳机制的认识。 2 0 0 4 年，刘健【3 0 】等人从系统的观点出发，将大坝视为一个由状态变量和控制变量组成 的非线性动力系统，基于大坝沿建基面位移的简化力学模型，从系统势函数出发，推导出 混凝土重力坝沿建基面滑动的尖点突变模型。据此分析了大坝滑动的机理和力学条件，并 计算了系统突变时的临界位移值和临界外力。 2 0 0 6 年，薛新华【3 1 】等以尖点型突变模型为例，对大坝的稳定性进行了描述，并以裂缝 开度时效分量的变化为依据建立了大坝失稳的尖点突变模型，并对大坝失稳机理做了简要 的分析。 突变模型在物理、地质、水文等学科己取得了较好的效果，许多学者应用突变理论研 究了活动断层的发震机制一3 堋，还研究了渗水、远场位移和刚度比等因素对地震孕育和发 生的影响。此外，突变理论在岩体破坏h 7 。4 9 】、洞室和边坡失稳【5 0 - 5 q 等方面的研究中也得到 应用。但在工程建筑，尤其是用于大坝的安全分析还很少，而就大坝及岩基的结构突变、 失稳、破坏等本身就是一种典型的突变现象。因为突变理论内容很丰富，突变模式较多， 对于多元的复杂的突变模式，目前在应用上还存在许多困难，因而需要进一步在提高模型 的灵敏度、简化应用等环节上作进一步分析研究。随着非线性科学的发展，突变理论在非 线性分析中有了较大的发展，但可以看到，常见的突变模型基本上是基于解析解，并且考 7 第一章绪论 虑的因素较单一【4 0 j ，对于复杂的结构来讲，精确的建模与数值分析必不可少，而如何利用 强大的数值分析能力例如有限元法对系统采用突变理论进行分析有着很好的发展前景。 1 3 本文主要工作和技术路线 针对上述问题，本文将内容重点放在以下几个问题： ( 1 ) 应用突变理论，根据混凝土重力坝的特点，建立了一个考虑裂隙介质应变软化的尖 点突变模型，并对混凝土重力坝沿建基面滑动的机理进行了分析，指出发生突变的必要条 件决定于系统的内部特性，外部因素的影响起触发作用，并根据突变模型给出了系统突变 的时的临界位移值和临界外力。 ( 2 ) 总结了有限元基本理论与分析步骤分析了材料非线性有限元的特点及处理方法。讨 论了a b a q u s 的单元类型，从本文的实际情况出发，坝体、坝基和建基面部分均采用耦 合单元进行了模拟。 ( 3 ) 用突变理论对重力坝的安全性了分析，通过对突变特征值的判断，得到确定的结果。 ( 4 ) 为了对结构的安全度进行度量，反映结构破坏是“从无序向有序 不断演化这一过 程，考虑应变能密度的分布对结构安全状态的反映，引入熵的理论进行了分析，在有限元 分析及突变分析的基础上，将结构的安全程度量化，给出了结构的安全系数。 8 河海大学硕士学位论文 第二章突变理论概述和尖点突变的基本理论 现代科学日新月异，新鲜事物层出不穷，人们称突变理论是鲜花盛开的科学百花园中 的一枝奇葩，它与比利时布鲁塞尔自由大学教授著名化学家普里高津的“耗散结构理 论”，联邦德国斯图加特大学理论物理学家哈肯教授的“协同论”，构成今天的所谓“新 三论”。我们完全相信，随着对突变理论研究工作的不断深入和应用范围的日益扩大，它 将会成为数学中名副其实的新兴分支，而与微积分并光辉。 2 1 突变理论概述 2 1 1 突变理论的产生 许多年来，自然界许多事物的连续的、渐变的、平滑的运动变化过程，都可以用微积 分的方法给以圆满解决。例如，地球绕着太阳旋转，有规律地周而复始地连续不断进行， 使人能及其精确地预测未来的运动状态，这就需要运用经典的微积分来描述。 但是，自然界和社会现象中，还有许多突变和飞跃的过程，飞跃造成的不连续性把系 统的行为空间变成不可微的，微积分就无法解决。例如，水突然沸腾，冰突然融化，火山 爆发，某地突然地震，房屋突然倒塌，病人突然死亡等。 这种由渐变、量变发展为突变、质变的过程，就是突变现象，微积分是不能描述的。 以前科学家在研究这类突变现象时遇到了各式各样的困难，其中主要困难就是缺乏恰当的 数学工具来提供描述它们的数学模型。那么，有没有可能建立一种关于突变现象的一般性 数学理论来描述各种飞跃和不连续过程呢? 这迫使数学家进一步研究描述突变理论的飞 跃过程，研究不连续性现象的数学理论。 1 9 7 2 【3 2 】年法国数学家雷内托姆在结构稳定性和形态发生学一书中，明确地阐明了 突变理论，宣告了突变理论的诞生。突变论是研究客观世界非连续性突然变化现象的一门 新兴学科，自本世纪7 0 年代创立以来，十数年间获得迅速发展和广泛应用，引起了科学 界的重视。被称之为“是牛顿和莱布尼茨发明微积分三百年以来数学上最大的革命。 “突变”一词，法文原意是“灾变 ，是强调变化过程的间断或突然转换的意思【3 引。 突变论的主要特点是用形象而精确的数学模型来描述和预测事物的连续性中断的质变过 程。突变论是一门着重应用的科学，它既可以用在“硬 科学方面，又可以用于“软”科 o 第二章突变理论概述和尖点突变的基本 学方面。当突变论作为一门数学分支时，它是关于奇点的理论，它可以根据势函数而把临 界点分类，并且研究各种临界点附近的非连续现象的特征。突变论与耗散结构论、协同论 一起，在有序与无序的转化机制上，把系统的形成、结构和发展联系起来，成为推动系统 科学发展的重要学科之一。 2 1 2 突变理论的内容 客观世界存在着两种基本不同的变化方式：一种是光滑的、连续不断的变化的，如有 机体的连续生长，地球绕太阳连续不断地旋转、库水位连续上升或下降，坝体内热量缓慢 释放等等。这种光滑连续的渐变现象，在数学上早已经成功地运用微积分的方法得到了圆 满的解决。另一种变化是不连续跳跃，即突变现象，它在自然界中普遍存在，例如，在地 质方面，如地震、泥石流等地质灾害的突然发生，在生态方面，有生物界中某种生物突然 灭绝等。这些突变现象都表现为在短时间内系统状态的变化十分急剧，正是这些不连续变 化对人类的生存带来威胁，这也是突变研究受到人们普遍关注的原因之一。突变现象表现 出的一个共同特点是：外界条件的微变导致系统宏观状态的剧变，这只有在非线性系统才 可能出现。在线性系统中，外界条件的连续变化只能导致系统状态成比例地连续变化，而 非线性系统中，外界条件的连续变化可以导致系统状态不连续的剧变。并且这种突变所造 成的不连续过程，传统的微积分方法是无法描述的。而这类突变过程在自然界是广泛存在 的【3 4 硼。 突变理论就是研究系统的状态随外界控制参数连续改变而发生不连续变化的数学理 论，是研究不连续现象的一门崭新的数学分支。目前，突变理论模型正广泛应用于物理、 工程技术、生理学、医学等方面，突变理论作为数学的背后领域，其基本理论和具体应用 都有进一步发展的广阔天地。 突变理论主要以拓扑学为工具，以结构稳定性理论为基础，提出了一条新的判别突变、 飞跃的原则：在严格控制条件下，如果质变中经历的中间过渡态是稳定的，那么它就是一 个渐变过程。 比如拆一堵墙，如果从上面开始一块块地把砖头拆下来，整个过程就是结构稳定的渐 变过程。如果从底脚开始拆墙，拆到一定程度，就会破坏墙的结构稳定性，墙就会哗啦一 声，倒塌下来。这种结构不稳定性就是突变、飞跃过程。又如社会变革，从封建社会过渡 到资本主义社会，法国大革命采用暴力来实现，而日本的明治维新就是采用一系列改革， 以渐变方式来实现。 1 0 河海大学硕士学位论文 托姆的突变理论，就是用数学工具描述系统状态的飞跃，给出系统处于稳定态的参数 区域，参数变化时，系统状态也随着变化，当参数通过某些特定位置时，状态就会发生突 变。 突变理论提出一系列数学模型，用以解释自然界和社会现象中所发生的不连续的变化 过程，描述各种现象为何从形态的一种形式突然地飞跃到根本不同的另一种形式。如岩石 的破裂，桥梁的断裂，细胞的分裂，胚胎的变异，市场的破坏以及社会结构的激变等等。 按照突变理论，自然界和社会现象中的大量的不连续事件，可以由某些特定的几何形 状来表示。托姆指出，发生在三维空间和一维空间的四个因子控制下的突变，有七种突变 类型：折迭突变、尖点突变、燕尾突变、蝴蝶突变、双曲脐突变、椭圆脐形突变以及抛物 脐形突变。 例如，用大拇指和中指夹持一段有弹性的钢丝，使其向上弯曲，然后再用力压钢丝使 其变形，当达到一定程度时，钢丝会突然向下弯曲，并失去弹性。这就是生活中常见的一 种突变现象，它有两个稳定状态：上弯和下弯，状态由两个参数决定，一个是手指夹持的 力( 水平方向) ，一个是钢丝的压力( 垂直方向) ，可用尖点突变来描述。 尖点突变和蝴蝶突变是几种质态之间能够进行可逆转的模型。自然界还有些过程是不 可逆的，比如死亡是一种突变，活人可以变成死人，反过来却不行。这一类过程可以用折 迭突变、燕尾突变等时函数最高奇次的模型来描述。所以，突变理论是用形象而精确的数 学模型来描述质量互变过程。 英国数学家奇曼教授称突变理论是“数学界的一项智力革命微积分后最重要的发 现”。他还组成一个研究团体，悉心研究，扩展应用。短短几年，论文已有四百多篇，可 成为盛极一时，托姆为此成就而荣获当前国际数学界的最高奖菲尔兹奖。 2 1 3 突变理论的数学描述 考察一维连续动力系统： 鲁钒堋) ( 2 1 ) 其中，厂为光滑的实函数，表示广义力，屈为参数族，f 表示参数的数目。厂由于为 光滑的连续函数，我们可以将广义力表示为广义位势的梯度： 厂：一娑 ( 2 2 ) = 一_ ( 2 - 2 ) 其中y 为广义位势( 势函数) ： 第二章突变理论概述和尖点突变的基本 y = 一肛 ( 2 3 ) 我们知道动力系统( 2 1 ) 式的定态方程为厂= o 。比较式( 2 2 ) 可知，系统的定态对应于位 竺：o 警= 。 ， f o w ：笪j ：o 缸l o ，根据弹性系统稳定性理论，这是一个稳定 的平衡解；当= o ，即满足式( 2 1 1 ) 时，有3 个实根，若x = p = g = o ( 尖点处) ，有一 个三重零根；若矿= 一2 7 9 2 o ( 除尖点外的分叉集左右支) ，三个实根中有两个相同，即 有两个平衡点，其中一个为稳定平衡，另一个是临界平衡；当 0 。在前人的研究中【4 1 ，4 2 】，为了数学处理的方便，一般 令聊= l r ，= r ，= k 。甜p “。 ( 2 1 7 ) 2 3 2 混凝土重力坝沿建基面滑动的尖点突变 如图2 6 所示的系统总势能可表示为5 7 】： y = 辟i 嗉幽+ 圭笔墨2 一砌 亿坳 ? 厅 2、 、 由y = o 可得平衡曲面方程为： 阼警卯 + 铧竺州= o 厅爿 根据平衡曲面的光滑性质，可求得尖点。尖点处矿肿= o ，即： 矿：孚! ( 兰一2 ) p 一( ：o ( 2 2 0 ) 尖点处位移z ，= 甜。= 2 ，即尖点处的位移值恰好等于裂隙处应变软化介质本构关系拐 点处的位移值。 将平衡曲面在尖点处进行t a y l o r 展开，根据1 1 1 0 m 安全截断法则，截取至3 次项1 1 ， 得： 一2 3 + 豇警一， c 挚+ 芤警一等+ = o ( 2 引， 由( 2 2 1 ) 式可以得尖点突变模型的平衡曲面方程的标准形式为： x 3 + 彤+ g = 0( 2 2 2 ) 河海大学硕士学位论文 其中以x 作为状态变量，p 和g 为控制变量。 式中： “一甜l x = o 甜l p = 丢( 善一1 ) g = 丢( 1 + 善一孝刁) f ：g ! 垒二业：鱼! 堡二型巴z ：冬p ： 二 g s t h g s l h k ： f h 刁2 瓦两百 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 式( 2 2 6 ) 中，孝为裂隙带软化本构f h j 线在拐点处的斜率k ：的比。 尖点突变模型的分歧点集方程可表示为： 4 p 3 + 2 7 9 2 = o ( 2 2 8 ) 将式( 2 2 4 ) ，( 2 2 5 ) 代入分歧点集方程得： 2 9 一1 ) 3 + 9 ( 1 + 善一勿) 2 = o ( 2 2 9 ) 式( 2 2 9 ) 即为混凝土重力坝沿建基面滑动的条件判据。 当= 4 p 3 + 2 7 9 2 o 时，方程( 2 2 2 ) 只有一个实根，对应着一个稳定的平衡态，系 统的变形是连续的，不会产生突变；当= 0 时，若p ，g 不同时为零，方程( 2 2 2 ) 有三 个赧其中有两个实根相等社钙喃铀= 抠，分另妣于分歧点集的两条 曲线，此时系统处于两个临界稳定状态，稍有干扰，状态变量就会发生突跳； 0 ，系统的滑动将是连续的，不会发生突变； 0 ，系统先是处于 稳定的连续滑动状态，随着外界作用不断增大，7 7 不断增大，g 不断减小，当控制变量p ， 9 满足条件= 0 时，系统就会跨越分歧点集而发生突变，状态变量x 从平衡曲面的下叶跳 跃至上叶。 根据( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) ，( 2 2 9 ) ，可以确定系统发生突变时的临界位移值为： 厂 云= 1 1 + l ( 2 3 1 ) 由式( 2 2 7 ) ，( 2 2 9 ) 可得系统发生突变时的临界外力为： 万：学陟争毋； 仁3 2 ， 毋、i 。 3 、i 、。 当z 一0 时，f 专o o ，则石= o ，即：当裂隙长度为零时，不会发生沿建基面的滑动破 坏；当，= b 时，孝一0 ，刁一o o ，万专，即：裂隙贯通时，临界位移为无限大。 建立在弹塑性软化本构模型基础上的突变准则到目前还只停留在解析解的基础上，今 后有必要进一步在此基础上进行数值模拟分析，以便能够得到更符合实际情况的模型失稳 规律。本文将结合数值模拟结果，引入突变理论，初步将突变理论与数值方法结合起来研 究一典型重力坝沿建基面的抗滑稳定安全性。 2 4 本章小结 本章应用突变理论，根据混凝土重力坝的特点，建立了一个考虑裂隙介质应变软化的 尖点突变模型，并对混凝土重力坝沿建基面滑动的机理进行了分析。只有o ，系统才有 可能跨越分歧点集发生突变，发生突变的必要条件取决于系统的内部特性，外部因素的影 响起触发作用，弹性介质区的刚度越小，应变软化区本构关系拐点处的刚度越大，越容易 发生突变。同时，给出了系统发生突变时的临界位移值和临界外力。另外，如何准确表示 应变软化介质的本构关系曲线和外部环境的影响还可以进一步进行研究，使模型更加完 善。 2 0 河海大学硕士学位论文 突变理论内容很丰富，突变模式较多，对于多元的复杂的突变模式，目前在应用上还 存在许多困难，因而需要进一步在提高模型的灵敏度、简化应用等环节上作进一步分析研 究。随着非线性科学的发展，突变理论在非线性分析中有了较大的发展，但是，常见的突 变模型基本上是基于解析解，并且考虑的因素较单一，对于复杂的结构来讲，精确的建模 与数值分析必不可少，而如何利用强大的数值分析能力例如有限元法对系统采用突变理论 进行分析有着很好的发展前景。 2 1 第三章非线性有限单元法计算原理及软件应用 第三章非线性有限单元法计算原理及软件应用 有限单元法起源于2 0 世纪5 0 年代在航空工程中飞机结构的矩阵分析，1 9 6 6 年美国的克 拉夫( c l o u g h ) 和伍德沃德( w o o d w a r d ) 首次将有限单元法应用到土坝分析中，自此有限 单元法作为一种理论成熟的数值分析方法，在岩土及水利工程领域发展迅速，并取得了巨 大的成就。本章简单介绍有限单元法的原理及分析步骤、非线性有限元理论，为第四章的 数值分析理论和方法提供依据。 3 1 有限单元法基本原理及分析步骤 有限元分析的基本思想网是将连续的实体离散成为有限大小的构件，由有限多个单元 体所构成的离散化结构代替原来的连续体结构，且任何相邻单元只能在节点处相互连接， 从而使研究对象转换为可以使用计算机计算的数学模型。 一般来说，线弹性问题的有限元分析主要按以下几个步骤进行： ( 1 ) 离散化 离散化就是将要分析的弹性连续体划分为有限多个单元体，并在单元体的指定点设置 节点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，并构成一个单元的集合体以代替原来的 结构。结构被离散化后，可以确定一些进行计算的必要参数，如结点总数和单元总数等控 制参数、单元和结点间的对应关系、由节点坐标及厚度等规定的单元的几何性质、单元的 材料性质参数、边界点约束条件以及荷载情况等。划分的单元大小和数目应根据计算精度 和计算机性能来决定。 连续体离散后，还需要对位移边界进行约束处理，将连续的位移边界条件离散为结点 的位移边界条件。 ( 2 ) 单元分析 一般采用的是位移法，即以各节点位移作为未知量。为了在求出节点位移后能够以此 来表示单元体的位移、应力和应变，必须首先对单元中位移分布做出一定的假设，即假定 位移分量为坐标的某种简单函数，称之为位移模式，根据假设的位移模式来建立单元的各 种性质就成为单元分析。 以四结点等参单元为例。假设结构离散后，单元的结点 2 2 河海大学硕士学位论文 矿= 【，v 1 ，v2 ，蚝，1 ，3 ，地，1 ，4 】 ( 3 1 ) 为得到单元内任一点的位锨甜，力，就需要一个假定的位移模式，假设如下式所示： n = l l 聂2 是3 是4 爱l c 3 力n = i 124 i( 3 2 ) lo l o 2 o 3 o 4j 、 上式称为形函数，此时可得： 厂( “，v ) = n 万。( 3 3 ) 线弹性问题属于小变形问题，因此位移和应变满足弹性力学理论中的几何方程： s = 巧( 3 4 ) 其中：三= a ，、 一u 叙 r 、 a u 砂 aa 叙勿 ，由以上两式得： 占= 剧v 扩= 曰矿 ( 3 5 ) 其中脉为单元的应变矩阵。 然后就可以根据线弹性体的物理方程，由应变求得应力： 盯= d 占= d b 万。= s 万2 ( 3 6 ) 式中s 为应力矩阵，d 为弹性矩阵，仅与材料常数有关。 最后由虚功原理可得出某单元上的节点力与节点