发电用燃气轮机的非线性数学建模及稳定性分析.pdf

第 27 卷 第 26 期 中 国 电 机 工 程 学 报 Vol 27 No 26 Sep 2007 2007 年 9 月 Proceedings of the CSEE 2007 Chin Soc for Elec Eng 文章编号 0258 8013 2007 26 0108 07 中图分类号 TK472 文献标识码 A 学科分类号 470 20 发电用燃气轮机的非线性数学建模及稳定性分析 张化光 1 邓 玮1 耿加民2 1 东北大学信息科学与工程学院 辽宁省 沈阳市 110004 2 哈尔滨航空工业集团燃机公司 黑龙江省 哈尔滨市 150080 Nonlinear Modeling and Stability Analysis of Gas Turbine Used for Electricity Generating ZHANG Hua guang1 DENG Wei1 GENG Jia min2 1 School of Information Science and Engineering Northeastern University Shenyang 110004 Liaoning Province China 2 Gas Turbine Corp Harbin Aviation Industry Group Harbin 150080 Heilongjiang Province China ABSTRACT Nonlinear state space equations of a single spool gas turbine were established systematically from thermodyna mical principles The mixed thermodynamic mechanical systems were complex and very strong nonlinear used for electricity generating Mathematical method of stability analysis was proposed by means of the transformed Lotka Volterra model of the gas turbine The established model is easily to be used for studying dynamic properties algorithm and scheme of control of the gas turbine Experiment of simulation has proved that the established model of the gas turbine is correct and effective The proposed modeling methods can be extended to study other gas turbines with different types For example a twin spool or with afterburning gas turbine system KEY WORDS gas turbine mathematical modeling stability analysis Lotka Volterra model 摘要 针对发电用单轴燃气轮机这样大型复杂且具有极强非 线性的热能动力系统 以热力学理论机理分析的方法建立了 系统的非线性状态空间方程 提出了有效的基于模型变换的 Lotka Volterra 模型的系统稳定性数学分析方法 建立的模型 对研究燃机系统性能和燃机控制特点 算法及控制系统设计 提供了极大的基础条件 对燃气轮机的控制研究具有基础性 价值 仿真试验证明了建立的模型的正确性和有效性 该文 提出的建模方法可扩展应用于研究其他结构类型的燃机 如 双轴的或带有回热器的燃气轮机系统 关键词 燃气轮机 数学建模 稳定性分析 Lotka Volterra 模型 基金项目 国家 863 高技术基金项目 2002AA503020 国家自然科 学基金项目 60325311 60274017 The National High Technology Research and Development of China 863 Programme 2002AA503020 Project Supported by National Natural Science Foundation of China 60325311 60274017 0 引言 从研究燃气轮机性能角度来建模可用模块化建 模方法 是以压气机 透平等组建的稳态通用特性 曲线为基础 运用线性插值的方法近似处理 最后 得到系统的流体网络模型 进一步的模块化灰箱方 法 以机组实际运行数据为基础 使得出的模型更 实用 1 2 但从对燃机控制设计角度来看 模型不能 过于复杂 要能满足实时仿真和控制器设计的需要 须对复杂的对象进行分析简化 3 因此 建模的假 设条件应结合对对象的分析和控制器设计方案来确 定 文献 4 基于物理参数得到的模型 宜于燃机转 速的仿真控制研究 对研究燃机转速控制有一定的 通用性 但模型参数间的变量关系是以代数形式给 出的 难于利用模型对系统的稳定性进行分析 本文以发电用 Deutz T216 燃机为原型 从燃机 系统热力学理论机理分析出发 并考虑到燃机控制 系统所能克服的建模误差及未建模动态等提出建模 的假设条件 用数学建模的解析方法及步骤 5 6 给出 单轴燃气轮机的非线性状态空间方程 建立的模型 与文献 7 8 中的非线性模型相比更简化并给出显式 微分方程 模型的仿真实验及稳定性分析验证了建 模的有效性和合理性 燃机系统的非线性状态空间模型是一类 类多 项式微分方程组 quasi polynomial ordinary differential equations 实质上 可化为标准的 Lotka Volterra 模型 本文在燃机系统稳定性分析中引用文献 9 15 的数学方法 基于 LV 模型对燃机系统进行局部稳 定性和全局稳定性分析 并得到了模型的一次线性 化近似方法 第 26 期 张化光等 发电用燃气轮机的非线性数学建模及稳定性分析 109 1 燃机系统的非线性建模 1 1 系统建模假设 从控制角度考虑建立燃机系统的状态空间方 程 系统作如下假设 16 1 燃机工作状态下 由对流 导热及热辐射 引起的热量损失忽略不计 2 考虑以下热力学参数不变 压力 体积 不变时 燃机各工作部分 压气机 燃烧室及透平 空气和燃气的定压 定容比热 cp和 cv近似不变 燃气气体常数 Rg 及绝热指数 g 近似等于常数 且 取 g a 其中 a为空气绝热指数 3 压气机能量储存效应忽略不计 即内能 U 2为常数 4 忽略燃料的热焓值 设燃烧室为均匀容积 即建立有限维数的集中参数模型 5 透平的能量储存效应忽略不计 6 设总压力损失系数不变 1 2 燃机系统变量静态关系 单轴燃气轮机的静态特性是压气机 燃烧室和 透平等部件特性的综合 分析燃机动态特性以静态 关系为基础 根据假设条件 得出以下主要静态关 系 1 压气机进口总压 11a pa p 1 其中 表示滞止参数 Pa为外界大气压力 Pa a1为压气机进口总压恢复系数 2 根据假设 6 透平排气压力为 4a3 ppa 2 式中 a3为透平排气总压恢复系数 3 由理想气体方程 透平入口温度 3cham3mcham TVpR M 3 式中 Vcham为燃烧室容积 m3 Rm为燃气平均气体 常数 J kg K Mcham为燃气质量 kg 4 设压气机压比和透平膨胀比分别为 c T 则压气机出口总温和透平排气总温 16 为 a 2cc1 1 1 TT 4 g 4TT3 1 1 TT 5 其中 aaaggg 1 1 5 由相似原理 压气机空气流量及透平燃气 流量分别为 ca1111 Tg3333 qA p qT qA p qT 6 式中 g a g a 1 1 1g 1a ag aagg 22 11RR 1 q为压气机折合流量 3 q为透平折合流量 6 压气机折合流量 1 q为压比 c 和压气机折 合转速 c n的函数 11cc qqn 可用抛物线函数或 线性函数近似 7 本文以 c 和 c n的线性函数组合来 近似 111cc12c13c14 qnn 7 其中 系数 可用最小二乘方法通过实际数据回归 计算出 7 压气机效率 c 是压气机折合流量 1 q和折 合转速 c n的函数 cc1c q n 由于工作中其值变 化范围不大 这里取常数 17 8 透平折合流量 3 q是压比 T 和透平无因次 转速 u 的函数 同 6 以线性函数组合近似 331Tu32T33u34 q 8 9 透平等熵效率 isentropic efficiency T 为 压比 T 和透平无因次转速 u 的函数 TTTu 9 同式 7 这里取常数 从燃机控制角度上 简化带来的未建模动态及 建模误差可从控制器设计中考虑加以补偿和克服 上述系统变量的主要机械及热力学参数见表1 表 1 机械及热力学主要参数 Tab 1 Parameters of mechanics and thermodynamics 参数 数值 参数 数值 a 1 4 g 1 33 cpa 1004 5J kg K cpg 1160 7J kg K cva 717 5 J kg K cvg 872 7 J kg K Qu 4 28x107 J kg a1 0 9888 a2 0 9374 a3 0 9669 T 85 68 c 67 59 B 96 65 J 3 10 4 kg m2 11 3 532 10 4 12 4 611 10 1 13 1 110 10 3 14 1 664 10 1 31 3 248 10 32 4 784 10 2 33 1 822 10 3 34 1 603 10 1 1 3 非线性状态方程 以能量守恒和质量守恒原理建立燃机系统的 非线性状态空间方程 1 根据系统输入输出的总质量守恒 有 inout d d M qq t 10 式中 in q和 out q为系统输入和输出的总质量流量 由式 10 得燃烧室的质量微分方程为 110 中 国 电 机 工 程 学 报 第 27 卷 cham1 CfTa11f 1 312 g33a111 1 311a0 32 121314fg3 1 1a03 d d Mp qqqAqq t T pppn AqA p TTTT ppn qA p TTT 31Tu32T33u34 11 将式 11 代入1 2中的静态关系式 推导中选择n 3 p和 cham M为状态变量 则经计算整理得到 cham 313cham32333cham d d M k np Mk npk nM t 3 21 2 1 21 2 343cham353cham kpMkpM 36373383f k nk pkb q 12 式 12 中的系数k为表1中各参数的函数 本文只 给出k的计算值 见表2 表 2 系数 k 的计算值 Tab 2 Results of the coefficient k calculation 系数 数值 系数 数值 k11 7 1765 10 8 k10 1 9509 10 6 k13 2 5192 10 2 k12 6 8483x10 1 k15 9 4319 100 k14 2 484910 x102 k17 3 195709 102 k16 8 419365v106 k19 4 9851 10 9 k18 1 3552 10 7 k1 11 7 2246 10 3 k1 12 1 9037 100 k1 13 7 9657 10 4 k1 14 2 1318 103 k1 15 5 45729 104 k21 4 5941 10 9 k22 5 7043 10 3 k23 4 8742 10 2 k24 1 6832 103 k25 6 6136 10 8 k26 2 3216 10 2 k27 1 43747 104 k28 7 44712 100 k29 6 3598 101 k2 10 2 52323 105 k2 11 2 1548406 106 b2 2 757775 109 k31 3 2815 10 9 k32 5 2664 10 9 k33 1 9289 10 5 k34 4 7240 10 8 k35 1 6583 10 2 k36 1 5540 10 3 k37 6 8754 10 6 k38 2 3295 10 1 b3 1 0 100 注 k1 15为 Tload 50N m 时的计算结果 2 根据能量守恒原理 燃烧室内能 in inout out d d U q iq iQ t 13 式中 i为气体比焓 J kg Q为热量 J 同时 vvv dddd dddd UMT cT Mc Tc M tttt 14 由式 10 13 得 in inout outvinout v d d q iq iQc Tqq T tc M 15 理想气体方程 R pMT V 则 ddd ddd pRMRT TM tVtVt 16 将式 10 15 代入式 16 中 得 inout d d pRR TqqM tVV in inout outvinout v q iq iQc Tqq c M 17 故由式 17 得透平前的压力为 3mm 3cfTcpa2 chamvmcham d d pRR Tqqqq c T tVc V Tpg3uBfvm3cfT q c TQqc Tqqq 18 式中 Qu为燃料低发热量 J kg cvm为燃气平均定 容比热 J kg K 同样 选择n 3 p和 cham M为状态变量 经化简 整理得到微分方程 a 1 2 3 213223233 d d p k n pk n pk np t a 5 21 2 243253cham k n pkpM a 1 3 21 2 263cham27283 kpMk nkp a 2932 1032 112f k pkpkb q 19 式中 系数k的计算值见表2 3 由动量矩定律 转子的角加速度d dt和 它的转动惯量J 的乘积等于作用于转子上的外力 矩之和 TCload d1 d JPPP t 20 透平输出功率及压气机 负载消耗功率为 g TTpg3TT 1 1 Pq c T 21 a Ccpa1cc 1 Pq c T 22 loadloadload 33 5025 PTT n 23 式中 n为转子转速 1 s load T为负载力矩 N m 将式 21 23 及1 2中的静态关系式代入式 20 得 g Tpg334T 2 d1 1 d4 n q c Tpp tJn a cpa121load c 13 1 25 q c TppT n 24 其中 J为转子转动惯量 kg m2 计算整理得到微分方程 g 5 2 1 5 21 21 113cham123 d d n k npMk np t 1 21 3 21 21 cham133cham14 Mk npMk n g a 3 2 1 1 21 1 3cham153163 pMk npk n p g a 2 1 1 2 173181931 103 k npk nkpkp 第 26 期 张化光等 发电用燃气轮机的非线性数学建模及稳定性分析 111 g aa 1 1 1 1131 1231 1331 1431 15 kpkpkpkpk 25 其中 系数k的计算值见表2 令 T 123 x x x T 3cham n p M f uq 得系统的 非线性状态空间方程为 12 50 512 21430 511 50 5 1111231212313123 11 21430 511 28571 1412315121612 10 2857121 7143102 1 2857 1 1121 122 xk x x xk x xxk x x x k x xxk x xk x x k x xk xk xkx kxkx 0 71430 2857 1 1321 1421 15 21 28570 2857 22112221223122412 2 50 51 50 51 2857 25232623271282 0 2857 2922 1022 112 3311233212331 kxkxk xk x xk x xk x xk x x k x xk x xk xk x k xkxkb u xk x x xk x xk x 1 50 5 33423 0 50 5 3523361372383 xk x x k x xk xk xkbu 26 以上模型不适合研究机组的启停动态特性 可以看出 燃机系统的状态空间方程为具有 SISO仿射非线性系统 u yh x f xg x x 27 其中 T 123 x x x x T 123 fff f xxxx T 123 b b b g x 1 hx x 这里取x1为输出 123 b b b为常数 1 0b 2 系统稳定性分析 2 1 系统模型的类型 考虑平衡点偶对 00 x u 系统 26 可写为 22 50 522 21430 521 50 5 11111231212313123 21 21430 521 28572 1412315121612 20 285721211 7143 171218119121 1012 1 1 111 xx A x x xA x xxA x x x A x xxA x xA x x A x xA xA x xA x x A x 1 2857110 7143 21 12121 1312 10 28571 1 14121 151 0 28570 7143 22211222122312412 1 50 50 50 510 2857 252326232712282 0 71 292 xA x xA x x A x xA x xx A x xA x xA xA x x A x xA x xA x xA x A x 431 2 1022 11 50 5 333112321233313423 0 50 5111 3523361337233833 A x xx A x xA x x xA xA x x A x xA x xA x xA x 28 式中 22920 kb u 330 bu ijij Ak 1 3i 1 15j 可以看出 自治系统式 28 为一类 类多项式 微分方程组 QP ODEs 9 写为一般形式为 11 jk nm iiiijk jk xxx B A 1 in mn 29 其中 n m AR m n BR n R 为实向量 这里 变量是严格正的 即0 i x 1 in 基于 单项式 QMs quasi monomials 的变换 可将系统式 28 转换为LV Lotka Volterra 模型 10 设单项式为 1 jk n jk k x B 1 jm 30 则单项式的个数 QM N m 故式 29 可写为 1 m iiiijj j xx A 31 将式 30 对时间求导 其第 项为 x x 其中 111 1122 nn xBxBxB x 1 m 得自治系统式 28 的LV模型为 111 nnm iiiijj iij BB A LVLV 1 m jj j A 32 其中 矩阵 LV B LV AB A 为LV模型 中的变量 2 2 系统在平衡点处线性化 从LV模型式 32 出发 考察燃机系统式 26 在 操作域平衡点处的稳定性 为研究平衡点处的稳定 性 首先对系统式 32 局部线性化 令 0 x 其中 T 1 m T 0100 m 为 在平衡 点处的值向量 则 LVLV 000 1 m jjj j xxxAx LVLVLVLV 000 11 mm jjjj jj xAA LVLV 0 11 mm jjjj jj xA xA x 33 由于在 0j 处 LVLV 0 1 0 m jj j A 故可得 x LV 0 1 m jj j xA x 34 写为矩阵形式为 LV 0 xXAx 35 其中 1 diag m xx X 0100 diag m 由式 35 有 xAXxA x LVLV 0 xxA 2 LV 0 f 36 112 中 国 电 机 工 程 学 报 第 27 卷 其中 LVLV 00 AA LV 2 f xXA x 式 36 将系统线性部分 LV 0 A x与高阶项 2 f x 分 离 并有 2 0 0f x x 由非线性系统理论 18 19 知 x LV 0 A x 37 为LV模型系统式 32 的一次线性近似 2 3 局部稳定性分析 系统式 28 有 5 0 3 5 2 2 2 1 xxx 5 0 3 2143 2 2 2 1 xxx等29个单 项 即29 QM N 分别以 1 29 m m 表 示 并取 0100 diag m 用MATLAB最优化 工具箱中提供的非线性多元方程的求解函数 fsolve 在操作域内可求得一系列平衡点 任取平 衡点 TT 102030 680 1 179800 0 0044 xxx 此时 0082 0 0 u 由系统 28 及式 29 可知系数矩阵A 及系统幂矩阵B分别为 1112131415161718191 101 111 121 131 141 15 21222324252627282 101 11 3133343532363738 00000000000000 0000000000000000000 000000000000000000000 kkkkkkkkkkkkkkk kkkkkkkkkk kkkkkkkk A 222222221111111 11110010001100 2 52 21431 51 2143 1 285710 2857021 7143 1 285710 7143 0 2857 01 0 2857 00 71431 50 51 0 28570 714311010 0 50 50 50 50000000000000000 50 5000011 B T 11 由ABA LV 可得 ABA A 0 29 20 10 LV 0 LV 0 00 00 00 38 经计算得到线性系统式 37 的状态矩阵 LV 0 A的特征 值分别为 5 56 195 07 384 88 其余26个为0 由 于 QM N值 大 于 原 系 统 的 状 态 变 量 数 QM Nn 故 LV 0 A为奇异阵 导致产生 QM Nn 个零特征值 这些零特征值可不考虑 只要其余的 特征值 1 i s in 满足 0 i Re s 那么原系统在平 衡点 T 102030 xxx是局部渐近稳定的 12 计算结果看 到 系统式 37 的非零特征值均满足Re 0 i s 因 此证明原系统式 26 在平衡点 0 x T 102030 xxx 680 1 179800 0 0044 T是局部渐近稳定的 2 4 全局稳定性 设平衡点 0 x T 102030 xxx 由式 30 得 n k B kj jk x 1 00 39 考虑Lyapunov entropy函数 000 1 ln m jjjjjj j Vc 40 式 40 的和项式中第 项为 000 ln Vc 41 则当j 时 0 1 j Vc 0 j V j 42 则时间导数为 LVLV 0 11 1 mm jj j V VcA LV 00 11 LV 00 11 mm jjj j mm jjj j cA c A TLVTLV 00 1 2 ACCA 43 其中 Rc 矩阵 1 diag m cc C 因此 当式 43 TLVTLV 00 1 0 2 V ACCA 44 时 即线性矩阵不等式 LVTLV 0 ACCA 45 有正定对角阵解C时 原系统在平衡点 0 处为全局 稳定的 13 由于原系统式 26 的变量数n小于单项式的个 数 QM N 求解C时 需采用代数重构方法 11 3 模型验证 为验证模型的动态行为及其有效性 取操作点 偶对 T 0 680 1 179800 0 0044 x 0082 0 0 u 作阶跃响应仿真实验 系统在平衡点x0处 当时间t 0 05s时加入参 考阶跃信号 u 0 00082 10 u0 得到燃机系统各观 测点的阶跃响应曲线 如图1 4所示 可以看到 系统经过渡过程之后 观测点T 2 P 2 T 3 P 3及T 4最终均趋于稳定状态 证明操作点 0 x是稳定的工作点 进一步验证了前面的理论证 明 同时看到 各观测点温度及压力响应与燃机系 统实际运行情况完全相符 1 转速升高达到新 的稳态值 图1 压气机出口总温 T 2 总压 P 2 值增加 图2 根据燃机运行特点 透平前的总压 第 26 期 张化光等 发电用燃气轮机的非线性数学建模及稳定性分析 113 P 3 值此时应增大 图3 而透平前和透平后的温度 T 3和T 4应降低 图3 图4 仿真结果表明 建立的模型正确地反映了燃机 系统的实际运行规律 20 证明模型建立的有效性及 正确性 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 t s 600 700 800 900 n s 1 图 1 转速响应曲线 Fig 1 Response curve of the rotation speed 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 t s 370 390 T2 K 380 a 温度 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 t s 1 9 P2 Pa 2 1 b 压力 105 400 图 2 压气机出口温度压力曲线 Fig 2 Curves of temperature and pressure of compressor outlet 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 t s 800 880 T3 K 840 a 温度 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 t s 1 7 P3 Pa 1 9 b 压力 105 图 3 透平入口温度压力曲线 Fig 3 Curves of temperature and pressure of turbine inlet 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 t s 680 710 740 770 T4 K 图 4 透平出口温度曲线 Fig 4 Curve of temperature of the turbine outlet 4 结论 本文以发电用Deutz T216型单轴燃气轮机为 原型 用热力学理论机理分析的方法 建立了燃机 系统的非线性状态空间方程 仿真结果表明 模型 正确地反映了燃机系统的实际运行情况和参数变 化特征 证明本文给出的模型的有效性及正确性 文中同时针对燃机系统的QP ODEs模型形式 通 过对模型的Lotka Volterra变换 得出了对燃机控制 系统设计有使用价值的一次线性化近似方法 并利 用一次线性LV模型对系统在平衡点处的线性化及 局部稳定性和全局稳定性进行了分析 结果表明基 于LV模型变换的数学分析方法大大降低了系统分 析的复杂程度 证明本文提出的方法对分析非线性 燃机系统的稳定性是行之有效的 得到的状态空间 模型可为进一步研究燃气轮机控制系统打下基础 参考文献 1 赵景峰 叶春 秦春申 燃气轮机及其控制系统的综合建模研究 J 华东电力 2005 33 4 13 16 Zhao Jingfeng Ye Chun Qin Chunshen Study on integrate modeling of gas turbine and its control system J East China Electric Power 2005 33 4 13 16 in Chinese 2 李政 王德慧 薛亚丽 等 微型燃气轮机的建模研究 上 动态特 性分析 J 中国动力工程学报 2005 25 1 13 17 Li Zheng Wang Dehui Xue Yali et al Research on ways of modeling of micro gas turbines Part I Analysis of dynamic characteristic J Chinese Journal of Power Engineering 2005 25 1 13 17 in Chinese 3 李政 王德慧 薛亚丽 等 微型燃气轮机的建模研究 简化与分 析 J 中国动力工程学报 2005 25 2 160 164 Li Zheng Wang Dehui Xue Yali et al Research on ways of modeling of micro gas turbines Part II Reduction and analysis J Chinese Journal of Power Engineering 2005 25 2 160 164 in Chinese 4 Kunitomi K Kurita A Okamoto H Modeling frequency dependency of gas turbine output C IEEE Conference on Power Engineering Columbus 2001 5 谢兆鸿 范正森 王艮远 数学建模技术 M 北京 中国水利水 电出版社 2003 6 陈理荣 数学建模导论 M 北京 北京邮电大学出版社 1999 7 Ailer P S nta I Szederk nyi G Nonlinear model building of a low power gas turbine J Periodica Polytechnica Ser Transportation Engineering 2001 29 1 2 117 135 8 Oliver F Q Gawthrop P J Maccallum N R L Model based observer a gas turbine engine case study C First IEEE Conference on Control Application Dayton 1992 9 Magyar A Ingram G Pongr cz B On some properties of quasi polynomial ordinary differential equations and differential algebraic equations R Technical report No SCL 010 03 Computer and Automation Research Institute Hungarian Academy of Sciences Budapest 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