（基础数学专业论文）时滞非自治lotkavolterra竞争系统的最终行为.pdf

摘要 近几年来，生物数学已被广泛应用于害虫控制、鱼类捕捞、神经网络、 食物链及传染病的防治等许多方面，因此越来越多的学者都致力于这方面 的研究l o t k a - v o l t e r r a 系统是生物数学中一类非常重要的模型关于时滞 l o t k a v o l t e r r a 系统的持久性、灭绝性以及全局渐近行为，已经有大量的研 究成果学者们不仅对非自治非时滞l o t k a - v o l t e r r a 系统，而且对时滞非自 治的，周期时滞的，中立型的l o t k a v o l t e r r a 系统都有深入的研究 本文可分为三部分文3 1 对系统 掣硇。) i b m ( 旷妻吲蚓圳，i _ 1 ) 2 ，n ( 1 1 0 ) j = 1 种群的灭绝性进行了研究第一部分，主要讨论了具有离散时滞和连续分 布时滞的l o t k a v o l t e r r a 系统 掣= “t ) 陋) 一妻j = l 础一以啪一喜。吲和k ( t + s ) d s 1 ( 1 ，) i = 1 ，2 ，n 其中x i ( ) 是第i 种群在t 时刻的数量通过构造l y a p u n o v 函数，得到了部 分种群灭绝的充分条件，推广了 3 中的结果文【6 对系统( 1 1 ) 的灭绝性 也进行了研究，但是本章的结果比 6 】中得到的种群灭绝的条件弱 目前，对于非自治非纯时滞l o t k a - v o l t c r r a 系统的持久性，很多学者都 进行了研究如 7 - 8 】【1 5 一【1 8 在第二部分，讨论了非自治非纯时滞l o t k a - v o l t e r r a 系统 掣= 州t ) 陋) - 叭啦m ) 壹j = l 啪一吲啪一喜。c 水，s 垴( 汁s ) d s l ( 2 1 ) 的持久性在文 7 】中，得到了系统( 2 1 ) 持久的充分条件，且其结果对系 统( 1 1 0 ) 也是成立的滕志东在文【8 中，也研究了( 21 ) 和( 11 0 ) 的最终行 为本章得到的结果不同于上述文献中的结果，当；o ，o - i ，= 0 时，本章 结果即为文献( 5 中的结果 文 1 1 1 中讨论了系统( 1 1 0 ) 的持久性及渐近行为，把非时滞两种群系统 的结果推广到了n 一种群非时滞系统上。在第三部分，我们运用 n l 中的方 法，把其结果进一步推广到了时滞上，建立了系统( 11 ) 持久的充分条件 关键词：时滞；非自治i j o t k * v 0 1 t e r r a 系统；灭绝性；持久性；上平均； 下平均；l y a p u n o v 函数 a b s t r a c t r e c e n t l y ，m a t h e m a t i c a le c o l o g yh a sb e e ns t u d i e de x t e n s i v e l yi np e s tc o n t r o l ，f i s h c a t c h e s ，n e u r a ln e t w o r k ，f o o dc h a i na n dt h ep l ：e v e u t i o na n dc u r e o ft h ei n f e c t i o u s d i s e a s e ，a n d8 0o n f o rt h i sr e a s o nm o r ea n dm o r es c h o l a r sa l l c o n c e n t r a t eo i lt h e r e s e a r c ho f t h i sa s p e c t l o t k a - v o l t e r r as y s t e m sa r ev e r yi m p o r t a n ti np o p u l a t i o n d y n a m i c 8 t h e r ea r ec o n s i d e r a b l ew o r k so nt h es t u d yo fp e r m a n e n c e ，e x t i n c t i o na n d g l o b a la s y m p t o t i cb e h a v i o r so fl o t k a - v o l t e r r as y s t e m s w i t hd e l a y s s c h o l a r ss t u d yt h e s v s t e mn o to n l yn o n a u t o u o m o u sw i t hn o n d e l a yb u ta l s on o n a u t o n o m o u sw i t hd e l a y p e r i o d i cd e l a ya n dn e u t r a l e x t i n c t i o no fs p e c i e so ft h es y s t e m d e c ；( t ) 出 ( t 蚓t ) ，i = l h 2 ；n ( 11 0 ) ，。l i sc o n s i d e r e di n 【3 1i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gn o n a u t o n o m o u sn s p e c i e s l o t k a - v o l t e r r at y p ec o m p e t i t i v es y s t e m sw i t hd i s c r e t ed e l a ya n dc o n t i n u o u sd e l a y 掣跏帕一妻j = l 嘣啦舢删卜妻一i 0 ，c i j 如) x j ( t + s ) d s ，) 2 = 1 2 ，n w h e r ex i ( t ) d e n o t et h ed e n s i t yo fi t hs p e c i e sa tt i m et t h ea v e r a g ec o n d i t i o n so n t h ec o e f f i c i e n t sa r eo b t a i n e dt og u a r a n t e et h a ta l lt h es p e c i e si nt h es y s t e m s ( 11 ) a r e e x t i n c t i o nb yc o n s t r u c t i n gp r o p e rl y a p u n o vf u n c t i o n t h er e s u l to ft h i sc h a p t e ri s a e x t e n s i o nt o 【3 i n 吼e x t i n c t i o no fs y s t e m ( 11 ) i sa l s oc o n s i d e r e d ，b u tt h er e s u l t s w eo b t a i n e di nt h ec h a p t e ra r ew e a k e rt h a n 6 1 n o w d e r m a n e n c eo nn o n a u t o n o m o u sl o t k a - v o l t e r r as y s t e mw i t hi m p u r ed e l a y h a v eb e e ns t u d i e db ym a n ys c h o l a r sf o re x a m p ! e 7 一【8 ) 1 5 1 一 1 8 i nt h es e c o n dp a r t ， w ed i s c u s sd e r m a n e n c eo fs o l u t i o n so fu o n a u t o n o m o u sl o t k a - v o l t e r r as y s t e mw i t h i m p u r ed e l a y 掣锄) 飞删一妻j = l 。文洲t 咱) i = 12 n 班心 zs q 岛 广l 。芦 p e r m a n e n c eo ns y s t e m ( 21 ) i sa l s oc o n s i d e r e di n 【7 a n dt h er e s u l ti sr i g h to ns y s t e m ( 1 1 0 ) e v e n t u a lb e h a v i o u ro ns y s t e m ( 2 1 ) a n d ( 1 1 0 ) a r es t u d i e db yt e n gz h i d o n gi n 【8 t h er e s u l t si nt h ec h a p t e ra r ed i f f e r e n tf r o ma b o v er e f e r e n c e s w h e nn j ；0 ，o - ”i 0t h er e s u l t so ft h ec h a p t e ra r cc o n c o r d a n tw i t h 5 p e r m a n e n c ea n da s y m p t o t i cb e h a v i o u ra r es t u d i e di n 1 1 i n 【1 1 o u rm a i np u r p o s e i st oi m p r o v ea n dg e n e r a l i z et h er e s u l t so ft w os p e c i e ss y s t e mt ot h eg e n e r a ln s p e c i e s n o n a u t o n o m o u sl o t k a - v o l t e r r at y p es y s t e mw i t hd e l a yi nt h et h i r dp a r t ，w ec o n s i d e r t h ep e r m a n e n c eo f s y s t e m ( 1 1 ) t h em e t h o du s e di nt h i sc h a p t e ri sm o t i v a t e dbw o r k 【1 1 1 i ti ss h o w nt h i si sg e n e r a l i z a t i o no f 1 1 】o nt h ep o p u l a rl o t k a - v o l t e r r as y s t e m k e y w o r d s ：d e l a y ；n o n a u t o n o m o u sl o t k a - v o l t e r r as y s t e m ；e x t i n c t i o n ；p e r m a n e n c e ；u p p e ra v e r a g e ；l o w e ra v e r a g e ；l y a p u n o vf u n c t i o n 引言 引言 随着经济的发展和科技的进步，生态问题已经越来越受到许多专家学者的重视 关于l o t k a - v o l t e r r a 系统的灭绝性、持久性问题的研究，已经有大量的研究结果；对 多种群时滞生物模型的研究，历来也都受到学术界的普遍重视 首先考虑，非时滞的多种群系统 d x 。( t ) 出 巧( 吼i 一1 h 2 ，n a b d u r a h m a na n d a h m a d 在文【1 和 2 j 中通过构造适当的l y a p u n o v 函数以及运 用比较定理得到了系统( + ) 持久性与灭绝性的结果随后a h m a d 等在文献【3 h 5 中 对经典的l o t k a - v o l t e r r a 非自治系统 掣硇( 帆( ) a , 4 ( 。) 删】，z = 1 ，2 ，一m ( * + ) 。 j = l 进行了深入的研究，通过引进函数的上、下平均( u p p e ra v e r a g e 、l o w e ra v e r a g e ) 的 概念，文 3 】中得到了系统( + + ) 持久与灭绝的充分条件，a h a m d a n d l a z e r 等在 4 中得到了系统( + + ) 全局渐近稳定的充分条件关于具有时滞的非自治l o t k a - v o l t c r r a 系统的持久性、灭绝 生和全局渐近稳定性，已经有了比较多的研究结果，这些结果可 以在【6 1 - 9 1 以及它们的参考文献中看到最近文献 5 也有关于这方面的一些研究， 其结果推广了a h a m d a n d l a z e r 的主要结果滕志东在文6 1 中也研究了具有离 散时滞和连续分布时滞的一般n 一种群非自治l o t k a - v o l t e r r a 竞争系统的灭绝陧，他 们的研究成果为我们研究时滞非自治l o t k a - v o l t e r r a 系统的最终行为提供了一个非常 好的环境 在文 3 中，研究了系统( ”) 的灭绝性，本文首先考虑如下具有离散时滞和连续 分布时滞的一般n 一种群非自治l o t k a - v o l t e r r a 竞争系统 掣锄帆旷妻j = la i j 吼吲啪一喜户舢，s k ( ) d s ) i = 1 ，2 ，一，n 灭绝的充分条件，把【3 】中的结果推广n t b 寸滞非自治系统上 按照【1 4 】中的思想可将系统( 11 ) 分成两大类：当( t ) io ( i = 1 ，2，n ) 时， 系统( 11 ) 称为非纯时滞的，否则系统( 1 1 ) 称为纯时滞的文【7 卜i s ，【1 5 】一 18 中都有 关于非自治非纯时滞系统的持久性、灭绝性和全局渐近稳定性的一一些研究成果 2时滞非自治l o t k a v o l t e r r a 竞争系统的最终行为 本文的第二部分参考 3 】和【5 中的方法得到了如下系统 百d x i ( t ) = 甄( ) 陋) 咱( 姚。( t ) 硎卜妻厂吼，s ) 州m 冲 ， 功( ) ) 一( t ，s ) ( 抖s ) d 5 | ， 1 = 1o f ， ( 2 1 ) 持久的充分条件 最后，在文章的第三部分，运用 1 1 中的方法得到了系统( 11 ) 持久的充分条件 同时把【1 1 中的结果推广到了时滞系统上 一类时滞非自治l o t k a - v o l t e j r a 竞争系统的灭绝性3 第一章一类时滞非自治l o t k a - v o l t e r r a 竞争系统的灭绝性 多种群生态系统在实际生活中具有非常重要的意义，在很多文献中都对经典的 l o t k a - v o l t e r r a 系统有深入的研究受到这些文献的启发，本章考虑如下具有离散时 滞和连续分布时滞的一般n 一种群非自治l o t k a - v o l t e r r a 竞争系统 掣删岍旷塾水1 冉炉喜厶水，s 净搀蝴，) i = 1 ，2 ，n 灭绝的充分条件 首先给出文中涉及的记号与定义 定义1 若系统( 11 ) 的解z ( ) = ( 。1 ( t ) ，z 。( t ) ，z 。( t ) ) 在解的最大存在区问有 定义，且对每个i 1 ，2 一，n ) 有x i ( ) 0 ，则称z ( ) 是系统( 11 ) 的正解 定义2 若对系统( 11 ) 的解z ( ) = ( 。t ( ) ，：( ) ，n ( t ) ) 有。里甄( ) = 0 ，则 称种群皿( ) 是灭绝的 给定一个定义在 c ，十。) 上的函数9 ( t ) 令 g ”= s u p g ( t ) l cst + o 。) ，g 。= i n f g ( t ) ic t 0 和 遭i n f f “( ( s ) + 。c “( s ，e ) a o ) d s 0 - 根据系统( 1 1 ) 所代表的种群生态学背景，我们将考虑系统( 1 1 ) 满足如下初始条 件的解 z 。( 目) = 妒，( 口) ，p 一r ，o ，i = 1 2 ，一，n ，( 1 2 ) 其中每个也是给定的定义在p 卜- r ，0 】上的非负有界连续函数，并且也( o ) 0 由 泛函微分方程的基本理论 m l 得知，对任意初始条件庐= ( 1 ，。，) ，系统( 11 ) 存在唯一的解 z ( t ，曲) = ( 。l ( ，庐) ，z 2 ( t 声) ，- ，z 。( t ，咖) ) 满足初始条件( 12 ) 并且容易证明解z ( f ，咖) 是正的，即在解的最大存在区间上对任 意i = 1 2 ，7 1 , 有z ；) 0 ， 引理11 设条件( h 1 ) 一( h 4 ) 成立，则存在正常数 而和t t o ：使得对所有 t2t 和t = 1 ，2 ，系统( 1 1 ) 的所有正解z ( ) = ( z 1 ( ) ，z 2 ( ) ，z 。( o ) ) 满足 趴( t ) m o 证明由条件( h ，) 我们可以知道系统( 11 ) 的系数均有严格正上、下界 对任意i 1 ，2 ，n ) 考虑分量。( t ) ，因为对所有t2t o 掣书陋，一扣啦如刊，一喜厶小，s m s 冲 ( t ) b 。( t ) 兰墅坠坠丝! ! 坚! 耋皇塞塑圣竺些 5 所以当。so 和t + o2 0 时有z 。( t + ) 2 奶( ) e x p 正”8 “( s ) d s 于是当r 时 有 掣鼢( ) 陋) q ；( t ) 甄( ( ) ) 一巳( t ，s ) 。( 。) d s 茎甄o ) f6 。o ) n 。( t ) 甄( ) e x p 上卜1z ( ) 6 。( s ) d s 。 一止。c 她咖。( f ) e x p f ，”5 6 。( o ) d e d 。1 显然对任意t ，+ o 。) 和s f 一了_ ，0 j 有 r 一nz ( ) b d s ) & 一r b ；”， b d o ) d o 一r b 。“， 其中b l “= s u p6 ；( ) 于是当t t 时得到 掣甄陋h 如t 啪淞c ) ， 其中k i = e x p ( c b i u ) 设 喇吐( + f 。她s ) d s ) 考虑辅助函数 d u ：( t ) d t ( 1 3 ) 由条件( 凰) 并且参照 1 1 1 中的方法不难证明，存在正常数巩使得对于方程f 1 3 ) 所有满足眦( 如) 0 的解毗( t ) ，都存在正常数丑= 噩( “；( t 。) ) ，使得对任意 互有 “t ( 纠阢再设+ ( ) 是方程( 1 3 ) 满足初始条件“，+ ( 亡0 ) = 瓤( 幻) 的解，则由比较定 理得知 岛( t ) ! 地4 ( ) ，vt f 因此我们最终得到 。t o ) a ，vt2 t ( x ( t o ) ) + 丁，i = 1 ，2 ，n 其中丁( z ( 。) ) 3 。m 2 a ! x 。t 。( z t ( 。) ) ，= 。m 。a 。x 。u , 引理证毕 6 时滞非自治l o t k a v o l t e r r a 竞争系统的最终行为 本章研究系统( 1 1 ) 部分种群q ( ) p i n ) 的灭绝性，其中r 1 ，2 ，n ) 引入下面的函数 舭) = 端+ f ：，c i j ( t - o , o ) d s ，幻_ 1 ，2 ，3 ，n ， 其中咖。1 ( t ) 是妒i j ( t ) = t r , j ( t ) 的反函数 定理12 设条件( h 1 ) 一( 凰) 成立，且存在正整数1 r ， 都存在一个i k ，满足 剿 耐 糕胁鲰 a ， 则对任意r i 茎n 系统( 1 1 ) 的所有正解x ( t ) = ( z ( t ) ，z t ( t ) ，一，z 。( ) ) ，都有 。l i r a 。鼢( t ) = 0 和臂x i ( t ) d t o ( i = 1 ，2 ，3 ， 的解，我们用归纳法来证明定理 我们首先证明。l i r a + 。x n ( ) = 0 和上 筠t ( ) 出 o 。 设k = n ，p i 。由系统( 11 ) 我们能得到 豢刊旷拍j = l 啦如刊) 一喜岛j 。：蝴+ s ) 如 器砘一赫j = l 蝴刊) 一喜厂，水，咖小+ s ) 如 假没条件( 1 4 ) 成立，则存在正常数a 。和风使得对任意j n ，有 涮 万o f n 0 ，对所有的t t o 十r ，有 耳“r 月x p 壶上( b p ( s ) + 风k ( s ) ) d s ， 其中 兄：( k ( 如) ) 南 靠器 p 赤 r 风耋鬻端嬲码( t ) + 风磊岛( 厕0 ( s ) ) 如s 。u p 。刊 j 一1= o u 一 为了要证明：里z n ( ) = 0 我们只要证明 由( 1 5 ) 我们有 由于 。l i r a f 。t ( 一a 。+ + 风k ( s ) ) d s = - 。 m 慨6 。一。”t 5 风m + n 。m 【_ = 风m b 。】一q 。r n b p 0 一类时滞非自治l o t k a v o l t e r r a 竞争系统的灭绝性 9 从而对所有t os t l t 2 ， l j m s s 。+ u z o - 去f 2 m n ( s ) 一吣) d s 。_ 2s ) 。， ( 1 7 ) 一。序肌小)-o-nbp(s)t2-tllimsup b t t 兰s ) ：一o 。 帆6 。( s ) ( s ) 】d s 兰s = 一o 。 s 十。、jc 1 j 显然由( 1 8 ) 式，有 。l i m 。( 8 ) 一。n b p ( s ) d s = 一。 从而我们最终得到。l i + m 。x n ( ) = 0 和片”z n ( t ) d t + o 。 下面证明r i n , t l i ? n x i ( t ) = 0 和 ：。乩( t ) d t + 假定 j , , j 2 mx j ( t ) = 0 和瞄o 。x j ( t ) d t + o 。 由条件( 14 ) 存在正常数a ，凤和j 茎k ，使得 丽m b k 0 ，使得对所有t 兰孔，有 q ( ) d 其中6 = r a i n z j ( ) ，j = 1 ，2 ，f 1 i 0 同理由引理11 和假定。l i + r a o 。z j ( t ) = 0 0 k ) ，知存在噩t o 和 o ，使得对所 有t t 2 。 ( - - f l k a k j ( t ) + a * ( ) ) 巧( t ) v j = k + l 令t = m a x t i ，乃) ：则对所有t t ，有 1 d v k 广( t ) k ( ) 陋k ( t ) 。幽( t ) + a 其中口= 一6 ( 0 类似于：曼。n ( t ) = o 的证明，我们最终得到 z e ( ) s 风+ e x 9 压1 上。t 慨k ( ) - a k b q ( t ) + 一】d s 其中 心+ = k 瓦( t o ) m o 霄1 rnf、 唧扑陬暑霉端篙码( 。) + 风暑nj 一0 _ s 。( s ) ) d ss 脚u p 。删 ， 因此我们得到。里z t ( t ) = 0 和臂o 。z m ( t ) d t r ，有。里甄( ) = o 和片”翰( t ) d t o 。 定理证毕 设在系统( 1 1 ) 中，对所有2 ，j = 1 ：2 则系统( 1 1 ) 退化为如下无时滞非自治n ，礼以及t t o ，有巧( t ) 三o ，盯：，( t ) 三0 种群l o t k a v o l t e r r a 型竞争系统 掣硇陬一妻j = l n “洲驯，2 ，m ( 1 1 0 ) 一类时滞非自治l o t k a v o l t e r r a 竞争系统的灭绝性1 1 由定理12 我们能得到如下关于系统( 1 1 0 ) 部分种群灭绝的结论， 推论1 3 设条件( h i ) 和( 凰) 成立，且存在正整数t r r 都存在一个i k ，使得 则对系统( 1 1 0 1 正”z ，( t ) 出 。 其中r 0 首先考虑辅助系统 1 d u b 厂( t ) = 阢( 姚( ) 一m ( ) 巩( 吼江1 ，2 ，。， ( 2 3 ) 引理2l 令。( o ) 一( z l ( t ) ，z 2 ( t ) ： ，z 。( ) ) 为系统( 2 1 ) 满足z 。( t o ) 0 的解， u d t ) 为系统( 2 3 ) 的解若u _ f ( t o ) z 。( t o ) ，则对所有i = 1 ，2 ，n ，有 阢( t ) 甄( ) ，t t o 引理2 1 证明类似于 1 9 】中j 陛质2 1 的证明，省略 对于逻辑方程( 2 3 ) 由 2 0 有如下引理 引理2 2 若( h i ) 成立，则系统( 2 3 ) 的任意正解全局吸引且有严格正上、下界 引理2 3 若z ( t ) ，k t ) 为【0 ，+ o 。) 上的连续正函数，日f ( ) 有上界，又已知z ( ) 关于正数m 振动，则一定有下列两条结论之一成立： i )z ( ) y ( ) 一m ( m 0 的正常数) ； 2 ) x ( t ) y ( t ) 关于某个正常数m 。振动 结论易证，省略 定理2 4 若( h 1 ) 一( 如) 成立，且 m b 。一 。叫 o 一l ，2 ，n ( 24 ) 若z ( t ) = ( z ( t ) ，z 2 ( t ) ，z 。( t ) ) 为系统( 2 1 ) 满足z d t o ) o ( i t n ) 的解，则存 在正常数a ，和t ，使得对所有t t ，有 a z 。( t ) 七 即系统( 2 1 ) 是持久的 其中 a 。= 丁二a i j j ( i g ；再, j 而- l ( t ) ) + f _ o c i j ( t - 0 , 0 ) d s ：i ，j = 1 ，2 ，3 ，n i ， 1 4 时滞非自治l o t k a - v o l t e r r a 竞争系统的最终行为 钆舢) 十端+ ，“t - o , 0 ) d s ，幻_ 1 ，2 ，3 ，n ，忙j ， 3 i 9 - - 1 ( t ) 是函数! b i j ( t ) = t 一嘞( t ) 的反函数 仉o ( f ) 是系统( 2 3 ) 的任意正解，且由上平均、下平均的定义，可知m g ：o 】和m 巩o 】 存在 证明设z ( ) ，t o ，阢( t ) ( i = 1 ，2 ，n ) 与引理21 中一致 若z 。( 如) 0 ：阢( t o ) 0 ，则对所有t t o ，x ( t ) 和巩( ) 分别为系统( 2 1 ) 和( 2 , 3 ) 的正解由引理2 1 ，若甄( t o ) 茎u ( t o ) ，则 x i ( t ) 阢( t ) ，t t o 再由引理22 ，对( 2 3 ) 的任意正解u i o ( t ) 及充分小的 0 ，存在乃 l o ，使得对所有 t 五，有 x i ( ) 兰u i o ( t ) + e ，i = 1 ，2 ，n ， 令k = s u p u o ( z ) + it t i ，i = 1 ，2 ；，n ，则由k 的定义知0 刚= 1 ，2 ，一，n ， 即 翌等 壶肌一，羹。螂附沪如铲艟牡 一类非纯时滞非自治l o t k a v o l t e r r a 竞争系统的持久性 1 5 从而得到 ，i ms u 。p f 。2 陋卜，塞。删( ”沪雠小h 呐2 s ) 一慨( 2 。) 显然的选择与系统( 2 1 ) 的所有解无关 现在我们证明存在0 a + 。和t2 乃、使得对所有t t ，有 甄( ) a ，i = 1 ，2 ：一，n 若存在t 死，使得对所有t t ，有 x i ( t ) e ， 结论成立 所以我们假定存在数列。姆。( 。+ 。) ，m = 12 ，使得 孔( 7 h ) 下面分两部分讨论 ( i ) 存在乃，使得对所有t t o ，有 z ；( ) e 令 k ( t ) 喇唧一壹f 。 # 1j t 一 妻| 厂。( ，吲一 ，：1j o u 、j + s ( s ) d 8 ( 27 ) 由假定( 风) 一( 地) 及k ( t ) 的定义知k ( t ) 在t t o 上有定义，计算k ( t ) 的导数 ! 竽= k ( t ) 1 “( ) 一吼( t ) 甄( ) 一n “( ) ( 亡一，可( t ) ) 一蓦nl 0 加) 引) d s 一耋筹瑞础) + u ( t ) q ( 一n ，0 ) ) 一。，c o ( t s ，s ) 巧( ) d s i 1”： + e f o qc 0 ( t ，s ) 巧( + s ) d 5 i ， 从而 掣圳啦旷势州t ) ( 2s ) 1 6 时滞非自治l o t k a v o l t c r r a 竞争系统的最终行为 作辅助函数 d u 。( t ) 出 a 。，( t ) ( t ) i j = l ，t 】 a i i ( ) ( 。( t ) + e ) l ( 29 ) j = 1 t j a 荆( 。( c ) + e ) ( 21 0 ) j = l ，母钉 由( 28 ) ，( 2 9 ) 式及比较定理，存在t 22 正，使得对所有的t27 2 ，有 其中k ( t ) ，u i ( ) 分别为( 28 ) 和( 21 0 ) 的解，且满足k ( 噩) = 地( 噩) 从t 2 到t 积分( 2 1 0 ) 式有 叫归吲跏x p 以小卜i = 妻l , i # j 锵删s ) + 小 由条件( 2 6 ) ，存在数列 ，使得( ) 一+ o 。( f o o ) 由假定有 喜l ，端以s r 喜翟热( 酬 佃 ( 2 1 1 ) 耋“，咖羽瑚) 如 骞。( ( 。姒s ，霉以啪a ) 如 从而 薹裂删_ s 眦胁一 甄( ) k ( ) 札。( 亡f ) ，+ o 。 得出矛盾 ( i i ) 令u = 甄( ) z m ，。o ) 关于u = 振动 一类非纯时滞非自治l o t k a - v o l t e n a 竞争系统的特久性1 7 即存在两个序列 t l ) t 2 。) 使得z 。( t 1 。) = 鳓( 2 ) = e 和。；( t ) e ， ( ，) 由( 21 1 ) 和( 21 2 ) 我们可以看出 唧 _ 喜厶，黼吲s 胁 一喜。( 。c 文a 飞s k c 踟。) a s 有上界于是由引理2 3 及( 27 ) 式，或( t ) 一朋或k ( ) 关于某个正数e 1 振动 若k ( t ) 一m ( m 0 的正常数) ，则存在序列 “ 一+ o o ( m 一+ 。) ：使得 u ( 妒) 一m 从t o 到t ”积分( 2 8 ) 式，有 州圳锄唧r ”吣) _ 妻j = l 删州小 k ( 如) e x p 8 f 玩( s ) 。( s ) e 一妻4 巧( s ) ( 。( s ) + e ) d s 由( 2 6 ) 知，当m 一+ 。时，k ( 扩) 一+ o 。得出矛盾 于是，k ( ) 关于某个正数c 1 振动即存在两个序列( h k l z 。 使得k ( ，) = v ! ( t 2 ) = 6 1 和( t ) e 1 ：t ( t 1 。2 。) 令s k = t 2 一t 1 ，在 f 1 2 ，t 2 上积分( 2 8 ) 式，有 一附眦x p 麒6 i ( s ) - 螂卜。宝，似删卅小 之s ，e x p 庀t 吼( s ) 一a i i ( s ) e 一壹a u o ) ( 屿。( s ) + s ) d s 若当k 一+ o 。时，s k 一+ 。由( 2 6 ) 上式得出矛盾 因此我们可以得到 s k k + ：o o 。为正有界序列 若存在t 5 ( 1 ，t 2 ) 使得 k ( t 0 2 ) le x p ( 一a ，b ) ， 其中 a = s u p i b 。( t ) 一a i i ( t ) e 一a i i ( 6 ) ( ( t ) + e ) lt i t o ，+ 。) ) ， b = s u p s a l k = 1 ，2 显然0 a ， + o o ，0 0 由 泛函微分方程的基本理论j l q 得知，对任意初始条件= ( 庐t ，妒z ，九) ，系统( 31 ) 存在唯一的解 z ( ，曲) = ( x l ( t ，曲) ，x 2 ( t ，) ，- ，x n ( ，) ) 满足初始条件( 32 ) ，并且容易证明解z ( t ，曲) 是正的，即在解的最大存在区问上对每 个i = 1 2 ，n 有z 。( t ，咖) 0 首先考虑辅助系统 掣弘( 谢) - d ：彤) 删小钆2 ，n ，( 3 3 ) 其中 d 。，( t ) = k i ( a ，；( t ) 十c i l ( t ，s ) d s ) ，。= e x p ( 一r b i ”) 2 0 时滞非自治l o t k a v o l t e r r a 竞争系统的最终行为 引理3 1 若条件( h ，) 一( 地) 成立，则下列结论成立 ( a ) 存在正常数m ，和坛使得 m ，茎l i r a i n f x d t ) l i r as u px i ( ) 蛆， m f _ + o 。 其中x i ( t ) 为系统( 3 3 ) 的任意解 ( b ) 对系统( 33 ) 的任意两个解锄f 1 ( ) ，x i ( 2 ( t ) ，有1 i 啦( x i ( 1 ( t ) 一x i ( 2 ( t ) ) = 0 证明由( 风) 知，存在正常数k mk 2 16 ，和噩。，使得对所有t 正。有 ，”。他一 广( s ) 我们首先来证明存在t 正7 使得 k i le x p ( e q l a ，) ( 亡) k i 2e x p ( 一d 。2 - 0 ；) ，t n 其中o l 。i - s u p i b d t ) l + d i ( t ) k “) ( f = 1 ，2 ) 若对所有t 噩，有她( t ) k l l 则 ，t x d t ) = 毛( 正4 ) e x p ( b ，( s ) 一d 。( s ) 吼( s ) ) d s j 冗 s 甄) e x p ，( 玩( s ) 一d i i ( s ) k i l ) d s ， 由( 3 4 ) 我们可以知道当t 一十。时，x d t ) 一0 得出矛盾 因此存在n 1 丑，使得z ；h 1 ) t 1 r 1 1 ，使得 x ( t 2 ) k i le x p ( a i l k i ) ， z ，( t 1 ) = 硫1 ， z ：( ) k i l t ( t l ，嘲 选择适当的整数p 20 使得t 2 ( t 1 + p a 。：t l + ( p + 1 ) a 。 ，于是 岛le x p ( l 九) 0 。 ，= 1 ，j l ，2 。一o ( 3 6 ) 2 2 时滞非自治l o t b v o l t e r r a 竞争系统的最终行为 成立，则系统( 31 ) 是持久的 即对系统( 31 ) 的任意正解存在正常数m 和m