（基础数学专业论文）两类非线性发展方程的吸引子和维数估计.pdf

重庆大学硕士学位论文 中文摘要 摘要 在本文中，笔者对无穷维动力系统的发展历史进行了回顾，对这一热门领域 近十年的研究现状进行了综述。在此基础上，考虑了如下两个问题。 ( 1 ) 高维空间中一类模式演化方程的全局吸引子及其维数估计 ( 最) 鲁+ l + 触+ 弦吲沪o ，f o ，工q c 彤 ，o ) = ( x ) r ( 囝，( x ，) i 。= o ，鲁( x ，f ) i 。= o 本文将文献【1 9 仲讨论的情形：区域q c r 2 ，g ) = 矿+ p u 2 一驴+ 1 如，推广 到更一般的情况。借助插值不等式以及s o b o l e v 嵌入定理，以及一系列精细的估 计，证明了) 的全局吸引子存在。进一步，应用s o b o l e v - l i e b t h i r r i n g 不等式进 行估计，可以得到维数不超过三维的空间中全局吸引子的分形维数的界。 ( 2 ) 考虑无界区域彤上p - l a p l a c e 的初值问题 ( 功卜喜如n 刮叫p - 2 u + k u = g ， 【u ( o , x ) = ( x ) ， ( t ，x ) e 足x r 4 工r 4 根据单调算子和o a t e a u x 微分的知识，借助王碧祥1 1 刁中使用的方法，利用能 量估计，得到解算子半群的渐进紧性，最终证明全局吸引子存在。 关键词：模式演化方程，全局吸引子，分形维数，无界区域，p - l a p l a c e 方程，渐 近紧 重庆大学硕士学位论文 英文摘要 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w er e v i e wt h ew o r ki ni n f i n i t ed i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m sd u r i n g p a s ty e a r sa n dg i v ea l lo v e r v i e wo ft h i s a c t i v ef i e l du pt on o w , b a s e do nc u r r e n t k n o w l e d g e , w em a i n l yd i s c u s s e d t w op r o b l e m sa sf o l l o w s ( 1 ) w ec o n s i d e rt h eg l o b a la t t r a c t o r sf o rt h ef o l l o w i n gp a t t e r nf o r m a t i o ne q u a t i o n s i 芸；+ 幽+ 础+ y u + g ( “) ；o f o ，善q c r 。 最 u 夙( x ，o ) ：( 力r ( 回，u ( x ，) | 。- - 0 , 詈。，圳。：。 i ，o ) = ( 力r ( 回，) l 。 詈o ，f ) l 。= o i n p a p e r 【1 9 】，t h e a u t h o r d e a l s w i t h t h ec a s eq c r 2 ，g ( “) = “3 + p u 2 一( ，+ 1 ) “w e n o w g e n e r a l i z et h en o n l i n e a r i t yt oal a r g e rc a t e g o r ya n d c a ng e tt h ec o n c l u s i o nt h a tt h e g l o b a l a t t r a c t o re x i s t sa f t e ras e r i e ss o p h i s t i c a t e de s l i 嵋t 岛b yt h em e a n so f i n t e r p o l a t i o ni n e q u i t ya n de m b e d d i n gt h e o r e m si ns o b o l e vs p a c e s f u r t h e r m o r e , b y u s i n gs o b o l e v - l i e b - t h i r r i n gi n e q m 劬t h ed i m e n s i o n a le s t i m a t eo ft h eg l o b a la t t r a c t o r i so b t a i n e di nt h ec a s o 栉i sl e s st h a nt h r e e ( 2 ) w ec o n s i d e rt h e e x i s t e n c eo fg i o b a la t t r a c t o rf o rp - l a p l a c ee q u a t i o ni n 化) - 一，喜毒( k r ) + a k l ”2 u + 枷2 9 ( x ) ( ) 置f 【甜( o ，工) ：( x ) 膳彤 a c c o r d i n gt ot h em e t h o du s e db yw a n g t 协，t h et h e o r yo fm o n o t o n eo p e r a t o ra n d g a t e a u xd i f f a r e n t i a b l ef u n c t i o n a la n das e r i e so fp r i o re s t i m a t e s , w ep r o v et h a tt h e s e m i g r o u p sw e r ea s y m p t o t i c a l l yc o m p a c ta n d t h eg l o b a la t t r a c t o re x i s t s k e yw o r d s ：p a t t e r nf o r m a t i o ne q u a t i o n ，g l o b a l a t t r a g t o r s ，f r a c t a ld i m e n s i o n u n b o u n d e dd o m a i n ，p l a p l a c ee q u a t i o n ，a s y m p t o t i c a l l yc o m p a c t 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标沣和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也一i 包含为获得重庆太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：侬列仉签字日期：1 年月佑口 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解重麽太堂有关保留、使用学位论义的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。本人授权重迭盔堂可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行榆索，可以采用影印、缩印或扫描等复制_ 段 保存、汇编学位论文。 保密() ，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密( v ) 。 ( 请只在上述一个括号内打“”) 学位论文作者签名：讹列布 签宁日期：s 年9 月加口 导师签名：鹅君辛 签字同期：) r 。0 7 年6a i ，2 ，日 重庆大学硕士学位论文1 引言 1 引言 1 1 动力系统背景及历史发展 偏微分方程理论有很长的历史，涉及物理，化学，生物，医学以及经济和社 会多个领域，许多事物的动态变化规律都可以用微分方程描述。直到十九世纪末， 数学家们才意识到很多非线性微分方程都没有显示解，法国大数学家庞加莱从 1 8 8 0 年到1 9 1 0 年来，逐渐把研究重心从对寻找显示解转移到微分方程的定性理论 研究，这里所说的微分方程的定性理论是指不通过微分方程的显式解而直接研究 解的几何和拓扑性质，b i r k h o f f 延续了庞加莱的工作，发现了很多不同类型的极限 行为，他在2 0 世纪早期关于拓扑动力系统的公理化为动力系统这一学科建立了大 范围的理论框架。 在2 0 世纪前半叶，很多数学家如l y a p u n o v , b e n d i x o n , b o g o l i u b o v , k r y l o v 等人 都对非线性微分方程进行了研究，包括平衡点，周期轨道，稳定性等。在上世纪 6 0 年代，s m a l e 重新使用拓扑和几何的方法研究微分方程的性质，他于1 9 6 7 年发 表在美国数学会通报上的综述性文章( d i f f e r e n t i a ld y n a m i c a ls y s t e m s 一般被认为 是微分动力系统作为- - f 学科的开始。经过s m a l e 及其以后许多数学家的努力， 微分动力系统这一领域已经取得大量激动人心的成果! 自从庞加莱在十九世纪末开始对偏微分方程进行定性研究以来，动力系统的 理论在对很多重要物理模型的理解上发挥了重要作用，它是2 0 世纪最富有成就的 一个数学分支，也是非线性科学的一个重要组成部分，在不少领域中有重要的应 用。动力系统不仅是非线性科学的研究对象，而且是研究非线性复杂性的有力工 具，其理论与方法早已广泛渗透于许多重要领域和众多学科。目前大致可以分为 拓扑动力系统，微分动力系统，无穷维动力系统等。有穷维动力系统经过一百多 年的发展已经比较成熟，产生了大量精彩的结果，然而把有穷维的思想和处理手 段用于无穷维动力系统确是最近2 0 多年的事。人们发现无穷维动力系统的研究内 容十分丰富并且十分广泛，它和许多学科如流体力学，分形理论，非线性泛函分 析，拓扑学，几何测度论，计算数学等紧密相连，各种研究方法【1 】阱】和结果不断涌 现。 动力系统研究的是大时间状态，具体讲即是讨论t _ 一时，带初值的方程的解 的最终状态。和线性系统不同，非线性系统的发展遵循异常复杂的规律，通常是 不能通过直接计算获得的。对于一个初始状态给的动力系统而言，很难预测它将 朝什么方向发展。但是如果我们只关心系统的极限行为，即t j0 0 时的情形，问题 的复杂性就会大大降低，但是仍然具有重要的意义，因为它可以描述和预测实际 重庆大学硕士学位论文 1 引言 问题最终的走向和状态。在无穷维动力系统的研究中，全局吸引子是一个关键的 概念。因为系统的运动最终会成为趋向吸引子的运动。虽然我们无法判断每个轨 道的具体运动情况，但是从宏观的一个大尺度下可以知道它们都将被吸引到吸引 子中。而在有些系统中可以证明吸引子还是有穷维的，其渐近行为实际上是由有 限个自由度决定的。但是吸引子的具体刻划仍然值得研究，因为它可能是一个分 形集，从而使其上的动力系统非常复杂，并伴随有混沌现象的产生。无穷维动力 系统的研究主要包括以下几个方面的内容：微分方程解的存在唯一性，解对初值 的连续依赖性，吸收集的存在性，紧吸引子的存在性，吸引子的维数估计( 包括分 形维数和h a u s d o r f f 维数) 以及惯性流形( l i p s e h i t z 流形) 和近似惯性流形的存在性等 相关问题。 1 2 动力系统研究现状综述 国内外许多数学家、物理学家都对动力系统的研究和发展做了很大贡献，如 s m a l e 在吸引子方面的工作；r u e l l e 对力学的研究；m a n d e l b r o t 等对分形集的研究； t a k e n s 对湍流的研究；k o l m o g o r o v - a m o l d - m o s e r 对混沌与不可积h a m i l t o n 系统的 研究( a pk a m 理论) ；以及t o m a t o 、a 鲈l o n 、c a f f a r e l l i 、n i r e n b e r g 等等，国内主要 有廖山涛，郭柏灵等。 由于不同偏微分方程都有其自己的特殊性，从而由发展偏微分方程产生的动 力系统也呈现出不同的特征。来源于实际背景的微分方程，一直以来是人们研究 的重点对象。在对化学反应和火焰燃烧现象，特别是贝纳尔对流等一系列实际问 题的研究中都涉及到模式演化方程，有时也称为斑图构成方程( p a t t e r nf o r m a t i o n e q u a t i o n ) 。所谓的贝纳尔对流，就是在一水平容器中放一薄层液体，从底部徐徐 均匀地加热，开始液体没有任何宏观的运动，当上下温差达到一定的程度，液体 中突然出现规则的六边形对流图案，每个小六角形中心较暗处液块向上浮，边缘 较暗处液块向下沉，在二者之问较明亮的环状区域里液块作水平运动。当上下温 差加大时，为什么对流不积微渐著，而是突然从无到有产生? 下层液块较热，因 膨胀而密度减小，所受浮力大于重力而上升；上层液块较冷，因收缩而密度增大， 所受重力大于浮力而下沉。这就是有上下温差形成对流的机理。然而，也存在着 抑止对流的因素，那就是液体的黏性性和热扩散，前者阻碍液块的流动，后者使 冷热均匀化。再者，均匀加热使处在同一水平上的液块温度和密度相同，但要产 生对流，同一水平上的液块就得有地方上升，有地方下沉。这里需要总体上的协 调，对流难于从局部启动。总之，贝尔纳对流是一种通过对称性自发破缺而产生 的自组织行为。在各种因素的竞争中，这种现象往往在一定的临界点上突发地出 现。在1 9 7 7 年，s w i f t 和h o h e n b e r g 引入它们著名的方程 2 重庆大学硕士学位论文1 引言 丝：印一伊+ 2 a 伊- 舰 西 描述发生相图跃迁的模型，包括有热噪音影响的贝纳尔对流。其中饱和的非线性 项选为：n l = 矿。矿表示长程有序参数，它给出状态的水平结构，代表对流涡旋。 由于它的物理背景，不少人【幡墙1 做过这方面的研究。此外因为它含有关于空间变 量的四阶微分算子，还具有重要的理论价值。对这方面的研究，也有不少结果如 文献 1 9 1 1 2 0 2 3 。 考虑非线性发展方程的动力系统时，首先要考虑方程的适定性。由于方程非 线性项的特殊性并没有统一的办法，必须具体的方程具体进行考虑。常见的处理 方法【1 5 1 1 2 5 】【2 6 1 包括：紧致方法，单调方法，不动点方法、变分方法、拓扑度理论、 上下解方法。证明解存在的主要思想是；( 1 ) 选择泛函空间，( 2 ) 选择近似方法， 即构造近似解，这一般是通过f a e d o - g a l e r k i n 方法构造，根据常微分方程组解的存 在定理得到( 3 ) 取空间维数趋于无穷大时的极限。这是需要克服一个基本困难： 非线性算子一般不是弱连续的。可以通过一些紧致性定理或者算子本身的特殊性 质如单调性解决。求解问题的基本步骤为：推导先验估计，利用这些估计。此外 如何控制非线性项的增长，限制其增长的临界指标，除了对于前面提到的方程适 定性有影响外，对吸引子的存在性也很重要。 不少文献都给出了不同形式的增长条件：如1 9 9 9 年，王碧祥1 2 1 研究如下单个 反应扩散方程的整体吸引子的存在性 o t u = y a u 一厂( ”) 一g 一a 材 文中没有对泛函空间作限制，但它对非线性项有特殊要求： f ( u ) u 0 ，( 0 ) = 0 厂( 甜) c ，i 厂( 甜) l c ( 1 + k i ，) s t a k e u c h ia n dt y o k o t a 【2 t 研究有界区域上p l a p l a c e 方程 q = 怂= f ( u ) ( x , t ) e f l x r + u ( x ，f ) = 0( 工，r ) a q x 口 非线性项给出的条件是，( o ) = 0 ，并且满足： ( 咖 ，并且臂舌鼯 q - 。g c l 函数，且 满足如下条件： q + 吃b i p “茎g ( ) “q + 6 i “j 。口+ 1 ，g ( “) 2 向， c l ，c 2 ，q ，南均为正的常数，p l + 昙。这些条件显然比【1 9 】中讨论的 g ( “) = 矿+ 缸2 一( ，+ 1 来得广泛。例如当雄= 2 时，首项系数为正的奇数次多项式 就满足上述对g 的要求( 2 2 卜( 2 3 ) 。特别地，可将【1 9 】中讨论的情形推广到三维的 情形，对非线性项的各种先验估计证明了该方程的适定性成立。借助插值不等式 以及s o b o l e v 嵌入定理，又进行一系列精细的估计，最终根据一个经典的结果，证 明了系统的全局吸引子存在。进一步，应用s o b o l e v - l i e b - t h i r r i n g 不等式进行估计， 可以得到维数不超过三维的空间中全局吸引子的分形维数的界。 ( 2 ) 考虑无界区域彤上如下p l a p l a c e 方程的初值问题 ( p )卜，喜毒( 圹) 刊甜p - 2 z + 删_ g ( 巩( ，小足删 【”( o ，x ) = ( 工) ， 艇f 其中p 2 ，五，x o ，g l q ( r 4 ) ，g o 是p 的共轭指标 根据单调算子和q i 土c a _ 呱微分的知识，借助王碧祥【1 2 】使用的方法，利用能量 估计，得到解算予半群的渐进紧性，最终证明全局吸引子存在。 6 重庆大学硕士学位论文 2 预备知识 2 预备知识 2 1 泛函的准备知识 定理2 1 ( e b e r l e i n - s m u l j a n ) 假设石是自反的的b a n a c h 空间，且 在x 中有界， 则： 力存在 ) 的子列 吒) ，使得： 与石i nx 刃如果饥) 的所有子序列都弱收敛到同一个极限x ，则有： j b 并nx 定理2 2 在b + 空间石中，毛与而，则 1 ) 矗 在石中有界，即，存在常数c 使得，v 疗e ，i i x 1 l ，s c 2 ) l 陋k 0 。 注：在自反的b 的空间中，集合的弱列紧性与有界性是等价的。在b 空间上的范 数是弱下半连续的。 定义2 1 设x ，y 都是b 空间，如果算子k ：工一y 满足：对于任何x 中的有界集 矽，其象的闭包在】，中是紧的。那么k 是紧算子。 定 2 3 ( h i l b e r t - s c h m i d t 定理) 令一是作用在无穷维h i l b e r t 空问胃上的线性对称 的紧算子，则a 的所有特征值名，都是实的，并且排序后满足： ( i ) i 无“l k i ，还有熙乃斗o 。 ( i i ) 可以选出特征向量m ，构成胄( 爿) 的规范正交基，彳在任意“日上的作用为； 4 ”= 乃( 甜，哆) q j 1 1 注：如果爿还是可逆的，满足上面定理的条件，则存在胃的一组基，完全由a 的 特征向量给出。 定义2 2h i l b e r t 空问h 中的无界线性算子( 4 ，d ( 4 ) ) 是对称的是指： ( a x ，y ) = “砂) ，坛，y n ( a ) 下面给出h i l b e r t 空间中关于无界对称算子的一个定理。 定理2 4 如果无界对称算子彳的值域是全空间日，4 的逆有定义，则爿_ 1 是有界 对称的。 定理2 5 令彳是无穷维h i l b e r t 空间上的对称线性算子，其值域是全空间，若彳 7 重庆大学硕士学位论文2 预备知识 的逆有定义而且是紧的，那么a 的特征值 是实数，并且组成一个无穷集，对应 的特征函数为q ，a r o = 五噱。特征值排序后满足i 厶“i - f 无l ，而且熙五_ m 。 我们还可以选出特征向量q 构成r ( 4 ) 的规范正交基，彳在任意纵! 日上的作用 为：彳材= t ( “，q ) q 注：如果彳还是正算子，即_ 满足：( a u ，甜) 2 刮“n 对某个七 o 。那么彳的所 有特征值乃都是正的，熙乃专m ，当，寸m 根据上面定理给出的爿在“上的 作用形式，我们还可以定义4 的分数次幂彳= 乃4 ( “，q ) 哆。在日中的定 义域为：。( ) = 甜：甜= 艺j = l 。q ，艺j = l h f 以缸 。 。可以使。( ) 也成为一个 lj h i l b e r t 空间，通过定义内积：( 甜，v ) d ( ，) = ( 4 4 “，爿4 v ) ，相应的范数为： 妒) 2 ( 彳) 定理2 6 如果d ( ) ，那么i i a u _ l l a u 旷1 m 。u a 旷。肛川，对于所有的 o ， j i 成立。 详细证明见文献 2 】 2 7 】 2 8 】等。 2 2 非线性泛函的预备知识： 定义2 3 ( f r e c h e t 微分) 设巨和易是b a n a e h 空间，d 是置中某开集，a ：d 一易， 而e d 若弛上( 置，易) ( 三( 与，垦) 是所有映置到易的有界线性算子的全体构 成的b a n a c h 空间) ，使得在点x o 附近有彳( + 厅) 一如= b h + r o ( x o ，h ) ，其中 嘶纠_ d ( 忙d 棚船掣一o ，燃算子彳在点而处一碱删 做彳在点而处对于j i 的f t 。c h e t 微分，记为d 一( 而) ；算子口叫做彳在点而的 f r e c h e t 导算子，记为a ( 而) 。于是有： 8 重庆大学硕士学位论文 2 预备知识 4 ( 而+ | j 1 ) 一4 而= 彳( x o ) h + w ( x o ，h ) 靴( 枷牌鼹睑气等剑一o ，叫如明纠( 枷。 研究非线性算子4 的某些问题可以转化为研究线性算子( 而) 的相应问题， 这也反映了线性化的方法。很明显，f r e c h e t 微分概念对算子的要求是比较强的， 在讨论算子( 尤其是泛函) 的某些问题时，可将条件减弱。 定义2 4 ( g a t e a u x 微分) 设置和易是b a n a c h 空间，d 是置中开集，彳：d 专易， 而d 。若对任何 置，极限姆兰鱼学都存在( 是易中元素) ，则称4 在点而处g a t e a u x 可微，极限叫做a 在点而处( 沿方向h ) 的g a t e a u x 微分，记 为d 一( ) ，即d 4 ( 粕) j 1 = 姆兰鱼止孚! 二鱼。如果g a 晚峨微分可以表 为d a ( x o ) h = b h ，这里占三( 蜀，最) ，则称爿在点知处有有界线性的g a t e a u x 微分，b 叫做a 在点而处的g a t e a u x 导算子，记为( 而) ，即 d 4 ( ) = ( x o ) h 。 g a t e a u x 微分和g a t e a u x 导算子概念是函数的方向导数概念的推广。 定理2 7 设彳：d 一易，d 是局中某开集，而d ，那么 ( i ) 若爿在点而处f r e c h e t 可微，则a 在点而处必具有有界线性的g a t e a u x 微分， 并且d 一( ) 厅 = d 爿( 而) ，即一在点而处的g a t e a 腿导算予和f t e c h e t 导算子 相等，都以a 7 ( ) 表示。 ( i i ) 如果a 在点而的某领域内具有有界线性的g a t e a u x 微分，并且g a t e a u x 导算 子( 而) 在点x = 而处连续，则a 在点而处f r e c h e t 可微。 定义2 5 设e 是实b a n a c h 空间，矿是e 的共轭空间。设d c e ，映象t ：d 一矿， 如果满足条件： ( 致一砂，x y ) 0 ，v t y d ， 则称t 是单调算子( 映象) 。如果上式中的等号仅当x = y 时成立，则称t 是严格 单调算子( 映象) 。 定义2 6 设e 是实b a n a c h 空间，q 是e 中开集，f ：q 寸r 1 是q 上的一个泛函。 9 重庆大学硕士学位论文 2 预备知识 如果在q 中每一点，都具有有界线性的g a t e a u x 微分，h 3 f ( x ) - - ( x ) ，坛q ， 则称算子，：q _ f 为泛函厂的梯度，记为，( 石) = g 阳矽( 膏) ，这时又称泛函厂是 算子f 的位势。于是梯度算子f 满足： a m ，l - 一r ( x o + t h ) 一厂( ) = f ( x o ) h ，v e 更多相关知识参考【1 4 】。 2 3 口空间的一些性质 定义2 7 对1 p 0 0 ，定义： f c 回= 小：f l - - - ，r , 何籼炒，i v d x o o r ( q ) = l 厂：q 且，厂可测且存在正数c ，使得：i f ( x ) l c ，a , e a 对1 p ，我们定义的f ( q ) 在下面的范数下是一个b a n a c h 空间： i i ：u ： l i ( , ) i - p 一， 【蜩c i fj c 口柏 p = 慨 注：当l p 时，f ( q ) 是自反的。当l p o ，口，6 墨则l 曲i 茎三p 1 2 + 去l b l 2 2 y o 眦g 不等式：设l p ，g o ) 3 h 6 l d e r 不等式：设1 p ，g 鸭三+ 一1 ：1 ，若口( q ) ，v 口( q ) 则 j l w 陋，。焖 广义h 6 1 d e r 不等式：如果非负数a 满足= l ，q 矽( 回，则 l - 1p t 陋帅) 帅) 。 注：如果q 是一个有限测度集合，即i f 2 i o o ，1 p 1 ，存在常数c = c 伽，p ) 使得： 力如果喇4 ( q ) ，n pr f 宁：m k ，狮- n ，且q 有界，则有： c ( 孬) 且s u p i 匿c l q i ”9l i v u l l ，皿 定理2 1 2 设开集q 亡，刀 1 ，存在常数c = c ( n , k ，p ) 使得： o 如果”眩( q ) ，厅 印，p l 有：l l u l l ，“。由地s c i l 4 ，皿， ) 如果“e 眩4 ( q ) ，n t p 有：”c ( 西) 且： s u p 蚓x 声茎( 锄( 纠h i l l 脚l 堪s u p “州l 荟( 锄( k ) ) h l 堪 + ( d i a m ( 五) r 志( 七一别此u ，一 其中：k = m i p p u 。 定理2 1 3 ( r e l l i c h - k o n d r a c h o v 紧性定理) 设q 有界的区域，那么h 1 ( q ) 紧嵌 入到r ( q ) 。设q 有界，边界a q 是c “的，则日“1 ( q ) 紧嵌入到日( q ) 。 定理2 1 4 ( a g m o n s 不等式) 设q 亡r 4 ，边界是c n 的，则存在常数c 只于区域q 有关，使得： m 州础蠹缔黢：毫：篡 三；耋笔莩萋筹 定理2 1 5 ( s o b o l e v - l i e b - t h i r r i n g 不等式) 假设q 是r “中的有界开集，边界是c ” 且满足可延拓性质，i q l 表示q 的体积。如果吩，i 0 ，使得对任何有界集b c e ，有 s ( f ) 口c b o ，v t 2 t o ( b ) ， 则称风为冒中有界吸收集。 1 4 重庆大学硕士学位论文 2 预备知识 注：整体吸引子存在暗示了吸收集存在；反之，由下面性质可看出，半群若存在 吸收集，并满足其它一些条件，其吸引子也存在。 定义2 1 6 半群是耗散的是指它有一个紧的吸收集曰，即对于任意有界集xch ， 存在时间t o ( x ) ，使得s ( t ) x c b ，v t t o ( x ) 。 对于如何判定吸引子存在，我们给出如下的几个定理。 先给出两个假设： ( h i ) 算子s ( f ) 对充分大的r 是一致紧的，即任意的有界集口，存在f 0 ( 动，使得 u ，s ( t ) b 名e h 中相对紧a ( i - 1 2 ) s ( t ) = s l ( t ) + s 2 ( t ) ，其中墨( f ) 对充分大的f 一致紧，是( 力是日_ 日连续映 射且对任意有界集c c 日，( r ) = s u p 卿i 慨o ) 训。寸o ( f 寸。) 定理2 1 7 设日是度量空间，算子半群 s ( f ) ) ，。连续而且满足( h 1 ) 或( h 2 ) ，设存在 开集u 和【，中有界集曰，使得曰是u 中吸收集，则曰的国极限集a = 国( 口) 是紧 吸引子，吸收u 中的有界集，它是【厂中最大的有界吸引子。更进一步，若日是 b a n a c h 空间，u 是凸的，而且映射s ：专s ( t ) u o 对每个日中连续，则彳是 连通的。 定理2 1 8 如果半群s ( f ) 是耗散的，曰是紧吸收集，那么a = 烈b ) 是全局吸引子。 若日连通，则彳也连通。 定义2 1 7 ( 渐近紧半群捌) 对于日中任意的有界序列 ) 二，时间列一o o ， 都有 s “) ：l ，在日中相对紧。那么半群s ( 力渐近紧。 通过半群的渐近紧，也可以给出吸引子的一个存在定理。 定理2 1 9 如果半群 s ( f ) ，。在h 中有有乔吸收集，并且还是渐近紧， 那么 s ( f ) ，。在日中存在全局吸引子，它是紧不变集，吸引所有有界集。 下面的定理告诉我们，吸引子上的动力性态可以用来描述单个轨道所有可能的长 时间行为。 定理2 2 0 给定轨道“( f ) = s ( t ) u o ，占 0 a n dt 0 ，存在时间f = r ( e ，d 0 及 点v 0 么，使得：i u ( r + t ) - - s ( t ) v o 6 ，0 t r 定理2 2 1 给定解“( f ) ，存在误差列 毛 = d ，一o ，一个递增的时间列 二， “一- - 0 0 勰蚪，以及点列 ) 二，e 彳，使得： p ( f ) 一s ( ，一) i 毛 ， s f + 1 并且跃度i + - s ( t 。一h i 趋于零。 1 5 重庆大学硕士学位论文 2 预备知识 下面先给出通常维数的几种推广形式即分形维数和h a u s d o r f f 维数，这些概念在 动力系统理论中经常遇到，下面给出它们的定义瞄】3 3 1 。 定义2 1 8 如果足是紧的，工的分形维数定义为 a z ( x ) = 1 呼鬻， 极限可以取值+ m ，其中n ( x ，s ) 表示：用固定半径占的球覆盖石时，所需的最 少数目。 下面考虑h a u s d o r f f 维数，令膨是x