（概率论与数理统计专业论文）汇率联动期权的定价与创新.pdf

摘要当投资者投资于国外资产时，由于资产价格和汇率都可能因各种随机因素发生波动，所以汇率联动衍生品的定价问题具有重要意义本文讨论了多种情况下股票一汇率联动期权的问题一，本文假定股票价格与汇率均服从时间参数的几何布朗运动连续模型，用随机分析理论建立了多维股票一汇率联动期权b l a c k s c h o l e s 模型；分别给出了其应满足的随机微分方程及一般定价公式并由此得到了多种股票汇率联动欧式期权的定价解析式二，考虑到利率的不确定性对衍生资产价格的影响，本文用鞅方法研究了利率随机情形下，股票汇率联动期权的b l a c k - s c h o l e s 模型；在两种随机利率模型下，分别讨论了期权的价格及相应的套期保值策略，得到了多种股票，汇率联动期权的定价解析式三，由于资产价格和汇率过程可能发生不连续的变化，比如因突发事件而发生跳跃，而且大量统计表明资产价格表现具有明显的肥尾分布，即所谓的“波动率微笑”现象，因此本文在资产价格服从m e r t o n 跳一扩散模型的基础上，进一步考虑了股票。汇率联动期权在以下情况下的定价问题1 ) 当汇率服从具有不同跳跃幅度的m e r t o n 跳一扩散模型时，用无套利分析方法，得到了期权应满足的随机微分方程，并由f e y n m a n k a c 公式，得到了股票一汇率联动期权的计算公式；2 ) 当期权因特殊情况在到期日之前被终止( 即具有随机寿命) 时，利用随机分析方法，获得了股票汇率联动期权的定价解析式；3 ) 当资产和汇率都具有随机波动率时，用鞅定价理论，进一步研究了多种股票汇率联动期权的价格；四，本文对汇率联动期权进行了创新，构造了两种新型股票一汇率联动奇异期权，并由风险中性理论给出了相应的定价解析式关键词：汇率联动期权，随机微分方程，鞅定价，随机利率，跳扩散a b s t r a c tw h e nt h ea g e n t si n v e s ti nt h ef o r e i g nc a p i t a lm a r k e t ，s t u d y i n gt i l ep r i c i n go fc r o s s e t t r r e n c yd e r i v a t i si so ft h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n dp r a c t i c a lv a l u ei nf i n a n c i a lm a t h e -m a t i c ，b e c a u s eo ft h ei n d e t e r m i n a t i o ni ne x s h a n g er a t ea n da s s e t sp r i c e 1 1 1t h i sp a p e r ，t h ev a l u a t i o no ff o r e i g ne q u i t yo p t i o n si nd i f f e r e n ts i t u a t i o n si ss t u d i e d t i l et i , s t ，t h ep r o c e s so f a s s e tp r i c ea n dt h ee x c h a n g er a t ea r ea s s u m e dt ob el o g n o i i n a ld i s t r i b u t i o ni n8c o m p l e t ea n dc o n t i n u o u sm a r k e tm o d e l ，u s i n gt h et h e o l vo fs t o c h a s t i cc a l c u l a s ，w ee s t a b l i s ht h em u l t i d i m e n s i o n a lb l a c k - s c h o l e sm o d e l so ff o r e i g ne q u i t yo p t i o n s + t h er e c i p r o c a ls t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dt h eg e n e r a lp r i c i n gf o r n m l a so fd i f f e r e n tk i n d sf a n f i l i a rf o r e i g ne q u i t yo p t i o n sa r eg i v e n t h es e c o n d ，c o n s i d e r i n gt h a tt h er a n d o m n e s so fi n t e r e s tr a t ei n f l u e n c e st h ea s s e tp r i c e ，t h i sp a p e rd e d u c e saf e wc o m p u t a t i o n mt b r m u l m eo ft h e s ec r o s s c u lr e n e yo p t i o n su n d e rt w os t o c h a s t i cm o d e l so fi n t e r e s tr a t e ，m a k i n gn s eo fr i s k - n e u t r a lv a l u a t i o np r i n c i p a la n dm a r t i n g e n tm e t h o d so fe u r o p e a no p t i o n s t h eh e d g i n gs t a t e g yi sg i v e n t h et h i r d ，f o rt h ee 。q s e t sp r i c ea n de x c h a n g er a t em a yc h a n g ed i s e o n t i n u o u s l 孔a n ds t a t i s t i ca n a l y s eh a ss h o wo b v i o u s t h i c kt a i l ”d i s t r i b u t i o no ft h et h ea & s e t sp r i c e ，s os u p p o s i n gt h et h ea s s e t sp r i c ei sm e t r o n - j u m p - d i f f u s i o np r o c e s s ，w em a k ef u r t h e rs t u d yi nt h ef o l l o wh y p o t h e s i s ：1 ) w h e ne x c h a n g er a t ei sa l s oj a m p d i f f u s i o np r o c e s sw i t hd i f f e r e n tj u m p i n gs c o p e ，n s i n gn oa r b i t r a r ym e t h o da n df e y n m a n - k a ef o r m u l a w es h o w nt h es t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a -t i o nw h i c ht h eo p t i o n sn l u s tb es a t i s f i e da n dt h eg e n e r a lp r i c i n ge x p r e s s i o n s 2 ) w h e nt h eo p t i o n sh a sr a n d o ml i f e ，b ym e a n so ft h es i m i l a rs t o c h a s t i ca n a l y s i s ，t h eg e n e r a lp r i c i n gf o r m u l ai so b t a i n e d 3 ) w h e nt h ea s s e t sp r i c ea n de x c h a n g er a t eh a v es t o c h a s t i cv o l a t i l i t y , 磅m a r t i n g e n tm e t h o d t h ec l o s e f o r i i ls o l u t i o nt ot h ev a l u a t i o no fo p t i o n sh a 8b e e nd e r i v e dp a n a l t y , t w ok i n d si n n o v a t i v ef o r e i g ne q u i t yo p t i o n sh a v eb e e ng i v e ni nt h i sp a p e r ，a n dt h ey a h r a t i o ni 8a l s es t u d i e d k e yw o r d s ：f o r e i g ni n d e xe o n t i n g e n t c l a i m ，s t o c h a s t i cc a l c u l u se q u a t i o n 。r a u d o n ：li n t e r e s tr a t e ，m a r t i n g e n tm e t h o d ，j u m p d i f f f u s i o nm o d e li i第一章绪论1 1 弓l 言期权是7 0 年代中期在美国出现的一种金融创新工具，2 0 多年来作为一秽黪范风险穰投糖羚鸯效手段恧季馨爨了遨猛发骚。臭扶1 9 7 3 年著名戆b l a c k s c h o l e s 公式发表以后，它已成为金融工程的核心基础，期权定价理论成为金融王程豹棱心理论。黠裴权悫徐翳疆突主要有鞍方法秘夔巍微分方程方淡，近年来对各种期权的设计和定价得列了蓬蓬勃勃的发腥警瓷产仅限予蓬蠢市场时，国浅夕 关予各彝特殊情凝下懿鬏毅价格瓣趣得到了广泛的研究；当利率随机变化时，文【5 】 6 1 建立了不同的随机利率模型，褥强了欧式期投静定价薅糖式；当重大事箨发生莓| 超股票价格发生跳跃时，文| 。】_ 1 1 分别用随机微分方法和鞅方法讨论了欧式期权的定价模型；随机波囊率与雾摸壅结舍下黪期毂徐捂阂题觅予【1 2 l ；另外不完全索场下簿期投定价及投资消费问题在f 2 2 】中得到了系统的归纳随着全球经济一体伍和衾融一体亿酶醛益深入，投资者不仅可蕊投资予单纯派率衍生品，还可以投资于国外的资本市场国内单纯汇率期权在文 6 1 一 8 】中礴餮了初步磷究稀汇率每狡票价格都是随税变讫翡，魏时，投资者不仅关心国外资产的价格风险，还关心汇率变动的风险从实践的角度看，从2 0世纪o 年代开始，国矫静券商浚稿继推式了不步汇率联动采定衩益，这些未定权益以圆外的股票、股票指数等为标的物；这些金融商品的标的物都在当篼濒交易，丽其衍生裔品却农外国上市交易，戳外雨计侨从理论研究上看，进入2 0 世纪9 0 年代以后，锯生商品定价的重点集中于交叉的外币衍生晶r e i n e r ( 1 9 9 2 ) 3 1 首次擒出了简单的股票一汇率联动期权，且给出了其定价公式，d a v i d 和r i c h a r d s o n ( 1 9 9 3 ) 2 研究了日本n i k k e r 认侮权证的定价，a m i n 和j a r r o w ( 1 9 9 1 ) 根据远期乖j 率的随机变动过程，完成了笺杂的外汇期权的定价模型w e i ( 1 9 9 7 ) 1 l 对交叉外币衍生性商品进行了概括一睫的研究1 2 本人所作的工作由于资产和汇率可能受到多个随机因索的影响，两外国内利率都可能随机变化；且当重大信息到达时，可能引起股价和汇率发生不连续变化本文从以上角度出发，假设国外股票和外汇汇率价格过程都是漂移扩散过程时，利用随机微分方程理论和鞅方法，分四章讨论了股票一汇率联动期权的定价问题第一章从时间参数、多维数角度建立了市场模型并对股票一汇率联动期权进行了研究，用无套利方法建立了多维股票一汇率联动期权应满足的随机微分方程，并由f e y n m a n k a c 公式得到了参数为时间的非随机函数时，及相应的b l a c k - s c h o l e s 定价模型第二章用鞅方法进一步考虑了两种随机利率模型下期权的一般定价公式及相应的套期保值策略；并具体计算了多种股票一汇率联动期权的定价解析式第三章用无套利定价方法分析了当股票和汇率均为跳跃扩散模型以及具有随机寿命情况下的股票一汇率联动期权，得出了其应满足的随机微分方程，进一步由f e y n m a n k a c 公式得出了相应期权的定价公式；并在股票价格服从跳扩散模型，股票价格和汇率都具有随机波动率情形下用鞅方法讨论了股票汇率联动期权的定价第四章对股票一汇率联动期权进行了创新，以联动亚式期权和联动重置期权为例给出了其定价模型1 3 预备知识市场假设i ) 市场无摩擦，无交易成本，无税，可自由买空卖空；i i ) 交易是时间连续的，标的资产的数量是可分i i i ) 标的资产价格在未来是不确定的，且标的资产是连续可交易的引理1 1 ( g i r s a n o v 定理) 【2 l 】设w ( t ) 是( q ，只，p ) 上r b r o w n 运动，0 ( t ) c c ，且指数上鞅z ( t ) = e x p 一日( “) d ( “) 一；| i o ( “) 1 1 2 幽) ，( 11 )j 0oj 【l在0 茎t t 上是只指数鞅，即e z ( t ) = 1 ，则随机过程w ，。( t ) = w ( t ) + 岳口( u ) 曲是( f t ，r ，q ) 上r b r o w n 运动，其中q 是定义在( n ，e ) 上p 的等价概率测度，d q ：z ( t ) d p ，将爨撩，若对? 1 曼。，雄) 满是n o v i k o v 条 孚：驰p 折静固铲嘲】 。，烫l8 擘) o 篓t 茎t ) 为霞鞅。引理1 2 ( 鞅表示定理) 2 1 1 设w 一( m ( t ) ，( ) ) 唧s t 是( q ，c ，p ) 上b r o w n运凌，最为w 生藏豹完备一蠛，x ( 0 。曼毪，为关于最翡形壤平方哥稷鞍。则存在一r n 值r 适威过程( ) 。蛾，满足e ( h 2 ( “) d “) 0 ， 1 ，使得0 每( s ) ；a 墨( i # s 2 1 ) 或零( s ) = 0 ，托) i f ( t ，8 ) ism ( 1 + i 8 1 1 2 1 ) 或z ( ：s ) 一0 剜警条件( a ，) ，( a 2 ) 满熙时，c a u c h y 闯邋： 豢+ ，+ c ( $ ) ，+ # ( s ) = 。，) 拶【。，翻，f 1 5 )【f ( t ，8 ) = 垂( s ) 存在唯一解，其解为：，( t s ) = = e 。一l z r u ，s ( “) ) e x p z ”c ( r ，s ( r ) ) d r d u + ( s ( t ) ) e x pj f 7 c ( r ，s ( r ) ) d r j 3第二章汇率联动期权一般b l a c k - s c h o l e s 模型2 。薹模鍪瑕设假设：1 ) 髫夕 股票价格过程s ( 砷= ( s ，( ) ，岛( ) ，s ( ) ，s t ( t ) y 秘汇率过程x ( ) 分翔游跫隧税檄分方程d s ( t ) = 【s ( t ) ( p s ( t ) d t + c r s ( t ) d w ( t ) )a x ( t ) = x ( 坊帮x ( ) 鑫c r x ( t ) d w ( t ) )2 ) 圈外和国内无风险债券价格过程分别满足( 2 1 )f 22 d b j ( t ) = r a t ) b f ( t ) a t 。岛( ) = l ；( 2 , 3 )d b a ( t ) = 心( ) b d ( t ) d t ，b d ( t ) = 1 ( 2 4 )其中w 一( ( t ) ，w 2 ( t ) ，眠+ 。( t ) ) ；。t 为完备概率空间( g t ，e r ，p ) 上的标准b r o w n 遂礁；冠为w 生成皎完备# 一域滚；参数姆( ) 一涵( 砖，r e ( t ) ，。t t x ( t )分鬟秀嚣多 段票价嵇穰汇率静瞬间收益率，吩( 幻= ( a ；( 0 ，( ) ，( 砖) ，d x ( t )分别为其瞬间风险波动率，r 巾) ，r a ( t ) 分别为国外和国内无风险利率；均为时间t 的确定的连续函数p ( ) 1 = d i a 9 i s , ( t ) ，岛( ) ，晶( t ) 】3 ) 参数瀵是黎分焱锌i ir ( t ) d t 。j o，帅) 忡 。j o iu ( t ) d t o鸯方矮记，参数淡下笾写秀鼬，黻；a s ，萨x ；吩，强2 2 汇率联动期权的定价设汇率联动霸税t 对裁静到朝收益为9 ( 禺，弱，) ，在t 时掰静无套剩价格为v = v ( s ，x ，t ) ，且v 关于s 及x = 阶可导，关于t 可导4按照i t o 引理，应有：d v = v ( y d t + 0 - , v d w ) ，其中p v = ( k + t l x x v x + 地& k + a v ) vt = lj v = ( a x x v x + 口i s i v i ) v ,( 2 5 )( 26 )而a v = i 1l 厶n l 蕊o 。, v ，s s 。a ，+ 殍0 2 v 吸x 2 + 墨l 淼s i x a 。口i ) ，且k ，k ，v x分别为v 关于t ，s i ，x 的一阶偏导记! = ( 1 ，1 ，1 ) ，构造一个投资组合h 以亿n ，”a 分别表示国外股票、国外债券、国内债券及汇率联动期权的比例( 本币) ，”= ( 丌l l ，丌1 2 ，) ，中表示第i 种股票的比例，记d n n = f 。d t 十口h d w ，则有，z 玎= 丌：( p , s + p x ! + 盯s 仃量) + 丌2 ( r f + ，i x ) + 7 r 3 # v + 丌4 ，o i i = 7 r i ( 1 7 s + 盯x 呈) + 7 2 ( 7 x + 7 r 3 0 - v 选取亓1 ，亓2 ，亓3 使得o h = 亓i ( 盯s + 盯x 三) + 亓2 f f x + 亓3 盯y = 0 ，f 2 8 1由于投资组合是无套利的，此时应有卢= ( p s + x ! + ( 7 s 政) + 亓2 ( r f + p x ) + _ 3 p y 十亓4 r d = r d ，f 2 9 )结合( 2 5 ) 一( 2 9 ) 式得定理2 1 在风险中性下，n 维汇率联动定权益9 ( 曲，曲) 在t 时刻的无套利价格v ( s ，x ，) ，应满足的随机微分方程为烈。二嗽量(rd-ri胁xv+ a 肚- 0 ，(2lo)(sts【，x ，) = 9 ( t ，x t ) 卜相应地，风险中性下汇率和国外股票价格过程应满足：d s ( t ) = ( s ( ) 】( ( ”，( ) l a s ( t ) e r x ( t ) ) d t + 口s ( ) d i 矿( t ) ) ，( 21 1 )d x ( t ) = x ( ) ( ( r d ( f ) 一r ( t ) ) d t + 口x ( ) d 砰7 ( t ) ) f 21 2 )由f e y n l n a n - k a c 公式，得定理2 2 汇率联动未定权益时刻t 的价格为v ( s ，x ，t ) = e e x p 一r d ( ) d “) v ( s ( t ) ，x ( t ) ，t ) j f , 】( 21 3 ) 当n = 1 ，且参数为时间的确定性函数时，对于 1 7 中四种常见的基于国外资产的欧式期权，由定理可得下面的结论：推论2 3 到期收益为g l ( t ) = x ( r ) ( s ( t ) 一k ) + ，执行价格为k ( 外币) 的汇率联动欧式期权，其时刻t ( o t t ) 的无套利价格为( s ，x ，t ) = s x n ( d , ) 一k x e x p 一r l d u ) n ( d 1 ) ，( 21 4 )其中也= c ，n 瓦s + ，7c ；”驰酽+ r ，a u ，痂，a = d l - 痂证由定理知( s ，x ，t ) = e e x p 一r a ( u ) d u x ( t ) ( s ( t ) ) + 1 日记m ( s ，x ，t ) = ，1 一如，其中，i l = e e x p tlr d ( u ) d u x ( t ) s ( t ) i f s ( t p k j f t ，厶= e e x p 一r d ( u ) d u x ( t ) k ) i l s ( t ) j 删l r i ，分别令却) 一e x p 一；z 饥+ 呶旷z 。( 吲卅州瑚d 帅) )z ( t x p 一始恢旷z 哪m )由g i r s a n o v 定理引理1 2 】知，经过测度变换：d p = 2 ( t ) d p ，d p ：2 ( y 1 ) d p ，p ，户为p 的等价风险中性测度，且在户，p 下分别有d s ( t ) = s 0 ) ( ( ”，( t ) + | | 口s ( ) 旷) d t 十a s ( t ) d 咖( t ) ) ，d s ( t ) = s ( t ) ( 7 ，( t ) 出+ 口s ( ) d 佴，( ) ) ，这里咖( t ) = w ( t ) 一露( a s ( u ) + a s ( u ) ) d u ，彬( ) = ( ) 一石呶( “) d “分别为p 一，p 一布朗运动记f = 后o s ( “) d 咖( “) ，则一n ( 0 ，f t1 1 ( “) 1 1 2 d n ) ，1=e x s e x p 一jfi | 盯s ( 钍) + 盯x ( 札) 酽d u + f ( 口s ( 札) + ( i x ) ) d 矿( ) ) 1 s ( r ) 三 l f= x s f s s e x p j ：t ( r ，( t ) + | | 一s ( ) ) d t t + _ o - s ( u ) d 形( “) ) = x s n ( d 1 、同理有如= e k x e x p ? ( 一r ，一j i i 口x ( u ) 1 1 2 d u + - 口x ( “) d w 7 ( u ) i 熔( r ) r - 】i f ,k x e x p 一j - r ，( u ) d u p s e x p f ( r ，( t ) 一；i i s ( t ) l t 2 ) d u + f 。( “) d 咖( “) ) 芝k k x e x p 一建r f ( u ) d u n ( d i )以下结论的证明类似：推论2 4 到期收益为啦( t ) = ( x ( t ) s ( ? 1 ) 一k ) + ，执行价格为k ( 本币) 的汇率联动欧式期权，其时刻t ( o tst ) 的无套利价格为v 2 ( s , x , t ) = s x n ( d 2 ) 一e x p 一, 厂ttr d d u ( 啦) ，( 2 1 5 )其中虻( 1 n 百s x 十7 中1 甜2 呦tc r x d u ，4 = d 2 - j ；：五，。；。：j 一。旷+ l 。i i 。+ z 。，推论25 到期收益为g a ( t ) = x ( s ( t ) 一) + ，执行价格为k ( 外币) ，的汇率联动欧式期权( 这里x 为预先约定的固定汇率) ，其时刻t ( o t 丁) 的无套利价格为k ( s ，霄，t ) = s x e x p 厂( r y - - r d 一口s 口) d “) ( d 3 ) 一k x e x p 一，1r ，d “ ( 鸸) ，( 2 1 6 )- j tj t其中d a 一( 1 n 昙+ ，7 ( r ，+ ；ij a s i 2 一一s 一鼻) d “) 、7i f s ij 。d u ，7d ；= d 3推论2 6 到期收益为9 4 ( 了1 ) = s ( t ) ( x ( t ) 一) + ，执行价格为k ( 本币) 的汇率联动欧式期权，其时刻t ( o tst ) 的无套利价格为k ( s ，x ，t ) = s x n ( d 4 ) 一k s e x p ( r ，r d 口sx ) d u n ( d , ) ，( 21 7 )r j t其中血= c ，t 耳x + ，tc h r ，+ 到1 胪+ 。畋，a “， z 7 忙刘z a “，虻历蕊注由d s ( t ) x ( t ) = s ( t ) x ( t ) ( ( t ) 出+ ( 卿( t ) + o x ( t ) ) d w ( ) ) ，推论2 4 中相当于以s ( t ) x ( t ) 为标的资产的欧式看涨期权，可直接由b l a c k s c h o l e s 公式得到结论推论2 5 与汇率变动无关，为一国外股票看涨期权8第三章随机利率下汇率联动未定权益定价3 1 一般随机利率模型下的汇率联动期权此时在原给定概率空间中，我们设国外债券价格及本国债券价格分别满足方程：d b f ( t ) = 3 f ( t ) ( p f ( t ) d t + 町( t ) d w ( ) ) ，b ，( i ) = 1 ；( 31 )d b d ( t ) = b a ( t ) ( # a ( t ) d t + a a ( t ) d w ( t ) ) ，玩( 丁) = 1 ( 3 2 )定义3 ，1 称投资策略 。( t ) = ( a l ( t ) ，a 2 ( ) ，。，：( ) ) ，6 ( t ) ，c ( t ) ) 为自融资策略，如果财富过程v ( t ) = a ( t ) s ( t ) x ( t ) + b ( t ) b f ( t ) x ( t ) + c ( ) 玩( )( 3 3 )满足方程d v ( t ) = o ( ) d ( s ( t ) x ( t ) ) + b ( t ) d ( b l ( t ) x ( t ) ) + c ( t ) d b a ( t ) ，( 34 )其中，n ( ) ，6 ( t ) ，c ( t ) 分别表示时刻t 投资者拥有的股票、国外债券及本国债券的数目对0s t 丁，令雪= 胖，岛( t )则上毁b d ( c )v ( t ) = a ( t ) s ( t ) + 6 ( t ) 研( t ) + c ( t ) ( 3 5 )由i t o 公式有d v ( t ) = a ( t ) d s ( t ) + b ( t ) d b f ( t ) ，( 3 6 )d s ( t ) = 陋( f ) ( 皿s ( t ) m + o s ( t ) d w ( t ) ) ，( 3 7 )d b ，( t ) = b ，( ) ( 豇，( ) d t + 方，( t ) d w 7 ( t ) ) ( 3 8 )其中绯，= ( 黝) 一( p 篡麓二盎：爱二恕二兹，) ，c 。，= ( 鲻) = c s x + o f f - - a d ，) ，c 。叫设o ( t ) 有界且奇异，毋。( 旬一致有界，) _ 扩1 ( ) 4 ( 旬满魑n o v i k o v 条件，刚( d 。廖s a t ) ) = f 岛( 哦瞰圳始( 踟。十子a w ) = 岛( 线瞰圳烈州影( 线吩t t )其中w ( t ) = w ( t ) + 露o ( u ) d u 定义一个概率测艨户，使得d 户= e x p 一；譬i i o ( t ) l t 2 d t o ( t ) d w ( t ) d p ，由g i r s a n o v 定理，影( ) 为声下的标准布朗运动，声为p 的等价概率测度，妻愈) ，雪( 妁为声赣定理3 , 2 到期时为t 到期收益为 = g ( s ( 巩x ( 丁) ) 的汇举联动未定权益在时刻t 的无套利价格为y ( 砖一嚣d ( # 意涪( s ( 箩) ，x ( t ) ) i f 。i稻r 2 )证由p ( t ) 为p 鞅，所以有9 ( 0 = e i ( 5 r ) i 羁 ，又f ( t ) 一端，b a ( t ) 一1 ，v ( v ) 一烈s ( ? ) ，y ( r ) ) ，日f 证。馥下讨论n = 1 睡隧巍糕率下麓透蔻释 攀联凄麓衩懿定徐，为方便，参数简记为乃，凰；西，5 - s 且记，?子曼，一( | | 知( ) 1 1 2 + l l a ，扣2 2 如( n ) 矗；知) ) d 珏，rp r抒一1 瞰酬1 2 d u ，子；= i 西( 酬f 2 d u j j 推论3 3 到期收益为船( ，净并( ? ) ( g 一) + ，执行价格为彤( 外苯) 鲍汇率联饕酸式麓毂，其瞬裁t ( ost ) 懿无套澍价格为k ( s ，x ，b s ，t ) = s x n ( d 1 ) 一岸x 毋n ( d j ，f 3 1 3 )其中一d t = ( i n 志+ ；强，) 佤，= 虹痛，证由定理3 2 甄( 一旦f ( 母叠f x ( ) ( s f ? ；一k ) + i f t l= 嚣a ( 移越( 雪( ，) 一岛( ? ) 耳) + 羁= 1 十如i 0其中，1 = b d ( t ) e s ( t ) i 陋) ! 岛( t 、) 州蚓：s x 叠睁p 一i l l 净s ( u ) tl 2 d u + 乒如* ) d 痧( ) 囊够 ! 茸( ? 吲| 最在g i r s a n o v 弓i 瑗中令p ( ) = 一瓠( ) ，定义一个概率测发岛= q ，则帆( t )v v ( t ) j ：以( u ) d u 为岛下的标准布朗运动，岛为与户等价的风险中性测度在岛下，d 考0 ) = 謇妨矧o 。t ) | | 2 d t + 氟( t ) d ；璐( ) ) ，d 秀，( z ) = 西，( t ) ( 如( ) 古；( t ) 出+ 子，( ) d 订名( t ) ) 记= f 西d 蠊妇) ，踞= f 西d 识( “) ，则( 一n ( o ，蘸) ，n ( o ，8 弦酝以i i = s x e s i s ( ? ，) ! 岛( r ) 删1f c 】一s x 岛( 一q 1 n 生导一；毋；，)= s x n ( d i )又如= b d ( t ) 窳i 岛( ，【j ( t ) 直，( t ) 】1 只j谯g i s a n o v 定瑷( 弓l 理1 2 ) 审，令阳) 一一寿足) ，犀域定义一个概率测度岛= 国，瓣，奶( ) 一谵，( ) 一露努( “) 妇秀岛下酶标准枣麓运动，岛为与声等价的风险中性测度，在岛下，d s ( t ) = s ( t ) ( 如( t ) 毋；( ) 出+ 6 s ( t ) d w l ( t ) ) ，d b ：( t ) = 量( # ) 硼努( 嘲2 d t 十白( ) d ；巧( 妨) 。同理可得如= 岸x b ，e ，瓯s ( r ) 西，( t ) 州l r 】= k x 毋n ( 4 )综合矗，如即证用类似的证明方法，可得以下结论：推论3 4 到期收益为卯( ，净( x ( t ) s ( t 一均+ ，执行价格为k ( 本蘑) 盼汇率联凄敬式蘩权，麓日尊蕤t ( o t t ) 戆悉套秘资格为k ( s ，x ，玷，t ) = s x n ( d 2 ) 一k f 珏( 迸) ( 3 1 4 )1 1加( 1 n 面s x 十扫历，畋确一肛推论3 5 翻期牧慈为9 3 ( t ) = x ( s ( 习一k + ，撬嚣穆掇秀k ( 终黍) ，鬏先终定固定激率为x 的派率联动欧式期权，其时剩t ( ost t ) 的无套利价格为( 只x ，醌，b ，t ) 一s x 鲁e x p ；( 毋剐2 一。 s 2 + 子；) ( 如) 一k x 风( ) ，( 3 1 5 )莫中西= ( 1 z - 丽s + 占；r 知一删厢，嚷= d 3 一压推论3 , 6 到期收益为玛( ，) = s ( f ) 涔( ，) 一拼) + ，执行价格为k ( 本带) 的汇率联凄欧式麓较，冀# 誊蘩t ( ost 霸戆无套疑徐牾为k ( 只x ，岛，b ，t ) 篇s x n ( d 4 ) 一s 象e x p ；( 扫；，一子；+ 芬) ) ( 或) ，( 3 1 6 )其中幽= ( 1 n 丽x b f 一粒厂磅) 污，一画一拇定理3 7 汇率联动期权y = v ( s ( t ) x ( t ) ) 的套期保值策略为闻践婚) ) _ 型塑豢选咝( 暾臻躺嘲廊琢鳓扩l ( 驰7 )证由d 矿( t ) = ( n ( t ) 加( t ) ) 呤( 吼岛( t ) 子( ) d 咖( ) 是p 鞅，根据鞅表现患理，存在一适应过程h ( t ) 满足d 矿( o h ( t ) d 咖( t ) 从而( 妨，姆 = 嚣寿。( 掰【雪璐岛( ) l ，又d 矿( t ) ，( 咏) ，岛( 啊) 尸h ( t ) 5 懈) 呤( ) l ，岛妣掰疆蠢( 蚺吣”= 蝴堂篆迪必( 脚鹏( 州啪 悯州，鳓】) 一涯毕洼：当国外及罄海债券玛竞风陵，即= 黝一0 ，邵褥利率菲随机情况下时前面定理2 , 2 及推论2 , 3 2 6 3 2v a s i c e k 短期利率模型下的汇率联动期权假设：i ) 在原来静橇攀涮度p 聱为风险中注滚壤，在p 下，嚣终段票秘汇率分别满足方程( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ：i i ) 网内外短期利率分别满足v a s i c e k 模型：d r u ( t ) = ( b d ( 匀十a a ( t ) r d ( t ) ) d t4 - 国d 玩( 氓 1 8 )d r i ( t ) = ( b i ( t ) 十a f ( t ) r l ( t ) ) d t + p t ( t ) d b y ( t ) ，( 3 1 9 )冀中参数妁，酪) ，7 ( t ) 为露瓣t 懿魂定镶嚣数，。 0 ，盈瀵鼹墨积条件；过程b d 一( 玩( ) ) 。 。c ，b s 一( b 水) ) 0 b ( t ) 时，此时有负的漂移项，因而，从平均意义上蒋，此时的缀期利率水平会下降；当r ( t ) b ( t ) 时，有正的漂移项，此时短期聱l 率水平会上舞。n ( 幻就是刻垂这种隧归速度的参数。，( t ) 表示在砜貔中瞧豹投资久袋审，纛率鹃波动强度。该秘率模螯被称为鹭僮霞笈模登，n ( 曲为短期利率的均值回复参数，6 ( t ) 为长期利率水平，_ ( t ) 为波动强度对0 t 曼8s t ，记a ( “， ) = e x p ca ( 7 ) d t ，则f ( 5 ) = r ( 蝴+ z 矗矗举) 瓿+ z 髓a ( 即) d w ( 鞋)，3，s记：c ( t ，zr ( t ) ) = r ( t ) a ( t ，8 ) d 卧r 1d sf fb ( u ) a ( u ，s ) d u ，m ( u ，t ) = 上57 ( u ) a ( u ，s ) 幽财z 。嘣踟s 刊忡卅z t 帆t 肌z r 删s 吲强讲z 姆眩? 蹶)以下分别对前避几种汇率联动期权进行讨论1 3( 3 2 0 )f 3 。2 l 记仃f 一，( 1 | 口s ( u ) i t 2 + i i l ，( “) 1 1 2 ) d “一d 2 一) 圳酬嘶川。m一旦蒸二：! ij 壁! ! 虫竖竺! 塑亟! ! ! ! ! ! ! 堕! 垒曼：尘j ：1 ( i l o s ( “) 1 1 2 + l i m a “) 1 1 2 ) d ud 3 = +z r i 吩( 珏) 萨+ 胁。( n ) 轳) d 钍池：! ! 釜：! ；= 剑2 丝坚兰窒丝竺塑望兰耋鱼鱼圣塑：堡鱼墨! ! !点1 ( 1 口s ( “) 十m s ( “) 1 1 2 + 1 1 7 r 硷( e ) | 2 ) d #d ；= d 4 - 仃州嘶m 小川e 帆胪灿推论3 8 到期收益为白( t ) _ x ( 即( s ( f ) 一辩) + ，执行价格为k ( 外币) 盼 率联羹敬式麓投，冀时裁t ( ostst ) 翡无套秘价格为令( s ，x ，t ) = s x n ( d ) 一x e x p 一q ( t ，e r ，) + ；t l i r a ，m ) 1 1 2 d “ ( ) ，( 3 2 2 )证蠢无套秘定价公式，k ( s ，x ，t ) = n e x p 卜，7 ( 札) d “) x ( 了，) ( s ( t ) n ) + i 鼠j 牙( ) 一“p 卜；z 。l l s ( 。十啾( t ) 1 1 2 出+ z ( ( ) + 姐( 刚d w ( 啪1 4掣一孙一x p 毛：由g i r s a n o v 定理引理1 2 】知，经过测度变换：d p = z ( t ) d p ，d p = = z ( 7 ) a p户，户为p 的等价风险中性测度，且在户，户下分别有d s ( t ) = s ( ) ( ( ”，( ) + j i o s ( t ) 1 1 2 ) d t + a s ( t ) d w ( t ) ) ，d s ( t ) = s ( t ) ( ”l ( t ) d t + 口s ( t ) d w ( t ) ) ，其中f i e ( t ) = w ( t ) 一_ ( a s ( u ) + a s ( u ) ) 扎，彬( ) = w ( ) 一e a x ( u ) d u 分别为户一，户布朗运动记 ：f 。s ( u ) d i p d ( 。) ，q = ：f 。，。d ( 。) d b d ( 。) ，e ：f 。，( “) d b ，( u )则k ( s ，x ，t ) = e e x p 一正1r d ( u ) d u x ( t ) ( s ( t ) 一) 1 p 【t ) = 州if c = s x p s e x p ；a + q ( t ，rr f ) + + q k 一x k l 豆 e x p 一g ，( 亡，t ，t i ) 一叼) i 【s 唧 c ，( ，? j ，) i ，2 + + q ) k = s x 户畦+ ”l n - - g j 口；一c 1 ( t ，zr s ) 一x k e x p 一c s ( t ，y j7 ，) ) e 【e x p 一v i t + 1 1 l 。g 一( o ( j ，) + ，目】= x s n ( d , ) 一x k e x p 一c s ( t ，t ，7 ，) + ；口： ( d ；)推论3 9 到期收益为9 2 ( t ) = ( x ( t ) s ( t ) 一k ) + ，执行价格为k ( 本币) 的汇率联动欧式期权，其时刻t ( o t t ) 的无套利价格为k ( 只墨t ) = s x n ( d 2 ) 一k e x p 一c d ( t , e ) + ；，1l i r a a ( ) 2 d u ) ( 畋) ，( 32 3 )证以s ( t ) x ( t ) 为标的资产，由文 5 中随机利率下欧式看涨期权的定价公式，即得推论3 1 0 到期收益为卯( 丁) = 一x ( s ( t ) 一k ) + ，执行价格为k ( 外币) 的汇率联动欧式期权，其时刻t ( o t t ) 的无套利价格为k ( s ，x ，t ) = s x e x p a ( t ，t ) n ( d 3 ) 一k - x n ( d 3 ) ，( 3 2 4 )其中，1“( ，t ) = c s ( t ，t ，r 1 ) c d ( t ，l ) 一( 口s ( “) 吐( “) 一；( 1 l m ，( ) 1 1 2 + ij k ( “) j | 2 ) ) d jz1 5证记l ! f ( ，t ) = c i ( t ，er f ) 一c d ( t ，e7d ) 一 口；一上7 口s ( “) 口( “) d u k ( s ，x ，t ) = e e x p 一rr d ( u ) d u x ( s ( t ) 一k ) i s ( r 】! k ji e 】= x s “p f l ( t ，聊e 嘞 f q + 舛一嵋艉可一页j k p f + ，j = 0 ，1 ，o 。 独立同分布；坛= 堙，j =0 ，1 ，。o ) ，堙为汇率第n 次跳跃的相对高度， 嗖，j o ) 独立同分布；m ，h ，p o s s i o n 过程口( t ) 与 眦( t ) ，i = 1 ，2 _ 好相互独立，a 为p o s s i o n 事件发生的强度，k ，= e k ，h = e y x ，这里e 表示关于y 的期望算子简记：7 岛= r ( t ) 一吼( ) 略( t ) ，r x = r d ( t ) 一r f ( ) 定理4l 跳扩散模型( 4 1 ) ( 42 ) 下，汇率联动期权9 ( 曲，j 白) 在时刻t 的无套利价格v ( s ，x ，t ) 应满足的微分方程为iu + 墨1 ( r 置一 七。) v + ( r x a 七x ) x v x + a v y + a 【y ( s ( k + 1 ) ，y ( y x + 1 ) ，t ) 一y ( s ，x ，t ) 】= 0 ，( 4 3 )【v ( s ，x ，t ) = g ( 岛，曷) 】7证汇率联动期权时刻t 的无套利价格v = v ( s ，x ，t ) 可表示为可d v = ( # v - a k v ) d t + a v d w + k 电其中k 为期权跳跃的相对高度，b = e k ，p 矿= ( k + ( 肛x a k x ) x v x + ：l ( ，“一a k i ) s i v i 十a vr + a 【y ( 鼠( + 1 ) ，x ( y i + 1 ) ，t ) 一v ( s ，x ，)