分块矩阵.doc

第一章 矩阵的分块和分块矩阵的定义 设A是数域K上的矩阵，B是K上矩阵，将A的行分割r段，每段分别包含个行，又将A的列分割为s段，每段包含个列。A=于是A可用小块矩阵表示如下：， 其中是矩阵。对B做类似的分割，只是要求它的行的分割法和A的列的分割法一样。于是B可以表示为 B= 其中是的矩阵。这种分割法称为矩阵的分块。 二分块矩阵加法和乘法运算 设为同型矩阵（行和列数分别相等）。 若采用相同的分块法。 A= B= 则可以直接相加乘法:设，则C有如下分块形式： C=， 其中是矩阵，且 定义 称数域K上的分块形式的n阶方阵A=为准对角矩阵，其中为阶方阵（），其余位置全是小块零矩阵。 2、分块矩阵的一些简单基本性质命题 阶准对角矩阵有如下性质： （1）、对于两个同类型的n阶准对角矩阵（其中同为阶方阵）， A= B=，有；AB= （2）、； （3）、A可逆等价于可逆，且。 第二章 利用分块矩阵计算行列式1引理设矩阵 H=或H=其中A1,A2,As是实矩阵，且均为方阵,则|H|=|A1|A2|As|2利用分块矩阵计算行列式设A、B分别为m与n阶方阵.计算行列式=21矩阵A或B可逆时行列式|H|的计算命题1设A、B分别为m与n阶方阵.证明: (1)当A可逆时,有=（2)当B可逆时,有=证(1)根据分块矩阵的乘法,有由引理知,两边取行列式即得(1). (2)根据分块矩阵的乘法,有两边取行列式即得(2).注意:利用命题1解题时,要注意条件:矩阵A或B可逆.推论1设A,B,C,D分别是m,n,nm和mn矩阵.证明(1) （3） (2) |A-DC|. (4)证明只需要在命题1的(1)中令A=Em,即得(3);在(2)中令B=En,即得(4).推论2C,D分别是nm和mn矩阵.证明： （5）证明：证明在推论1的(3)中,令B=En,在(4)中,令A=Em,即得(5).例1计算下面2n阶行列式|= (a0)解令A=,B=，C=,D=且都为n阶方阵.由于a0,故A为可逆方阵.又易知从而由命题1中(1)得|=例2计算行列式(1) ,(ai0,i=1,2,n); （2）解(1)设Q=，其中A=(),B=,C= ,D= 因为ai0,i=1,2,n,所以B是可逆矩阵.又易知从而由命题1中的(2)得= .= (2)设其中B=(c),=,由于 CD=从而由推论1知, Q=2.2矩阵A=B,C=D时行列式|H|的计算命题2设A,C是两个n阶方阵.则证根据行列式的性质和引理,有=例3计算行列式.D=解这道题看似简单,但如果方法选择不佳,做起来并不轻松.这里设由命题2知D= = (X+Y+Z)(-X+Y-Z) (X+Y-Z)(-X+Y+Z)2.3当A与C或者B与C可交换时行列式|H|的计算命题3设A,B,C,D都是n阶方阵.(1)如果AC=CA,则=(2)如果BC=CB,则=例4计算例2所给的2n阶行列式.解设A,C如例2,则| =而AC=CA,由命题3知:=注意:这里并不需要a0的条件.在利用命题3计算高阶行列式时,如果A和C(或B和C)有一个是n阶单位矩阵或者是n阶数量矩阵时,那么计算方法会更简便.3矩阵H被分成两个特殊矩阵的和时计算行列式|H|命题4设A为n阶可逆方阵,与均为n维列向量.则=证因为 (7) (8)由引理,(7)和(8)两边各取行列式,并由于故由(7)和(8)得=即=注意:在利用这个命题计算n阶行列式时,需要根据具体情况,把原行列式的元素组成的矩阵分成两项,其中一项是n阶可逆矩阵A,该矩阵一般选为对角矩阵,则其行列式和逆矩阵比较容易求出;另一项是n维列向量与组成的乘积这种分法是利用命题4计算n阶行列式的难点,它需要具有较强的观察能力.例5计算下列n阶行列式:D=D=解令A= =则有显然有D=|A+|. 再由于|A|=(-1)n!,且=(1,2,n)-n从而由命题4知:D=|A+|=|A|(1+)=令A= 则有=且D=|A+| 再由于|A|=,且=从而由命题4知:D=|A+|=|A|(1+)= 第三章 分块矩阵在证明矩阵秩的性质上的应用引理1 矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩，两个因子中有一个是可逆的，它们乘积的秩等于另一个因子的秩。引理2 秩A+秩B秩引理3 秩=秩=秩A+秩B引理4 秩=秩引理5 秩(A +B)秩A+秩B性质1秩(A +B)秩A B秩A+秩B。其中A ,B均为m n矩阵。证明 因为=于是由引理1得秩(A +B)=秩秩=秩A B又因为秩秩 于是由引理1及3得秩A B=秩秩A+秩B综上证明即得 秩(A +B)秩A B秩A+秩B证毕。性质2设A为s n矩阵，则有，秩()-秩()=n-s证明因为=于是由引理1、3、4得秩=秩=秩()+n (1)又因为=同理可得 秩=秩=秩() +s （2）（1）、（2）式相减即得秩()-秩()=n-s 证毕。性质3设A为m n矩阵，是从A中取s行得到的矩阵，则秩秩A +s -m证明 不妨设sA是A的前s行，而后m -s行构成的矩阵为B，则A =+于是由引理5得 秩A秩+秩=秩+m-s证毕。性质4设A为m n矩阵，B是A的一个s t矩阵，则秩B秩A +s -m证明 不妨设B位于A的左上角，且设A=+于是由引理5得 秩A秩+=秩+秩由性质3秩秩B+m s 又因为 秩n -t所以，秩A秩B +m -s +t -n，即，秩B秩A +s +t -m n证毕。性质5 已知，秩(AB)=秩B，试证对任意可右乘矩阵C，有秩(ABC)=秩(BC)证明 由引理1得，秩(ABC)秩(BC)，因为=于是由引理1、4得秩(AB)+秩(BC)秩=秩=秩=秩(ABC)+秩B从而有，秩(ABC)秩(AB)+秩(BC)-秩B又已知，秩(AB)=秩B，代入上式得，秩(ABC)秩(BC)所以，秩(ABC)=秩(BC)证毕。推论 设A为n阶矩阵，证明秩 =秩=秩=证明 因为n=秩E=秩秩A秩秩秩0,于是必有正整数k(0k n)使，秩=秩，由性质5得，秩 =秩=秩=性质6 设A, B, C ,D皆为n阶矩阵，AC =CA ,AD =CB,且0,若G=则有，n秩G2n。证明 因为A0,所以秩G n，且存在，又=所以=又因为=D-CBD-=D-D=0从而G=0，因此，秩G2n，又A0,所以，秩G n，综上得证。利用分块矩阵证明矩阵秩的性质，一般采用两种方法，一种是用已知矩阵作为元素拼成高阶矩阵来证明，如性质1、2、5、6；另一种方法是将已知矩阵拆成低阶矩阵来证明，如性质3、4。这两种方法在证明矩阵秩的性质时都是很有效的，几乎所有的矩阵秩的性质，都可用分块矩阵来证明。第四章 分块矩阵的初等变换及其应用对矩阵进行分块是处理阶数较高的矩阵时常用的方法,我们把大矩阵看成由一些小矩阵组成,在运算中,把这些小矩阵当作数一样处理,从而把高阶矩阵化为低阶矩阵来运算,这样能很快解决问题。分块矩阵的初等变换在线性代数中有非常广泛的应用。下面来讨论分块矩阵的初等变换及在线性代数一些方面应用。本文中我们主要以22分块矩阵为例,来对广义初等矩阵作定义。定义1对某个单位矩阵作分块,对它进行两行(列)对换;某一行(列)左乘(右乘)一个矩阵P;一行(列)加上另一行(列)的P(矩阵)倍数,得到的以下五类分块的矩阵,即 称为广义的初等矩阵定理1用广义初等矩阵左乘(或右乘)乘某一矩阵,相当于对该矩阵作分块的行(或列)的初等变换。定理2广义初等矩阵都是可逆的,且有 = = , = = =定理3 对一个分块矩阵A作一次分块矩阵的初等行(列)变换，相当于用一个相应的分块初等矩阵左(右)乘A。2、分块矩阵初等变换在线性代数中一些应用命题1设A,B为任意两个n阶方阵,证明AB与BA有相同的特征多项式证明:由分块矩阵乘法知=两边取行列式得: =: (1)=两边取行列式得: =: (2)比较(1)(2)得|E-AB|=|E-BA|故AB与BA有相同的特征多项式。命题2设A是n阶方阵且满足=A,则rank(A)+rank(A-E)=n证明 :对以下分块矩阵作广义初等变换得故rank(A-E)+rank(A)=n命题3如果方阵A与B相似,C与D相似,则方阵与也相似。证明:因A与B相似,C与D相似,故存在非奇异矩阵X,Y,使B=, D=因 =而 = 故命题得证。命题4设n阶矩阵W分块为W=,则(1)当A为r阶可逆矩阵时,|W|=|A|此时如再有D-CA-1B可逆,则W可逆,且=(2)当D为n-r阶可逆矩阵时,|W|=|D|此时如果再有可逆,则W可逆,且= =证 (1)由=得|W|=|A|D-CA-1B|。显然,此时如果再有可逆,则W可逆,且由(a)两边取逆得= 按分块乘法展开右端,立得要证结果。(2 )由=得|W|= |D|A-BD-1C|,显然如再有A - BD-1C可逆,则W可逆且= 按分块乘法展开右端,立得要证结果。特例: (1)当B=0,C=0,A和D 都可逆时有= (2) 当B0,C=0,A和D 都可逆时有= (3) 当B=0,C0,A和D 都可逆时有=例 1 求矩阵A=的可逆矩阵解 设P = 则A =故=又=所以=例2: 设M=,求M的逆 解: 令A=, B= C=, D=,则很容易求出=, ,-B=第五章 利用分块求矩阵的逆当我们求矩阵得逆时, 对于行数，列数较高的矩阵时,求它的逆比较复杂,在这节我们用一种新的方法来求它的逆,即是运用分块矩阵.求出非奇异分块矩阵A的逆得相应子块，即用相应得分块形式给出分块矩阵得逆，有时很有用。可以采用各种不同的，但彼此等价的方式来求分块矩阵的逆假定的某些子矩阵及也是非奇异的。为简单起见，设A是如下的分块，其中，的相应分块形式有一个有用的表示式 ，其中，假定所有有关的逆存在。或者，用一般的指标集记号，可以记以及还假定有关的逆存在。还可以写出其余的表示式。注意：是的子矩阵，而是的一个子矩阵的逆，并且这两个矩阵一般不同。1设A是一个对角矩阵，它有以下的性质（1）；（2）设其中是同阶的方阵则（3）可逆的充要条件是都可逆，并且当可逆时例：设 求。解：把分块成因，所以可逆，且均可逆，所以因为所以同法算得所以2.特殊分块矩阵的逆阵（1）如果阶方阵P可以分块为其中都是方阵，则P可逆的充要条件是都可逆；且当P可逆时事实上，由拉普拉斯展开定理知,故P可逆的充要条件是都可逆。当P可逆时，设的分块矩阵为其中是待定子块。因为故 解得因此(2)类似地，如果阶方阵可以分块成其中都是方阵，则P可逆的充要条件是都可逆；且当P可逆时例：设数域F上的分块矩阵 ，若皆可逆，则T也可逆；并求其逆矩阵。证明：因为注意到=,= .因此=是可逆矩阵，且其逆矩阵 =这个求逆公式叫做分块矩阵的Schur Frobenius求逆公式。当D可逆时也有相应的类似结果。第六章 分块矩阵相似的条件在这一节我们来用分块矩阵的相似解决矩阵相似的一些基本性质.1.相似矩阵及其性质 定义1：设为阶分块矩阵，若存在可逆分块矩阵，使得则称相似于，记作。对进行矩阵的积运算称为对进行相似变换，可逆分块矩阵称为把变成的相似因子阵。相似是分块矩阵间的一种特殊的等价关系，即两个相似分块矩阵是等价分块矩阵；反之不然。这就是说相似关系具有一下性质：1) 反身性 ；2）对称性 若,则；3）传递性 。设由定义还可得到相似矩阵的以下运算性质：1）2）3）4）其中中的任意一个多项式。特别有。5）若可逆，则特别地，若可逆，并令则（2）式中的k可取任何整数。定理1 两个对角矩阵相似的充要条件为对角线上的元素相同，只是排列顺序不同。证明：设A，B是两个对角矩阵且A相似于B，则由相似矩阵的性质知，存在可逆矩阵X，使得，即于是有又由A,B为对角矩阵知，上式成立的充要条件是对角线上元素相同，仅仅排列顺序不同。定义2 设是定义在全体阶分块矩阵聚合上的函数，若对中的任意两个相似矩阵A和B，总有，则称为相似不变量。定理2 矩阵的行列式是相似不变量。证明：设，则存在可逆矩阵X，使得，于是这说明行列式是相似不变量。第七章 矩阵分块的一些其他简单应用 1 利用矩阵分块证明矩阵列(行)向量线性无关性、线性相关性命题1矩阵A的列线性无关的充分必要条件是方程组AX =0只有零解证令A= ,其中(i =1,2,k)是A的列向量,且 (ai为实数,i =1,2,k)即=0也即A=0若A1,A2,Ak线性无关,则有a1= a2=ak=0,AX=0只有零解,反之亦成立由命题1,A的行线性无关的充分必要条件是AX =0只有零解例 B列向量线性无关,BA= C,求证:C列线性无关的充要条件为A列线性无关证充分性要使CX=0,即B(AX) =0,记AX= Y,则BY=0,B列无关,须Y=0,即AX=0,又 A列无关,须X =0,从而C列无关.必要性要使AY=0,两边左乘B,则BAY=0,即CY=0,C列无关,须Y=0,从而A列无关推论设0,(1) A的列线性相关(即R(A) k)的充要条件是存在0,使AB =0;(2) 的行线性相关(即R(A) n)的充要条件是存在C0,使CA=0证(1)必要性: 设有0,B = (b1,b2,bm),bi为B的列向量,i =1,2,m,且 0,使AB =0,即(Ab1,Ab2,Abm)0,bj0,而Abj=0,由命题1,A的列线性相关充分性: 设A的列线性相关 由命题1,存在b0使Ab =0,作B = (b,0,0)则B0,故AB =0类似可证(2)2 利用矩阵分块解决矩阵的特征根问题(1)设V是数域F上n维向量空间,W1、W2都是V的不变子空间,若V= W1 W2,L(V),则关于V的基的矩