（计算机应用技术专业论文）数字几何造型中的若干问题研究.pdf

摘要 数字几何造型指的是物体的几何表示形式，被认为是继数字音频、图像与视频之后的第 四类数字媒体，该技术在近年来得剑了空前的发展，升对人类的生活产生了巨人的影响。儿 何表示是计算机图形学和数字几何造型的根本所在，也是数字媒体的关键技术。本文主要针 对数字几何造型中的一些基础理论和应用问题进行研究 1 一二次有理b 样条曲线的曲率单调研究 2 平面相离圆弧间g 2 连续过渡曲线的构造 3 断层轮廓线数据的三维物体重建 4 三维网格模型中空缺区域的填补 5 基于网格模型的再设计曲面复原 6 三维网格模型的降噪光顺研究 曲线的曲率单调研究一直是计算机辅助几何设计中的重要内容，也是数字几何造型中的 基础研究内容。本文中，我们通过b e r n s t e i n 基转换的方法对二次有理b 样条曲线的曲率单 调条件进行了研究。我们首先给出了均匀二次有理b 样条曲线段曲率单调的充要条件，然 后给出了非均匀二次有理b 样条曲线段曲率单调的充分条件。最后我们得到了由任意多个 控制顶点构成了二次有理b 样条曲线曲率单调的充分条什。 过渡曲线在计算机辅助儿何设计及数字儿何造型中有着诸多应_ l j ，如平面两曲线( 通常 两圆弧之间) 的光顺拼接等。在道路线形设计和机器人轨迹设计中，通常还要求过渡曲线的 曲率能保持曲率单调，因此d 连续过渡曲线的研究有着重要的应用价值。本文中，我们使 用待定系数法找到一对合适的三次b 6 z i e rs p i r a l 曲线和一对五次p hs p i r a l 曲线，可h j 来平面 相离圆弧间连续过渡曲线的构造。与传统方法相比，本文方法的特点是过渡曲线能通过 解析公式得到，简化计算；另外两圆弧的半径比例不受限制，扩人了席用范围。 在医学成像，生物t 程，c a d c a m 等研究和应_ j 领域中，许多物体都是通过一系列 2 d 的断层轮廓线表示，如何通过这些断层轮廓数据重构出物体的三维形状是计算机图形学 和数字几何造型中的一个重要研究内容。本文中，我们提出了一种新的断层轮廓线三维重构 方法。首先，我们使用简单的方法去除掉每个断层轮廓线中的冗余点，然后使_ 【 j 三次b 6 z i e r 样条曲线插值这些点。对不同断层线上的对应数据点，我们也可使用三次b 6 z i e r 样条曲线 插值，因此我们可以使用双三次b 6 z i e r 样条曲面来重构断层数据点表示的三维模型。该方 法的盘j = 处是重构曲面是光滑，冈为我们使刚g 2 连续的三次b 6 z i e r 样条曲面。另外重构的速 度快，因为计算过程中我们可使_ l j 追赶法求解三对角方程组。实验结果验证了该方法的可行 性和有效性。 三角网格模型已成为数字几何造型中的常州表示形式，在计算机图形学和计算机辅助设 计等诸多领域内有着广泛应用。但由于各种原冈，物体的原始网格模型通常存在着一些孔洞， 缺口等空缺区域。这些空缺区域影响着许多网格后续操作和研究，因此，我f f j 必须事先对这 些空缺区域进行填补和修复，获得完整的网格模型。本文中，我们给出了一个新的网格空缺 区域填补算法。我们先通过搜索方法找到网格模型中与空缺区域形状相关的相邻影响区域， 然后使用双三次b 6 z i e r 样条曲面插值空缺区域和相邻区域内的给定顶点，最后通过三角网 格化来填补空缺区域。该方法的好处是填补算法简单、有效；填补区域能光顺的与周围区域 拼接，并且能较好的保持空缺区域的原有形状。 随着几何扫描技术的快速发展，我们可以方便的得到物体的网格模型。但是许多学 者仍对网格模型的变形和变换研究感兴趣，我们可以通过一些有效的方法从已有的一些 物体网格模型中创造出一些新的物体模型。这些研究在计算机动画，游戏设讣，影视制 作等数字媒体领域中有着蕈要的应用价值。对再设计曲面的复原是网格模型变换中的一 个有效技术，它通过使用新的网格模型片用来修改和代替原有网格模型的局部从而构造 出新的网格模型。本文中。我们提出了一个快速的再设计曲面复原方法。当检测到再设 计曲面和原有模型中需苇新设计区域的边界后，我们先使用主轴法对其进行租匹配，然 后使刚迭代最近点法对其精确匹配。当使刚这两种匹再己方法时，我们对这些算法进行了改 进，提高了再设计曲面的复原速度。实验结果证明了我们的方法方使，有效。 随着c t ，m i u 等3 d 扫描仪的快速发展，鲁棒、有效的数字几何处理已得到日益深入 的研究。但是即使是高精度的扫描仪，由于各种原因，获取的3 d 网格模型总是不可避免的 带有噪声。我们需要在对网格处理研究之前进行降噪处理。网格模型的降噪和光顺研究已成 为计算机图形学和逆向j ：程中的重要研究内容。本文中，我们提出了一个新的网格降噪和光 顺算法。我们先估算出每个网格顶点的主曲率和m e s hs a l i e n c y 值，然后通过m e s hs a l i e n c y 值得到每个网格顶点的均匀主曲率。我们再使用加权的双二次b 6 z i e r 曲面拟合每个顶点及 周嗣区域，通过调节曲面参数值获得每个网格顶点的光顺点。实验结果表明我们的光顺方法 能很好的保持模型几何特征，有效的防止体积收缩，另外多非封闭的网格模型，也能得到光 顺的模型边界。 关键词：曲率单调，g 2 连续，曲面重建，网格填补，网格复原，网格降噪 a b s t r a c t d i s t a lg e o m e t r i cm o d e l i n gm e a n st h eg e o m e t r i cr e p r e s e n t a t i o no f o b j e c t s ，w h i c hi sr e g a r d e d a st h ef o u r t hd i g i t a lm e d i aa f t e rt h ed i g i t a la u d i o ，i m a g ea n dv i d e o r e c e n t l y , t h i st e c h n o l o g yh a s a c h i e v e dt h ee n o r m o u sd e v e l o p m e n ta n dp r o d u c e dt l l ei n n n e n s ei n f l u e n e of o rt h eh u m a n sl i v i n g g e o m e t r i cr e p r e s e n t a t i o ni st h ef u n d a m e n t a lc o n t e n ti nc o m p u t e rg r a p h i c sa n dd i g i t a lg e o m e t r i c m o d e l i n g ，a n di th a sb c c x l l l l et h ek e yt e c h n o l o g yi nd i g i t a lm e d i a t h i sp a p e rh a sf o l l o w i n g r e s e a r c h e so ns o m et h e o r e t i c a la n da p p l i e dp r o b l e m si nt h ef i e l do f d i g i t a lg e o m e t r i cm o d e l i n g 1 c u r v a t u r e m o n o t o n y c o n d i t i o n f o rr a f i o n a l q u a d r a t i c b s p l i n e c u r v e s 2 i m p r o v e m e n tc o n s t r u c t i o nf o rp l a n a r t r a n s i t i o ne n r v eb e t v c e c nt w os e p a r a t e dc i r c l e s 3 r e c o n s t r u c t i o nf r o mc o n t o u rl i n e sb a s e do nb i - c u b i cb 6 z i e rs p l i n es u r f a c e 4 f i l l i n gf l g o f i t h mf o rv a c a n ta r e a li nm e s hm o d e lb a s e do nb i e u b i cb 6 z i e rs p l i n es u r f a c e 5 f a s t r e s t o r e o f t h e r e - d e s i g n e d m e s h p a t c h 6 f e a t u r ea n dv o l u m ep r e s e r v e dm e s hs m o o t h i n ga l g o r i t h m t h er e s e a r c ho nt h eb - ：1 u v e sm o n o t o n ec u r v a t u r ei sa l w a y st h ei m p o r t a n tc o n t e n ti nc o n _ i p u t e r a i d e dg e o m e t r i cd e s i g na n di sa l s ot h ef u n d a m e n t a lr e s e a r c hc o n t e n ti nd i g i t a lg e o m e t r i cm o d e l i n g i nt h i sp a p e r , t h em o n o t o n ec u r v a t u r ec o n d i t i o nf o rr a t i o n a lq u a d r a t i cb s p l i n ec u r v e si ss t u d i e db y u s i n gb e m s t e i nb a s et r a n s f o r m a t i o n a tf i r s t , w ep r e s e n tt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so f m o n o t o n ec u r v a t u r ef o rt h eu n i f o r mr a t i o n a lq u a d r a t i cb s p l i n es e g m e n t t h e n , w eg i v et h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o no f m o n o t o n ec u r v a t u r ef o rt h en o n u n i f o r i l lr a t i o n a lq u a d r a t i cb - s p l i n es e g m e n t a tl a s t ，w eg e tt h ec o n d i t i o no f m o n o t o n ec u r v a t u r ef o rg e n e r a lr a t i o n a lq u a d r a t i cb s p l i n ec m v e s w i ma n yn u m b e ro f c o n t r o lp o i n t s t r a n s i t i o no 1 r v e sa l eu s e f u lf o rs e v e r a lc o m p u t e rg r a p h i c sa n dd i g i t a lg e o m e t r i cm o d e l i n g a p p l i c a t i o n s 1 1 l c ym a yb eu s e df o rb l e n d i n gb e t w e e nt w oc u r v e s ，u s u a l l yt w oc i r c u l a ra r e s f o r s o m ea p p l i c a t i o n s ，s u c h t h ed e s i g no fh i g h w a y s ，r a i l w a y so rr o b o tt r a j e c t o r i e s ，i ti sd e s i r a b l e t h a tt h ec u r v a t u r ev a r i e sm o n o t o n i c a l l yw i t ha r c 1 e o g t h s ot h er e s e a r c ho ng 2t r a n s i t i o nc u r v eh a s a ni m p o r t a n ti n f l u e n c e i nt h i sp a p e r , w eu s eu n d e t e r m i n e dc o o f f i c i e n tm e t h o dt of i n dad e s i m b l e p a i ro f c u b i cb 6 z i e rs p i r a l sa n dap a i ro f q u i n t i cp hs p i r a l st og e n e r a t ep l a n a rg t r a n s i t i o nc b r v e b e t w e e nt w os e p a r a t e dc i r c l e s t h ea d v a n t a g eo f t h i si m p r o v e m e n tm e t h o di st h a tt h e 口t r a n s i t i o n c h i n ec a nb eg o t t e nb yt h er o o t i n gf o r m u l a ，w h i c hs i m p l i f i e st h ec o m p u t a t i o n ，a n dt h er a t i oo f r a d i ih a sn or e s t r i c t i o n ，w h i c he x t e n d st h ea p p l i c a t i o na r c a h lm a n yr e s e a r c ha n da p p l i c a t i o na r e a ss u c ha sm e d i c a ls c i e n c e ，b i o m e d i c a le n g i n e e r i n g ，a n d c a d c a m a l lo b j e c ti so 触lk n o w nb yas e q u e n c eo f 2 do r o a s s e c t i o n s h o wt or e c o n s t r u c t3 d 8 n r f a c ef r o mt h e s ec o n t o u rl i n e si so n eo fm a i nr e s e a r c h e si nc o m p u t e rg r a p h i c sa n dd i g i t a l g e o m e t r i cm o d e l i n g mp r o b l e mh a sg o r e nt h ee x t e n s i v eo o n c t n i n t h i sp a p e r , an o v e l r e c o n s t r u c t i o nm e t h o df r o mc o n t o u r sl i n e si sp r o v i d e d a tf n s t ，w eu s et h es i m p l em e t h o dt og e t r i do fr e d u n d a n tp o i n t so ne v e r yc o n t o n r , t h e nw ei n t e r p o l a t et h e mb yt h ec u b i cb 6 z i e rs p l i n e c u r v e f o rc o r r e s p o n d i n gp o i n t so fd i f f e r e n tc o n t o u r s ，w ei n t e r p o l a t et h e mb yt h ec u b i cb 6 z i e r s p l i n oe l n v et o o ，s ot h ew h o l es u r f a c ec a nb er e c o n s t r u c t e db yt h eb i - c u b i cb 6 z i e rs p l i n es u r f a c e t h er e c o n s t r u c t e ds u r f a c ei ss n l o o t hb e c a u s ee v e r yb 6 z i e rs u r f a c ei sp a t c h e dw i t hg lc o n t i n u i t y , t h er e c o n s t r u c t i o ns p e e di sf a s tb e c a u s ew ec a n u s et h ef o r w a r dd i m i n a t i o na n db a c k w a r d s u b s t i t u t i o nm e t h o dt os o l v et h es y s t e mo ft r i d i a g o n a le q u a t i o n s t h ee x p e r i m e n t ss h o wt h a t0 1 1 1 - m e t h o di sa p p l i c a b l ea n de f f e c t i v e t r i a n g l em e s hm o d e lh a sb e c o m et h ep o p u l a rp r e s e n t a t i o nf o r3 dg e o m e t r ym o d e l i n g i th a s b e e nw i d e l ya p p l i e di nt h ef i e l d so fc o m p u t e rg r a p h i c sa n dc a d h o w e v e r , t h em e s hm o d e lo f o r i g i t mo b j e c tm a ya p p e a rs o m eh o l e s ，g a p so ro t h e rv a c a n ta r e a so w i n gt os o m ep a r t i c u l a r r e 越q o l l q t h e s ev a c a n ta r e a si n f l u e n c em a n ym e s ho p e r a t i o n sf o rf u r t h e rr e s e a r c h e s c o n s e q u e n t l y , w eh a v et of i l la n dr e p a i rt h e mi na d v a n c et oo b t a i nt h ew h o l em e s hm o d e lo f o b j o c t i nt h i sp a p e r , w ep r e s e n tan e wf i l l i n gm e t h o df o rv a c a n ta r e a si nt h em e s hm o d e l t h i ss t u d yf i r s t l ye x p l o i t st h e p r o p o s e ds t r a t e g yt of i n dt h en e i 。g h b o r i n ga r e aw h i c hi n f l u e n c e st h es h a p eo fe v e r yv a c a n ta r e a t h a nw ec o n s t r u c tt h eb i - c u b i cb 亡z i e rs p l i n es u r f a c et oi n t e r p o l a t ev e r t e x e si nt h ei n f l u e n c i n ga r e a a n dr e - s a m p l ep o i n t so i lt h eb i - c u b i cb 6 z i e rs p l i n es u r f a c e c o n s e q u e n t l y , w eu s et r i a n g l em e s h e s t of i l lv a c a n ta r e a s t h ea d v a n t a g e so ft h i sm e t h o da r et h a tt h ef i l l i n ga l g o r i t h mi ss i m p l ea n d e f f i c i e n t , t h ef i l l e da r e ac a nb ep a t c h e ds m o o t h l yw i mo t h e rp a r t so fo b j e c ta n dk e e pt h eo r i g i n a l s h a p eo f v a c a n ta r e a w 础ct h ef a s td e v e l o p m e n to fg e o m e t r ys c a l m c l t tc a no b t a i nt h eo b j e c tm o d e l se a s i l ya n d c o n v e n i e n t l y , r e s e n l c b e n 粥i n t e r e s t i n gi nt h et r a n s f o r m a t i o nf r o mt h ee x i s t i n go b j e c tm o d e lt o t h en e wm o d e lb ys o m ee f f i c i e n tt e c h n i q u e s t h e s er e s e a r c h e sh a v ea ni m p o r t a n ta p p l i c a t i o ni nt h e f i e l d so fc o m p u t e ra n i m a t i o n ，g a m ed e s i g na n dm o v i ep r o d u c t i o n ，e t c n er e s t o r eo ft h e r e - d e s i g n e dm e s hp a t c hi so n eo fs u c he f f i c i e n tt e c h n o l o g i e s 1 1 1 i sp r o c e s sm o d i f i e st h ep a r to f o r i g i n a lo b j e c tm o d e la n dr e p l a c e si tb yt h er e d e s i g n e dm e s hp a t c ht of o r mt h en e wo b j e c tm o d e l i nt h i sp a p e r , w ep r e s e n t e daf a s tr e s t o r em e t h o df o rt h er e - d e s i g n e dm e s hp a t c h a f t e rd e t e r m i n i n g t h eb o u n d a r i e so f t h er e - d e s i g n e dm e s hp a t c ha n dt h ep a r to f o r i g i n a lo b j e c tm o d e l , w ef i r s t l yu s e p a xm e t h o dt oi m p l e m e n tt h er o u g hm a t c hb e t w e e nt h e m t h e nw em i c pm e t h o dt oo b t a i nt h e p r e c i s em a t c h8 0t h a tw ec a nr e a l i z et h ef a s tr e s t o r eo ft h er e - d e s i g n e dm e s hp a t c h w h c nu s i n g p a xm e t h o da n di c pm e t h o d , w eg i v es o m ei m p r o v e m e n t so nt h e mw h i c hc a ns p e e du pt h e r e s t o r ep r o c e s s 1 1 1 ee x p e r i m e n tr e s u l t ss h o wt h a to u rm e t h o di sc o n v e n i e n ta n de f f e c t i v e w i t ht h ef a s td e v e l o p m e n to fg e o m e t r ys c a l m c r ss u c ha s3 ds c a n n e r , c t ，m r i ，e t c ，r o b u s t a n de f f i c i e n tg e o m e t r yp r o c e s s i n gb e c o m e si n c r e a s i n g l yd e s i r a b l e w h i l ee v e nw i t hh i g h - f i d e l i t y s c a n n e r s ，t h ea c q u i r e d3 dm o d e l si n v a r i a b l ya n di n e v i t a b l yc o n t a i ns o m en o i s ew i t hd i f f e r e n t r e a s o n s w em u s tr e m o v en o i s ea n do b t a i nt h es m o o t ho b j e c tm o d e lb e f o r ef u r t h e rm e s h p r o c e s s i n g s ot h em e s hd e n o i s i n ga n ds m o o t h i n gr e s e a r c hh a sb e e nas u b j e c to f i n t e n s i v ec o n t e n t i nc o m p u t e rg r a p h i c sa n do t h e rr e l a t e df i e l d s i nt h i sp a p e r , w ep r e s e n tnn e wm e s hd a n o i s i n ga n d s m o o t h i n gm e t h o d w ef i r s t l ye s t i m a t et h ep r i n c i p a lc u r v a t u r ea n dm e s hs a l i e n c yv a l u eo fe v e r y v e r t e x ，t h e no b r a i nt h eu n i f o r i l lp r i n c i p a lc u r v a t u r eo fe v e r yv e r t e xb a s e do i ll o c a lm e s hs a l i e n c y v a l u e s w ec a nu s et h ew e i g h t e dh i - q u a d r a t i cb 6 z i e rs u r f a c et of i tt h en c i g h b o r h o o do fe v e r y v e r t e xb yt h el e a s ts q u a r em e t h o da n da c q u i r et h en e wv e r t e xp o s i t i o nb ya d j u s t i n gt h ep a r a m e t e r s o ft h eb i - q u a d r a t i cb 6 z i e rs u r f a c e t h ee x p e r i m e n t ss h o wt h a to u rs m o o t hm e t h o dp r e f e r a b l y k e e p st h eg e o m e t r yc h a r a c t e ro f o r i g i h a lm e s hm o d e l ，e f f i c i e n t l yp r e v e n t st h ev o l u m es h r i n k a g eo f m e s ha n dc a l la l s oa t h a i nt h es m o o t h i n gb o u n d a r i e so f n o n - c l o s e dm e s hm o d e l k e y w o r d s ：m o n o t o n ec u r v a m r e ，g 2c o n t i n u i t y , s u r f a c er e c o n s t r u c t i o n ，m e s hf i l l i n g ，m e s h r e s t o r e ，m e s hd e n o i s i n g 第一章二次有理b 样条曲线的曲率单调条件 1 1 引言 对光滑曲线上任一点，都有唯一的曲率圆与之对应。曲率圆半径倒数称为该点的曲率值。 在计算机辅助设计( c a d ) 禾i 计算机辅助儿何设计( c a g d ) 中，曲线段保持曲率单调非常 重要，它与曲线的几何连续，光顺性等密切相关。在计算机图形学中，例形设计者也1 f 常重 视曲线的曲率分布情况。1 9 8 9 年f a r i n 等人【1 就提出将分段曲率单调作为曲线的光顺性 评价指标。开展曲率单调性方面的研究，有利于我们进一步认识曲线的性质，并为分段曲 率单调光顺方法奠定理论基础。 对曲线曲率单调，国内外已有一定的研究。s a p i d i s 等人【2 】对二次b 6 z i e r 曲线，给出了 曲率单调的充要条件。m i n e n 】r 等人【3 】在h i g a s h i 等人【4 】工作的基础上对高次b 6 z i o t 曲线， 给出了其曲率单调充分条件。对圆锥曲线段，f r e y 和f i e l d 5 给出了二次有理b 6 z i e t 曲线曲 率单调的充要条件。王玉林等人 8 】也对二次有理b 6 z i e r 曲线的曲率单调条件进行研究，给 出了相类似的，但形式较好的充要条什。 我们知道，圆锥曲线段可用二次有理b 6 z i e r 曲线和二次有理b 样条曲线来表示 7 】。由 于圆锥曲线段具有保凸性、内部具有较少曲率极值点等一系列好的性质，在曲线曲面儿何造 型，光顺处理中得到了广泛的应州 6 】。但事实上，二次有理b 6 z i e r 曲线只是- 二次有理b 样 条曲线的一种特殊表示形式，b 样条曲线曲面造型已成为c a d 中常用的拟合方法，非均匀 有理b 样条( n u r a s ) 方法己成为用于曲线曲面描述的最广为流行的技术【7 】，因此对常州的 二次有理b 样条曲线的曲率单调研究，有着更重要的意义。 本文将二次有理b 样条曲线分成几种情况，分别研究其曲率单调条件。首先通过代数 基转换，给出由三控制点构成的均匀二次有理b 样条曲线曲率单调的充要条件，与二次有 理b 6 z i e r 曲线相比较，发现条件相类似，但某些情况下义有所不同。然后给出由三控制点 构成的菲均匀二次有理b 样条曲线曲率单调的充分条件。最后对由多控制点构成的二次有 理b 样条曲线，可看成是由三控制点构成的- 二次有理b 样条曲线的组合，给出了其曲率单 调的充分条件。 1 2 均匀二次有理b 样条曲线段的曲率单调条件 对由三个控制顶点构成的均匀二次有理b 样条曲线，其形式可写成 2 w i n i 2c o b ， 曰( f ) = 。f 0 。1 其中，岛，e ，b 2 为兰控制顶点，w 0 ，w l ，w 2 为相应的权因子，通常 0 ，且设 w o = w 2 = l ，w i = w ，n i 2 ( f ) 为二次b 样条基函数 “朋= j 1 ( 1 一f ) 2 1 ，：( f ) = l ( - 2 t 2 + 2 f + 1 ) ，( f ) = 三1 f 2 2 峙 ： 在上述假设f ，我们首先讨论曲率单调的充分条件。可将公式( 1 ) 写成： 拈蚴= 鬻= 詈 国 其中鲫) = 丢( 1 一f ) 2 b o + 1 ( 一2 t 2 + 2 t + 1 ) 们，+ j 1 鸺， 垡( f ) = 吉( 1 一f ) 2 + l ( - 2 t + 2 r + 1 ) w + 三f 2 ( 3 ) 以g ，g ，g ”分别表示g ( f ) 关于参数f 的0 阶，1 阶和2 阶导数( 其余类推) ，式( 2 ) 中， b ( t ) 变换和连续求导得： q b = q ， q 2 b = q q q q ， 9 3 口。= 9 2 q 。一2 q q q + ( 2 9 “一q q ) q 曲线的曲率公式为： 雄，= 篱= 锴 这里表示叉积运算，i j l k d ( t ) ，( f ) ： d ( f ) = l | q2 b7 ( f ) 1 1 2 = ig q 一g q0 2 = ( q q 一g q ) ( g q - q q ) ， n ( t ) = q q q 。一g q q 。+ g 。q q 其中，表示点积运算，因此可得： ( g2 b 。) ( 9 3 b ”) = 9 2 q q q ”一q q q 。+ g ”q q 】= 9 2 ( f ) 因此曲率方程和其导数方程可表示为： 坼) = 寄， 砍归鲁脚d n + 删一i 3 9 d 】 ( 4 ) 其中 n ( f ) = q q 。q 。一q q x q 。+ g ”q q ， d ( f ) = 2 ( q q ”一g ”q ) ( g q 一g q ) 为方便计算，标记e = b 。一b o ，f = b 2 一旦，化简得： d ( t ) 刊ig q 一q q i l 2 = 丢( 1 一f ) 2 ( ( 1 一w ) f + 2 w ) 2 e f + 1 砸一f ) ( ( 1 一w ) f + 2 w ) ( ( w 1 ) f + l + w ) e f + l 4 7 t t w 1 ) t + l + w ) 2 f f ( 5 ) u ( t ) = q q q 。一q q x q ”+ g 。q x q = w - e x f ( 6 ) 由式( 6 ) 知n ( f ) = 0 ，所以式( 4 ) 可写成 七( 垆矿q 2 【3 q d n i 3 q d 】= 矿3 q2 n 【g 。一三g d 】 这里g ，d 为数量，n 为向量， 司l t l k ( t ) ，k ( f ) 表示的都是向量，曲率的数值大小由其模长 决定，即七( f ) = 紫。同样的，曲率值关于f 的导数方程可改写为 “归警 q d - l q d 】 所以如果七( f ) 值在f 0 , 1 】内不改变符号。均匀二次有理b 样条曲线的曲率单调。 由式( 3 ) ，( 5 ) ，( 6 ) 可知，当f 【0 ，l 】时g ( f ) 0 ，d ( t ) 0 ，u ( t ) 0 ，因此七( f ) 值的符号由 g d i 1g d 决定。 代入口，d ，g ，d ，并通过代数基变换从f 到( 1 一f ) “f ，f _ o ，1 ，2 ，3 ，4 ，g d 一= 1 护可写成： g d 一= 1 归= 厶( 1 一f ) 4 + f ( 1 一f ) 3 + 如f 2 ( 1 一f ) 2 + 五f 3 ( 1 一f ) + 2 4 f 4 ( 7 ) 厶= i 1m ， 4 = 8 w 2 ee 一( 1 + w ) 2 e ( e + f ) ， = 去( 1 + w ) 6 ，6 = s w 2 e e 一三( 1 + w ) 2 ( e + f ) ( e + f ) 】， 如= 丢w ( 1 + w ) 2 c ，c = ( e e - f 既 如= ( 1 + 叻d ，d = 圭( 1 + 叻2 ( e + ，) ( e + f ) 一8 w 2 f ，】， 以= i 1w ， 已= ( 1 + w ) 2 f ( 层+ ，) 一8 w 2 f f 由式( 7 ) 可知，当凡， ，如，如，a 4 在t 【0 , 1 】内不变号时，曲线的曲率单调。 南千i l i i 烤的平稳旋圭毒和伯缩不影响f i 缚的f i 窒邕调不袭一船件可假诒 岛= ( 删，蜀= ( 0 。) l 即l i = l 口= z b o b l b 2 肛么b 2 b o b l 肛酬( 如刚 这里，我们只讨论h 1 的情况。对h l ，可颠倒其控制顶点转化为h _ 7 r 1 2i jw t ，+ ) ( 当 ( o ，一! 竽】 ， 时) 或w 【，忱，峋】( 当 ( 一c 0 = 5 0 一，1 】时) 。 ， 事实上，该充分条件也是均匀二次有理b 样条曲线曲率单调的必要条件。 我们知道，欲使曲线曲率单调，必须满足 七。( f ) 0 或七o ) s 0 ，t 【o ，l 】 首先则两端点处曲率单调的临界条件： | ( 0 ) = 0 和| i ( 1 ) = 0 求解这两个方程，通过计算知，其根分别为忱和m 。当| i l ( 一c , o = s 一z ，1 】时，毗和m 将w ， 值域分为三个区间( o ，w t ) ， w l ， 1 0 】，( ”t ，佃) 。当w 在以上三个区间取值时，相应七。( o ) 和 | ( 1 ) 取值的正负情况如表l ，发现只有当w _ t ， 1 0 】时七( o ) 和七( 1 ) 才可能同号。因此 若曲线曲率单调，则需w 【 t ，o 】。当j j l ( o ，一竖兰竺】时，进行类似的讨论，发现若曲 ， 线曲率单调，则需满足w e 【”，工，佃) 。 表1 当 ( 一_ c 0 5 0 ，l 】，w 在不同区间时膏( 0 ) 和七( 1 ) 取值符号变化 k ( f ) ”w e ( o ，m ) w 毗，】 w e ( m ，u ，+ 0 0 ) k + ( o ) o k ( 1 ) 00 o 另外，若曲线的曲率单调，还需满足口n 2 。我们知道对有三控制顶点构成的均匀二 次有理b 曲线，其两端点在两控制边上，曲线表示的是一圆弧段。当曲线段为一抛物线段 或双曲线段时，若两端点曲率变化值保持同号，则曲线段内部曲率必单调；但当曲线为椭圆 段时，若曲线两端点曲率变化值保持同号时( 不妨设同为正) ，其内部曲率变化值也有可能 出现负号，如图2 所示此时易知z b o 马b 2 = a b ( o ) b t a ( 1 ) 0 ，i = 0 , 1 ，2 ，节点向量为 t = g o ) t l ，t 2 ，t 3 ) t 4 ，t j ) ，t t 2 ) t 3 】时，b 样条基函数可写成 必) = 揣， n i 2 = 帮+ 2 朋= 丽t 2 ( f 4 一t 2 一t ) t ( f 4 一t 2 ) ( 屯t 2 ) 7 对= 弪利琐点构成的1 f 均匀二次硐理b 样条曲线，我们可给出非均匀二次有理b 样条 曲线曲