（基础数学专业论文）李三系的同构定理.pdf

摘要 摘要 李三系的概念是李代数的自然三元扩充，它与李代数的关系极为密切。本文主要内 容包括两个方面，一是李代数的对合自同构与李三系的标准嵌入李代数的一些关系( 定 理2 1 ，定理2 2 ) ，二是李三系的同构与相应标准嵌入李代数同构及相应对合自同构的 共轭关系( 定理2 3 ，定理2 5 ) 。 第一部分给出了李三系的基本概念、范例。其中包括李三系的子系、理想、单李三 系、可解、半单、标准嵌入李代数以及李三系的同态等。 第二部分首先证明了李代数的对合自同构与李三系的标准嵌入李代数的一些关系， 接着证明了若李三系同构，则它们相应的标准嵌入李代数词构。最后，给出了单李代数 的对合自同构的共轭分类等价于对合自同构所决定的单李三系的同构分类。 关键词李三系导子代数自同构 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ec o n c e p to fl i et r i p l es y s t e m si san a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no ft h a to fl i ea l g e b r a sa n d h a si n t i m a t er e l a t i o n sw i t hl i ea l g e b r a s t h ep a p e rp r e s e n t s r e s d t sc o n c e r n i n gt h e r e l a t i o n s h i p sa n di s o m o r p b i s m sa m o n gl i et r i p l es y s t e m s ，s t a n d a r di m b e d d i n gl i ea l g e b r a s a n di n v o l u t i o n so f l i ea l g e b r a s s e c t i o n1 b e g i n sw i t ht h eb a s l ec o n c e p t sa 矗de x a m p l e so fl i et r i p l es y s t e m ，s u c ha s d e f i n i t i o n so fs u b s y s t e m s ，i d e a l s ，s i m p l el i et r i p l es y s t e m s ，s o l v a b i l i t y , s e m i - s i m p l i c i t y , s t a n d a r di m b e d d i n gl i ea l g e b r a s ，a n dh o m o m o 州s m s i ns e c t i o n2 ，w ef i r s g i v et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ei n v o l u t i o n a r ya u t o m o r p h i s mo f l i ea l g e b r aa n ds t a n d a r di m b e d d i n gl i ea l g e b r ao fl i et r i p l es y s t e m t h e nw ep r o v et h a tt h e i s o m o 州s mo fl i et r i p l es y s t e m si m p l i e st h ei s o m o i p h i s mo f t h e i rs t a n d a r di m b e d d i n gl i e a l g e b r a s a tl a s t ，w eg e tt h ec l a s s i f i c a t i o no f c o n j u g a t ec l a s s e so f t h ei n v o l u t i o n so f s i m p l el i e a l g e b r ai se q u i v a l e n tt o t h ec l a s s i f i c a t i o no ft h es i m p l el i et r i p l es y s t e m sd e t e r m i n e db y i n v o l u t i o n so f l i ea l g e b r a k e y w o r d s l i et r i p l es y s t e md e r i v a t i o na l g e b r a a u t o m o r p h i s m i i 河北大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了致谢。 储躲燮芝嗍碰年月上日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。学校可以公稚 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密西。 ( 请在以上相应方格内打“4 ”) 作者签名： 导师签名： 彩瘀于 彳弛害二 日期：趁堑年么月生日 日期：凌年乏月掣一日 0 引肓 1 1 0 引言 李三系的概念是李代数的自然三元扩充。j a c o b s o n i t l 于1 9 4 9 年首先从代数观点引入 了李三系的概念，即把李代数譬的三元运算封闭的子空间作为李三系。1 9 5 2 年l i s t e r 对 特征0 的代数闭域上李三系的结构理论做了较系统的研究【2 1 。其实，李三系的概念可以 追溯到更早”。4 l 。上世纪初，e c a r t a n 在其黎曼几何研究中，利用实半单李代数来讨论 对称空间( 一类重要的黎曼流形) 的分类。类似的可以用李三系来讨论黎曼流行的某一 类子空间全测地予流形”】。本质说来，全测地子流形好像欧氏空间中的平面。设肘为 黎曼对称空间，g 是m 上的等距变换群g 的李代数，对每个全测地子流形s m ，都 可对应一个李三系t g ，因此李三系理论是研究对称空闻和全测地子流形的有力代数 工具。对于实的、复的和特征为零代数闭域上的李三系研究，已经有许多重要成果。近 年来，李三系理论在对称空间和y a n g b a x t e r 方程等几何和物理中也显示了重要的应用。 李三系与李代数的关系极为密切。李代数可以作为一个李三系，并且李三系的标准 嵌入为一个李代数，以前对李三系的研究工作大部分是围绕着李代数做的，主要是将李 代数已有的概念及结果向李三系的推广，从而得到了关于李三系的理想、中心、可解、 幂零、同态、同构、根基及李三系的分类、结构、表示等一系列的概念和结果，因此， 使得李三系这一代数体系有了很大程度的发展。 李三系的研究主要包括李三系的导子、结构、表示论等一系列问题。首先，对李三 系的导子，我们有了明确的定义，通过对导子性质的研究，还可以将其应用与李三系自 同构群的刻画上；其次，在李三系的结构理论中，我们解决了李三系的同态、理想、嵌 入、可解理想、幂零理想、单李三系、半单李三系、根基等问题，其中包括它们的概念、 性质、应用等一系列内容；再次，关于李三系的表示理论，早在1 9 5 2 年l i s t e r 就给出 了何谓“李三系的表示”的理论，并且对半单李三系的性质进行了研究，尤其是将特征 0 域上李代数的l e v i 分解推广到李三系中。 河北大学理学硕士学位论文 1 预备知识 定义1 1 【6 】p 4 3 设t 是域f 上的一个向量空间，且t 中有三元线性运算【，】： t x t t o t ，它满足下列三个条件： ( 1 ) k ，y ，z 】= 一【y ，郴】，b y 】= 0 ： ( 2 ) i x ，y ，z 】+ 【y ，z ，x 】+ 【z y 】- 0 ： ( 3 ) l ，v ，k ，y ，：卫= 吐，v ，工l y ，司+ k ，k ，v ，y l z 】+ k ，y ，u , v , z 卫， 其中x , y , z ，1 j ，v et ，则称t 为域f 上的李三系。 例子【6 】p 4 3 ： ( 1 ) 设丁为李代数l 的子空间，垤，y ，z t ，若【x ，j ，】，z t ，令【x ，y ，z ：= i x ，川，z 】， 则r 构成一个李三系。特别的，李代数本身可看成一个李三系。 ( 2 ) 设t = f ”( 域，上玎维列向量构成的向量空间) 设爿，b ，c f ”，定义： 【a ，b ，c 】= b a c a b c c b a + c 爿b ( 其中a 为彳的转置) 则r 构成一个李三系。 ( 3 ) 设丁为域f 上聆维向量空间。觇，y ，z t ，定义： x ，y ，z = 0 ，即【r ，r ，t 】- 0 显然，7 1 构成个李三系，这样的李三系称为交换的( a b e l i a n ) 。 定义1 2 设u 是李三系t 的一个子空间，且满足【u ，u ，u 】u ，则称u 为t 的子 系。 定义1 3 设i 是李三系t 的个子空间，且满足口，t ，7 1 】i ，则称i 为t 的理想。 定义1 4 无非平凡理想且维数大于1 的李三系称为单李三系。 定义1 s 设i 是李三系t 的一个理想，令p ) = j ，p ) = 矿，i ，l ， 弘) = 防，弘一”，l ( k 一1 j ，如果存在正整数m ，使得，m ) = o ，则称i 是t 的可解理想。 定义1 6 李三系t ( 有限维) 的极大可解理想称为t 的可解根基。 定义1 7 如果李三系t 的可解根基r ( t ) = o ，则称t 是半单的。 对于任意的x ，y z t ，我们用l g ，y k ) = k ，y ，z 】，则定义1 1 中( 3 ) 式等价于 旺0 ，v ) ，g ，_ y ) 】= ，v ，x l y ) + ( x ，l ，v ，y d ， 【3 。】 定义1 8 如果李三系t 上的线性变换d ：t 斗t ，满足 l _ 坝备知识 d 扛，y ，z 】= 【溉，y ，z 】+ b ，o y ，z 卜b ，y ，d z ， ( 4 ) 则称d 为李三系t 的导子。 易知，( 4 ) 式等价于 【d ，g ，y ) 】= l ( d x ，y ) + 三0 ，d y ) t 的所有导子的集合记为d e r t 。t 的导子集d e r t 构成一个李代数，称为李三系t 的导子代数。 v x ，y 丁，令三g ，y ) ：t t ，且工g ，y ) ：= b ，y ，z 】，则由定义1 1 中( 3 ) 式知， l ( x ，y ) 是t 的一个导子。令三仃，r ) 表示 l ( x ，y 】薯，y ，t ) ，则它构成d e r t 的一个 子代数，每个元素称为t 的一个内导子，l ( t ，d 称为t 的内导子代数。 定义1 9 【2 1 p 2 9 令l ( t ) d t o l ( t ，t ) ( 空间直和) ，在l ( t ) 内定义李乘法f ， ， 使其成为李代数： i x l + 啊，x 2 + 向2 】：= o i x 2 一 2 x 1 ) + ( g l ，x 2 ) + 恤i ，h 2 1 ) v x l ，x 2 7 1 ，h i ，h 2 l ( t ，r ) 寺另0 地， i x l ，x 2 】_ 三( x l ，x 2 ) ，vx l ，x 2 r ； 胁，x 】：= h x ，v x r ，h z ( r ，t ) ； 陆；，h ：】譬啊 ：一 ：啊，v h 。，h ：三仃，t ) 则l ( t ) 称为李三系t 的标准嵌入李代数。 定义1 1 0 设正，瓦是域f 上的两个李三系，若正到疋的线性映射a 满足： - ( x ) ，( y ) ，一( z ) 】= a c x ，y ，z d ，v x ，y ，z 五 则称a 是互到疋的同态映射或同态，若a 为李三系l 到瓦的线性同构，又是李三系的 同态，则称a 是正到疋的同构。李三系t 到自身的同态称为t 的自同态，t 到自身的 同构称为t 的自同构。 2 主要结果 定理2 。l f 6 1 p 4 5 设c ( r ) = t + l ( t ，丁) 为李三系t 的标准嵌入李代数令 a ：工( 即 ( n ，x + h i - - - ) x + ，z t ，h e l ( t ，丁) 则：( 1 ) a 是工( r ) 的一个对合自同构，且以t 和上( 丁，r ) 为a 的( o ) 和( + 1 ) 特征子空问， 即：t = ( x 三( r ) l a x = - x ，l ( t ，r ) = x 上( r ) i a x = x ( 2 ) 在l ( t ) 内，i t ，t - l ( t ，丁) ( 3 ) 魄，y ，z t ， x ，y ，z = i x ，纠，2 1 证明：( 1 ) 可直接验证4 是自同构，且a 2 = 1 ( 2 ) 是由于蜥，y e t ，在上( r ) 内 x ，川= = 工( x ，y ) ， _ ，h 】= y l ( x , ，m ) ( 3 ) 是由于扣，y ，z 】= l ( x ，j ，k = 旺e ，j ，x z 】= b ，y l z l 注：上述a 称为l ( t ) 的主对台自同构 该定理表明，一个李三系丁的标准嵌入李代数上存在一个对合自同构，使它的( 干1 ) 特征子空间分别是f 和r 的内导子代数下面的定理2 2 在一定程度上可以视为定理2 1 的逆 定理2 2 设爿为李代数工的一个对合自同构，丁和丑分别是爿的( 一1 ) 和( + 1 ) 特征子 空间，则： ( 1 ) 若在丁内令 z ，y ，z = 【i x ，y ，；l 则t 为一个李三系，仃为的子代数； ( 2 ) 若三为单李代数。则r 为单李三系，并且h = t ，t 】；l ( t ，r ) ，三；l ( t ) ， 其中l ( t ，t ) 和l ( t ) 分别是丁的内导子代数和标准嵌入李代数 证明：( 1 ) 是显然的 ( 2 ) 有分解l = r o h ，显然f ，明皿 r ，h l c _ t 此外，t e l t ，引是l 的一个 理想事实上， i t $ 【f ，f 】，t o h 】l = 【t ，r 】+ t + i t ，h 】+ 【f 7 1 ，r 】，h t + 【丁，q + i t ，日】，t 】t e l t ，t 】 因是单的，所以= t e l t ，t 】又因l = r o 日和【丁，t 】e h ，知 了1 ，川= h 设1 o 是丁的 因是单的，所以= t e l t ，t 】又因l = t o h 和【丁，t 】e h ，知 丁，川= h 设1 o 是丁的 2 主要结果 一个理想，则o ，t 】是三的一个理想，从而i o 【，t 】= r 0 【t ，t 】于是= t ，从而r 是 单的 现在l = t e l r ，t 】，而三( r ) = r 0 l ( r ，t ) ，我们要证： p ：l 斗( 丁) ，x + 眇，z 】卜x + 上( 弘z ) ，z ，y ，z t 是李代数上到三( 丁) 的同构 首先证明p 是1 - 1 的，即只要证妒： y ，z 】卜l ( y ，z ) 是 丁，卅到上( l t ) 的映射即可若 l ( y ，2 ) = 0 ，即v u t ，0 = 上( ) ，z ) u = 【) ，z 】，】，另夕 ，对【“l ，“2 】 t ，t 】， 【眇，z 】，【吨，u 2 n = 【，z u l ，“2 】+ 【“l ，【y ，z u 2 = 0 从而对一切x r o t ，t 】= l ，有 【弘z 】，x 】= 0 ，即【y ，z 】在上的中心内由于三是单的，中 心为0 ，故【弘z 】= 0 其次证缈是同态设仇i ，_ y ，z ，t ，i = l ，2 ，则在l = t o 【丁，t 】中： b + 陟。，z 1 x ：+ y ：，z ：】 = 眇一l l x ：卜眇：，z ：l 一】+ i x 一：】+ 压y i l 【y ：z 2 卫 = d ，毛，z ：】一b ：，z ：，工，】+ k ，工：1 + 眇。，气l y ：l z ：1 + b ：，眇，毛l z ：丑 在上( 丁) = r o ( 丁，r ) 中： 【一+ l ( y l ，z i ) ，x 2 + 工( y 2 ，z 2 ) 】 = l ( y i ，气) x 2 一l ( y 2 ，z 2 ) x l + 三( 一，x 2 ) + 旺( j ，i ，毛) ，上( y 2 ，z 2 ) 】 = 陟1 ，毛，x 2 卜陟2 ，z 2 ，x l 】+ 三( x i ，工2 ) + 工( 三( y i ，毛) y 2 ，z 2 ) + 三( y 2 ，l ( y 1 ，z 1 ) z 2 ) 于是有伊( 【五+ 【m ，毛】，x 2 “n ，z 2 】) = x l + ( y l ，毛) ，z 2 + l ( y 2 ，z 2 ) 】 从而p 是到l ( t ) 的同构，且在此同构下 丁，列与l ( r ，t ) 同构 定理2 2 表明，对单李代数三而言，l 就是( 同构于) 它的任何对合自同构4 所决定的 单李三系，的标准嵌入李代数，而a 的( + 1 ) 特征子空间是r 的内导子代数 定理2 3 设妒：五寸疋是李三系的同构，三( i ) = 10 h ，是霉的标准嵌入李代数，其 中h i = l c ，1 ) ，i = l ，2 ，则m ：x + hr 伊( 工) + 却伊1 是工( 写) 到( 五) 的同构，其中 x i ，h h i ，且在此映射下，q 与同构 证明：设h h l ，h = 【x ，y 】= l ( x ，y ) ，x ，y 正，v z 疋，有 妒 妒_ 1 ( z ) = 舛( 工，y ) p _ ( z ) = 妒【工，y ，妒_ 1 ( z ) 】= 妒( x ) ，妒( y ) ，z 】= 三( 妒( z ) ，p ( y ”z 即班( 工，y ) p = 工( 妒( x ) ，伊( y ) ) ，v x ，y 五，也就是中：l ( x ，y ) 卜三( 缈( x ) ，妒( y ) ) 于是 妒日伊一= ，即中是q 到日2 的双射 e 河北大学理学硕士学位论文 设x + 向，一+ 矗上( 正) ，贝0 0 x + h ，x i + 啊】= 伊( h x l 一啊x ) + p 工( x ，x t ) 口0 - 1 + 甜而，啊】伊一2 妒( x ) + 础妒，e ( x 1 ) + 幽妒1 】= 妒慨一p 啊工+ 妒( x ) ，妒( 而) 】+ 妒 ，岛 p _ 1 由于【妒( x ) ，妒( 一) 】= 工( 妒( x ) ，妒( 一) ) = 口见( x ，一) 妒，所以中是( i ) 到三( 瓦) 的同构，i i 0 将 q 映成 推论2 4 若妒是李三系r 的自同构，则m ：x + h 卜尹( 工) + 咖伊- i ，x t ，h z ( t ，t ) ， 是标准嵌入李代数l ( t ) = r 0 l ( t ，t ) 的自同构 定理2 s 设q 为李代数的两个对合自同构，霉为q 所确定的李三系( j = 1 ，2 ) ( 1 ) 若吼与c r 2 在a u t l 中共轭( 即存在中a u t l ，使q = o 一1 吒中) ，贝t j r , 兰互 ( 2 ) 若三是单的，则正兰正当且仅当q 与吒在a u t l 中共轭 证明；注意至07 ：= x z l o - , x = 一工) ，i = l ，2 ( 1 ) 0 1 = 中- 1 吒中，则x 墨q x = 一x 曹c r 2 0 ( x ) = 一中( x ) 中( z ) 墨， 从而中( 互) = 疋，于是v x ，y ，z 互，有 c o x ，y ，z = o 【工，叫，z 】= 【o x ，) ， ，o ( z ) 】= f r o ( x ) ，m ( y ) ，( z ) 】= 中( z ) ，q b ( y ) ，中0 ) 】 即中是z 到正的同构 ( 2 ) 设伊：五斗正是李三系的同构，因工是单的，由定理2 2 ，z 也是单的，并且有 q = x i q ( x ) = x ) = z ，7 ： l = 互o 正，五 兰互0 上( 正，正) ， 正，互 兰上( 正，i ) l = 疋o 瓦，正】兰正0 三( 疋，疋) ，【正，正】兰三( 疋，疋) 再利用定理2 3 ，映射由：五o 【五，正 斗疋。陵，正】，x + h t - - - 妒( 砷+ 咖妒- 。，x 五，h 隔，互】， 是李代数上的自同构 v x 写，妒( x ) 正，从而妒( x ) = 一p ( x ) ，于是m c r 2 中( z ) = 中。妒( x ) = 一中一伊( x ) = 一妒- 1 伊g ) = - - x ，对 h i ，中( 而) h 2 ，从而吒o ( ) = m ( ) ，于是 m c r 2 西( 向) = m 1 m ( 而) = ，从而m t r ：o ( x + h ) x + h吼 + j i 2 ) ，即巾c r 2 m = q 推论2 6 单李代数的对台自同构的共轭分类等价于对合自同构所决定的单李三系的 同构分类 6 参考文献 参考文献 1 n j a c o b s o n ，l i ea n dj o r d a n t r i p l es y s t e m s ，a m e r j o u r m a t h 7 1 ( 1 9 4 9 ) ，1 4 9 1 7 0 2 w - gl i s t e las t r u c t u r et h e o r yo f l i et r i p l es y s t e m s ，t m a s m a t h s o c 7 2 ( 1 9 5 2 ) ，2 1 7 2 4 2 3 s h e l g a s o n ，“d i f f e r e n t i a lg e o m e t r ya n ds y m m e t r i cs p a c e s ”，a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k l o n d o n ， 1 9 6 2 4 o l o o s ，“s y m m e t r i cs p a c e s ”，v 0 1 1 ，b e n j a m i n ，n e wy o r k ，1 9 6 9 5 k y a m a g u t i ，o na g l g e b r ao ft o t a l l yg e o d e s i cs p a c e s ( l i et r i p l es y s t e m s ) ，js c ih i r o s h i m au n i vs e r a , 1 9 5 7 ，2 1 ( 2 ) ：1 5 5 1 5 9 6 k m e y b e r g , l e c t u r e so na i g e b r a sa n dt r i p l es y s t e m s ，u n i v e r s i t yo f v i r g i n i a , 1 9 7 2 7 n j a c o b s e n ，an o t e o na u t o m o r p h i s m sa n dd e r i v a t i o no fl i ea l g e b r a s ，p r o c a m e r m a t h s o c 6 ( 1 9 5 5 ) ，2 8 1 - 2 8 3 8 z x z h a n g ，yq s h ia n dl n z h a n ，l n v a r i a n ts y m m e t r i cb i l i n e a rf o r m so nl i et r i p l es y s t e m s ， c o m m a l g e b r a ，v 0 1 3 0 , n o 1 1 ，p p 5 5 6 3 5 5 7 3 ，2 0 0 2 9 yo s h ia n dd j m e n g ，o nd e r i v a t i o n sa n da u t o m o r p h i s mg r o u po fl i et r i p l es y s t e m s ，a c t a s c i e n t i a r u mn a t u r a l i u mu n i v e r s i t i e sn a n k a i e n s i s ，t i a n j i n ，v 0 1 3 5 , n o 2 1 0 n o r a c h o p k i n s ，n i l p o t a n ti d e a l s i nl i ea n da n t i - l i et r i p l es y s t e m s ，j o u r n a lo fa l g e b r a1 7 8 ， 4 8 0 - 4 9 2 ( 1 9 9 5 ) 1 1 1n e r o c h o p k i n s ，s o m es t r u c t u r e t h e o r y f o ra c l a s so f t r i p l es y s t e m s ，t r a n s a m e r m a t h s o c v 0 1 2 8 9 ， n o 1 ( 1 9 8 5 ) 2 0 3 - 2 1 2 1 2 n j a c o b s o n ，l i e a l g e b r a s ，i n t e r s c i e n c e n e w y o r k1 9 6 2 1 3 e l s t i t z i n g e r , o n l i e a l g e b r a s w i t h o n l y i n n e r d e r i v a t i o n s ，j a l g e b r a ，1 0 5 9 1 9 8 7 ) ，3 4 1 3 4 3 1 4 d j m e n g ，s o m er e s u l t s o nc o m p l e t e l i e a l g e b r a s ，c o m m a l g e b r a ，1 9 9 4 ，2 2 ：5 4 5 7 5 5 0 7 1 5 3 万哲先，李代数，科学出版社，北京，1 9 7 8 1 6 p _ b e n i t oa n dc d r