（理论物理专业论文）b介子两体非轻衰变与pqcd因子化方法下的高阶修正.pdf

南京师范大学博士学位论文b 介子两体非轻衰变- 与p q c d 因子化方法下的高阶修正 摘要 自2 0 世纪6 0 年代以来，粒子物理的标准模型取得了巨大的发展和成功。随着两个b 介 子工厂的顺利运行，b 介子物理成为粒子物理学一个重要的研究领域。b 介子衰变的研究 对精确检验标准模型，寻找c p 破坏的根源和新物理的迹象起着重要作用。由于强相互作 用的复杂性，强子矩阵元不确定性是研究b 介子衰变的核心问题。这是一个多标度问题， 需要用到算符乘积展开积掉重的中间玻色子，得到弱作用的有效哈密顿量。算符矩阵元则 通过因子化定理来实现不同标度物理的分离，其中用w i l s o n 系数描述硬标度部分。为了 从一个高能标( 如m w 能标) 处的w i l s o n 系数得到我们所关心的低能标( 如m 6 能标) 处 的w i l s o n 系数，则需要利用重整化群方程进行演化。基于这一思路，人们提出了几个不同 的因子化方法如简单因子化、推广因子化、q c d 因子化、p q c d 因子化和软共线有效理论 等等。基于k t 因子化理论提出的微扰q c d 方法( p q c d ) q b ，由于保留了横向动量从而有效 地消除了端点奇异性。收集辐射修正产生的大对数项而得到的s u d a k o v 因子和阈值求和因 子分别压低了大b ( 小k t ) 区域和动量分布端点处的软贡献。 在p q c d 因子化框架下，我们计算了b - 4k ( r ，r l ( ，) ) 叩( 7 ) 和bok k + ，p ( u ，咖) 叼( 7 ) 的次 领头阶水平的分支比和c p 破坏。当然，这里的次领头阶( n l o ) 修正是部分的，但同 时也是主要的。它包括顶角修正、夸克圈图修正和色磁企鹅图修正，其中的顶角 修正只是对可因子化发射图进行的。对b - - 4k r ( 7 ) 衰变道的计算，我们发现衰变振 幅b - k 嘞和召- - 4k 在b - - 4k r 衰变中是相互增强的，而在衰变b - - - 4k q 中是相互抵 消的。这一机制造成了召_ k 矿和b k o ? 7 的分支比之间相差一个6 1 0 的因子。更重要 的是次领头阶的贡献把领头阶水平下口- - - 4k r l 的分支比压低了约3 0 ，而把b - - - 4k 分支 比提高了约7 0 ，使结果明显地向实验测量值靠近。对于b r ( b - - 4k z l ( ，) ) ，次领头阶计算 的结果在一个标准偏差范围内和实验数据符合的很好。显然，p q c d 框架下次领头修正的 贡献在解释“k r 一p u z z l e 时起着重要的作用。对于其它几个衰变道，大部分的结果在 加上次领头阶修正贡献后都有一定的改善。 我们还研究了b - - 47 r ( ? 7 ( ) ) f o ( 9 s o ) 的衰变。假设i o ( 9 8 0 ) 为简单的两夸克模型，其夸克 组成为l f o ( 9 8 0 ) ) = i s 吾) c o s9 + i n f i ) s i n9 ，发现计算结果x 寸f o ( 9 s o ) 的夸克组分混合角目有较 强的依赖性。 南京师范大学博士学位论文 b 介子两体非轻衰变- 与p q c d 因子化方法下的高阶修正 最后是对全文的总结，并对未来b 介子物理的实验探测和理论研究作了讨论和展望。 关键词：p q c d ，b 介子衰变，n l o 修正，叩( ) 和 o o s o ) 介子，衰变分支比，c p 破坏。 南京师范大学博士学位论文b 介子两体非轻衰变与p q c d 因子化方法下的高阶修正 a b s t r a c t t h es t a n d a r dm o d e l ( s m ) o ft h ep a r t i c l ep h y s i c sh a sa c h i e v e dg r e a td e v e l o p m e n ta n d s u c c e s ss i n c e1 9 6 0 s a l o n gw i t ht h ep r o s p e r o u sr u n n i n go ft h et w obm e s o nf a c t o r i e s ，b m e s o np h y s i c sh a sb e c o m ea ni m p o r t a n tr e s e a r c hf i e l d i nt h ep a r t i c l ep h y s i c s t h es t u d y o fbm e s o nd e c a y sp l a yas i g n i f i c a n tr o l ei np r e c i s e l yt e s t i n gt h es t a n d a r dm o d e l ，s e a r c h i n g f o rt h eo r i g i no ft h ec pa s y m m e t r y , n e wp h y s i c ss i g n a t u r ea n du n d e r s t a n d i n gf a c t o r i z a t i o n t h e o r e m s f o rt h ec o m p l e xo ft h es t r o n gi n t e r a c t i o n ，t h ec a l c u l a t i o no ft h eh a d r o n i cm a t r i x e l e m e n t si st h ek e yp o i n tp r o b l e m ，i ti sam u l t i s c a l ep r o b l e m ，w h e r eo p e r a t o rp r o d u c te x - p a n s i o n ( o p e ) i sn e e d e dt oi n t e g r a t eo u tt h eh e a v yg a u g eb o s o n ，t h e nw ec a no b t a i nt h e w e a ke f f e c t i v eh a m i l t o n i a n u s i n gt h ef a c t o r i z a t i o nt h e o r e m ，t h eo p e r a t o rm a t r i xe l e m e n t s c a nb ed i v i d e di nd i f f e r e n tp a r t s ，w h i c hr e p r e s e n tt h ep h y s i c so fd i f f e rs c a l er a n g e s ，w h e r et h e h a r ds c a l ep a r tc a nb ed e s c r i b e db yt h ew i l s o nc o e f f i c i e n t s i no r d e rt oo b t a i ng e tt h ew i l s o n c o e f f i c i e n t so ft h el o w e rs c a l e ( s u c ha s 仇6s c a l e ) ，w h i c hw ea r ec o n c e r n e d ，f r o mt h eo n e so ft h e h i g hs c a l e ( s u c ha sm ws c a l e ) ，t h em e t h o do ft h er e n o r m a l i z a t i o ng r o u p ( r g ) i se m p l o y e d b a s e do nt h i si d e a ，p e o p l eh a v ed e v e l o p e dm a n ym e t h o d s ，s u c ha sn a i v ef a c t o r i z a t i o n ，g e n e r - a l i z e df a c t o r i z a t i o n ，q c df a c t o r i z a t i o n ，p e r t u r b a t i v eq c da n dt h es o f tc o l l i n e a re f f e c t i v e t h e o r y ( s c e t ) ，e t c i nt h ep q c da p p r o a c h ，b a s e do nt h ek tf a c t o r i z a t i o n ，w ei n t r o d u c e t h et r a n s v e r s em o m e n t u ms ot h a tt h ee n dp o i n ts i n g u l a r i t yi ss m e a r e de f f e c t i v e c o l l e c t i n g t h el a r g el o g a r i t h m sg e n e r a t e db yt h er a d i a t i o nc o r r e c t i o n s ，w ec a ng e tt h es u d a k o vf o r m f a c t o ra n dt h ej e tf u n c t i o n ，w h i c hc a ns u p p r e s st h ec o n t r i b u t i o n sf r o mt h el a r g ebr e g i o na n d t h ee n d p o i n to ft h em o m e n t u mf r a c t i o n u s i n gt h ep q c da p p r o a c h ，w ec a l c u l a t ea n da n a l y z et h eb r a n c h i n gr a t i o sa n dt h ec p v i o l a t i o no ft h ed e c a y sb k ( 7 r ，卵( 7 ) ) 叩( 7 ) a n db p ( p ，l u ) 叩( c e r t a i n l y , h e r et h en e x t t o - l e a d i n g - o r d e r ( n l o ) c o r r e c t i o n sa r ep a r t i a lb u td o m i n a n ta tt h es a m et i m e i ti n c l u d e st h e v e r t e xc o r r e c t i o n s 、q u a r k l o o p sa n dc h r o m o m a g n e t i cp e n g u i n sc o r r e c t i o n s ，w h e r et h ev e r t e x c o r r e c t i o n so n l yu s e dt of a c t o r i z a b l ee m i s s i o nc o n t r i b u t i o n ，t h r o u g ht h ec a l c u l a t i o no ft h e d e c a yb _ k 刀( ) ，w ef i n dt h a tt h ed e c a ya m p l i t u d e sb e t w e e nb _ k 仉a n db k 仉 i l l 南京师范大学博士学位论文b 介子两体非轻衰变- 与p q c d 因子化方法下的高阶修正 i n t e r f e r ec o n s t r u c t i v e l yf o rb - - yk 卵d e c a y s ，b u td e s t r u c t i v e l yf o rb - - - yk 叩d e c a y s ，t h i s m e c h a n i s mr e s u l t si naf a c t o ro f6 1 0d i s p a r i t yf o rt h eb r a n c h i n gr a t i o s o fb - 4k 叼a n d b _ k r d e c a y s i ti s m o r ei m p o r t a n tt h a tt h en l oc o n t r i b u t i o n sg i v er i s et oa3 0 r e d u c t i o nt ot h eb r a n c h i n gr a t i o so ft h ed e c a y sb - - yk 叩a n da7 0 e n h a n c e m e n tt ot h e o n e so fb _ k 曰，a n dr e s u l ti nt h eg o o da g r e e m e n tb e t w e e nt h ep q c dp r e d i c t i o n sa n d t h ed a t a t h en l op q c dp r e d i c t i o n sf o rb r a n c h i n gr a t i o sb r ( b 。叩( 7 ) ) a g r e ev e r y w i t ht h em e a s u r e dv a l u e sw i t h i n1s t a n d a r dd e v i a t i o n a p p a r e n t l y , t h en l oc o r r e c t i o n s p l a ya ni m p o r t a n tr o l ei ne x p l a i n i n gt h e “k 订一p u z z l e ”t ot h eo t h e rd e c a yc h a n n e l s l m o s t l yr e s u l t sc a nb ei m p r o v e da f t e ra d d i n gt h en l oc o n t r i b u t i o n s w ea l s os t u d yt h e d e c a y sb - 7 r ( 叩( ，) ) f o ( 9 8 0 ) u n d e rt h ea s s u m p t i o no ft w oq u a r km o d e lf o r o ( 9 8 0 ) ，w h i c h i sc o n s i d e r e da si o ( 9 8 0 ) ) = i s 吾) c o s0 + i n 元) s i np ，w ef i n dt h a tt h er e s u l t sh a v eas t r o n g d e p e n d e n to nt h em i x i n ga n g l ep i nt h el a s t as h o r ts u m m a r yo ft h i sp a p e ra n d s o m er e m a r k so nt h ef u t u r ed e v e l o p m e n t s o fbp h y s i c so nt h ee x p e r i m e n ta n dt h e o r yi sg i v e n k e yw o r d s ：p e r t u r b a t i v eq c d ，bm e s o nd e c a y s ，n l oc o r r e c t i o n s ，r ( 7 ) a n df 0 ( 9 8 0 ) m e s o n s ，b r a n c h i n gr a t i o ，c pv i o l a t i o n 1 v 本人郑重声明： 学位论文独创性2 声明 1 、坚持以 求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过 的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名：袅岩己遣一 日 期：翟佥全：堇：兰兰 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文 并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利 目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据 库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规 定。 作者签名：立艮么每卜 日 期：遮翌：乡 南京师范大学博士学位论文b 介子两体非轻衰变与p q c d 因子化方法下的高阶修正 第一章引言 自上世纪6 0 年代以来，粒子物理领域的研究取得了重大的进展，人类对微观世 界的理解在不断深入。对物质的基本组成的认识已经从原子、原子核深入到了夸 克和轻子层次，前后跨越了近l o 个量级。对物质之间的基本相互作用的认识也取 得了巨大的进展，除引力作用之外，还有电磁相互作用、强相互作用和弱相互作 用。g l a s h o w 、s a l a m 和w 6 i n b e r g 证明了电磁相互作用和弱相互作用可以统一成一种相互 作用力，且p s u ( 2 ) lou ( 1 ) y 弱电统一模型。它是一种对称性自发破缺的规范理论，通过 一个h i g g s 标量场二重态的非零真空期待值，把s u ( 2 ) lou ( 1 ) y 的规范相互作用破缺到规 范群为u ( 1 ) 。m 的电磁相互作用，同时使得弱作用的规范玻色子和费米子获得质量。对强 相互作用是由量子色动力学( q c d ) 来描述的，这是一种规范群为颜色s u ( 3 ) 的规范理论， 具有可重整化、手征对称性及其自发破缺和高能下渐进自由、低能下颜色禁闭等重要特 性。弱电统一理论和量子色动力学( q c d ) 构成了粒子物理的标准模型。它是迄今为止公认 的描述弱电强三种相互作用的有效理论，取得了巨大的成功，并经受住了几乎所有实验 的检验。它所预言的w 士和z o 规范玻色子、t o p 夸克相继在欧洲核子研究中一l , ( c e r n ) 和美 国费米实验室( f e r m i l a b ) 被发现。尽管如此，标准模型本身还不是十分完善，如它所预 言的h i g g s 玻色子实验上还未发现，不能解释夸克和轻子的代结构和费米子的质量来源问 题，以及无法解释三代夸克质量的巨大差别等等。 自上世纪8 0 年代以来，重味物理，尤其是b 介子物理的研究为检验标准模型，验 证q c d 理论，探寻c p 破坏来源和新物理提供了重要的场所。实验上b 物理的研究开始 于1 9 7 7 年在f e r m i l a b 里所做的4 0 0 g e v 质子一核子对撞实验，在9 5 g e v 能区附近观测到 一个双“子共振态，后来被命名为t 粒子，它是由一个底( b o t t o m ) 夸克和一个反底夸克 构成的重夸克偶素。1 9 8 4 年，c l e o 和a r g u s 实验组发现t b o 衣i b 士介子，丽b 介子混合 则在1 9 8 7 年被u a l 、c l e o 和a r g u s 发现。2 0 0 0 年不对称正负电子对撞机p e p i i 和k e k 南京师范大学博士学位论文b 介子两体非轻衰变- 与p q c d 因子化方法下的高阶修正 b 两个b 工厂的投入运行，积累了更多更精确的数据。2 0 0 1 年，b e l l e 和b a b a r 两个实验组 公布了他们对b ooj 玩的含时c p 不对称性的测量结果，发现了中性b 介子系统中存 在c p 破坏。目前这两个b 介子工厂已经收集了大约1 4 0 0 m 的b 介子对的产生和衰变事例。 还有刚刚投入运行的l h c ( l a r g e - h a r d r o n i c c o l l i d e r ) 可以产生大量的召。、b 。介子以及b 一重 子。这些实验将为b 物理的理论研究提供了有力的证据和帮助。 本文分为三个部分：第一部分为综述部分，包括第二章、第三章我们在标准模型下 介绍研究b 介子弱衰变的理论方法和c p 破坏的来源、分类。并详细介绍我们计算中所用 的微扰q c d ( p q c d ) 因子化方法。第二部分是工作部分，包括第四章、第五章和第六章。 其中前两章是在次领头阶( n l o ) 水平计算一些b - p p , v p ( 这里p 为赝标介子，y 为 矢量介子) 衰变的分支比和c p 破坏。这里所考虑的n l o 修正包括顶角修正、夸克圈图 修正和色磁企鹅图的修正。通过对b 一卵( ) 衰变的研究我们发现次领头修正在解释 “k 一p u z z l e 时扮演着关键的角色。第六章是在b 介子系统中讨论b 介子到标量粒子的 衰变问题，通过定量的计算为进一步认识标量粒子提供一些依据。最后是我们的总结与展 望。 2 南京师范大学博士学位论文 b 介子两体非轻衰变与p q c d 因子化方法下的高阶修正 第二章b 介子两体非轻衰变 2 1 标准模型理论 2 1 1 标准模型概述 受住了几乎所有实验的检验。它包括三代夸克和轻子，y f 由g l a s h o w s a l a m w e i n b e r g 电写马 统一模型 1 和量子色动力学( q u a n t u mc h r o m o d y n a m i c s 或q c d ) 【2 】两部分构成。标准模 s u ( 3 ) 。s u ( 2 ) l u 0 ) y ( 2 - 1 ) 描述夸克和胶子相互作用的q c d 理论是建立在规范群s u ( 3 ) 。( 其中c 代表颜色) 之上。由 描述电弱相互作用的g l a s h o w s a l a m w 色i n b e r g 模型建立在规范群s u ( 2 ) l 圆u ( 1 ) y ( 其 把s u ( 2 ) lou ( 1 ) y 的规范相互作用破缺到规范群为u ( 1 ) 。m 的电磁相互作用。这个标量场便 是h i g g s ：场 3 1 钳 协2 ， 3 南京师范大学博士学位论文b 介子两体非轻衰变与p q c d 因子化方法下的高阶修正 该h i g g s 场具有四个自由度，其中三个给物理的规范玻色子彬士和z o 提供质量，而剩余的 自由度将以有质量的自旋为零的中。i 生h i g g s 粒子的形式出现。电弱精确测量的数据表明该 粒子的质量应在1 1 4 4 g e v m 圩o 1 8 6 g e v ( 9 5 置信度) 。另外，物质场则同时获得 与y u k a w o 耦合成正比的质量。 在物质场( 即费米子场) 和规范玻色子场相互作用时，有许多重要的性质，如 由z o ，y 光子和胶子g 传递的费米子一规范玻色子顶点中，费米子的味道是守恒的，从而 保证了树图阶的味道改变的中性流过程( f l a v o u r - c h a n g i n g - n e u t r a l c u r r e n t 或f c n c ) 是不存 在的，即所谓的g l a s h o w i l i o p o u l o s m a i a n i ( g i m ) 机制，而在由w 士传递的带电流过程中， 费米子的味道是改变的，其作用强度由s u ( 2 ) l 的耦合常数夕2 来描述。由于是= 高苌， 我们又可以说该作用强度是由费米常数g f 决定的。各种费米子一规范玻色子顶点 的l o r e n t z 结构有明显的不同：光子和胶子传递的顶点是类矢( v e c t o r l i k e ) 的，w 士传递 的顶点是完全( y a ) 结构的，而z o 传递的顶点即包含( y a ) 又包含( y + a ) 结构。这 里( y4 - a ) = 饥( 1 士舶) 。 2 1 2 重整化方法和算符乘积展开 b 介子弱衰变过程的研究对检验标准模型，验证q c d 理论有十分重要的意义。由于弱 相互作用的耦合常数很小，通常微扰展开到单圈级就是很好的近似，但夸克禁闭的存在， 使得强相互作用的修正及非微扰的强子化效应很不好处理。幸运的是我们可以借助算符乘 积展开，重整化群和低能有效理论等方法来处理这类过程。我们先来介绍两个重要的基本 理论工具：重整化方法【4 】和算符乘积展开 5 ，6 】。 之所以要用到重整化是由于在含有对内线圈动量积分的费曼图计算时，常常会遇到紫 外发散，而重整化理论允许我们将这类发散从物理的可观测量中分离出来并进而去除掉。 主要包括两个步骤：第一，将这些发散积分看作某种有限积分的极限，使相应的物理量在 微扰论的所有阶都有很好的定义，这一步通常被称为正规化。普遍采用的方法便是维数正 规化方案【7 ，8 】，其基本思想是：如果把所要计算的圈积分看成时空维数为d = 4 一的解 4 南京师范大学博士学位论文b 介子两体非轻衰变与p q c d 因子化方法下的高阶修正 析函数，即使这些积分在四维时空是发散的，我们也可以通过选择足够小的d 来使得它们 收敛，相应的紫外发散项将表现为e _ o 时的奇点项，并且已经和有限项明显地分离开。 但在具体计算时会遇到“问题 【9 】，即由于四维时空所特有的全反称张量e p p a 卢的存在， 我们不能把定义 y 5 ：枭e 肛扩q 卢矿7 ，y 口7 芦， 7 52 酉e 舭卢r 7 ，y “r ， ( 2 - 3 ) 直接推广到d 4 维的时空中。在所谓的“简单维数正规化( n a i v ed i m e n s i o n a lr e g u l a - t i o n 或n d r ) 方案 1 0 】中，我们只需要将度规张量夕p 推广到d 维，而所有的7 矩阵保持与 四维时空下相同的运算关系。在不涉及诸如求丁r ( 矿r 7 口矿) 等运算的前提下，能给出正 确地结果 1 1 】。 第二，设法将正规化处理后的发散部分合理消去，从而得到有限的物理结果，这一步 通常称为重整化。一般是通过引入抵消项( c o u n t e r t e r m ) 方法来实现。以q c d 为例，我们 先将裸量( 带下标“0 ”) 和重整化了的量( 不带下标) 之间的关系定义为： 4 乩= 乏7 2 a ：， =乙夕go 2 ， 2 么9 夕铭。， q o = z ：搀q ， m o = 磊m ， ( 2 4 ) 其中，参数肛的引入保证了耦合常数g 的无量纲性，磊是重整化常数。然后，将原始拉氏 量c 中的所有裸量都用重整化了的量来表述，即 o = + 6 c ( 2 - 5 ) 抵消项如正比于磊一1 ，并可以看作新的相互作用项。通过要求这些抵消项的贡献恰好抵 消基于拉氏量c 得到的g r e e n 函数中的紫外发散项，就可以得到有限的物理结果。具有质 量量纲的参数“通常被称为重整化标度，重整化了的物理量随标度的改变满足的方程就是 著名的重整化群方程( r e n o r m a l i z a t i o ng r o u pe q u a t i o n 或r g e ) 。它表示当标度“改变时， 重整化了的物理量要作相应的改变，才能使得未重整化的裸量保持不变，即裸量与重整化 标度p 无关。仍以q c d 为例，由关系式( 2 4 ) 可以得到跑动耦合常数和跑动质量所满足的重 5 南京师范大学博士学位论文 b 介子两体非轻衰变与p q c d 因子化方法下的高阶修正 整化群方程： 筹刊姒“筹一砒( 叫) 吣) ( 2 - 6 ) 利用重整化群方法的一个好处在于可以通过求解重整化群方程将大对数项自动求和 起来，从而改善通常的微扰理论的收敛性，这就是所谓的“重整化群改进了的微 扰理论 9 】。一般地，我们有：领头阶( l o ) 是对【( 伽) l n ( 伽肛) 】n 项的求和，次领头 阶( n l o ) 是对( q ? “( p o ) i n n ( 肋肛) 项的求和。 由于所谓的算符乘积展开( o p e r a t o rp r o d u c te x p a n s i o n 或o p e ) 5 ，6 】是指将过程中的 不同标度区间的物理区分开来处理。其基本思想可以概括为：对于小距离间隔的两个场算 符a ( z ) 和b ( 可) ，当z - y 时，我们可以将他们的乘积展开成一系列定域算符q t 之和的形式： a ( z ) b ( 可) = g ( z u ) q i ( x ) ， ( 2 7 ) 其中，展开系数g 一可) 表征着定域算符q i ( z ) 的作用强度，通常被称为w i l s o n 系数，并 且量纲越高的算符其贡献被压低的越厉害。因此，在大多数情况下，我们只需要考虑 前几个量纲比较小的定域算符的贡献。仍以b 介子衰变为例，从夸克层次上来看，它 们是通过带电流耦合到w 玻色子而发生的。由于w 的质量蜥8 0 g e v ，远远大于典 型的强子化标度，因此过程中的w 玻色子只能传播很短的距离。由于连接着两个荷电 流巧( z ) 和靠( 可) 相距就很近，从而使得我们可以对它们的乘积进行算符乘积展开。县体 地，我们考虑一个5 _ f t d u 为例进行说明。与该过程相应的树图级通过交换w 玻色子的振 幅可以写成： 4 = i 甓k d 禹洳州姻 = 一t 是( m ( 姻y 耵p 而k 2 ) ，( 2 - s ) 其中， ( 砚) y j 4 三5 饥( 1 一佻) 让 ( 2 - 9 ) 从运动学的角度来看，由于b 夸克的质量m b 远小于朋w ，动量转移的平方k 2 要比埠小得 多，虚的玻色子是高度离壳的，只能传播很短的一段距离。因此，我们可以安全地忽略高 6 南京师范大学博士学位论文 b 介子两体非轻衰变与p q c d 因子化方法下的高阶修正 ( a ) 6 一 d 入它 ( b ) 图2 15 _ f i d u 的树图级费曼图。 阶项一( 嚣) 的贡献，从而在效果上将w 玻色子的传播子近似地收缩为一个点，如图2 1 所 不o 2 1 3 有效哈密顿量和w i l s o n 系数的计算 买际上，上节的式于( 2 8 ) 也司以从低能有效哈罾顿量 咒。，= 焉( - fk d ( 5 u ) y a ( 豆d ) y a + 高量纲 ( 2 1 0 ) v 二 得到，其中的高量纲算符和上一节2 8 式子中的p ( 嚣) 项相对应a 而在低能有效理论 中，彤玻色子己不再作为明显动力学自由度出现，用路径积分的语言来将，它已经被完 全“积掉( i n t e g r a t e do u t ) 了。可以说这两种方法是殊途同归。 下面我们通过一个比较形式化的方法介绍在泛函积分框架下树图级水平如何积掉重粒 子场。由g r e e n 函数的生成泛函为： 知一瞄+ 】【d w 一 e 印( i c f 4 z c ) ，( 2 - 1 1 ) 其中弱电理论的拉氏量写成： c w = 一言( 钆附一乱町) ( 秒渺一扩一p ) + 砩呀彬一p + 2 9 以2 ( 、t + w ，十弘+ 扩一p ) ( 2 - 1 2 ) 7 南京师范大学博士学位论文b 介子两体非轻衰变与p q c d 因子化方法下的高阶修正 我们把和玻色子耦合的带电流的显式写出来为 口= 翘傩( 1 一佻) n ， = u ，c ，t 死= d ，s ，6 ) ，石= ( 对) ( 2 1 3 ) 为了简单起见我们采用幺正规范，并引入一个算符， 玩( z ，y ) = 6 ( 4 ( z 一可) 【乳p ( 铲+ a 虢) 一4 。a 】 ( 2 1 4 ) 对动能项作分部积分可得： 细一 d w + 】 d w - 】e x p i d 4 z d 4 夕崂( z ) 胪( 删) 盱( 秽) + 丽9 2t d 4 x j + w 却+ 石w 叫】 2 、2t ， p 。 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 我们用p 表不幺正规范中的传播子，即k p p 的逆， ( 删) = - 研d 4 k ( 咖一地刊， 如= 禹( 甄p 一篱) ，( 2 - 1 7 ) 它满足归一化关系 玩矿( z ，秒) ( y ，z ) = 以6 4 ( z z ) ( 2 1 8 ) 对w 士( z ) 做高斯型积分，可得： 乙一e 印【警靠( z ) ( 。，可) 口( ! ) d 4 z d 4 计( 2 - 1 9 ) 逸时就得到一个非定域的有效作用量： 氏= fd 4 x l a i , ，- 譬i ( z ) p ( z ，可) 对( 可) d 4 z c f 4 y ( 2 - 2 0 ) 我们展开的传播子( 2 1 7 ) ，并取其最低阶形式： a 缈x ，) - 蒹- 25 ( 4 ( z 一可) ( 2 - 2 1 ) 便会得到一个定域的流流耦合算符的泛函积分： 一番户z ( 妒却( 巩 ( 2 - 2 2 ) 它对应的有效拉氏量为： f f ，i n t , e ，= 孺( i f 叱- ( z ) l ，+ p ( z ) = 一凑( 卸) y a ( n w “ ( 2 2 3 ) vzvz 这样我们就得到了简单的树图层次上的有效拉氏量。这种从完整理论拉氏量到有效理论拉 氏量的过渡叫着匹配( m a t c h i n g ) 。当然，这种树图级水平的匹配是简单而且平庸的。 8 南京师范大学博士学位论文 b 介子两体非轻衰变与p q c d 因子化方法下的高阶修正 一旦把耦合常数定义好以后，匹配得到的系数，即w i l s o n 系数，是等以1 的。当我们考虑 7 q c d 修正的效应以后，匹配的过程就不再是平庸的。我们需要使完整理论和有效理论 的红外行为完全相同。对于紫外行为，如果做完波函数重整化以后还存在剩余的发散，就 必须引入算符重整化常数来吸收这部分发散。处理完这部分发散以后，完整理论和有效 理论的差别则会被吸收到相应的w i l s o n 系数中去，这就是圈图级的匹配。考虑q c d 修正 并作重整化以后，算符和相应的系数成为重整化标度依赖的量。一般地，我们的匹配标 度选在一个较高能标( 比如p ( 蜥) 标度) 下，很容易通过微扰论方法计算过程中的短距 离q c d 效应，但我们关心的物理是低能标处( 如b 夸克质量m b 能标) 。为了得到在低能标 处的w i l s o n 系数，需要利用重整化群方程进行演化。 在后面的计算中我们会发现，短距离q c d 效应对强子的弱衰变过程具有非常重要的意 义和影响。比如，通过对o l 。次领头阶的计算并和领头阶的结果相比较发现：第一，可验 i 正p q c d 的有效性，第二，包含了次领头阶的贡献之后的结果对重整化标度的依赖性会明 显降低，第三，结果对重整化方案的依赖性也只有在次领头阶近似下才能”感觉“的到。 考虑了短程的q c d ( 甚至q e d ) 辐射修正之后，我们可以将通过算符乘积展开得到 的低能有效哈密顿量的一般形式写成 饨。，= 赛场k m 莓a ( p ) 以p ) = 是k m i q 融) g ( 卢) ( 2 2 4 ) 其中，指标“i ”表示对所有的算符求和。利用前面介绍的重整化群技巧，可以 将w i l s o n 系数g ( 弘) 所满足的演化方程写为 9 】： g ( p ) = 阢( p ，p w ) g ( p )( 2 2 5 ) 这样，剩下的任务就是计算初始的g ) 和演化矩阵职( p ，肛w ) ，通常可以分成如下三步 进行：第一步，p w 标度时的w i l s o n 系数a ( p w ) 的计算。首先，我们需要计算出完整理论 下的经过夸克场重整化的振幅： 。a f u l ! - o 以f q t f l a ! o ) + 掣( 2 - 2 6 ) 9 南京师范大学博士学位论文 b 介子两体非轻衰变与p q c d 因子化方法下的高阶修正 兵中，& 代表算符q i 在树图级的矩阵兀。其次，采用相l 司的外态和重整化方案，我们来计 算经过夸克场重整化和算符重整化之后的有效算符的矩阵元 = ( 1 + 掣n ) & ( 2 - 2 7 i 其中，矩阵元r 表示对算符 的辐射修正，包含了对数项f n ( 一矿肛乱) 。那么就可 以得到有效理论下的振幅： t e f f - 是田( 1 + 掣r _ ) 嘶以 ( 2 - 2 8 ) 最后，对于同一个过程，由于4 ，洲和4 。，应该给出相同的结果，即让( 2 2 6 ) 和( 2 2 8 ) 桩i 等，容易得到标度时的w i l s o n 系数g ( ) ： g ( p w ) = a 乳掣( a 一r 渺) ( 潮) 第二步，演化矩阵u ( ，p w ) 的推导。在次领头阶( n l o ) 阶，重整化群( r g ) 演化矩 阵- u ( m l ，m 2 ，o z e m ) ( m 2 = m w ，仇1 = p m 2 ) 的一般形式可以写成： u m l , m 2 , a e m 净拗朦耐瑶萨， 协3 。， 其中，y ( 9 2 ，q 。m ) 是包含了q c d 和q e d 修正1 0 1 0 的反常量纲矩阵， ，y ( 9 2 , a e m ) = 券+ 南21 1 ) + 0 4 。e 丌m v te ( 0 ) + 南锄h ( 2 - 3 1 ) 其中，l 们，l ，叭，和0 ：均为1 0 1 0 矩阵，它们的表达式见文献 9 ，1 3 。利用( 2 3 1 ) 式 子，( 2 - 3 0 ) q b 的演化矩阵u ( m 1 ，m 2 ，o t 。m ) 可以分解为 v ( m z ，仇2 , o g e m ) = u ( m ，m 。) + 秀茅r ( m - ，m 2 ) ( 2 3 2 ) 其中u 表示纯q c d 演化部分，矩阵r 描述当包含q e d 修正时的附加演化。它们的具体表示 式为： v ( m 。m ) = 1 + 掣j p ( 蝴一掣刀 眠嘲= 一斋y 卜c 咐嘲+ 石1 3 掣c 嘲卜协3 3 ， 1 0 南京师范大学博士学位论文b 介子两体非轻衰变与p q c d 因子化方法下的高阶修正 2 1 4b 介子衰变的弱哈密顿量 除了带电流树图作用外，圈图级的味改变过程，也就是所谓的企鹅图过程也是非常 重要的。这样描述b 夸克弱衰变的有效哈密顿量中的有效算符被大大扩充了。在标准模型 中，b 介子非轻弱衰变的低能有效哈密顿量形式是【1 2 1 ： 其中 我们 其中 氕e ，= 1 0 c i ( p ) q ；( p ) + q ( p ) q ! ( 肛) + 仉( p ) q 七( p ) k = 3 + 岛7 q t 7 + c s 9 q 8 9 ) + h c ， ( 2 3 4 ) 树图算符或流一流算符( c u r r e n t - c u r r e n t ) ( 2 3 5 ) 变的哈密顿量改写为： q n + g 9 q 8 9 】- q = ( g b q ) y a ( 动u 多) y a ，q i = ( 瓦6 q ) y a ( 劾c 芦) y a ， ( 了；= ( 面0 6 卢) y j 4 ( 西仳av a ，q ；= ( 瓦6 卢) y a ( c v c o ) y a ， 其中q 、声是s u ( 3 ) 3 颜色指标。 ( 2 3 6 ) q c d 企鹅算符( q c dp e n g u i n s ) q 3 = ( 孔6 q ) y a ( 菇而) y a ，q 4 = ( q z b o , ) v a ( 瓦而) y a ， ( 2 3 9 ) qq t q 5 = ( q o b q ) y a ( 西略) y + a ，q e = ( 勃k ) y a ( 记酷) y + a ，( 2 - 4 0 ) 9 7口7 上面q 7 是在一定能标下未被“积分 掉的所有味道的夸克，对b 介子弱衰变来讲，能 标通常取为肛一o ( m b ) ，这时q 钆，d ，8 ，c ，6 ) 。 厂叽 一 生罐 因 = 的 _ 姚 相元阵矩m kc 和是 幺 g 埒 黼篇蓊 祥已嗡 鱼以 飞觯 “u e 戋 州 就 、l，、l， 7 o o口。口u _ - 2 2 ，fi、，j 南京师范大学博士学位论文b 介子两体非轻衰变与p q c d 因子化方法下的高阶修正 弱电企鹅算符( e l e c t r o w e a kp e n g u i n s ) q 7 = 号( 孔6 q ) y a e q l ( 易口3 ) y + a ，q 8 = 吾( 劾6 q ) v a e 。，( 既略) y + j 4 ， ( 2 4 1 ) 一 口7 一 口7 q 9 = 号( 孔6 q ) y a e q , ( 菇略) y a ，v l o = 号( 动6 口) y a e g ，( 磊茹) y 一山( 2 - 4 2 ) 一 q 一 q 其中，e 口，是夸克q 7 的电荷( 以e 为单位) 。 电磁( 色磁) 企鹅算符( m a g n e t i cp e