《微分方程的建立》PPT课件.ppt

第2章控制系统的数学模型,本章的主要内容,控制系统的微分方程-建立和求解控制系统的传递函数控制系统的结构图-等效变换控制系统的信号流图-梅逊公式脉冲响应函数各种数学模型的相互转换,2、数学模型,1）定义：描述系统的输入、输出变量以及系统内部各个变量之间关系的数学表达式就称为控制系统的数学模型。,数学模型,1、模型,可以用来表现事物某些特性的替代物。,具体模型,抽象模型,2）要求：a.能反映所要表达问题的主要特性；b.要满足研究的精度要求；c.数学处理要简化。,3、建立方法,分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从而建立数学模型适用于简单的系统。,a、分析计算法,工程实验法是利用系统的输入-输出信号来建立数学模型的方法。通常在对系统一无所知的情况下，采用这种建模方法。,b、工程实验法,但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒，可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系统的数学模型。实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化，但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变得不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂。一般应在精度许可的前提下，尽量简化其数学模型。本章只讨论分析计算法建立系统的数学模型。,三种数学模型之间的关系,4、数学模型的表示形式（经典控制理论中最常用的）,b传递函数,c频率特性,a微分方程,拉氏变换,傅里叶变换,线性系统,同一个系统，可以选用不同的数学模型，如研究时域响应时可以用传递函数，研究频域响应时则要用频率特性。,2.1控制系统微分方程的建立,微分方程,微分方程是对控制系统输入输出的描述，是控制系统最基本的数学模型。,1、建立系统微分方程的原则,1）进行合理的假设与简化。2）能代表所研究系统的主要特性，满足精度要求。,2、建立系统微分方程的步骤,1）分析系统的工作原理，结构组成，找出相关变量，确定系统的输入输出量。2）建立相关变量间的函数关系。3）消去中间变量，得到仅含输入量和输出量的微分方程。4）将方程整理为规范形式。,2.1.1机械系统,机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力学定律。机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移）和转动（相应的位移称为角位移）两种。,（是质量m的加速度为）,【例2.1.1】机械平动系统如图所示，列写机械运动系统在外力F(t)作用下，位移x(t)的微分方程式。,解：,根据牛顿第二定律,（是弹簧的弹性系数),（是阻尼器的粘性摩擦系数),【例2.1.2】机械转动系统如图，列写外力矩M作用下系统角位移的微分方程,解：,根据机械转动系统的牛顿定律,（是阻尼器的阻力力矩),作用与系统的力矩之和,（是惯性负载的转动惯量),（是阻尼器的粘性摩擦系数),2.1.2电系统,电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算放大器等元件组成的电路，又称电气网络。仅由电阻、电感、电容(无源器件)组成的电气网络称为无源网络。如果电气网络中包含运算放大器(有源器件)，就称为有源网络。,解：,根据基尔霍夫定律,在这里，令,【例2.1.3】列写图示RLC电路在输入下的微分方程。,回路1：,【例2.1.4】列写图示双回路的RC电路在输入下的微分方程。,解：根据基尔霍夫定律,回路2：,（1）,（2）,则：,在这里，令,比较上面两个例子可见，虽然它们为两种不同的物理系统，但它们的数学模型的形式却是相同的，我们把具有相同数学模型的不同物理系统称为相似系统。,RLC串联电路：,弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统：,作用利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。,相似系统和相似量,2.1.3机电系统,直流电动机的工作原理,直流电动机的工作原理动画,【例2.1.5】图示为一他激式直流电动机,试列写以电枢电压为输入、以电动机输出轴角速度为输出变量时系统的微分方程。,解：,当电枢两端加上电压后，产生电枢电流，电压平衡方程为：,电阻电压：,（是电枢电阻),电感电压：,（是电枢电感),电枢反电动势：,（是电动势常数),与角速度成正比,机电转速方程为：,电动机的电磁转矩：,（是电磁转矩常数）,与电枢电流成正比,机械动力学方程为：,（是转动惯量，是总负载力矩),电动机的动力学：,由上述(1)、（2）和（3）消去三个中间变量：,通常电枢电感较小，故电磁时间常常数可以忽略不计，则,如果取电动机的转角作为输出，电枢电压为，考虑到，则,电磁时间常数：,机电时间常数：,电压传递系数：,转距传递系数：,这里定义：,则有：,12/5/2019,22,这是一个线性定常二阶微分方程(两个输入)。从数学的角度可以分别考虑单独输入的影响。如当mc=0时，方程为,该方程称为空载模型。若再假设电枢电感很小，则,这是一个一阶微分方程。若Ra和J都可忽略，则Tm=0,于是,说明电机转速与电枢电压成正比，当不考虑电枢电阻和电感时，电枢电压将与反电势表达式相同。这时反电势表达式就是测速发电机的方程。,微分方程的增量化表示,上式中若电机处于平衡状态，各变量的各阶导数为零，则,这表示电机处于平衡状态下输入量和输出量之间的关系，称为静态模型。,当mc=常数时，称为控制特性，反映了电枢电压由ua1变到ua2后，经过一段时间，转速将从w1变到w2。,若用ua0、mc0和w0表示平衡状态下ua、mc和w的数值,则(a)式写为,当ua=常数时，称为机械特性，反映了负载与转速之间的关系。,令,代入,考虑到,可得,设mc=常数，即Dmc=0，则,设ua=常数，即Dua=0，则,此式称为增量化方程,【例2.1.6】：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。,解：该系统的输出量是，输入量是，扰动量是,速度控制系统方块图：,各环节微分方程：,运放：,式中，为比例系数；为时间常数。,运放：,由于和均用相同阻值的输入电阻送入运算放大器I,故是与偏差成正比的电压，比例系数是运放的放大倍数。,功率放大：,式中，为放大系数；,电动机环节：,消去中间变量，得：,反馈环节：,显然，转速既与输入量有关，也与干扰有关。,这里：，,若和都是变化的，则对于线性系统应用叠加原理分别讨论两种输入作用引起的转速变化，然后相加。,增量式分析(上式等号两端取增量)：,对于恒值调速系统，=常量，则。转速的变化仅由负载干扰引起。增量表达式如下：,对于随动系统，则=常数，故：,根据上式可以讨论输出转速跟随给定输入电压的变化情况。,1、信号传送的单向性：信号由前一个装置传送到后一个装置，前一个装置的输出即为后一个装置的输入，一级一级地传送，这表明控制系统中信号传送具有单向性。只有反馈信号从系统的输出端回送到输入端。,2、负载效应：前后两装置连接时，应考虑后级的负载效应，因为它将引起前级微分方程的改变。若负载效应很小或两级之间接有隔离放大器，则可不考虑负载的影响。,编写控制系统微分方程时的注意事项,研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况。方法有经典法，拉氏变换法和数字求解。在自动系统理论中主要使用拉氏变换法。,拉氏变换求微分方程解的步骤：对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代数方程。求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。,线性方程的求解,【例2.1.7】求【例2.1.6】速度控制系统微分方程的解。假设没有负载干扰，并且各项初值均为零。,对上式各项进行拉氏变换，得：,即：,当输入已知时，求上式的拉氏反变换，即可求得输出的时域解。,在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。,非线性系统：如果不能应用叠加原理，则系统是非线性的。,非线性元件（环节）微分方程的线性化,若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒