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g r a s s m a n n 流形的同调群中文提要 g r a s s m a n n 流形的同调群 中文提要 本文利用示性类及微分几何的方法，用联络论讨论定向g r a s s m a n n 流 形a ( 2 ，n ) 及a ( 4 ，8 ) 的同调群，其他的低维g r a s s m a n n 流形可以类似讨 论本文证明了a ( 2 ，2 n + 2 ) 的上同调可以用它上面的典范矢丛e ( 2 ，2 n + 2 ) 和法丛f ( 2 ，2 n + 2 ) 的e u l e r 类生成，同时给出了它的下同调的生成元而 a ( 2 ，2 n + 3 ) 的上同调由典范矢丛e ( 2 ，2 n + 3 ) 的e u l e r 类生成还证明了 g r a s s m a n n 流形a ( 4 ，8 ) 的上同调可以用典范矢丛e ( 4 ，8 ) 和法丛f ( 4 ，8 ) 的e u l e r 类及e ( 4 ，8 ) 的第一个p o n t r y a g i n 类生成 关键词：矢丛，联络，示性类，g r a s s m a n n 流形，同调群 作者：史进 指导老师：周建伟 t h eh o m o l o g yo fg r a s s m a n nm a n i f o l d s a b s t r a c t t h eh o m o l o g yo fg r a s s m a n nm a n i f o l d s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w eu s ec h a r a c t e r i s t i cc l a s sa n dd i f f r e n t i a lg e o m e t r yt o s t u d yt h eh o m o l o g yo fg r a s s m a n nm a n i f o l d sa ( 2 ，n ) a n da ( 4 ，8 ) t h e o t h e rl o wd i m e n s i o n a lg r a s s m a n nm a n i f o l d sc a nb et r e a t e ds i m i l a r l y w i e s h o wt h a tt h ec o h o m o l o g yo fa ( 2 ，2 n + 2 ) c a nb eg e n e r a t e db yt h ee u l e r c l a s s e so ft h ec a n o n i c a lv e c t o rb u n d l e se ( 2 ，2 n + 2 ) a n df ( 2 ，2 n + 2 ) t h e g e n e r a t o r so ft h eh o m o l o g yo fa ( 2 ，2 n + 2 ) a r ea l s od e t e r m i n e d w h i l e t h ec o h o m o l o g yo fa ( 2 ，2 佗+ 3 ) c a nb eg e n e r a t e db yt h ee u l e rc l a s so f t h ev e c t o rb u n d l ee ( 2 ，2 竹+ 3 ) t h e nw es h o wt h a tt h ec o h o m o l o g y o fg ( 4 ，8 ) c a nb eg e n e r a t e db yt h ee u l e rc l a s s e so ft h ev e c t o rb u n d l e s e ( 4 ，8 ) a n df ( 4 ，8 ) a n dt h ef i r s tp o n t r y a g i nc l a s so fe ( 4 ，8 ) k e y w o r d s ：v e c t o r b u n d l e ，c h a r a c t e r i s t i cc l a s s ，g r a s s m a n nm a n i f o l d ， h o m o l o g y i i w r i t t e nb ys h ij i n s u p e r v i s e db yp r o f z h o uj i a n w e i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育 机构的学位证书而使用过的材料对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明本人承担本声明的法律责任 研究生签名：垃日期： 壁星，姥璺塞 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合 作部、中国社科院文献信息情报中，1 、5 有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布 ( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 。 研究生签名：必 日期：垒壁：竺! ! 吱 导师签名：避晦 g r a s s m a n n 流形的同调群引言 芦i士 ji置 设厂：mjr 4 是2 维定向曲面在欧氏空间的浸入，由此有g a u s s 映射夕：m _ a ( 2 ，4 ) 我们知道定向g r a s s m a n n 流形a ( 2 ，4 ) 同胚于两 个球面的乘积岛x 岛，因此盼】， 剐是飓( g ( 2 ，4 ) ) 的两个生成元陈省 身在文 2 】证明了如果厂是嵌入，则 玑m = 互1 ) ( ( m ) 例+ 三) ( ( m ) 阱 本文推广这一讨论，下面主要讨论定向g r a s s m a n n 流形c ( 2 ，n ) 及 a ( 4 ，8 ) ，这里的方法可以推广到其他低维g r a s s m a n n 流形上，也可以部分 用于不定向的g r a s s m a n n 流形 设e ，f 分别是定向g r a s s m a n n 流形g ( m ，n ) 上的典范矢丛与法丛， 它们都是定向的r i e m a n n 矢丛由于e0f 是平凡丛，f 的p o n t r y a g i n 类可以由e 的p o n t r y a g i n 类生成进一步我们证明了g ( m ，n ) 上切丛 t c ( m ，n ) 与eof 是同构的，因此g ( m ，n ) 的示性类可以用eof 的 示性类表示 本文利用示性类及微分几何的方法，用联络论讨论定向g r a s s m a n n 流 形a ( 2 ，n ) 与g ( 4 ，8 ) 的同调群首先利用g a u s s b o n n e t 公式及示性类的 分离原理计算了a ( 2 ，n ) 的体积，并证明c ( 2 ，2 n + 2 ) 上的典范矢丛e 的 e u l e r 类e ( e ) 生成h 2 k ( g ( 2 ，2 n + 2 ) ) ，k 佗时；而h 轨( g ( 2 ，2 n + 2 ) ) 由e n ( e ) 及典范法丛f 的e u l e r 类e ( f ) 生成它们的下同调群可以由 g r a s s m a n n 流形的同调群引言 g r a s s m a n n 子流形生成，尼n 时a ( 2 ，尼+ 2 ) 生成凰忌( g ( 2 ，2 佗+ 2 ) ) ，而 a ( 2 ，n + 2 ) ，a ( 1 ，2 n + 1 ) 生成- 2 n ( g ( 2 ，2 几+ 2 ) ) ，详见性质2 1 g r a s s m a n n 流形a ( 2 ，2 n + 3 ) 的同调群要简单些，它的上同调由典范矢丛e 的e u l e r 类e ( e ) 生成( 见性质2 2 ) 复射影空间可以作为a ( 2 ，n ) 的子流形，我们证明了当2 k n 一2 时 在u 2 k ( a ( 2 ，i v ) ) 中， c p 七】_ 掣【g ( 2 ，忌+ 2 ) 】； 而在( g ( 2 ，2 n + 2 ) ) 中， 矿】= 半 g ( 2 卅2 ) 】+ - 1 1 一，2 n + 1 ) 】 进一步讨论可以知道，在c ( 2 ，4 ) 中c 尸1 与反定向的射影空间虿芦1 就 是前面给出的球面& 与& 把这些结果用于陈省身文 2 】也可以得到一样 的结果 在5 3 我们讨论定向g r a s s m a n n 流形a ( 4 ，8 ) 的同调群，证明了它的上 同调可以由典范矢丛e ，f 的e u l e r 类及e 的第一个p o n t r y a g i n 类生成，具 体结果见性质3 1 ，3 3 ，3 5 例如，我们证明日4 ( g ( 4 ，8 ) ) 由e ( e ) ，e ( f ) ，p l ( e ) 生成，他们对偶的下同调群生成元是a ( 4 ，5 ) ，c ( 1 ，5 ) ，c ( 2 ，4 ) 设，：m _ r 8 是4 维定向紧致流形m 在欧氏空间的浸入，g ：m c ( 4 ，8 ) 是 g a u b 8 映射，可以证明 玑 明= 三) ( ( m ) 【g ( 4 ，5 ) + b i g ( 1 ，5 ) 】+ 互3 s t 9 n ( m ) 【g ( 2 ，4 ) 】， 其中b = 三f m # e ( f ) ，s i g n ( m ) 是m 上s i g n a t u r e 算子的指标如果， 是嵌入，则b = 0 g r a s s m a n n 流形的同调群 1 预备知识 1 预备知识 本文的主要内容是利用示性类及微分几何的方法，用联络论讨论g r a s s - m a n n 流形同调群的生成元，为了叙述完整起见，本节简要回顾示性类与 g r a s s m a n n 流形的知识，并运用示性类及g a u s s - b o n n e t 公式计算g r a s s - m a n n 流形的体积 1 1 示性类 设7 r ：e _ m 是流形m 上一个复矢丛，纤维型c 意，在复矢丛上总 存在h e r m i t e 内积与h e r m i t e 联络，设为d 选取复矢丛e 的局部幺正 截面s - ，d 8 i - - j 圭= 1 名勺，萨& 二i 墨= 1 噶勺，曲亭譬阵q = ( 噶) 漓 足q + q = 0 等式 d e t ( 譬q ) _ i 圭= l 嘲q ) 给出了m 上整体定义的实的微分形式勺( q ) ，称勺( e ) = b ( q ) 】是复矢丛 e 上第j f 个c h e r n 示性类，c ( e ) = 1 + c 1 ( e ) + c 2 ( 刀) + + c k ( e ) 是 e 上t o t a lc h e r n 类 对于实的r i e m a n n 矢丛e m ，设d 是e 上的r i e m a n n 联络，q 是联络d 在局部幺正截面下的曲率矩阵，q + 储= 0 由d e t ( i + 上2 1 r q ) = 1 + 亡劾1 ( q ) + t 4 p 2 ( n t ) + i 所决定的 鼽( q ) = 丽站譬啦q 和皖 是m 上闭形式，称a ( e ) = 慨( q ) 是矢丛e 的第i 个p o n t r j a g i n 类， g r a s s m a n n 流形的同调群1 预备知识 p ( e ) = 1 + p l ( e ) + p 2 ( e ) + 是e 上t o t a lp o n t r j a g i n 类 ， 进一步，设e 是m 上的一个定向矢丛，纤维型r 驰，s 1 ，8 2 k 是定 向幺正截面， d 2 岛= 量2 kq ；南记e ( i 1 ，厶_ _ _ 6 l - - - n 。， 卵) = 踹郇“2 ，心a 赡q 分罐：卅 称e ( e ) = 【e ( q ) 】h 2 七( m ，z ) 是e 上的e u l e r 类如果定向矢丛e 的 纤维型是舻七，那么e ( e ) = 0 示性类有许多重要的性质与运用，这里不一一列举下面要用到分离原 理，在讨论复矢丛上示性类的问题中，可以假设它是一些复线丛的直和；实 矢丛也有类似的性质( 详见b o t ta n dt u 1 】，2 7 5 2 7 9 页) 1 2 g r a s s m a n n 流形 g r a s s m a n n 流形g ( m ，n ) 是欧氏空间中m 维定向子空间的集 合设e 1 ，e r a 是z g ( m ，n ) 的一组定向幺正基，z 可以用外 积表示成e 1a ae m ，这一表示与z 的定向幺正基的选取无关，由此表示 得嵌入 ，：g ( m ，n ) _ a m ( r ) ，zh e 1ae 2a ae m 将e l ，e 仇扩充为z 邻域上的定向幺正标架场e l ，e n ，采用活动标架 法，d e i = 差1 e a ，印= g ( m ，) 上的局部1 一形式 外微分e 1ae 2a ae t n 得 d ( e lae 2a ae m ) = u 笋最口， i ，口 晟口= e la a 幺一1a8 aa 许1 ae 仇；i = 1 ，m ，口= m + 1 ， 4 g r a s s m a n n 流形的同调群 1 预备知识 g ( 仇，n ) 上的r i e m a n n 度量是 d s 2 = = 蟛q 簖 ： i r e 1 ，m + l ，e m , m + a ，e 1 ，n ，n 给出了c ( m ，n ) 的一个定向，它 与定向幺正标架的选取无关 由子流形理论可知，在嵌入，下，易口是g r a s s m a n n 流形a ( m ，n ) 上的局部幺正切向量场，u 尹是它们的对偶标架场，由微分d 最口可得切丛 t a ( m ，n ) 上的r i e m a n n 联络 d e 口= g e j 口+ u 2 忍卢= ( u ；醒+ u 2 霹) 易p 3pj ，o g r a s s m a n n 流形g ( m ，n ) 上有两个重要的矢丛：典范矢丛 和它的法丛 e = 1 ( z ，口) v ( m ，n ) r iu z ) f = ( z ，w ) a ( m ，n ) r lw 上z ) ， 其投影是自然定义的，它们都是定向的r i e m a n n 矢丛设d l ，d 2 分别是矢 丛e ，f 上的r i e m a n n 联络，在上面的记号下，e 1 ，e m 与e m + l ，e 分别是矢丛e ，f 的局部幺正截面，d l e i = e 胡e j ，d 2 e q = 莓u 2 e i 3p 引理1 1 ( 1 ) eof 是a ( m ，n ) 上的平凡丛； ( 2 ) 张量积丛eof 与t a ( m ，n ) 是同构的 证：( 1 ) 显然eof 是平凡丛； ( 2 ) 沿用前面的记号，容易知道e iq e a 是张量积丛e q f 的一组幺正 截面显然，由e 圆e 口he 口给出的e f 与t g ( m ，n ) 之间的对应是 5 g r a s s m a n n 流形的同调群 1 预备知识 同构，且是等距的设d 是矢丛e0f 上由d 1 ，d 2 给出的联络， d ( e i e 口) = d 1 e ；oe 口+ 色 d 2 e a = 而切丛t g ( m ，n ) 上的联络是d e i a = 与t g ( m ，n ) 之间的同构也保持联络 j 日勺oe 口十理巳oe p 口 亨q 马乜+ 吾u 2 易p 因此，e 。f 口 引理1 2 设e ，f 是g ( 2 ，2 n + 2 ) 上的典范矢丛， ( 1 ) p l ( e ) = e 2 ( e ) ，p i ( f ) = ( 一1 ) 淝e ( e ) ； ( 2 ) e ( eof ) = + 1 ) p ( e ) = ( 佗+ 1 ) e 2 礼( e ) 证：由分离原理，假设8 1 ，8 2 是矢丛e _ g ( 2 ，2 n + 2 ) 的定向幺正截 面，使得e 上的r i e m a n n 联络d 1 满足 去。；( ：) = ( 三一0 2 ) ( s s 2 1 ) ， 这时e ( e ) = z ，p ( e ) = 1 + z 2 ，p l ( e ) = e 2 ( e ) 类似可以假设鼬，8 2 n + 2 是矢丛f _ a ( 2 ，2 n + 2 ) 的定向幺正截 面，使得f 上的r i e m a n n 联络d 2 满足 1 n 2 芴2 8 3 8 4 8 2 n + 1 8 2 n + 2 0 - y l y l 0 0 一鼽 鼽0 此时e ( f ) = y l y n ，v ( f ) = ( 1 + ) ( 1 + 鳙) 8 3 8 4 8 2 n + 1 8 2 n + 2 瓯o 是矢丛e9f _ a ( 2 ，2 n + 2 ) 的幺正截面，e 圆f 上的 6 g r a s s m a n n 流形的同调群 1 预备知识 r i e m a n n 联络d 满足 1 d 2 2 丌 s 108 2 t + 1 s 20s 2 t + l s 1p8 2 t + 2 s 208 2 t + 2 0 一z - y t 0 z 。00 - y t y t 00- - x 0 y t z 0 t = 1 ，2 ，二，7 1 1 根据e u l e r 类的定义， e ( eof )( z 2 一秒 ) ( z 2 一诟) s 1 圆8 2 t + 1 s 2 8 2 t + 1 s 1 8 2 t + 2 s 2 8 2 t + 2 = x 凯一x 2 ( n 一1 ) ( y + + 诡) + + ( 一1 ) n y 醒 = p ( e ) 一衍- 1 ( e 汩1 ( f ) + + ( 一1 ) ( f ) 由引理1 1 ( 1 ) ，eof 是平凡丛，p ( eof ) = p ( e ) p ( f ) = 1 ，即 ( 1 + p 1 ( e ) ) ( 1 + p l ( f ) + p 2 ( f ) 十+ p n ( f ) ) = 1 从而p l ( f ) = - p l ( e ) ， p i ( f ) = - p 1 ( e ) 鼽一1 ( f ) = = ( 一1 ) 汤i ( e ) = ( 一1 ) e 2 ( e ) 代入上式得 e ( e 日= ( 死+ 1 ) p ( e ) = ( 死+ 1 ) e 2 几( e ) 口 c ( 2 ，2 n + 2 ) 上的r i e m a n n 度量d s 2 = ( u 尹) 2 ，其体积元是 1 口 d y e ( 2 加+ 2 ) = u 澍u r 2 遁计2 典范矢丛e a ( 2 ，2 n + 2 ) 的e u l e r 类 e ( 驴去薯小 7 g r a s s m a n n 流形的同调群 计算可得e 2 n ( e ) = 篙骋咖g ( 2 , 2 n + 2 ) 由代数拓扑知识 1 预备知识 ( g ( 2 ，2 n + 2 ) ) = h g ( g ( 2 ，2 n + 2 ) ) = r q 是偶数且g 2 n r r q 2 n ， i o = ， l 0 q 是奇数， 因此a ( 2 ，2 n + 2 ) 的e u l e r - p o i n c a r e 示性数是x ( a ( 2 ，2 n + 2 ) ) = 2 n + 2 1 如n o 凯( e ) = 2 ，y ( g ( 2 ，2 叶2 ) ) = 下2 ( 2 7 1 矿- ) 2 n ， 上式中v ( a ( 2 ，2 n + 2 ) ) 是g r a s s m a n n 流形a ( 2 ，2 n + 2 ) 的体积 一般地有 引理1 3 厶( 2 ) e n - 2 ( 证：上面证明了是偶 耻2 ，y ( g ( 2 ，) ) = 踹 数的情形；n = 2 n + 3 时，a ( 2 ，2 n + 3 ) 的 偶数维同调群是1 维的，而奇数维同调群是平凡的，证明是类似的对于典 范矢丛e _ a ( 2 ，2 n + 3 ) ，可以证明e ( t g ( 2 ，2 n + 3 ) ) = + 1 ) e 2 n + l ( e ) ， 类似得到 k 2 几十3 ) 砂+ 1 ( e ) = 2 ，y ( g ( 2 ，2 佗+ 3 ) ) = 丽2 ( 2 7 r ) 2 n + i 这一方法可用于其它g r a s s m a n n 流形的讨论 8 口 g r a s s m a n n 流形的同调群 5 26 ( 2 ，n ) 的同调群 2g ( 2 ，n ) 的同调群 下面证明g r a s s m a n n 流形a ( 2 ，n ) 的上同调日+ ( g ( 2 ，2 n + 2 ) ) 由典 范矢丛e a ( 2 ，2 n + 2 ) 与f _ a ( 2 ，2 n + 2 ) 的e u l e r 类生成，而下同 调r e ( a ( 2 ，2 n + 2 ) ) 可以由a ( 2 ，2 n + 2 ) 的子流形生成 如前设e 1 ，e 2 几+ 2 是欧氏空间r 2 n + 2 上的幺正标架场，e l a e 2 局部生 成g ( 2 ，2 几+ 2 ) ，e l ，e 2 是矢丛e _ a ( 2 ，2 n + 2 ) 的幺正截面，e 3 ，e 2 n 2 是矢丛f _ a ( 2 ，2 n + 2 ) 的幺正截面沿用上面的记号，矢丛e ，f 的e u l e r 类分别是 12 n + 2 e ( e ) 2 去a = 3 u f 八u 芳， e ( 聊2 赤( 罗。a 3 r 2 n + 2 w q0 3 屹i l 堍州u 设百1 ，而n + 2 为冗2 n + 2 上取定的一组幺正基，记a ( 2 ，k + 2 ) 为子 空间r 奄+ 2 = u r 2 n + 2iu 上靠+ 3 ，而n + 2 ) 上的定向g r a s s m a n n 流 形，a ( 2 ，尼+ 2 ) 是a ( 2 ，2 n + 2 ) 的2 尼维子流形同样，记a ( 1 ，2 n + 1 ) = 百1a ui 钐s 凯+ 1 ) ，它是a ( 2 ，2 n + 2 ) 的2 钆维子流形 性质2 1( 1 ) 当k 7 , 时，扩( e ) 生成h 2 k ( g ( 2 ，2 n + 2 ) ) ，而 h 2 k ( a ( 2 ，2 n + 2 ) ) 由 a ( 2 ，尼+ 2 ) 生成； ( 2 ) e 竹( e ) 与e ( f ) 是h 2 n ( g ( 2 ，2 n + 2 ) ) 的两个生成元，而凰n ( g ( 2 ，轨+ 2 ) ) 的生成元是 a ( 2 ，佗+ 2 ) 】与 a ( 1 ，2 n + 1 ) 】 证：( 1 ) 沿用前面的记号，包含映射i ：g ( 2 ，k + 2 ) qa ( 2 ，2 n + 2 ) 9 g r a s s m a n n 流形的同调群2a ( 2 ，n ) 的同调群 下，诱导丛i * e 是g ( 2 ，k + 2 ) 上的典范矢丛由引理1 3 ，对任意k ， k 肿) 九七( e ) = 厶( 2 , k + 2 ) e k ( i 。e ) = 2 这说明尼几时，i * e 七( e ) 与【c ( 2 ，k + 2 ) 分别是日2 七( g ( 2 ，2 n + 2 ) ) 与 h 2 k ( a ( 2 ，2 n + 2 ) ) 的生成元 ( 2 ) 包含映射i ：a ( 1 ，2 n + 1 ) qg ( 2 ，2 n + 2 ) 下，诱导丛i * f 可以 看作球面s 2 n a ( 1 ，2 n + 1 ) 上的切丛，i * e ( f ) 是切丛t g ( i ，2 n + 1 ) 的 e u l e r 类，由g a u s s - b o n n e t 公式得 厶1 2 州) 乳( f ) = 2 容易知道e n ( e ) 限制于g ( i ，2 n + 1 ) 是零形式，同理e ( f ) 限制于a ( 2 ，n + 2 ) 也是零形式，即 厶( 。，2 二+ 1 ) e n ( e ) = o ，f c ( 2 , n + 2 ) e ( f ) 兰。一 g r a s s m a n n 流形g ( 2 ，2 n + 2 ) 的2 n 维同调群是2 维的，我们证明了e n ( e ) 与e ( f ) 是日2 n ( g ( 2 ，2 n + 2 ) ) 的生成元，而 a ( 2 ，礼+ 2 ) 与 g ( 1 ，2 n + 1 ) 】 是玩扎( g ( 2 ，2 n + 2 ) ) 的生成元，且它们是对偶的 口 g r a s s m a n n 流形a ( 2 ，2 n + 3 ) 的同调群是 凰c g c 2 ，2 n + 3 ，= 日g c g c 2 ，2 佗+ 3 ) ，= 孑 三茎雾萋： 类似上面可以证明 性质2 2g r a s s m a n n 流形g ( 2 ，2 n + 3 ) 的同调群由其上的典范矢丛e 的e u l e r 类生成，即h 2 南( g ( 2 ，2 n + 3 ) ) 是由e k ( e ) 生成，而h 2 k ( a ( 2 ，2 n + g r a s s m a n n 流形的同调群 2a ( 2 ，n ) 的同调群 3 ) ) 由 c ( 2 ，七十2 ) 】生成，且也有 k 啪) 苞* e k ( e ) = 2 ，k = 1 一，2 几 这样，我们给出了a ( 2 ，n ) 的同调群的生成元由1 的讨论，p l ( e ) = e z ( e ) ，p i ( f ) = ( 一1 ) e 2 ( e ) ，因此p l ( e ) 与p i ( f ) 也是( g ( 2 ，) ) 的 生成元， f g ( 2 , 2 i + 2 ) p i ( e ) = 2 ，f c ( 2 , 2 i + 2 ) p f ( f ) = 2 ( - 1 ) - g ( 2 ，n ) 有许多子流形，下面讨论复射影空间在g r a s s m a n n 流形中的 嵌入设j 是r 2 n + 2 = c n + 1 上的典型复结构，不难证明 v a j viu $ 2 n + 1 ) 同胚于c p n ，见z h o u 1 3 设e 2 i 一1 ，e 2 = j r e 2 t 一1 是r 2 n + 2 上的一组幺正标 架场，e 1ae 2 = e laj e l 局部生成g p n 当k = 1 ，礼时，c p 七cg ( 2 ，2 k + 2 ) ca ( 2 ，2 n + 2 ) ，c p 七局部也 由e l a e 2 = e la j e l 生成，这里e 1 ，e 2 r 驰+ 2cr 2 n + 由d e 2 = j ( d e l ) 即 一u e ，+ 刍k ( 蛳2 s + l e i 0 3 2 2 s + 2 e 。，= u e l + 查 1 2 s + l e 2 ，2 一u 2 s + 2 c 2 州) 可得 u 2 = 0 ，u 5 + l = u ；5 + 2 ，u ；s + 2 = 一u ；5 + 1 ，s = 1 ，k 从d ( e 1ae 2 ) = 三kp 什1 ( e l ，2 s + 1 + 易，2 卧2 ) + u 笋+ 2 ( e 1 ，2 卧2 一易，2 卧1 ) 】可 知c p 七的诱导度量是 =2k+ds2 2 2 ( u m = f ) 2 ， 体积元是d u g p = 2 八u a aw 2 七+ ，体积是v ( c p 奄) = 垒k 丛l ，体积 的计算方法类似后面关于四元数射影空间的计算 1 1 g r a s s m a n n 流形的同调群5 2e ( 2 ，n ) 的同调群 利用u 弘+ 1 = u 爹+ ，u 外2 = 一u 笋+ 1 可知g ( 2 ，2 n + 2 ) 上典范矢丛 e 的e u l e r 类限制在c p k 上为 e ( 一要耋u s + 1 kw 1 2 刚， 不难算得( e ) l c p 七= 镶学d 卯t ，因此 厶p 。e 七( e ) = ( 一1 ) 忌 由性质2 1 ( 1 ) 可得，当k 7 1 l 时在同调群凰n ( g ( 2 ，2 n + 2 ) ) 里 c p 七 一( - 1 ，7i v ( 2 , k + 2 ) ； 当k = 钆时，由性质2 1 ( 2 ) 可以设 c p n 】= o g ( 2 ，几十2 ) 】+ 6 g ( 1 ，2 几十1 ) 】 由f e p 。e n ( e ) = ( 一1 ) n 可得a = 竿通过计算e ( f ) 在【c 户n 】上的、 作用可以求出b 易知矢丛f _ a ( 2 ，2 n + 2 ) 限制在c p 上有自然定 义的复结构，因此有( 1 ，o ) 型矢丛f c ，它的实化矢丛就是f l e e 由于 c n ( f c ) = e ( f ) ( 见m i l n o r 1 0 ) ，从下面的引理可得b = 三 引理2 3 厶p ( 乃) = 1 证明见c h e r n 2 我们证明了下面性质： 性质2 4 ( 1 ) 当七 0 ，则 e 1 ，e 1 ，e 1 k e l 生成日p 一日p n ，日p 一1 由u = ( 0 ，0 ，0 ，0 ，x 5 ，x 4 n + 4 ) 生成，这样 v ( h p n ) = 厶pd u 日p n = 厶p 。一日p 一。d v h p , , 在日p n 一日p n 一1 中，记e 1 ：z 1 百l + 4 亨z a 瓦，百1 ，勘n + 4 为群n + 4 的 自然基底， =一2 曼( d z 4 s + la d x 4 5 + 2 + d z 4 s + 3ad x 4 5 + 4 ) =一2e n ，( u 5 + 1 八u s + 2 + u 5 + 3 八u s + 4 ) 一2 w 八u ， 1 7 g r a s s m a n n 流形的同调群 5 3g ( 4 ，8 ) 的同调群 记x = ( d x 4 s 卡lad x 4 抖2 + d x 4 s + 3ad x 4 s + 4 ) ，y = d x 5a ad x 4 n + 4 ， s = l x 2 n = ( 2 n ) ! y ，则 u ，5 6 一眦4 r t “= 南匿 ( u 8 + 1 u 5 + 2 + u s + 3 u s + 4 ) 2 n 南( x 凯一2 n x 2 舻1 u 1 3 w 1 4 ) y 一南x 2 舻1 u 1 3 吁4 由u = = 基( 一z 4 卧3 如4 s + 1 + x 4 s + 4 d z 4 卧2 + x 4 s + i d x 4 卧3 一 x 4 s + 2 d x 4 件4 ) ，u = 萎( - - x 4 5 + 4 d x 4 卧1 一x 4 外3 d x 4 蚪2 + x 4 s + 2 d x 4 3 + x 4 s + l 如4 卧4 ) 得x 2 舻1 u ，, 1 3 。, 1 4 ：( 2 记一1 ) ! ( 4 室z 三) y ，代入上式得 y ( 日p n ) = 2 4 n 是旌一( 4 互n4 z 乏) + 通过极坐标替换可以算得 是啦。( ；z 三) y = 丽4 n 走啦。k 由s t o k e s 定理知座z 乏1y 可以转化为球面s 4 n 一1 体积的计算，所以 y ( 日尸几) = 2 4 n ( i 4 n 4 n + 2) 下v ( s 4 - 1 ) = 踽。口 i 一= 一l j 7 4 几 f 2 佗+ 1 11 当n = l 时，- - 驼a 计算e ( e ( 4 ，8 ) ) ，e ( f ( 4 ，8 ) ) ，p l ( e ( 4 ，8 ) ) 在日p 1 上 的作用，依次为1 ，1 ，2 ( 计算较繁，不再写出) ，因此 h p l 】= 三【g ( 4 ，5 ) + 争g q ，5 ) 】+ 【g ( 2 ，4 ) 】 以上讨论了g ( 4 ，8 ) 的4 维同调群，下面看它的8 维同调群 g r a s s - m a n n 流形6 ( 4 ，6 ) ，c ( 2 ，6 ) 可以自然的嵌入a ( 4 ，8 ) ，再定义其它子流形 设c ( 2 ，5 ) ，a ( 2 ，3 ) 分别是r s 的欧氏子空间r 5 与r 3 给出的g r a s s m a n n 1 8 g r a s s m a n n 流形的同调群5 3a ( 4 ，8 ) 的同调群 流形，a ( 2 ，5 ) a ( 2 ，3 ) 自然嵌入g ( 4 ，8 ) ；类似可以定义子流形c ( 3 ，5 ) c ( 1 ，3 ) 性质3 3g r a s s m a n n 流形g ( 4 ，8 ) 的示性类e 2 ( e ( 4 ，8 ) ) ，e 2 ( f ( 4 ，8 ) ) ， e ( e ( 4 ，8 ) ) p 1 ( e ( 4 ，8 ) ) ，e ( f ( 4 ，8 ) ) p l ( e ( 4 ，8 ) ) 在它的子流形g ( 4 ，6 ) ，a ( 2 ，6 ) ， a ( 2 ，5 ) a ( 2 ，3 ) ，g ( 3 ，5 ) a ( 1 ，3 ) 上的作用分别为 a ( 4 ，6 )a ( 2 ，6 )c ( 2 ，5 ) a ( 2 ，3 )c ( 3 ，5 ) a ( 1 ，3 ) e 2 ( e ( 4 ，8 ) ) 20o0 e 2 ( f ( 4 ，8 ) ) 0 2o 0 e ( e ( 4 ，8 ) 汩1 ( e ( 4 ，8 ) ) 004 o e ( f ( 4 ，8 ) ) p 1 ( e ( 4 ，8 ) ) 0 004 它们分别生成g ( 4 ，8 ) 的8 维上下同调群 证：沿用前面的记号对于乘积流形g ( 2 ，5 ) c ( 2 ，3 ) ，有 e ( e ( 4 ，8 ) ) i g ( 2 ，5 ) g ( 2 ，3 ) - e ( e ( 2 ，5 ) oe ( 2 ，3 ) ) = e ( e ( 2 ，5 ) ) e ( e ( 2 ，3 ) ) 同理，由p ( e ( 4 ，8 ) ) i g ( 2 ，5 ) g ( 2 ，3 ) = p ( e ( 2 ，5 ) 泗( e ( 2 ，3 ) ) 得 p l ( e ( 4 ，8 ) ) 1 c c = ，5 ) a ( 2 ，3 ) = p l ( e ( 2 ，5 ) ) + p l ( e ( 2 ，3 ) ) = p l ( e ( 2 ，5 ) ) 因此 e ( e ( 4 ，8 ) ) p l ( e ( 4 ，8 ) ) i g ( 2 ，5 ) g ( 2 ，3 ) = e 3 ( e ( 2 ，5 ) ) e ( e ( 2 ，3 ) ) 根据引理1 3 得， f a ( 2 , 5 x c ( 2 , 3 e ( e ( 4 ，8 ) ) p 1 ( e ( 4 ，8 ) ) = k 5 ) e 3 ( e ( 2 ，5 ) ) g ( 2 , 3 e ( e ( 2 ，3 ) ) = 4 容易知道e 2 ( e ( 4 ，8 ) ) f g ( 2 ，5 ) g ( 2 ，3 ) = e 2 ( f ( 4 ，8 ) ) f 占( 2 ，5 ) a ( 2 ，3 ) = 0 ，后两个积 分为零g ( 3 ，5 ) g ( 1 ，3 ) 的情况类似可证，而c ( 4 ，6 ) ，c ( 2 ，6 ) 号眭质3 1 类似 口 1 9 g r a s s m a n n 流形的同调群3a ( 4 ，8 ) 的同调群 最后讨论c ( 4 ，8 ) 的1 2 维同调群类似前面的讨论，g r a s s m a n n 流形 g ( 4 ，7 ) 与g ( 3 ，7 ) 可以自然嵌入g ( 4 ，8 ) ，下面用c l i f f o r d 代数定义g ( 4 ，8 ) 的另一个1 2 维子流形 c l i f f o r d 代数c 2 8 可以由欧氏空间冗8 的一组幺正基e 1 ，e 8 生成， c l i f f o r d 乘法“”由e b e c + e c e b 罕一2 5 b c 决定外代数八m ( r 8 ) 与 g r a s s m a n n 流形g ( m ，8 ) 都可以嵌入到c l s ，在上面的记号下，g ( 4 ，8 ) 局 部可由e 1 e 2 e 3 e 4 表示关于c l i f f o r d 代数的详细内容见【5 】，i s ， 1 4 ， 1 5 】 定义a = r e ( e 1 + 雁2 ) ( 西+ 、二碣) ( 1 + e l e 3 e s e 7 ，这里 百1 ， ，两是一组取定的幺正基，关于它的性质与运用见【1 3 】定义c ( 4 ，8 ) 的子流形c a y = z g ( 4 ，8 ) cc l siz a = a ) 由于特殊正交矩 阵s o ( 8 ) 在a 上作用的不变子群跚佗7 = g s o ( s ) ig ( a ) = a ) 在 c a y 上的作用是传递的，任意z c a y 可以用$ p 旺n 7 标架e 1 ，e 8 表示 为z = e l e 2 e 3 e 4 ，此时a 可以表示为r e ( e l + 雁2 ) ( e 7 - t - 佩8 ) ( 1 + e l e 3 e 5 e 7 ) 】利用t r i a l i t y 变换可以证明c a y 与a ( 3 ，7 ) 是同胚的 引理3 4 在s p i r i t 标架下，c a y 的体积元是 d v c a y = 1 6u 遁u i u 1 8 w 2 8 8 ， 体积v ( c a y ) = v ( c ( 3 ，7 ) ) = 砺1 6 丌6 ，进一步 f g ( 3 , 7 ) e 3 ( f ( 3 ，7 ) ) = 2 证：任意z = e l e 2 e 3 e 4 c a yca ( 4 ，8 ) ，由( d x ) a = d ( e l e 2 e 3 e 4 a ) = 2 0 g r a s s m a n n 流形的同调群5 3c ( 4 ，8 ) 的同调群 0 得( 见z h o u 1 3 ) u 一u 2 + 罐一以= 0 ， d ；一u 2 一u ；+ 姐= 0 ， u + 遁一u ；一川= 0 ， u + 遥+ 罐+ 蝴= 0 d ( e le 2 e 3 e 4 ) = u ( 且5 + e 4 8 ) + u ( e 1 6 + e 4 7 ) + u ；( 局7 一e 4 6 ) + u ( 毋8 一e 4 5 ) + u l ( 易5 + e 4 7 ) + u 2 ( 易6 一e 4 a ) + u ；( 易7 一e 4 5 ) + u 2 ( 易8 + e 4 6 ) + u ；( 岛5 + e 4 6 ) + u 2 ( 马6 一且5 ) + 嵋( e 3 7 + e 4 8 ) + 罐( e s 8 一目7 ) ， 整理可得c a y 的诱导度量 d s 2 = ( u + u ；) 2 + ( u + 胡) 2 + ( u 三+ u 3 ) 2 + ( u i 一山2 ) 2 + ( u 2 + u ；) 2 + ( u + u i ) 2 + ( u 一堪) 2 + ( u i u ；) 2 + ( u 一u 2 ) 2 + ( u + 以) 2 + ( u 2 一u ；) 2 ， 体积元d v c a y = 1 6 5 , 。5 , 。5 u 遁u ； 类似引理1 2 ，利用示性类的分离原理可证e ( t g ( 3 ，7 ) ) = 3 e 3 ( f ( 3 ，7 ) ) = 嚣5 6 d v g ( 3 ，7 ) ，由g a u s s b o n n e t 公式f c ( 3 ，7 ) e ( t g ( 3 ，7 ) ) = x ( g ( 3 ，7 ) ) = 6 得 g ( 3 , 7 ) e 3 ( f ( 3 ，7 ) ) = 2 ，v ( g ( 3 ，7 ) ) = 石1 6 7 r 6 c a y 与g ( 3 ，7 ) 也是等距同构的( 见陈静文【1 9 ) ，因此v ( c a y ) = 石1 6 ，_ 6 口 性质3 56 ( 4 ，8 ) 的示性类e 3 ( e ( 4 ，8 ) ) ，e 3 ( f ( 4 ，8 ) ) ，p 3 ( e ( 4 ，8 ) ) 在子 流形c ( 4 ，7 ) ，g ( 3 ，7 ) ，c a y 上的作用分别为 g ( 4 ，7 )g (