（光学专业论文）混沌位相同步中的临界耦合和相干行为.pdf

摘要 摘要 本工作主要研究了极限环系统中混沌位相同步( a 唱) 现象的临界耦合和相干行为。在 四个轴l o t o 振子单向耦合的环型阵列中，当振子的自然频率以零为中心的平均分布宽度 r o 0 5 以及取一定的耦合强度g 时，有混沌态出现，且在g 2 r 时出现锁频现象。在环驱 动多条链的耦合结构中存在混沌位相同步现象。通过数值计算发现，对于全同振子，层上产 生混沌位相同步现象的临界耦合系数会沿着链越来越小，即越往以后层，混沌位相同步越容 易实现。当链上连续多个振子的平均频率达到相同的值时，从第工( = 2 5 ) 层之后有相干 现象产生。在一定参数下，混沌位相同步和相干行为可以各自独立存在。 其次研究了在环型阵列中存在的相干行为。随着耦合系数的增加，相干行为的延迟时间 会减小。当耦合系数增加到一定值后，被驱动环上所有的振子都存在相干行为，且振子的自 然频率越接近于驱动振子的平均频率，所有的振子产生相干行为的临界耦合系数就越小。 壤后研究了环型阵列之间的混沌位相同步现象。通过计算横向l y a p u n o v 指数，得到当环 上处于不同态时环型阵列之间出现位相同步的临界耦合系数。并且发现，当单个环处于周期 态时，两环之间实现对应振子位相同步比单个环处于混沌态时更容易。 关键词：混沌；k u r a m o t o 模型；混沌位相同步；相干行为 a b s w a e t a b s t r a c t w es t u d yt h ec r i t i c a l c o u p l i n g a n dc o h e r e n tb e h a v i o r si n l a y e r e d c h a o t i c p h a s e s y n c h r o n i z a t i n n ( c p s ) i nc o u p l e dl i n e a ra r r a ys y s t e m s f i r s t l y , i nau n i d i r e c t i o n a l l yc o u p l e dr i n g o ff o u rk h 班a m o t oo s c i l l a t o r s , t h e r ee x i s tc h a o sw h e nt h en a n l f 融f r e q u e n c i e su n i f o r m l yd i s t r i b u t e i n 也e 【吗r 】( ，o 0 5 ) m a dt h ec o u p t m gc o n s t a n tgi sl a r g ee n o u g h t h es y s t e ma l y p c a s p h a s e - l o c k i n gp h e n o m e n o nw h e n g 2 r s e c o n d l y , i nc o u p l e dl i n e a ra r r a ys y 甜锄s ，n u m e r i c a l s i m u l a t i o ns h o w st h ec r i t i c a lc o u p l i n gc x y o s l a n t sf o rl a y e r e dc h a o t i cp h a s es y n c h r o n i z a t i o n d e c n t os m a l lv a l u e sd o w nt h el i n e a ra r r a ys y s t e m sf o ri d e n t i c a lo s c i l l a t o r s t h a ti st h el a y e r e d c h a o t i cp h a s es y n c h r o n i z a t i o ni se a s i e rt ob er e a l i z e dd o w nt h el a y e r s a n dt h ec o h e x e n td ”1 a m i c b e h a v i o r so f t h ep h a s eo s c i l l a t o r sw i t hf i x e dt i m ed e l a yb e t w e e nn e i g h b o r i n go s c i l l a t o r sd o w nt h e l i n e a ra r r a ys y s t e m s 眦f o r m e d a f t e r t h e 丘l a y e r ( 丘2 5 ) ，w h e ns o m e c o n t i n u o u so s c i l l a t o r s 0 1 1t h el i n e a rh a v et h es a m ea v e r a g ef r e q u e n c i e s t h e s et w od y n a m i cp h e n o m e n ac c o e x i s t i n d i v i d u a l l yf o rc e r t a i nd y n a m i cp a r a m e t e r s a n dt h a a l s oe x i s tc o h e r e n tb e h a v i o r si nt h ec i r c u l a ra r r a y t h et m ed e l a yb e t w e a m t n e i g h b o r i n go s c i l l a t o r sd e c r e a s e sw i t ht h ei l l c r e a s l eo f t h ec o u p l i n gc o n s t a n t t h ec r i t i c a lc o u p l i n g c o n s t a n tw h i c ha l it h el a y e r se x i s tc o h e r e n tb e h a v i o r sd e c r e a s e sw h e nt h en a t u r a lf r e q u e n c yo f t h e o s c i l l a t o r si sc l o s e rt ot h ed r i v i n go s c i l l a t o r s i na d d i t i o n ，w ee x h i b i tt h ep h a s es y n c h r o n i z a t i o np h e n o m e n ab e t w e e nt h ec i r c u l a r s t h e c r i t i c a lc o u p l i n gc o n s t a n t sa l es h o w e dt h r o wc a l c u l a t i n gt h et r a n s v e r s el y a p u n o ve x p o n e n t s a n d t h ep h a s es y n c h r o n i z a t i o ni se a s i e rt ob er e a t i z e dw h e nt h ec b c u l a i sa f cp 嘶o db e f o r et h e y c o u p l e dm u t u a l l y k e y w o r d s ：c h a o s ；k u t a m o t om o d e l ；c h a o t i cp h a s es y n c h r o n i z a t i o n ；c o h e r e n tb e h a v i o r s n 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：日期： 2 0 0 6 1 2 2 8 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人 电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包 括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：导师签名：日期：2 0 0 6 1 2 上8 第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论 早在1 9 - 2 0 世纪之交，法国数学家p o i n c a r c ( 庞加莱) 在研究天体力学中韵三体问题时， 把动力系统和拓扑学有机地结合起来，发现三体问题( 如太阳、月亮和地球三者的相对运动) 与单体问题、二体问题不同，它是无法求出精确解的。于是，1 9 0 3 年p o i n c a z e 在他的科 学与方法一书中提出了p o i n c a r e 猜想。他指出三体问题中，在一定范崮内，其解是随机的。 实际上这是一种保守系统中的混沌，从而使p o i n c a r e 成为世界上最先了解混沌存在的可能性 的第一人l ”。1 9 6 3 年，美国气象学家e l o r e n z ( 洛伦兹) 在大气科学杂志上发表了论文确 定性的非周期流【2 1 ，其研究清楚描述了混沌对初始条件的敏感性这一基本形态，即著名的 “蝴蝶效应”。7 0 年代，混沌作为一门新的学科而正式诞生。1 9 7 5 年，t y ：l i ( 李天岩) 和 j a y o r k e 在美国数学月刊上发表了周期三意味着混沌1 3 1 的著名文章，深刻揭示了从有序 到混沌的演化过程，并被认为是对混沌的第次描述，c h a o s 一词也自此被正式使用。在混 沌理论之后的发展中，各种混沌现象不断被发现，各种分析方法和判据也相继被提出，混沌 理论在许多领域获得了广泛应用。 迄今，对混沌动力学的研究已经渗透到了各门学科，并且得到了广泛的研究和应用。混 沌动力学是目前最活跃的科学领域之一，是众多科学的基础。正如混沌科学倡导者之一、美 国海军部官员s c h l e s i n g e r 所说嗍：“2 0 世纪科学界将永远铭记的只有三件事：相对论、量子 力学和混沌。”相对论粉碎了牛顿力学的绝对时空观，量子力学消除了关于测量过程可控的 幻想，而混沌动力学摒弃了牛顿和拉普拉斯决定论可预测的梦想。 混沌运动并不总是对宏观秩序起消极和破坏作用，在一定条件下它能产生相干运动，在 建立“序”上起着积极的创造性作用。因此，研究非线性条件下混沌产生的各种效应，进而 研究混沌运动产生的条件，机制及其应用便成为当前非线性科学发展的一个重要任务。作为 一门新兴的交叉学科，近几年来混沌科学在科学和工程领域中的应用研究发展迅速。特别是 混沌同步的发现。耦合非线性系统的合作行为多种多样，而同步应该说是其中最基本的现象 之一。 同步是生物学和物理学等学科非常重要的问题【5 - s ，同步现象的最早记载可以追溯到 t l u y g e n ( 惠更斯) 关于耦合极限环系统同步的工作。耦合极限环系统的同步是最基本的一种 东南大学硕士学位论文 同步，它在自然、工程和社会生活等许多领域是非常丰富的。早期的同步现象是在各种不同 的人工制造的设备中发现和观察到的，如钟摆、乐器、电力系统和激光系统等，并且在电气 和机械工程中有很多实际的应用。近几十年，对同步的研究重心已经转移到各种生物系统的 同步，如细胞核的同步变化，脑神经细胞的同步，心律随着呼吸或者运动节奏调整以及昆虫、 动物和人类的各种各样的合作行为。研究同步现象主要有两种基本方法：统计的方法1 5 1 和动 力学的方法n 目。统计方法研究的是在热力学极限下( 一) 系统的整体行为。动力学的 方法则是讨论在振子数有限的情况下同步的动力学行为。但到目前为止，大多数都只是讨论 在热力学极限下的同步行为。近几年，人们也对振子数有限的情况下的同步现象作了深入研 究，但也仅限于研究系统的广义同步和混沌行为，对于极限环系统中的混沌位相同步和相干 行为还未作深入探索。极限环系统的同步也是十分复杂的，而且有许多地方都是十分不清楚 的，还有大量的工作要做。总之，这是一个重要的、富有挑战性的课题，有广阔的应用发展 前景。 1 2 研究内容 本文工作主要分为三部分：第一部分是对层状耦合的极限环振子中的混沌位相同步的研 究；第二部分是研究环型阵列中存在的位相相干行为；第三部分是对环型阵列问的混沌位相 同步的研究。具体章节安排如下： 第一章：介绍论文的研究背景和意义。混沌已成为各学科关注的一个学术热点。极限环 振子中的混沌现象值得进一步研究。 第二章：介绍混沌及混沌同步，并且给出了定量描述混沌的常用方法：相空间重构、 l y a p u n o v 指数，这两种方法是用来判断混沌、混沌同步的稳定性的主要工具，在本论文工 作中占有举足轻重的地位。 第三章；介绍有限个k u r a m o t o 振子中的动力学行为。 第四章：本文主体之一：研究环驱动多条链的耦合结构中的混沌位相同步现象，以及临 界耦合系数和链上振子的相干行为。 第五章：本文主体之二：研究环型阵列中存在的相干行为。 第六章；本文主体之三：研究环型阵列之间的混沌位相同步现象。 第七章：对全文进行总结。 2 第二章混沌及其定量描述 第二章混沌及其定量描述 2 1 混沌现象及其基本特征 2 1 1 混沌现象 我们用“混沌”来翻译”c b a 璐，。在我们中国，“浑沌”这一词是古人假想天地开辟前的 原始状态。我国的一些神话：“浑沌未分天地乱，茫茫渺渺无人见”。“天地浑沌如鸡子，盘 古生其中”。西方神话；“起初神创造天地，地是空虚混沌”。说明了混沌是一团朦胧不清的 混乱状态。 在这一节中，我们将会给出一些具体，典型的混沌例子，由此说明混沌运动的一些基本 规律，同时有些将被用作我们在研究混沌同步的主要动力学模型。 1 l o r e n z 模型 1 9 6 3 年，气象学家l o r e n z 通过对流体模型的简化，提出了一个完全确定性的三阶常 微分方程嘲： 戈= 以y 一曲 夕=肛一y一昭(21) t = x y 一缸 其中的三个参数分别是，f r - p r a n d t l 常数，p 一瑞利常数，一方向比a 如今这一 模型已经成为混沌运动领域的经典模型。i , o l c n z 通过计算机的数值模拟发现，这一模型能 出现规则运动，但是在某些参数条件下，同一系统也能出现非周期运动，这歧视就是混沌运 动。他的论文确定性非周期流【习很好地揭示了混沌运动的一些基本规律，如混沌系统的 非周期性，混沌运动的初值敏感性，以及由此带来的长期运动无法预测等等。l o r e n z 的混 沌吸引子形状可参看图2 一l 。 h 鹋配通过求解l o r e n z 模型，发现初始条件的微小误竟然会导致系统的面目全非。如 图1 - i ( a l ( b ) ，这一惊人的发现使他创造了著名的“蝴蝶效应”名言：今天单个蝴蝶的翅膀有 可能带来一个月后的龙卷风。值得提出的是，直到目前为止，人们还没有给出混沌的确切定 义。人们普遍接受的观点就是把混沌的典型性质：蝴蝶效应，作为混沌的定义，u t j ：混沌运 动是性系统中的内在随机性，它的运动轨道对初始条件极端敏感。 3 东南大学硕士学位论文 图2 - 1 ：l o r e n zx - y - z 相图及其x 变量时间序列。 2 r o s s l e r 模型 r o s s l e r 方程是1 9 7 6 年r o s s l e r 在研究具有中间产物的化学反应问题时，通过适当的 标度交换，所给出的一个很简单的非线性方程组嗍： x 2 一眇一z 夕2 懈+ 缈 ( 2 2 ) 三= b + z ( x c 1 其中w , 0 ，b 和c 是系统的参数，它的混沌吸引子形状可参看图2 - 3 ，r o s s l c r 振子只有 一个非线性项，即第三个方程中的“荭”项，除此以外均为线性项。由此，我们可以估计 它会是一个比较弱混沌振子。r o s s | e r 振子具有混沌运动的一般特征，但是形式简单，只有 一个旋转中心，类似于单个极限环，控制参数的大小几乎决定了这一混沌振子的旋转快 慢，计算相位比较方便。当初r o s s l e r 在构造这一方程时就曾指出仅仅是人为构造，没有直 接的物理对应。但这一模型由于其拓扑结构上的简单性，在人们研究耦合系统中被广泛使用。 图2 - 3 ：r o 璐l 苗振子x y - z 相图及其x 变量时间序列。 除此之外，比较典型的混沌振子模型“1 2 1 还有：r o s s l e r 超混沌振子，蔡氏电路，非自 治的d u f f m g 方程，神经元中的h i n d m a r s h - r o s e 模型等，所有这些振子均具有混沌系统的 4 第二章混沌及其定量描述 最基本特征。 2 1 2 基本特征1 1 3 l 与其他复杂现象相区别，混沌运动有着自己独有的特征，主要有： ( 1 ) 有界性。混沌是有界的，它的运动轨线始终局限于一个确定的区域，这个区域称 为混沌吸引域。无论混沌系统内部多么不稳定，它的轨线都不会走出混沌吸引域。所以从整 体上来说混沌系统是稳定的。 ( 2 ) 遍历性。混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的，即在有限时间内混沌轨道经 过混沌区内每一个状态点。 ( 3 ) 内随机性。一定条件下，如果系统的某个状态可能出现，也可能不出现，该系统 被任为具有随机性。 ( 4 ) 分维性。是指混沌的运动轨线在相空间中的行为特征。分维性表示混沌运动状态 具有多叶、多层结构，且叶层越分越细，表现为无限层次的自相似结构。 ( 5 ) 标度性。是指混沌运动是无序中的有序态。其有序可以理解为：只要数值或实验 设备精度足够高，总可以在小尺度的混沌的混沌区内看到其中有序的运动花样。 ( 6 ) 普适性。所谓普适性是指不同系统在趋向混沌态时所表现出来的某些共同特征， 它不依具体的系统方程或参数而变。 ( 7 ) 统计特征，正的l y a p u n o v 指数以及连续功率谱等。对于非线性映射而言，l y a p u n o v 指数表示n 维相空间中运动轨迹沿各基向量的平均指数发散率，当l y a p u n o v 指数小于零时， 轨道问的距离按指数消失，系统运动状态对应于周期运动或不动点；当l y a p u n o v 指数大于 零时，则在初始状态相邻的轨道将按指数分离，系统运动状态对应于混沌状态；当l y a p u n o v 指数等于零时，各轨道问的距离不变，迭代产生的点对应分岔点( 即周期加倍的位置) 。 2 2 混沌的研究方法 为了研究混沌运动，我们可以采用直接观察状态变量随时间的变化这种直观的方法和在 相空间( 或相平面) 观察其轨迹。但是仅用这种方法来研究混沌远远不够，还必须有其他有 效的方法。下面就介绍几种研究混沌的工具和方法。其中庞加莱界面、相空间重构和 l y a p u n o v 指数是本文工作中所使用的重要方法。 5 东南大学硕士学位论文 1 庞加莱截面1 4 】 庞加莱截面法即是由法国数学家庞加莱提出的。它可以将一个复杂问题进行简化处理。 在多维空间( x 。，莺l ，- 一，工。，t ) 中适当选取一个截面，这个截面可以使平面，也可以是曲 面。然后考虑连续的动力学轨道与此截面相交的一系列交点的变化规律，并由此可得到关于 运动特征的信息。不同的运动形式通过截面时，与截面的交点有不同的分布特征。 周期运动在此截面上留下有限个离散的点。 准周期运动在界面上留下一条闭合的曲线。 对于混沌运动，其庞加莱截面上是沿一条线段或一曲线分布的点集，而且具有自相 似的分形结构。 2 相空间重构 为了构造相空间，需要同步测出一切自变量的时问序列。但实际问题中，我们往往可以 得到一个等时问问隔的单变量的时间序列。单纯从序列去判断混沌是不够的，而混沌运动至 少要在三维自治动力系统才能出现。因此，我们要把时间序列扩展到三维或更高维德相空间 中去，才能把时间序列的混沌信息充分地显露出来，这就是时间序列的重建相空间。 1 9 8 0 年，p a c k a r d 等人提出了由一维可观察量重构一个“等价的”相空间，来重构系统 得动态特性。et a k c n s 则从数学上为其奠定了可靠的基础。他的基本观点是：相空间重构法 虽然是用一个变量在不同时刻的值构成相空间，但动力系统的一个变量随时间的变化隐含着 整个系统得动力学规律。因此重构的相空间的轨线也反映系统状态的演化规律“4 】。 其做法如下：得到某一个变量的时间序列缸( 蠡) ，七= 1 , 2 ，) ，再适当选取一时问延 迟量f ，其中f 为采样周期的整数倍，取x ( | ) ，x ( k + 力，x ( k + ( 埘一1 ) 力为坐标轴，重新 构建维相空间，并利用先前测得的时间序列画出系统在这一维相空间里的轨迹。 重构空间中的轨迹可以反映系统运动状态的演化规律。对于定态，重构相空间中的轨迹 是一个定点；对于周期运动，重构相空间中的轨迹是有限个点；而对于混沌运动，重构相空 间中的轨迹是一些具有一定分布形式或结构的离散点。 3 李雅普诺夫( l y a p u n o v ) 指数 混沌对初值极端敏感，相邻近的两条轨道会按指数分离，可看成两条轨迹之问的“距离” 被“拉长”。由于奇怪吸引子为有限相空间，相轨迹间的距离也会被“压缩”，i 归p l m o v 指 数就是长时间计算相空间相邻两轨道的拉长和压缩的平均速率。 6 第= 章混沌及其定量描述 假定在初值为x l ( o ) 的条件下，沿相轨迹经时间t 运动至i ( f ) 。当初值为 毛( o ) = j l ( o ) + 盈o ) 时，系统将沿另一条相轨迹运动，经时间t 运动到 五( f ) = 葺( f ) + 五( f ) 。在t - - o 时，相空间的两条轨迹相距很近，即i 五( o ) l 很小。在t 时刻， 两轨迹相距阻，) l ，两条轨迹按指数分离，即 阻f ) i = 陋( o ) i 唧 ( 2 3 ) l a y p u n o v 指数为 工：兰l n 熙 ( 2 4 ) t | ( o ) i 式中因子l ，t 有平均速率的意义。取足够长的时间，沿着整个相轨迹考察，在0 和t 之 间的时间顺序划分为f 0 = o ，t l t 2 ，f “，t 。，n 足够大，相应的得到两轨迹之问距离演化的 时间序列 ( f o ) ，a ( t 。) ，( f 2 ) ，( f 。一。) ，a ( t 。) ( 2 5 ) 对应的模为 a ( t o ) ，a ( t 。) ，( f 2 ) ，a ( t 。) ，( f 。) ( 2 6 ) 其中，( f 0 ) i ( o ) ，凸以) = o ) 。将( 2 3 ) 简记为 ( o ) ，。( o ) ，厶：( 0 ) ，4 。( o ) ，。( 0 ) ( 2 7 ) 于是熙可以改写为 阻o ) l 缫：譬：鲁每叁 厶( o ) 。 、 将( 2 6 ) 式代入( 2 2 ) 式，对整个相轨迹取t o o 的极限，可得 ：l i mk 璺7 斗 t i ( o ) l ：! i m l l n j 鱼鱼纽盟i + t l 厶o 1 。一2 j 7 东南大学硕士学位论文 = 罂喜h 岛 仁叻 一般来说，系统在相空间中有n 个独立变量，可以求出相应的n 个l y a p u n o v 指数，按 数值大小排列厶l 2 上一1 上w 其中，l l 称为最大的l y a p u n o v 指数。 按上述的基本方法我们可以计算差分方程组，微分方程组和时间序列的l y a p u n o v 指数 1 1 7 1 0l y a p u n o v 的指数的符号在区分吸引子的性质很有用，以3 维动力学为例。对稳定不动 点，3 个l y a p u n o v 指数都是负的，即l y a p u n o v 指数的符号为( 一，一，一) ，表示在三个 方向上都收敛；对于极限环，l y a p u n o v 指数的符号为( o ，0 ，一) ，表示沿极限环方向，轨 道既不收敛也不发散，而在其它两个横截极限环方向轨道收敛到极限环上；对于极限环面 l y a p u n o v 指数为( o ，一，一) ，两个l y a p u n o v 指数为0 表示两个频率q ，a 2 的准周期运动。 而对于混沌运动至少有一个l y a p u n o v 指数大于零。如l o r e n z 混沌系统在参数为 盯= 1 6 ，= 4 5 9 2 ，b = 4 0 时，通过实际计算的l y a p u n o v 指数为( 2 1 6 ，0 0 0 ，一3 2 4 ) 。而 r o s s l e r 混沌系统在参数为a = 0 1 5 ，b = 0 2 ，e = 1 0 0 时，l y a p u n o v 指数为( o 1 3 ，0 0 0 ，- - 1 4 4 ) 。 其它常用的从定性和定量的角度来刻画混沌的方法还有；直接观测法，分频采样法，分 形维数，功率谱分析，k - s 熵n 8 1 等等。它们从不同的侧面描绘了吸引子的特征。而在什么情 况下出现混沌运动( 即通往混沌运动的道路问题1 ”1 1 也是早期混沌理论中的一个中心问题。 所有这些较详细的讨论可以参考任何一本混沌参考书以及早期的经典文献。 2 3 混沌同步 2 3 1 混沌同步的类型 混沌同步从空问上可以分为两大类型： ( 1 ) 恒等同步( i s ) ：对于参数和变量完全相同的两个或多个非线性混沌系统，即 f ( x ，f ) = f ( 彳，t ) ，当它们系统相应的信号不仅幅度大小而且相位大小都完全相同时，这 时达到的混沌同步，称为恒等同步。 ( 2 ) 广义同步( g s ) ：对于两个或多个完全不同的混沌系统，即f ( x ，t ) f ( x ，0 ， 当它们相应的信号或者只是相位同步，或者只是频率同步，或者只是它们的幅度之间或两个 系统变量之间存在一定的函数关系，这种问步称为广义列步。 矗 第一二章混沌及其定量描述 混沌同步从时间上可以分为：预测同步、完全同步、滞后同步。 2 3 2 混沌同步的方法 实现混沌同步的方法很多，有驱动一响应同步方法，相互耦合同步法，主动一被动分解 ( a p d ) 方法、变量反馈同步法，混沌自适应同步法和外部随机驱动法等，这里主要介绍前 面两种方法。 1 驱动一响应同步方法( p c 同步法) p e c o r a 和c a r r o l l 提出的驱动一响应同步方法阎，他们把混沌系统分成稳定部分和不稳 定部分，把具有负的李雅谱诺夫指数的稳定部分复制成一个响应系统，然后把响应系统与驱 动系统用驱动系统中的驱动信号耦合起来，由此可以达到响应系统与驱动系统的同步。该方 法的主要特点是：响应系统的行为取决于驱动系统，而驱动系统的行为与响应系统无关。下 面简要介绍该方法。 对于一个厅维的动力学系统 x = f ( x ) ( 2 1 0 ) 把它拆分成两个子系统，其中一个为不稳定子系统 甜= g ( t ，u ，w )( 2 1 1 ) 另一个为稳定子系统 w = h ( t ，材，w )( 2 1 2 ) 以不稳定子系统( 4 4 ) 为驱动变量，复制一个和( 4 5 ) 完全相同的响应系统 w = h ( v ，)( 2 1 3 ) 若t _ o o ，i p ) 刊o ) 一m 髟) i _ 0 则达到混沌同步。 p e c o r a 和c a r r o l l 对响应系统的稳定性以及同步原理进行了分析，发展了稳定性分 析理论，即所谓条件l y a p u n o v 指数稳定性判据，给处如下同步定理：只有当响应系统的所 有的条件l y a p u n o v 指数都为负值时，才能达到响应系统和驱动系统同步。p e c o r a 和c a r r o l l 在 电子线路的实验中首先实现了这种混沌同步，同时也开辟了混沌同步的研究的新局面。需要 指出的是：对于某些实际的非线性系统，由于物理的，生物的或内在的原因，系统无法分解 为两个部分，这时就无法构造响应系统，例如，激光系统内部无法做类似的分解，p c 方法 也就无能为力了。 9 东南大学硕士学位论文 2 相互耦合同步法 驱动一响应司步方案可以视为相互耦合同步方法的一种特例，同时为了战胜一般分解 法的限制，自然提出了工程控制论中常用的负反馈控制法，即通过适当系统变量的耦合达到 混沌同步。下面介绍该方法的原理。 考虑一个n 维动力学系统 百d x = f ( x ) ( 2 1 4 ) 其中f 为场矢量，x = “，而，毛 为系统的变量矢量。相互耦合同步法t 就是复制 一个与( 4 1 1 ) 一样的系统，用y = 锄，见9 0 9 只 代表复制系统的变量矢量，在加上相互耦合， 则原系统为： 百d x = f ( z ) + w ( r 一柳 ( 2 1 5 ) 复制系统为 j d x r = ，( y ) + w ( x y ) ( 2 1 6 ) 其中w = ，w 2 ， 是耦合系数( 耦合强度) 。通常各变量的耦合都相等，取为 w = = w 2 = = ，且都是正值。适当的选取耦合系数矿，随着时间的演化， i 石一y l o ，即( 4 1 2 ) 和( 4 1 3 ) 达到了同步。 相互耦合同步方法有许多优点，首先，不需要对混沌系统进行分解，克服了p c 方法的不足； 其次，随着时间的演化，i x - y i - 0 ，耦合项趋于零，不会改变原混沌动力学的性质，达 到同步后，系统都还保持混沌特性。另外，由于耦合项随时间演化趋于零，这样就不会应为 耦合系数过大而使得系统脱离原来的混沌轨道而发散。 在以上同步法的基础上，人们又提出了很多新的同步方法：脉冲驱动法唧，部分替代驱 动法l ，主动被动分解法增各种方法。人们也很快就在实际物理系统中( 如激光等) 实 现了同步混沌，而且在混沌保密通信，神经系统信息处理，甚至地震模型中找到了用武之地 最近，关于混沌同步的综述性文章也已发表1 ”。 1 0 第三章有限个k n r a m o t o 振子的动力学行为 第三章有限个k u r a m o t o 振子的动力学行为 3 1 极限环振子 我们知道，非线性方程的解有稳定定态解和发散解以及振荡解，振荡解又可分为周期振 荡解和混沌两种情况：如果除去暂态过程，饵在相空间中的轨迹是闭曲线，并且解具有周期 振荡的特点，则这个闭曲线叫做极限环，解就称之为极限环振荡。非线性系统的周期过程除 了极少数是与初始条件有关的守恒振荡外，大多都是极限环型的。 许多自然界固有的持续周期过程都具有一定的固有周期，此周期不与初始条件有关，也 不因为外界条件的变化而变化( 除非外界条件能改变其内部性质) 。这样的振荡也不因为外 界条件的变化而变化( 除非外界条件能改变其内部性质) 。这样的振荡自然不能用周期或振幅 与初始条件有关的线性振子或者中心附近的非线性振荡来表示。因此，自然界中大量的周期 过程( 如生物节律) 大都是非线性的极限环振荡。 大量的物理和工程上的振荡都是非线性的，这些振荡也是由系统的固有性质决定而与初 始条件无关。因此它们也通常用极限环表示。 耦合极限环振子的相角是其比较重要的一个自由度，只研究相位模型的优点在于可以抓 住振子同步的本质。很多物理体系的性质可以用其相位来很好的描述。k u r a m o t o 振子模型 就是弱耦合下不考虑振幅的效应，只用其相角来描述的相位模型。本论文工作中就选用 k u r a m o t o 振子模型来研究极限环系统中的混沌位相同步现象。 3 2k u r a m o t o 振子模型 n 个k u r a m o t o 振子耦合的网络是一种很常见的网络瞄】，网络中第i 个振子的动力学行 为由式( 3 1 ) 来描述： 磊= 锡+ 等霉s i n ( 力一谚) ， j = l ，n 旺) 其中谚表示振子的位相，弼为振予的自然频率，芷为振子之间的耦合系数，n 的值为与第 i 个振子直接耦合的振子数加1 ，l q 为振子总数。这个模型可以很好的描述一些不同的网络 的性质，它在很多领域都有应用，比如，神经网络硼，j o s e p h s o n 结瞄脚，激光阵列0 1 以及 东南大学硕士学位论文 心脏起搏器网鲫等。在以往的研究中，人们多数是研究在- - - 9 一的极限条件下，用统计方 法研究互相耦合的k u r a m o t o 振子的动力学行为3 0 l 。振子的自然频率璐的分布也有多种，如 随机分布，平均分布，洛伦兹分布，高斯分布等。在这种网络中可以出现不同的同步现象： 完全同步，位相锁定，簇同步( 网络中几个振子的平均频率相同) 。近几年，人们在短程耦 合( 近邻耦合) 的k u r a m o t o 振子1 7 1 1 3 1 】和有限个k u r a m o t o 振子 3 2 - 3 4 1 的动力学行为的研究方 面作了很多努力。 3 3 有限个k u r a m o t o 振子的动力学行为 3 3 1 锁频 这里我们简单介绍一下有限个k u r a m o t o 振子耦合的系统中的锁频现象。对于一个系统， 当我们增加系统中的耦合强度k 时，由于自然频率的无序和耦合带来的有序的竞争，系统会 表现出复杂的动力学行为。原则上说，耦合距离越近，两振子越容易同步( 相互作用容易传 递) ；自然频率差异越小的振子越容易同步。我们这里讨论的同步问题是平均频率的同步， 是一种广义同步。总体而言，随着耦合强度增加，系统会逐步达到同步9 ”。因此存在一个 临界的置。，当k k 。时所有振子的频率都锁定，即锁频。在k k 。时，部分振子会达到 锁频。为方便观察，可以定义第i 个振子的平均频率： 面= l i m l “( f ) d r ( 3 2 ) 当面= 弓时，我们就认为第i 个振子与第j 个振子达到平均频率同步。 图3 1 为全局耦合的5 个振子的平均频率面随耦合强度k 变化的分岔图，k c = 1 5 1 8 。 振子的动力学方程为： 谚2 哆+ 熹毒s i n ( 哆卅，渊n s ， 这里n _ 5 。我们从图中可以看到，k = 0 时，面= q ；k 1 4 8 3 时，第2 和第3 号振子的 平均频率达到相同，但和其他振子不同，这就是发生了部分振子的平均频率的同步；k k c 时，所有振子的平均频率都等于q ( = 万1 善4 劬) ，即达到锁频。图3 2 是各个振子的频率磊( f ) 第三章有限个k u m m o t o 振子的动力学行为 的时间序列。对弱耦合，旃( f ) 在其自然频率q 附近作小幅度的振荡。随着k 的增加，谚( f ) 振 荡的幅度也变大，并且平均频率面将会互相靠近( 它们都从其自然频率蕊偏移) a 当置k 时，所有振子的频率都达到相同的值，实现锁频。 k 图3 1 ：n = 5 ，全局耦合的5 个振子的平均频率随耦合强度k 变化的分岔图，k c = 1 5 1 8 。 5 个振子的自然频率取值分别为 一1 0 0 0 6 4 ，一0 5 0 0 1 7 ，0 0 0 3 4 7 ，0 5 0 1 7 0 ，0 9 9 8 5 2 ) 。 图3 2 ：k = i ( a ) 和k - 1 5 1 5 ( i o i i 3 2 t k 。) ( b ) 时，各个振子的磊( f ) 的演化情况。 我们可以看到，当k 接近疋时，c a t ) 都靠近到谚( f ) = 0 ( 同步态) 附近，但会每隔 一段时间：发生同步的开关阵发( 脉冲) 。“关”态即同步态，同步“开”态则破坏这个同步 态。当置 疋时，阵发间隔时间f 会越来越长。直至k = k e 时，系统达到同步态 磊o ) = o ，f - - - ) 一。在1 9 9 8 年郑志刚对这部分作了细致的研究川，发现对于振子数有限的情 况，阵发的平均时间间隔彳在耦合强度k 趋近同步临界点k e 时表现为- 1 ，2 的幂律，即 f * ( k o 一足1 一班。 o 0 0 0 0 0 oo。e-旬旬 东南大学硕士学位论文 3 3 2 混沌行为 平均场k u l - a r m j t o 模型中的混沌现象也被发现。在数值模拟的过程中，系统在某些情况下 存在不规则运动，这些运动有可能与混沌的产生有关，并且混沌总是发生在同步之前的一段 区域。混沌是由于耦合与振子自然频率分布的竞争而引起的。在同步的过程中，系统存在由 空问格点距离和自然频率距离带来的两种机制的相互竞争。随着振子数目的增加，同步进程 就会出现相当复杂的情况。当耦合强度较小时，系统的运动处在高维准周期，耦合不能够使 系统出现混沌；当耦合强度较大时，振子的频率随耦合强度变化曲线会由于自然频率的无序 排布而发生交叉，这导致复杂的同步集团化及非局域同步等行为。在同步发生前的一段区域 内，系统各种因素的竞争最为剧烈，因而会出现混沌运动。当振子达到同步时，系统又进入 一个相对有序的状态，耦合强度不足以使系统出现混沌，这时又出现准周期运动。 对于k u r a m o t o 模型，n 4 才有混沌状态出现0 3 ”。图3 3 是四个k u m 咖振子全局耦合 的l y a p u n o v 指数谱( = - 1 + 2 ( i - i ) 3 ，f = 1 , 4 ) 。振子的动力学方程满足式( 3 3 ) ，这里 n = 4 。从图中可以看出，耦合系数k 在【o 9 4 ，1 2 2 范围内最x l y a p u n o v 指数大于零，系统中 处于混沌状态 3 4 1 。 厚1 3 - 3 ：四个硒蝴m o t 0 振子全局耦合的b 印岫o v 指数谱( 璐1 + 2 ( ii ) 3 ，i = 丽) 。 其中最上端的线即最大b 印u v 指数，k o = 0 9 4 ，k l = 1 2 2 ，当k 在和k i 之问时，系统 处于混沌状态。k k c = 1 5 8 时，实现锁频 混沌状态可以通过画其庞加莱截面来判断。引入一个新的变量= 靠l 一谚，f = 1 , 2 , 3 ， 1 4 第三章有限个轴i 枷t o 振子的动力学行为 这样系统就可以由一个三维的环面流来描述，即系统降为三维。我们画驴r 2 ，驴r 3 在奶= 0 截 面上的庞加莱截面图，如图3 - 4 。可以看到，当k = 0 9 0 8 时，庞加莱截面是闭合曲线，处于 准周期态；当k = 0 9 2 时，庞加莱截面是有限个离散的点，说明系统处于周期态；k = i 2 时， 庞加莱截面上是一些点集，说明系统处于混沌态。 v 3 o ， f 。 46 ( b ) k = 0 舵 图3 - 4 ：对应图3 - 3 的驴，2 ，在奶= 0 的截面上的庞加莱截面。( a ) k = 0 9 0 8 ( b ) k = 0 9 2 3 4 小结 本章简要介绍了有限个k u r a m o t o 振子组成的系统中的动力学行为。 1 当耦合系数大于一定临界值时，系统会出现锁频现象。 2 在振子数n 大于等于4 的系统中可以产生混沌态。可以通过计算l y a p u n o v 指数和 其庞加莱界面来判断混沌状态。 1 5 一 广 + 一 j叶l耕，缸1l引，q蝌“j咕 3 暗 ， o 8 一 啪 ，- 组 东南人学硕士学位论文 第四章混沌位相同步中的临界耦合和相干行为 4 1 引言 混沌位相同步是复杂网络动力学中最重要的现象之一【3 目。它不仅存在于由全同振予组 成的系统中也存在于由非全同振子组成的系统中。复杂网络中位相的动力学行为非常丰富， 非常值得我们仔细研究。而在描述位相的动力学行为时，k u r a m o t o 振子模型是一种非常简 便的模型9 明。虽然单个k u r a m o t o 振子并不能产生混沌态，但如果耦合的k u r a m o t o 振子数 目n 4 ，且对于一定耦合结构满足一定的自然频率分布的宽度，那么系统中就可以有混沌 态出现 7 , 3 2 , 3 4 。 迄今为止，人们研究了全局耦合、环上近邻耦合、链状耦合结构中的混沌态的产生以及 锁频现象”m , 3 4 1 ，但还没有发现混沌位相同步( c p s ) 。如何能够产生混沌位相同步就成为一 个很有意义又有待解决的问题。比如，很多神经学实验结果已经证实人的感觉、记忆和很多 知觉是由大脑皮层的同步产生的，大脑皮层可以认为是由极限环振子组成的且是处在弱的混 沌态h ”。极限环系统的动力学可以就用k n r a m o t o 模型来描述a 2 。另外，在神经信号传输 的过程中，一个有趣的现象就是层状同步可以从一个功能块传输到另一个功能块 4 3 4 5 1 。功能 块就是在神经的网络中都具有一定的功能作用的网络模块。在这里，我们的研究对象就是非 直接耦合的链型阵列的层状混沌位相同步现象。 首先我们就先来研究对于单向耦合的环形阵列，在什么样的条件下可以产生混沌态。 4 2 单向耦合环形阵列中的动力学行为 在前面我们已经提到过，对于平均场k u r a m o t o 模型，至少四个振子组成的系统才能有混沌状态产生。 首先我们研究翠均场k u r m n o t o 模型单向耦合环形阵列 中的动力学行为。图4 - 1 为耦合结构图。 环中第i 个振子的行为由以下方程来描述： 图4 1 ：单向耦合环形阵列 盯 谚= 锡+ s i n ( 谚-