第01章 复数与复变函数-习题课.pdf

2 一、重点与难点一、重点与难点 重点：重点： 难点：难点： 1. 复数运算和各种表示法复数运算和各种表示法 2. 复变函数以及映射的概念复变函数以及映射的概念 1. 复数方程表示曲线以及不等式表示区域复数方程表示曲线以及不等式表示区域 2. 映射的概念映射的概念 3 二、内容提要二、内容提要 复数复数 复变函数复变函数 极限极限 连续性连续性 代 数 运 算 代 数 运 算 乘 幂 与 方 根 乘 幂 与 方 根 复 数 表 示 法 复 数 表 示 法 几何表示法几何表示法 向量表示法向量表示法 三角及指数表示法三角及指数表示法 复 球 面 复 球 面 复 平 面 复 平 面 扩 充 扩 充 曲线曲线 与区域与区域 判别定理判别定理 极限极限 的计算的计算 4 1.1.复数的概念复数的概念 . , 为复数为复数或或 我们称我们称对于任意两实数对于任意两实数 iyxz yixzyx , , 的实部和虚部的实部和虚部分别称为分别称为其中其中zyx ).Im(),Re( zyzx 记作记作 ; , 0 , 0 称为纯虚数称为纯虚数时时当当iyzyx . ,0 , 0 xixzy我们把它看作实数我们把它看作实数时时当当 . 0,0, 0 zyx 时时当当 5 , 222111 iyxziyxz 设两复数设两复数 1) 两复数的和两复数的和 ).()( 212121 yyixxzz 2) 两复数的积两复数的积 ).()( 2112212121 yxyxiyyxxzz 3)两复数的商两复数的商 . 2 2 2 2 2112 2 2 2 2 2121 2 1 yx yxyx i yx yyxx z z 2. 复数的代数运算复数的代数运算 6 4)共轭复数共轭复数 , zz共轭的复数记为共轭的复数记为与与 . , iyxziyxz 则则若若 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数个复数称为共轭复数. . 共轭复数的性质共轭复数的性质 ;)1( 2121 zzzz ; 2121 zzzz ; 2 1 2 1 z z z z ;)2(zz ; )Im()Re()3( 22 zzzz ).Im(2),Re(2)4(zizzzzz 7 3.3.复数的其它表示法复数的其它表示法 . . , , , . ),( 面面 面叫复平面叫复平这种用来表示复数的平这种用来表示复数的平轴轴叫虚轴或叫虚轴或 纵轴纵轴轴轴通常把横轴叫实轴或通常把横轴叫实轴或用来表示复数用来表示复数 的平面可以的平面可以一个建立了直角坐标系一个建立了直角坐标系因此因此对应对应 成一一成一一与有序实数对与有序实数对复数复数 y x yxiyxz . ),( 表示表示面上的点面上的点 可以用复平可以用复平复数复数 yx iyxz ),(yx x y x y o iyxz （1 1）几何表示法）几何表示法 8 （2 2）向量表示法）向量表示法 . , , 来表示来表示 也可用向量也可用向量复数复数因此因此平面向量成一一对应平面向量成一一对应 的的指向点指向点与从原点与从原点复数复数在复平面上在复平面上 OPz iyxzz ),(yxP x y x y o iyxz rz 复数的模复数的模(或绝对值或绝对值) , 的模或绝对值的模或绝对值向量的长度称为向量的长度称为z . 22 yxrz 记为记为 9 模的性质模的性质 , zx , zy ,yxz . 2 2 zzzz ;) 1 ( 2121 zzzz .)2( 2121 zzzz 三角不等式三角不等式 复数的辐角复数的辐角 ., 0,0而辐角不确定而辐角不确定时时当当 zz .0有无穷多个辐角有无穷多个辐角任何一个复数任何一个复数 z , 1 是其中一个辐角是其中一个辐角如果如果 的全部辐角为的全部辐角为那么那么z ).( 2Arg 1 为任意整数为任意整数kkz . Arg , , , 0 z zOPz z 记作记作 的辐角的辐角称为称为为终边的角的弧度数为终边的角的弧度数的向量的向量 以表示以表示以正实轴为始边以正实轴为始边的情况下的情况下在在 10 .arg , Arg , )0( 0 00 zz z 记作记作的主值的主值称为称为 的的把满足把满足的辐角中的辐角中在在 . 0, 0, , 0, 0,arctan , 0, 0, 2 , 0,arctan arg yx yx x y yx x x y z辐角的主值辐角的主值 0 z ) 2 arctan 2 ( x y 其中其中 辐角的主值辐角的主值 11 （3）三角表示法）三角表示法 利用欧拉公式利用欧拉公式 ,sincos ie i 复数可以表示成复数可以表示成 i rez 称为复数称为复数 z 的指数表示式的指数表示式. （4）指数表示法）指数表示法 利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系 ,sin ,cos ry rx 复数可以表示成复数可以表示成 )sin(cos irz 12 4.复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根 1) 乘积与商乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和. ,sin(cos 1111 ）若若 irz ,sin(cos 2222 ） irz )sin()cos( 21212121 irrzz .ArgArg)(Arg 2121 zzzz 则有则有 13 几何意义几何意义 复数相乘就是把模相乘复数相乘就是把模相乘, , 辐角相加辐角相加. . , 2 倍倍再把它的模扩大到再把它的模扩大到r 从几何上看从几何上看, 两复数对应的向量分别为两复数对应的向量分别为 , , 21 zz , 2 1 旋转一个角旋转一个角 按逆时针方向按逆时针方向先把先把 z . 21 zzz 就表示积就表示积所得向量所得向量 2 o x y r 2 r 1 r 2 z 1 1 z z 14 两个复数的商的模等于它们的模的商两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个两个 复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. , 1 2 1 2 z z z z .ArgArgArg 12 1 2 zz z z 的指数形式分别为的指数形式分别为和和设复数设复数 21 zz , 1 11 i erz . )( 1 2 1 2 12 i e r r z z 则则, 2 22 i erz ,sin(cos 1111 ）若若 irz ,sin(cos 2222 ） irz 则有则有 15 2) 幂与根幂与根 (a) n次幂次幂: , , n z nzzn 记作记作 次幂次幂的的的乘积称为的乘积称为个相同复数个相同复数 . 个个n n zzzz . )sin(cos , ninrzn nn 有有对于任何正整数对于任何正整数 . 1 , n n z zn 有有为负整数时为负整数时 .ArgArg,znzzz n n n 因而有因而有 16 .sincos)sin(cos nini n . , (c)为已知复数为已知复数其中其中的根的根计算方程计算方程zwzw n n k i n k rzw nn 2 sin 2 cos 1 )1, 2 , 1 , 0( nk (b)(b)棣莫佛公式棣莫佛公式 . , 个顶点个顶点边形的边形的的圆的内接正的圆的内接正 为半径为半径个值就是以原点为中心个值就是以原点为中心的的在几何上在几何上 nn rnz nn 17 5.复球面与扩充复平面复球面与扩充复平面 南极、北极的定义南极、北极的定义 , 0 的球面的球面点点取一个与复平面切于原取一个与复平面切于原 z , 与原点重合与原点重合球面上一点球面上一点S , N S 点点直线与球面相交于另一直线与球面相交于另一 作垂直于复平面的作垂直于复平面的通过通过 . , 为南极为南极为北极为北极我们称我们称SN x y P N O S (1) 复球面复球面 18 球面上的点球面上的点, 除去北极除去北极 N 外外, 与复平面内与复平面内 的点之间存在着一一对应的关系的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用我们可以用 球面上的点来表示复数球面上的点来表示复数. 我们规定我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复数中有一个唯一的“无穷大”与 复平面上的无穷远点相对应复平面上的无穷远点相对应, 记作记作. 因而球面上因而球面上 的北极的北极 N 就是复数无穷大的几何表示就是复数无穷大的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之球面上的每一个点都有唯一的复数与之 对应对应, 这样的球面称为这样的球面称为复球面复球面. 复球面的定义复球面的定义 19 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, , 或简称复平面或简称复平面. . 对于复数对于复数来说来说, 实部实部,虚部虚部,辐角等概念均无意辐角等概念均无意 义义, 它的模规定为正无穷大它的模规定为正无穷大. : 的四则运算规定如下的四则运算规定如下关于关于 )(, : )( 加法加法a )(, : )( 减法减法b )0(, : )( 乘法乘法c )0( , 0 ),( , 0 : )( 除法除法d (2) (2) 扩充复平面的定义扩充复平面的定义 20 6.曲线与区域曲线与区域 （1 1）邻域）邻域 . : )( , 00 0 的邻域的邻域内部的点的集合称为内部的点的集合称为的圆的圆 为半径为半径任意的正数任意的正数为中心为中心平面上以平面上以 zzz z . 0 0 0 的去心邻域的去心邻域 所确定的点的集合称为所确定的点的集合称为不等式不等式 z zz （2 2）内点）内点 . , , . , 0 0 0 的内点的内点称为称为那末那末 于于该邻域内的所有点都属该邻域内的所有点都属的一个邻域的一个邻域存在存在 如果如果中任意一点中任意一点为为为一平面点集为一平面点集设设 Gz Gz GzG 21 如果如果 G 内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点, ,那末那末G 称为称为 开集开集. . (4) (4) 区域区域 如果平面点集如果平面点集D满足以下两个条件满足以下两个条件, , 则称则称 它为一个区域它为一个区域. . (a) D是一个是一个开集开集； (b) D是是连通的连通的, ,即即D中任何两点都可以用完全中任何两点都可以用完全 属于属于D的一条折线连结起来的一条折线连结起来. (3) (3) 开集开集 22 (5) (5) 边界点、边界边界点、边界 设设D是复平面内的一个区域是复平面内的一个区域, ,如果点如果点P P 不属不属 于于D, 但在但在P P 的任意小的邻域内总有的任意小的邻域内总有D中的点中的点,这这 样的样的P P点我们称为点我们称为D的的边界点边界点. (7)(7)有界区域和无界区域有界区域和无界区域 . , , 0, , 界的界的 否则称为无否则称为无称为有界的称为有界的那末那末点都满足点都满足 使区域的每一个使区域的每一个即存在即存在为中心的圆里面为中心的圆里面 点点可以被包含在一个以原可以被包含在一个以原如果一个区域如果一个区域 DMz M D D的所有边界点组成的所有边界点组成D的的边界边界. . (6) 区域区域D与它的边界一起构成闭区域与它的边界一起构成闭区域. 闭区域闭区域 23 . )( )( , )()( : 的起点和终点的起点和终点分别称为分别称为与与 为一条连续曲线为一条连续曲线设设 Cbzaz btatzzC . )( , )()( , , 12121 2121 的重点的重点 称为曲线称为曲线点点时时而有而有 当当与与的的对于满足对于满足 Ctztztztt ttbtabta 没有重点的曲线没有重点的曲线 C 称为简单曲线称为简单曲线( (或若尔或若尔 当曲线当曲线).). . , )( )( , 为简单闭曲线为简单闭曲线那末称那末称 即即的起点和终点重合的起点和终点重合如果简单曲线如果简单曲线 Cbzaz C (8) (8) 简单曲线简单曲线 24 (9) (9) 光滑曲线光滑曲线 . 0, )( )( , , )( )( , 22 称这曲线为光滑的称这曲线为光滑的 那末那末有有的每一个值的每一个值且对于且对于 都是连续的都是连续的和和上上如果在如果在 tytxt tytxbta 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线称为按段光滑曲线. . 任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成将复平面唯一地分成 三个互不相交的点集三个互不相交的点集. 简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质 25 (10) (10) 单连通域与多连通域单连通域与多连通域 复平面上的一个区域复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一如果在其中任作一 条简单闭曲线条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于B, 就称为就称为 单连通域单连通域. 一个区域如果不是单连通域一个区域如果不是单连通域, 就称为就称为 多连通域多连通域. 从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕 的域的域. 26 7. 复变函数的概念复变函数的概念 (1)(1)复变函数的定义复变函数的定义 ).( ), ( , , , , . zfw zw ivuwz G iyxzG 记作记作复变函数复变函数 简称简称的函数的函数是复变数是复变数那末称复变数那末称复变数之对应之对应 与与就有一个或几个复数就有一个或几个复数每一个复数每一个复数 中的中的对于集合对于集合按这个法则按这个法则个确定的法则存在个确定的法则存在 如果有一如果有一的集合的集合是一个复数是一个复数设设 : )( 相当于两个关系式相当于两个关系式 之间的关系之间的关系自变量自变量与与复变函数复变函数zfwzw ).,(),(yxvvyxuu 27 ).()( * )( )( , , 或变换或变换的映射的映射函数值集合函数值集合 平面上的一个点集平面上的一个点集变到变到定义集合定义集合一个点集一个点集 平面上的平面上的把把在几何上就可以看作是在几何上就可以看作是数数 那末函那末函的值的值平面上的点表示函数平面上的点表示函数另一个平面另一个平面 而用而用的值的值平面上的点表示自变量平面上的点表示自变量如果用如果用 G wG zzfw ww zz . , , , , 的点集之间的对应关系的点集之间的对应关系 上上必须看成是两个复平面必须看成是两个复平面的几何图形表示出来的几何图形表示出来 因而无法用同一平面内因而无法用同一平面内之间的对应关系之间的对应关系和和 由于它反映了两对变量由于它反映了两对变量对于复变函数对于复变函数 yx vu (2) (2) 映射的定义映射的定义 28 函数极限的定义函数极限的定义 . )( )( 0 , )0( )( , 0 , , 0 )( 0 0 0 0 时的极限时的极限趋向于趋向于当当为为那末称那末称 时有时有使得当使得当 相应的必有一正数相应的必有一正数对于任意给定的对于任意给定的 存在存在如果有一确定的数如果有一确定的数内内 的去心邻域的去心邻域定义在定义在设函数设函数 zzzfA Azfzz Azz zzfw )( .)(lim 0 0 AzfAzf zz zz 或或记作记作 注意注意: : . 0 的方式是任意的的方式是任意的定义中定义中 zz 8.8.复变函数的极限复变函数的极限 29 . ),( ),( , ),(),()( 的极限问题的极限问题和和 函数函数转化为求两个二元实变转化为求两个二元实变的极限问题的极限问题 该定理将求复变函数该定理将求复变函数 yxv yxu yxivyxuzf 极限计算的定理极限计算的定理 .),(lim,),(lim )(lim , , ),(),()( 00 000 00 0 0 0 0 0 vyxvuyxu Azfiyxz ivuAyxivyxuzf yy xx yy xx zz 的充要条件是的充要条件是那末那末 设设 30 ).0( )( )( lim (3) ;)()(lim (2) ;)()(lim (1) ,)(lim ,)(lim 0 0 0 00 B B A zg zf ABzgzf BAzgzf BzgAzf zz zz zz zzzz 那么那么设设 与实变函数的极限运算法则类似与实变函数的极限运算法则类似. 极限运算法则极限运算法则 31 （1 1）连续的定义）连续的定义 . )( , )( . )( ),()(lim 0 0 0 内连续内连续在在我们说我们说 内处处连续内处处连续在区域在区域如果如果处连续处连续在在 那么我们就说那么我们就说如果如果 Dzf Dzfz zfzfzf zz . , )()(lim )( 0 0 0 Czzfzf zCzf zz 处连续的意义是处连续的意义是上上在曲线在曲线函数函数 9.9.复变函数的连续性复变函数的连续性 32 .)( )()(a) 00 0 处仍连续处仍连续在在不为零不为零分母在分母在积、商积、商 的和、差、的和、差、和和连续的两个函数连续的两个函数在在 zz zgzfz . )( , )( )( , )( (b) 000 0 连续连续 处处在在那末复合函数那末复合函数连续连续 在在函数函数连续连续在在如果函数如果函数 zzgfwzgh hfwzzgh . ) ,( ),( ),( : ),(),()( 00 000 处连续处连续 在在和和连续的充要条件是连续的充要条件是 在在函数函数 yxyxvyxu iyxzyxivyxuzf 连续的充要条件连续的充要条件 连续的性质连续的性质 33 ,)( 2 210 n nz azazaazPw 有理整函数有理整函数(多项式多项式) ; 都是连续的都是连续的对复平面内的所有点对复平面内的所有点z 有理分式函数有理分式函数 , )( )( zQ zP w , )( )( 都是多项式都是多项式和和其中其中zQzP 特殊的特殊的: 在复平面内使分母不为零的点也是连续的在复平面内使分母不为零的点也是连续的. 34 三、典型例题三、典型例题 求证求证是两个复数是两个复数设设, 21 zz例1例1 .)2 );Re(2)1 2121 21 2 2 2 1 2 21 zzzz zzzzzz )1证证)( 2121 2 21 zzzzzz )( 2121 zzzz 21122211 zzzzzzzz )( 2121 2 2 1 2 zzzzzz ).Re(2 21 2 2 1 2 zzzz 35 ),Re(2)1)2 21 2 2 2 1 2 21 zzzzzz 知知由由 21 2 2 2 1 2 21 2zzzzzz 又又 21 2 2 2 1 2zzzz ,2 21 2 2 2 1 zzzz ),Re( 2121 zzzz 因为因为 36 )Re(2 21 2 2 2 1 zzzz 所以所以 . 2 21 2 21 zzzz 即即 ., 2121 zzzz 得得两边开方两边开方 其几何意义是三角形任意一边的长不小于其几何意义是三角形任意一边的长不小于 其它两边边长之差的绝对值其它两边边长之差的绝对值. ,2 21 2 2 2 1 zzzz 37 . 1 1 , 1:, 1 0 0 0 zz zz zz则则若若证明证明设设例2例2 证证则则若若, 1 z ,1)1( 2 0 2 0 2 zzz 2 0 2 zz因为因为 )Re(2 0 2 0 22 0 z zzzzz 又又 )Re(21 0 2 0 2 z zzz , 1 1 2 0 0 zz zz 所以所以. 1 1 0 0 zz zz 即即 2 0 1z .1 2 0 2 zz ,1 2 0 z z 38 ., 01 37112 的值的值求求已知已知xxxxx 例3例3 解解 ),1)(1(1 23 xxxx因为因为 , 01 2 是一个三次单位根是一个三次单位根故故而而xxx 1, 37211 xxxxx从而从而 . 01 23711 xxxxx所以所以 39 .1 ,1 12 的值的值 求求次单位根次单位根的的是任意一个不等于是任意一个不等于设设 n n 例4例4 解解 1 n 因为因为 12 1 n 所以所以 . 0 1 1 n 40 . 0)94(4 2 iizz解方程解方程例5例5 解解 . 0)94(4)2(4 22 iiizz原方程为原方程为 iiz9)2( 2 即即 iiz92 于是于是 1 , 0, 2 2 2 sin 2 2 2 cos3 k k i k , 2 23 2 2 23 1 iz 故故. 2 23 2 2 23 2 iz 41 ; 0)(I)1( m z ;)(I)2( m z 例例6 6 满足下列条件的点组成何种图形满足下列条件的点组成何种图形?是不是区是不是区 域域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域. 解解 是实数轴是实数轴,不是区域不是区域. 0)(Im z x y O 是以是以 为界的带形单连通区为界的带形单连通区 域域. , y y 解解 )(Imz 42 622)3( zz 是以是以 为焦点为焦点,以以3为半为半 长轴的椭圆闭区域长轴的椭圆闭区域,它不是区它不是区 域域. 2 32, 3 2 arg 3 )4( zz且且 不是区域，因为图中不是区域，因为图中 3 2 arg, 3 arg zz 解解 解解 在圆环内的点不是内点在圆环内的点不是内点. o y 2 3 x o x y 3 2 2 3 43 例例7 7 函数函数 将将 平面上的下列曲线变成平面上的下列曲线变成 平平 面上的什么曲线？面上的什么曲线？ zw1 zw . 2)2(, 9)1( 22 xyx 解解 9 2 22 zyx因为因为 又又 iyxz w 11 于是于是 iyxivuw 9 1 9 1 yvxu 9 1 , 9 1 9 1 )( 81 1 2222 yxvu表示表示 平面上的圆平面上的圆. w 22 yx iyx ),( 9 1 iyx (1) 44 . 2)2( x 解解 iyiyxz 2因为因为 iyz w 2 11 所以所以 22 4 , 4 2 y y v y u 22 2 22 )4( 4 y y vu 因为因为 0 2 22 u vu所以所以 表示表示 平面上以平面上以 为圆心，为圆心， 为半径的圆为半径的圆. w 0, 4 1 4 1 ivu y iy 2 4 2 , 24 1 2 u y 16 1 4 1 2 2 vu 放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. . 45 例例8 8 解解 . , 1cos 1cos i e z 其中其中 的实部和虚部的实部和虚部求复数求复数 1cos 1cos z cossin1coscos cossin1coscos i i 22 22 )cos(sin)1cos(cos cossin2)cos(sin1)cos(cos i . )(cos1coscos2 cossin2 )(cos1coscos2 )(sin 22 2 i zRe zIm 46 例例9 9 . , : 133221 2 3 2 2 2 1 321 zzzzzzzzz zzz 点的充要条件是点的充要条件是 成为等边三角形顶成为等边三角形顶三个复数三个复数证明证明 证证 : 321 件为件为是等边三角形的充要条是等边三角形的充要条zzz , 3 3 31121 zzzzz即得向量即得向量或或旋转旋转绕绕向量向量 1 z 2 z 3 z ,)( 3 1213 i ezzzz 即即 , 2 3 2 1 12 13 i zz zz 或或 47 , 2 3 2 1 12 13 i zz zz 两边平方两边平方, 并化简得并化简得 . 133221 2 3 2 2 2 1 zzzzzzzzz 下面例子表明下面例子表明, 很多平面图形能用复数形很多平面图形能用复数形 式的方程式的方程(或不等式或不等式)来表示来表示; 也可以由给定的也可以由给定的 复数形式的方程复数形式的方程(或不等式或不等式)来确定它所表示的来确定它所表示的 平面图形平面图形. 48 例例1010 . 1 , 1 . , , ) , 10( 2 21 2 2 2 1 0 0 21 2 1 k zzk k zkz z zz zzkk zz zz 且且半径为半径为其圆心为其圆心为平面上的一个圆周平面上的一个圆周 表示表示证明方程证明方程 证证 , 0 zz圆周圆周 , 0 代入代入和和将将 z 2 2 2 1 1 )( k zzkzz 2 21 1k zzk ,)( 212 2 1 zzkzzkzz 49 , 2 zz 两边同除以两边同除以,1 2 1 2 2 1 zz zz kk zz zz , 2 1 zz zz w 令令,1 2 wkkw 两边同时平方两边同时平方, ,1 2 2 2 2 wkkw , 2 2 kw 于是于是,kw . 2 1 k zz zz 故故 50 例例1111 解解 .)1()1( 55 zz 解方程解方程 , 1 z直接验证可知方程的根直接验证可知方程的根 故原方程可写成故原方程可写成 , 1 1 1 5 z z , 1 1 z z w 令令 , 1 5 w则则. 4 , 3 , 2 ,