（运筹学与控制论专业论文）时变时滞离散线性系统的h∞控制.pdf

时变时滞离散线。l 生系统的如控制 摘要 在许多实际系统中，如航空航天、化工冶金、电网等，由于测量的不灵敏、 信号的传输和元件的老化等原因，系统中不确定性和时滞普遍存在，并且是造 成系统不稳定和性能变坏的主要原因由于时滞是自然界中广泛存在而又不可 避免的一种现象，时滞的存在使得系统的分析和综合变的更加复杂和困难，同 时时滞往往是系统不稳定的根源因此，分析时滞系统的稳定性有着理论和实际 的意义本文通过构造l y a p u n o v 泛函，讨论时变时滞离散线性系统的如控制问 题 在第一章，介绍了时滞系统及其比控制问题的背景知识，国内外研究成 果，同时对本文要研究的问题做了简单的陈述，并简略地介绍了本文的组织结 构和符号说明 在第二章主要研究一类状态具有时变时滞的离散时间线性系统的比控制 问题文中如控制律被假设为无记忆状态反馈，时变时滞的大小是有上界的，通 过求解无时滞具有单一范数边界的离散时间线性系统的如控制问题来解决 时变时滞离散时间线性系统的比控制问题 在第三章，利用第二章的方法研究一类状态和输入同时具有时变时滞的离 散时间线性系统的风控制问题 对上述两个问题的结论，本文给出了有效的可行l m i 问题解 关键词：离散时间线性系统；时滞依赖；时变时滞；状态反馈；控制 h c o n t r o lo fd i s c r e t e - t i m el i n e a rs y s t e m s a b s t r a c t t i m e - d e l a ya n du n c e r t a i n t yw h i c ha l w a y se x i s ti nm a n ya c t u a ls y s t e r a s ：a e r o s p a c e ， c h e m i c a lm e t a l l u r g y ，p o w e rn e t w o r k sa n ds oo n ，m a k es y s t e m su n s t a b l ea n dd e - t e r i o r a t es y s t e m s p e r f o r m a n c e ，d u et oi n s e n s i t i v em e a s u r e m e n t ，s i g n a lt r a n s m i s - s i o na n dp a r t sa g e i n g t h et i m e - d e l a yi sa nu b i q u i t o u sp h e n o m e n o ni nn a t u r e i t b r i n g sm o r ec o m p l e x i t ya n dt r o u b l ei na n a l y s i sa n ds y n t h e s i s ，a l s or e s u l ti ni n s t a ， b i l i t yo fs y s t e m s t h u s i ti ss i g n i f i c a n tt oa n a l y z et h es t a b i l i t yo fs y s t e m sw i t h t i m e - d e l a y i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s 如c o n t r o lp r o b l e m so fd i s c r e t e - t i m e l i n e a rs y s t e m sb yc o n s t r u c t i n gal y a p u n o vf u n c t i o n a l i nc h a p t e r1 , t h er e s e a r c hb a c k g r o u n do ft i m e - d e l a ys y s t e m sa n d 如c o n - t r o lp r o b l e m so fs u c hs y s t e m sa r ei n t r o d u c e d f u r t h e r m o r e ，t h er e s e a r c hp r o b - l e m s ，o r g a n i z a t i o n sa n dn o t a t i o n so ft h i sd i s s e r t a t i o na r ea l s og i v e n i nc h a p t e r2 ，w em a i n l yd e a lw i t ht h e 民c o n t r o lp r o b l e m sf o rd i s c r e t e - t i m e l i n e a rs y s t e m sw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a y si ns t a t ea n di n p u t i nt h i sp a p e r ，t h e h c o n t r o ll a wi sa s s u m e dt ob eam e m o r y l e s ss t a t ef e e d b a c k 、t h es i z eo ft i m e - v a r y i n gd e l a y si su p p e r b o u n d e d t h es o l u t i o no ft h e 日啬c o n t r o lp r o b l e mf o r d i s c r e t e - t i m el i n e a rs y s t e m sw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a y si ns t a t ev a i lb eo b t a i n e db y s o l v i n ga nh c o n t r o lp r o b l e mf o ra u x i l i a r yd i s c r e t e t i m el i n e a rs y s t e m sw i t h o u t t i m e - d e l a y i nc h a p t e r3 , w em a i n l ys t u d y 比c o n t r o lp r o b l e mf o rd i s c r e t e - t i m el i n e a r s y s t e m sw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a y si ns t a t ea n di n p u ti nt h es a m ew a yi nc h a p t e r 2 f o rt h ea b o v et w op r o b l e m s ，w ew i l lo b t a i na ne f f e c t i v ef e a s i b l el m is o l u t i o n o f 巩c o n t r o lp r o b l e m k e y w o r d s ：d i s c r e t e t i m el i n e a rs y s t e m ；d e l a y d e p e n d e n 专t i m e v a r y i n g d e l a y ；s t a t ef e e d b a c k ；h c o n t r o l 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：参| 啵签字日期： 年f 月f 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在 解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 害破 导师签字： 豸和i 签字日期：孵年t 月y 1 日签字日期：冽年r 月 - 1 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 1绪论 1 1 研究背景 系统控制的理论和实践被认为是2 0 世纪对人类生产和社会活动产生重大影 响的科学领域之一，而控制系统中最关心的是系统的稳定性和性能保障众所周 知，在各类工业系统中，时滞现象是极其普遍的时滞的存在使得系统的分析和 综合变得更加复杂和困难，同时时滞也往往是系统不稳定和系统性能变差的根 源所在正是由于时滞系统在实际中的大量存在，以及时滞系统的分析和控制的 困难性，使得时滞系统的分析和综合一直是控制理论和控制工程领域中研究的 一个热点问题基于这样的实际背景，从事时滞系统理论的研究既有重要的理论 意义，又有着非常重要的工程意义【1 ，2 1 1 9 8 1 年，z a m e s - 苗- 次提出了著名的比思想 3 】z a m e s 撒_ - - 个单输入单 输出的设计问题，即对于一个有限能量集的干扰信号，设计一个控制器使得闭 环系统稳定且干扰对系统期望输出影响最小由于以传递函数的范数作为目标 函数对系统进行优化设计，这就使具有有限功率谱的干扰对系统期望输出的影 响最小 众所周知，时滞依赖比控制的研究指的是：对给定的比性能指标，设计一 个控制器，使得闭环时滞系统满足该性能指标的同时又能保证系统时滞依赖稳 定的时滞上界最大；或者对给定的一个时滞上界，设计一个控制器，使得闭环时 滞系统是时滞依赖稳定且在此基础上获取的性能指标尽可能小。一般地，在时 滞依赖控制问题有解的条件中，时滞上界的最大化和性能指标的最小化是一个 不能同时成立的问题，因此在实际工程中需要折衷 当前，为了降低时滞依赖稳定或镇定条件的保守性，大致有三种方法：第一 种是在模型转变的基础上，引入一些保守性更小的不等式以及相应l y a p u n o v - k r a s o v s k i i i 函数 4 ，5 ，尽可能最大限度的降低汪明过程中带来的保守性；第二种 方法就是利用时滞系统的广义系统描述法并选取适当的l y a p u n o v - k r a s o v s k i i i 函 时交时滞离散线性系统的日o o 控制 数 6 ，7 】，此方法降低了第一种方法的保守性；第三种方法是在理论推导过程中引 入一些自由加权矩阵【8 】，它能更明显地减少前两种方法的保守性另外，为了解 决非线性矩阵不等式的求解问题，还发展了一些迭代算法，【9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 这在一 定程度上也降低了非线性矩阵不等式在线性化过程中带来的保守性 近年来，一国外些学者对鲁棒控制理论和应用进行了更深入的研究，并取 得了相应的理论成果。s u n 基于观测器理论对线性时不变连续系统进行了有益 的探讨，然而其结论很复杂j a b b m - i 对满足匹配条件的状态不确定系统导出了 通过求解r i c c a t i 方程的状态观测器和鲁棒控制器的设计方法，而求解r i c c & t i 方 程的中心解条件要求比较苛刻j o b 利用求解r i c c a t i 方程得到关于线性有界系统 的稳定性，得到了系统鲁棒稳定的充分必要条件 在国内对时滞系统的研究主要成果有： ( 1 ) 研究了时变时滞不确定系统基于状态观测器的动态输出反馈实现鲁棒 镇定的分析和综合问题所研究的系统不仅同时包含时变状态时滞和时变控制 时滞，而且包含时变未知且有界不确定参数提出了确保该系统可通过输出反馈 鲁棒镇定的充分条件，并将该充分条件转化为线性矩阵不等式( l m i ) 问题，最 终通过求解两个l m i 来构造输出反馈控制律 1 3 ( 2 ) 针对状态和控制均存在滞后，同时具有未知且有界的一类时变不确定 线性时滞系统，提出了一种无记忆鲁棒镇定控制器设计算法给出了闭环系统二 次稳定的充分条件，并利用一等价线性时不变系统的比标准问题综合方法来 构造出所需的线性状态反馈控制律，即可通过求解一代数r i c c a t i 型方程来求得 控制律静态增益阵，从而保证了解的存在性和可解性【1 4 】 ( 3 ) 针对一类单控制滞后的非线性时滞系统，利用非线性状态变换的方法 进行变换，得到一线性时滞系统模型然后利用一带控制记忆的积分变换进行精 确无滞后化变换，得到一无滞后的线性能控标准型系统，从而利用分步设计的 思想，实现非线性时滞系统的稳定化控制 1 5 】 1 6 】 ( 4 ) 在现代鲁棒控制理论基础上，提出一种多变量d a h l i n 控制器多目标优 2 时变时滞离散线性系统的上f o o 控制 化设计方法。利用线性分解变换，多变量d a h l i n 控制器设计问题被转化为标准 的如优化问题，通过对标准的如优化问题求解得到了最终的控制器它同时 具有时滞补偿，解耦和控制的作用 17 】 ( 5 ) 研究了线性时滞离散时间系统的最优跟踪控制问题针对具有控制时 滞，且输入输出之间具有前向直接通道的系统进行讨论，进而考虑一般多重时 滞系统利用线性二次型加积分( l q i ) 的最优状态反馈控制理论实现负荷变化 时的最优跟踪控制 18 对时滞系统的研究通常分为对状态时滞系统的研究和对控制时滞系统的研 究，控制时滞又称为输入时滞文中主要考虑了状态具有时变时滞的离散时间线 性系统的蜀。控制问题以及状态和输入同时具有变时滞的离散时间线性系统 的比控制问题在文献中，时滞连续时间系统的控制问题已被广泛研究，但是 大部分结果涉及的时滞都是常数和独立的 1 9 - 2 2 ，由于在独立时滞条件下时滞 的任意大现在越来越多的人关注具有变时滞和时滞相关的控制问题( 判据条件 依赖时滞的大小) 2 冬2 8 1 近来，具有时变时滞的连续时间线性系统日。控制已有大量结果 2 2 ，2 9 ，3 0 ，3 1 同时，对离散时间线性系统的关注却很少 3 2 】，这是因为它们可以经由增加状态 变量的方法转化为没有时滞的系统，在使用离散时间线性系统的控制理论其控 制问题就可以得到解决 离散时间系统不仅代表社会、经济、工程等领域一大批离散动态问题的的 数学模型，而且代表连续时间系统的时间离散化模型，对离散时间线性系统的 研究具有十分重要的意义。本文研究的对象就是离散时变时滞系统 2 】 然而，现有理论不能直接应用到具有时变时滞的离散时间线性系统，这是 因为变时滞的存在，使得增加状态变量的方法不能简单得以应用近来，在通讯 网络领域对具有变时滞的系统的关注越来越多，由于网络条件反馈信息储存到 队列中是延迟的，所以这个滞后就是时变时滞。对于离散时间线性系统的研究， 本文将得到一个以线性矩阵不等式的形式给出的充分条件 3 时变时滞离散线性系统的上k 控制 1 2 研究内容 在许多实际系统中，如航空航天、化工冶金、电网等，由于测量的不灵敏、 信号的传输和元件的老化等原因，系统中不确定和时滞普遍存在，并且是造成 系统不稳定和性能变坏的主要原因所以不确定时滞系统的研究具有较强的实 际背景近年来，不确定时滞系统控制问题受到众多学者的关注并己取得很多 有价值的研究成果 关于时滞系统的稳定性，主要基于两种方法：一种是利用滞后系统的广 义特征方程根在复平面上的分布与稳定性之间的关系，但是这一判据是超越 的，不便于应用另一种是l y a p u n o v 方法，这种方法是由k r a s o v k s i i 于1 9 5 9 年提 出的l y a p u n o v 方法的推广，通过引入不同的l y a p u n o v 泛函，来判断系统的稳定 性由于l y a p u n o v 泛函的选取不同，其保守性能也有所差异在应用l y a p u n o v 稳 定性理论时，主要是判定l y a p u n o v 泛函沿系统的任意轨线的时间导数，并保证 这个时间导数最终是负定的一般来说，这个时间导数往往比较复杂，为了导出 容易检验的条件，通常对这个时间导数进行放大，来保证它的负定性本文基于 这一思想，构造了一个l y a p u n o v 泛函： m 一1 k = x 蚕p x k + 巧q 巧， i = 1j = k - i 这里p ，q 是正定矩阵，通过对差分的放大来保证它的负定性，进而用来研究时 滞系统的比控制问题 例如文献 3 7 】研究了具有时变时滞的线性系统的如控制问题，文献 3 8 】研 究了具有状态滞后和输入滞后系统的反馈控制器设计问题这些结果都是 基于二次稳定的概念，要求对于所有允许的不确定参数，系统存在一个统一 的l y a p u n o v 函数，显然该要求比较苛刻，由此导出的结果必然具有较大的保守 性为此不少学者试图寻找和系统不确定性相关联的l y a p u n o v 函数，以减少设 计的保守性，并已取得不少研究结果 本文主要针对离散时变时滞系统，主要研究以下问题： 在第一章，介绍了时滞系统及其比控制问题的背景知识，国内外研究成 果，同时对本文要研究的问题做了简单的陈述，并简略地介绍了本文的组织结 4 时变时滞离散线性系统的日。o 控制 构和符号说明 在第二章主要研究一类状态具有时变时滞的离散时间线性系统的巩控制 问题。文中王k 控制律被假设为无记忆状态反馈，时变时滞的大小是有上界的，通 过求解无时滞具有单一日。范数边界的离散时间线性系统的日矗控制问题来解决 时变时滞离散时间线性系统的民控制问题 在第三章，利用第二章的方法研究一类状态和输入同时具有时变时滞的离 散时间线性系统的置。控制问题 对上述两个问题的结论，本文给出了有效的可行l m i 问题解 5 时变时滞离散线性系统的日。控制 1 3 符号说明 下列符号在文中经常使用： x ，y r “表示x ，y 是实对称矩阵 x y ( x y 0 ) 表示x y 是正定矩阵 厶是n n 单位矩阵 z t 表示向量z r n 的转置矩阵 1 1 | f 2 表示通常的1 2 o ，o 。卜范数 l m i ( l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ) 表示线性矩阵不等式 记z 女全z ( 岛) 6 2状态具有时变时滞的离散时间线性系统的如控制问题 2 1准备知识 在许多实际系统中，如航空航天、化工冶金、电网等，由于测量的不灵敏、 信号的传输和元件的老化等原因，系统中不确定性和时滞普遍存在，并且是造 成系统不稳定和性能变坏的主要原因由于时滞是自然界中广泛存在而又不可 避免的一种现象，时滞的存在使得系统的分析和综合变的更加复杂和困难，同 时时滞往往是系统不稳定的根源因此分析时滞系统的稳定性有着理论和实际 的意义 离散时间系统不仅代表社会、经济、工程等领域一大批离散动态问题的的 数学模型，而且代表连续时间系统的时间离散化模型，对离散时间线性系统的 研究具有十分重要的意义 本章研究一类状态具有时变时滞的离散时间线性系统的王k 控制问题 3 6 首先考虑下列状态具有时变时滞的离散时间线性系统： z ( 后+ 1 ) z ( 尼) z ( 忌) = a a x ( k ) + a 2 x ( k d ( 七) ) f b l u ( k ) + b 2 w ( k ) = c z ( k ) + d u ( k ) ， = 0 ，v k 0( 2 1 ) 这里，z ( k ) p 是状态变量，4 k ) r p 输出控制变量，u ( 尼) w ”输入控制变 量，w ( k ) r a 是扰动，d ( k ) 是关于忌至0 的正整数函数 假设2 1 1 存在一个正整数m 使得 0 d ( k ) sm ，v k 0 假设2 1 2 前馈矩阵d 是满秩的且d 丁d 0 下面我们定义系统( 2 1 ) 的控制问题 ( 2 2 ) 时变时滞离散线性系统的日。控制 定义2 1 1 1 3 5 给定常数7 0 ，系统( 2 1 ) 关于三k 一范数边界7 是镇定的， 若存在状态反馈律u k = f 钆满足以下条件： ( 1 ) 闭环系统是一致渐近稳定的 ( 2 ) 对于假定的初始条件，输出控制变量满足： z k h 2 0 ，考虑下面没有滞后的离散时间线性系统： z 1 2a l x k + b 1 u t , + b 2 w k 魂= 女+ d u k ，( 2 4 ) 系统( 2 4 ) 关于鼠。一范数边界，y 是二次稳定的，若存在状态反馈律乱k = f x k 和正定矩阵p 满足以下线性矩阵不等式： 这里， 一p + 碍尸- 1 + 矿虿 + 霹p b 2 ( 厶一, 7 - 2 b t p b 2 ) 一1 霹p - a l 0 ， 一a 1 = a 1 + b 1f c = c 士d f 8 ( 2 6 ) 时变时滞离散线性系统的三k 控制 在线性系统中，若不存在不确定项时，二次稳定性包含渐近稳定性当参数 不确定项存在时，系统的鲁棒冠。控制问题是复杂的，但是使用后面章节的方法 这个问题很容易解决 为了解决定义 2 1 1 】中的比控制问题，需要介绍下列引理，它给出了闭环 系统的渐近稳定性的一个充分条件 引理2 1 1 若存在状态反馈律u k = f x 和正定矩阵p ，q 满足下列矩阵不 等式： 一p + 7 4 i p a l + m q + 碍p a 2 ( q 一霹p - 2 ) 一霉p a l 0 ， ( 2 8 ) 则系统( 2 1 ) 关于状态反馈u k = f x e 的闭环系统是渐近稳定的，当w k = o 时 这里 证明：由假设2 1 1 ，系统( 2 1 ) 关于u t = f x k 的闭环系统可以改写成： z ( 惫+ 1 )一a 1 x ( k ) + a 2 x ( k d ( 七) ) + b 2 w ( k ) m a 1 z ( 七) + b 2 w ( k ) + a 2 6 ( d ( 忌) 一洲七一i ) j = 1 z ( 忌) = u z ( k ) 跏，= r 定义如下一个l y a p m l o v 函数k ： n 0 n = 0 j七一1 k = x t p x , + 巧q 巧 i = 1j = k - i 9 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 时变时滞离散线性系统的三k 控制 这里p ，q 是正定矩阵 那么，从( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) , - - r p a 得到如下等式：这里，w k = 0 因为 以及 厶坛= 魄1 一 对垤 0 = x l l p x + l x r p x m + 芝二 。暑q z t z 0 ；q x k t 】i i = - i m = z ：两p - ，一p + m q 。e 一z 乙q t i = l m + 2 z v t p a 2 6 ( d ( 七) 一i ) 钆t mm + 厂厂 j ：- 一：_ 一 i = 1j = 1 6 ( d ( 南) 一i ) 巧( d ( 七) 一歹) 。己 a t p a 2 x k - j( 2 1 2 ) z2j i j mm z 乏t q x 胁6 ( d ( 七) e ) z 矗i q 吼t i = li = 1 m 6 ( d ( 惫) 一i ) = 1 ，v 尼 0 t = 1 1 0 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 时变时滞离散线性系统的五k 控制 从以上几组等式，可以得到下列一个不等式： k z t “- - t l p x l 一p + m q ) z + 2 6 ( d ( 七) 一i ) z v t p a 2 址t i = 1 m + 占( d ( 七) 一i ) z 乙a t 2 p a 2 x k t t = 1 m 一6 ( ( 七) 一t ) z 乙q x k t i = 1 = 。看 碍p 万。一p + m q x k + 6 ( d ( ) 一t ) 童聋p a 2 ( q a t p a 2 ) a t p - x 1 z k 一陋( d ( 尼) 一i ) a t p a l z k 一( q a t p a 2 ) z 一t t ( q a t p a 2 ) 一1 0 。 考虑下列离散时间线性系统： z k + ，= a l x k + b u t + a z q 一，y 1 岛 叫k 钒= 卜讣t ， 若系统( 2 1 6 ) 在单一上k 一范数边界下是二次稳定的，则在相同的控制律和单 一日。一范数边界，y 下系统( 2 1 ) 是稳定的 证明：假设系统( 2 1 6 ) 在单一王k 一范数边界下是二次稳定的 由定义2 1 2 知，存在状态反馈律u = f x k 以及正定矩阵p ， 使得下列矩阵不等式成立： 这里， a ；p a l 一p + m q + c 1 c + - a i p - 个一一 下 叶慨 _ 1 鬻卜 。 仁忉 = ：芝： 。 c 2 8 ， 1 1 = 厶一q j 1 t 2 尸a 2 q 一 1 2 = 一, t - 1 q 一 a 手p b 2 2 2 = 一7 2 b t p b 2 时变时滞离散线性系统的三k 控制 对系统( 2 1 ) 的闭环系统( 2 9 ) ，应用前面定义的l y a p u n o v 数( 2 i i ) ，不等 式( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 和( 2 1 ) ，以及假设1 得到下列不等式： 这里， k - - - z t kz k 一, y 2 w r w z 看 哿p 万1 一p + m q + 矿虿 + 碍p a ：b 2 矿a t 嘲z t 0 ( 2 1 9 ) ，= 三兰： o ， 当训= 0 ，则( 3 1 ) 关于u = f z 的闭环系统是一致渐近稳定的 证明：由假设3 1 1 ，系统( 3 1 ) 关于u = f z k 的闭环系统 - i d a 改写成： 这里 ( 3 4 ) ( 3 5 ) x ( k + 1 ) = a l x ( k ) + a 2 x ( k d x ( k ) ) + b 2 f x ( k d 2 ( 尼) ) + b s w ( k ) = a l x ( k ) + b 3 w ( k ) m + a 2 6 ( d 1 ( 南) 一i ) x ( k i ) = 1 m + 岛f 5 ( d 2 ( k ) 一i ) x ( k e ) i = l z ( k ) = c z ( 忌) ( 3 6 ) 跏) = r i fn 0 i fn = 0 1 6 ( 3 7 ) 定义如下一个l y a p u n o v i 函数k ，这里p ，q 是正定矩阵，如下： m v k = x t p x k + t = 1 七一1 巧q j = k - i 那么，从( 2 1 1 0 ) 和( 2 1 1 1 ) 可以得到如下等式：这里，叫= 0 坛= v k + 1 一 m = 。玉。p x k + ，- - x t p x k + x t q x k z 矗t q x k t ) t 兰1 m = z t it i n t 。r - - 一。一p + m q x k 一z 王i o 。k t i - - - - 1 m + 2 z 刁芒p 【a 2 6 ( d 1 ( 惫) - i ) x k t i = 1 m + 岛f 5 ( d 2 ( k ) 一i ) o i = 1 m a - a 2 6 ( d 1 ( 七) 一i ) x k t t = 1 m + 易f 乏二5 ( d 2 ( k ) 一i ) x k t ) t p a 2 盯 6 ( d 1 ( 尼) 一i ) i = 1 5 ( d 2 ( k ) 一i ) x k 一 ) 1 7 ( 3 8 ) ( 3 9 ) m 试 p 2 8+ 时变时滞离散线性系统的。日之控制 以及 因为 这里= 1 ，2 同样 对于垤 0 5 ( d 。( 忌) 一i ) 5 ( d ，( ) 一歹) ： 6 ( d ”( 后) 一i ) ， i f ：- j ( 3 1 0 ) 10 ， i f i j r m 2 聃( 克) - i ) 5 ( d 2 ( k ) 一j ) z 乙a t p b 2 f x ( k - j ) i d = l 6 ( d 2 ( ) 一) p j lb 2 p x ( k 一歹) m e 6 ( d 1 ( 忌) 一响乙a 。t 厂j 1 a 2 让t 注1 m 6 ( d 。( 角) 一i ) = 1 ，v 七 o ，= 1 ，2 ， i = 1 1 8 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 一 七 z qr 虹 z 0 一七d占 m ：l 一 一 z qt 扣 z m 汹 t 0 一路 oa 尸 0 一 d 占 m 渊 2 = 一 七 zf 玩 p t 2 b ? f r 肛 z一岛d占 m 烈 一 e+ 从以上几组等式，可以得到一下不等式： a y k - - a t l 户万。一p + m q x k + 乏二6 ( d 1 ) 一t ) z 蚕驾p a 2 z k i + 6 ( d 2 ( 七) 一i ) z 离p b 2 f i + 妣( 庇) 一t ) z 己l a t 2 p a 2 t = 1 i = 1 + 5 ( d 2 ( k ) 一t ) z 乙f ：r b t p b 2 f 址i 一6 ( d 1 ( 七) 一i ) z 乙詈骓 m n m ， 一占( d 2 ( 七) 一t ) z 乙等z “+ m e 6 ( d 1 ( 惫) 一t ) z 己t 霹p a 2 z t = 1 一 t = 1 这里， + m 一16 ( d 2 ( 七) 一j ) z 己j f t 冽t rz 1 易f z k j j = 1 ；z 暑 聋p - f i 。一p + m q x + 了m _ 6 ( d 1 ( 忌) 一t ) z e 哿p a 2 ( q a t p a 2 ) 一1 a t p a l x k+ 了_ 6 ( d ，( 忌) 一t ) z e 哿 一 。) 一1 + f m5 ( d 2 ( 血) 一t ) 。哿b 2 f ( 罢一f t b t p b 2 f ) 一，b 手p _ 万1 z k+ 1 2 ( 血) 一t ) 。琢if ( 普一t 一1 矿。b ；p a l z “ 一三1 一三1 z 蚕田p _ 。一p + m q + 哿隅( 罢一a t p a 。) p _ ， + 哿b 2 f ( q f t b t p b 2 f ) 一1 f t b 2 t - 页1 ) z 0 ：f m1 ( 七) 一一( 百q 一 p a = - 15 ( di ) ( a t p a l x k a t p a 2 ) x k t ) t = ( 七) 一 一( i 一 一t ) t ( 罢一a 手弛) 一1 a 多p _ 。z t 一( 罢一a ；弛) t 】_ 0 1 9 ( 3 1 4 ) 时变时滞离散线性系统的日。控制 三2 ：m 占( d 2 ( 尼) 一t ) f ? b 1 p - a b p - a 。z k 一( 导一f t b 多p 岛f ) z k 一 ) t三2 = 占( d 2 ( 尼) 一t ) f ?- z k 一( 罟一f t b 多p 岛f ) z k 一 ) t ( 拿一f t b t p b 2 f ) 一1 f t b t p - 页1 z k 一( 鲁一f t b t p b 2 f ) 。一 】 0 因此，闭环系统( 3 6 ) 是一致渐进稳定的 证毕 引理3 1 1 中给出的时变时滞离散时间线性系统渐近稳定性的充分条件依赖 于变时滞的大小 时变时滞离散线性系统的日。控制 3 2主要结果 现在，可以给出系统( 3 1 ) 满足玩控制的充分条件无时滞系统( 3 1 5 ) 满 足上k 控制的控制律同样可以用来解决系统( 3 1 ) 满足三k 控制 定理3 2 1 给定常数7 0 ，e o 和正定矩阵q 0 考虑下列离散时间线性系统： z + ，= a l x k + b ，u t + a zb 2 f 口3 钮 砚。 面i 而j o 0 d 若存在下列不等式： 麓户才1 一p + m q + 矿虿+ 碍p 这里 a 。b 。fb s - 1 n = 1 - 1 1 11 1 1 2 1 3 艺1 1 2 2 2 3 品乏1 1 3 3 龋 f t b 霹 0 i i l l = 譬一a t p a 2 1 1 1 2 = 一f t b t p a 2 1 1 1 3 = - a t p b 3 1 1 2 2 = 譬一f 丁砑p b 2 f h 2 3 = 一f t b t p b 3 1 1 3 3 = ，2 厶一b t p b 3 2 1 ( 3 1 5 ) p _ l 0( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 时变时滞离散线性系统的三k 控制 若系统( 3 1 5 ) 在单一王k 一范数边界下是二次稳定的，那么在相同的控制律下 和单一王k 一范数边界7 下系统( 3 1 ) 是稳定的 证明：应用前面定义的l y a p u n o v 函数( 3 1 1 ) ，不等式( 3 1 3 ) 、( 3 1 4 ) 和( 3 1 6 ) ， 以及( 3 2 ) ，我们可以得到不等式： - t - 罐魂一f 叫蚕伽k z y k l - r t l 厂 1 一p + m q + - c t - c _ t p a ：岛f 蟹 f t 鹾 霹 p a l z k 0 ( 3 1 8 ) 由假设知z k = 0 , v k 0 ，则l y a p u n o v 函数v k = 0 对每一个七0 易得： ( 3 1 9 ) 可以推出闭环系统( 3 6 ) 的上k 一范数小于7 利用引理1 ，当叫k = 0 时，容易得到闭环系统( 3 6 ) 是一致渐近稳定的证毕 根据定理3 2 1 ，时变时滞离散时间线性系统巩控制问题的可解性可以通 过研究一类无时滞但是系统参数时滞相关的离散时间系统乩控制问题得到验 证在过去十几年没有滞后的离散时间线性系统如控制问题已经得到充分的研 究所以，它很容易通过已有理论进行求解出来 引理3 1 1 提供了一个求解定义3 1 1 中比控制问题的控制律 推论3 2 1 下列等式给出了求解定义3 1 1 中如控制的控制律 u k = f x = l p 一1 z k( 3 2 0 ) 0 一 一 0 满足下列矩阵不等式： 这里 皿：虬。 i 蛇喜： 。 r p 000 c i ，l l = l 0 。言2 0 譬。0 【0 0 0 7 2 西1 22 薛p a t p p 一1 l t b 尹p b p 弭q 0 0 0 嘏q 芦 00 00 00 a = a 1 十b 1 l p 一1 ，0 = c + d l p 一1 西2 22 一p 0 0 0 0 一q 0 0 0 0 一q o 0 0 0 一昂 ( 3 2 1 ) 应用舒尔补引理，通过一些简单推导，推论1 很容易得到证明条件e q ( 3 2 5 ) 以 线性矩阵不等式的形式给出，其解可以通过凸优化理论求出来 3 4 】 3 3结论 本章给出了变时滞离散时间线性系统比控制的一个充分条件和相应的控 制律文中表明可以通过求解无时滞具有单一如范数边界的离散时间线性系统 的如控制问题来解决变时滞离散时间线性系统的如控制问题文中获得的充 分条件是以线性矩阵不等式的方式给出的，可通过已有理论进行求解出来虽然 当系统参数不确定性存在时控制问题求解起来很复杂，但是本文给出的求解方 法很容易得到应用 参考文献 【1 】1 俞立鲁棒控制一线性矩阵不等式处理方法 m 】北京：清华大学出版社，2 0 0 2 2 】郑大钟线性系统理论( 第2 版) 【m 】北京：清华大学出版社，2 0 0 2 【3 】3 z a m e s f e e d b a c ka n do p t i m a ls e n s i t i v i t y ：m o d e lr e f e r e n c et r a n s f o r m a t i o n s m u l t i p l i c a t i v es e m i n a r sa n da p p r o x i m a t ei n v e r s e s j i e e et r a n s a c t i o n sd n a u t o m a t i cc o n t r o l ，1 9 8 1 ，2 6 ( 1 ) ：3 0 1 3 2 0 4 】p a r kp g ，m o o ny s ，k w o nw h ad e l a y - d e p e n d e n tr o b u s ts t a b i l i t yc r i t e - r i o nf o ru n c e r t a i nt i m e - d e l a ys y s t e m s c p r o c e e d i n g s 巧t h ea m e r i c a nc o n - t r o lc o n f e r e n c e ，1 9 9 8 ：1 9 6 3 - 1 9 6 4 5 】f r i d m a ne n e wl y a p u n o v - k r a s o b s k i if u n c t i o n a l sf o rs t a b i l i t yo fl i n e a r r e t a r d e da n dn e u t r a lt y p es y s t e m s j s y s t e m sa n dc o n t r o ll e t t e r s ，2 0 0 1 ， 4 4 ( 3 ) ：3 0 9 3 1 9 6 n i c u l e s c us - i o nd e l a y - d e p e n d e n ts t a b i l i t yu n d e rm o d e lt r a n s f o r m s - t i o n so fs o m en e u t r a ll i n e a rs y s t e m s j i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo fc o n t r o l ，2 0 0 1 ，7 4 ( 6 ) ：6 0 9 6 1 7 7 】f r i d m a n e s h a k e du a n i m p r o v e d s t a b i l i z a t i o nm e t h o do f l i n e a r t i m e - d e l a y s y s t e m s j i e e e t r a n s a c t i o n s o na u t o m a t i c c o n t r o l , 2 0 0 2 4 7 ( 1 1 )