（应用数学专业论文）带干扰项的风险模型研究.pdf

山东科技大学硕士学位论文 摘要 摘要 本文致力于研究几种不同风险模型的破产理论，主要讨论了带有随机干扰项的两种 不同风险模型：首先讨论了带干扰的连续型风险模型，包括带干扰的保费收取次数为 p o i s s o n 过程的风险模型和带干扰的多险种风险模型，在模型中引入了调节系数的概念， 讨论了盈余过程的性质，并利用传统的和鞅的两种不同方法得到了破产概率的具体表达 式及其l u n d b e r g 不等式；并利用更新理论讨论了带干扰的更新风险模型、带干扰的保费 收取次数是p o i s s o n 过程的风险模型以及带干扰的多险种风险模型的极限定理。其次讨 论了离散型风险模型，包括带干扰的复合二项风险模型，双二项风险模型和广义复合二 项风险模型，引入了调节系数的概念，讨论了盈余过程的性质，并利用传统的和鞅的两 种不同方法得到了破产概率的具体表达式及其l u n d b e r g 不等式。 关键词：干扰：赢余过程：破产概率：鞅 坐查型垫奎兰堕主堂垡丝苎 一! ! 兰 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt ot h ed e v e l o p m e n to fr u i nt h e o r yi nd i f f e r e n tr i s k m o d e l s w ed i s c u s st w or i s km o d e l sb yd i f f u s i o nm a i l l ly f i r s t l yd i s c u s sc o n t i n u o u st i m e m o d e lb yd i f f u s i o nw h i c hw h e nt h en u m b e ro f p r e m i u mi n c o m ei sap o i s s o np r o c e s sa n d m u l t i t y p e i n s u r a n c er i s km o d e l i n t r o d u c et h ec o n c e p to fa d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t ，d i s c u s s t h ec h a r a c t e ro fs u r p l u sp r o c e s s ，a n dg e tl u n d b e r gi n e q u a l i t ya n df o r m u l ao ft h er u i n p r o b a b i l i t yu s i n gt w om e t h o d so ft r a d i t i o n a lm e t h o da n dm a r t i n g a l e a n dg e tl i m i t t h e o r yo fr e n e w a lr i s km o d e lb yd i f f u s i o na n dt h em o d e lw h e nt h en u m b e ro fp r e m i u m i n c o m ei sap o i s s o np r o c e s sb yd i f f u s i o na n dm u l t i t y p e i n s u r a n c er i s km o d e lb y d i f f u s i o ni nr e n e w a lt h e o r y a n dt h e nd i s c u s sd i s c r e t et i m em o d e lo ft h ec o m p o u n d b i n o m i a lr i s km o d e lb yd i f f u s i o na n dt h ed o u b l eb i n o m i a lr i s km o d e lb yd i f f u s i o na n d t h eg e n e r a l i z e dc o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e lb yd i f f u s i o n i n t r o d u c et h ec o n c e p to f a d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t ，d i s c u s st h ec h a r a c t e ro fs u r p l u sp r o c e s s ，a n dg e tl u n d b e r g i n e q u a l i t ya n df o r m u l ao ft h er u i np r o b a b i l i t yu s i n gt w om e t h o d so ft r a d i t i o n a lm e t h o d a n dm a r t i n g a l e k e y w o r d s ：d i f f u s i o n ；s m p l u sp r o c e s s ；r u i np r o b a b i l i t y ；m a r t i n g a l e 声明 本人里交给山东科技大学的这篇硕士学位论文，除了所列参考文献和世所公认 的文献外，全部是本人在导师指导下的研究成果。该论文资料尚没有呈交于其它 任何学术机关作鉴定。 硕士生签名 日期： a f f i r m a t l 0 n s i g n a t u r e ： d a t e ： - 琚相伍 埘6 6 喘。溉瓣 一 喜淼 蒋一 誊揣勰 嵩蓦耋 由东科拄大学硕士学位论文 1 绪论 1 1国内外研究的现状和发展趋势 在2 0 世纪9 0 年代，我国的保险业开始迅速发展起来。保险业是经营风险的特殊金 融服务行业。保险公司经过评估保险标的风险大小，以收取合理的保费为条件，一旦保 险标的发生损失，保险公司即按保险合同规定的保险责任赔付被保险人的损失，所以， 保险公司通过收取镰费并且为投保人承担定的风险达到为投保人分担风险豹目的。从 赢余的角度看，一方亟是连续不断的保费入帐，另一方厩则是不断地会有理赔支付，如 果在某一时刻发生一次很大的理陪，保险公司的赢余就有可能出现小于零的情提，这就 意味着保险公司面临“破产”，虽然实际上赢余小于零并不是说保险公司将要倒闭，但是 在赢余过程的简化数学模型下对破产概率做研究无疑是重要的，它对保险公司设计相应 的财务预警系统阻及保险监管部门设计某些监管指标系统等闯题有直接的参考与指导作 用。如果我们能考虑到保险公司日常事务中的不确定性等因素，褥到一般的风险模型， 则会对保险公司日常经营更能起到指导作用。 目前，国内井对于破产概率的研究非常多。现已公认，破产论的研究起源于瑞典精 算师f i 印l u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的搏士论文，至今已有百余年的历史。破产论的研究 既有其实际的应用背景，也有其概率上的兴趣。并且，一娄重要的随机过程p o i s s o n 过 程，正是l u n d b e r g 首次在这篇论文中提出来的。不过，l u n d b e r g 的工作不符合现代数学 的严格标准。他的严格化是以h a r a l dc r a m w 为首的瑞典学派完成的，是c r a m c r 将 l u n d b e r g 的工作奠立在坚实的数学基础之上。这在c r a m c rh o nt h em a t h e m a t i c a lt h e o y o fr i s k s t o o c k h o i m ：s k a n d i aj u b i l e ev o l u m e ( 1 9 3 0 ) 和c r a m e rh c o l l e c t i v er i s kt h e o r y s t o o c k h o l m ：s k a n d i a j u b i l e ev o l u m e ( 1 9 5 5 ) 中能清楚的看到。与此同时，c r a m e r 也发展了 严格的随机过程理论。l u n d b e r g - c r a r n e r 的经典风险模型中假设傈险公司在时刻t 的赢余 由下式给出： 幽 r ( t ) 2 x + c t 一艺五，t 0 女d 其中j 是初始资本；c 是保险公司单位时间征收的保验费； 墨，k l 表示第女次素赔额； 山东科技大学硕士学位论文 | v ( f ) ，t o ) 表示列时刻f 为止发生的索赔次数； ) ，t o ) 与 鼍，k 1 ) 楣互独立。虽然 经典风陵模羹比较简单，毽它为后入酌研究疆供了裰好的理论依据。 由子 楚掣小x e x ! f 泠了盈稍需要规定e 旯嚣 羽，下式称为褶对安全系数 。：c - ；e x l 1 9 9 8 年，张琳在“保险公司离散垄崩溃模型研究”一文中对经典风险模型加进了投 资和分红因素；2 0 0 0 年，王黎明在“保赞收取次数为p o i s s o n 过程的破产概率”一文中 假设赢余过稔为 r ( f ) = x + c m ( t ) - s ( t ) s ( f ) = 以，t o 箕中：m 0 ) ，t o ) 是参数为 0 的p o i s s o n 过程i 索赔总额s ( f ) 是复合p o i s s o n 过稷。 该文犍保费收取次数葶索赔惑额郯进行了雄广。逐凡年，久稍在看到了缣殓公司在醋常 经营中煮不壤定靛收莛耱付款之屠，又在谶有笳风险模型基磕上加上了酸机千抗项 矿( f ) ，得到了带干扰的经典风险模型 t o ( t ) 矗( # ) = x + c t 一五+ 矿( f ) ，t 0 这里矽，f o ) 麓标准w e i n e r 过程，且与 拟f ) ，f 汪o ) ，隅，_ j 1 独立。由于矽( o ) ：0 ， 最( f ) 】= 0 ，所以，这个模型下戆破产概率襄安垒受祷系数静定义都阕经典风险模型中 一致。 目前，带干扰项的风险模型是人们研究的热门话题。2 0 0 2 年，卞保武，司建东程“一 类带干扰风险过程的破产概率的估计”一文中将带干扰的照殓模型遴一步推广，假设赢 余过程为 l i f t l r ( t ) = x + c m ( t ) - 置+ 拶形( f ) 生查型垫盔兰墨主兰堡堕奎 一一 堕堕 其中m ( 1 ) ，w ( t ) 的意义同上。2 0 0 3 年，董英华，张汉君在“带干扰的双p o i s s o n 风险 模型的破产概率”一文中也在风险模型中加入了随机干扰项。但是，目前还没有关于带 干扰的离散型模型的研究以及广义复合模型的研究。另外，由于利率波动是市场经济国 家所具有的普遍金融现象，所以，研究者又开始考虑在利率波动条件下的风险模型。2 0 0 3 年，李晋枝等在文章“随机利率因素的破产模型”一文中尝试着在风险模型中考虑随机 利率因素并得到了随机利率下的破产概率。 除了对模型本身的逐渐完善，研究方法也在逐渐改进。1 9 7 1 年，w i l l i a m f e b e r 在“a n i n t r o d u c t i o nt op r o b a b i l i t yt h e o r ya n di t s a p p l i c a t i o n ”一文中使用了更新理论技巧来讨论风 险模型。之后，人们开始广泛应用更新理论证明破产概率的性质和定理。另一类方 去是 鞅方法，它是属于h a n sg e r b e r 的。h a n sg e r b e r 在1 9 7 3 年发表的“m a r t i n g g a l ei nr i s k t h e o r y ”文章中第一次运用鞅的方法对l u n d b e r g 不等式进行了证明。近几年来，鞅的方 法得到了广泛应用，它的出现大大简化了破产概率性质和定理的证明。 1 2 研究的主要内容 本文讨论了带干扰的风险模型，主要包括两个方面： ( 1 ) 带干扰的连续型风险模型 近年来，国内外对带干扰的连续型风险模型讨论比较多，也得到了许多很好的结果； 但是，一方面没有讨论带干扰的多风险模型，另一方面讨论的方法也都是利用鞅的方法。 所以，文章在这一部分讨论了两种风险模型，一是带干扰的保费收取次数是p o i s s o n 过 程的风险模型，并利用经典风险模型的研究方法进行了讨论：= 是带干扰的多险种风险 模型，并利用鞅的研究方法进行了讨论，得到了l u n d b e r g 不等式和破产概率公式。 ( 2 ) 带干扰的离散型风险模型 目前，国内外还没有人对带干扰的离散风险模型进行讨论。本文在经典风险模型、 双二项风险模型和广义复合二项风险模型的基础上进行了推广，即加上了随机干扰项。 也就是说将标准w e i n e r 过程离散化，得到了更加符合实际的风险模型。研究方法也是分 两种：经典风险模型的研究方法和鞅的方法。 本文的讨论完善了破产理论体系，对保险公司具有更加实际的意义。 本文的讨论完善了破产理论体系，对保险公司具有更加实际的意义。 2 预备知识 本章介绍了连续型和离散型两种经典风险模型，更新过程和矩母函数的定义，以及 文章中用到的三个随机过程：w e i n e r 过程，p o i s s o n 过程和二项分布。 2 1 经典风险模型 以下知识用到文献 1 】，【7 】， 8 】， 1 4 】， 2 0 】。 定义2 1 设 f n r ( f ) = x + c t 一以 k = l 其中：x 是初始准备金；c 是一个常数，表示单位时间内收取的保险费，在时间( o ，t ) 内收到的总保险费等于c t ，n ( t ) 是服从参数为a 的p o i s s o n 分布；x 。是个体索赔额； ( f ) ，t o ) 和，k 1 ) 相互独立。称上述模型为经典的连续型风险模型。 定义2 2 设 f n 胄( f ) = x + c t - - 以+ 仃矿o ) k - i 其中：石是初始准备金；c 是一个常数，表示单位时间内收取的保险费，在时间( o ，t ) 内收到的总保险费等于c t ；0 ) 是服从参数为a 的p o i s s o n 分布；以是个体索赔额；形0 ) 是标准w e i n e r 过程，表示保险公司不确定的收益和付款； ( f ) ，t o ) ， 五，k 1 ) 和 矿( f ) t 0 ) 相互独立。称上述模型为带干扰的经典连续型风险模型。 定义2 3 设 r ( n ) = x + c n 其中：x 是初始准备金；c 是一个常数，表示单位时间内收取的保险费，在时间( 0 ，n ) 内收到的总保险费等于c n ( n ) 服从参数为芦的二项分布；x 。是个体索赔额， ( ) ，n 0 ) 和 五，k 1 ) 相互独立。称上述模型为经典离散型风险模型。 定义2 4 设 4 山东科技太学硕士学位论文预蔷知识 月( “) = z + c m ( n ) 一以 其中；x 是初始准备金；c 是一个大于零的常数；肘( ”) 服从参数为z 的p o i s s o n 分布；( 月) 服从参数为卢的二项分布；五是个体索赔额：时( n ) ，n 0 1 ， 唧) ，n o 和f 鼍，女1 ) 相 互独立。称上述模型为广义复合二项风险模型。 s p a r e a n d e r s e n 在1 9 5 7 年提出了一种新的风险横型，在其模型中，n q ) 是一个一般 的蔓新过程，此模型称为更新风险模型。 定义2 5 设 n f n r ( t ) = x + a - 五 l 其中x ，c ，3 j 的解释同上，索赔间隔时间序列正，如，相互独立 n ( o = m a x n ：i + 瓦+ + s 辞 构成一更掰过程。若正，砭i + i d 则此过程称为一般更颟过程，也叫s p a r ea n d e r s e n 过 程。男外，如果( 外是一个p o i s s o n 过程，则模型就变成了经典的连续型风险模型。 2 2 几个基本概念 2 2 ，1 随机过程 酿下知识用到文献c 1 】， 2 】， 1 4 】 本文用到以下三个随机过程： ( 1 ) p o i s s o n 过程 p o i s s o n 过程是计数过程最重要的类型之一。 所谓计数过程，是指一随机过程 “r ) ，t o ，其中n q ) 表示到时刻为止发生的“事 件”总数。 菪计数过程 ( f ) ， o ) ( 其中含有参数 ) ，满足如下条件： o ( o ) = o ； 具有独立增量： 些奎型垫查兰堡主兰垡丝苎 0 在任一长度为t 的区间内事件的个体服从均值为m 的p o i s s o n 分布， j t 0 ，有 p n ( t + j ) 一( j ) ：n ) e - - t 掣，n ：0 ；1 ，2 力! 则称此计数过程为p o i s s o n 过程。 预备知识 即对一切 从条件可以看出，p o i s s o n 过程具有平稳增量，且研( f ) - a t ，因此旯为此过程的 速率或强度，即单位时间内事件发生的平均次数。 ( 2 ) w e i n e r 过程 若随机过程 矽( f ) ，t o ) 满足如下条件： 矿( o ) = 0 ； ( f ) ，t 0 ) 具有平稳独立增量； 对每一个t 0 ，w ( t ) 服从正态分布，均值为0 ，方差为盯2 t ，盯为正常数，则称 此随机过程为布朗运动，又称w e i n e r 过程。 当d = 1 时，称这一过程为标准布朗运动或标准w e i n e r 过程，且具有如下性质： 有限维分布为正态分布，过程具有马尔可夫性； 均值声o ) = 研形0 ) = 0 ，方差2 ( f ) = t 。 ( 3 ) 二项分布 如果随机变量孝有概率函数 尸 善= 后) = c ：p q n - k , 七= o ，1 ，2 ，n( 2 1 ) 其中0 p l ，q = 1 一p ，则称孝服从参数为 ，p 的二项分布。简记为手一b ( n ，p ) 。公式 ( 2 1 ) 称为二项分布公式或贝努里公式。孝的分布函数为 f ( z ) = 钟p 扩 i o 二项分布具有如下性质： e 掌= n p ；d 毒= n p q ； 6 塑堡型蔓查堂曼主竺些竺兰 2 ，2 2 矩母函数 预备知识 设卫是一个随机变量，其分布函数为f ( x ) ，它的矩母函数定义为 m z ( f ) = 醢e t x 】- e e l d f ( x ) ( 2 2 ) 矩母函数定义中的被积函数是一个实函数，( 2 + 2 ) 中的积分未必存在，亦即矩母函数 未必有定义，不是所有的分布函数都有对应的矩母函数。从定义( 2 2 ) 中可班看出，矩母 幽数在原点总是有定义的即m z ( o ) = 1 。假设并的矩母函数在原点的某邻域l l i r 内 存在则在该邻域内，m ，( 0 具有如下性质： 在l f j ，内r 并的分布函数由矩母函数村，( f ) 唯一确定。 记彳的阶原点矩a = f i x 】，则有 p = j ”( 0 ) ，e = l “2 - 并且矩母函数m ；( ! ) 还有如下的t a y l o r 展开式： m x 蜘薹p k 鲁，l 水， ，口 一 若置，x ：，z 。为相互独立的随机变量，剐独立随机变量和 s = 五+ _ ：+ + 爿。的籍母酒数为备随机变量矩母函数的乘积： m s q ) = m * 0 ) & ( 0 m 4 ( f ) o 若y = a x + b 。d ，6 为常数，则随枫变最r 的矩母萄数为 膨，( 0 = 矿m ，懈) 性质。可看作是应用矩母函数处理分舞蕊数的理论保证，性质0 固划燕关于矩母 函数的最常用性质。 下面是论文中用到的几个随机变量的矩母函数。 二项分布 坞( f ) = 趣j = ( q + p e ) 1 ， f + 漕槛分布 垂末科技大学硕士学位论文霞备知谈 0 硪态分布 m ( f ) = e e “】= e 。“，f 佃 掰；( f ) 。琢“滓。雕，一。 0 ，个 体索赔额并的分布函数为f ( ) ； ( 3 ) w ( t ) 为个标准缏纳过程，表示保险公司不确定的牧益和付款，f 为丈子零 的常数，并且w o ) ，t o ) ， s ( f ) ，f o ) ， 矿，t o l 相互独立； ( 4 ) 每次保险费收入为常数c 0 。 在上述假设下，赢余过程嘏0 ) ，t o j 为 月o ) ；x 十c m ( t ) 一s ( f ) + o r 矿( r ) 由假设( 2 ) ，得 9 山东科技大学硕士学位论文 带干扰的连续型风险模型 n g ) s ( f ) = 。 其中：，x 2 ，相互独立，且同分布于分布函数f ( ) ；f ( f ) ，t 0 ) 是参数为的 p o i s s o n 过程，并与五，x 2 ，相互独立。 记 表示破产发生的时刻，则 t = i n f t i r ( t ) 0 j 矿0 ) = e t 0 0 为破产发生的概率，它是初始值x 的函数。 下面讨论赢余过程的性质，并利用赢余过程的性质，给出有关破产概率的两个结论。 3 1 2 盈余过程的性质 性质3 1 盈余过程球0 ) ，t 0 具有平稳独立增量。 证明任取t o t l odr z 所以，g ( ，) 为严格下凸函数，方程( 3 1 ) 至多有两个解。显然g ( 0 ) = 0 ，r = 0 是平凡解。 又因为掣i r = o = - 砚+ 印。 0 ，r 0 ，有 e 【e ”。 = 研e - r g ( t ) p s f 】p r f + 占【e - r r ( t ) i t t p t t ( 3 2 ) 由r ( t ) = z + c m ( t ) 一s ( t ) + ( y t g ( t ) 及假设( 1 ) ，( 2 ) 知 e e - ，。， = e x p ( 一，并+ f ( p 一口一1 ) + i - t t ( m x ( r ) 一1 ) + l o 2 r 2 t ) 选择，使( 1 ) 的非零正根为r ，则有 e e 4 。】= e 一“ 在( 3 2 ) 式中将，换成r ，有 p 一“= e e - 8 州。i r s f p 丁f ) + e e - r i t ( t ) i t t p t t ( 3 3 ) 盈余 r ( t ) = 胄( d + ( r ( t ) - r ( t ) ) 2 r ( 乃+ c ( m ( f ) 一 ，( 乃) 一( s o ) 一s ( d ) + c r ( f 矿( f ) 形( 丁) ) 当给定r 时，由假设( 1 ) ，( 2 ) ，当， f 时，m ( f ) 一肘( r ) ，s ( f ) 一s ( 1 3 ，( f ) 一矿( d ， r ( 即是相互独立的，且m ( f ) 一m ( 印服从参数为a ( f d 的p o i s s o n 分布，s ( f ) 一s ( 即服 从参数为o 一丁) 的复合p o i s s o n 分布，0 ) 一( d 服从( 0 ，t 一乃分布，于是， 竺茎墅篓銮兰堡主耋笙笙奎 矍丝箜望篓鐾墨墼篓霆 e “叫p f 】 = e e “烈”e x p ( ( t d ( p 一一1 ) + 4 卜d ( 肼* ( ，) 一1 ) + 丢d 2 r 2 ( f 一即) p f = e e 一2 4 玲| rsf 】。 进而，商 磐蛩e e - k r e ) i t t ，盂章；譬转麓p 蛰 f ，露o ) 鸟( f ) 】p r ) g o 羚 茎p o 矗( f ) 茎q o ) ) + e x p ( 一胄g o ) ) 对于上袋孛鹞第二顼，避然有憋e x p ( - r g ( f ) ) = o 。对于第一项，应用切贝晓夫不等式， 毒 p o 矗( f ) s g p ) ) 。j p o r ( t ) e r ( t ) - 4 c 2 a + a p 2 + 盯2 西 - e ln ( o 一暑( r 滓舻石i i 了f i 2 _ 堡型盟： 0 2 五十声p 2 + 叮2 ) f 艿 所以，憋p o 震譬) = 。t 综上爨述，对予( 3 。2 ) 式嚣蠛，令f 峙取稷羧，有 e “= e e “8 n p 】y ( 曲 酾 妒( 并) = e e “刖7 防 叫 ! 奎壁垫奎兰堡兰兰壁笙兰 苎三垫塑堡篓塞垦壁塑型 下西定理给豳了破产概率的一个土界。 定理3 6y ( x ) e 一。 证明 当t 0 0 时，五( d 0 ，e e 硝。n p 1 ，故 妒( 砷 0 绘定概率空翔( q ，f ，一，t 0 。夸 坐堡型垫查堂堡主兰垡丝苎 堂王垫塑垄堡型垦堕蔓型 婶一+ 蛳) _ 笠- 一心zx + o w ( + a w ( t ) 尺( f ) = z + 洲( r ) 一，1 一一 ) j = li - i 其中 吐f )吐( f ) s ( f ) = 洲o ) 一乃1 一巧2 + c r w ( t ) 卢lj ；l ( 1 ) r ( t ) 表示保险公司在时刻f 的赢余 ( 2 ) z = r ( 0 ) 表示保险公司的初始赢余 ( 3 ) c 表不双险种给保险公司带来的平均收益： ( 4 ) 在时间( o ，t ) 内收取的保费次数( f ) ，f o ) 是参数为五 0 的p o i s s o n 过程， m ( 0 ) = 0 ； ( 5 ) 在时间( o ，t ) 内的索赔额 驾，i - 1 ， 霹，f 1 是两个相互独立的随机变量 序列，其分布函数分别为e ( 砷，f a x ) ； ( 6 ) 投保双险种的顾客索赔次数 l ( f ) ，r o ) ， 2 ( f ) ，f 0 ) 分别服从参数为 ，a ， 的p o i s s o n 过程，并且相互独立： ( 7 ) 矿0 ) 为一个标准维纳过程，表示保险公司不确定的收益和付款，盯为大于零 的常数。并且埘( r ) ，f 0 ) ， 髟，f 1 ) ，( 霹，i - 1 “( f ) ，f o ) ， 2 ( r ) ，f o ) ， o ) ，f o ) 是相互独立的。 上述模型称为带干扰项的双险种风险模型。 3 2 2 收益过程的性质 性质3 1 0 收益过程 s 0 ) ，t o ) 具有平稳独立增量。 证明任取t o f l p h 五衍。 3 2 3 预备引理 引理3 1 2 对于收益过程 s o ) ，t o ) ，存在瓣数g ( ，) ，使得e e “】。泸( ” 证孵由于 监蛰氅( 1 ) 鼯“辨】= e e x p ( - r c m ( t ) + r 艺玛1 + r 艺乃2 一删矿8 ) ) j 越 o 掰戳，g 妒) 为严格下函黼数，5 t y 程( 3 。4 ) 至多有两个解。显然g ( o ) ：0 ，r ：o 楚平凡解。 叉阕黄 山东科技大学硕士学位论文带干扰的连续型风险模型 掣卜一以+ h d + 鲍p ? 。 且当，斗+ o 。时，g ( r ) 一+ o 。，所以，正解r 是存在唯一的。 定义3 1 5 对于收益过程岱( f ) ，f 0 ，定义事件流f 5 = 碱5 ：f o ， 其中e 。= 一1v f , 2v f , ”v f , ”，且s = p p ) ，t 0 ) ，1 = 1 ( f ) ，t 0 ， j 2 = 2 0 ) t o ，m = m ( f ) ，t 0 ，w = 阡7 0 ) ，t 0 ) 。 佃3 1 6 沁朋船0 ) 是鞅，其中蚴) = 甓蔫铲。 证明对于任意v t e e m x i g = e 等 ：= e i e x p ( - r ( x + s ( v ) ) ) l e x p ( v g ( ，) )壁exp篙(t i gi v ) g ( r ) ) r | 堋d 吐篙普群吲咄 故舡，( f ) ，f ，f o j 是鞅。 引理3 1 7t 是f 5 停时嘲。 3 2 4 主要结果 定理3 1 8 带干扰的双险种风险模型最终破产概率满足不等式 y ( 砷e “ 其中r 为调节系数。 证明因为，是f 5 停时，选取f 。 o 。，易知 ，是，5 停时，根据引理3 1 7 以及可选停时定理，有 e 一8 = t ( o ) = e 卜饥( 乇 丁) 】 山东科技大学硕士学位论文带干扰的连续型风险模型 = e m ( t o t ) l t , o e m f i t o t ) t - t o p t t o = e m a t ) i t _ t o p t _ t o 在丁 。的条件下，x + s ( t 1 0 ，所以， p 丁f o ) i t 南 e e c x p ( - t ! g = ：( = - o ) l t 一- t o e r 。s 。u ；p 。e * ( ，) 三一p 一8 。口b p 2 【，) ( 3 5 ) 在上式两端令f o 斗m ，得到y ( 工) p 一“s u p e 2 ( ”，取胄= s u p r ：g ( ，) o ，得g 忙) = 0 ， 即证结论。 定理3 1 9 带干扰的双险种风险模型最终破产概率为 叭加瓦面意丽灭面 口一缸 占 e 】c d i r 代l ll i y l 其中r 为调节系数。 证明根据( 3 5 ) 式，取r = r ，得 ( 3 6 ) e - r x = e e - r r r ) r f 0 ) ( 3 7 ) 用i ( a ) 表示集合a 的示性函数，有 0 f o p r 1 0 = e e - 8 。“，( r 乇) e p 啪1 凇) o ) 由于o p 4 8 ( ) ，( 尺( f 0 ) 0 ) 1 ，根据强大数定理可以证明当f 。斗。o 时， r ( t o ) 斗，p 一口 。因此由勒贝格( l e b e s g u e ) 控制收敛定理，得 b l i m + 。e g 一。“i r t o p t t o = o ，p - a j 垒薹整茎奎兰至主整篷笙茎 于是，在( 3 7 ) 式两端令f 。0 0 ，即证结论， 3 3 极限定理 静： 撬韵连续整琵鞋骥蒸 下疆讨论豢予撬熬燹瑟鼹聚模鍪、镰费浚黻浚鼗必p o i s s o n 遗程懿飙陵穰鹜戳 及多险种风险模型的极限定理。 3 3 1 荚于带干扰的更新风险模型 更新计数过程 ( f ) t 0 肖如下特征，当f 充分大时，它的渐进性质有很简单 的表达戏。 弓l 耀3 2 0 t ”1 设 8 ) ，t 啦是一个更薮计数过翟，它对敷予独立瓣点羼阕鼯 识，月= 1 , 2 ，3 ，) ，其中正，五，与随机炎量，有相同的分布。 均值函数r e ( t ) = e f ( f ) 】的渐进表达式：若= 研1 3 o o ，则有 塑：三 ”t“ 搴实主肖丈数定律 p l i m n ( t ) ：与：l ”t 芦 方麓v a r n ( t ) 】的澎逡表达式：若= b i t ，拶2 = 黼】毒骥，籍 l i r av a r n ( t ) ：嬖 2 4 2 t “3 更新计数过程的渐避正态性；若烈r 2 】 ，贝对镁意斡实数盖，鸯 l i m p ( f ) 一一t 也就是说，n ( t ) 有渐进藏态分布， 设 鸯= 去。 痧 其渐进均值和方差分别是土和乓。 掣掣。 2 1 一唇 出苯辩拽丈学矮士攀经论文 带子撬翦连续整风砼模糕 必 s ( f ) = 如五+ c r w ( t ) 表示更新收益过程，设研置】：三，垭列。，则可以得劐； v 定理3 2 1 ( 1 ) 均饭函数删0 ) = 耳s ( r ) 的渐进表达式：若= 8 t 0 0 ，则有 即有大数定律 l i r ar e ( t ) = c - - 土 。t l a y p 汹型= c - - 与：1 “”t“v ( 2 ) 方差黝( ) 】瓣渐进袭达式：港遂露= 芦 ，v a r t = 哿2 s ( t ) 黪濒遴正态性：若壤f 2 】 粤 、i 、， 群堕乒 山东科技大学硕士学位论文 带干扰的连续型风险模型 = p 带一c w c p 3 v 小z - , u 2 矿 、i vm 十z 叩 瞧中心极限定理，当r _ o o 对，一。，( & 一费万收敛于均毽为 0 ，方差为1 的正态随机变量。又因为当f 斗0 0 时， 因此 所以结论成立。 一x 而c 1 t 霜s v 2 了- p 酽z v + 田呻去i e 2 d y 3 - 3 2 关于锵千扰勇皇保费收取次数为p ois s o n 过程的风验摸型 黠予3 1 串熬风疆模型，收盏过程魏s f ) ：毒+ c m ( t ) 一n ( o 五口妒) ，类似定理3 。2 l t * l 有如下定理： 定理3 2 2 ( 1 ) 均佼邈数州) = 研s ( f ) 】盼渐遂表运式：若研翻= 一1 o o ，弼 l i m 塑；c 2 一壁 。tv 即有大数定律 p l i i n 墅：矾一笃：l fv ( 2 ) 方羞阮， p ) 】的渐进表达式：若e 卅：三 鸭v a r 刀。占 = 竣s g ) 】憋潦逡表达式：麓竣弱= 一1 ， 毽弓l 】2 寺，墨巧2 】= 专，有 箨寄太数定律 胁塑。蔬一登一竺 “”t v 1v 2 p l i m s ( t ) 。靠一生一l ：l ”4 t g 錾? 2 ) 方差玩哇磊澎) 】瓣漆遴表达式：蘩妻】：三 v a , - t 。三 。，委| j 尉 l i m v a r s ( t ) - - - _ c 2 五+ 0 - 2 + 髯+ 鸳 | + 。 f v t 2v 。 ( 3 ) s 髫) 的渐进正态缝：著鬣r 2 j 0 ，以下随机变量都定义在同一完备概率空间( 力，f ，p ) 上 ( 1 ) 置，i = 1 ，2 ， 取值于( o ，o o ) 的独立同分布的随机变量序列 ( 2 ) ( ”) 为一个标准维纳过程，表示保险公司不确定的收益和付款，盯为大于零的 ( 3 ) ( h ) ，= 0 , 1 ，2 ， 为具有参数p ( 0 p 1 ) 的二项随机序列，并且 ( n ) ，h = o , 1 ，2 ， 置，i = 1 , 2 ，) 与 矿0 ) ，”= o , 1 ，2 ，相互独立 令 r ( 甩) = 上+ c 聪一s ( n ) + 盯阡7 ( n ) 跗) ：窆置，。_ o l ，2 ， 则称伍( ”) ) 为带干扰的复合二项风险模型 模型的实际背景是：在保险公司的事务中，x o 0 ) 是初始资本，c 为每单位时间内收 山东科技大学硕士学位论文 带干扰的离散型风险模型 取的傈费，燕保险公褥的唯一的收入是公司的运侔时刻，都公司收取傈费藕进行赔付 均在璃教时刻捏积= 0 , 1 ，2 ，) 进行，在肘刻扛一i ，嚣】中进行的一切工作，我们视为在时刻n 进行保险公司的不确定的收益和付款由w ( n ) 来表承投保人发生事故后公司进行理赔 是公司的惟一支出，记第f 次赔付量为置，则 墨 兰，为取值于r + 的独立同分布的随机变 量彦穰n ( n ) 为至辩袤弹为囊豹理结慈凌数，s 嵇) 为鞠辩亥l 为止魏总菇侮激r ( n ) 建 保殓公司在时刻玎的擞余。 记 t = i n f n l r ( n ) 镄 表示破产发生的时刻，则 矿( x ) = p p 0 ，所以，g ( ，) 为严格下凸函数，方程( 4 1 ) 至多有两个 解。显然g ( o ) = o