（基础数学专业论文）关于极值度量与hcmu度量的几个问题.pdf

摘要 开始我们引出了在没有奇异点情况下的e x t r e m a l 度量的概 念，接着我们讨论带有奇异点的e x t r e m a l 度量。同时我们介绍 t e x t r e m a l 度量的一种特殊情况，h c m u 度量并且讨论了在k 曲面 上它的存在性的必要条件。在文中，我们还要证明一个旋转对称 的e x t r e m a l 度量就是h c m u 度量。 关键词：e x t r e m a l 度量h c u m 度量k 曲面 a b s t r a c t f i r s t ，t h ed e f i n i t i o no fa ne x t r e m a lm e t r i cw i t h o u ts i n g u l a r i t i e si sg i v e n t h e nw ed i s c u s st h ee x t r e m a lm e t r i cw i t hs i n g u l a r i t i e s a l s oh c m um e t r i ca s p e c i a lc a s eo fe x t r e m a lm e t r i ci si n t r o d u c e da n dt h eo b s t r u c t i o no ft h ee x i s - t e n c eo fi to nak - s u r f a c ei sd i s c u s s e d a n dw ew i l lp r o v et h a ta r o t a t i o n a l l y s y m m e t r i ce x t r e m a lm e t r i ci sa c t u a la l lh c m um e t r i c k e y w o r d s ：e x t r e m a lm e t r i ch c m uk s u r f a c e l v 中国科学技术大学学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究 工作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的 同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权， 即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅或借阅，可以将学位论文编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名： 刁年 o f 月沙日 致谢 本文是对我三年的研究生学习生涯的一个总结。首先在此我要 感谢我的导师陈卿教授，谢谢他平时在学习上给与的悉心的指导和 在生活上的关怀。我还要感谢我的同学孙陶牛、李致远、高平和严 亚军，他们时常给我鼓励和支持，他们在学习上也给了我很大的帮 助，并且提供了很多独到宝贵的见解。我还要感谢数学系的黄稚新 老师，张伟老师和张韵华老师她们在我的成长历程中，也给与了很 大的帮助。 最后我要感谢我的父母，是他们给与了我最最无私的支持和关 心。 第一章引言 近十几年来，数学和物理中都关心有奇点的e x t r e m a l 度量，h c m u 度量 也属于这个范畴。e x t r e m a l 度量是1 9 8 2 年e c n z n 抗 c a l 】引入的。令m 是一 个n 维的紧致无边的复流形，在它上面有一个k a z e r 度量。在局部的全纯坐 标系下z = ( z 1 ，z 2 ，扩) ，假设度量 d s 2 = g a d z 。o d 夕 其相应的k a h l e r 形式 c j = g 萄垂产a d 轳 在上述假设下，我们固定u 所在的d e r h 锄上同调类q ，并考虑其中正定的( 1 ，1 ) 形 式，也就是耳2 l f e r 形式。下面是一些复几何中常用的张量记号，并假设以下 讨论的都是紧k i i h l e r 流形。 ( 严) = ( ) 一1 c h r i s t o f f e l 符号 r 品= 尹警，咯= 西 r i e m a n n $ t 率- 张量的分量 = 碧，：晒咯 r i c c i 曲率张量的分量 脚= 9 硼锄= 掣 数量曲率 r = 矿o r 憾 于是在q 中，我们考虑能量泛函 e ( 9 ) = r z d v ( g ) 它的一阶变分的临界点称为e x t r 锄m 度量。下面将具体说明它所满足的条件 定义的合理性。 l 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士毕业论文第2 页 第一章引言 命题i i 设妒是紧k i l f e r 流形上的一个实的，恰当的以，砂形式，则一定存在 一个流形上的实函数u ，使得 证明：由妒是恰当的，则存在1 形式日，使得妒= d o 。将口分解成( 1 ，0 ) 部分 和( 0 ，1 ) 部分，则日= p 1 o + 口o ，1 d o = ( a + 万) ( 口1 o + 矿，1 ) = o e i ，o + 劢1 0 + a 口o ，1 + 劭o 1 由妒a i , 1 m ，则劭o ，1 = 硼1 ，o = 0 ，利用h o d g e - d o l b e a u l t 分解， a 砂o , t 。= ：h 日( e o , 1 ) + + 百以f 其q ，h ( o o , 1 ) 与日p 1 , 0 ) 是调和形式， 夕是流形上的函数。则 = d o ：劢1 ，o + a 萨，1 = o o g + o o f = a o ( f g 、 我们令f g = 移+ v ，= k ( u ，口是实函数) ，则 i p = o - 万( v + 、= i u ) = 藏+ = t 飘 但由于妒是实的，即妒= ，则有a _ 跏= 0 ，于是妒；，j a 孔。 由命题1 1 ，则如果另外有一个k a h l e r 形式q ，则存在流形上的实 函数u ，使得“，一u = 乓! a 孔，在局部全纯坐标系下，有 ，a 2 t 正 一邶2 历动 乱称为势函数。 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士毕业论文 第3 页 第一章引言 一般地，在一个k i i h l e r 流形上，它的体积兀是 川夕) ：墨d e t ( 蛳) d z i a d z n h 弘 护：洲 其中， w o l = 1 ，w i k l = ；u h w k 一” 并且在它上有下面一些有意义的不变量： a 1 体积 b 1 曲率积分 y ( g ) ：d v c g ) j m - r c g ) = 7r d v ( g ) s ( g ) = 7r 2 d v ( g ) q ( g ) = 产声r 面r x g d v ( g ) k ( g ) = 夕掣“g 9 ，1 口砟兄面 刮- ， j m 但是在q 中，这些不变量不是独立的，有下面的 命题1 2 犰玎下列泛函在q 中是常数， y ( 9 ) ，面( 9 ) ，q ( g ) 一e ( 9 ) ，k ( 9 ) 一q ( g ) 证明： 1 y 0 ) 庙 v ( g ) = u 叫 但是若“，7 q ，则u 一u = d 妒，妒为1 - 形式，则 一厂w t f , * j = j m厶俐；：m u 【n 】+ m ej m jj 但由于u 是闭的，则是恰当的，则厶e = 0 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士毕业论文第4 页 第一章引言 2 瓦( 9 ) 我们考虑威。西形式，e 1 = 现日d 。4 如4 是闭的。对于在q 中 另外的k a 2 e r 度量，设它的r i c c i j 够式是i 。则 ；竭：仃2 掣扩 耖 j e 1 2 仃1 孑扩 出9 注意到：譬错实际上是两个体积元的比，因此是整体定义的函数，所以 e ：- l = 俩制 故：与l 在同一个同调类中a 而我们又有恒等式： e iaw n 一1 1 = 4 、：了( a e l ) u 砸l 其中a 算子是从a p + l ，口+ 1 m 到舻- q m 的映射，在局部坐标下，若 妒= 妒劬口1 唧口。1 瓦d z 劬a a d z 唧a d z 岛 a d z 口 其中妒的分量的下角标反对称，则 却= 等( 一1 ) 舛1 严m 却_ o 玑7 j 。d z “ 出唧a d z 4 。 a d z ? l 而a 1 = 譬。由i 与1 聋同一个上同调类中，而u 【n 一1 1 与“，h 一1 l 也在同一个上 同调类中，因此，i a w 7 坼一1 l 与1 a w ”1 l 在同一个上同调类中，则积分相等， 所以再( 9 ) 在n 中是常数。 3 ，q 扫) 一e ( 9 ) 为了证明它在q 中是常数，我们考虑f 2 jau 一目则它 与： 2 jau ，扣一2 l 在同一个同调类中。而 尸aw i n 一2 1 = 2 ( r 2 9 鼬扩1 吼i 风口) u h 因此，q ( a ) 一e 白) 在q 中是常数。 4 q ( g ) - k ( g ) 为了证明它在q 中是常数，由3 我们只需证明2 q ( g ) 一e ( g ) 一 k 0 ) 在q 中是常数。为此考虑 2 = ( 啦一r 流) d z 。a 舻 彩a d z 实际上， 2 所在的上同调类是丛2 1 1 1 0 m 的第二陈类，由于陈类与联络无 关，因此，e ；与岛在同一个2 b q i 舄类中，则e 2au n - 2 i 与琶ao i n - 2 l 在同一 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士毕业论文 第5 页 第一章引言 个上同调类中。因此在q 中厶2au 【“一2 j 是常数。 另一方面 岛 u 【“一2 1 = ( 2 r 印一面酽筇1 一砰) u h 其中冗叩= g - a 9 阳而r 。肼= 俨9 矽9 所g 融，于是2 q ( 9 ) 一e ( g ) 一 k 0 ) 在q 中是常数。口 因此，由命题1 2 ，关于( 9 ) ，q ( g ) ，e ( 9 ) 在q 中的变分问题是彼此等价 的。为了方便起见人们考虑e ( 夕) 在q 中的变分问题。 下面是一些技术性的准备工作。具体请参阅 c a 2 。首先，我们声明把协 变导数的指标写在函数的右下方，前面有逗号；反协变导数的指标写在函数 的右上方，前面也有个逗号；求导顺序从左到右。例如： 如= i p 。d z o + p 2 d z 9 这里妒，。= 等，妒，i = 参。再比如， v 妒邓“尝w 4 券 这里旷= 严妒 矿= 严妒，。 下面是一些直接与e x t r e m a l 度量有关的记号。 1 l a p l a c e - 算子 2 l i c h n d o w i c z - 算子 卯= 产急邓f 叫气 三妒= 否t 孬妒 铜产等杀) = v 7 泸嘉杀) 固舻 = 刍( 严嚣) 杀。护 = 矿3 9 厢杀。舻 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士毕业论文第6 页 第一章引言 因此，三是由丛a o ，o m 的截面到丛r 1 ，o moa o - 1 m 的截面的映射。 3 三的伴随算子口 l ：t 1 , 0 moa 0 , i m _ a o t o 彳 本质上是g q t l , o m a o 1 m 上的h e r m i t i a n 内诱导的。我们假设 e 1 ，e 2 ，岛) 为t 1 - o 肘上 的局部h e r m i t i a n 单位j e 交基， u 1 ，叻，) 为其对偶基。于是任意一个t 1 , 0 m o a o , 1 m 上的截面，局部上可以写成x = 瑶如o 。则可在t 1 t o moa o a m 上 定义日盯m 讹帆内积 ( 础) 2 厶善国矿 则p 定义为( 工妒，砂) = ( 妒，l + 妒) ，其中妒是a o ，o m 上的截面，妒是t l , o m a o a m 上 的截面。我们若假设妒= 砂勺杀od z 9 则， l 妒= 矿1 妒勺， = 尹杀庐杀( 如屿) 】 4 复合算予d = 口l 。这是一个复值的，自伴算子。它有多种表达方式。 如果用张量形式来表达，则 d 妒= 甲舻。8 = 妒乞名+ ( 妒，。磁) ，口 = ；妒+ ( p , a a 冠胡+ i p 卢冗一 在这里磁= 9 筇忍# 。或者d 完全用度量的分量来表达，则 d 妒= g _ n 杀 易蜘刍( 尹筹册 5 d 的共轭算子百。它的定义是z 跏= 研两。 由上述定义，我们有对于妒，妒a o , o m ，( l 妒，l 妒) = ( d 仍妒) = ( 仍d e ) 。 因此，d 是一个定义在m 的函数空间上的半正定的自伴算子。并且d p = 0 当 且仅当l 妒= 0 ，或者t 却是一个全纯的向量场。d 与面的关系是 ( _ 一d ) 妒= r ，8 够。一冗。妒，a 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士毕业论文第7 页 第一章引言 因此，我们有下面的引理。 引理1 1 啦若对任何的妒a o , o m ，d 妒= 西妒当且仅当r = c o n s t 而 且d r = 面r 对任何k l h l e r 度量都成立 下面我们来计算e = j kr = d y y 。设妒为m 上的实函数，我们考 虑( ) 沿着妒方向的变分是 如一如品吲啡) 则 6 ，e = l ? 鼬，融v + l m 譬6 6 。d v = a 蓟o d v r = 一和一p 。4 = 一d 妒+ 妒n 冗口 因此。 如e =【2 兄( 一d 妒+ 妒肆r a ) + 殿5 纠d 矿 j m = 一z ：f 。妒r + m ( 2 r r , a ! o a + r 2 矽) d y = 一z md 。o r d v + m d i u ( 舻妒。鼠) d y ：一2 ，d i ，o r d v = 2 ( 仍d r ) 因此，泛函e 的e u z e r l a g r a n g e 方程为。 d r = 0 或者等价地， l r = 0 这样的度量被称为e x t r e m a l ) 室量。显然若度量满足r = c o n s t ，则必为e x t r e m a l 的。 在 c a l 中，c a l a b i 证明了如下的定理： 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士毕业论文 第8 页 第一章引言 定理1 1 ，踟j 在光滑紧致黎曼面情形下，e x t r e m a l 度量与r = c o n s t 的度 量等价 关于e x t r e m a l 度量，我们还可以把它与单值化定理及其推广y a m a b e 问 题进行一下比较。后者是问在每个保角等价类中是否存在着常数量曲率的度 量。而e x t r e m a l 度量的问题是在同一个k a h l e r 等价类中( 实际上是上同调类 中1 找出一个比较好的度量。问题是不同的，在紧黎曼面的情形下，对于给定 的复结构来说，任何的两个与复结构相容的度量彼此之间都是保角等价的。 但是却未必都在同一个k s h l e r 等价类中。这需要下面的命题： 命题1 3 在紧黎曼面上两个光滑的度量如果在同一个k a h l e r 等价类中，当 且仅当它们有相同的总面积 证明：( = 号) 由命题1 2 得。 ( 仁) 设两个度量为9 ，9 ，相应的面积元为u ，。为此，我们先证明：若 紧黎曼面上的2 - 形式，满足厂m 妒= 0 ，则存在m 上的函数，使得= a 万，。 由h o d g e d o l b e a u l t 分解，我们可设 妒= ( h e ) + 弓i a = ( 日) + - o a l ，o = ( 日咖) + d a l ，o 其中( h e ) 是h o d g e d o l b e a u l t 分解中的调和形式，设( 口妫= h w ，则由 u 是 调和的，可得飘= o 及o h = 0 。即 为常值函数，但是由l = r ，d a l o = o ，可知h 为0 ，即砂= 否a 1 ，v 。由o a l , o = 0 ，则a 1 o = h ( a 1 ，o ) + a ，但 由o h ( a 1 ，o ) = 0 ，则妒= 一o - o f 。现在设u 7 = 加，则由总面积相等得r ，n 一 1 = 0 ，则( a 一1 如= a a ，。因此，“与u 所在的上同调类相同。 口 凑巧的是，由定理1 4 。在紧黎曼面情形下，这两个问题的答案是同一个， 都是常数量曲率度量曲面。而且我们可以利用单值化定理来说明e x t r e m a l 度 量的存在性。但在高维e x t r e m a l 度量的存在性是不能保证的 c a 2 1 。 第二章带奇点i j j e x t r e m a l 度量与h c m u 度量 前面我们得到了一般r , 维的情况，下我们只讨论黎曼曲面，即一维复流 行时的情况。在这种情况下，我们用曲面的高斯曲率甄( 其d p - f 标9 表示对应 的度量) 来代替前面的数量曲率r ，它们只相差一个常数倍数，得到的结果是 一样的a 设肘是紧致无边的，可定向的光滑黎曼面m c 。 ( 啦0 ，t = 1 ，2 ，n ) 表示相应于m 的k 曲面。一个黎曼度量9 在k 曲面上光滑，是指它 满足如下两个条件： 1 g 在除奇点切l ，p 2 ，) 以外的地方光滑； 2 对于任意的i ( i = 1 ，2 ，n ) ，度量g 在鼽处有奇角度2 7 r a i 。 我们现在给出奇角度的定义。取p 附近的一个局部坐标系使得g = e 却l d z t 2 且名) = 0 。度量9 在p 处有弱锥角度2 7 r c t o 是说妒满足下面的关系， 她刍卜箬+ 1 - a ) d o = o ( 2 t ) 如果a = 0 ，则我们说奇异点p 是弱尖的。 根据在引言中的关于单值化定理和e x t r e m a l 度量关系的说明，我们可以 看到在黎曼面情形下，e x t r e m a l 度量实际上是有某种限制的单值化问题。 单纯地把单值化定理向k 曲面地推广，已经有很多数学家做了工作，比如： 在【e v 】和【n 】中，作者分别独立地发现了k 曲面上存在常高斯曲率度量的充 分条件。w x c h e n 弄l l c l i c l 发现t - - 个在曲面上存在常高斯曲率度量 的必要条件。l u o 和t i a n l t i 正明了在某些k 曲面上常高斯曲率度量的唯一 性。但是，在一般情况下，在k 曲面上是不存在常高斯曲率度量的。这是因 为常高斯曲率方程是二阶椭圆方程，奇点对应的边界条件是给定的。 陈秀雄在 c h 2 与 c h 3 】中，尝试将e x t r e m a l 度量的研究推广到k 曲面上。 令m 。，。， 是k 陆面并r g o 是它上面的光滑度量。我们考虑如下变分空 间： s ( g o ) = 0 = e 2 9 跏。妒焉，2 ( m ) l e 却d g o = d 9 0 j m p l , p a ”d ，i j _ | i f 妇1 d b d h 在这个空间里，我们仍然考虑泛函： e ( g ) = 蝣幻 j m p i ，p 2 ，p n 9 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士毕业论文 第1 0 页 第二章带奇点的“t r e m a 渡量与h c m u 度量 注意由命题1 5 ，可知用变分空间s ( 卯) 来研究能量泛函e ( g ) 的变分是合理 的。f ( 夕) 的e u l e r l a g r a n g e 方程是： g + 巧= c( 2 2 ) 我们仍称满足( 2 1 ) 的度量为e x t r e m a l 度量。显然这是一个关于商斯蓝率( 以下 简称曲率) k 的二阶微分方程，我们可以得至4 下面的结果。 命题2 1 锄甜口k + k 2 = e 与鑫k 。= o 等价 证明：在pg 铷l ，p 2 ，p 。时，我们可以取p 附近的局部坐标系使得d s 2 = e 却l d z l 2 ，则k = 一妒e 一却，这里妒= 2 晓a 舻。则方程( 2 2 ) 在局部坐标系 下可写成 2 a 坞k e 一2 9 士k 2 = c 两边对。求偏导数，有 2 晓岛侥彤e - 2 q o _ 4 以磊彤关e - 2 p + 2 耳娑：o 口zd z 把k = 一2 见a ! 即e 一却带入到上面的方程中，则有 2 晓姚k e 一却一4 以良k 塞e - 2 9 - 4 见a 如筹e - 2 , e = 0 ( 2 3 ) o；dz 、 而。 如= 等一z 警箬 因此，( 2 3 ) 可写成2 岛( k 。) e - 2 p = o ，即岛k 。= 0 。 反过来，若岛k 。= 0 ，有 见( g k + k 2 ) = 0 但是，。+ 髟2 = c 是实数。故有， 良( 9 k + k 2 ) = 0 则口k + k 2 = d 口 所以， 昙酝：0 口z ( 2 4 ) 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士毕业论文第1 l 页 第二章带奇点的e x t r e m a l 度量与h c m u 度量 是e x t r e m a l 度量的另一种表达形式。( 2 4 ) 式有两种特殊的情况，一种是 k | = c o n s t 另一种是 g 。= 0( 2 5 ) 我们把满足( 2 5 ) 式的度量称为h c m u ( t h eh e s s i a no ft h ec u r v a t u r eo ft h e m e t r i ci su m b i l i c a l ) 度量。原因是 由于k 是实数， h e s s i a n ( k ) = v d k = k d z 圆d z + k i | 觑圆d z + k 。如d z 固觑十k 嚣觑固d 5 g ：= 0 甘k 历= 0 因此，如果( 2 5 ) 式成立，则 h e s s i a n ( k ) = k i 。应。出+ k , z i d zo d - z 并且如= 器= k 。i 为实数注意由于黎曼度量可以写成 口2 妒 雪= ：丁( d z 圆d 虿+ 龙 d z ) 贝l j h e s s i a n ( k ) 与度量9 成比例。所以这种度量称为h c m u 度量。显然，常高 斯曲率度量一定是h c m u 度量，因此我们以后只考虑 k 。= 0 ，k c o n s t 对于h c m u 度量，我们考虑向量场 、，q ( 可膏) - ，o = 了- 。以 = j e 一却飓识 容易验证，v z - i ( v 膏) o 为全纯向量场与k 。= o 等价。于是有下面的 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士毕业论文第1 2 页 第二章带奇点的e x t r e m a | 度量与h c m u 度量 命题2 2 c h 2 可( v 露) 1 , 0 的实部 矿= ；( j e 一和k 裁一行e - 2 ，琏 z 是k i l l i n g 向量场并且，它的积分曲线是曲率耳的等值线。 证明：对一般的黎曼流形而言，假设 e 1 ，e 2 ，) 为局部单位正交基，扣i t ，u ” 为 其对偶基。则度量9 ；驴圆驴。设向量场x = x e ，v x = 砑o e d 则x 为k i l l i n g f 旬量场的充要条件是， l x g = 0 即 h ( p ) = 0 后 从而我们得到 l x ( w ) 。+ 扩。l x ( w 。) = ( 磷+ 砖) p = 0 七 七 所以，x 为k i l l i n g s 量场的充要条件是 砑+ 碟= 0( 2 6 ) 当礼= 2 时，在保角坐标系下，g = e 2 9 f 如1 2 ，令名= z + 伍苫，取u 1 = e p d x ，u 2 = e 妒d y ；e l = e - 妒a k ，e 2 = e 一驴岛。则 矿= 了1 ( - e - l p k y e l + e 一9 恐e 2 ) 于是 v 矿= e 一却【( 玩唧+ 妒。一只匆) u l oe l + ( k 。一配+ 吼) 1 p e 2 + 溉一一) u 2 0e l + ( 一吼一) u 2 p e 2 】 但是由于 如= 等一z 警警= 。 分成实部，虚部分别为 如笼二激筠：。 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士毕业论文第1 3 页 第二章带奇点的e x t r e m a l 度量与h c m u 度量 所以，矿为k 训t n 9 向量场。 对于命题的第二部分，我们设铲的积分曲线为r ( t ) ，则有f ( t ) = 矿( r ( t ) ) 即 因此， d z 一 d t d - 2 一 出 ：宰。一却飓 2t 8 7 ：一军。嘶疋 。一丁8 。 d ka k d za k 由 面2 瓦面+ 一0 - 2 一d t = 恐v 。_ c ：- i e 嘶硌二坞字e 一却恐 =0 因此，k 沿着r ( t ) 不变。 口 此外，还可以得到 命题2 3 在实2 维时非零的硎i 哪向量场的正交轨线是测地线 证明：设y 为k i l l i n g 向量场。我们先证明对任何的流形上的向量场y 都有 ( v r x ，y ) = 0( 2 7 ) 设x = x e i ，y = y 。e k 贝l j v y x = 霹p 自这里均i 的含义与命题2 2 中的相 同。于是 ( v r x ，y ) = ( 霹p e ，y 。“) = 对p p 由方程( 2 6 ) 知剪p y = 0 ，即( v y x ，y ) = 0 。设r ( ) 是x 的正交轨线，t 为 弧长参数。则p ( t ) ，x ) = 0 ，然后我们有 o = 爰( f ( 现x ) = ( v ( t ) f ( 味x ) + ( f ( 班v 郴) x ) 但是由( 2 7 ) ， ( f ( t ) ，砜( t ) x ) = 0 于是 ( v f ( t ) f ( t ) ，x ) = 0 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士毕业论文第1 4 页 第二章带奇点的e x t r e m a ! 度量与h c m u 度量 而又有( f ( t ) ，f ( t ) ) = 1 ，则 罢( m ) ，讹) ) - 0 即 ( c o e ( t ) ，f ( t ) ) = 0 所以有v f ( t ) f ( t ) = 0 ，即r 是测地线。 口 在命题2 3 中我们假定k i l l i n g 句量场非零。事实上，对于给定的向量 场，它的零点是的奇点。所以在奇点以外的地方，命题2 ，3 任然成立。或者只 要它的正交轨线上没有k i l l i n g 向量场的奇点就可以 第三章局部旋转对称的e x t r e m a l 度量与h c m u 度 量 我们很自然会问什么时候e x t r e m a l 度量会退化成为一个h c m u 度量。这 里我们讨论的曲面不局限在k 曲面，也就是说奇角度不一定都大于0 ，下面 是一些相关的结果。首先，陈秀雄在【c h l 】中得到了如下的定理， 定理3 1 c h l 令9 是一个在m p 1 ，p 2 ，p , 1 - 的e x t r e m a 渡量，并且它的 能量与面积有限我们假设9 在所有奇点的奇角度都是弱尖的，则 j 如果x ( m ) s0 ，则k 是一个负的常值 2 如果f l , 3 2 l - x ( m ) = 2 ，则k 是一个负的常值 了若n = 2 - 且x ( m 1 = 2 ，则在m 上不存在e x t r e m a l f l j l 量 # 如果竹= 1 且x ( m ) = 2 ，则存在唯一的一个e x t r e m a 渡量，并且它是旋转对 称的 其实在第四种情况下，e x t r e m a l 度量既是h c m u 度量。也就是说当奇角度都 是0 时，如果存在e x t r e m a l 度量，则这个度量要么是常高斯曲率的，如果不是 常高斯曲率只有一种情况就是m = 铲，且只有一个奇点，度量g 这时候是一 个围绕奇点旋转对称的h c m u 度量。 w a n g 与z h u 在f 、v z 】中把这个推广到奇角度都小于7 r 的时候，并且得到了 下面的定理， 定理3 2 ，w 刁令m 是一个紧致黎曼曲面，9 是一个在m 伽1 ，p 2 ，骱 上 的e x t r e m a 渡量，并且它的能量与面积有限。夕的奇角度为2 7 r 哟0 = 1 ，n ) ， 且所有的奇角度满足， 2 丌嘶7 r 则， j 如果g e n u s ( m ) l ，则k = c o n s t 幺如果m = s 2 且r l , 3 ，则k = c 武 只如果m = 铲且n = 2 ，则有如下两种情况， 口j 若两个奇角度都是凸则不存在e x t r e m a 渡量 6 伽果一个奇角度大于口 则g 是一个旋转对称的e 耐他m o 度量 彳如果m = 铲e n = 1 ，则g 是一个旋转对称的e x t 化m a 渡量 w a n g 与z h u 证明了当奇角度都小于 r 时，e x t r e m a l 度量要么是常高斯曲率的， 1 5 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士毕业论文 第1 6 页 第三章局部旋转对称的e x t r e m a ! 度量与h c m u 度量 要么它为一个旋转对称的h c m u 度量。 而在 l z l 中，l i n 与z h u 在附录中证明了下面的命题， 命题3 1 肛z 令度量g = e 2 * l d z l 2 是一个在酽 o 上的面积和能量都有限 的e v t r e m a 渡量，并且9 是旋转对称的则g 是日c m u & 量 口 由上述结果，我们很自然的把旋转的e x t r e m a l 和h c m u 联系起来，接下 来我们要证明如下的局部定理： 定理3 3 令9 是一个在d o 上面积和能量都有限的e 砌仇。渡量，并且是 围绕原点旋转对称的，则g 是一个h c m 啵量 在证明之前我们还要介绍几个很有用的结果。 定理3 4 o h l 令9 是一个在d o ) 上面积和能量都有限的凹讹m n 渡量，且9 在z = 0 处的奇角度为凸则有 j 存在一个常数a 使得 l k ；l 例c 幺存在一个常数g ，使得 l k ，；l c l z l - e 2 9 其中9 = e 却i d z l 2 ( 3 1 ) 占存在一个常数一c 0 时有 舰u ( r ) = 0 从方程c 3 3 ) 出发我们得到， ，( u ( o ) ) = h 翌( 7 ) + h = 0 r - _ u 所以可以得到， ，( ( o ) ) ! 臻( 萨毫+ 秒k 妒r d t i 舰( 1 + r 诉) 其中，= 差，并且佴= 警。从( 3 4 ) 很自然能够得到毫= e 一妒( ) ，所以上述等 式成立。 当角度为0 时，即a = 0 时，运用结论( 3 1 ) 式，则有 刚= 1 9 7 塞= i ；- k e + c ) i 阳蚶， 其中耳= 警。进一步由于，( u ) = e p ( ) r 则有， i k 7 i g ，( t )( 3 5 ) 我们对度量g 进行如下变换， 92m ) 2 ( 志托2 + 础2 ) = ，( u ) 2 ( d r 2 + d 0 2 ) 其e e d v = 字。我们令z = 口+ 问且妒= l n ，。则有， 警= ；k 塑d v = ；，瓦2 互 一2 互 ， 簇= 扣笔= 扣，2 + ，)丽= 互l 儿，j 瓦= 五i 儿，。十 ，j 象= ；妒等= ；，7瓦2 互妒面2 互j 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士毕业论文 第1 9 页 第三章局韶旋转对的e x t r e m a l 度量与h c m u 度量 从而有， k ：；= 藏0 2 k 一。警筹 2 每k h 产+ k r 期一1 f j = 烈l l ，2 k ，) 由于g 是一个e x t r e m a l 度量，所以g ：。是一个全纯函数，而k 是一个只与缸有 关的函数，很显然k 。：= c o n s t 。则有， k ”，2 一k f f = c l( 3 6 ) 9 是h c m u 度量当且仅当c 1 = 0 ，所以我们下面证明c l = 0 。 我们不妨假设。1 0 。由方程( 2 2 ) 和曲率的定义我们得到， f + k 2 e 2 妒= c e 2 妒 【k = 一妒e q 妒 从而有， k 髦f 薯k 惟f f ( c 2 俐。 ( 3 7 ) i 删+ = ( 一耳2 ) ，2 一“ 由方程( 3 6 ) 和( 3 7 ) 得， 谬kf ：三耘二k 翟硪 l ”2 = ( c 2 2 ) ，2 + 譬 、7 下面我们首先证明在奇点附近是有界的。 引理3 4 当d f o ，上的e 矗旭m 口渡量9 在原点附近是旋转对称的，则曲率在 原点附近有界 证明：当o = o 时，由定理3 4 中的( 3 2 ) 式可以直接得到。若口 0 ，我们证明 在一个小扇形内k 是有界的，由于g 旋转对称，所以也是旋转对称的，那 么显然在d o 上k 是有界的。 我们考虑这样一个扇形其中口【0 ，三) 。然后我们令歹= 2 q 口并且厂= 杀， 则度量就变为， f 季= 砒2 + 严舻 j ，( o ) = 0 i ，( 0 ) = ； ip 【o ，2 n ) 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士毕业论文第2 0 页 第三章局部旋转对称的e x t r e m a 度量与h c m u 度量 很显然度量菅满足e x t r e m a l 方程，而且它在奇点处的奇角度为7 r ，我们由引 理3 2 和3 3 得到度量酉下的曲率露有界，并且容易得出露( u ) = k ( u ) 。从而 在扇形口i o ，三) 中有界，从而在整个区域d o ，上面有界 口 引理3 5 嬲k ，和觋j 一尸极限存在，并且我们有， ，l i m 。k f f = - l i mk f 2 = 一号 ( 3 9 ) 证明：由于曲率k 有界，并且，( o ) ) 2o ，则她k ，2o ，所以由方程( 3 8 ) 司 知引理成立。 口 引理3 6 曲率耳能够连续延拓到原点 证明：若口= 0 由定理3 4 中的( 3 3 ) 式直接得到。当口 0 时，由引理3 5 我们得 至1 ，l i m o k 7 f f = 一蛩。我们不妨假设c 1 0 由于，( o ) 2 口 o 因此在原点的 一个小邻域u 内有，0 。既然，0 ，我们得到0 在邻域u 中。所以递 减当u 一0 。由前面引理3 4 知，k 有界，故曲率k 能够连续延拓到原点。 口 定理的3 3 的证明：若q = 0 # i ( 3 5 ) 式可得， 0 目2 她i k f f 烛i c ，7 ，2 i = 0 所以有c 1 = 0 ，丛而度量g 是h c m u 度量。 如果8 0 ，由引理3 6 得到觋k = 舰一孚极限存在，同时 期聊7 ，= 躲严( 一7 i l l + 芋) = 一虿c 1 由于，( t ( o ) ) 一o 0 ，得到极限舰一等也存在，由于，( u ( o ) ) = 0 ，我们可 以运用l h o s p i t a l 法则有 她号5 她7 ，所以k ，7 ，= 一譬= 0 我们证明了定理。 口 第四章k 曲面上h c u m 的存在性 最后我们介绍一下在曲面上h c m u 度量的存在的必要条件。通过对k i u i n g 刍 量场矿的研究，陈秀雄 c h 2 得蛩| - j h c m u 度量的存在的必要条件及关于h c m u 度 量的一系列重要的性质。下面，我将叙述这个必要条件及h c m u 度量的一些 性质，我们将沿用第二章中的一些符号表示。下面是主要的定理。 定理4 1 c 叫令9 是一个曲面坂口2 ，m 上的上旧吖缓量则底流形m 的e 甜盯示 性数可以写成： 上 x ( m ) = ：( 1 一啦) + ( n j ) + 8 ( 4 1 ) l 其中s 是曲率k 的光滑临界点的个数我们假设a 1 ，啦，q kr o k n ) 是口l ，锄，中的所有的整数，并且功+ 1 ，如，m 是 胁，0s j 料中 所有k 的局部极值点口 实际上，( 4 1 ) 是p 耐仡r a h o p f 指标定理的一个应用。我们还有关于h c m u 度 量的其它性质。 命题4 1 廊甜令n 9 矿表示矿的所有奇点的集合对于p s i g v ，令q ，表 示过p 点的所有矿的积分曲线的集合则有 1 s i n g 矿c ( 曲率k 的光滑临界点，u ( p 1 ，p 2 ，骱 并且它是有限集合； 2 是空集或有限集若q p 0 ，则q p 中有偶数个元素，并且g 在p 点的角度 为j j 7 r ； 3 k 可以连续延拓到整个m 上； 彳s i n g 矿可以分成两部分s i n g v = & u 使得 砂& = 切v i = 0 ，并且若p & ，则p 为k 的局部极值点； 屯惕= 伽矿i o ，若p 岛，则p 为髟的鞍点，并且度量在p 点的角 度圳q ，i 丌 反如果度量锄点的角度不是整数，则p s 1 命题4 2 廊2 任何叼矿的积分曲线在它的局部板值点的邻域内都是拓 扑圆，并且包括极值点在它的内部； 2 如果威咒f 矿的积分曲线是一个拓扑圆盘的边界，并且在这个圆盘内有一 个k 的局部极值点，则在这个圆盘内s i n g 矿的任何一条积分曲线都是拓扑 圆口 2 1 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士毕业论文 第2 2 页 第四章k 曲面上h c u m 的存在性 命题4 3 c h 2 在彤的鞍点处，任何相邻的两条v r 的积分曲线的夹角都是丌 口 下面我们简述一下证明的过程。首先在协2 1 中，陈秀雄证明伽矿有 限，反设咖是一个无限集合，则有 命题4 4 砚纠任何成礼g 矿的c 如t e r p o 讥必然是度量9 的奇异点 证明：如果qg 和1 ，p 2 ，p 是s i n g v 的c l u s t e rp o i n t ，则存在则存在点 列 a ，i ) cs i n g 矿收敛于点g 。由于奇异点是有限的，所以我们假设点 列 a i 都是度量9 的光滑点。因此点a ( ) 都是曲率蚝的极值点。我们考虑 包含点g 的小圆盘b 。由上述推导知在b 中向量场( v 瓦) 1 , 0 由无限个零点，由 于( v 瑙) 1 , 0 是一个全纯向量场，所以( v 蜀) 1 , 0 很等于零在b 中。所以为常 数。这与我们前面假设矛盾。 口 对于坳m s i n g v ，存在唯一矿的积分曲线经过点p 。我们把这条积 分曲线记为q 。以后如果我们提到积分曲线就是指y 的积分曲线，我们可以 得到， 命题4 5 ，饥纠j 任何两条矿的积分曲线不会在点p 掣s i n g - v 相交特别的， 任何积分曲线不会在m s i n g 矿自交 e 4 莹m s i n g v 中，曲率梯度场的积分曲线与矿的积分曲线至多相交一次 这个命题由k 锄t 咒9 向量场与梯度向量场的定义可以直接得到。 引理4 1 踟纠对任意的点p m s i n g - v ，如果q 的闭包- 与s i n g 矿不相交， 则g 是一条闭曲线 证明；既然巧n 所扎9 矿= 口，则存在 o 和一个鲫矿的f 开邻域廖使 得c ；cm b 。如果g 不是一个闭曲线，则在m b 中存在g 的c l u s t e rp o i n t 。 令g ： o ，刃一m b 6 ( t o o ) 为g 的一个参数化，使得， g 0 = p ； q ( t ) = - y - - 4 ( q ( ) ) ， v 亡【o ，t ) 假设口cm b e 是q 的c l u 8 t e rp o i n t 。由于口不是矿的奇异点，则有一个点 列 屯一z i n ) 使得， 恕g ( 岛) 2 口， 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士毕业论文第2 3 页 第四章k 曲面上h c u m 的存在性 并且 且mq ( 岛) = j 2 墨y ( q ( 岛) ) - - 4 一 = 矿( 扛m c ；( 缸) ) = y ( 口) 一 最后一个等式成立是由于q 不是矿的奇异点。现在考虑曲率在点口处梯度 场的积分曲线，这条曲线与q 垂直，所以它将超过一次与q 相交。这与命 题4 6 矛盾，所以g 是闭曲线。 口 在命题4 2 中我们定义了q p ，如果q p 0 ，我们在上定义一个偏序关 系。首先我们假设点p 不是威哪矿的c l u s t e rp o i n t ，我们去一个足够小的