（固体力学专业论文）无网格局部径向点插值法及其在中厚板问题中的应用.pdf

博l j 学位论文 摘要 无网格方法是继有限元法和边界元法等传统数值方法之后兴起的一种很有 发展前途的数值方法。与传统的数值分析方法相比，无网格方法具有许多突出的 优点，最主要的优点在于克服了对网格的依赖性，彻底或部分消除了网格的划分， 因此无网格方法在处理大变形、裂纹扩展和高速冲击等非线性问题时具有明显的 优势。近年来，国内外学者在无网格方法的研究方面已经取得了许多开创性的重 要成果。无网格局部径向点插值法( l r p i m ) 是近几年发展起来的一种无网格方 法，它不需要借助于任何单元或网格进行积分或插值，是一种真正的无网格方法。 而且，其形函数具有k r o n e c k e rd e l t a 函数性质，可以直接施加本质边界条件。本 文将无网格l r p i m 应用于求解中厚板的弯曲、动力学以及弹塑性等问题。 本文首先介绍了无网格方法的发展历史和国内外研究现状，按照不同离散方 式对各种主要的无网格方法进行了回顾和评价，总结了无网格方法的特点、优越 性以及目前无网格方法的难点和存在的问题。概述了无网格方法在板壳问题当中 的应用情况。本文的无网格l r p i m 采用径向基函数耦合多项式构造形函数，消 除了系统矩阵的奇异性，形函数及其导数比较简单，计算效率和精度都比较高。 尽管无网格方法在板壳问题的研究中已经有了一系列的成果，但无网格 l r p i m 在中厚板问题中的研究却很少有报道。本文的主要工作与创新点是，首次 将无网格l r p i m 应用于求解中厚板的弯曲问题、动力学问题以及弹塑性问题等。 在中厚板的静力平衡方程和动力学方程等基础上，采用局部加权残值法推导出了 各种情况下的离散系统方程。在中厚板的弯曲问题中，计算了各种边界条件下和 各种外加载荷作用下的中厚板的弯曲变形、内力和应力；讨论了径向基函数的形 状参数对计算结果的影响；分析了附加不同阶数多项式的计算效率问题；考虑了 积分域和影响域大小对计算结果的影响问题；对剪切自锁所产生的原因以及避免 剪切自锁的措施进行了分析，发现无网格方法相对于有限元法等传统数值方法能 更好地避免剪切锁死现象；利用无网格l r p i m 分析了非均质中厚板的静力弯曲 问题。在弹性地基厚板的弯曲问题中，推导了局部径向点插值离散方程，分析了 弹性地基上四边简支厚板、四边固支厚板以及建筑筏板基础的挠度和弯矩，计算 了挠度和弯矩的相对误差和收敛率。对于中厚板的动力学问题，推导了自由振动 和强迫振动的离散系统方程，采用子空间迭代方法求解特征方程，动力学方程则 采用n e w m a r k 方法进行时域离散，介绍了数值实施方法和主要计算步骤；给出了 各种不同边界条件和不同形状中厚板的自由振动和强迫振动数值算例；利用无网 格l r p i m 分析了非均质中厚板的动力弯曲问题。最后用无网格l r p i m 法分析了 中厚板的弹塑性弯曲问题。分析了中厚板弹塑性应力应变关系；采用增量 博士学位论文 n e w t o n r a p h s o n 迭代法来求解中厚板非线性增量形式的离散系统方程。 无论在中厚板的弯曲问题，弹性地基厚板的弯曲问题中，还是在中厚板的动 力学问题和弹塑性问题中，所有数值算例结果都表明，本文方法对于中厚板的问 题的求解是可行的和有效的，并且所得到的结果具有较好的精度和收敛性。 关键词：中厚板；无网格局部径向点插值法；加权残值法；径向基函数；弯曲问 题；动力学分析；弹塑性分析 博t 学位论文 a b s t r a c t t h em e s h l e s sm e t h o di san e wn u m e r i c a lm e t h o dw i t hag r e a tp r o s p e c td e v e l o p e d a f t e rt r a d i t i o n a ln u m e “c a lm e t h o d ss u c ha s f i n i t ee 】e m e n tm e t h o d ， b o u n d a r y e 1 e m e n tm e t h o de ta 1 t h em e s h l e s sm e t h o dp o s s e s s e sm a n y a d v a n t a g e s ，a m o n gt h e s e t h em o s to u t s t a n d i n ga d v a n t a g ei si n d e p e n d e n to fm e s h e s ，a n dt h o r o u g h l yo rp a r t i y e l i m i n a t e sm e s h i n g b yu s i n gt h i sm e t h o d ，i tb e c o m e se a s yt os 0 1 v el a r g ed e f o m l a t i o n p r o b l e m s ，c r a c kp r o p a g a t i o np r o b l e m sa n dh i g hv e l o c i t yi m p a c tp r o b l e m se ta 1 al o t o ft h ei m p o r t a n tp i o n e e r i n ge f f i o r th a sb e e nd o n eo nt h em e s h l e s sm e t h o d sb vs c h o l a r s i nar e c e n td e c a d e t h em e s h l e s s1 0 c a l r a d i a lp o i n ti n t e r p o l a t i o nm e t h o d ( l r p i m ) i s a n e wn u m e r i c a lt e c h n i q u ep r e s e n t e di nr e c e n ty e a r s i td o e s n tn e e da n ye l e m e n to r m e s hf o rt h ee n e r g yi n t e g r a lo rm ep u 印o s eo fi n t e 印o l a t i o n t h e r e f o r ei ti sat m l y m e s h l e s sm e t h o d t h es h a p e 如n c t i o n sh a v et h ek r o n e c k e rd e l t af u n c t i o np r o p e r t y ， a n dt h ee s s e n t i a l b o u n d a r yc o n d i t i o n sc a nb ee a s i l yi m p o s e d a p p l i c a t i o n so ft h e m e s h l e s sl r p i mt ob e n d i n ga n di l y n a m i cp r o b l e m sa sw e na se l a s t o p l a s t i cp r o b l e m s o fm o d e r a t e l yt h i c kp l a t e sa r e p r e s e n t e di nt h i sd i s s e r t a t i o n a tt h eb e g i n n i n g0 ft h ed i s s e r t a t i o n ，r e c e n td e v e l o p m e n t so ft h em e s h l e s sm e t h o d a r eo v e i e w e d s e v e r a l t y p i c a lm e s h l e s sm e t h o d sa r er e v i e w e da n da p p r a i s e di nt e m o ft h e i rd i s c r e t i z a t i o ns c h 锄e s c h a r a c t e r i s t i c s ，a d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e so fa l l k i n d so fm e s h l e s sm e t h o d sa r ep o i n t e do u t a p p l i c a t i o n so ft h em e s h l e s sm e t h o d st o t h e p l a t ea n ds h e l lp r o b l e m sa r ei n t r o d u c e d t h es h a p ef u n c t i o no ft h em e s h l e s s l r p i mi sa 1 1c o n s t n l c t e db yu s i n gt h er a d i a lb a s i sm n c t i o n sw i t hp o l y n o m i a lb a s i s f u n c t i o n s ，t h es i n g u l a r i t yo ft h es y s t e mm a t r i xi so v e r c o m e t h es h a p e 如n c t i o n sa n d t h e i rd e r i v a t i v e sa r e s i m p l e ，c o n s e q u e n t l y l o w e rc o m p u t a t i o n a lc o s t t h ee f f i c i e n ta n d a c c u r a t er e s u l t sc a nb eo b t a i n e d a l t h o u g hal o to fa c h i e v e m e n t sa r eo b t a i n e da b o u tm e s h l e s sm e t h o d sf o rt h e p l a t ea n ds h e l lp r o b l e m s ，t h es 0 1 u t i o no fm o d e r a t e l yt h i c kp l a t ep r o b l e mi sr a r e l y r e p o n e di nt h eu s eo ft h em e s h l e s sl r p i m 。i nt h i sd i s s e r t a t i o n t h em e s h l e s sl r p i m i su s e dt o i n v e s t i g a t eb e n d i n ga n dd y n a m i cp r o b l e m sa sw e l la se l a s t o p l a s t i c p r o b l e m so fm o d e r a t e l yt h i c kp l a t e s b a s e do nt h ee q u i l i b r i u me q u a t i o n sa n dd y n a m i c e q u a t i o n so fam o d e r a t e l yt h i c kp l a t e ，t h ev a r i o u sd i s c r e t i z e ds y s t e me q u a t i o n sf o r m o d e r a t e l yt h i c kp l a t e sa r ed e r i v e du s i n gl o c a l l yw e i g h t e dr e s i d u a lm e t h o d i nt h e a n a l y s i so ft h eb e n d i n gp r o b l e m sf o rm o d e r a t e l yt h i c kp l a t e sw i t hv a r i o u sb o u n d a r y c o n d i t i o n sa n du n d e rv a r i o u sl o a d s ，d e f o 咖a t i o n sa n db e n d i n g ( t o r s i o n a l ) m o m e n t sa s i v 博j ：学位论文 w e l la ss t r e s s e sa r ec a l c u l a t e d e f 亿c t so ft h es h a p ep a r a m e t e r so ft h er a d i a lb a s i s f u n c t i o no nt h en u m e r i c a lr e s u l t sa r ei n v e s t i g a t e d c o m p u t i n ge f 6 c i e n c yi ss t u d i e d w h e np o l y n o m i a l so fm el o wa n dh i g ho r d e ra r eu s e d e f f e c t so fs i z e so ft h e q u a d r a t u r es u b d o m a i na n dt h ei n f l u e n c ed o m a i no nt h en u m e r i c a l r e s u l t sa r e i n v e s t i g a t e d t h er e a s o no ft h es h e a r1 0 c k i n ga n dt h em e a s u r eo fa v o i d i n gt h es h e a r 1 0 c k i n ga r ea n a l y z e d i ti sf 0 u n dt h a tt h es h e a ri o c k i n gi se a s i e ra v o i d e di nt h e m e s h l e s sm e t h o dt h a ni nf e m t h es t a t i cb e n d i n gp r o b l e m so fan o n h o m o g e n e o u s m o d e r a t e l yt h i c kp l a t ea r ea n a l y z e du s i n gt h em e s h l e s sl r p i m ，t o o t h ed i s c r e t i z e d s y s t e me q u a t i o nf o rm o d e r a t e l yt h i c kp l a t e so nt h ee l a s t i cf o u n d a t i o nw i t ht w o p a r a m e t e f si sd e r i v e du s i n gal o c a l l yw e i g h t e dr e s i d u a lm e t h o d b e n d i n gp r o b l e m sf o r t h er a f ta n dm o d e r a t e l yt h i c kp l a t e so nt h ee l a s t i cf 0 u n d a t i o nw i t hs i m p l ys u p p o r t e d a n dc l a m p e db o u n d a r yc o n d i t i o n sa r ea n a l y z e db yt h em e s h l e s sl r p i m t h er e l a t i v e e r r o ra n dc o n v e r g e n c er a t ef b rd e n e c t i o n sa n db e n d i n gm o m e n t sa r es t u d i e d f o rt h e d y n a m i ca n a l y s i so fm o d e r a t e l yt h i c kp l a t e s ，t h ed i s c r e t i z e ds y s t e me q u a t i o n so ft h e f r e ev i b r a t i o na n df o r c e dv i b r a t i o nf o rt h em o d e r a t e l yt h i c kp l a t ea r ep r e s e n t e d t h e s u b s p a c ei t e r a t i v em e t h o di sa d o p t e dt os o l v et h ee i g e n v a l u ee q u a t i o no ft h ef r e e v i b r a t i o np r o b l e m ，a n dt h en e w m a r km e t h o di su s e dt od i s c r e t et h et i m ed o m a i n t h e a p p r o a c h e so fn u m e r i c a l i m p l e m e n ta r ep r e s e n t e d ，a n ds e v e r a ln u m e r i c a le x a m p l e sa r e p r e s e n t e df o rt h ef r e ev i b r a t i o na n df o r c e dv i b r a t i o no fm o d e r a t e l yt h i c kp l a t e sw i t h v a r i o u sb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h ed y n a m i cb e n d i n gp r o b l e m so fan o n h o m o g e n e o u s m o d e r a t e l yt h i c kp l a t ea r ea n a l y z e du s i n gt h em e s h l e s sl r p i m ，t o o i nt h ee n d ，t h e e l a s t o p l a s t i cb e n d i n gp r o b l e m so fm o d e r a t e l yt h i c kp l a t e s a r ea n a l y z e db yt h e m e s h l e s sl r pi m t h ee l a s t o - p l a s t i cs t r e s s s t r a i nr e l a t i o no ft h em o d e r a t e l yt h i c k p l a t ei ss t u d i e d ，a n da ni n c r e m e n t a ln e w t o n - r a p h s o ni t e r a t i v ea l g o r i t h mi se m p l o y e d t os o l v et h en o n l i n e a ri n c r e m e n t a ld i s c r e t i z e ds y s t e me q u a t i o no ft h em o d e r a t e l yt h i c k p l a t e n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ep r e s e n tm e t h o dp o s s e s s e sn o to n l yf e a s i b i l i t y a n dv a l i d i t y ；b u ta l s o h i g ha c c u r a c ya n dg o o dp e r f b n n a n c eo fc o n v e r g e n c e f i o r m o d e r a t e l yt h i c kp l a t ep r o b l e m si n c l u d i n gb e n d i n ga n dd y n a m i cp r o b l e m sa sw e na s t h ee l a s t o p l a s t i cp r o b l e m k e yw o r d s ：m o d e r a t e l yt h i c kp l a t e ；m e s h l e s s1 0 c a lr a d i a lp o i n ti n t e 印0 1 a t i o nm e t h o d ； w e i g h t e dr e s i d u a lm e t h o d ；r a d i a lb a s i sf - u n c t i o n ；b e n d i n gp r o b l e m ；d y n a m i ca n a l y s i s ； e l a s t o p i a s t i ca n a l y s i s v 博仁学位论文 插图索引 2 1坐标系和广义位移的正方向1 3 2 2广义内力的正方向l7 2 3微元体各侧面上的内力素及所受外载荷正方向l8 2 4 戗，乱与吃，幺的正方向2 1 2 5二维问题的p a s c a l 三角形2 4 2 6形状参数取值对形函数的影响2 6 3 1 节点的权函数域鼠、积分域q 及高斯积分点支持域q 3 1 3 2 积分域、支持域和权函数域3 8 3 3三次权函数及其导数3 9 3 4 四次权函数及其导数3 9 3 5 程序流程图4 l 3 6每一子块里采用4 x 4 的高斯点4 2 3 7规则1 2 l ( 1 1 11 ) 个节点布置的方板4 2 3 8固支板中线上j 方向的挠度变化4 3 3 9固支板上表面中线上x 方向的应力变化4 4 3 10 非规则12 1 个节点布置的方板4 5 3 1 l 简支板上表面中线上工方向的应力变化4 6 3 1 2 形状参数g 对结果的影响4 6 3 13 参数c 对结果的影响( g = 1 0 3 ) 4 6 3 1 4 板的两固支边中点连线上的挠度4 7 3 1 5 板的两简支边中点连线上的挠度4 8 3 1 6 板上表面两固支边中点连线上应力4 8 3 1 7 板上表面两简支边中点连线上应力4 8 3 18 积分域大小对结果精度的影响4 9 3 1 9 支持域大小对结果精度的影响4 9 3 2 0 自由端受均布线载荷的悬臂方板5 0 3 2 1 悬臂板中心线上的挠度5 0 3 2 2 悬臂板上表面中线上y 方向应力5 0 3 2 3 等腰梯形板及节点布置5 1 3 2 4 悬臂梯形板上表面中线上y 方向应力变化5 2 3 2 5 不同阶数多项式基函数下挠度的变化曲线5 3 3 2 6 自由端受均布线载荷的悬臂矩形板5 5 图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图 博上学位论文 3 2 7 线性变化时悬臂板中心线上的挠度5 6 3 2 8 指数变化时悬臂板中心线上的挠度5 6 3 2 9 变截面悬臂板及节点分布5 7 3 3 0 线性变化时板中心线上的挠度5 7 3 31 指数变化时板中心线上的挠度5 7 4 1p a s t e r n a k 地基模型6 1 4 2四边简支弹性地基板中点挠度和弯矩的相对误差和收敛率6 6 4 3 筏基及载荷6 7 5 1悬臂板及载荷8 0 5 2 简谐载荷下不同积分子域参数时4 点挠度w 随时间变化8 0 5 3简谐载荷下不同时间步长时彳点挠度w 随时间变化8 1 5 4 简谐载荷下不同影响域参数时彳点挠度w 随时间变化8 1 5 5 彳点的瞬态位移w 随时间变化8 2 5 6 考虑阻尼情况下彳点的瞬态位移w 随时间变化8 2 5 7均布冲击载荷时程曲线8 3 5 8简支方板在均布冲击载荷作用下板心挠度动力响应曲线8 3 5 9固支方板在均布冲击载荷作用下板心弯矩动力响应曲线8 3 5 1 0 变截面悬臂板及节点分布8 4 5 1 l 简谐载荷下b 点挠度w 随时间变化8 4 5 1 2 瞬态载荷下b 点挠度w 随时间变化8 4 5 1 3 简谐载荷下彳点挠度w 随时间变化8 5 5 1 4 彳点的瞬态位移w 随时间变化8 5 5 1 5 有阻尼时彳点的瞬态位移w 随时间变化8 6 5 1 6 两短边固支两长边简支矩形板8 6 5 17 在均布冲击载荷作用下m 点挠度动力响应曲线8 7 5 18 在均布冲击载荷作用下点弯矩动力响应曲线8 7 5 19 简谐载荷下曰点位移w 随时间变化8 8 5 2 0 曰点的瞬态位移w 随时间变化8 8 6 1悬臂板自由端中点的挠度随载荷的变化9 9 6 2悬臂板固定端中点的等效应力随载荷的变化9 9 6 3 简支板中心点的挠度随载荷的变化l0 0 6 4简支板中点的等效应力随载荷的变化1o o 6 5梯形板及节点布置1o l 6 6板上4 点挠度随载荷变化1 0 l 6 7板上b 点等效应力随载荷变化10 l 图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图 博士学位论文 附表索引 表2 1径向基函数2 5 表3 1四边固支受均布载荷方板中心的挠度和弯矩4 4 表3 2四边简支受均布载荷方板挠度结果4 5 表3 3对边固支另对边简支受均布载荷方板计算结果4 7 表3 4求解精度和计算效率比较4 8 表3 5受均布线载荷悬臂方板最大挠度和弯矩5 0 表3 6受均布载荷悬臂梯形板的最大挠度w ( x l o 。1 d 玑口4 ) 及相对误差5 1 表3 7分别插值时板中点的最大挠度值w ( 1 0 。3 d 玑口4 ) 5 4 表3 8线性变化时悬臂板中弯矩的最大值尥( k n m m ) 5 6 表3 9 指数变化时悬臂板中弯矩的最大值删( k n m m ) 5 6 表3 1 0 两种情况变化时悬臂梯形板中弯矩的最大值尥( n m m ) 5 8 表4 1弹性地基上四边简支方板的挠度和弯矩6 5 表4 2 弹性地基上四边固支方板的挠度和弯矩6 6 表4 3 地基板的挠度值6 7 表5 1几种边界条件下基频缈f 口：厮1 收敛性和其他方法结果的比较7 5 表5 2四边固支前六阶固有频率( 口2 肋归) 和其他方法结果比较7 6 表5 3四边简支前六阶固有频率q i 口2 础d ) 和其他方法结果比较7 6 表5 4悬臂矩形板前六阶固有频率嚷i 口2 肋归i 的比较7 7 表5 5方形中厚板中心挠度与弯矩的动力响应值8 3 表5 6两短边固支两长边简支矩形中厚板挠度与弯矩的动力响应值8 7 博b 学位论文 1 1 引言 第1 章绪论 许多工程实际中的力学问题常常可以归结为数学上的偏微分方程边值和初值 问题。用解析或半解析方法来求解这类问题，往往仅对几何边界规则及方程性质 简单的少数问题有效。但对于大多数问题，由于其边界比较复杂和问题的某些性 质是非线性的，这时往往要用各种数值方法并借助于计算机技术来寻求问题的数 值解。例如，有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ：f d m ) 、有限单元法【2 1 3 】f f i n i t e e 1 e m e n tm e t h o d ，f e m ) 和边界单元法【4 5 1 ( b o u n d a r ye 1 e m e n tm e t h o d ：b e m ) 是目前 理论和应用都比较成熟的三种典型的数值计算方法。尤其是有限元法，产生的影 响最为深远，得到了最为广泛的应用。 有限元法求解问题的基本思想是：先将问题的求解区域离散为有限数目并按 一定方式联结在一起的单元的组合体，利用每个单元内的近似函数( 由未知场函 数及其导数在单元节点的数值和其插值函数来表达) 来分片地表示整个求解区域 上待求的未知场函数，使未知场函数及其导数在各个节点上的数值成为未知量( 即 自由度) ，使一个连续的无限个自由度问题变成为离散的有限个自由度问题；然后 应用加权残值法或各种变分原理建立各节点量之间的关系式，并将各个单元方程 组合在一起而形成总体代数方程组，再计入边界和初始条件；最后通过一定的算 法求解此方程组便得到原问题的近似解。虽然有限元法已经非常通用且十分灵活， 并已经被作为一种工业标准而广泛地遵循，但是随着计算对象复杂程度的增加和 应用工作的深入，也逐渐暴露了其本身难以克服的一些不足，如自锁问题、所求 解函数的导数精度低等，而且在有限元法中，单元和网格既是分析解决问题的载 体，同时也是对其应用的制约，主要表现在：( 1 ) 单元网格剖分等前处理数据准 备工作量大，尤其是对复杂三维问题，其工作量往往比有限元计算本身还要大； ( 2 ) 在分析大变形问题时必须防止网格畸变( m e s hd i s t o n i o n ) 或缠结( m e s h e n t a n 9 1 e m e n t ) ，包括单元形状不能太“狭长”、局部内凹等；( 3 ) 在求解裂纹扩展、 液体晃动、材料相变和成形等不定边界或可动边界问题时，需要随时找出新的边 界位置，并在新的解域内重分网格( r e m e s h i n g ) ；( 4 ) 对时间相关问题，更要按时 段反复重分网格，工作量非常大，有时甚至分析失败。有限差分法、边界元法等 方法也是基于单元网格的数值方法，所以也会存在类似的网格制约等问题。 针对有限元法上述的一些缺陷，近年来研究出了种新的数值方法，即无网 格法( m e s h l e s so rm e s h f r e em e t h o d ) 或称无单元法( e l e m e n tf r e em e t h o d ) 。无 网格法是一类在有限元法等传统数值方法基础上并针对其网格单元存在的问题 博十学位论文 而提出的一类新的数值方法，其本质思想是：对所考虑问题域内采用一系列( 随 机分布) 无网格节点排列和一种与权函数( 或核函数) 有关的近似，使某个域上 的节点可以影响研究对象上任何一点的力学特性。这样一种在离散模型中仅基于 节点点阵而不需要划分单元或网格的数值方法，使分析问题的前处理过程变得简 单，在涉及网格畸变、网格移动和不定边界等问题中显示出明显的优势。所以， 无网格方法被认为是一种很有发展前途的数值分析方法，并成为目前国内外计算 力学界研究的一个热点【6 1 。 1 2 无网格方法的发展与研究现状 无网格方法起源于二十世纪七十年代，但直到上世纪九十年代初才开始引起 众多学者和研究人员的重视，并使其得到迅速的发展。最早的无网格方法光滑粒 子流体动力学方法【7 ，8 】( s m o o t hp a r t i c l eh y d r o d y n 锄i c sm e t h o d ：s p h ) 是由l u c y 和g i n g o l d 等于1 9 7 7 年提出的，1 9 9 4 年美国西北大学的著名学者b e l ) ，t s c h k o 等【9 1 提出了无单元伽辽金法( e l e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o d ：e f g ) ，对无网格的研究做 出了里程碑式的贡献。至今，提出的无网格方法已有二十多种【1 0 1 1 】，但其常见的 构造近似函数的方法有核函数法【12 1 、移动最小二乘法【1 3 ，1 4 1 ( m o v i n gl e a s ts q u a r e m e t h o d ：m l s ) 、单位分解法【1 5 】( p a r t i t i o no fu n i t y ：p u ) 和点插值法【1 6 - 1 8 j ( p o i n t i n t e r p o l a t i o nm e t h o d ：p i m ) 等。按照偏微分方程的离散方式可以把这些无网格方 法主要分为三大类：第一类是基于配点强形式的无网格方法；第二类是基于积分 弱形式的无网格方法；第三类是基于积分弱形式和配点强形式相结合的无网格方 法。还有一些派生出来的无网格方法，如无网格方法和其它数值方法耦合的方法。 1 2 1 基于配点强形式的无网格方法 配点法就是直接把点的坐标代入常微分方程或偏微分程的一种数值方法。它 的发展历史比基于其它离散方法久得多。基于配点强形式的无网格方法有：s p h 法，有限点法 1 9 - 2 1 】( f i n i t ep o i n tm e t h o d ：f p m ) ，无网格云团法【2 2 】( h pm e s h l e s s c l o u d sm e t h d ：h p m c m ) ，径向基函数( r b f ) 无网格方法【23 1 ，最小二乘配点无网 格法【2 4 】( l e a s ts q u a r e sc o l l o c a t i o nm e s h l e s sm e t h o d ：l s c m ) ，加权最小二乘配点 无网格法【巧j ( w e i g h t e dl e a s t s q u a r e sc o l l o c a t i o nm e s h l e s sm e t h o d ：w l s c m ) 等。 s p h 法作为第一种被提出的无网格方法，是将一个连续系统离散成为一系列 的任意分布的质点，所有有关这一系统的量都认为集中于这些质点上，并成功应 用于求解无界的天体物理问题【1 7 1 。由于s p h 形状函数不满足k r o n e c k e rd e l t a 性质， 且离散的s p h 形状函数很难保证一致性要求，所以带来了拉力不稳定性，零能模 式、难以处理本质边界条件、计算精度低和稳定性差等问题。近十年来，s w e g l e 【2 6 】 和c h e n 等【2 7 】分析了s p h 法不稳定的起因并提出了各种稳定化方案，j o n h s o n 等【2 8 】 博：卜学位论文 提出了归一化函数算法，v i g n j e v i c 等【2 9 】提出了克服零能模式的方案。国外学者 l i b e r s k y 等【3 0 】首先采用s p h 方法求解了三维薄壁容器中炸弹爆炸问题，“um b 和l i ug r 等【3 1 3 3 】将其应用于高速爆炸问题和穿透问题。国内学者张锁春【3 4 1 对s p h 法进行了综述。 1 9 9 6 年，波兰学者l i s z k a 等【2 2 】在h p 云团法( h pc l o u d sm e t h o d ：h p c m ) 的 基础上提出了h p 无网格云团法( h pm e s h l e s sc l o u d sm e t h o d ：h p m c m ) ，是基于 配点的强形式无网格方法，不需要背景网格和高斯积分。同年，西班牙著名计算 力学家o n a t e 和有限元大师z i e n k i e w i c z0 c 等【1 9 _ 2 1 】利用m l s 构造近似函数，并 采用配点型加权残值格式把控制方程离散成非积分的形式，再结合广义有限差分 法，提出了有限点法( f i n i t ep o i n tm e t h o d ：f p m ) 。后来o n a t e 等【3 5 】又将f p m 用 于求解平面弹性力学问题，并提出了一种稳定化技术。f p m 是一种真正的无网格 方法，不需要背景网格和高斯积分，计算效率高，但精度较低，稳定性也比较差。 1 9 9 9 年，清华大学陆明万等【2 3 】采用径向基函数来构造近似函数，用配点法对 控制方程进行离散，提出了径向基函数无网格法，并用该方法求解了椭圆型边值 问题；河海大学钱向东【3 6 】用该方法求解二维p o i s s o n 方程；清华大学张雄( 3 7 1 用该 方法求解了平面弹性力学问题。r b f 属于点插值法的一种，它是一组仅以距离为 自变量的特殊基函数，具有对任意分布场点插值稳定的优点，所构造的形函数具 有k r o n e c k e rd e l t a 函数性质，易于施加本质边界条件。常用的r b f 有m q ( m u l t i q u a d r i c s ) 函数、g a u s s i a n 函数、薄板样条( t h i n p l a t es p l i n e ：t p s ) 函数和紧 支的径向基函数( c s r b f ) 【3 8 3 9 1 ，由于r b f 本身的特点，用r b f 插值的无网格 方法是很有发展前景的一种方法。 2 0 0 1 年，清华大学张雄、陆明万等【2 4 】在f p m 法基础上采用配点型的加权残 值法和最小二乘法，提出了最小二乘配点无网格法。史宝军【4 0 】在其博士论文里将 l s c m 用于求解h e l m h o l t z 方程的边界层和波传播问题、流体力学的库塔流和 b u r g e r s 方程等非线性偏微分方程问题。2 0 0 3 年，张雄等【2 5 】又提出了加权最小二 乘配点无网格法，同时还在子域插值和配点法的基础上提出了分阶拟合直接配点 的无网格法。 综上所述，基于配点型的插值近似函数有s p h 、m l s 、f p m 、h p c m 、p i m 等，通过这些插值函数来近似场函数，并采用配点强形式建立所求解问题的代数 方程。这类方法的共同特点是不需要背景网格，不需要进行数值积分，是真正的 无网格方法，与积分型的无网格方法相比，计算效率高，但在稳定性和精度上却 不够理想。 1 2 2 基于积分弱形式的无网格方法 基于积分弱形式的无网格方法可以分为三类：第一类是基于全域伽辽金 博l 学位论文 ( g a l e r k i n ) 弱形式的无网格方法；第二类是基于局部彼得洛夫一伽辽金 ( p e t r o v g a l e r k i n ) 弱形式的无网格方法；第三类是基于边界积分方程的无网格 方法。 1 2 2 1 基于全域伽辽金弱形式的无网格方法 基于全域伽辽金弱形式的无网格方法在对控制方程离散时是基于伽辽金方 法，与有限元的离散形式类似。常见的这类方法有散射元法( d i f i f u s ee 1 e m e n t ) 【4 、 无单元伽辽金法( e l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o d ：e