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曲阜师范大学硕士学位论塞 摘要 本文我们证明了满足磁c ( 蚋( m ) 0 的完备非紧的n 维黎曼流形m 的有限拓扑型定 理，共分为三节。 第一节为本文的引言部分 第二节为本文的预备知识 第三节引入了黎曼流形m 的第七个r i c c i 曲率r i c c i ( m ) 的概念，并且得出：对于 m 克，如果有r i c ( k ) ( m ) k c ，那么一定有r i q m ) ( m ) m c 还证明了：对于一个孔维 完备的非紧黎曼流形，若对任意r 0 ，令玛( 7 ) = i 1 1 f 叭b o ，) k ，其中是肼的截面曲 率，下确界取遍m b ，7 ) 中所有点的截面，则缉( r ) 0 ，并且( r ) 是关于r 的单 调函数最后，叙述并证明了黎曼流形的一个有限拓扑型定理 关键词：p d c c i 曲率，第k 个r i c c i 曲率，有限拓扑型 堕皇塑蕉盔堂塑主堂焦鲨塞 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw es h o wt h a tac o m p l e t en o n c o m p a c tn - d i m e n n i a nr i e m a n n i a nm a n i f o l dm w i t h 忌一t hr i c c ic u r v a t u r er i c ( k ) ( m ) 0h a sf i n i t et o p o l o g i c a lt y p ew i t hs o m e v o l u m ec o n d i t i o n s a n dt h e r ea r et h r e es e c t i o n si nt h i sp a p e r t h ef i r s ts e c t i o ni st h ei n t r o d u c t i o no ft h i sp a p e r t h es e c o n ds e c t i o ni st h ep r e f i m i n a r yk n o w l e d g e t h et h i r ds e c t i o nh a si n d u c e dt h ed e f i n i t i o no f 七一t hp d c c ic u r v a t u r eo fp d e m a n n i a n m a n i f o l dm a n dw eh a v et h a tf o rm 七，i fr i c ( ) ( a ，) k c ，t h e nr i c ( 。) ( ) m g w ea l s os h o wt h a ta nn - d i m e n s i o n a lc o m p l e t en o n c o m p a c tp d e m a n n i a nm a n i f o l dm ，f o r a n yr 0l e t 巧( r ) = i n f m s ，) k ，w h e r ekd e n o t e st h es e c t i o n a lc u r v a t u r eo fm ，a n d t h ei n f i m u mi st a k e no v e r a l lt h es e c t i o n sa ta l lp o i n t so nm b ，r ) w ew i l ls h o wt h a t ( ? _ ) 0a n dt h a t ( 7 ) i sam o n o t o n ef u n c t i o no fr a tl a s tw er e c i t e da n d s h o w e dt h e f i n i t et o p o l o g i c a lt y p et h e o r e mo fak i n do fr i e m a r m i a nm a n i f o l d s k e y w o r d s r i c c ic u r v a t u r e ，k - t hr i c c ic u r v a t u r e ，f i n i t et o p o l o 昏c a lt y p e u 曲阜师范大学顽士学位论文 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硬士论文有限拓扑型，是本人在导师指导下，在曲 阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果。论文中除注明部分外不 包含他人已经发表或撰写的研究成果。对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中已明确的方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担 作者答名旁垂芹日期砂罗、z 够 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 ( ( 有限拓扑型系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位期间，在导师指导下完成的硕 士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单 位的名义发表。本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权曲阜师 范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容。 作者签名：韦瑶青日期：乃伊夕矽 导师签名： 2 、q6 4 - 日期：y f 曲阜师范大学硕士学位论文 1 引言 具有非负! r i c c i 益率完备非紧的黎曼流形的研究是当前微分几何理论的热 点之一曲率性质与拓扑结构的关系问题是这一类问题中的核心问题在紧致 流形上大家喜欢探究的一类问题是拓扑球定理或者是微分球定理而在非紧的 黎曼流形上大家比较感兴趣的是有限拓扑型定理：黎曼流形的有限拓扑型定理 近年来得到了人们极大的关注两个比较经典的定理是g r o m o l i - m e y e r ，st h r o r e m 和c h e e g e r g r o m o l l ，ss o u t h r o r e m g r o m o l b m e y e r t st h r o r e m 断言具有正截面曲率 的完备开黎曼流形微分同胚于形c h e e g e r g r o m o l l ，ss o u lt h r o r e m 提出对于具有 非负截面曲率的完备开黎曼流形，它的紧致子流形s 有一条测地线，m 微分 同胚于s 的正则丛u ( s ) 因此人们非常自然的想到研究具有正曲率的完备流形 的一些性质 。 对于一个非紧的流形m ，如果m 中有一个紧致区域q 使得m q 同胚于 撒x ( 1 ，。) ，那么磁有有限拓扑型a b r e s c ha n dg r o m o l l 2 】已经证明了下面的 结论：如果对于一个完备开的黎曼流形m ，它的r i c c i 曲率满足r i c m 0 ，截面 曲率满足k m k 0 一。o ，并且它的度量球的直径增长缓慢，那么m 具有有限 拓扑型s h e n 1 6 1 ，s h a 和s h e n 1 3 已经得到了具有菲负r i c c i 溜率的流形的一些 有趣的有限拓扑型定理 2 0 0 4 年 5 jq i a o l i n gw a n g 得出了一个结果：m 是一个仃维完备的开的黎曼 流形， 励c ( 七) ( m ) 0 ，i n f z m u 。f b ( z ，f ) 口 0 ，并且满足( r ) 一赤，则存在 一个常数= ( n ，c ，七，u ) 0 使得如果 。u 型旧0 ，r ) 】， 粤翟万菇两舔两g ， 那么m 有有限拓扑型 本文在此基础上将条件改为：如果存在子列( 心) ，满足 1 t mr _ 。7 t _ + 。o ，魄娄燃，兰臻习稿藉楠s 第一节引言 1 i m i t i 十l n l 一0 1 十。 那么m 具有有限拓扑型并对此定理作出了详细的证明 在本文中，我们利用j a c o b i 场的基本指标引理以及反证法证明了这样一 个定理：m 为一n 维完备的非紧黎曼流形，如果对任意的r 0 ，令峰( r ) = i n f m b ( p ，) k ，其中k 是m 的截面曲率，并且下确界取遍m b ( p ，r ) 中所有点 的截面，那么( r ) s0 ，并且巧( r ) 是关于r 的单调函数 2 曲阜师范大学硕士学位论文 2 预备知识 这一节，我们首先介绍一些记号和熟知的结果，为我们结论的得出做一些 必要的准备 设m 为n 维完备的非紧p d e m a n n i a n 流形b ，r ) 是m 上以点p 为心、 以r 为半径的开的测地球，而s 0 ，。) 是m 上以点p 为心，以r 为半径的测地 球面d ，z ) 表示从p 点出发的距离函数以下列出本文引用的一些结果 定义2 1 6 】设如果沿，y 的向量场y 满足 v ，v20 ， 则称v 是沿，y 平行的特别，若7 的切向量7 7 沿7 是平行的，即 v ，7 = 0 ， 则曲线7 为m 上的测地线测地线的微分方程为 型d r 2 + 坞譬芸= o 叼出d 亡 ” 设7 是测地线，则 7 ( 7 7 ，7 7 ) = 2 ( v 7 , - y 7 ，y 7 ) ：0 2 0 u 71 7 ，7 ) = ，y ) = 故，y 的切向量，y 7 的长度 f f7 i t = ( 7 ，7 ) = c d 扎5 t ， 即沿，y 为常数引入7 的弧长 s ( o ) = jj7 j jd t ， ， 则有 s ( o ) = l l7 7 + c o n s t 3 第二节预备知识 引理2 2 6 j对任一点p o m ，存在p o 的一个邻域u 和一个正数 0 ， 使得对于每个p u 和每个向量u 弓( m ) ，1 1 可1 1 o ，使得 俐内任何两点可用在u 中长度小于的一条测地线相连接； 俐这条测地线光滑的依赖于这两个点，即若t _ 唧。( 加) ( 0 ts1 ) 为连 接q l 和q 2 的测地线，贝目( q l ，t ，) 7 m 可微地依赖于( q z ，匏) ? 以妙对每个q m ，指数函数e x p 。把毛( m ) 上的开e 一球： 札( g ) = u 正( m ) j | ) 微分同胚地映到m 的一个开集( ) w ) 上 引理2 8 设p o 为黎曼流形m 上任意一点，j 1 1 】存在p o 的一个邻域w 和整 数，使得对于连接w 内任意两点的长度 o ) ， 则m 上每一条长度大于丌r 的测地线都含有共轭点，因而不是极小测地线 定义2 1 9 在一个黎曼流形m 内，一个测地；角形包含三个顶点a ，b ，c 和连接它们的三段测地弧7 i = 蔚， 7 2 = 葫， 7 3 = 压其长顺次记作z 1 ，f 2 ，f 3 ， 要求每两边之和不小于第三边，在三个顶点的角么a ，a b ，2 c 均在0 与丌之 间这样的测地三角形我们把它记作a b c 或( 0 l ，他，7 3 ) 有时候引用记号 a l = 么a ，d 2 = a b ，口3 = 2 c 在黎曼流形m 内，一个铰链指在一点衔接的两条测地弧，y 。，讹，和它们在 这点的交角 口= l ( - 7 i ( 1 i ) ，( o ) ) 这样的铰链将记作 ( 7 ：，7 2 ，a ) 引理2 2 0 ( t o p o n o g o v 定理j 设m 是一个完备的黎曼流形，其截面曲率a ，m ，日为一常数于是有两个等价的结论； 1 2 如 a a ， 1 、， +y y ”k 玎“ = 一 、， 形 嘭 ， 蓝阜师范大学硕士学位论文 似j 设( 7 1 ，y 2 ，7 3 ) 确定m 内一个测地三角形假定( 7 l ， ，3 ) 是极小的 当h 0 ，我们假定，y 2 的长度l ( 7 2 ) 丌佰则在一个二维常曲率日的黎曼 流形弹连通的) 内存在一个测地三角形( 彳。，砚? 砚) ，使l m = l 陬 ：i = 1 ，2 ，3 ，西1 冬q l ，西3 a 3 除在特殊情况h 0 ，某个i 使厶h ) = 7 r 、日外，在 m h 内的测地三角形( 7 1 ，砀，_ 3 ) 是唯一确定的 俐设( 7 1 ，7 2 ，q ) 为m 内的一铰链，7 1 是极小测地线在日 0 时，还要 求l ( 7 2 ) 丌循设可1 ，镌cm 日，使可l ( f 1 ) = _ 2 ( o ) ，l t i 】= 己陬 = 如( i = 1 ，2 ) ，且 l ( - 7 7 1 ( f 1 ) ，y 7 l ( o ) ) = a ，贝1 j d i s t ( 7 1 ( o ) ，仇( f 2 ) ) d i s t ( 7 1 ( 0 ) ，7 2 ( 1 2 ) ) 定义2 2 1 如果存在一个紧集q m 使得m a 同胚于a q ( 1 ，o o ) ，则称完 备非紧黎曼流形m 具有有限拓扑型 定义2 2 2g m ，在正m 中以原点为心，以_ 为半径的开球上，指数映射 e x p 。具有满秩，满足条件的r 的最大值称为g 点的共轭半径，记为c 帆九，m 的 共轭半径为 c o n j m 。g i 洲n fc 恻0 定义2 2 3 设( m ，g ) 为黎曼流形，v 黎曼联络，对于x ，kz ，w 形( m ) ， r ( x ，z ) z = v x v y z v y v x z v ，z z ， n ( x ，z ，w ) = ( n ( z ，w ) k x ) ， 再定义一个阳，彳j 型张量 a ( x ，y 7 么，w ) = ( x ，z ) ( y iw ) 一( x ，) ( z ) 没f l ( m ) 是一个平截面，x ，y 为e 中任意二个线性无关的向量，则 郴) = 黜 第二节预备知识 称为黎曼流形( m ：g ) 在p 点关于平截面e 的截面曲率 定义2 2 4 对任何的x ，y 影( m ) ，映射z _ n ( z ，x ) y 确定了形( m ) 一 影( m ) 的一个线性变换特别，在某点p m ，它定义一个弓( m ) 一耳( m ) 的 线性变换这个线性变换的迹佚于度量鲥可表达为 其中e i 是任一局部标架， s ( x ，y ) = g , j ( r ( 岛，x ) 勺) ， = ( e ，勺) ，0 巧) = ( 肋) 。 ( 2 1 ) 由俾- f ，定义的二阶对称共变张量场s 称为( m ，g ) 的r i c c i 张量场，对于p m 和单位向量而耳( m ) ， r i o ( x , ) = 5 r ( ，玛) ， 称力在p 点沿k 方向的r i c c i 曲率 堕型_ = i i 范大学硕士学位论文 3 有限拓扑型 设m 为一n 维完备的非紧黎曼流形，如果对任意的r 0 ，令 玛( r ) 。m 繇k 其中是m 的截面曲率，并且下确界取遍m b 眩7 ) 中所有点的截面a b 他s h p 已经证明了这样一个结论：如果 z 。吲r ) d r - 。c ， 则m 有有限拓扑型我们约定凹是具有非负r i c c i 曲率的完备流形 下面我们来定义流形的第七个忍i c c i 曲率 定义3 1 设k 是1 ，2 ，3 ，佗一i 中的一个，我们定义流形m n 上点z 处 的第七个r i c c i 曲率为 厂 七 、 r i c ( ) ( 。) = i n f k ( e 八e 圳e ，e 1 ，e k e m 为( 惫+ 1 ) 个单位正交的切向量 l 恒1 j 这里k ( eae ) 表示z 点处e 和e i 所在平面对应的截面曲率 注记从上述定义容易得出， r i c ( 1 ) ( 必) c 即为截面曲率k m2c ，而 r i c ( n 一1 ) ( m ) ( 佗一1 ) c 成立的充分必要条件则是r i c c i 曲率r i c ( m ) ( n 一1 ) c 这里为方便起见，我们用瞰c ( k ) ( m ) c 表示v z m ，r i c ( k ) ( z ) c 结合上面的说明和下面的命题，我们可以断言这里介绍的流形的第七个 r i c c i 曲率是一种介于截面曲率和r i c c i 曲率之问的新型曲率 定理3 2 如果流形满足r i c ( ( 嬲) k c , 则一定有r j e ( m ) ( 肜) 2m c 成立这 里仃z 和忌均为小于维数n 的正整数并且有仇尼 1 5 第三节有限拓扑型定理 证明v zem ，对任意的( m + 1 ) 个单位正交的切向量e ，e l ，e 仇l m ， 不失一般性，我们假设耳( eae 1 ) ，k ( eae 2 ) ，k ( eae ) 中的任何一个不大 于k ( eae k + 1 ) k ( eae k + 2 ) ，k ( e 八e 仇) 中的任何一个由于我们已经知道 r i c ( k ) ( m ) k c ，所以k ( eae 1 ) ，耳( ead 2 ) ，k ( eae ) 中至少有一个会大于等 于c ，从而k ( eae k + 1 ) ，k ( eae k + 2 ) ，k ( e e m ) 中每一个都不小于c 因此， 命题证毕 mk，r n k ( e e t ) = ( e ae t ) + k ( eae t ) i - - - - - 1 i - - - - - 1i = k + 1 k c + ( m 一忌) c = 7 7 l c 定理3 3 设m 为一佗维完备的非紧黎曼流形，如果对任意的r 0 ，令 ( 7 ) = i n f m s ，) k ，其中是m 的截面曲率，并且下确界取遍m b ，r ) 中 所有点的截面，则( r ) s0 ，并且( r ) 是e - t - r 的单调函数 证明阪证法) 假设存在一个r 0 使得( r o ) 0 不妨设( r o ) l ，则 r i c ( m b 0 ，t o ) ) 礼一1 假设 ，： 0 ，+ 。) _ m 为一条射线，不妨设三充分大使得 4 r ( i l ，+ 。) ) n 男，7 0 ) = 谚 考虑测地线7 ：( 0 ，目_ m ，为了方便起见我们把它参数化为7 ： 0 ，13 一m ， 设k ( o ) ； o ( m ) 使得 ( ( o ) ，k ( o ) ) = 幻，( i ，歹= 1 ，2 ，n ) 且碥( o ) = ，7 ( o ) l ， 将k ( o ) 沿，y 作平行移动，设得到的向量场为( t ) ，故有 ( ，巧) = ，v 7 , v i = 0 ，k = 7 l 再令 眦( z ) = ( t ) s i n r t 1 6 于是 曲卓师范大学硕士学位论文 又因为 而 ，( 暇，瞰) r l ( 以，v 了，v 1 ，瞰一r ( ，7 ，m ) 7 7 ) 出 0 z 1 ( 磁，v 7 ，v 7 ，) 出十z 1 ( 矾，咒( 7 7 ，暇一) 蹴 v 1 ，眦= v ，y ，( ks i n7 r t ) = 7 r c o s 州， v 1 ，v 1 ，班= v 7 ，( ( 7 rc o s 仉) ) = - r r 2 ( s i n7 r 古) k ， 一z 1 ( 磁，v 7 ，v 7 ，) o = = 又由于r ( x ，y ，z ，w ) = ( n ( z ，) x ) ， 因此 所以 4 l o ( ( s i n 们) ，一7 2 ( s i nr ：t ) k ) 班 7 r 2 ( s i n 2 耐) ( k ，坛) 班 7 1 2 ( s i n 27 r t ) d t ， z 1 ( 磁，冗( ，y 7 ，比) ，y 出= z 1 咒( 联， ，磁) 巩 = z 1 冗( k s i n 州，碥l ，k l ，s i n 丌t ) 班 。z 丌2 ( s i n 2 ，r t ) r ( k ，k ，w 。，) 班 ：一厂1l 2 ( s i n 2r r ；) r ( ，k ，坛，k ) 出 ，( m ，m ) ：厂1 ( s i n 2 丌) 丌2 一l z r ( m ，k ，) 】出， 0 1 7 一z z 第三节有限拓扑型定理 对j 从1 到扎1 求和，即得 佗一l i = 1 ，( 溉，睨) = n 一1 i = lz 1 ( s i n 2 疵) 丌2 一l 2 曩k ，磁? k ，) 】出 = z 1 ( s i n ；丌t ) ( n 一1 ) 丌2 一l 2 n l r ( k ，k ，k ， 0 = = 1 = z 1 ( s i 南州( ) 丌2 _ f f s ( ， k ) 】班 1 ) 7 2 一l 2 s ( k ，k ) 出 + l ( s i n 2 疵) 一1 ) r 2 _ l 2 s ( k ，碥) 班 其中s ( k ，) 为关于的r i c c i 曲率，由于 为定值，又由于 且l 充分大：故 譬| 了 因此 ( s i n 2 丌t ) ( 礼一1 ) 7 r 2 一l 2 s ( 碥，y , d d t m c ( m s ( p ，t o ) ) n 一1 ， l 姐( 礼一1 ) 丌2 一l 2 s ( k ，k ) 一一。g r _ 十 ，里乞l ( s i n 2 矾) ( 礼一1 ) 丌2 一l 2 s ( k ，) 】_ 一。 故必存在一个i ，使得 n l i = 1 ，( 暇，m ) 0 ，我们说 s ( p ，r ) 中的连通分支，是本质的，如果它是m b p ，r ) 的无界分支的一部 分，并且有一条射线从p 出发穿过，令 9 0 ，r ) = s u pd i a m ( e ，) ， ， 这里取遍5 r 0 ，r ) 上所有的本质分支r ，出姗( 吕) 是r 的直径，它定义了e , - 中 两点之间的最大距离 定理3 9 1 4 1m 为具有非负r i c c i 曲率的n 维完备的非紧黎曼流形，并且 i n f = e mv o l b ( z ，1 ) 】 o 则存在一个常数c ( 凡) 使得对坳m 和协1 ，我们 有 勿。，r ) g ( n ) 钉一l 竺掣 定义3 1 0 设m 和都是g 2 流形，：m _ 是c 5 ( 1 ssk ) 映射 如果，在点p m 的秩等于m 的维数m ，则称映射，在p 点为浸入，如果， 在m 的每一点都是浸入，则称，是浸入如果，既是浸入，又是单射，则f 是单浸入 设f ：m 一哼n 是单浸入，如果对于f ( m ) c 的子空间拓扑，：m 一f ( m ) 是同胚，则称，为嵌入 定理3 1 1 3 l ( i s o t o p y 引理) 如果r l r o ，1 5 r ，r ) 的任何本质分支，没有临界点矗( p ，) 则必 具有有限拓扑型。 定理3 1 3 5 】m 为具有非负七阶r i c c i 曲率的佗维完备的开黎曼流形，并 且满足 ( r ) 一番杀， 则存在一个常数，= 6 1 ( 七，o ，0 f ) 0 使得如果 finsup燃-l-v-1；3鲕， ( 3 2 ) ，。+ 。蕊；函万西丽s e l ， ( 3 2 ) 则存在哟 0 使得如果r 伽，s ，r ) 的所有本子分支e ，没有临界点 引理3 1 4m 是一个n 维完备的开的黎曼流形， r i c ( 鞠( 凹) 0 ， i 她v o z b ( x ，| ! ) j 刨 0 z m 一 并且满足 胁志， 则存在一个常数e = ( n ，c ，七，u ) 0 使得如果 则m 有有限拓扑型 1 t ，o l b ( p i ，r ) 一msu 1 r _ + o o pi 耳丽i 西形褊s 5 定理3 1 5 对于n 维完备的开的黎曼流形m ，胁c 【) ( 肼) 之0 ， 磷，u o f 【b ( z ，f ) 】u 0 ：运疆 。 2 1 一垦茎 查! 垦塑i ! 翌塞墨一 一一一一 并且满足 存在子列 n ，满足 如果 且 则m 具有有限拓扑型 坼) 一志 l i r a i _ 0 0 ；十o 。 熙舞鞣淼，；墨习丽豸楠毛 l i i i l n + 1 一 _ 0 t 。+ 。 证明令j ：巧( c ，q ) 7 。，对于z ( a ( b ( p ，n ) ) n n ) ，取射 线 7 ： 0 ，+ 。卜斗m ， 它从p 点出发，并且与( a ( b ( ，囊) ) n n ) 相交 曲阜师范大学硕士学位论文 一方面， d ( x ，7 ( n ) ) 沈o m ( n ) 9 ，n ) 2 e 1 7 十2 旭( k + 1 ) ) 另一方面，三角不等式及引理3 4 知 因此，由引理3 4 可得 m i n ( d ( z ，p ) ，d ( x ，7 ( 2 死) ) ) = 以 f 勺，1 ( 2 r ) ) 8 ( ， 8 ( i f 8l 、 d ( 。，7j 【o ，2 n 】) 七十1 、 r t d ( z ，y ( r ) ) + 1 、1 一ij ( 2 e 1 ) 州一施+ 2 ) 2 n 1 岛 七 1 k + ( 3 ，6 ) ( 3 7 ) 令g = ，y ( 2 n ) ，取盯为从z 到g 的一条极小测地线，。对于从z 到p 的极小测地线 口1 ，令 p 7 = 口1 ( 巧簟7 2 ) ，9 7 = 盯( 孵7 2 ) j 对于m b r 4 ( p ) 中的铰链( 盯l 0 ，井期，盯1 | i o ，酵7 z 】) 我们利用t o p 。l o g 。可不等式可得； s i n 哦2 咖，c o s 0 c o s h 2 ( 2 。俪) - c o s h ( 等矶，) 这里拶= 么( 矿( o ) ，盯：( o ) ) ，并且m b ，；4 ) 的截面曲率满足 由p | ! ，我们知道 k m - ( 4 a c ) ( r ? ) e p ，( z ) = d ( p 7 ，z ) + d ( g ，z ) 一d ( p 7 ，g ) ( j ( 刀7 ，。) = d ( o ， 2 3 。) = = j 1 2 ( 3 8 ) 第三节 有限拓扑型定理 斟, i g 耐，g ) = 2 6 7 2 一e ，( z ) 2 5 n 7 2e p , ，7 ( 2 n ) ( z ) 2 6 n 2 一去6 蟮7 2 ：。 这里e p , q ( z ) e p t , q ( z ) 是由于：( 利用三角不等式) ( 3 9 ) 勺，g 囟) = d ( p ，z ) + d ( q ，z ) 一d ( p ，q ) = d ( p ，p 7 ) + d ，z ) + d ( q ，g ) 十d ( g ，z ) 一d ( p ，g ) = d 0 ，p 7 ) + d ( q ，q ) + d 0 7 ，z ) + d ( q 7 ，z ) 一d 7 ，9 7 ) + d ，9 7 ) 一d ，q ) = d ，p 7 ) + d ( q ，q ) + e p ，q ，( z ) + d 0 ，q 7 ) 一d ( p ，q ) d ( p ，p 7 ) + d ( g ，p ) 一d ，g ) + e p q , 扛) d ( p ，q ) 一d o 口，g ) + c p tq ( 。) = e p ，口，( z ) 将( 雪9 ) 代入( 7 剐并且利用( 3 3 ) 可得 s i n h 2 ( 2 - 伺) c o s 8 2 6 t 口2 2 6 t a 2 曼洲z 2 ( 3 1 2 ) 、， 第三节 有限拓扑型定理 桨( 3 1 2 ) 代入( 3 1 1 ) 。丢 飘( 3 3 ) 祷： 因此 我们得到 s i n h 2 ( 2 口以j ) c o s 目 0 所以z 不是d 慨) 的一个临界点 c o s 口 三 综上，由定理7 2 知道：m 具有有限拓扑型 参考文献 f1j a b r e s h u ! l o w e rc u r v a t u r eb o u n d s t v p o n o g o vt h e o r e ma n db o u n d e dt o p o l o g yl j ja n n i - s c i e c o t en o r m s u p ，1 9 8 8 , 1 8 ：6 5 1 6 7 0 2 1a b r e s c h lu a n dg r o m o u ，d ，o nc o m p l e t em a n i f o l d sw i t hn o n n e g a t i v er i c c ic u r v a t u r e 嘲 a m e r m a t h 。s o c ，1 9 9 0 , 3 ：3 5 5 - 3 7 4 _ 3 jz s h e n 。o nc o m p l e t em a n i f o l d so fn o n n e g a t i v ek t h r i c c ic u r v a t u r e t r a n s a r n e r m a t h s o c ，1 9 9 3 , 3 3 8 ：2 8 9 - 3 1 0 z s h e n a n dg w e i 。v o l u m eg r o w t ha n df i n i t et o p o l o g i c a lt y p ei s p r o c s y m p o s p u r e m a t h 。，1 9 9 3 , 5 4 75 3 9 - 5 4 9 。 嘲q w a n g f i n i t et o p o l o t 3 i c a lt y p ea n dv o l u m eg r o u c hm a n n a l so fg l o b a la n a l y s i sa n d g e o m e t r y ，2 0 0 4 ，2 5 ：1 - 9 俐白正国，沈一兵，水乃翔，郭小英黎曼几何初步聊北京：高等教育出版社，2 0 0 3 彳口1 9 7 用陈省身，陈维桓微分几何讲义f ，第二版，倒北京：北京大学出版社，2 0 0 1 1 3