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非线性电报方程解的渐近性质及广义k d v 方程的行 波解 应用数学专业 研究生陈静指导教师赖绍永 本文主要包括两方面的工作：一是运用渐近理论和扰动方法讨论了两个非线 性扰动电报方程解的适定性和渐近性质；二是利用微分方程降阶方法得到了几类 广义k d v 方程的行波解 在区域 ( z ，t ) l r ，0 t 0 或n 0 ) 的行波解，并得到了其紧孤子，孤立子，孤立波相似解 第i 页洪3 6 页 中史摘要 和周期解 关键词：半线性电报方程；整体解；适定性；渐近理论；广义k d v 方程；紧孤子； 孤立子；孤立波相似解；解的物理结构 第i 顷，共3 6 页 毕业论文 a s y m p t o t i cp r o p e r t i e so fs o l u t i o n sf o rn o n l i n e a r t e l e g r a p he q u a t i o n sa n de x a c tt r a v e l l i n gw a v e s o l u t i o n sf o rg e n e r a l i z e dk d ve q u a t i o n s m a j o r - a p p l i e dm a t h e m a t i c s a u t h o r ：j i n gc h e n s u p e r v i s o r ：s h a o y o n gl a l t h eo b j e c t i v e so ft h i sw o r ka r et w o f o l d 跏t l y ，w ea p p l ya s y m p t o t mt h e - o r ya n dp e r t u r b a t i o nm e t h o d st od e v e l o pt h ew e u - p o s e d n e s so fs o l u t i o n sf o rt w o k i n d 8o f n o n l i n e a rp e r t u r b a t i o nt e l e g r a p he q u a t i o n s s e c o n d l y , w ea i mt oa c q u i r e t h et r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n sf o rs e v e r a lt y p e so fg e n e r a l i z e dk d ve q u a t i o n sb y u s i n gt h em a t h e m a t i c a lt e c h n i q u eb a s e do nt h er e d u c t i o no fo r d e rf o rs o l v i n g d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s c h a p t e r2d e a l sw i t ht h ew e u - p o s e d n e s so fs o l u t i o n sf o rt h ei n i t i a lv a l u e p r o b l e mo fs e m i l i n e a rt e l e g r a p he q u a t i o n st t t t + “+ e h ( u ，t t ，t b ，s ) = 0i n a ni n f i n i t er e g i o n ( 茹，t ) i z r ，0 t 0 o r7 1 , l + 、，伍且初值充分光滑时，方程( 1 1 ) 整 体解的存在性在文 3 】中，他进一步证明了当1 p 1 + 以，初值满足一定 条件时，方程( 1 1 ) 整体解的不存在性 j o h n 【2 】【3 | 在高维空间中讨论了具有经典初边值问题的非线性波方程在 文 4 】中，a v a l i s h v i l i 和g o r d e z i a n i 研究了具有非经典初边值问题的如下电报方 程 = t l 站+ c t + ，( z ，t ) ，0 z z ，o t z( 1 - 2 ) 第1 页，共3 6 页 第一章前吉 他们提出了一种直接构造解的算法，并证明了当此方程具有非局部边界条件时 解的存在唯一性 本文研究带小参数的非线性扰动电报方程解的渐近性质我们知道，许 多物理现象中都有非线性扰动的作用，其中一些现象在数学上可以用含小非线 性项的偏微分方程来刻画，如非线性s c h r o d i n g e r 方程，带小初始位移的浅水波 方程，弱非线性声波方程等通常，我们采用关于小参数的近似扩张和多重 尺度法对这些非线性扰动问题的近似解进行分析 关于非线性电报方程初边值问题的研究，上个世纪七八十年代，c h i k w e n d u 和k e v o r k i a a 5 1 ，l s r d n e rf 6 1 等人引入多重时间变量法去描述当0 t z 时 其解的展开式这种方法主要是通过引入时间变量t = 矗来构造渐近近似解， 并进一步对解的性质进行分析在文 7 | 中，b u r g h 研究了这种扰动法的渐近有 效性，随后，h o r s s e n 又在文【9 】中证明了形式扰动近似解的适定性和渐近有效 性在文 1 0 】中，b u r g h 和h o r s s e n 讨论了如下具有初边值问题的非线性扰动电 报方程 t 上t t t 嚣+ 矿t + f ( z ，t ，u ；e ) = 0 ，0 z 0 ，0 扭i 旬l ， u ( z ，0 ) = u o ( x ；) ，毗 ，o ) = u l ( z ；) ，0 0 时问题( 1 - 3 ) 的渐近理论，得到了解的0 ( 1 1 - 1 ) 渐近近似解 同时，国内也有大量专家学者关注非线性扰动电报方程渐近理论的研究 如赖绍永 n 1 3 1 1 1 4 等就在这方面做了定的工作，在高维空间中讨论了电报 方程的渐近性问题得到了一些新结果 第2 页，共3 6 页毕业论文 第一章前言 1 2 孤立子理论的研究背景及现状 孤立波是一种普遍存在的物理现象，它存在于物理学和工程学的许多问题 中，如等离子体中的磁流体波，离子声波，弹性棒中的纵色散波等人们最早 用k d v 方程来描述孤立波，此后又迸一步发现，除k d v 方程井其它的一些非 线性偏微分方程，如k l e n - g o r d o n 方程，s c h r o d i n g e r 方程，b o u s s i n e s q 方程等， 在一定假设条件下具有孤立波解从此吸引了众多学者去研究各种各样的非线 性偏微分方程的确切解，其中也包括孤立波解 美国数学家z b u s k y 与k r u s k a l 通过使用计算机模拟两个具有不同速度孤 立波的相遇发现，两个孤立波的相遇具有类似于物质粒子之间的碰撞特性即 它们相互碰撞和作用后其形状和速度保持不变，z a b u s k y 与k n 埠l c a l 将具有这 种碰撞特性的孤立波称为。孤立子”或称“孤子”( s o f i t o n ) 事实上，并非所有 的孤立波都具有这种稳定的碰撞特性，人们只把具有这种碰撞稳定性的孤立波 称之为。孤立子” 孤立子是近代物理学中提出的一个新概念，它的提出掀起了这一领域 的研究热潮尤其是近几十年来，孤立子理论的研究工作得到了蓬勃的发 展( 见 1 9 1 一【3 9 】) 近年来，随着对孤立子理论研究的深入，额的求解方法不断涌现齐次平衡 法就是寻求非线性偏微分方程孤立波解的有力工具之一所谓齐次平衡法，即 根据非齐次项与高阶导数项平衡的原则，将非线性方程齐次化，代数化，从而求 得其解王明亮等在 1 9 1 1 2 0 中用此方法获得了大量非线性发展方程( 组) 的准确 孤立波解 范思贵 2 1 1 1 2 2 迸一步改进了齐次平衡法，并结合b a d d u n d 等传统的变换 法，借助m a t h e m a t i c a 等数学软件，得到了一些非线性偏微分方程大量的新孤 立子解 第3 页 共3 6 页毕业论文 第一章前吉 张健和周钰谦( 2 4 】采用h o p f - c o l e 变换法将( 2 + 1 ) 维的非线性色散长波方程 转换为非线性热方程，通过使用齐次平衡法得到了这些方程大量的新解，包括 多重孤波解，三角函数周期解等 同时，t a n h 方法 2 5 1 也是一种非常有效的求解工具之一它的好处在于 能够将所求的非线性方程转化为便于使用数学软件求锯的代数方程刘希 强 2 s t 2 v 等运用推广了的t a n h 方法一鼬c q t a 山方法，找到了多重分量的非 线性s c h r o d i n g e r 和k l e i n - g o r d o n 方程的s e c q t a n 口型的确切解t a o g e t u s a n g 【2 8 1 结合t a n h 方法和齐次平衡法，研究了广义m k d v 方程和广义z k 方程，得 到了大量的孤波解 为了探索非线性色散在流体力学模型中的作用，s o s e n & u 和h y m a n 3 0 1 引 入并研究了一类非线性的k d v 方程k ( m ，n ) 方程： 啦+ n ( t m ) 霉+ ( 矿) 蹦t = 0 ，m 1 ，1 0 ，( 2 - 1 ) u ( x ，0 ) = u 0 0 ，) ，地扛，0 ) = u l ( x ，e ) ， r ( 2 - 2 ) 条件1 假设t 0 ，u 1 连续可微丑有界，0 o ，j 竺t 1 ( 已) 武有界；，i 及其偏导数在本章中是解析且一致有界的 在 1 】中，考虑了方程鲰一t 。+ 如0 ，钝，誓：，) = 0 初边值问题解的渐近 理论，得到了当0 z l 两，0 t 上两为充分小的正常数) 时解的 0 ( 1 1 一 ) 渐近近似解名e i o l 中考虑了方程( 1 1 ) 当0 霉丌，0 t l 两 时解的渐近理论本章将讨论初值问题( 2 - 1 ) ( 2 - 2 ) 在无穷区域一o o z + o o ，0 t l h 中解的渐近理论及应用 2 2 问题的适定性 为证明问题( 2 - 1 ) ( 2 - 2 ) 解的存在唯一性，由( 1 5 】知，问题( 2 - 1 ) ( 2 - 2 ) 等价于 如下积分方程 t p ，t ) = 言t o 扛+ t ，0 + 言t 0 0 一t ，f ) + ；e 玳妄而( 伊研) + ； t - 任，) 而( 万= i ；= 酉- ) 必) ，t ，列( h 竹 + 一；上上陋n “躲r 】，1 r ( f 7 ) ，心g ，r ) ，) 第7 页，共3 6 页 第二章一类弱半线性电报方稃解的渐近理论 而( p t ) 2 一扛一f ) 2 ) 吠打) = 巩+ 啊，( 二3 ) 其中j o 为0 阶的b e s s e l 函数 下面用b a n a c h 不动点定理证明问题( 2 - 1 ) ( 2 2 ) 解的存在唯一性令t i = ? t 设 s l = ( z ，t ) i x r ，0 t 工 i i ) ， 其中二为充分小且不依赖于的正常数设c k ( s l ) 由既上所有连续实值函 数构成，其范数定义为 & 2 ( 枨m a x 地 训m 由于j o 一致收敛，且i 而i 1 ( 见 1 6 1 ) ；又根据，u l 所满足的条件，存在正常 数尬，使得 w , h s 要( 2 - 4 ) 又因为 一致有界，则存在不依赖于e 的正常数尬，使得 兕_ i j 一珂撕帅 而( ( 7 一t ) 2 一扛一f ) 2 ) 武打| i 乱 尬t 2 尬l 2 ( 2 - 5 ) 结合( 叫) 和( 2 5 ) 有 t l t 1 s 工i i 研0 乳+ 8 坼州既了m i + m 2 l 2 ， 其中三为充分小的正常数可取适当小的l 使尬l 2 ( z ，t ) 鼠，有 1 1 2 k 0 乳m 1 由此可知? 是c h ( 鼠) 上到自身的映射 等，则对任意 ( 2 - 6 ) 下证t 为c 肌( s l ) 上的压缩映射设t i ，1 j c k ( ) ，由于 及其偏导数 解析，则存在正常数蟛，对( t ) s l ，有 第8 页，共3 6 页毕业论文 第二章一类弱半线性电报方程解的渐近理论 ( ，t t ，t k ，e ) 一j i l ( 口，仇，t k ，) 0 s 嗡l l t 一训l 乳 进步，存在 如，使得 1 1 2 一乳0 = j i 研，一, l l s 。 = 铀z 培z + = ( t , - - , r 瞰蚺m 沪脚m 删7 j o c v o 一t ) 2 一( z 一0 2 ) d 打0 s 。 h t 2 蜗一训k 慨上2 “t 一掣h 既。 其中l 为充分小的正常数则对所有( ，t ) s i ，有0 七 1 ，( 2 - 9 ) v ( z ，o ) = t 1 0 ，) 十旧l n - 1 r z ( x ，s ) = 博t 工动， $ r ， ( 2 - 1 0 ) v t ( x ，0 ) = u l ( x ，g ) + i e l n - 1 r 3 ( x ，e ) = v z ( x ，) ， z r ( 2 - i i ) 条件2 其中毛h 和v o ，饥满足条件i ，类似地，r l ，r a 一次连续可筏r 2 二 次连续可微，且在讨论中r l ，7 2 ，r 3 一致有界，并对z r ，t 0 ，j ：竺r 3 ( e ) 磷 有界 由积分式( 2 - 3 ) ，问题( 2 - 9 ) 一( 2 - 1 1 ) 等价于 口( 善，t ) = 去( z + t ，) + 言t 砸( z t ，) + 互i 上z 一+ 。t 代，s ) 羞而( 万= 研) 武 1 ，o + # 一 + 云 q 健，e ) j o ( v t 2 一扛一f ) 2 ) d ， 仆珂篡地毗矗( 厕肘) + 譬r z = 州洲而( 厕鼢 = - t - k j + w ，( 2 - 1 2 ) 由条件2 得，对所有( z ，t ) 既，存在常数尥，使得 0 w 。0 m , l e l “铲l e l - - 1 尬工2 第l o 页洪3 6 页 ( 2 - - 1 3 ) 毕业论文 第_ 章一类弱半线性电报方程解的渐近理论 且存在常数 毛，便得 慨一刚s l ：i i 一筚r 2 ( z + t ，8 ) 一军r 2 ( 一屯) 一譬z x + t 眯晏而( 石哥) 武 一i e f ；- 厂r 3 ( 。) 五( 万= 可而武i | 乳 h ”1 m 5 ( 2 - 1 4 ) 则对， c k ( 既) ，有 l 阻一 h 乱i l u , 一i i + 0 c 啊一v l l l l s 。+ i i v , 。f f 乳 纠阻一口| i s t + 陋i “一1 ( m 4 l ：4 - 如) 故有 l l u - v l l 乱拦铲+ 鼢 ( 淌) 其中0 o 涵1 6 ) 【t ( 善，0 ) = 妒( z ) ，t h ( 石，o ) ：= 妒( ) ， z 兄， 这里0 0 ，( 3 - 1 ) t p ，0 ) = t o p ，) ，t t ( z ，0 ) = u l ( x ，e ) ， z r ， ( 3 - 2 ) 这里是二次连续可微的实值函数，常数o 6 o ，c 0 ，一铲+ 6 2 + c 0 ，f ，u o ，u l 满足下列条件 ( i ) ，( u ，5 ) 关于u 连续可微，且( o ，) = 厶( o ，g ) = 0 ( i i ) 存在常数p 2 ，a 0 ，使得对任意有界函数，口有 i ，( 一，( 口) i a l u i ，一2 阻一口i ， 这里，= m 旺 l “l ，m ) ( i i i ) l 露蜘( 毛) l ，j 霹u l ( x ，) i m ， 这里i q l = 0 ，1 ，2 ，吲= 0 ，1 ，m 为不依赖于的正常数 文 8 】，【9 】研究了半线性电报方程当0 霉 r ，0 t o ( 1 e l - 1 ) 时解的适 定性问题文 1 3 1 在二维空间中将半线性波动方程初边值问题渐近理论推广至 0 t o ( 1 e l 一髑锄) ( 其中i = 痞= 巧 1 ) 的情况本章将在一维空间中研究 更一般的电报方程，即初值问题( a 4 ) ( 3 - 2 ) 整体解的存在性 为方便起见，本章出现的任意正常数都用c 代表，它可能与aa ，掰有关， 但不依赖于己 第1 3 页洪3 6 页 第二章一类广义半线性电报方程整体解的存在性 3 2 主要结论 为证明问题( 3 - i ) ( 3 - 2 ) 俨整体解的存在唯一性，由 1 5 】f 1 6 】知，问题p 1 ) p 2 ) 等价于如下积分方程 u 扛，t ，e ) = ；e - ( 士) z o ( z + t ，e ) + ；e 一( 4 一”t o ( 。一t ，e ) 1f x + t盎 + 妒“埘“x - - te 吨( 洲丕五( 俪瓦面砑) o j v - + a j o ( 狮f 气习) ) + 札。( f ，s ) 而( 铜矿刁i j 弱) 】蝌 + 忙 e ( a 1 - 嘲，( “( f ，l e ) ，e ) 加! ：二! ! ：! j o ( 4 a ( t r ) 2 一( 孑一) 2 ) d d r ) = u 0 ( z ，) + ；e 一一埘( 俨( z ，t ，) + 叫o ( 蜀t ，e ) ) ，( 3 - 3 ) 这里矗为0 阶的b e s s e l 函数，d = 一铲+ 6 2 + c 下面用b a n a c h 不动点定理证明问题( 3 _ i ) ( 3 - 2 ) 解的存在唯一性设 s = ( z ，t ) f 。丑，t o 定义俨( 研为s 上所有二次连续可微的实值函数矽所构成的空间，其范数定 义为 s 一。邑剁警i 0 ，有j 而j 1 ，l 袅矗( 们| l 六l , 弘s a j o ( o ) l 譬铲+ ，i 茹j o ( o ) l 磊炉+ 警t 且有e - ( a t k 竺e k = ( e 一4 一班一e 一( ”的) 我 们注意到 舰p ( t ) e “= 0 ， 其中o t 0 ，p ( t ) 为t 的常系数多项式，即是说p ( t ) e 一“葡界则根据条件( i i i ) 有 i e 一似一娜伊( z ，t ，) i m i c ；t + d + 1 ) e 一一k ) ”e k 武j 一j z - t i m 嶝d + 口+ 1 ) e 一( 口一 + i m 嶝d + 口+ 1 ) e 一( d 舳一 a( 3 - 8 ) 类似她有， l e - c 口t h ，谚扛，t ，e ) i 埘“譬t 2 + ；( 。+ 1 ) t + ；) e 叫m k ，z 二e m 磷i + l f l ( 一：t + d + 1 ) e 一“一蛳l + f l ( 一：t + 口+ 1 ) e 一“+ 时l 筻1 6 页共3 6 页毕业论文 第三章一类广义半线性电报方程整体解的存在性 l e - c - 嗽c 咖脶州鬈户+ i d 2 ( 口+ 1 ) t 2 + 警t + ；( 口+ 1 ) ) e 啪也) ，州e - b e a g l + m i ( - 譬f 一互d ( g + 6 + 2 弦+ ( 口+ 曲+ 6 一d + 1 ) ) e 一( 一蛳i + m i c 警f - 互d 。一6 + 2 ) t + ( 口一d 6 6 一d + 1 ) ) e 一蛳i d ( 3 - 1 0 ) ，由( 3 - 5 ) 。( 3 - 7 ) 和( 专8 ) _ ( 3 - 1 0 ) 知 i 宴嘉( 扣删以叫脶d ( ) 对菇貉( ；e 一( m 一孓( 毛t ，e ) ) ( o i + j 2 ) 作和( 3 - 1 1 ) 类似的估计，我们 有 i 。篇( 刊雌 圳g o ；e 一( 耐一6 z ) 口。( z ，t ，e ) o s c ( 3 - 1 2 ) 一 引理2 假设均( 而s ) ，u l ( z ，g ) 满足条件( m ) ，( u ，e ) 满足条件( i ) ( i i ) ，则有 呛e 一( “埘舻( z ，t ，e ) 1 1 8 d 证明因j o ( o ) = 1 ，爱矗( ，7 ) l 仁硅。一r ) = 一 o r ) ，则 伽。( 吼s ) ：s tr 0 1 e ) m 嬉) ，e ) 而( ( ) 武机( 3 - 1 3 ) 咖 扣s j 厂oz = 叫) ，( u 帆咄s ) 晏球附 ，z 一“- r r ) u + e 【( 8 + ”7 6 任+ 。) 1 ，( 钍扛- i - ( t r ) ，r o ，s ) 打 第1 7 页，共3 6 页毕业论文 兰三童= 墨 墨兰垡丝皇堡查堡鳖堡壁塑堡垄堡 + e f t 一b ) 7 - b ( z 一”，( ( 一( t r ) ，1 _ ，e ) ，) 击 ， ( 3 - 1 4 ) 吡啦陬 蔗叫) ，( 础， n ) 要o - 抓蚴 叫鑫( z ，t ，) t e 一螬，( t ( ，f ，e ) ，g ) 鬲j 如( ( ) 鹰打 j 0j 一“一r ) v 。 + ，e l ( 口+ 6 ) r 一5 ( 抖叫( ( 一d ( t - 1 ) 一6 ) ，( “( 。+ ( 一r ) ，l ) ，) + 丘，扛- l - g r ) ，r ， ) 】d r + j r e 一砷r 山。一州【( 一d ( t - r ) + 6 ) ，( t 扛一( t - - 1 ) ，l5 ) ，g ) + 厶“知一( t r ) ，一) 1 打+ 2 e 沁拓f ( u ( x ，t ，e ) ，e ) ， ( 3 - 1 5 ) 其中z l = z + 0 一r ) ，勿= z 一( t 一力， 同样，我们得出 妻嘉( 酬雌 呦= 笔坐e - f d - t = ) 批 。 + 二竺芸e 一似- 括硼( z ，t ，s ) + ；e 一( “以( 毛t ，) 根据b e s s e l 函数的性质，对任意的( 0 ，有l 而l 1 ，i 击矗( ( ) i ( t r ) ，l 笳矗( e ) l 譬( t r ) 2 + g p ( t ) e 一“ o ，p ( t ) 为t 的常系数多项式) 有 界，由假设条件( i ) ( i i ) 知 l ，( t ( z ，t ，) ，) l c l t ( 毛t ，0 r c b c l l “l l s ， 进一步有 l f u 司0 - l - ( t r ) ，r ，e ) i c l t ( x ，t ，s ) i p 。1 i t k 。p + 0 一下) ，r ，e ) c | l t 0 f 1 忙f | s c i l u l l 圣 同理 i t ( 霉一( t r ) ，下，s ) i e l i | | 圣 第1 8 页，共3 6 页 毕业论文 第三章一类广义半线性电报方程整体解的存在性 l e - 砌) ( z ，t e ) i c i ii l u l l si e 一( m m ) f 厂p ”e 一嘲武d r l = c j 叫1 1 让1 1 sj 南8 。删 + 丽1e - ( a - b ) t + 万与l c hi i u l l s ， ( 3 - 1 6 ) l e - 砌醒( z ，t ，) l e l i 胁i i sl e - ( m 一埘 f o 一下) 厂+ p 1 e 似一嘲必d r + ( e l ( 。+ 耐r 二沁+ t ) 1 + e 【( o 一6 ) r m 。一叫) d 下) i = c h1 1 t 1 1 s l 蕊1 ( 否t + 两1 话一1 ) e 一 一两1 【i t + 丽1 活+ 1 ) e - 蛳一两【i + 丽活+ l p 叩 + 南b 2 ( 南b 2 + 1 1 - v - l 。驴一、0 2 一 g hi i t l l s ( 3 - 1 7 ) 通过类似的鞭分计簋有 l e 一似一h 以( z ，t ，) i c l e l1 1 t 1 1 。l e - 陋一嘲 膳阳) 2 + 尹d e 均武打 + ( ：( t 叫+ b - 1 ) e r 一l 打 + z ( ! ( t r ) - b + 1 ) e 咿一蜘- t ) l 打) + 2 i e l i u l l s ( 3 - 1 8 ) 由( 3 - 1 3 ) 一( 3 - 1 5 ) 和( 3 - i 6 ) 一( 3 - 1 s ) 知 。之石o 万j ( i l e 一一k ) 叫。，t ，。) i c f s f | i t i f s 洚1 9 ) 第1 9 页，共3 6 页 毕业论文 第二章一类广义半线性电报方程整体解的存在性 有 即 对a 誊斋( e 一也) 伽o ( z ，t ，s ) ) ( o i + j 2 ) 作和( 3 - 1 9 ) 类似的估计，我们 。邑茹( 油帆拈) ) l 洲忆恬 i l ；e 一似砌) 扩( 叫，e ) i i s 印l n “恬 ( 3 - - 2 0 ) 由引理1 和引理2 知，对任意t 俨有 i i t , , i i s o t o | i s + i l ；e - ( 哦一k ) v o l l s + i l ；e - ( 时一妇) 叫o i i s c + c l e 训s ( 3 - 2 1 ) 对u ，t ，萨，我们作与( 3 - 2 1 ) 类似的估计有 1 1 2 k t , _ ，l l s c 蚓0 u 一口 ( 3 - 2 2 ) 可选取充分小的，使得0 c 1 故? 是o ( s ) 上到自身的压缩映象算 子由b a n a c h 不动点定理知，t 有唯一不动点t 俨( s ) 于是我们有如下适 定性定理 定理3 2 i 假设条件( i ) ( i i i ) 满足，0 0 ，且p o ：在这种情况下求解方程( 4 - z s ) ，得出孤立子解 口= 掣s e 刚学佰) ；( 4 。- 1 s ) 和 州一华蒯 学佰弦( 4 - i 9 ) 注1 在式( 4 - i s ) 中令c = 黉辱，= 孚和口= p = 1 ( 或口= ，卢= 1 ) ，我们 即得文【2 司中当f ( 纠= 学( r o ) ( 或f ( ) = 劬牛) 时方程( 4 - i ) 的主要结 果，而该结果是文【2 3 】运用t a n h 方法研究方程( 4 4 ) 得到的 情况3 吾 0 ，且p 0 时，方程( 4 - 2 ) 的行波解可 以用适当的三角函数等式，如t 舱= i 干s i 赢n z = 1 - m c 。v ：s z ，t a n 一c o t ；= 一2 c o t z 等，改写为( 4 3 4 ) 和( 4 - 3 5 ) 的形式 情况2 若 1 ， ( 5 - 2 ) 这里口，6 为非零常数我们将用不同于文【2 9 ，3 0 ，3 6 的方法来研究方程 悖1 ) ，0 - 2 ) ，得到了方程的紧孤子，孤立子，孤立波相似解及周期解 5 2 具有正指数的广义k d v 方程 我们假设方程( 5 - 1 ) 有形如“( 茁，弘t ) = t 传) 的解，这里 = 肛+ w 一蕊p 0 ，叶0 和c 0 将波变量 代入方程睁1 ) 得到如下非线性常微分方程( o d e ) 一c ) 老+ 6 ( p 蚓百d u n 地3 + 矿可d 3 u n = o ( 5 - 3 ) 在下面的讨论中我们假定口弘一c 0 和p + t 7 0 情况1 当n = i ，我们有如下线性o d e + 6 刊一。面d u + ( 矿+ 矿) 塞0 ( 5 - 4 ) 第2 8 页，共3 6 页 第五章广义色散方程的行波解 即 窘+ 三p ( 。+ 篱) 褰= 。婵“+ 钉7 武。 这里对任意p o ，7 0 都有p = 矿一聊+ ，7 2 0 若6 + 篱0 ，则有 一。c o s c 序丐甭m 咖c 祷m ， 其中a ，a 1 ，沁为任意常数 若6 + 鬻 0 时的紧孤子解 眩) ：f 耥耐( 等雁+ r ) 南， 10 ， ( 5 - 8 ) ( 5 - 9 ) i 庐1 ，( s - m ) 否则， 毕业论文 第五章广义色散方程的行波解 。( 训力： 耥熬础喾屈+ r ) 击 【0 ， 这里毋= 紧、知+ r 且r 为任一常数 冽霄，( 5 - 1 1 、 否则 对6 0 时，我们有方程( 5 2 ) 的如下周期解 一 u ) - 锷础等俘刊 由， ( 洲) 和 一 咖= 觜耐( 等份+ r ) 惠 ( 汹) 这里r 为任一常数 对6 o ，方程( 5 - 2 ) 具有如下形式的孤立子解 一 咄m 泸 磐茅卵毋( 等一r ) 彘， ( 娜) 和 一 心m 归卜当铲删( 等1 一r ) 南( 叫) 第3 0 页。共3 6 页毕业论文 参考文献 1 】c h i r a k l ( a 1v e a s w a r a n a s y m p t o t i c e q u a t i o n s i ns e m i - i n f i n t ed o m a i n s e q u a t i o n s ，2 0 0 4 ，2 0 0 4 ( 7 ) ：i - 8 t h e o r yw e a k l yf o rn o n - l i n e r ，w a v e e 1 e c t r o n i cj o u r n a lo fd i f f e r e n t i a l 【2 】f j o h n b l o w - u po fs o l u t i o n so fn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n si nt h r e es p a c e d i m e n s i o n s m a n u r i p t am a t h ，1 9 7 9 ，2 8 ：2 3 5 - 2 6 8 j 3 j f j o h n n o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s ，f o r m a t i o no f s i n g u l a r i t i e s l e h i g hu n i v e r - s i t y , u n i v e r s i t yl e c t u r es e r i e s p r o v i d e n c er i ：a m e rm a t hs o c ，1 9 9 0 g a v a l i s h v i l i ，d ，g o r d e z i a n i o no l l ec l a s so fs p a t i a lu o m k h c a lp r o b l e m sf o r s o m eh y p e r o l i ce q u t i o r s g e o r g i a nm a t h e m a t i c a lj o u n a l ，7 ( 2 0 0 0 ) ，3 ：4 1 7 - 4 2 5 【5 1s c c h i k w e n d ua n dj k e v o r k i a n ap e r t u r t i o nm e t h o df o rh y p e r b o l i ce q u a - t i o nw i l ls m a l ln o n l i n e a x i t i e s ，s i a