（工程力学专业论文）基于Kriging方法的结构可靠性分析及优化设计.pdf

大连理工大学博上学位论文 摘要 本文研究结构的可靠度分析方法和基于可靠度分析的优化设计方法，着重研 究了半解析的可靠度分析方法和模拟重要抽样方法，以及这些方法在海洋平台可 靠度计算中的应用，并研究了一种基于k r i g i n g 可靠度和凝聚函数的结构优化设 计的半无限规划方法。 第一章为文献综述和选题背景。首先简要介绍了结构可靠度的基本概念，并 对可靠度计算的各种方法进行了分析，同时对现有基于可靠度的结构优化设计的 数学规划方法进行了回顾。随后，重点介绍了一种半参数化的插值技术一k r i g i n g 方法以及本文的主要工作。 第二章给出一种基于k r i g i n g 模拟技术的结构可靠性分析方法。首先介绍了 在结构极限状态未知的情况下，计算可靠度指标的几种半解析方法。由于问题的 复杂程度和非线性程度的不同，响应面法中不同函数形式的选取会引起可靠度计 算的稳定性和有效性的差异。本文提出了一种不依赖于二次多项式近似的可靠度 分析方法，该方法建立了一个与已知信息相关的插值模型来模拟结构的响应，其 特点是并不给出极限状态方程的具体形式，以此避免假定的函数表达式对可靠性 计算的影响。使用该方法的另一个优点就是可以最大程度的利用现有的大型工程 分析软件，实现大型商用结构分析软件与自主开发的可靠性分析软件的结合。 第三章研究了一种基于k r i g i n g 模拟技术的结构优化设计的半无限规划方 法。首先，介绍了基于可靠度分析的结构优化设计的几种方法。由于基于可靠度 的优化设计是可靠度分析和优化设计二者的综合，求解该问题的最直接的方法就 是将两个过程直接衔接起来，组成一个双层规划问题。本章以k r i g i n g 模拟技术 为基础结合半无限规划方法，将随机变量和非随机变量( 设计变量) 等同考虑， 实现了结构可靠性分析和结构优化设计的体化，在保证计算精度的同时使计算 效率得到较大提高。 第四章将可靠度计算中的重要性抽样方法与k r i g i n g 模拟技术相结合，提出 了一种k r i g i n g 模拟重要性抽样方法。首先介绍了结构可靠度计算的蒙特卡洛法 及其修正的重要抽样方法等。在结构可靠度分析中。功能函数的计算往往需要进 摘要 行大量结构整体的有限元分析，重要性抽样方法所需要的样本数仍显太多，本章 方法试图利用k r i g i n g 模拟技术进一步减少重要性抽样方法所需要的样本数，以 达到减少可靠度分析计算量的目的。 第五章以胜利c b l 1 f 海洋平台为例，分别应用k r i g i n g 可靠度分析方法和模 拟重要性抽样两种方法进行了结构可靠度计算。首先介绍了影响海洋平台可靠性 的因素，同时对这种特殊的海洋结构的可靠性分析进行了回顾。对于导管架类结 构，由于其极限状态方程很难得到显式表达式，用传统方法求解其可靠度指标时 很难满足计算效率和精度要求。本文给出的这两种方法，在其原有方法的理论基 础上，有效地应用k r i g i n g 模拟技术，分别对响应面法和重要性抽样方法进行了 改进，使结构可靠度计算的效率得以提高，同时又很好的避免了响应面法和重要 抽样方法所存在的一些局限性。本文的方法为海洋工程这一类大型工程结构的可 靠度分析提供了新的方法，具有一定的工程意义。 关键词： 可靠度分析，结构优化，响应面法，重要性抽样，k r i g i n g 技术，蒙 特卡洛法，导管架平台。 查垄型三查兰竺：! ：兰些堡兰一 a b s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l yf o c u s e so ns t u d y i n ge f f i c i e n tm e t h o d s f o rs t r u c t u r a lr e l i a b i l i t y a n a l y s i sa n dr e l i a b i l i t y b a s e do p t i m a ld e s i g n ，e s p e c i a l l yd e v e l o p i n ga s e m i + a n a l y t i c a l m e t h o da n das i m u l a t e di m p o r t a n c es a m p l i n gm e t h o d b a s e do n k r i g i n gt e c h n i q u ef o r s t r u c t u r a lr e l i a b i l i t ya n a l y s i s t h e s em e t h o d sa r eu s e di nt h er e l i a b i l i t ya n a l y s i so f a l l o f f s h o r ej a c k e t p l a t f o r m a l s o ，a n e wr e l i a b i l i t y - b a s e d o p t i m i z a t i o n m e t h o di s d e v e l o p e d w h i c hi n c o r p o r a t e sb o t hk r i g i n gr e l i a b i l i t ya n a l y s i s a n ds e m i i n f i n i t e p r o g r a m m i n ga l g o r i t h m i nc h a p t e r1 ，b a s i cc o n c e p t sa n dm e t h o d sf o rs t r u c t u r a lr e l i a b i l i t ya n a l y s i sa r e i n t r o d u c e d ，a n dt r a d i t i o n a lm e t h o d sf o rr e l i a b i l i t y b a s e do p t i m i z a t i o na r es u r v e y e d f i n a l l y , as e m i - v a r i a b l ei n t e r p o l a t i o nm e t h o d - - k r i g i n g i sd i s c u s s e d i nc h a p t e r2 ，as e m i a n a l y t i c a lm e t h o df o rr e l i a b i l i t ya n a l y s i si sp r o p o s e d i ti s b a s e do nas e m i - p a r a m e t e ri n t e r p o l a t i o nt e c h n i q u e ，k r i g i n gm o d e l a tf i r s t ，g e n e r a l s e m i - a n a l y t i c a lm e t h o d s a r eo u t l i n e d r e s p o n s es u r f a c em e t h o d ( r s m ) i so f t e nu s e d t oc o n s t r u c tt h el i m i ts t a t ef u n c t i o n d u et ot h er e s t r i c t i o no fp o l y n o m i a lf u n c t i o n s ， r s mc a nn o ta t t a i ns a t i s f a c t o r ya c c u r a c yf o rh i g h l yn o n - l i n e a r i t yp r o b l e m s t oa v o i d t h ei n f l u e n c co fd i f f e r e n tl i m i ts t a t ef u n c t i o n s ，o u rm e t h o dc o m b i n e st h ek r i g i n g m o d e lw i t ht h eo p t i m i z a t i o nm e t h o da n dc a nc a l c u l a t et h er e l i a b i l i t yi n d e xw i t hg o o d a c c u r a c y m o r e o v e r , i tc o u l dt a k ea d v a n t a g eo fs o m ec o m m e r c i a ls t r u c t u r a la n a l y s i s s o f t w a r e i nc h a p t e r3 ，ar e l i a b i l i t y - b a s e do p t i m i z a t i o nm e t h o db a s e do nk r i g i n gr e l i a b i l i t y a n a l y s i sa n ds e m i i n f i n i t ep r o g r a m m i n g i sd e v e l o p e d a t f i r s t ，e x i s t i n ga l g o r i t h m sf o r r e l i a b i l i t y b a s e do p t i m i z a t i o n a r e s u r v e y e d g e n e r a l l y , t h i sp r o b l e mi s ab i l e v e l o p t i m i z a t i o np r o b l e m t h r o u g hc o m b i n i n gt h ek r i g i n gs i m u l a t i o nr e l i a b i l i t ya n a l y s i s w i t h s e m i i n f i n i t e p r o g r a m m i n g ，t h ep r o p o s e d m e t h o dt r e a t st h er a n d o ma n d n o n r a n d o mv a r i a b l e s e q u a l l y a n d a c c o m p l i s h e s t h e i n t e g r a t i o n o fs t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o na n dr e l i a b i l i t ya n a l y s i s ，w h e r e b yi m p r o v i n gt h ec o m p u t a t i o n a la c c u r a c y a n d e f f i c i e n c y i i i i n c h a p t e r4 ，a s i m u l a t e d i m p o r t a n c es a m p l i n ga p p r o a c h i s p r e s e n t e d f o r s t r u c t u r a l r e l i a b i l i t ye v a l u a t i o n t h i st e c h n i q u ec o m b i n e st h ei m p o r t a n c es a m p l i n g m e t h o dw i t hk r i g i n gs i m u l a t i o nt e c h n i q u ei ns t r u c t u r a l r e l i a b i l i t ya n a l y s i s ，a n dc a l l g r e a t l yd e c r e a s et h es a m p l en u m b e ro f m o n t ec a r l om e t h o d i n c h a p t e r5 ，v i c t o r yc b l l fo f f s h o r ep l a t f o r mi st a k e na st h ee x a m p l ea n d k r i g i n gr e l i a b i l i t ya n a l y s i s a n ds i m u l a t i o n i m p o r t a n c e s a m p l i n g m e t h o d sa r e r e s p e c t i v e l ya p p l i e dt oe v a l u a t ei t ss t r u c t u r a l r e l i a b i l i t y f o rj a c k e tp l a t f o r m s t h e l i m i ts t a t ef u n c t i o n ( l s f ) o f s t r u c t u r ei si m p o s s i b l et oh a v e e x p l i c i te x p r e s s i o n s i n t h i sp a p e r , t w om e t h o d sh a v e h i g he 尚c i e n c ya sc e r t a i ni m p r o v e m e n t so fr s ma n d i m p o r t a n c es a m p l i n gm e t h o d ，a n da v o i dt h e i rr e s p e c t i v el i m i t a t i o n t h em e t h o d si n t h e p r e s e n tp a p e rm a yp r o v i d e an e ww a yf o r r e l i a b i l i t ya n a l y s i so fo f f s h o r e e n g i n e e r i n g k e y w o r d s ：r e l i a b i l i t ya n a l y s i s ，s t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o n ，r e s p o n s es u r f a c e ，i m p o r t a n c e s a m p l i n g ，k r i g i t a gt e c h n i q u e ，m o n t ec a r l o ，j a c k e t p l a t f o r m 夫连理工人学博士学位论文 1 绪论 本章首先介绍了选题背景，之后简单介绍了可靠度的基本概念和计算方 法。对于未知极限状态的工程结构可靠度问题，现有近似和模拟方法在计算 效率或精度上存在不同程度的缺陷，这就使得寻找新的可靠度近似计算方法 变得十分重要。基于可靠度的结构优化设计也是工程中的一类重要问题，本 章对现有的以数学规划为基础的方法进行了回顾。最后，介绍了一种更具有 灵活性和预测能力的半参数化插值技术一k r i g i n g 方法。为了减少可靠性分析 的计算量并提高其计算精度，本文将其引进结构可靠度分析和基于可靠度分 析的结构优化设计，构成了该论文的核心内容。 1 1 结构可靠度的基本理论 工程结构的设计，应使所设计的结构在设计基准期内，经济合理地满足 以下要求。 1 ) 能承受正常施工和正常使用期间内可能出现的各种作用( 荷载、外加 变形、约束变形等) ； 2 ) 在正常使用时具有良好的工作性能； 3 ) 在正常维修和养护下，具有足够的耐久性； 4 ) 在偶然事件( 地震、爆炸、飓风等) 发生时及发生后，能够保持必要 的整体稳定性。 结构设计的安全性和可靠性是有很大区别的。满足上述1 ) 和4 ) ，关系到 人身财产安全，属于结构的安全性；2 ) 项关系到结构的适用性；3 ) 项关系到结 构的耐久性。安全性、适用性和耐久性三者总称为结构的可靠性。 绪论 1 1 1 影响结构可靠度的事物的不确定性 工程结构要求其具有一定的可靠性，是因为在其设计、施工、使用过程 等各个阶段都不可避免存在大量的影响结构安全、适用、耐久的不确定性因 素。这些不确定性因素涉及荷载、材料、工程假定等等，大致有以下几个方 面。 1 ) 事物的随机性 事件发生的条件不充分，使得在条件与事件之间不能出现必然的因果 关系，从而事件的出现与否表现出不确定性，这种不确定性成为随机性。 分为人因不确定性和非人因不确定性，其区分的依据是是否受人类活动的 影响。如，钢筋混凝土的强度和构件的尺寸属于人因不确定性；而各种环 境荷载就属于非入因不确定性。研究事物的随机性问题的数学方法主要有 概率论、随机过程和数理统计。 2 ) 事物的模糊性 事物本身的概念是模糊的，即一个对象是否符合这个概念是难以确定 的，也就是说个集合到底包含哪些事物是模糊的，而非明确的，主要表 现在客观事物差异的中间过渡中的模糊性。如，工程结构中的“正常与不 正常”、“适用与不适用”、“耐久与不耐久”、“安全与危险”等都没有明确的 界限。在日常事物中存在着大量的模糊性事件。研究和处理模糊性的数学 方法是模糊数学。 3 ) 事物知识的不完善性 事物是由若干相互联系、相互作用的要素所构成的具有特定功能的有 机整体。工程结构中的不完善性分为两类：一是客观信息的不完善性，是 由于客观条件的限制而造成的，如由于量测的困难，不能获得所需要的足 够的资料；另一种是由于主观知识的不完善性，主要是人对客观事物的认 识不清晰，如由于科学技术发展水平的限制，对“待建”桥梁未来承受的车 辆荷载的情况不能完全掌握。 大连理二r = 大学博上学位论文 1 1 2 结构的确定性设计和概率设计 在结构的确定性设计中，将预测得到的在使用期间所受到的最大荷载按 照一定程度的比例使其增加，或者把材料的强度极限值适当降低，作为所用 材料的许用应力。以此作为对荷载、材料强度、制造、使用中的不稳定性、 劣化以及分析方法的不确定性等所取的安全余度。此方法称为安全系数设计 法。这是工程上常用的一种设计方法，依据安全系数设计制造的结构在使用 期间内多数能满足使用要求。由于该方法是以过去的经验起支配作用的，所 以对于新用途、新材料、新结构形式和制造方法，能否获得像原来一样的计 算效果是有疑问的。 结构的可靠性设计又称为概率设计，它是以数理统计和概率论为基础的 方法，并可以处理结构工程中可能存在的各种不确定性。将作用于结构的外 荷载和结构的承载能力视为设计中不能准确给定的随机变量，分别服从不同 的概率分布。按照此概念设计的工程结构不可能做到1 0 0 安全，但是可以根 据设计人员对结构的可靠性要求，将其控制在一个可以接受的水平上。 1 1 3 可靠度的基本原理 1 1 3 。1 基本概念 结构可靠性的定义为，在规定的时间内，规定的条件下，结构完成预定 功能的能力。可靠度的定义与其相似，是可靠性的量化标准，在规定的时间 内，规定的条件下，结构完成预定功能的概率。 规定的时间是指结构设计的基准期，它是结构可靠度设计的时间参数。 结构的可靠度与使用寿命有密切的关系，但是设计基准期并不等于一般工业 产品的寿命。一个结构达到了设计基准期并不意味着不能使用而要立即报废， 只是表明此时的可靠度比规定值有所降低。 规定的条件是指正常设计、施工、使用。但是并不包含人为的主观错误 对结构破坏产生的影响。 预定的功能是指结构在经济合理的前提下，在安全性、适用性与耐久性 方面的要求。 1 1 3 2 基本随机变量 对结构进行可靠性设计，需要考虑相关的设计参数。而实际上，在进行 结构设计前，设计中的各个参数的具体数值是未知的。如在设计基准期内， 无法明确的知道所设计的结构荷载到底有多大也无法控制“待建”结构的材料 强度为某一预定数值，几乎所有设计参数均为随机变量，设计人员所能够得 到和使用的信息是这些随机设计参数的统计规律。它们的统计规律，构成了 结构可靠性分析和设计的基本条件和内容，结构可靠性分析和设计就是在这 种条件下产生的。 因此，在结构随机可靠性分析和设计中，结构的各设计参数都可以取为 基本随机变量。其中包括，外力荷载、材料强度、几何尺寸等等，表示为向 量形式，如x = ( x ，x ：，以) 。在一般情况下，x ，的概率分布函数和概率密 度函数通过概率分布的拟合优度检验后，认为是一致的，如常用的正态分布、 对数正态分布、极值i 型分布。 1 1 3 3 极限状态 在结构可靠度分析和设计中，为了能够正确描述结构的工作状态，必须 明确规定结构安全、耐久、适用和结构失效的界限，这样的界限称为结构的 极限状态。我国的工程结构可靠度设计统一标准( g b5 0 1 5 3 9 2 ) 对极限 状态的定义为：某个结构或结构的一部分超过某一特定状态就不能满足设计 规定的某一功能要求，此特定状态为该功能的极限状态，并将结构的极限状 态分为两种，即承载能力极限状态和正常使用极限状态。在一般情况下，结 构设计应同时考虑承载能力和正常使用的极限状态。 4 人连理工人学博l 学位论文 承载能力极限状态对应于结构或构件达到最大承载能力或者不适于继续 承载的变形。当结构或构件出现下列状态之一时，即认为超过了承载能力极 限状态： 1 ) 整个结构或者结构的一部分作为剐体失去平衡； 2 1 结构构件或其连接因材料强度被超过而破坏，或因过度的塑性变形而 不适于继续承载； 3 ) 结构转变为机动体系； 4 ) 结构或结构构件丧失稳定。 正常使用极限状态对应于结构或结构构件达到正常使用或者耐久性能的 某项规定限值。当结构或构件出现下列状态之时，即认为超过了正常使用 极限状态： 1 ) 影响正常使用或外观的变形； 2 ) 影响正常使用或耐久性能的局部损坏： 3 ) 影响正常使用的振动； 4 ) 影响正常使用的其它特定状态。 结构的极限状态实质上就是结构工作状态的一个阈值，用随机向量 x = ( x ，五，x n ) 表示结构的摹本随机向量，用g ( ) 表示描述结构工作状态 的函数，称为结构功能函数，则结构的工作状态表示为： f 0 可靠状态 1 1 3 4 可靠度与失效概率 结构的可靠性是用可靠度来度量的，定义为在规定的时间内和规定的条 件下完成预定功能的概率，表示为，而如果结构不能完成预定的功能，则 称相应的概率为结构失效概率，表示为只。结构的可靠与失效为两个互不相 绪论 容事件。因此结构的可靠概率只与失效概率尸，是互补的，即 p 【+ p 。= 1 ( 1 1 2 ) 按照结构可靠度的定义和概率论的基本原理，若结构的基本随机变量构 成的随机向量为= ( x i ，置，瓦) ，相应的概率密度函数为，( x ) ，由此随机 向量表示的功能函数为z = g ( x ) ，则结构的失效概率表示为： 弓= p ( z o ) = j ，o ) d x ( 1 1 3 ) 其中，f = x g ( x ) 0 表示结构的失效域 如果结构有两个相互独立的随机变量r 和s ，其相应的概率密度函数为 厶( ，) 和五( j ) ，概率分布函数为昧( r ) 和b ( j ) ，结构功能函数为 z = g ( r ，s ) = r s( 1 ，1 4 ) 或 则结构的失效概率为 p ，= p ( z o ) = f 【f 厶( r ) 西】矗( s ) 出= j 昧( s ) 矗o ) d s ( 1 1 5 ) b = j p ( z o ) = 【f ( s ) 出 五p 矽 0r = 【1 一肌( j 协砺( r ) 毋 ( 1 1 6 ) 00 = 【1 一b ( ，) l f r ( r ) d r 在结构可靠度分析中，一般用r 表示结构的抗力，用s 表示结构上的作用 ( 荷载) 效应。抗力可以是单一的基本随机变量，也可以是由若干个基本随 机变量表示的综合随机变量。由( 1 1 4 ) 式表示的函数是结构可靠度分析中最简 单的功能函数。 从上面可以看出，即使对最简单的结构功能函数，由数值积分法直接计 算结构的失效概率也是非常麻烦的。况且实际的结构分析中随机变量的数目 往往很多，功能函数也可能是非线性的，比较复杂。因此直接通过数值积分 6 人连理工大学博l j 学位论文 计算结构的失效概率，目前来讲，在实际工程中是难以实现的。因此，在工 程计算中，常用的方法大都为失效概率的近似计算方法。 另一方面，由于问题的复杂性，目前人们难以获得随机变量准确的统计 参数( 如平均值、标准差) ，难以推断准确的分布概率，甚至有些随机变量的 统计参数和分布概型，由于缺乏必要的信息，是凭专家的工作经验确定的。 但作为小概率事件的结构失效概率问题，对这些统计参数的变化和概型的选 择也很敏感，因此即使能够用直接数值积分法计算结构的失效概率，其结果 也未必具有所期望的精度。 1 2 。结构可靠度计算的基本方法 2 0 世纪4 0 年代以来，工程技术人员逐渐认识到在结构设计中必须引入考 虑不确定因素的可靠性模型。卡宾奇应用统计数学的方法研究荷载及材料强 度的离散性，从而开启了概率方法在结构设计中的应用。经过几十年的发展， 可靠性分析已经成为关系结构安全的决定因素之一。 结构可靠性分析可以分为两部分：其一是失效模式的确定；其二是计算 结构发生失效的概率。失效概率的计算是可靠性分析的目的，而失效模式的 确定以及每个失效模式的极限状态方程的建立则是可靠性分析的基础。只有 首先给出状态变量与各个随机变量之间的函数关系才能应用解析的或者数值 方法计算失效概率。解决这个关键问题的主要方法是口u n z i p p i n g 法、分枝限 界法、荷载增量法及准则法等。许多学者对结构系统可靠性分析中所存在的 问题进行了大量的研究并提出了相应的解决方法1 5 3 】【5 4 l 【6 5 1 1 6 6 】。本文主要以结 构构件可靠性分析为主，对体系可靠性问题做适当的探索性研究。 失效概率计算的近似方法大致分为两类：解析法，包括计算单个失效模 式的一次二阶矩法、二次可靠性方法、组合超平面法以及计算多个失效模式 的一阶边界法、二阶窄边界法以及三阶高精度法等；数值方法，包括数值积 分方法p m 空间”数值积分法、降阶积分法) 与数值模拟法( 蒙特卡洛、重 绪论 要抽样、分层抽样、条件期望值法、公共随机数法) 。 以上的可靠性分析都是以荷载、材料常数、几何参数等基本变量的随机 型为基础的，亦可称之为随机可靠性分析。 除此之外，还有以模糊数学为基础的模糊可靠性和以集合为基础的非概 率可靠性。模糊性是不同于随机性的一种强不确定因素，它主要是由于不可 能给某些事物以明确的定义和评定标准而形成的，模糊可靠性模型是当今可 靠性学科研究的焦点；而非概率可靠性模型的建立则是从上世纪9 0 年代才被 提到可靠性学科研究中来的，可以说非概率可靠性模型是用集合来描述影响 结构安全的不确定因素，以一种非概率的安全指标来描述结构的安全程度。 1 2 1 一次二阶矩法 一次二阶矩法( f o s m ) 是可靠度计算中最为常用的一种方法，因其只用到 了功能函数泰勒展开式的一次项和随机变量的前两阶矩，故得名。 1 2 1 1 c o r n e l l 可靠度 c o r n e l l 提出了与结构失效概率相对应的可靠度指标来衡量结构可靠度。 并以此建立了结构可靠度分析的次二阶矩法。这是可靠度分析初期提出的 一种方法，其基本思想就是将非线性的功能函数在随机变量的均值点处泰勒 展开保留一次项，并计算其前两阶矩。 中【z j 虹z + 。 | “ 图1 2 1正态功能函数概率密度曲线 f i g 1 2 1 e d f o fn o r m a l i z e ds t a t ef u n c t i o n 大连理工人学博j ：学位论文 随机变量r 和s 均服从正态分布，其均值和标准差分别为际，, u s 和，0 s ， 则功能函数z = r s 也服从正态分布，其平均值和标准差分别为p z = u 。一风 及= 厢。 图1 2 1 表示随机变量z 的分布，z 0 的概率为失效概率，即 弓= p ( z o ) ，此值等于图中阴影部分的面积。由图可见，由0 到均值段这段 距离，可以用标准差去度量，即p z = t i e r za 与只之间存在一一对应的关系： 卢小时，弓大：大时，弓就小a 因此卢和p ，一样，可以作为衡量结构可靠 性的一个指标。一般称为可靠指标。此时，失效概率为， 弓= p ( z 0 ) = o ( 一)( 1 2 1 ) 式中，巾( ) 为标准正态分布函数值。 可靠指标则为， 卢2 等 ( 1 2 2 ) 同样的思想可以扩展到多个变量、功能函数非线性的情况，这就是一次 二阶矩法( 中心点法) 的基本过程。 1 2 1 2 h l 可靠度指标 中心点法在本质上存在一个很大缺陷就是失效函数不具有唯一性。 h a s o f e r 和l i n d 针对这种情况，提出了可靠指标卢新的定义：在标准正态坐 标系中从原点到失效面的最短距离。一般称为h l 可靠度指标，它与失效函 数的选择无关，是个不变量。 通过引入标准化变量尺，：墨丛，f ：s - , u s ，将结构功能函数标准化，则 u ro s 失效面z = r - s = 0 将转换成标准坐标系( b s ) 中的直线，在( 月，s ，) 坐标系中， 失效面为， 9 绪论 仃月r 一s + ( r 一, u s ) = 0 ( 1 2 3 ) 从原点到此线性化失效面的最短距离等于 ( 1 2 4 ) 所以，可靠性指标定义为标准正态空间内原点到失效面的最短距离。对 于等于距离o p ，p 点称为验算点。利用这种方法定义的可靠性指标与 卢= 咖( 荆j ：卸 一般情况下，当基本变量x = ( 墨，五，瓦) 是相关时，为计算，需将其 化为不相关的变量y = ( 墨，艺，e ) ，然后将这组不相关的变量标准化。由以下 方法得到从相关变量x = ( 蜀，置，瓦) 到不相关变量j ，= ( 五，e ，k ) 的转换。 v a r x ) 】c o v x 。，x 2 】c o v x i ，x 3 g = l ； l( 1 2 6 ) l c o v 【以，墨】c o v x ，x 2 】一哳阮】j 令a 3 幻- - i e 交矩阵，其列向量等于q 的标准正交特征向量。则通过变换： 嚣 大连理工太学博士学位论文 0 1 j( 1 2 8 ) f a r 【】j q 的对角元素，即脚【z 】，i = t , 2 ，”等于q 的特征值。 f e i x l ：一，f e 歹以1 。：9 ， 【】j 2 7l 】j 1 2 9 1 ) 在设计验算点处，当量正态随机变量与原随机变量的概率分布函数值 2 ) 在设计验算点处，当量正态随机变量与原随机变量的概率密度函数值 1 2 13 可靠度计算的优化方法 由于可靠性指标可以表示为在标准独立正态坐标系中原点到失效面的 最小距离。夕的求解可转化为以下的约隶优化问题： ? 八窨：( 1 2 1 0 9 ( y 0 ) s i 、= 其中( y ) = y t y 2 。g ( y ) 为在标准独立正态坐标系中的极限状态函数。 1 ) 梯度投影法 1 9 6 1 年r o s e n l t o l 提出了梯度投影法，这一方法是对无约束优化的最速下 降法的改进。在无约束问题中，最速下降法的搜索方向为负梯度方向，而在 约束优化中，由于每迭代点必须位于可行域内，因此要对搜索方向d 。进行 k ；o 台p ，l = 4 ，吖 c4 = g 绪论 修改，使其满足 vg(yk岍)7dk=vf(yk 0 。 ( 1 2 1 1 ) ) 。以 这旱v f ( y d = 儿。满足这些条件的矾可表示为： d 。= ，一! 与考害i 罢产 y 。 c - z ：， 由于约束不一定为线性，新的迭代点可能不可行，通过一牛顿修正将其 拉回到可行域。理论上讲，步长氨应该通过精确一维搜索来获得，以使得 f ( 儿+ 。) 为方向d k 上的最小值。然而在非线性约束优化时，精确一维搜索是非 常浪费时间的，因此，常采用非精确一维搜索，如a r m i j o 搜索原则。 梯度投影法在解决这类可靠性结构优化问题时，全局收敛，精度较高， 收敛速度较快，并且只用到一阶导数信息，只有几个n 维向量需要在计算过 程中存储，与那些需要存储n h 海赛矩阵的算法相比，梯度投影法能够解决 较大的问题。因此这一方法很适合解决结构可靠性问题。 2 ) 乘子罚函数法 该方法将原问题转化为以下的优化问题： r n i n 扣+ 2 1 c g ( y ) 2 f 1 2 1 3 ) n u n j y y + 。 f 1 s t g ( y ) = 0 对这一问题，存在c ，使得对所有的c c ，拉格朗日函数： 地，们= 吉y r y + l c g ( “砌) ( 1 2 1 4 ) 在y 具有局部最小点。这一方法的一个重要特点为它只要求c c + 就能得 到精确解。与标准惩罚法相比，拉格朗日函数的病态在此得到了解决。 1 2 2 二次可靠度计算方法 一次可靠度计算方法由于其简便实用所以为工程技术人员所接受 大连理工大学博卜学位论文 2 】【3 1 4 】【5 】，但是当结构功能函数在验算点附近的非线性程度很高时，其精度就 会受到影响。因此出现了二次可靠度方法，其基本思想是取功能函数泰勒级 数展开式的一、二次项并结合随机变量的前几阶矩计算结构可靠度。出于这 些计算方法的复杂性，导致其很难应用于工程实际。近年来，以数学逼近中 l a p l a c e 渐近方法为基础的一类可靠度算法取得了相对较好的计算效果。 z h a o 6 】【7 】分别以主曲率k 。和四阶矩方法改进一次二次可靠性算法。 b a k e r e 5 0 1 、l i n d 5 “、赵国藩1 0 ”、章光先后以信息论中的最大熵理论或 最小叉熵理论为基础，在已知信息下构造以矩为约束的最佳概率分布，并以 此计算结构的失效概率。j a y n e s 所提出的最大熵原理，为我们提供了这样一 个选择准则“在根据部分信息进行推理时，我们应使用的概率分布，必须是 在服从所有已知观测数据的前提下使熵函数取得最大值的那个概率分布。这 是我们能够傲出的仅有的无偏分配；使用任何其它分布，则相当于对我们未 知的信息做了任意性的假设。”倘若除了原有的约束条件之外，还有一个先验 概率分布，就是说，所选的概率分布应当靠近这个先验概率分布时，称为最 小叉熵原理。上述两个熵优化原理的实质是“在服从已知信息条件下，寻找最 接近均匀( 先验) 分布的一组概率分布”。 1 2 3 响应面法 对于一个工程结构问题，在大多数情况下功能函数与基本随机变量之间 的显式函数关系是不存在的，这时可以应用数值模拟的方法来计算结构的失 效概率，但是对于大部分实际工程结构，这种方法的计算工作量是相当巨大 的。为了解决工作量大这一困难，上世纪9 0 年代，c g b u c h e r 明等先后提出 了用二次多项式来近似确定极限状态方程的响应面法，此方法的基本思想是 先假定一个包括一些未知参数的功能函数与基本变量之闻的解析表达式，然 后用插值的方法来确定表达式中的未知参数。由于响应面法的精度是由表达 式的形式和插值点的位置来确定的，所以这两方面都是响应面法所要研究的 绪论 主要问题。 响应面法的主要目的就是在保证精度的条件下尽可能的减少计算工作 量，为达到此目的。必须尽可能准确地描述原始极限状态曲面的概率特征， 特别是在设计点附近。 响应面的基本形式为二次多项式， z = 口+ 6 f 墨+ 砰+ 。矗置一 ( 1 2 1 5 ) j = i坤i b u c h e r 提出了用二次插值法来确定响应面函数中的未知参数，第一次插 值的中心点为均值以，确定第一次的插值多项式后，找到此插值多项式的设 计点x d ，然后由( 段，g ( 以) ) 和( 勃，g ( x 。) ) 线性插值得到满足g ( ) = 0 的新点 2 从+ x d - - x ) 揣( 1 2 1 6 ) 然后再以x 。为第二次插值的中心点确定响应面中的未知参数，b u c h e r 所 选择的二次多项式不包括交叉项。 在b u c h e r 方法的基础上，b a y e r 【9 】和r a j a s h e k h a r l l5 1 提出了通过多次插值 法来得到更精确解的方法，即将b u c h e r 的二次插值不断进行下去直到得出收 敛解为止。收敛表征量一般为插值中心点与设计点之间的距离，此距离很小 或者为零时则认为收敛。 f a r a v e l l i ! 1 则提出在响应函数中增加修正项以改进此方法，修正项实际上 是表示了实际函数与响应估计函数之间的误差。 k i m l l 2 1 提出了用线性响应函数来近似表示状态变量与基本变量之间的关 系式，并考虑了确定线性响应函数中未知参量的插值点的选取和响应面的方 向，其主要方法是将沿坐标轴方向选取的插值点投影到响应失效面上，然后 以响应失效面的投影点来确定新的响应失效。 d a s 和z h e n g 于雷川先后提出了一种逐步回归的响应面法，该方法 大连理工大学博士学位论文 使用加权的回归分析，在方差分析的基础上根据线性项、二次项和交叉项的 实际贡献决定取舍，或者根据实际物理意义决定取舍，很好的继承了前面已 获得的样本信息。l i u e “】 i 川将响应面法与重要抽样方法结合提出了序n q - j 应面 法并将其应用于机翼结构分析很大的提高了计算的效率。 国内外的很多学者在响应面的发展和应用f 1 3 6 j c l 7 l 【2 0 i 2 2 1 上做了大量的工 作，使响应面法逐渐适用于工程结构可靠性的计算。 响应面法中存在的问题是，无法估计响应面的不同形式对可靠度计算的 影响。在响应面法中，多项式是基本形式。不同方法的主要区别在于，是一 次多项式还是二次多项式( 是否包括二次交叉项) 。对于已有的问题。可以针 对其特点有针对性的选择响应面近似函数，但是对于新问题的求解缺乏指导 意义。而且当结构的极限状态方程非线性程度较高时，二次多项式形式的响 应面法很难真实地反映极限状态曲面的非线性程度，这样就会造成计算精度 上的误差。若使用高阶的多项式模型，由于待定系数多，从而需要更多的采 样点，导致计算效率的下降。使用响应面法计算结构可靠度时，通常采用结 构分析和可靠度分析迭代的方法，这样的计算过程就要求工程人员自主进行 结构有限元分析，但是工程人员自己编织的有限元分析程序在计算效率、计 算精度和使用范围上是远远不及现有的商用结构分析软件的。 本文正是基于这几点，提出了基于k r i g i n g 模拟的可靠度计算方法，同响 应面法相比较，其最大的特点就是并不给定原问题模拟的函数形式，以此避 免多项式形式对结构可靠度计算的影响，通过选取部分样本及其结构响应， 模拟未知状态的结构响应，然后附以最优化的方法求解可靠性指标。该方法 突破了响应面法中多项式形式对于可靠性计算的制约，避免数学表达式的不 同对于可靠性计算的影响。与响应面法相比较，它摒弃了传统方法中可靠度 计算和结构分析交替进行的过程。取而代之的是一个先结构分析后可靠度计 算的过程，其优点就是可以最大程度的利用现有的大型工程分析软件。 绪论 1 2 4 蒙特卡洛模拟方法 蒙特卡洛方法是以数理统计原理为基础的，又称随机模拟方法，是随着 电子计算机的发展而逐步发展起来的一种独特的数值方法。用蒙特卡洛方法 来研究事件的随机性是结构可靠度分析的一个重要方面。我国港口工程结 构可靠度设计统一标准( g b5 0 1 5 8 9 2 ) 已将它列入其中。这意味着结构可 靠性分析的蒙特卡洛方法正逐步为广大工程技术人员所接受，并成为结构可 靠度分析的一个重要组成部分。 蒙特卡洛方法的优点是，它回避了结构可靠度分析中的数学困难，不需 要考虑结构极限状态曲面的复杂性，只需要得到结构的响应即可；缺点是计 算量大，因此目前还不作为一种常规的结构可靠度分析的方法来使用，只适 用于一些情况复杂的结构，由于其具有相对较高的精度，常用于结构可靠度 各种近似方法计算精度的检验和计算结果的校核。 使用蒙特卡洛方法解决问题，首先要用某种特定的方法产生大量的随机 数，这一过程称为随机抽样a 通过计算机产生 o ，1 】均匀分布随机数的方法大 致分为三种，即数理方法、随机数表方法和数学方法。最为常用的是数学方 法，包括迭代取中法、移位法和同余法。在【o ，1 】上产生均匀分布的随机数尚 需通过反函数法、舍选法等变换为已知分布的随机样本值。 直接抽样方法是蒙特卡洛分析最基本的一种方法，对于基本随机变量 x = ( 五，五，咒) ，其概率密度函数为i ( x ) ，对应结构某一状态的功能函数 为z = g ( x ) 。将随机样本值序列x 代入功能函数z = g ( x ) ，若z 0 ，则模拟 的结构失效一次。若总的模拟数为，功能函数z 0 的次数为 ，则结构失 效概率b 的估计值e 为， e = 等 ( 1 2 1 7 ) 1 7 0 = 寺 ( 1 2 查堡里三点兰塑圭兰堡笙奎 由波雷尔大数定律， 黔睁十 = ：ts ， 知道尊以概率1 收敛于弓。 失效概率的另一种表达形式为， o = e ， g ( 工) y ( x ) 出 ( 1 2 1 9 ) 1 9 ) 0