（基础数学专业论文）cp4中的等变弱lagrangian极小3球面.pdf

c p 4 中的等变弱l a g r a n g i a n 极小3 球面 摘要 本文研究s 3 = s u ( 2 ) 到复射影空间c 尸4 中的等变弱 l a g t a n g i a n 极小浸入，给出它的完全分类和解析表达式。 全文共分五部分引言中介绍本文所研究的问题的历史背景， 所用主要方法和本文的主要结果第一节为预备知识，介绍了等变 弱l a g r a n g i a n 极小s 3 的概念，并给出了浸入映射的结构方程第 二节给出了一些基本公式，为后面主要定理的证明作准备第三节 给出了非常曲率的等变弱l a g r a n g i a n 极小s 3 的完全分类和解析表 达式第四节给出了常曲率的等变弱l a g r a r t g i a n 极小s3 的完全分 类和解析表达式 关键词：复射影空间；等变；弱l a g r a n g i a n ；极小子流彤 e q u i v a r i a n tw e a k l yl a g r a n g i a nm i n i m a l s 3 i nc p 4 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h ee q u i v a r i a n tw e a k l yl a g r a n g i a nm i n i m a ls 3 i nc p 4 a r ec o m p l e t e l yc l a s s i f i e da n dt h ea n a l y t i ee x p r e s s i o n so ft h ec o r r e s p o n d i n g i m m e r s i o n ：s 3 斗c | p 4a r eg i v e n t h et h e s i si sd i v i d e di n t os i xs e c t i o n s t h ei n t r o d u c t i o np r e s e n t st h e h i s t o r i c a lb a c k g r o u n do ft h ep r o b l e m ，t h ep r i n c i p a lr e s e a r c hm e t h o da n dt h e m a i nr e s e a r c hr e s u l ta sw e l l t h ef i r s ts e c t i o ni n t r o d u c e s t h ee q u i v a r i a n t s u b m a n i f o l ds 3a n dd o e sar e s e a r c hi n t ot h es t r u c t u r ee q u a t i o n so ft h e e q u i v a r i a n tw e a k l yl a g r a n g i a ns n b m a n i f o l d s 3a st h ep r e l i m i n a r i e sf o r f u r t h e rs t u d y t h es e c o n ds e c t i o np r e s e n t sb a s i cf o r m u l a st h a tg i v e st h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es e c o n d f u n d a m e n t a lf o r ma n dc u l w a t u r e t h et h i r d a n df o r t hs e c t i o n sf i n i s ht h ep r o o f o f t h e o r ya ，a n dg i v et h ec l a s s i f i c a t i o n sa n d a n a l y t i ce x p r e s s i o n sa st h ec u r v a t u r ei sn o n c o n s t a n t t h ef i f t hs e c t i o np r o v e s t h et h e o r yb ，a n dp r e s e n t st h ea n a l y t i ce x p r e s s i o n sw h e nt h ec u r v a t u r ei s c o n s t a n t g r a d u a t es t u d e n t ：z h o u y a n f e i ( p u r em a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db y ：p r o f e s s o rl iz h e n q i k e y w o r d s ：c o m p l e xp r o j e c t i v es p a c e ；e q u i v a r i a n t ；w e a k l yl a g r a n g i a n m i n i m a ls u b m a n i f o l d 2 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解南昌文学有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权南昌大学可以将学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：商硬飞导师签名：器毒雹唠 签字日期：咿f 年6 月j 日签字e t 期：渺年占月je t 黧蕊褥宾默饕剿矽唧；多工作单位：讽吞l 协咚女电备：c 弓7 7 1 ) 7 “。 ) 通讯地址：砖7 霉天孳( 毒幽潲鸹丞) 洲f 圣j 勃毛抽口编：3 ，一叼 c p 4 中的等变弱l a g r a n g i a n 极小3 球面 引言 设妒：m m 是r i e m a n n 流形m 到k t h l e r 流形厨中的等距浸入，q 是厨的 k l i l d e r 形式张量场一伊q = j ，qo ，定义t 3 k h 态 f = j o q p j ：7 m 哼彤， ，j 其中厶= g ( ，似置，体x ，) 若f = 0 ，则称肘是弱l a g r a n g i a n 子流形【4 】以前的文献中， 弱l a g r a n g i a n 子流形被称为全实子流形早在十九世纪六十年代就开始研究k a h l o g 流形的 l a g r a n g i a n 子流形，并取得了丰富的成果陈邦彦在【2 】中对k a m e r 流形中的l a g r a n g i a n 子流 形的几何性质作了综述，l a g r a n g i a n 子流形的存在性和唯一性都已有了很好的结论 当五7 是复射影空间c p ”，m 是s 2 时，jb o r o n 等人对此做了研究【l 】，指出复射影 空间c p 2 中的l a g r a n g i a n 极小子流形必是全测地的 而当时是s 3 时，文【6 】中研究了c p ”中的一类特殊的常曲率极小s3 ，在此文中，作 者将s3 看y & s u ( 2 ) ，并利用s u ( 2 ) 的李群结构，引入等变( e q u i v a r i a n t ) 的定义而且给出 了c p ”中常曲率等变极小子流形的例子 在文 s l e e ，利用文【6 】中关于等变的定义，作者考虑了c p 3 中等变的l a g r a n g i a n 极小 j 3 ，证明了这种子流形要么是全测地的，要么是【3 1 中的“怪球”( e x o t i cs p h e r e ) ；并且给出 了这种浸入妒：s _ c 的解析表达式 本文中考虑 f 是复射影空间c p 4 ， 彳是s 3 时的情况同样，利用s 3 上的李群结构， 我们在本文中研究等变弱l a g r a n g i a n 极小浸入矿：s 3 寸c p 4 ( 定义见第2 节) 自然，我们 假设浸入是完满( f u n ) 的，即伊 3 ) 旺c p 3 ，否则归结为文【5 】的情形把s 3 看作李群s u ( 2 1 ， 应用等变映射的性质，我们证明了下述主要定理 定理a 设妒：s 3 - - + c p 4 是等变弱l a g r a n g i a n 极小浸入若浸入是完满的，且诱导度 量的截面曲率不是常数，则妒( ) 是( 4 的某个全测地的实射影空间r p 4c c p 4 中的极小 等参超曲面，具有3 个互异的主曲率从而矿( 妒) 在h o p f 纤维化下的原象是s 4cr 5 中具 有3 个互异主曲率的极小等参超曲面，浸入妒是刚性的在相差c p 4 的一个全纯等距 a ：( 4 寸c p 4 和j 3 的一个等距的情况下，妒= e o 】：s 3 _ c p 4 ：( o ，w ) p e o ( z ，w ) 】的 解析表达式为 e o = ( 2 r e ( z 3 面+ z 可3 ) ，2 i m ( z 3 市+ z 万3 ) ，r e ( z 3 享一3 2 2 l p 订+ 3 z 矛可2 一w 面3 ) ， i m ( z 3 三一3 2 2 w 面。+ 3 z 勇矿2 一 p 诼。) ，2 4 3i m ( z w ) ( z 三一w 劝 ， 其中【p o 】= 疗oe o ，万：c 5 o ) 一c p 4 是自然投影，( z ，w ) s 3 c c 2 ，厦+ w 万= 1 定理b 设妒：s 3 _ c p 4 是等变弱l a g r a n g i a n 极小浸入若浸入是完满的，且诱导度 量的截面曲率是常数c ，则c = 1 8 在相差c 尸4 的一个全纯等距4 ：c p 4 斗c p 4 和s 3 的 一个等距的情况下，妒= 】：s 3 斗c p 4 ：( z ，w ) h e o ( ：，w ) 】的解析表达式为 ：委g 4 2 也：万：+ 面，2 z3 w + 2 历脚临一。面) 一2 丽， 厄2 w2 4 2 1 ( w 2 面2 4 z w 而+ z2 ；21 + 拈j2 筇2 ， 2 z w 3 2 蛩诟陋一w 访) 一2 i 3 面，w 4 2 一f s i w 2 i2 十手4 ) 1 。等变弱l a g r a n g i a n 极小s 3 本文中我们约定指标的取值范围为 a ，b ，c = l ，2 ，3 ，4 ，f ，k = 1 ，2 ，3 除非特别指出，连加号后对重复指标求和 按照【6 中3 的方法，通过 i d ：s 3 = z ，w ) c 2 i z 2 + w 面= 1 。s u ( 2 ) 把s 3 与s u ( 2 ) 等同在同构的意义下，我们用s u ( 2 ) 表示s3 上左不变向量场的全体构成的 李代数，用s u ( 2 ) 表示s 3 上的左不变1 形式全体的集舍，s u ( 2 ) 的一组基如1 ，面2 ，面 ) 使 得 ( 1 1 )d 面= 2 豇 甄，d 面2 = 2 西面，d 面= 2 面西， 其中恼，西，蟊 是t s 3 的整体标架，由下式所定义 z ， ；匠一鼍甄 = 仁w 黧) l c t w 苫 ，= 仃l 出2 + f 3 一z 脚1 l z d z 设妒：s 3 = s u ( 2 ) 斗c p 4 = u ( 5 ) u ( 1 ) u ( 4 ) 是一个浸入如果存在一个李群同态 e ：s 3 u ( 5 ) ，和一个全纯等距爿：c p4 一c p 4 ，使得p = a 。r l 。e ，则称p 是等变的 ( e q u i v a r i a n t ) 6 ，其中石：u ( 5 ) 一c p 4 = u ( s ) u ( 1 ) u ( 4 ) 是自然投影我们有下面的交 换图 s 3 = s u ( 2 ) _ u ( 5 ) 试j s 3 = s u ( 2 ) ，s u ( 1 ) 马c p 4 = u ( 5 ) ，u ( 1 ) u ( 4 ) 设q 是c p4 的k a h l e r 形式如果妒+ q = 0 ，则称p 是弱l a g r a n g i a n 浸入【4 】在本文中 我们总假设口：s3 + c p 4 是等变弱l a g r a n g i a n 极小浸入 根据文 6 的命题4 2 ，有5 = s 3 c5 的整体酉标架 ，p l ，- ，p 。) 使妒= 月( p 。) = 【】 其中丌：c5 0 ) 寸c p 4 是自然投影且有复值左不变i 一形式o o o ，o o 。，以8 s u ( 2 ) + o c 使 a ， 骺一瓢至怒：和 、lll 订享 z ，l h 叻0 设0 0 = b a ，面，那么b 椰是复常数 将t r 1 , o ) c p 4 t c p 4 等同，则吼o 瓦。= 妒4 ( g + iq ) = 妒g ，其中g 是凹4 的 度量由于l s r 3 是弱l a g r a n g i a n 子流_ 彤，故盯岛o = 一岛d 瓦月= - 2 i c p + q = 0 但岛。是左 不变的，由( 1 1 ) 可知o o o = 0 按定义，s3 上的诱导度量可写为【6 】 ( 1 4 ) d s 2 = 妒+ g = 岛。o 瓦。= z g 斗eo 甄， 其中g 一= b m 6 一是实常数 众所周知正定矩阵( g 业) 可以对角化故可选取5 “( 2 ) + 的基妇；) ，面j = ：，其 中( “。) s o ( 3 ) ，使( g f ) 为对角矩阵容易证明知； 仍满足( 11 ) 式我们不妨设( g 。) 就是 对角矩阵，即 ( 1 5 ) d s 2 = 口；面 面= 也o q ， 其中o j ，= 口西。，日，是正常数，由( 1 4 ) 和( 1 5 ) 得到6 巾瓦= 臼；占斗 于是有 d e 。= 岛。e 。= e _ = 哆e ：， 其中p ：= 口j 1 6 4 p 这样我们有( e 厶彰) = 气，从而可将 ，e j ，p ；，e ； 扩充成5 的酉 标架k 。，e ：，e ；，e 3 ，e ：= 6 。e ，其中b 。6 ：。，b ，。，b 。是一组复常数，满足6 。，瓦。= 0 ，= 1 ，2 ，3 ，钆4 瓦4 = 1 在新标架下，( 1 、3 ) 中的复值1 一形式仍然是左不变的这样我们 就证明了下面的引理 引理1 1 设妒：s3 呻c p 4 为等变弱l a g r a n g i a n 极小浸入在相差( s 3 ，d s2 ) 的一个等距 的意义下，存在s u ( 2 ) + 的一组基 q 和c 5 的整体酉标架，p ，使得诱导度量 d s 2 = q 9 c o , 且有5 的结构方程 ( 】6 ) ( 1 7 ) d e 。=q d e ，= 一+ 色勺+ 翰q ，岛+ z ，= 0 ， d e 。=一虿4 e + 只。 外微分( 1 6 ) 式，得到 抛= ，n 巳， d 吼= 一皑a 吩+ 艮n 吼一p 。n z 。 d p 。= 岛a 巴。+ b 。 吼。， d 幺。= 岔。n 虿。， 0 = 辞4 0 p i 因为六日s u ( 2 ) c ，可设 ( 18 ) o v = 0 9 0 - + f h 。k 嘶， p 。= b ，+ i 或， 其中s u ( 2 ) + ，嘭，b , s ，或是实数由o , s + 矿，= 0 以及( 】7 ) 第5 式可知 ( 1 - 9 ) 棚v2 一0 5 , h ：= h ：，b v = b 茸，= 百， 将( 18 ) 第1 式代入( 17 ) 第1 式，通过比较方程两边的实部和虚部可得到 ( 1 1 0 ) d c o , = ，“哆，= “哆， 嘭， q ：0 这说明a ：关于f ，- ，k 是全对称的由( 1 1 0 ) 第】式可知 ( i i i ) v q = ， 其中v 是t + s3 上的l e v i c i v i t a 联络 文 6 指出，妒是极小的，当且仅当对v a 因为q = 0 ，o o o = 0 ，这就是说， t r ( v c o , + e q ，o q ) = 0 由( 1 8 ) ，( 1 9 ) ，( 1 1 1 ) 可知，上式等价于 ：有t r ( v c o 月一o o o o0 9 月+ ) = 0 v f ， t r 巴。oq = 0 ( 1 1 2 ) 形= = 0 ，v f ， b = 0 ，瓦= 0 因此有巳= 0 又q 。 = 一铅 q 。，故 = 0 从而由( 17 ) ， 0 = d 口。= d 口口= 一目，。n 巧。一a o , 。 如前，有 ( 11 3 ) 以。= 0 2 基本公式 因为甜。= a i 彩。，结合( 1 1 ) 和( 1 1 0 ) ，可设 ( 2 1 ) 国1 2 = c 3 0 9 3 ，o j 2 3 = 。【0 9 t ，鸭l = c 2 2 其中c l ，c 2 c 3 是实数，且有 ( 2 1 ) d q2 一( c 2 + c 3 ，屿n 鸭= 毒qn q ， d c o z = - ( 6 34 - c t 蜘q = 署码慨 d c o s = - - 托幽n q 2 最q n 哆 由a 0 可知 ( 22 ) ( 0 1 + g 2 ) ( c l + c 3 ) ( c 2 + c 3 ) 0 设 巨3 = e b 2 3 ，其中占= 1 将b 1 2 = 0 代入( 31 3 ) ，就有 ( 3 t 8 )日2 = 蛾l ， 峨3 = 一e b ”，b i 3 = 幔3 从而n ( 3 ，1 4 ) ，( 3 1 5 ) n n ( 31 9 )b 1 3 2 + b 2 ，2 = 2 8 1 1 2 ，3 j = 一占( 岛+ 2 c 1 ) 在( 2 1 7 ) 中取i = 1 ，_ ，= 2 ，利用( 3 1 8 ) ，整理后得到 ( 3 2 0 ) j 曰2 3 一向：z b l 3 = 【碥+ e ( c i + 2 c 3 ) 】b l 】 另一方面，由( 2 1 2 ) 可得 鸩2 ( 3 c 3 + c 1 ) = 2 且。马3 = _ 2 岛。b ， 一酢( 3 q + q ) = 一2 蜀1 且，= 一2 船l i 占2 j 因此 ( 32 1 ) 圮占1 3 + ；2 8 2 3 = 0 b k ( 32 0 ) ，( 3 2 1 ) 这两个式子消去_ i i ；2 ，车t l n ( 3 1 9 ) 第一式，得 ( 3 2 2 )2 j b l l = i + ( c l + 2 c 3 ) 】b 2 3 于是由( 3 1 7 ) ，( 3 1 8 ) ，( 3 1 9 ) 1 1 ( 32 2 ) 得到 e ( 7 c f c j ) 岛3 = ( 7 c i c 3 ) 豆3 = 6 向j b f l = 3 h 1 3 1 + 3 占( c f + 2 巳) 】马3 = f ( q + 5 c 3 ) 岛j 即有b = c ，与假设条件矛盾这个矛盾说明情况( b ) ( i v ) 也不可能发生 至此，我们就完成了定理a 前半部分的证明 根据情况( a ) 的讨论我们知道c i = c 2 = 一1 ，c 3 = 由( 2 i ) 可算出a l = a 2 = 2 ， d ，= 4 ，通过改变p 。的符号，可设b 1 2 = 4 5 于是自。= 3 吐，0 2 4 = 3 q ，0 3 。= 0 将 这些数据和( i 13 ) 代入( 1 6 ) ，( 21 ) ( 注意矗：= 0 ，= d ，西) 可将( i6 ) 改写成矩阵的形式 ( 32 3 ) d 0 2 c t l 2 畦 一4 甄 0 z m o 一2 面 一2 魂 2 4 3 赢 2 西4 c 0 3 2 西2 砭 02 五 2五0 2 3 面0 o 2 4 3 赢 2 4 3 c 芬, o 0 p 0 p e 2 e 3 p d 设，x ：，x ， 是 面，砭，鹚) 的对偶标架，再设 ( 3 2 4 ) 甜2 匠+ ，西，= 五，z = 号( 2 一i x 3 ) = 万鲁+ 亨杀， 其中利用t ( 1 ，2 ) 式，见 6 考虑c5 一值函数f = 2 e 2 + i e3 一, 3 ie 4 ( 注意e e h 是整体定 义的) m ( 32 3 ) 可知 ( 32 5 ) d = 4 i 面f + 4 c o ( - e o + i e l ) 故有可= 4 ，秒= 0 因为 厂j 2 = 8 ，根据 6 】引理3 3 ，适当选取c5 的基k ，岛 ，或 等价地，在相差c p 4 的一个全纯等距的情况下， ( 3 2 6 ) f ( z ，w ) = 2 i b 4 e 1 + 2 2 3 w 岛+ 云二2 w 2 毛+ 2 z w 3 矗+ w 一民) ， 并且 ( 32 7 ) z f = q ( p o i e l ) 再由( 3 2 3 ) ，注意十历= 2 西，国一面= 2 i 面，可得 d ( e o i e l ) = 2 i 面l ( e o i e 】) + 西厂一i 0 2 ( 3 e ，+ 品4 ) 因此z 2 ，= 4 i ( 3 e ，+ 五。) 同理，由 d ( 3 e 3 + 4 3 e 4 ) = 6 i c o ( e o + i e i ) 一6 i 面( e o i e l ) 得到 ( 32 8 ) z 3 f = - 2 4 ( e o + i e l ) 由( 3 2 7 ) ，( 3 2 8 ) 解出 ( 3 2 9 ) e o = 一击( z 3 + 6 z f ) 由( 3 2 4 ) ，z f = 一万鲁+ 手嘉) a 币i f l a ( 3 2 6 ) 可算出 ( 3 3 0 ) z f = 4 2 乜z 3 面占l + ( 3 2 2 w 筇一孑3 三) 岛+ 4 9 ( z w 2 面一z 2 w 手) 邑 + ( w 3 订一3 z w 2 手) & 一2 w 3 手占s ) 同理，运次计算z 2 厂，z3 厂，可得 ( 3 30 z f = 一2 4 x 2 ( 2 2 1 t t 3 s l + ( w 谛3 3 师2 ) 2 + 石( 厅2 面一w 暑：万2 ) s ， + ( 3 w i 2 万一z 三) 占4 2 w 23 s e ) 因此 士( 2 ( z 3 订+ z 面3 ) 占i + ( w 面3 3 z 手万2 + 3 z2 ，面一z3 手) 占2 + 6 一丽) ( 俪一z z ) e 3 + ( w 3 万一3 z w 2 手+ 3 坛2 访一露3 ) 毛一2 ( 坩3 + w 3 跳) 选取新的基 e i 2 古( 占1 一f 5 ) ，占；2 责( 占l + f 5 ) ，占；= j ( s 2 + 9 4 ) ，s ：= 了i ( 占2 一4 ) ，s ；= i e 3 ， 就可使博“具有定理a 中的形式 印日如“如 4 定理b 的证明 由定理的条件可知。l = c 2 = q ，从而由( 21 ) 埽【| ( 1 5 ) 得到 ( 41 ) 0 1 2 a 22 日32 士，面= 4 c f j o , ，c ，= 一c ，i = 1 ，2 ，3 设占= ( b o ) ，占= ( 瓦) 由( 1 1 3 ) 可知d 只。= z o , 。巧。= 0 ，即有 ( 或一岛瓦) 哆m 咄= 0 ，1 ，t 这说明b 和b 是可交换的，可以同时对角化存在t = k ) s o ( 3 ) ，使得t b t 和面t7 均 是对角矩阵通过余标架的变换c o , j _ 协= r 。哆) ，( i i ) 仍成立，从而第2 节的基本公 式也都成立我们不妨设在原来的标架中， ( 4 2 ) 色= 0 ，茸= 0 ， v f _ ， 那么( 2 1 1 ) ，( 2 1 3 ) ，( 2 1 7 ) ，( 2 1 9 ) 分别简化为 ( 4 3 ) j = 0 ， v i ， ( 4 4 ) 4 ca 之= b 。1 蔑：一b 2 2 巨。= b 2 ：茸，一b 。豆：= 占。占。一b 骂， ( 45 ) s i g n ( f ，七) 3 正置，= ( 瓦一瓦) 境， ( 4 6 ) s i g n ( 游) 3 拓瓦= ( 一b 。) 磕 利用( 4 1 ) ，( 4 2 ) 9 1 ( 4 3 ) ，从( 2 8 ) 得到 ( 4 7 ) 1 一c = 境碥一曩，一毒，瓦， i ， 由( 4 5 ) 式可知s i g n ( 0 k ) 3 正- ( b 。一日。) = 一3 否n 毳，即i ( 曰“一b 。) = 一s i g n ( j k ) b , ， 之 再代入( 46 ) 式，有3 c 瓦= 瓦 之 之，即 ( 3 c 一碥碗硫= 0 ，v k 同理，e b ( 4 6 ) ，( 4 5 ) 可得 恤一磕碡) b a = 0 ，v k 因为浸入是完满的，和瓦不能全为0 ，因此 志= j 孑如果碥 0 故可设 ( 48 )碡= 压 如同第3 节中一样，通过旋转e 。一p ：= 8 ”口4 ，不妨设巨。= 0 由( 4 6 ) 可知豆2 = 一豆3 0t 否则浸入不是完满的于是由( 4 6 ) ，b 2 2 = 马3 ，蜀1 = - 2 8 2 2 再e h ( 4 5 ) ，( 48 ) 可知 ( 49 ) 一b 2 = b 3 3 = 3b 2 2 = 4 3 马3 0 ，b 1 1 = 一2 8 2 2 在( 47 ) 中取i = 1 ，j = 2 得到1 4 c b 1 1 8 2 = 2 8 2 2 8 2 2 另一方面，由( 4 4 ) ，( 48 ) 年1 t ( 4 9 ) 得到b 2 2 8 2 2 = 2 c 这两个等式说明c = 1 8 ，b 2 2 = - + 0 2 ) 通过选取e ：= p 。可设 b 2 2 = 1 2 这样，我们有 ( 49 ) b ，1 ，最，= b ，= 1 2 ，巨。= 0 ，一b 2 ：= 豆、：扛2 2 现在，根据( 1 8 ) ，( 4 1 ) ，( 48 ) 和( 4 9 ) ，可将( 1 6 ) 改写成下面的矩阵形式 ( 4 1o ) e 1 已2 p p d o 2 压两2 压砭2 压西0、f e 。 一2 2 面02 硒 2 a c 菌22 扼面 一2 2 面22d鹚0 2 磊面 2 j 瓦砭j j 巳 一2 4 2 c 五3 2 酉趣2 蛹0 2 4 2 口豇l | 岛 0 2 x 2 面, 一2 2 a 西一2 3 2 f f 面3 0 八g 。 其中a = f 1 十一3 ) 2 是6 次单位根， ( 41 1 )甜2 = 一瓦， 1 + 口= i f 3 f f ，d + 瓦= 1 如同第3 节中一样，设 x 。，：，z ， 是硒，e ，西 的对偶标架再设 ( 4 1 2 ) 0 9 = 西+ f 西，= x 1 ，z = ( x 2 一i x 3 ) = 一- - w i 3 + z 击 考虑c5 值函数f = 一f 2p l + e 4 利用( 4 1 0 ) ： f l ( 41 1 ) ，直接计算表明 矽= 4 沱i 厂+ 2 x 2 西c o ( e 2 + i f i e 3 ) 故有x f = 4 i f ，z f = 0 ，并且 z f = 2 4 2 瓦( e 2 + f 盈3 ) 因为 f l2 = 4 ，适当选取c 5 的基，可设 ( 4 1 3 )，( z ，w ) = 2 ( z 4 ，2 2 3 w ，盈2 w 2 ，2 z w 3 ，w 4 ) ， 因为脚+ 石= 2 西，面= 2 i 岛，由( 4 1 0 ) 可得 a ( e 2 + f i f e 3 ) = 一2 a 石，+ 2 i 面( e 2 + f i f e 3 ) + i 4 6 a c o ( e o e d ) 故有 z 2 ，= 4 4 3 i ( e o e 4 ) 继续这一过程，可得 z 3 f = 一1 2 2 石( 岛一f 西岛) ，z 4 厂= 2 4 ( e o + f 2 q + e 4 ) 因此 铲丢( 厂一南z 2 ，+ 西1 办) 于是 由( 41 3 ) 可运次计算出 z 2 f ：4 ( 6 z z 而2 ，6 z 而( 而一应) ，否( z 2 j 2 4z 1 厕+ w 2 谛2 ) ， 6 w - ( 亚一w w ) ，6 w 2 j 2 ) ， z 4 f = 4 8 ( _ 4 ，一2 丽3 ，拈i 2 面2 ，一2 i 3 面，尹) e 。2 圭( z 4 2 如z 2 铲+ 万4 ，2 2 3 w + 2 掘莉( z - 一w 霄) 一2 而3 ， 6 2 2 w 2 一2 f w 2 面2 4 z w y 面+ z 2 芽2 ) + 6 手2 面2 ， 2 z w 3 2 3 f w 手( 三手一w 万) 一2 三3 面，w 4 2 - f 3 i w 2 手3 + 手4j 致谢 本文从选题、开题到最终完成的全过程，都得到了导师黎镇墒教 授的悉心指