（基础数学专业论文）zerocoupon+bond+pricing模型的最优系统和对称约化.pdf

中文摘要 本文主要是将李群方法应用于金融问题中的数学模型，研究了z e r o - c o u p o n b o n dp r i c i n g 模型( 以下简称“z c b 模型) 我们求出z c b 模型所容许的单参李 点对称群及其该群相应的伴随表达式，并在此基础上构建了该李点对称群的一 维子代数的最优系统针对所构建的最优系统中的每一个元素，我们对z c b 模 型进行了对称约化，得出该模型一些不同类的解同时我们还将以上方法应用 于( 2 + 1 ) 维非线性s i n e g o r d o n 方程，对其进行了对称约化 本文第二章我们得到了金融数学中如下所示的z c b 模型： u + 1 c 2 x 3 u x x + q c 2 x 2 u x - - x u0 ，z o ，亡 0 ，亡 0 ，亡 o ，亡 0 如果a 4 0 ，取p 为方程( 3 6 ) 的任一根，将其带入方程( 3 8 ) 求解7 例 如，若我们取 p ：塑二笪垒! 塑， a 4 17 第三章z c b 方程一维子代数的最优系统及群不变解 那么5 1 = a 。4 = 0 ，因此 a 4 卜丽 贾= a 2 ( x ) + ( 1 一q ) 、骊托+ 、彳丽拖 ( 3 1 2 ) 如果a l 0 ，取p 为方程( 3 1 1 ) 的任一根，将其带入方程( 3 9 ) 求解，y 例 如，若我们取 p = 一塑避2 a l ， a l 俨丽 另b 么a l = a 4 = 0 ，因此 贾= a 2 ( x ) 一( 1 一q ) 、硐恐一、石五两 ( 3 1 3 ) 如果a l = a 4 = 0 ，那么由n 3 0 ， x = a 3 x 3 + a 2 x 2 ( 3 1 4 ) 表达式( 3 1 2 ) ，( 3 1 3 ) 及( 3 1 4 ) 无法通过伴随作用进行进一步的简化，但我 们可以通过伸缩戈使得虬的系数为1 因此当a l ( x ) 0 时，由x 生成的 每个一维子代数都等价于由肌= a x 2 + 恐，a r 生成的子代数 情形2 a 1 ( x ) 0 ( a l a 4 0 ) 由于a 1 ( x ) 0 ，我们不可能使得系数a l ，五3 ，a 4 同时为零然而，我们可 以使得这三个系数中的其中一个为零如果x 如式( 3 1 ) 所示，那么 各项系数为： 4 戈= a i x i = a d ( e x p ( , 6 x 1 ) ) x ( 3 1 5 ) i = 1 五1 = a l + 口3 p a 4 胪， 1 8 两北大学硕士学位论文 同样地 各项系数为： 5 2 = a 2 2 3 ( 1 一o l ) a 4 ， a 3 = a 3 2 p n 4 ， 6 42a 4 4 又= a i x i = a d ( e x p ( 卢x 4 ) ) x ( 3 1 6 ) t = 1 5 1 = a l ， 5 2 = 2 3 ( 1 一a ) a l + a 2 ， 五3 = 2 f l a l + a 3 ， a 4 = n 4 一a 3 f l a l f l 2 因此我们可以选取适当的五3 使得p 为零：如在式( 3 1 5 ) 中选取p = 鑫， 那么我们有： 又= 等x 1 + a 2 ( 础2 + a 4 托 ( 3 1 7 ) 或者，在式( 3 。1 6 ) 中选取p = 一善，那么有： 二“1 戈铀孙a 2 ( x ) x 2 + 等五 ( 3 1 8 ) 表达式( 3 1 7 ) 和( 3 1 8 ) 无法通过伴随作用进行进一步的简化了，但我们可 以通过将a d ( e x p ( f l x 3 ) ) 作用在又上来使得x 1 和拖或恐和x 4 的系数相 同于是对于式( 3 1 7 ) 中的贾，我们有： 文：e p a i ( x ) x 1 + a 2 ( x ) 恐+ e p n 4 托 (319)4 a 4 、 1 9 第王章z c b 方程一维子代数的最优系统及群不变解 对于式( 3 1 8 ) 中的又，我们有： i f ( = e - 芦a l x l + a 2 ( x ) 恐 4 - e # a 4 1 n ( x 1 ) n 4 虹 ( 3 2 。) 巩仕很惦a 2 ( xj 酮付亏，我1 l j 考虑以卜二柙亍情彤汪葸芏l ja l a 4 0 和a 4 0 如果。4 。，在式( 3 1 9 ) 中选取p = 1 n ( 垒笔旦) 或者在式( 3 2 0 ) 中选 取例n ( 篝紫) 凶此 文= 器x + a 2 ( 删恐+ m ( 3 2 1 ) 否则，我们在式( 3 1 9 ) 中取p = l n 、4 。a 4 a i ( 2 x ( 两) ) 或在式( 3 2 0 ) 中取p = l n ( 丽a 1 ) ，因此 交= a 2 ( x ) ( 蜀+ 恐) + 会器甄 ( 3 2 2 ) 通过伸缩文我们有：当a 1 ( x ) 0 时，由x 生成的每个一 维子代狮都笺价千d i 下笪早年廊的子种斯 或者 ( x ) = 恐+ 托一b x l ，b r + w 3 = x 1 + 托一6 五，b r + 子情形2 ( i i ) a 2 ( x ) 0 这种情形与子情形2 0 ) 类似因此在该情形下由x 生成的每个一维子代数 都等价于由或生成的子代数 子情形2 ( i i i ) a 2 ( x ) = 0 2 0 两北大学硕士学位论文 由于a l 0 且a 4 0 ，当a 2 ( x ) = 0 ，我们可以将式( 3 1 7 ) 和式( 3 1 8 ) 伸 缩为x 4 一a x l 或x 1 一a x 4 ( a r + ) ，同时注意通过一个简单的伸缩变换可 知( 托一a x l ) 一( x 1 一a x 4 ) 因此当a 2 ( x ) = 0 时，由x 生成的每个一维子代数等价于由以下算子生 成的子代数： w 4 = x 1 一a x 4 ，a r 情形3 a i ( x ) = 0 i ) 若a l = a 3 = a 4 = 0 ，那么x = a 2 x 2 ，它可以被伸缩为恐 i i ) 若a l = a 3 = 0 且a 4 0 ，那么x = a 2 x 2 + a a x 4 ，它可以被伸缩 为五+ a x 2 ，a r i i i ) 若a 4 = a 3 = 0 且a l 0 ，那么x = a l x l - 4 - a 2 磁，它可以被伸缩 为x 1 4 - a x 2 ，a r i v ) 若a l 0 ，a 3 0a n da 4 0 ，那么a l a 4 0 因此我们可以 在a i ( x ) = 0 的前提下仿照情形2 进行简化由式( 3 1 7 ) 及式( 3 1 8 ) ， 若a 2 ( x ) = 0 ，那么又= a 4 x 4 或又= a l x l ( 依赖与伴随作用的选择) 若a 2 ( x ) 0 ，依赖于a l a 2 ( x ) 的符号由式( 3 2 1 ) 及式( 3 2 2 ) ，我们可知戈 等价于恐+ 五或蜀+ 咒 因此该情形时由x 生成的每个一维子代数等价于以下算子生成的子代数： w 5 = x 2 ，w 6 = x 1 托，= x 4 - 4 - a x 2 ，w s = x 1 + a x 2 ，a r 注意选取适当的p 及7 ，通过使用a d ( e x p ( ) x 1 ) ) a d ( e x p ( f x 4 ) ，x 1 可被 映射为托 通过以上- - 乖t 情况的讨论，z c b 李代数的一维最优系统e 1 如下所示： o 恐+ 托，恐+ 甄一6 x 1 ，x l + 拖- 6 拖，x 1 一a 拖，恐，x 1 ，弛+ 口，x 1 + n 拖) 其中o r ，b 兄+ 2 1 第五章z c b 方程一维子代数的最优系统及群不变解 3 4 对称约化及群不变解 这一节我们根据上一节构造的z c b 对称李代数的一维最优系统来构建方 程( 1 1 1 ) 的五组群不变解对称约化的理论十分丰富，可参见文献 9 ，1 0 ，1 2 ，1 3 ，5 m 5 3 1 子代数( x = a x 2 + 托，a r ) 该情形下，对应的特征方程为： 如d td u 一= = 一= = 一 z 一亡一o u 解上述方程，可知相似解如下所示： u ( z ，t ) = z 口( ( ) ，( = x t ( 3 2 3 ) 将式( 3 2 3 ) 代入方程( 1 1 ) ，我们可知必须满足以下二阶线性常微分方 程： 三g 2 ( 2 ( ( ) + 1 + ( c 2 n + c 2 理) q k ) + ( 三c 2 吐 一1 ) + q c 2 a - - 1 妒( ( ) = 2 4 ) 特别地，当a = 0 ，方程( 3 2 4 ) 可以被转化为： 去c 2 ( 2 ( e ) + ( 1 + c 2 a ) e 7 ( e ) 一咖( e ) = 0 ( 3 2 5 ) 其特解为( e ) ：( 丛书乒，其中a ：2 c 2 a + 2 一c 2 通过刘维尔公式，我们可求得方程( 3 8 ) 的通解如下所示： 粼) 钉觚) + ( ( ) 丽1 ( e - $ 噼蚓妃 其中c 木和a 都为任意常数 2 子代数( x = a l x l + a 2 x 2 + a , t x 4 ，a l 0 ，a 4 0 ) 该情形下，对应的特征方程为： d xd td u 一= _ - l - _ _ _ = = _ - - 。- _ - _ - 。= _ _ - 一 2 a 4 t xa l a 4 t 2 a 2 + a 4 ( 2 ( 1 一口) 亡一方毛) 】u 2 2 两北大学硕士学位论文 群上述万程，司知相似解如卜所不： a 2 巾刊( ) ( a l - - a a t 2 ) _ ( 1 刊( 等器) 丽e x p 一蕊篙御邯) 其中e = x ( a l a a t 2 ) 将式( 3 2 6 ) 代入方程( 1 1 ) ，我们得到如- v 的- - - 阶常微分方程： 三c 2 仆2 一鬻叫讯) 乩 即 煳+ 器一券一南一o 3 子代数( x = a l x l + a 2 x 2 ，a l 0 ，a 2 0 ) 该情形下，相应的特征方程为： 如d 亡d “ 0 a la 2 u 解上述方程，可知相似解如下所示： u ( x ，t ) = ( ( ) e a ， ( 3 2 7 ) 其中( ：z ，4 1 ；丝 口1 将式( 3 2 7 ) 代入方程( 1 1 ) ，我们可以得出咖满足如下二阶常微分方程： 三暾3 ( ( ) + a 暾2 玳) + ( a l 一泓( ( ) = o ， ( 3 2 8 ) 其中a l ：一a 2 a t 以下我们通过将方程( 3 2 8 ) 转换为刘维尔标准形式来求解首先设 ( ) = ( z ) = 夕( z ) 允( z ) ， ( 3 2 9 ) 然后选择适当的函数h ( x ) 使得将( e ) 代入方程( 3 2 9 ) 后，所得的方程中的9 7 项的系数为零由计算，函数 ( z ) = 菩，其中k 为任意常数从而可得函数g 所满足的方程为： 扒卅 掣一萼m 垆o ， 2 3 第三章z c b 方程一维子代数的最优系统及群不变解 该方程即为方程( 3 2 9 ) 的刘维尔标准形式 4 子代数( x = a 2 x 2 + a 4 x 4 ，a 2 0 ，a 4 0 ) 该情形下，相应的特征方程为： d xd td u 一：= 一= = - - ：- 一 2 a 4 t xa 4 t 2 【a 2 + a 4 ( 2 ( 1 一q ) 亡一若毛) 】u 解上述方程，可知相似解如下所示： “( z ，亡) = 删t - 2 ( 1 - a ) e x p 而2 + 景】， ( 3 3 0 ) 其中( = z 亡2 将方程( 3 3 0 ) 代入方程( 1 1 ) ，我们可得如下所二阶常微分方程： 。1 _ c 2 ( 3 7 ( e ) + a c 2 2 咖7 k ) + ( a 2 一e ) 咖( ) = 0 ， ( 3 3 1 ) 其中a 2 ：一一a 2 注意到：将方程( 3 2 8 ) 中的a 1 ”换为 a 2 ”，因此方程( 3 3 1 ) 的刘维尔标 准形式也是： 9 ( z ) + 三皇乞笋一百2 ( a 2 - x ) 】夕( z ) = o 5 子代数( x = x 1 ) 该情形下，相似解如下所示： u ( x ，t ) = ( e ) ， ( 3 3 2 ) 其中( = z 将式( 3 3 2 ) 代入方程( 1 1 ) ，我们可以得出满足如下所示二阶常微分方 程： 丢c 2 e 2 ( e ) + 。g 2 ( ( e ) 一( e ) = o ， ( 3 3 3 ) 该方程的通解为如( e ) ：- b + 铲v b 2 + 8 c 2 ，其中b = ( 2 a - 1 ) c 2 2 4 西北大学硕士学位论文 通过著名的刘维尔公式，我t f - i 求得方程( 3 3 3 ) 的通解为： 佩) = c ( ( ) + q 加( 0 ，t t 做了对称群分析通过构建无息债券定价模型所允许的李代数的最优系统，得到 原方程的约化常微分方程和一些群不变解作为对该方法的应用，我们还给出 了( 2 + 1 ) 维非线性s i n e g o r d o n 方程一维子代数的最优系统及对称约化 值得我们今后进一步探讨的问题有： ( 1 ) 如何对约化的常微分方程进行进一步讨论，分析它们的解在实际金 融活动中的意义 ( 2 ) 文中讨论的”z c b ”模型中所出现的c 及q 都为常数，当它们为任意函 数时，该模型在金融活动中有什么具体的实际意义，对它们进行对称群分析是 否有意义? ( 3 ) 本文中我们只是借助有限维对称群对模型进行了对称分析，当对称 群取无限维时能否得到一些新的约化方程及群不变解? 这些方面的工作对于我们进一步分析和理解模型的实际意义十分有用，我 们将不断探索，期待获得丰富有趣的结果 两北大学硕士学位论文 参考文献 【1 h i l lj m s o l u t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb ym e a n so fo n e - p a r a m e t e r g r o u p s m p i t t m a nb o s t o n ，1 9 8 2 b l u m a ng w ，c o l ej d t h eg e n e r a ls i m i l a r i t ys o l u t i o no ft h eh e a te q u a - t i o n j j m a t h m e c h ，1 9 6 9 ，v 1 8 ：1 0 2 5 1 0 4 2 3 】f u s h c h i c hw i ，s h t e l e nw m ，s e r o vn i ，s y m m e t r ya n a l y s i sa n de x - a c ts o l u t i o n so fe q u a t i o n so fn o n l i n e a rm a t h e m a t i c a lp h y s i c s m d o r d r e c h t ： k l u w e ra c a d e m i cp u b l i s h e r s ，1 9 9 3 【4 】r o g e r sc ，a m e sw f n o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi ns c i e n c ea n d e n g i n e e r i n g m b o s t o n ：a c d e m i cp r e s s ，1 9 8 9 【5 】s t e p h a n i h d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s - t h e i rs o l u t i o n su s i n gs y m m e t r i e s m c a m b r i d g e ：c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 8 9 v i n o g r a d o va m 。s y m m e t r i e so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ：c o n s e r v a - t i o nl a w s ，a p p l i c a t i o n s ，a l g o r i t h m s m d o r d r e c h t ：k l u w e r ，1 9 8 9 o v s i a n n i k o vl v g r o u pp r o p e r t i e so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m r u s s i a n ： n o v o s i b i r s k ，1 9 6 2 b l u m a ng w ，c o l ej d s i m i l a r i t ym e t h o df o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 9 9 】o l v e rp j a p p l i c a t i o no fl i eg r o u p st od i f f e r e n t i a le q u a t i o n m s e c o n d 1 0 e d i t i o n n e wy o r k ：s p r i n g e r ，1 9 9 3 o v s i a n n i k o vl v g r o u pa n a l y s i so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m n e wy o r k ： a c a d e m i cp r e s s ，1 9 8 2 参考文献 1 1 】i b r a g i m o v n h t r a n s f o r m a t i o n g r o u p sa p p l i e dt o m a t h e m a t i c a l p h y s i c s m b o s t o n ：d r e i d e l ，1 9 8 5 【1 2 】b l u m a ng w ，k u m e is s y m m e t r i e sa n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n m b e r l i n ： s p r i n g e r ，1 9 8 9 【1 3 】i b r a g i m o vn h c r ch a n d b o o k o fl i eg r o u pa n a l y s i so fd i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s m b o c ar a t o n ：c r cp r e s s ，1 9 9 5 1 4 】r e i dg j a l g o r i t h m sf o rr e d u c i n gas y s t e mo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t os t a n d a r df o r m ，d e t e r m i n i n gt h ed i m e n s i o no fi t ss o l u t i o n ss p a c ea n dc a l - c u l a t i n gi t st a y l o rs e r i e ss o l u t i o n j e u r j a p p l m a t h ，1 9 9 1 ，v 2 ( 1 9 1 ) ： 2 9 3 3 1 8 1 5 】i b r a g i m o vn h e l e m e n t a r yl i eg r o u pa n a l y s i sa n do r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s m n e wy o r k ：w i l e y , 1 9 9 9 16 】y a n gx u a n l i u ，z h a n gs h u n l i ，q uc h a n g z h e n g s y m m e t r yb r e a k i n gf o r b l a c k - s c h o l e se q u a t i o n s c o m m u n t h e o r p h y s ，2 0 0 7 ，v 4 7 ：9 9 5 1 0 0 0 17 刘式适，刘式达物理学中的非线性方程【m 】北京：北京大学出版社，2 0 0 0 1 8 】楼森岳，唐晓艳非线性数学物理方法【m 】北京：科学出版社，2 0 0 6 1 9 】b o y e rc d ，s h a r pr t ，w i n t e r i t zp s y m m e t r yb r e a k i n gi n t e r a c t i o n sf o r t h et i m ed e p e n d e n ts c h r o d i n g e re q u a t i o n j j m a t h p h y s ，1 9 7 6 ，v 1 7 ( 8 ) ： 1 4 3 9 1 4 4 3 2 0 b e c k e r sj ，p a t e r aj ，w i n t e r i t zp s u b g r o u p s o ft h ee u c l i d e a n g r o u pa n ds y m m e t r yb r e a k i n gi nn o n r e l a t i v i s t i cq u a n t u mm e c h a n i c s j j m a t h p h y s ，1 9 7 7 ，v 1 8 ( 1 ) ：7 2 7 8 21 】w i n t e r i t zp s u b g r o u p so fl i eg r o u p a n db r e a k i n gg r o u pt h e o r e t i c a lm e t h o d si np h y s i c s m n e wy o r k ：a c d e m i cp r e s s ，1 9 7 7 ，v 5 ：5 4 0 5 7 2 3 6 两北大学硕士学位论文 【2 2 】q uc h a n g z h e n g a l l o w e dt r a n s f o r m a t i o n sa n ds y m m e t r y c l a s s e so fv a r i a b l e c o e f f i c i e n tb u r g e r se q u a t i o n s j i m a ，j a p p l m a t h ，1 9 9 5 ，v 5 4 ( 3 ) ：2 0 3 2 2 5 2 3 p a t e r aj ，w i n t e r i t zp an e wb a s i sf o rt h er e p r e s e n t a t i o no ft h er o t a t i o n g r o u p j j m a t h p h y s ，1 9 7 3 ，v 1 4 ( 8 ) ：11 3 0 11 5 6 【2 4 】m a c k yg i n d u c e dr e s p r e s e n t a t i o n so fg r o u p sq u a n t u mm e c h a n i c s m n e wy o r k ：b e n j a m i n ，1 9 6 9 【2 5 g a e t ag b i f u r c a t i o na n ds y m m e t r yb r e a k i n g j p h y s r e p ，1 9 9 0 ，v 1 8 9 ： 1 8 7 2 6 】g a e t ag r e d u c t i o na n de q u i v a r i a n tb r a n c h i n gl e m m a ：d y n a m i c a ls y s - t e m s ，e v o l u t i o np d e s ，a n dg a u g et h e o r i e s j a c t a a p p l m a t h ，1 9 9 2 ，v 2 8 ： 4 3 6 8 2 7 】b o y e rc ，k a l n i n se g ，m i l l e rw j r j m a t h p h y s ，1 9 2 5 ，v 1 6 ：4 9 9 5 1 0 【2 8 c h o uk a i s e n g ，q uc h a n g z h a n g o p t i m a ls y s t e mg r o u pa n dc l a s s i f i c a t i o n o f ( 1 + 2 ) d i m e n s i o n a lh e a te q u a t i o n j a c t a a p p l m a t h ，2 0 0 4 ，v 8 3 ：2 5 7 - 2 8 7 2 9 a z a dh ，m u s t a f am t s y m m e t r ya n a l y s i so fw a v ee q u a t i o no ns p h e r e j j m a t h a n a l a p p l ，2 0 0 7 ，v 3 3 3 ：1 1 8 0 1 1 8 8 3 0 】p a t e r aj ，w i n t e r i t zp ，z a s s e n h a u s c o n t i n u o u ss u b g r o u p so ft h ef u n d a - m e n t a lg r o u p so fp h y s i c s i g e n e r a lm e t h o da n dt h ep o i n c a r 6 9 r o u p j j m a t h p h y s ( 1 9 7 5 ) ，v 1 6 ：1 5 9 7 - 1 6 2 3 ( 3 1 】p a t e r aj ，w i n t e r i t zp ，z a s s e n h a u s q u a n t u mn u m b e r sf o rp a r t i c l e si nd e s i t t e rs p a c e j j m a t h p h y s ，1 9 7 6 ，v 1 7 ：9 7 7 - 9 8 2 3 2 】p a t e r aj ，w i n t e r i t zp ，z a s s e n h a u s c o n t i n u o u ss u b g r o u p so ft h ef u n d a - 3 7 参考文献 m e n t a lg r o u p so fp h y s i c s i i t h es i m i l i t u d eg r o u p j j m a t h p h y s ，1 9 7 5 ， v 1 7 ( 8 ) ：7 1 7 1 6 1 5 【3 3 c h o uk a i s e n g ，l ig u a n x i n ，q uc h a n g z h e n g an o t eo no p t i m a ls y s t e m s f o rt h eh e a te q u a t i o n j j m a t h a n a l a p p l ，2 0 0 1 ，v 2 6 1 ：7 4 1 7 5 1 3 4 m a l u l e k eg h ，m a s o nd p o p t i m a ls y s t e ma n dg r o u pi n v a r i a n ts o l u t i o n s f o ran o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n j c o m m u n n o n l i n s c i n u m e r s i m u l a t ，2 0 0 4 ， v 9 ：9 3 1 0 4 【3 5 s i n k a l aw ，l e a c hp g 叫jo h a r aj g a no p t i m a ls y s t e ma n dg r o u pi n v a r i - a n ts o l u t i o n so ft h e j 1 a p p l m a t h c o m p u t ，2 0 0 8 3 6 c l a r k s o np a ，k r u s k a lm d n e ws i m i l a r i t ys o l u t i o n so ft h eb o u s s i n e s q e q u a t i o n s j j m a t h p h y s ，1 9 8 9 ，v 3 0 ：2 2 0 1 2 2 1 3 3 7 c i e c i u r ag ，g r u n d l a n da ac e r t a i nc l a s so fs o l u t i o n so ft h en o n l i n e a rw a v e e q u a t i o n j j m a t h p h y s ，1 9 8 4 ，v 2 5 ( 1 2 ) ：3 4 6 0 3 4 6 9 3 8 】m o r a l e s - m o l i n al ，m e r t e n sf g ，s a n c h e za s o l i t o nr a t c h e t so u to fp o i n t l i k ei n h o m o g e n e i t i e s j e u r p h y s j ，2 0 0 1 ，v 1 9 ：1 0 7 - 1 2 3 【3 9 l o usy ，h u a n ggx a n dn igj , p h y s l e t t a1 4 6 ( 1 9 9 0 ) ，1 1 【4 0 f r i e d b e r gr ，l e et d 。f e r m i o n - f i e l dn o n t o p o l o g i c a ls o l i t o n s 。i i 。m o d e l s f o rh a d r o n s j p h y s r e v d ，1 9 7 7 ，v 1 5 ：1 6 9 4 - 1 7 1 0 4 1 】l i es t h e o r i ed e rt r a n s f o r m a t i o n s g r u p p e ni j 】m a t h e m a t i s c h ea n n a l e n ， 1 8 8 0 ，v 1 6 ( 4 ) ：4 4 1 5 2 8 4 2 】g a z i z o vr k ，i b r a g i m o vn h l i es y m m e t r ya n a l y s i so f d i f f e r e n t i a le q u a - t i o n si nf i n a n c e j n o n l i n d y n ，1 9 9 8 ，v 1 7 ：3 8 7 4 0 7 4 3 c o xj c ，i n g e r s o l lj e ，r o s ss a t h et h e o r yo ft h et e r ms t r u c t u r eo f i n t e r e s tr a t e s j e c o n o m e t r i c a ，1 9 8 5 ，v 5 3 ：3 8 5 4 0 7 3 8 两北大学硕士学位论文 4 4 】v a s i c e ko a ne q u i l i b r i u mc h a r a c t e r i s a t i o no f t h e t e r ms t r u c t u r e j j o u r n a l o ff i n a n c i a le c o n o m i c s ，1 9 7 7 ，v 5 ：1 7 7 - 1 8 8 4 5 】h ot s ，l e es t e r ms t r u c t u r em o v e m e n t sa n dp r i c i n gi n t e r e s tr a t ec o n - t i n g e n tc l a i m s j o u r n a lo ff i n a n c e ，1 9 8 6 ，v 4 2 ：1 1 2 9 1 1 4 2 4 6 】c h a nk c ，k a r o l y ig a ，l o n g s t a f ff ，s a n d e r sa b a ne m p i r i c a lc o r n - p a r i s o no fa l t e r n a t i v em o d e l so ft h es h o r t t e r mi n t e r e s tr a t e j o u r n a lo f f i n a n c e ，1 9 9 2 ，v 4 7 ：1 2 0 9 1 2 2 7 【4 7 】a h nd ，g a ob ap a r a m e t r i cn o n l i n e a rm o d e lo ft e r ms t r u c t u r ed y n a m i c s r e v i e wo ff i n a n c i a ls t u d i e s ，1 9 9 9 ，v 1 2 ：7 2 1 7 6 2 4 8 g o a r dj n e ws o l u t i o n st ot h eb o n d p r i c i n ge q u a t i o nv i al i e sc l a s s i c a l m e t h o d m a t h e m a t i c a la n dc o m p u t e rm o d e l l i n g ，2 0 0 0 ，v 3 2 ：2 9 9 3 1 3 4 9 】k e n n e t hj o h n p i l l a ii ，s c o t tw m c c u e ，j a m e sm h i l l l i eg r o u ps y m m e t r y a n a l y s i sf o rg r a n u l a rm e d i as t