（运筹学与控制论专业论文）一类广义拟可微函数研究及求解双层规划问题的kkt条件.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文研究一类双层规划问题的k k t 条件，利用广义拟可微函数的研究成果( 广义 f a r k a s 引理) 及关于一类半无限规划问题的研究将一类双层规划优化问题转化为广义拟 可微问题来研究，并推导其问题的k k t 条件及更一般形式的双层规划问题的：t 条件。 完善广义拟可微理论研究。 第1 章介绍了凸集类对空间理论，及基于凸集类对空间理论介绍了广义拟可微函数 的部分微分理论。由凸集类空间扩展的凸集类对空间是凸集类集合在合适的等价条件下 的商空间。其后介绍了凸集类对空间的部分性质。微分理论中首先介绍了广义拟可微函 数的定义，随后主要介绍了逐点极大值和逐点极小值函数的广义拟可微微分。 第2 章介绍广义拟可微优化的最优性条件。在广义拟可微优化的最优性条件中除了 介绍了无约束优化最优解的必要条件与充分条件及约束优化的一个必要条件外，主要介 绍了广义f a r k a s 引理的弱形式和广义f a r k a s 引理，这是下章中一类双层规划问题硒汀 条件推导的理论基础。 第3 章中首先介绍了一类半无限规划问题的部分理论研究成果。然后利用其理论研 究成果并在更严格的限定下，将一类双层规划问题研究转化为一类广义拟可微问题来研 究，并在其后利用上一章介绍的广义f a r k a s 引理推出一类双层规划问题的汀条件。 并且对于此类更一般的双层规划问题也可类似推出其问题的k k t 条件。以此丰富了广 义拟可微理论研究。 关键词：凸集类对空间：广义拟可微函数：双层规划：k k t 条件：广义f a r k a s 引理 一类广义拟可微函数研究及求解双层规划问题的k k t 条件 】5 k s e a r c ho nac l a s so fg e n e r a i i z e d q u a s i _ d i f f e r e n _ | i a b l ef u n c t i o n sa n d s o l v e t h ek k tc o n d i t i o nf o rt w o - l e v e lp r o g 糯m m i n g a b s tr a c t n l i st h e s i ss t u d i e s 也ek k tc o n d “i o nf o rac l 髂so f t w o l e v e lp m g r a i l l m i n g t h et b e o r i e s o fg e n e r a l i z e dq u a s i d i f f e r e n t i a b l e 劬c t i o n s ( m ee x t e n s i o no ff a r k a s1 e m m a ) a n dn l e c o r l c l u s i o n so fs e m i i n n l l i t ep r o g r 踟n m i n ga r eu s e d t o 订a n s f o r i nac l a s so ft v m 一1 e v e l 叩t i i l l i z a t i o np r o 醪珈m i n gt 0g e n e r a l i z c dq u 船i d i f r e r e m i a b l eo p t i i 工l i z a t i o np r o 掣锄m i i l g ，a 1 1 d e d u c e l ek k tc o n d i t i o n t h e nm ek k tc o n d i t i o nf o rm em o r e 窘e n e m lt 、o 一1 e v e l p r o 灯a m 功i n go f t h i sc l a s sa l s oi se d u c e d i nc h a p t e r1 ，m es p a c eo ff 抽i l i e so fp a i ro fc o n v e xs e t si si n 仃o d u c e d ，w h i c hi s t t l e q u o t i e n ts p a c eo ft 1 1 es e to ff 砌l i e so fc o n v e xs e t su n d e rs 1 1 i t a b l ee q u i v a l e n c er e l a t i o n s a 1 s o p a r to ft h ed i 虢r e n t i a lt 1 1 e o r i e so fac l a s so fg e n e r a l i z e dq u a s i d i f f e r e n t i a b l e 铀c t i o n s ，w h i c h b a s e do nt l l em e o r yo ft h es p a c eo f 向：1 1 i l i e so fc o n v e xs e t s i si n n d d u c e d 1 1 1t l l ed i 虢r e i n i a l t h e o r y ，m s t l y ，也e d e f i n i 廿o no fg e n 髓a l i z e dq u a s i - d i 恐r e 曲a b l ei si n 缸d d u c e d ，t h e t 1 1 e d i f f b r c n t i a lc a l c u l u so fp o i n t w i s em a 五m u m 锄dp o i m w i s e1 1 1 i i l i m u m 劬c t i o i l sw 撕c ha r e r e f 蕊d t oa r e t h e k e y p a r t s i nc h 印t e r2 ，t h c 叩t i i n a l 时c o n d i t i o l l sf o rg e n e r a l i z e dq u a s i d i 侬i r e n t i a b l eo p t i i i l i 删i o n p m b l e m s h lm eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n s ，b e s i d e sn e c e s s a r yc o n d i t i o n sa n ds l l f n c i e n tc o n d i t i o n s f - 0 ru n o d l l s t r a i n e do p 恤硎o n s 趾dan e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rc o n s 岫e do p t i m i z a n o n sa r e i n n d d u c e d t h ee x t e n s i o no fw e a k e nf a r k a sl e m m aa n dn l ee x t e n s i o no ff 砌a s1 e m m aa r e i n 廿o d u c e d 嬲吐l ek c y ，w l l i c ha r e 也em e o r e t i c a lb a s i cf o rt l l ed e v e l m 曲to fm ek k t c o n d “i o no f 1 e 伽。一l e v e lp r o g r 锄m i n g i i lc h a p t e r3 ，t 1 1 ec o n c l u s i o n so fs e m i m f i n i t ep m 酉猢i n ga r ei n t r o d u c e d u s et h e s e c o n c l u s i o n s锄du n d e rm o r es t r i c tc o n d i t i o n s w ec a nt r a n s f o r mac l a s so ft w o l e v e l p r o 伊a m 瑚i n gi 1 1 t oac l a s so fg e n e r a l i z e dq u a s i d i 邱e r e n t i a b l ef l m c t i o n sp r o 伊踟m i n 岛a n du s e t t l ee 俎e n s i o no ff a r k a sl e m m at oe d u c em ek k tc o n d i t i o n a n d 、v ea l s oc a ne d u c et h ek k t c o n d i t i o nf o rt h em o r eg e n e r a lt w o l e v e lp r o 乒a m m i l l go ft h i sc l a s s b yt h e s e ，廿l em e o r i e so f g e n e r a l i z e dq m s i d i f 兜r e m i a ：b l eh a v e b e e ne n r i c h e d k e yw o r d s ：t h es p a c eo f f h m i e so f p a i ro f c o v e xs e t s ；g e e r a l i z e dq u a s i - d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n s ；t w o i e v e ip r o g n m m i n g ；k k tc o n d i t i o n ；t h ee x t 蛆s i o no ff a r k a si e m m a 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： 量盈 日期： 型：堑 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版。允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名： 导师签名： 趔么年月日豇壁厶年互月日 大连理工大学硕士学位论文 引言 本章对不可微函数的微分理论进行扼要的综述，并介绍选题背景及主要结果。 不可微函数的微分 不可微非光滑分析与优化的对象是不可微函数。不可微函数众多，不同时期有着 不同的研究特点。我们仅就不可微函数的导数，微分进行综述。关于优化理论，算法理论 不在我们的考虑之内。五、六十年代研究的不可微函数是性质较好的凸函数，代表学者 为f e n c h e l 与r o c k a f e l l a r ，代表著作为r o c k a f e l l a r ( 1 9 7 0 ) ”。凸函数是方向可微的，而且 方向导数是次线性函数，次梯度是上半连续的，而且凸函数是m i m i n ( 1 9 7 7 ) 意义下半光 滑的，这一性质在凸函数的约束方法中起关键性作用。二十世纪六十年代，极大极小问 题的研究也在此时走向成熟，其中的代表性著作为p s h e i c h y i ( 1 9 7 0 ) 吐d e 珊【y a n o v & m a l o z e m o “1 9 7 2 1 9 7 4 1 3 1 。极大值函数是方向可微的，其方向导数也是次线性的，这类函数 是几乎处处可微的，它是d e m y a n o v 意义下次可微的。七十年代代表性的工作是c l a r k e ( 1 9 7 3 1 9 7 5 ) 4 1 的l i p s c h i t z 函数理论，l i p s c h 池函数是几乎处处可微的，但并不是方向可 微的。c l a r k e 引入广义方向导数的定义，广义梯度的定义，建立了l i p s c l l i t z 函数的微分 理论和优化理论。l i d s c h i t z 函数的广义方向导数是次线性的，广义梯度也是上半连续的， 但广义梯度的运算往往只能用包含关系表达，即这类函数或这类函数的广义方向导数不 能形成线性空间，这一点是c l a r k e 广义梯度的局限性。拟可微函数的定义早在七十年代 末由p s h e n j c h y i ( 1 9 6 9 ) ”1 研究以极大值函数为背景的极值问题的最优性条件时提出的， 它可用于处理非凸问题，但这类函数的方向导数也不能构成一个线性空间，因为关于减 法不封闭，这也是影响p s h e l l i c h v i 意义下的拟函数分析和优化在七十年代中期发展的主 要原因，自然方向导数不具半连续性是另一个原因。七十年代束八十年代初， d e m y a i 】o v ，p o l y a k o v a & r u b m o v ( 1 9 7 9 1 9 8 0 ) 5 1 推广了p s h e n i c h y i 的定义，将方向导数的次 线性性推广至拟线性性，这保证了代数运算的封闭性。新的拟可微函数的微分是一凸集 对，它是凸集空间( d e m y a n o v & r u b i o v ( 1 9 8 6 ) ) 6 1 中的元素。但拟可微理论中的一直未 解决好的问题是其半连续性的定义，微分代表元素的选取等。七十年代与八十年代初 r o c k a f e l l a f ( 1 9 8 6 ) 对下半连续函数通过引入极限“l i m s u p i i l f ”定义上次导数，它也是次线 性函数。r o c k a f e l l a r 与w e t s ( 1 9 9 8 ) ”1 以集值分析，上图分析为工具建立一套完整的关 于下半连续函数的次可微理论。1 0 虢( 1 9 8 4 ) 喁1 则基于d i j l i 方向导数建立不可微函数的 微分学理论，还有其他形式的研究方式，这里不在赘述。 一类广义拟可微函数研究及求解双层规划问题的k k t 条件 尽管d e m y a n o v 与r u b 血o v 意义下的拟可微函数覆盖了大量的不可微函数，但是有 一类常见的最优值函数不属于拟可微函数，它们是方向可微的，方向导数往往可表达为 下面的形式 妒1 ( x ；d ) = i n i n 、占+ ( d i r ( x ，) ) b e l j 】 或 咖( x ；d 1 = 珏l a xi i l i n 、。 6 b ( j ) 性r b ( j ，6 ) 见f i a c c o ( 1 9 9 3 ) 【9 】，j a l l i n ( 1 9 8 4 ) ，g a u v i n ( 1 9 8 9 ) 等，这类最优函数是非常有用的，尤其 是双层规划理论的研究。 研究专题及主要成果 以凸集类对空间理论为基础，利用广义拟可微函数的微分理论及广义f a r k a s 引理， 研究一类双层规划问题，利r u c k m a n nj ja 1 1 ds h a p i r o a 在一类半无限规划问题中的研究 成果，论文中在一定限定条件下将对双层规划的最优性条件的研究转化为广义拟可微函 数的广义f a r k a s 引理的研究结果，从而对一类双层规划问题建立其最优性的k k t 条件。 并随后建立更一般形式的双层规划问题的k k t 条件理论。 大连理工大学硕士学位论文 1凸集类对空间及广义拟可微函数 本章介绍以凸集类对为元素的空间k ，它是通过引入合适的等价关系的凸集类集 合之加氏积的商空间。讨论了空间k 。的性质。并在此基础上介绍了广义拟可微函数的 微分理论。 1 1 引言 凸函数或次可微函数的微分可用凸紧致集合来表示，见r o c k a f e l l a r ( 1 9 7 0 ) ”) ， p s c h e n i c h y i ( 1 9 6 9 1 9 7 0 ) 1 2 j ，由于凸紧致集合所构成的集合关于减法运算不满足消去 律，从而d e m y a n o v r u b i n o v ( 1 9 8 0 ) ”1 以凸紧致集合全体作为正锥生成一线性空间 凸集类空间。凸基类空间的建立导致一类不可微函数的产生，这类不可微函数即 d e m y a n o v r u b i n d v 意义下的拟可微函数。显然，更一般的不可微函数需要更一般的空间 理论，即凸集类对空间，这类不可微函数即广义拟可微函数。本章随后2 节所讨论的凸 集类对空间为随后的广义拟可微函数的微分理论提供理论依据。 1 2 凸集类对空间的定义 用a 记如下的凸集类 a = r ( 口) 【口彳 ( 1 2 1 ) 其中4 e 露”是一非空集合，对每一日爿，r ( 口) 彤是一紧致凸集，即r ：4 斗2 矽是 一值是凸紧致集的极值映射。 定义 k ；f a l a 是( 1 2 1 ) 形式的凸集类l ( 1 2 2 ) 定义k 中的加法运算，减法运算与数乘运算： a + b ； r a ( 口) + r b ( 6 ) i 口4 ，6 霉， a b 暑 1 1 ( 口) 一r b ( 6 ) i 口“，6 丑) ， a a 毫 盘r a ( 口) j 盯一) 其中a = r a ( 口) f 盯爿 k ，b = 1 1 b ( 6 ) 1 6 曰 k ，口足 在k 中引入偏序关系： a b 当且仅当卿乳n ( 日) ) 卿乳( 6 ) )蚝月0 e 口 由引导的k 中的相等关系兰定义为 二鲞塑亘丝鱼麴塞墨塞壁翌星塑塑塑重盟兰墨! 叁丝一 一 a 兰b 当且仅当鼍磐6 ( 。l r 一”2 巧璺( 。l r e ( 6 ) ) 其中占+ ( 1r ) 表示r 的支撑函数 占q j r ) = m 每圣 在k 2 中引入偏序关系卜： ( a ，b ) - ( c ，d ) 当且仅当a d c b 由这一偏序关系引导的等介系定义为： ( a ，b ) ( c ，d ) 当且仅当a d 兰c b 其中a ，b ，c ，d k 。另k 。；k x k ，用【，1 表示k 。中的元素，在k 。中定义加法与 数乘运算 【a ，b 。】+ 【a ：，b 2 】= 【a 十a ：，b ，+ b 2 】， 小侧= 骼篙。言 其中 a ，b 。】k ，f = l ，2 ， a ，b 】k ，。 命题1 2 1 在上述加法和数乘的意义下，k ，是一线性空间。 在k ，中引入范数川i | | 【a ，b 】l i 1 1 f ， o l b + y u a ，a + y u ) b ) 其中u = 扛尺”ji j x j j ：1 。容易验证( k ，川i ) 是一赋范线性空间。 1 3 凸集类对空间的性质 定义函数妒：k c 其中e 。是定义在彤的正齐次函数集合： ( a ) ( ) = m i 单占( 1 1 1 。( 口) ) ，a k ( 1 3 1 ) 容易验证 妒( a + b ) = 妒( a ) + 垂( b ) ， 毋( a a ) = a 妒( a ) ，a o a b 当且仅当毋( a ) 咖( b ) ，v a ，b k 。 命题1 3 1 ( 消去律) 对于a ，k ，f _ 1 ，2 ，有 a 1 a 2 当且仅当a 1 + a a 2 + a ，v a k 大连理工大学硕士学位论文 证明：a ，a 2 当且仅当妒( a 。) ( a ：) ，而后者成立当且仅当对v a k 有 驴( a 1 ) + 驴( a ) 庐( a 2 ) + 驴( a ) ，由庐的次可加性有妒( a l + a ) ( a ：+ a ) ，亦即a ，a ：等价 于对v a k ，成立着a + a a ，十a 。 引理1 3 2 若a ，b k ， a = r ( 疗) i a 4 ，b = r 。( 6 ) 1 6 b 则 a v b 盎 c d ( r a ( 盯) u r b ( 6 ) ) i 口a ，6 b k 。 ( 1 3 2 ) 其中a v b 表示在k 的偏序关系中既大于a 又大于b 的最小的凸集类。 证明：将上式右端记为m ，用( 1 3 1 ) 式中定义的曲的性质，有 毋( m ) ( ) = r 卿p + ( | ( r a ( ur b ( ) ) ) = n d 孕m a x 6 ( i r ( 口) ) ，6 ( i r b ( 6 ) ) 口月 、 6 e 0 卿矿“r a ( 口) ) 一【啤6 ( 。瞰6 ) ) f i ( a ) ( ) 一1 庐( b ) ( ) 从而m a v b 另一方面v n a v b ，有 妒( n ) ( r ) 庐( a ) ( ) ，驴( n ) ( ) 庐( b ) ( ) 于是 庐( n ) ( ) i n a x 【庐( a ) ( ) ，庐( b ) ( ) 】 下证 咖( m ) ( ) = m a xp ( a ) ( ) ，驴( b ) ( ) 】 由m 的定义，显然有 庐( m ) ( ) m a x 【咖( a ) ( - ) ，毋( b ) ( - ) 】 另一方面，对一， m a x i 占( - lr 。( 口) ) ，妒( b ) ( ) i 妒( m ) ( ) ， m i 孕h 壤x 6 ( r 。( 口) ) ，妒( b ) l 簪( m ) ) 口e 月 oo 即有 m a x 【妒( a ) ( ) ，妒( b ) ( ) 】庐( m ) ( ) 一类广义拟可微函数研究及求解双层规划问题的k k t 条件 综上所述，有 因此我们推得 妒( m ) ( ) = m a x 【庐( a ) ( ) ，庐( b ) ( - ) 】 妒( n ) ( ) 妒( m ) ( ) ， 即有n m 。所以 m = a v b 推论1 3 3 对a = 【a ，a ，】k ，b = 【b f ，b ，】k l ，成立着 a v b = 【m ( a ，一b ，b ，一a ，) ，a ，+ b ，】， 其中 m ( 一b ，b ，一a ，) = c o ( ra f ( q ) 一r 8 r ( 6 ，) ) u ( r 。，( 6 ，) 一r 。，( q ) ) q 4 ，q 4 ，岛马，6 ，b 证明；将( 1 3 1 ) 的映射推广为下述的西：k 。一c 。， 巾( 【d ，s 】) ( ) = 妒( d ) ( ) 一( 一s ) ( ) ，d ，s k 贝 r m 【m ( a ) ，中( b ) 】= m a x ( a 。) 一妒( 一a ，) ，妒( b ，) 一( b ，) 】 = m a x 【庐( a ，) + ( _ b ，) ，庐( b ，) 一毋( 一a ，) 】一( ( 妒( 一a ，) + 妒( 出，) ) ) = = m a ) ( 妒( a ，一b ，) ，妒( b ，一a ，) 卜庐( 一a ，一b ，) 2 妒( m ( a ，一b ，b ，一a ，) ) 一庐( 一a ，一b ，) = m ( 【m ( a ，一b ，b f a ，) ，a ，+ b ，】) 由中的定义及偏序关系 - 的定义，有对于s k 1 ，d k 。， 引一d 当且仅当0 ( g ) 西( j d ) 。 于是上面的推导表明 【m ( a ，一b ，b # 一a ，) ，a ，+ b ，】卜a v b 另一面，对v n a v b ，有 庐( n ) 母( a ) ，咖( n ) 毋( b ) 即 中( n ) 兰m a x o ( a ) ，垂( b ) 】= o q m ( a ，一b ，b ，一a ，) ，a ，+ b ，】) 于是由的定义有 n _ m ( a ，一b ，b f a ，) ，a ，+ b ，】 6 ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) 大连理工大学硕士学位论文 由上面的推导得到 a v b = 【m ( a f b ，b ，一a ，) ，a ，+ b ，】 推论1 3 4 对于a k ，b k ，a = 【a ，a ，】，b = 【b ，b ，】成立着 a b = 【a f + b f ，一m ( a i b ，b 一a ，) 】 ( 1 3 5 ) 证明： a b = 一( ( 一a ) v ( 一b ) ) = 一( 卜a ，一a ，】v 卜b ，一b ，】) = ( 【m ( b ，一a ，a ，一b ，) ，一a ，一b j ) = 【a ，+ b f ，一m ( a f b ，b ，一a ，) j 注1 3 1k ，中多个元素的极大元与极小元可通过下面的关系用推论1 3 3 与推论 1 3 4 推得 苫a ，2 ( 吕a ，) v a m + ，金a 。( 全a 一) a m + ， 引理1 。3 。5 对于非空紧致凸集r 。，1 1 ：与r 3 ，成立着 c o c d ( r lu r 2 ) u r 3 ) = r lu r 2u r 3 ) 证明：显然有 ( r 。u r ：) u l ) c d r 。u r ：u r ， ，我们证明相反的包含关系也 是成立的。v x c o c d ( r l u r 2 ) u r 3 ) ，x = + ( 1 一 ) = ， 【o ，1 】， = “甜+ ( 1 一鸬) v ，“【o ，1 】。其中“r 】，v r 2 ，z r 3 ，将z 表示为 x = “z f + ( 1 一p 1 ) v + ( 1 一 ) z ， 由于 “+ ( 1 一“) + ( 1 一 ) = 1 ， 。 o ，1 】， ( 1 一p 。) 【o ，1 】，( 1 一 ) 【o ，1 】，工是“，v ，：的 凸组合，x c d r 1u r 2u r 3 ) ，可见c o c o ( r 1u r 2 ) u r 3 ) c d r 1u r 2u r 3 。证毕。 引理1 3 6 对a k ，扛1 ，成立着 蔓a 。= c 。( 鱼r ( q ) ) q 4 ，f = 1 ， ( 1 3 6 ) 苫ac 。 。d ( 岜r ( q ) ) q 4 ，= 1 ， l 3 6 证明：注意到 苫a ，2 ( 苫a t ) a ，_ j 一1 根据引理1 3 5 ，用数学归纳法易证结论成立。 引理1 3 7 设r l ，r 2 与r 3 非空紧致凸集，则 ( r l u l l 2 ) 一r 3 = ( r 1 一r 3 ) u ( r 2 一r 3 ) 】。 一类广义拟可微函数研究及求解双层规划问题的k k t 条件 证明：由m a x i6 ( l r ，) ，占( i r 2 ) i + 6 ( 1 r 3 ) = m a x 占( r 1 ) + 占( f r ，) ，占( f r ：) + 占( i r ，) 1 = n m x 占( 一ir l r ，) ，6 ( 1r ，一r 3 ) = 子( f c d ( r 。r ，) u ( r ：一r ，) d 根据m i n k o w s k i 对偶( 占+ 是凸紧致集合到次线性函数的同构映射) ，得结论。 对a 。k i ，a ，= ia ；，a ：j ，j = 1 ，3 由推论1 3 3 ， a 1 v a 2 = ( a ：一a ；) v ( a ；一a ：) ，a ：+ a j 令m = ( a ；一a ；) v ( a ；一a ：) ， a 1 v a 2 v a 3 = i ( m _ a ：) v ( a ；一( a ：+ a ：) ) ，a ：+ a ；+ a ； 注意到，由引理l ，3 7 有 时一a ；= ( 4 1 一a ：) v ( a ；一a ：) 一a ； = c 。 ( r 。j ( 口j ) 一r 。；( 口；) ) u ( r 。 ( d ? ) 一r 。：( 口：) ) 一r a 3 ( a ；) i ( 叫，口：) ( a ；，a ：) ，f = l ，2 ，3 = c d l ( r ；( 。j ) 一r 。；( 口；) r 。；( n ? ) ) u ( r ( 口? 一r a ：( d ：) 一r 。；( 口；) ) l f ( ，口：) ( a ；，a ：) ，f = 1 ，2 ，3 = ( a ；一a ；一a ；) v ( a ；一a ：一a ：) 可见 a 1 v a 2 v a 3 = i 壶( a ；一，耋；，创) ，杰a ：l 类似地，我们可以证明下述一般性的结论。 引理1 3 8 对于a l = l a ；，a ：l ，f = l ，成立着 _ v 一，：吾，a a 盖a ：j ， ，一蛐_ a ：) ( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) 引理1 3 9 对于a 。k l ，a 7 = q ，a ： ，f _ 1 ，成立着 氆鹭m ( a ) = m ( 二a ) ， ( 1 3 9 ) 8 大连理工大学硕士学位论文 器势o ( a ) = 巾( 念a ) ( 1 3 i o ) 证明：注意到m ( a 。) = 妒( a ；) 一砂( 一a ：) ，有 懋中( a 。) 2 燃 妒( a ；) 一咖( 一a ：) 厂1 2 嚣l 州) + ，毒，咖( 一a 叶暑妒( 一a ；) 。器嚣妒( a ；+ ，三；，( 一a j ) ) 一妒( 盖一a ；) = 庐( 兰( a ；一a ：) ) 一庐( 一量a ：) 卢1 j = i ，州j = l = 中1 兰( a 卜，邑，匙) ，磊纠j ) 从而由( 1 - 3 7 ) 有( 1 3 9 ) 是成立的。 因为 您。( a ) = 一嚣紧( 一。( a ) ) ，有 惑中( a ) = 一罂翳( 妒( 一a ：) 一咖( a ；) ) = 一懋巾a ：，一a ； ) = 一中( 兰 一a ：，一a ； ) 一1 兰( 一q + ，；舌) ，一盖a 砷 厂 ，1 = 叫l 暑a ? ，一乳弓。a f _ a 呻 j = lj = l ，t 】，耐。j 再由( 1 3 8 ) 有( 1 3 1 0 ) 是成立的。 1 4 广义拟可微函数的微分 定义1 4 1 ：r ”一科在z 处方向可微，若存在d 厂 ) = f 缈( x ) ，可 ) k ，满足 ，( 工；+ ) = 巾( 巧( ) ( ) ， ( 1 4 1 ) 则，称在x 处是广义拟可微的值e n e r a l i z e dq u 勰i d i 疗e r e n t i a b l e ) ，巧( z ) 称为，在工处的广 义拟微分( g e n e r a l i z e dq u a s i - d i 氐r e n 廿a 1 ) ，旦， ( x ) = 旦厂( z ，口) i 口爿 ) 1 k 被称为广义次微 分( g 锄e m “z e ds u b d i 腩r e n t i a i ) ，p 厂( = 仁 厂o ，6 ) i 6 耳x ) k 被称为广义超微分 ( g e n e r a l i z e ds 1 1 p e r d i f f h e n t i a l ) 。 一类广义拟可微函数研究及求解双层规划问题的k k t 条件 由( 1 4 1 ) 式及珂( x ) ，( x ；- ) 的表达式，厂( x ；) 可表达为 厂协) = 星溉巩i 彰( x ，口) ) + 瑟瑟& ( l d ，( x ，6 ) ) ， ( 1 4 2 ) 其中矗( 。j d ) 定义为& ( | d ) 2 嘞( ，v ) 。 若4 ( x ) 与b ( x ) 均为单点集，如一( x ) = 口 ，b ( 工) = 6 ) ，则，在工处是d e m y a n o v & r u b i n o v 意义下( 见d e m y a n 伽a n d r u b m o v ( 1 9 8 0 ) ) 拟可微的，因为令彭( x ) = 旦，( x ；口) ， p 厂( 工) = 矿( 工；6 ) ，则厂( x ；) 可表示为 厂( 石；) = 6 ( - l 曼厂( 工) ) + 尻( - i 岔厂( z ) ) 。 ( 1 4 r 3 ) 若厂在工拟可微的，即1 ( x ；) 具有( 1 4 3 ) 的表达式，令4 ( z ) ；可( x ) ， 旦厂o ；v ) ；旦厂( x ) + v ，则( 1 4 3 ) 中的厂x ；) 可表达为 ，协) 2 瓢取i 缈( x ；v ) ) ； 若令嚣( x ) = 旦厂 ) ，d 厂( x ；w ) ；可( x ) + 砖，则( 1 4 3 ) 中的，( x ；) 可表达为 厂( x ；) 2 燃抗( | d ，( z ，w ) ) a 上述分析表明广义拟可微函数的概念是d e n l y a n o v & r u b i n o v 意义下拟可微函数概 念的推广。 命题1 4 2 ( 1 ) 若，( k l ，) 在工处是广义拟可微的，c 。( f = 1 ，) 是实数，则厂= c ，在z 处是广义拟可微的，且 巧o ) = q 磁 ( 2 ) 若z ，正在z 处是广义拟可徼的，则；石五在x 处也是广义拟可微的，且 上) ，( x ) = ，i ( r ) 次( x ) + 厶( x ) q ( z ) ( 3 ) 若厂在工处是广义拟可微的，厂( x ) o ，则妒( x ) = 1 ， ) 在工处是广义拟可微的， 且 脚( 加一南巧( 工) 证明：先证( 1 ) 。由。厂( 葺) = c ，z ( 霹) z 。( x ；) = m ( 功：( 功) ( ) ，得 ，协) = q ( 珥( 砷) ( ) = 中( q 磁( ) ( ) = 巾( t 磁( z ) ) ( ) 因此有巧o ) = q 磁( z ) 。 ( 2 ) 与( 3 ) 类似与( 1 ) 的证明。 注1 4 1d e m y a i l o va n dr u b i i l o v 意义下的拟可微函数就是一类范围非常广泛的方 向可微函数，且这类函数方向导数集合的闭包恰恰就是连续的正齐次函数空间。问本节 的广义拟可微函数之研究的必要性何在? 我们通过下面的例子说明研究的必要性。 例1 4 1 ( d e m y a n o v ( 2 0 0 0 ) 【1 3 ) 考虑，( 而，t ) = 2 i x 2i ，工。= ( o ，o ) e 五2 。函数厂在 ( 0 ，0 ) 7 附近不是l 吐) s c h i t z 连续的，但，在处是方向可微的，且 向( g ) = ，瓴；g ) = 2 瓜面 是正齐次连续函数，向可表示为 ( g ) = ( g ) + 吃( g ) ，其中 岛( g ) = ( j 自i + l g ：i ) 2 ，7 ( g ) = 一l 昌i l g ：l 由i s l l i z u l ( a ( 1 9 8 8 ( b ) ) 或g l o v e re ta 1 ( 1 9 9 6 ) 知扛可表示为 啊( g ) 2 卿5 ( g | r a l ( 口) ) ， r a 】c 加 c 一丢，一击炉丢，击，c 丢，一击，c 击，) ， 4 = ( o ，1 ) ( = id 口 - o ，或旦，( z 4 ) 一p ，( x ) 。 对于a k ，b k 定义偏序关系。 a 乏b 当且仅当( a ) ( d ) ) 矿( b ) ( d ) d 0 a 乏b 当且仅当( a ) ( d ) ) 矿( b ) ( d ) ，d 0 一类广义拟可徼函数研究及求解双层规划问题的k k t 条件 对于a k ，b k 。定义偏序关系t ， a b 当且仅当o ( a ) ( d ) 中( b ) ( d ) ，d o 定理2 1 2 设厂是彤上的广义拟可微函数，