（理论物理专业论文）光学晶格中玻色爱因斯坦凝聚的超流理论.pdf

光学晶格中玻色- 爱因斯坦凝聚的超流理论 摘要 近年来，人们在超冷原子气体的实验和理论研究方面都取得了飞速 进展，并且新的实验和理论结果仍在不停地发表出来。文中我们首先对 超冷玻色气体中的这些进展作了简单的叙述，着重系统地介绍了光学晶 格中的玻色一爱因斯坦凝聚的一些性质，如量子隧穿、超流一绝缘相变等。 我们利用量子多体理论对b e c 的超流性质作了探讨，利用b o g l i u b o v 变换 处理了弱相互作用下光学晶格中玻色系统的能谱，并把它与无外场作用 下的超流作了比较，发现在长波近似下，两者的色散关系相同，均为线 性的；并计算了光学晶格中玻色气体的超流速度，最后简单分析了超流 一m o t t 绝缘相变条件。 关键词：玻色一爱因斯坦凝聚；光学晶格；超流性；量子相变 i v 一些! ! 坠坐 a b s t r a c t r e c e n t l ym u c hp r o g r e s sw a sm a d ei nt 1 1 ei n v e s t i g a t i o no fu l t r a c o l d a t o m se x p e r i m e n t a l l ya n d t h e o r e t i c a l l y , m o r ea n dm o r en e wr e s u i t sa r e p u b l i s h e dc e a s e l e s s l y w ef i r s t l yr e v i e wt h e s e p r o g r e s sa b o u tu l t r a c o l d b 0 8 0 n si nt h i s p a p e r , e m p h a s i z i n gt h ep h y s i c a lp r o p e r t i e so fb o s e e i n s t e i n c o n d e n s a t i o ni no p t i c a ll a t t i c e ，s u c ha sq u a n t u mt u n n e l i n g ，s u p e r f l u i d m o t t 1 n s u l a t o rp h a s et r a n s i t i o n w ei n v e s t i g a t et h e s u p e r f l u i dp r o p e r t yo fb e c w i t hq u a n t u mm a n y b o d yt h e o r y ，a n do b t a i n e de n e r g ys p e c t r u mo f 、 ，e a k l v i n t o r a c t i n gb o s o n i cs y s t e mi no p t i c a ll a t t i c ew i t hb o g l i u b o vt r a n s f b 舢a t j o n t h er e s u l t sa r ec o m p a r e dw i t ht h et h o s ew i t h o u te x t e r n a lf i e l d w ef o u n d t h a tt h ed i s p e r s i v er e l a t i o n ，w h i c hi sl i n e a r , a r et h es 锄ei nt h e1 0 n gw a v e l i m i t - s u p e r f l u i dv e l o c i t yo fb o s o ni no p t i c a ll a t t i c ei sa l s oc a l c u l a t e d ：l a s t l v w ea n a l y z et h e q u a n t u mp h a s e t r a n s i t i o nc o n d i t i o no fs u p e r f l u i d m o t t i n s u l a t o n k e y w o r d s ：b o s e 。e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n ；o p t i c a ll a t t i c e ；s u p e r f l u i d i t y ； q u a n t u mp h a s et r a n s i t o n v 引言 引言 早在1 9 2 4 年物理学家玻色和爱因斯坦就在理论上预言了玻色一爱因斯坦凝聚现 象( b e c ) 的存在：当原子气体的温度足够低时，近独立的玻色子会在最低能态上聚 集，达到宏观的数量。根据量子力学中的德布洛意关系，五= 厅p ，粒子的运动速度 越慢( 温度越低) ，其物质波的波长就越长，当温度足够低时，原子的德布罗意波长 与原子之问的距离在同一量级上，此时，物质波之间通过相互作用而达到完全相同 的状态，其性质由一个原子的波函数即可描述。在这种状态下，所有的原予的行为 如同一个原子，具有完全相同的物理性质。当温度为绝对零度时，热运动现象几乎 完全消失，原子处于理想的玻色一爱因斯坦凝态。从那时起，物理学家都希望能在实 验上观察到这种物理现象，但由于找不到合适的实验体系和实验技术( 要求接近于 绝对零度) ，玻色一爱因斯坦凝聚的早期实验研究进展缓慢。直至f 1 9 3 8 年，伦敦”峙旨出 低温下液氦的超流现象可能是氦原子玻色凝聚的体现，玻色一爱因斯坦凝聚才真正 引起物理学界的重视。 二十世纪九十年代中期以来，随着实验技术，特别是激光冷却技术的发展以及 在此基础上形成的原子束塞曼冷却技术和光学粘团技术，为激光囚禁原子提供了思 路。人们对超冷原子气体的凝聚态特性、量子相干特性等进行了大量突破性的实验 和理论研究。这些研究从玻色气体和费米气体两个方面大大加深了人们对多体相互 作用量子系统的认识。众所周知，物质世界中的粒子可分为玻色子和费米子两种基本 类型。玻色子的自旋为h 的整数倍，满足玻色统计；而费米子的自旋为h 的半整数倍， 满足费米统计。玻色子和费米子截然不同的统计性质是物质世界多样化的一个根本 原因。就中性原子而言，由于电子的个数和质子的个数相同，故而若原子包含的中子 数为偶数，则该原子为玻色子；反之，若原子包含的中子数为奇数，则该原子为费米 2 j o 1 9 9 5 年，气态碱金属原子的玻色一爱因斯坦凝聚的实现激发了人们对超冷原子 的研究热情。近十年来，人们对b e c 的热力学性质、相干性质、动力学性质等进行了 大量的实验。1 和理论研究工作，极大地推动了人们对这宏观量子客体的奇妙性质的 认识。2 0 0 1 年，c o r n e l l 等人由于实现气态碱金属原子的b e c 以及对其基本性质的先 光学品格中玻色一爱园斯坦凝聚的超流理论 驱性研究工作荣获诺贝尔物理学奖。2 0 0 3 年底至2 0 0 4 年初，人们在超冷原子方面又取 得了惊人的突破。对于束缚在光阱中的两组分费米气体，结合改变原子问散射长度的 磁场f e s h b a c h 共振，人们在远低于费米温度的情况下实现了分子b e c 。随后，人们很快 从实验上实现了原子库伯对的凝聚体，并对其性质进行了大量开拓性的研究。这些巨 大进展必将开辟一个崭新的研究领域，从而使得人们对量子多体系统的关联性质取 得认识上的新突破。磁场f e s h b a c h 共振的巨大威力在于通过调节磁场强度这一外部 参数，可以人为控制原子间的散射长度。在f e s h b a c h 共振磁场附近，图( 0 - 1 ) 中处于 不同内部态的费米原子问的散射长度和磁场强度b 相关。 其基本原理是通过原子与光子的动量交换来达到冷却原子的目的，冷却后的原 子由磁场与激光组成的磁光囚禁阱囚禁( 图0 2 ( a ) ) ，然后在囚禁阱中继续用蒸发冷 却( 图0 - 2 ( b ) ) 的办法达到所需要的温度，即把热的原子蒸发掉。在囚禁边缘部分， 磁场很强，控制原子磁极的射频场的频率很高，通过逐渐的降低频率可以把温度高 的原子排出阱外，从而达到冷却的目的。在磁光囚禁阱中原子是靠偶极磁场力来约 束的，如果原子的磁极发生反转，就会使吸引力变为排斥力，因此需要用刳频场来 控制原子磁极的反转，但是在囚禁阱的中心电磁场为零，这就不能控制原子自旋态 ( 磁极) 的变化。为此，c o r n e l l 采用旋转磁场装置使原子始终不能达到磁场为零的位 置，以达到控制原子自旋态的目的。最终他们将温度降到1 7 0 纳度，即比绝对零度仅 高出千万分之一度多，从而实现玻色一爱因斯坦凝聚态，如图( o - 1 ) 。几个月后麻省 理工学院的沃尔夫冈凯特纳( w k e t t e r l e ) “1 研究小组在钠( 2 3 n a ) 原子蒸气中实现了 玻色一爱因斯坦凝聚，他们得到的冷凝态的原子数要高出2 个量级。 图0 - 1b e c 的动量密度分布 随着c o r n e l l 和w i e m a n 以及凯特纳的研究组在实现玻色一爱因斯坦凝聚方面取得 2 引言 的突破，这个领域经历着爆发性的发展，目前世界上已有近3 0 个研究组在稀薄原子 气中实现了玻色一爱因斯坦凝聚。 图0 2 磁囚禁( a ) 与蒸发冷却( b ) 不意图 玻色一爱因斯坦凝聚体具有很多奇特的性质。像激光那样，凝聚体具有相干性。 c o r n e l l 和w i e m a n 等人研究了凝聚体的集体激发、涡旋态的形成、暗孤立子以及两元 玻色一爱因斯坦凝聚体的行为等：k e t t e r l e 的研究小组把凝聚体一分为二，然后关 闭囚禁它们的势阱让两者自由扩展，在它们交叠的区域观测到了清晰的干涉条纹； 他们还研究了凝聚体中的声波传播、物质波与激光场的相互作用、自旋畴结构及量 子隧穿，在凝聚体中形成了旋涡阵列，并实现了无破坏测量以及用磁场调节原子与 原子之间的相互作用，为进步研究玻色凝聚体的性质提供了基础“”。美国国家标 准局的菲利普斯研究小组0 1 在凝聚体中实现了类似于非线性光学中的四波混频。哈佛 大学的两个研究小组用玻色一爱因斯坦凝聚体使光的速度降为零。“，这引起了公 众的极大兴趣。如何像激光器输出相干光子那样输出相干原子( 原子激光) ，也是目 前实验追逐的目标。玻色一爱因斯坦凝聚体的研究也可以延伸到其他领域，例如，利 用磁场调控原子之间的相互作用，可以在玻色爱因斯坦凝聚体中产生类似于超新星 爆发的相现象，由于费米子的特性，即使在零温度仍有压力存在，因此可将类似于 实现玻色一爱因斯坦凝聚的技术用于费米气体，在实验中模拟白矮星的内部压力， 理论上也提出了用玻色一爱因斯坦凝聚体来模拟黑洞的设想“”1 。 玻色一爱因斯坦凝聚体所具有的奇特性质，使它不仅对基础研究有重要意义， 而且在芯片技术、精密测量和纳米技术等领域都让人看到了非常美好的应用前景。 凝聚体中的原子几乎不动，可以用来设计精确度更高的原子钟，以应用于太空航行 和精确定位等。凝聚体具有很好的相干性，可以用于研制高精度的原子干涉仪，测 量各种势场，测量重力场加速度的变化等。原子激光也可能用于集成电路的制造。 3 光学晶格中玻色一爱园斯坦凝聚的超流理论 凝聚体还被建议用于量子信息的处理“，为量子计算机的研究提供另外一种选择。 第一章：b e c 的基本理论 第一章b e c 的基本理论 1 1s 波散射长度 一般来说，原子间的相互作用势是原子间距的复杂函数，原子间距离小时，由 电子云迭加而产生强烈的排斥力；当距离大时则会产生e b v a nd e rw a a l s 相互作用 引起的吸引力。而对于处在低温低密度下的稀薄原子气体来说，三体碰撞的几率很 小，原子间相互作用可以看作一个两体散射情形，而只用一个参数来表征：s 波散射长 度”“。在质心参考系中对应的波函数中可以看做是入制平面波与出射反射波巾。( r ) 的迭加。若取入射平面波的传播方向为z 轴，则： o = 8 “+ 中：。( r ) ( 卜1 ) 对于大的原子间距，散射波是一个出射球面波公k 。八。，e i k r ，其中厂( 云) 是散射 ， 振幅，云是散射波波长，假设原子间相互作用满足球对称，散射振幅仅依赖于散射 角( 散射粒子传播方向与z 轴方向的夹角) ，在这个近似下，式( 卜1 ) 可写为： 。：。m + ( 卢) 生 ( 卜2 ) 在稀薄的冷原予系统中，d eb r o g l i e 波长要大于原子间力的作用线度，玻色子 的能量也小于平均原子一原子相互作用势。在这个极限下，只有在零轨道角动量态 ( ，= 0 ) 原子的散射才对整个散射振幅有贡献。在，= 0 态上的粒子散劓称为s 一波散射。 在这种情况下，f ( f 1 ) 的值趋向于一个常量，我们用一盘表示，原子问相互作用势的 具体形式是不重要的。参数日称为s 波散射长度，在低能极限下k 寸0 ，则( 卜2 ) 式中 的波函数西可以写为： m 一1 a 按照l e g e n d r e 多项式展开波函数m ，则散射截面盯可写为“” o - = 4 n - a 2 ( i - 3 ) ( 卜4 ) 光学晶格中玻色一爱因斯坦凝聚的超流理论 它表明散射长度也决定了原子间相互作用势的有效作用范围。事实上原子间的势能 等效于一个半径为a 的硬壳球面。口可以取正值或负值，这分别依赖于原子间相互作 用是排斥还是吸引。s 波散射势可以用一个等效的接触势“”来描述： v ( r r ) = u o s ( r r ) ( 卜5 ) 其中f 和f 表示两个相互作用原子的位置，万是d i r a c 艿函数，并且 u ：4 z 疏2 a( 卜6 ) m 这个模型在下一节中的用来得到b e c 中的量子力学模型。 在上述讨论中我们假定散射长度小于原子间距离，这就要求玻色原子间是弱相 互作用，或者等价地说，要求玻色原子的凝聚部分要占很大比例。稀薄的冷玻色原 子气体应当满足下面的不等式： 五 以_ 3 a ( 卜7 ) 实验上s 波散射长度a 可以通过f e s h b a c h 共振效应调节，实际上正是在玻色一爱因 斯坦凝聚气体中原子低温碰撞的研究中，导致了原子一分子转换的f e s h b a c h 共振效应 的实验发现。这个效应最初是在六十年代f e s h b a c h 在研究强外场中原予核碰撞时发 现的。外磁场中超冷原子碰撞散射过程将根据不同的超精细结构状态分为开道与闭 道，外磁场使得开道的渐近态的能量低于闭道。因此，当磁场取特定强度时，从开 道入射的原子会与闭道中的束缚态发生共振，两个原子“粘”在一起，先形成具有 一定寿命的分子，然后分开。这个共振过程会导致散射长度的突然改变。通过调节 磁场，可以使有效散射长度从正变到负，如图( 卜1 ) 。由于散射长度标志着原子问的 相互作用强度，从而决定了玻色一爱因斯坦凝聚气体原子的宏观量子行为，如玻色一 爱因斯坦凝聚气体的集体振荡的约化。事实上，散射长度为零意味着人们通过调节 外场得到了没有相互作用的理想玻色原子气体；散射长度为负意味着我们可以观察 凝聚体的突然塌陷。 第章：b e c 的基本理论 晚s c b 口 厂 图1 - 1f e s h b a c h 共振示意图 1 26 r o s s - p i t a e v s k ii 方程 在1 9 6 1 年，g r o s ss d p i t a e v s k i i 独立地导出一个非线性s c h s r d i n g e r 方程来描 述玻色一爱因斯坦凝聚。“，他们用平均场理论来讨论玻色子之间的相互作用。尽管 这个理论模型很简单，但从该理论计算得到的密度与动量分布等与b e c 实验中观察到 的结果很符合( 一般误差在几个百分点之内) 。 首先他们假定所有的n 个玻色子都发生凝聚，占据同一个量子态。严格地说，这 种情形只有无相互作用的粒子在绝对零度时才成立。在有限温度下，必然有一少部 分玻色子占据激发态。玻色子之间的相互作用使得粒子在凝聚态上的占据数进一步 减少。但在超低温与弱相互作用下，这个假定是近似准确的。 如果n 个玻色子都处在单粒子态( r ) 上，则凝聚态的波函数a o ( r ) 可以写为： o ( r ) = n “2 ( r ) ( 卜8 ) 其中是凝聚的玻色原子总数，单粒子波函数( r ) 按如下方式归一化： 拟r ) l 2 d r = l( 1 9 ) 意味着 j | m ( r ) j 2 d r = ( 卜1 0 ) 这里，巾( r ) 解释为每单位体积的原子数，或简单地称为凝聚数密度。则凝聚波函数 的有效多体哈密顿量是： 光学晶格中玻色一爱因斯坦凝聚的超流理论 h = 涨川小。驴训 n - 求和项中包括了我们熟悉的动能与势能项( v f f ) 是描述外场的势) ，最后一项则是s 一 波散射描述的强关联效应。利用变分方法： 腩旦中：堕( 1 - 1 2 ) o t椰 其中能量泛函由下式给出： 喇= p 留吖哪峥1 4 ，s ， 我们可以得到下面的s c h r s d i n g e r 方程： 旃! ! 里g 盟：一：h i 2 j v ：中( r ，r ) + p 幺( r ) 中( r ，) + i 中( r ，r ) 1 2 中( r ，r ) ( 1 - 1 4 ) o t z 埘 和通常的含时s c h r s d i n g e r 方程相比较，上式右端多了第三项，它是由原子间相互 作用引起的平均场项。可以把这一项看作一个额外的势，每个粒子都处在其他粒子 贡献的平均场之中。 对于定态情况，取c b ( r ，f ) = o ( r ) e x p ( 一i t h ) ，则得到描述定态b e c 的 g r o s s p i t a e v s k i i 方程： 一笔v 2 ( r ) + ( r ) m ( r ) + u 。1 中( r ) i 2 中( r ) = ，西( r ) ( 11 5 ) z 卅 值得注意的是，等式( 卜1 5 ) 中的能量本征值是化学势，而不是通常意义下的粒子的 平均能量。只有在不存在相互作用时，化学势“才可以等于单个粒子的能量。 由于非线性项i 中( r ) j 2 的存在，要精确得到g p 方程的解析解是很困难的，只有在 非常简单的情况下才是可能的，比如处在一个无限高势阱中的b e c “。 在研究超流、涡漩等问题时候，人们常把b e c 波函数分解成振幅和相位的形式： ( r ) = 乙。( “ ( 1 1 6 ) 满足连续性方程： 一o n + v ( v ) ：0 ( 卜1 7 ) o t 、。 兰二里! ! 堕竺墨查堡垒 v = h - - v ( r ，)( 卜1 8 ) 其中 = p ( r ) j 2 为粒子数密度，v = ? i 塑丞坠里警堕三罢蚴为凝聚原子的超 2 m i m ( r l r 流速度。 要完整描述n 个囚禁在外场p 0 ( r ) 下的相互作用玻色子系统，其多体哈密顿量的 二次量子化形式为： 疗= p 叭r ) ( 一嘉v 2 + ( r ) ) 响 + 寺p 3 r d a r q + ( r ) 单+ ( r ) 矿( r r ) 早( r7 ) 中( r ) ( 1 - 1 9 ) 其中每+ ( r ) 和9 ( r ) 分别是在位置r 处的产生与湮灭场算符，矿( r r 7 ) 是式( 卜1 9 ) 表示 的原子问的两体相互作用势。场算符早( r ) 的时间演化满足h e i s e n b e r g 方程： 疏暑蛳，忙咄百】 = - 嘉v 2 + ( r ) + p 呻+ ( r ，f ) 忡_ r ，吼掣) 9 ( u ) ( m 。) 若把算符中( r ) 分成两部分：9 ( r ，f ) = ( r ，f ) + 币”，) ，其中m ( r ，f ) 为复函数，是场算 符每( r ) 的期待值，m ( r ，) ；( 子( r ，功，为( 卜8 ) 式中提到的经典场，称为凝聚体的波 函数。每7 ( r ，) 描述超冷玻色气体中的非凝聚部分，在低温极限下，可以用b 。g l i u b o v 近似来计算激发谱( f e t t e r i9 7 2a n d19 9 6 ) 。 光学晶格中玻色一爱因斯坦凝聚的超流理论 第二章光学晶格中的b e o 本章介绍置于周期势阱中的玻色一爱因斯坦凝聚( b e c ) ，它类似于固体物理学中 晶格势束缚下的电子系统，这样，处于光学晶格中的中性原予会呈现类似于晶体中 b l o c h 电子的一些有趣的量子效应，比如布洛赫振荡( b l o c ho s i l l a t i o n ) 和瓦尼尔一 斯塔克阶梯( w a n n i e r s t a r kl a d d e r ) ，这些已经在冷原子实验中被观察到了“。 2 1 光学晶格中b e o 的实验实现 在稀薄原子气体中获得b e c 的实验技术在文献“”中有详细的描述，产生相对于中 性原子的周期势阱的最简单方法就是存在位置空间中调制的激光场，对于一维系统， 可以通过叠加两束相对而行、线性极化的激光“，如图2 1 所示；或者利用一束激光 和它的反射光的迭加也可以实现”“。 一b 图2 - i 一维( a ) 水平、( b ) 有夹角光学品格实验设置示意图 一维情况很容易推广到二维和三维情形，如图( 2 1 ) 所示。相邻格点问的距离随每一 对激光束间的夹角口变化而变化。夹角为目的一束激光产生的一维光学晶格的晶格常 数可以表示为： 。：a s i n ( e 2 ) 吒 1 0 ( 2 一1 ) 隅 ， m ， 第二章：光学晶格中的b e c 其中吒为激光波数。 一般在b e c 讨论中取能量和动量的基本单位为反冲动量( r e c o i lm o m e n t u m ) 和反冲 能量( r e c o i le n e r g y ) ： 反冲动量气= 吒 反冲能量( 从激光束中吸收一个光子得到的能量) ： ( 2 2 ) 鼯筹( 2 - 3 ) 类似固体物理中，我们引入定义b l o c h 动量 胁：丝：m y b ( 2 4 ) p 日2 2 l z q ， d 对于一维光学晶格，如图( 2 一1 ) ，如果两束相对的激光具有相同的极化方向，则 由激光的电场和原子耦极距之间的非共振相互作用会导致如下的周期势的形式 u ( x ) = u ns i n 2 ( 瓜d ) ( 2 - 5 ) 其中砜是势阱深度，a 是晶格常数。 自发散射会导致在制备b e c 期间原子总数的减少，因而需要增大对原子共振的失 谐量同时增大激光强度以保证一定的势阱深度。若选择一对激光束之间的频率失谐 为占，则晶格周期势( 2 - 5 ) 会产生一个速度为，的匀速运动： v l 。，= a 8 ( 2 6 ) 如果占随时问变化， 则周期势具有加速度口。 口。= “i d f i ( 2 - 7 ) 选择各向异性的磁阱，沿水平的长轴方向凝聚体为长条形状。其大小的典型值为： 水平长度r “1 0 0 微米，径向宽度q “6 微米。当然也可以利用重力场来实现对光格 中玻色子的加速，如图( 2 - 2 ) 。“： 光学品格中玻色一爱因斯坦凝聚的超流理论 正 山 3 图2 - 2 光学品格与重力场组合而成的有效势，势能以反冲能量为单位，五为激光波长 在典型的光学晶格实验中，自旋极化( 例如处于态( f = 2 ，帆= 2 ，f 为总角动 量量子数，m 。为磁量子数) ) 的玻色原子首先被囚禁和激光冷却到长条形的磁光阱 ( m o t ) 中，形成半径约为几十微米的b e c “。经过进一步的激光冷却( 关闭磁阱和增 加激光囚阱的失谐量) 后打开产生光学晶格的激光场如图( 2 3 ) ，这样就实现了用周 期光场来束缚玻色原子。 t 山 一 v o 0 图2 - 3 绝热指数增加光学品格周期势 光学晶格在原子物理中使用很广泛”，近年来人们从实验和理论上对光学晶格 中的b e c 做了大量的研究。”“。由于光学晶格中超冷玻色子类似于固体中的b l o c h 电 子，最重要的是前者没有杂质与声予的散射，因而该系统也可以被用来观钡u b i o c h 振 荡、w a n n i e r s t a r k 台阶等现象。而且由于玻色原子之间的相互作用对b e c 系统的非 线性行为起着很重要的作用，还可以导致一些很有趣的物理现象比如孤子 ( s o li t o n ) 、涡旋( v o r t e x ) 等。 2 2 光学晶格中的b i o c h 振荡与z e n e r l a n d a u 隧穿 量子输运在凝聚态理论中是个非常重要的课题，但一些基本的量子效应如 第二章：光学晶格中的b e c b l o c h 振荡、w a n n i e r s t a r k 台阶、z e n e r 隧穿等由于杂质、晶格振动等原因而在普通 固体中无法观测到。而在光学晶格这个新系统中，这些问题都变得迎刃而解。1 9 9 6 年牛谦等人首先从理论上预言了在光学晶格的冷原子系统中可以观察到以上现象。7 1 同一年d a h a n 。”等人就通过上面提到的在激光束之间的增加频率失谐而产生加速度 的光学晶格系统中观察到了原予的b l o c h 振荡现象，如图( 2 4 ) 所示；w i l k i n s o n 等人 观察到t w a n n i e r s t a r k 共振。在1 9 9 8 年，b p a n d e r s o n 和m a k a s e v i c h 利 用重力场下的光学晶格中b e c ，如图( 2 2 ) ，得到的隧穿几率与z e n e r 理论基本一致： p _ e x p 【- 舞j ，舯提光场波长一是基态与连续态间嗍锨。以上的这些实 验完美地验证了三十年代就提出的这些经典定律，为进一步的研究奠定了坚实的基 础。 岁0 2 二d 1 ，0 0 e 一0 1 - 0 , 2 18202 22 42 62 8 30 3 2 v v i a l 图2 4 原子的b l o c h 振荡 g p 方程中非线性项的存在使得严格求解系统的能谱和动力学几乎成为不可 能，只能通过一些近似处理，比如托马斯一费米近似。d a e 1 1c h o i 、牛谦等人考察 了非线性项对原子输运的影响。他们用微扰方法对非线性项做了处理，得到解析 的表达式，他们假定砜 光学品格中玻色一爱因斯坦凝聚的超流理论 无量纲参数c 由下式给出 c ：了：塑 ( 2 9 ) 。2 s i n 2 ( 0 2 ) e 8 7 对应相互作用常数b l o c h 能的比率。为最大数密度。发现原子流密度随原子间相 互作用增强而增加。 2 3 光学晶格中的f e r m i - b o s e 混合物 除了一直在研究玻色子的低温特性之外，超冷的量子简并f e r m i 气体也吸引了越 来越多的人的兴趣。在极低温时，所有的玻色子倾向处在相同的最低量子态下，而 对费米子由于存在泡利不相容原理而无法在低温下发生类似于玻色予的凝聚现象， 但会产生费米简并( f e r m id e g e n e r a c y ) 的量子效应。在1 9 9 9 年j i l a 的一个小组首 次从两分量的钾费米原子中观察到量子简并现象( q u a n t u m - d e g e n e r a t e ) ；2 0 0 1 年美 国r i c e 大学物理系的r a n d a l lh u l e t 教授将混合了6 l i ( 费米子) 、7 l i ( 玻色子) 两种原 子的气体冷却至绝对温度不到百万分之一度的极低温。在实验中他们清楚的观察到 随着温度的降低，7 l i 原子团因为发生凝聚现象的关系而渐渐缩小。相反的6 l i 原子团 因为费米压力的缘故，在降至一定的温度之后便维持在一定的大小。这是科学家首 次观察低温下玻色一费米混合系统的行为。向更低的温度挑战，在极度低温的环境下 让费米子形成c o o p e rp a i r 并产生超流态，将是科学家了解超导体发生机制的一次重 大尝试。接着在2 0 0 3 年底，i n n s b r u e k 的g r i m m 4 、组，j i l a 的j i n 小组以及m i t 的 k e t t e r l e 小组先后在两分量的费米原子中制各出了分子凝聚体( m o l e c u l a r c o n d e n s a t e ) “，在2 0 0 4 年1 月，d e b o r a hj i n d , 组将大约五十万个钾原子冷却到大约 5 0 p k 的温度，利用f e s h b a c h 共振技术使钾原子气体能够两两配对，形成类似玻色子 的性质( 钾原子为费米子) ，实现了人们寻求已久的费米凝聚体( f e r m i o n i c c o n d e n s a t e ) 。 第二章：光学晶格中的b e c ? 帆惭 a l ：蛾僻 八 圈2 - 5 费米一玻色复台体的形成，摘自文献o p t i c se x p r e s s1 2 ( 2 0 0 4 ) 5 5 玻色一费米混合体在光学晶格中行为可以用b o s e f e r m ih u b b a r d ( b f u ) 模型。3 1 来描述。一维b f h 模型的性质在文献。”进行了讨论，一个有趣的问题就是b f h 模型允 许生成由一个费米子与一个玻色子( 或玻色空穴) 形成的复合气体“”( 图2 5 ) ，这些 复合气体会呈现出比光学晶格中的玻色子复杂得多的性质( 图2 6 ) 。 0 5 0 4 5 占o 4 二0 3 5 占0 3 一d 2 5 0 2 a 1 5 图2 - 6 玻色一费米子混合系统在准二维光学晶格上的典型相图 2 4 光学品格中的d ip o ie d ip o i e ( 偶极) 相互作用 人们发现偶极相互作用也能深刻影响束缚b e c 的基态与激发态的性质。，偶极一偶 极相互作用也对光学晶格旋量凝聚体中的自发极化与自旋波有贡献，从而导致行波 场中的自束缚结构出现。此外由于偶极相互作用强度能够比原子间的短程相互作用 大很多，偶极粒子也被认为是最有可能实现的量子计算机的载体。能够产生偶极玻 色子的粒子包括具有恒定磁矩、电偶极矩的原子或分子。假没所有的原子偶极矩都 相同，都沿着z 轴方向( 图2 7 ) ，原子间相互作用简化为。“： 光学晶格中玻色一爱因斯坦凝聚的超流理论 图2 7 两平行偶极子相互作用模型 文献p r a6 6 ，( 2 0 0 2 ) 0 1 3 6 0 7 矿( r ) = g 。古( r ) + g ：半 ( 2 - 1 0 ) 其中r = r - r ，靠是r 的极化角，g o = 4 砌2 a m 表示接触相互作用，由图( 2 7 ) ， 我们看到偶极相互作用是各向异性的。k g 6 r a l 等人用变分方法研究了光学晶格中极 化偶极子，讨论了由于偶极相互作用而出现了新的相位：s u p e r s o l i d 相和c o l l a p s e 相( 除了超量相与m o t t 绝缘相) ，如图( 2 8 ) 。 a s d e c 【r a t i o l a s p e c t r a t i o l 图2 - 8 新相位：s u p e r s o l i d ，c h e c k b o a r d 由于偶极势具有长程相互作用的特点，使得系统可能呈现多种多样的量子相位， 而且光学晶格的参数很容易调节，就使得从实验上实现各种基态之间的量子相变成 为可能。这样的一个高度可调的系统对于回答量子相变理论中的一些还没有解决的 第二章：光学晶格中的b e c 问题( t p , 血us u p e r s o l i d 、零温下的玻色金属) 是非常关键的，如图( 2 - 6 ) ，其中也有丰 富的物理内涵等待着我们去发现。 光学j 弱格中玻色一爱因斯坦凝聚的超流理论 第三章超流与b o s e - h u b b a r d 模型 相变是自然界普遍存在的一类突变现象。传统意义上的相变可以分为一级相变 与连续相变，对于一级相变，两个相在相变温度下共存，比如零度的冰与水。与此 相反，对于连续相变，两个相不能共存，例如铁磁相交，在7 7 0 。c 以上磁矩消失。连 续相变一般可以用一个序参量来表征，无序相取值为零，有序相则不为零。本章主 要讨论光学晶格中b e c 的连续相变。下面我们将从b o s e h u b b a r d 模型开始研究光学 晶格中的冷原子系统。 3 1 多体理论 量子多体理论是凝聚态物理的一个重要分支，也是凝聚态物理的重要理论基础 和理论工具，借助量子多体理论可以解释和计算凝聚态物理中诸多性质。下面我们 从量子多体理论角度出发来做进一步阐述。最初引进h u b b a r d 模型是考虑到窄带中电 子( f e r m i o n s ) 的关联效应来解释一些过渡金属氧化物在温度升高时会从绝缘体变为 金属，而g o s e h u b b a r d 模型则被用来研究纳米管中惰性气体的吸收。、或者是具有 强电荷效应的超导薄膜中的c o o p e r 对“”等等，现在我们来研究这个模型主要是在实 验上利用光学晶格可以很好地调节参数，从而观测到新的物理现象，因而对这个模 型的研究仍然是一个非常活跃的课题。 从量子多体理论出发，在外束缚场下的个玻色子组成的系统可以用如下的哈 密顿算符来描述： 豆：p 。x 西+ ( r ) ( 一兰vz + 屹。( r ) + ( r ) ) 西( r ) + 妻! ! ! ! l 笙p ，。西+ ( r ) 函+ ( r ) 西( r ) 西( r ) zm 。 其中面( r ) 表示在某个给定的原子内部态上的玻色子场算符 期势，在简单情况下，它的形式可以写作： = 鼽s i n 2 降 ( 3 1 ) 。( r ) 光学晶格周 ( 3 2 ) 第三章超流与b o s e h u b b a r d 模型 其中正比于原子极化率和激光强度的乘积，由波矢为= 等的激光产生，相应的 晶格常数为d = 2 2 。巧，( r ) 表示一个外加( 缓慢变化) 的束缚势，比如磁场，如图 ( 3 一1 ) 所示。对于稀薄的碱金属气体，可只考虑两原子间的j 波散射，原子间的相互 作用势圪( r ) 是短程相互作用，远小于晶格常数，可近似用一个j 势来代替 u ( r ) ：4 翮, h 2 a ( r ) m 其中q 表示低能5 波散射长度，m 表示单个玻色原子的质量( 参看第一章) 。 ( 3 - 3 ) 3 2b o s e h u b b a r d 模型 对于单原子系统能量本征态是b l o c h 波函数，适当叠加的b l o c h 波可以构成一套 w a n n i e r 波函数集z 。( r ) ，其中n ，i 分别表示第r 1 个能带和第i 个格点，它们可以很 好定域在单个的格点上。为讨论关联问题，我们采用t w a n n i e r 表象如图( 3 2 ) 。若 系统最低能带远低于第二个能带，在w a n n i e r 基下展开玻色场算符并且只保留最低振 荡态： 击( r ) = 玩，( r 一) ( 3 4 ) n i x 图3 1b o s e - h u b b a r d 模型在光学晶格中的实现 则方程( 3 1 ) 化为玻色一哈伯德模型： 光学晶格中玻色一爱因斯坦凝聚的超流理论 曰一番咖，+ 莩g f i ，+ 1 z u 譬( 弘1 ) ( 3 _ s ) 参数i ，是在格点i 和格点，之间的跃迁( h o p p i n g ) 矩阵元： ，= 胁一圳一嘉v 2 + 曙( r ) 】加一l ：，) ( 3 栅 w a g n i er n c w f ”，_ - 3e r o e n s i l y l w 口) l z , v 。= 3 e r 八 一 - 一 一 一 _ n j j ， 01 02 03 04 05 0 p o l e n t i a ld e p t hva l 【er i ( c ) 10 4 1 0 3 o 三，0 2 1 0 1 1 0 0 图3 - 3 ( a ) 格点能u ( b ) 隧穿矩阵元，( c ) 比值u d 随光学晶格阱深圪。，的变化 为了讨论的方便，我们把h a m i l t o n i a n ( 3 - 5 ) 写为以下的形式 其中 疗2 磊乃冒毛+ 等翻叫) ( 3 _ 8 ) b 下面作简单估算来讨论u 、，与微观参数之间的关系。考虑一维情况，w a n n i e r 态用 高斯波包来代替，其中为波包的宽度 分别代入( 3 - 6 ) 、( 3 - 7 ) 式则得到 巾) - ( 爿4 e 告 ( 3 - 9 ) ， 2 1 o 一由一uo嚣巴董m焉co j山一1mem|日gbe 1 8 c c o p 光学晶格中玻色一爱困斯坦凝聚的超流理论 u = 矽4 月a 万h 2 = 再2 h ol ( a 万s ( 。圳) j = 讣( 珊卵 伊 3 3 光学晶格中b e g 的超流 超流现象是由莫斯科的k a p i t z a 与剑桥的a 1 l e n 和m i s e n e r 于1 9 3 8 年在液4 h e 中 首先观察到的，而对应的理论解释则要归功于1 9 4 1 年l e vl a n d a u 提出的准粒子模型。 超流可分为玻色子的超流与费米子的超流两种：玻色子的行为是由b o s e e i n s t e i n 统计支配，在低温下它们全部可以聚集到相同的状态下而使系统拥有最低的能量， 因此它们又称为“和群粒子”；而遵守f e r m i d i r a c 统计的费米子，它们“不合群”， 就算在低温下也不能全部凝聚到最低能级。因此超流对它说来似乎不可能。不过， 超导理论告诉我们，费米子可以两两配对成库伯对( c o o p e rp a i r ) 而变成玻色子。本 节只讨论超冷玻色子在光学晶格中的超流现象。 超流是系统相干性的直接结果，其表现形式可为涡旋“。、相位干涉“”以及出现 临界速度等“2 1 ( 发生耗散) 。处于超流态时，原子可以很容易地从一个格点移动到另 一个格点，如图( 3 4 ) 。超流发生在弱相互作用域，相邻格点间的隧穿耦合要大于原 子问的相互作用能，此时束缚在周期势中的b o s e e i n s t e i n 凝聚体可以用一个宏观波 函数( 满足g p 方程) 来描述。若化学势小于势阱深度，则可以采用紧束缚模型，基态 波函数的展宽远小于格点间隔，凝聚体实际上是由具有不同相位的d 、b e c 组成，小的 凝聚体彼此之间由格点间的隧穿耦合起来，系统的行为类似于 o s e p h s o n 节“。 在紧束缚近似下，第，个格点的原子可以用局域波函数o 来描述。若格点上的 化学势远小于振动能级间隔，则局域波函数中可以用无相互作用振动能的基态波函 数来表示。一级近似下就是谐振子的高斯基态波函数；如果化学势再大一点，则必 须考虑由于原子问的相互排斥而导致的基态波函数的展宽，此时可以用变分法来确 定基态波函数的宽度。 第三章超流与b o s e h u b b a r d 模型 倒3 - 4 在光学晶格中冷原子的超流态( 每格点平均原子占据数为1 ) 在三维简立方格子情况下，若化学势远小于每个轴向的能级间隔，则局域波函 数可以用三个轴向上最 氐b l o c h 带的w a n n i e r 波函数的乘积描述： e 1 ) ( r ) = w ，( x x j ) w ，( y y jw ：( z z ，) ( 3 1 2 ) 其中x ，、y ，、z ，表示第j 个格点的位置。 对于一维或二维的情况则有不同，对应于分别在二个或一个方向上的囚禁较弱。 在弱囚禁轴向上，由于原子间的排斥作用基态波函数0 一般要展宽，可以分别写为： 一维格子： 中j ( r ) = w ，0 一x ，) 0 ，( y y ，) 0 ：( z z ，) ( 3 1 3 ) 二维格子： 中，( r ) = w ，x x ，) w y ( j ，一y ) 0 ：0 一z ，) ( 3 1 4 ) 利用这个局域波函数我们可以定义一个宏观波函数来描述整个系统。这个波函数是 每个格点的局域波函数之和： v ( r ) ￥pj1 ，i = 再e 砂 b 一1 5 ) j 每一项都有一个相位办和振幅一，其中一对应于第，个格点的平均原子数。总原子 数由l 吩f 2 = 弓= 给出。对于这个弱耦合的凝聚体阵列，h a m i l t o n i a n 写为： jj 光学品格中玻色一爰因斯坦凝聚的超流理论 日= 一j 妒渺，+ l 1 2 + 吾u i 蚧1 4 ( 3 - 1 6 ) ( j ，)j 厶 ， 其中第一项只对最近邻求和，这一项表征了系统的j o s e p h s o n 能量，第二项描述了非 均匀束缚势，c j 是第- 个格点的能阶，第三项描述同一格点粒子相互作用能，其中u 表示格点相互作用矩阵元： u = 型俐中，( r 4 (3_17)m ， j o s e p h s o n 节阵列的动力学特性可以用分立非线性s c h r g d i n g e r 方程描述( d n l s e ) ，也 叫分立的g p 方程。 第四章b e c 在光学品格中的量子相变 第四章b e c 在光学晶格中的量子相变 当系统的绝对温度趋于零时，所有的热运动会逐渐消失。这时不会发生经典意 义上的相变，但从量子力学角度，即使是在绝对零度，海森堡不确定关系也会使量 子波动存在。当这些波动足够强时，会促使系统从一相到另一相转变，出现宏观量 子相变。 4 1 光学晶格中b e g 的相变研究 光学晶格中人们最感兴趣的一个例子是相互作用玻色子组成的系统中会出 现从超流相向莫特( m o t t