（应用数学专业论文）一类非线性波动方程的初边值问题及柯西问题.pdf

喻尔滨下程大学硕十学位论文 摘要 本文研究以下非线性波动方程的初边值问题 一a u a u , = f ( u ) ，x q ， 0 ， “l = ( x ) ，u t l ，l o = “i ( x ) ，x e q ， 叱q = o ，x eo f 2 ，t o 其中q1 - r ”为适当光滑的有界域，f c 以及在f 空间下研究如下方程的 柯西问题 z 一材一z 0 = ( 甜) ，x r ”， 0 ， 2 ，| ，= o = i t o ( x ) ，xe r ” 本文主要分三个方面： 首先，介绍了位势井理论，通过对位势井的推广，引进了位势井族 其次，利用位势井族方法证明了方程的初边值问题的整体解的存在性、 不变集合和解的真空隔离以及临界初值问题 最后，利用同样的方法研究了方程的c a u c h y 问题的整体解的存在性、不 变集合和解的真空隔离以及临界初值问题 关键词：非线性波动方程；初边值问题：c a u c h y 问题：位势井族：整体解 哈尔滨r 丁程人学硕f ：学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o r ac l a s so fm u lt i d i m e n s i o n a ln o n li n e a rw a v ed i s p e r i v ee q u a t i o n u t t - a u - a u = f ( u ) ，x q ， 0 ， 材l ，：。= z ，o ( x ) ，u t i ，：。= “l ( 石) ，x e o ， 材i 砌= o ，x 孢，t o w h e r eqcr ”i sap r o p r i a t eb o u n d e dd o m a i na n d f c w ea l s os t u d y c a u c h yp r o b l e mo ft h ef o l l o w i n ge q u a t i o ni nr ” 甜，一a u 一= f ( u ) ，x r ”，r 0 ， u l ，= o = ( x ) ，x r “ t h i st h e s i sm a i n l yc o n s i s t so ft h r e ep a r t s ： f i r s t ，t h i sp a p e ri n t r o d u c e st h ep o t e n t i a lw e l lt h e o r y b yu s i n g t h ep o t e n t i a lw e l lm e t h o d ，af a m i l yo fp o t e n t i a lw e l l sa r eg i v e n t h e n ，t h eg l o b a le x i s t e n c eo fs o l u t i o n s ，i n v a r i a n ts e t s ，v a c u u m i s o l a t i n go fs o l u t i o n sa n d t h ec r i t i c a li n i t i mc o n d i t i o no ft h e i n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma r eo b t a i n e d l a s t ，c a u c h yp r o b l e mi ss t u d i e db ym e a n so ft h ef a m i l yo fp o t e n t i a l w e l l s k e y w o r d s ：n o n li n e a rw a v ee q u a t i o n ：i n i t i a lb o u n d a r yv a l u e ：c a u c h y 哈尔滨t 程火学硕f j 学位论文 p r o b l e m ；p o t e n t i a lw e l l s ：g l o b a ls o l u t i o n 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下，由 作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引用己在 文中指出，并与参考文献相对应。除文中已注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表的作品成果。对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：高彩 e l 期： 捌年g 月o 日 第1 章绪论 非线性发展方程是近5 0 年来从力学、流体力学、物理、化学、生物学、 人口动力学等大量实际问题中提出的，它们具有强烈的实际背景与广泛应用， 是基础数学和应用数学研究的主要方向之一，具有重大的理论和实际意义 1 1 选题的背景和意义 固体力学的历史可以追溯到1 6 3 8 年，意大利科学家伽利略在实验的基础 上首次提出梁的强度计算公式一般认为这是材料力学发展的开端当时，还 采用刚体力学的方法进行计算，以致所得结论不完全正确后来，英国科学家 胡克在1 6 7 8 年发表了“力与变形成正比”这一重要物理定律( 即胡克定律) ， 建立了弹性变形的概念从1 7 世纪末到1 8 世纪中，一些学者先后研究了弹性 杆的挠度曲线、侧向振动和受压稳定性，发展了弹性杆的力学理论 1 9 世纪初，由于工业的发展，开始设计大规模的工程结构，结构力学随 之成为- n 独立的学科1 9 世纪3 0 年代起，出现了金属桁架结构以后数十年 间，创立了求解静定桁架的图解法和解析法，奠定了桁架理论的基础1 9 世纪 6 0 - - - 7 0 年代，先后提出了计算超静定结构的力法、计算结构的变形能法和超 静定结构的计算理论2 0 世纪初，结构力学中的刚架计算理论、复杂超静定 杆系结构的简易计算方法、动力分析和稳定分析等方面都得到了发展 1 8 2 1 年法国科学家发表了弹性力学的基本方程1 8 2 2 年法国的柯西给出 应力和应变的严格定义并于次年导出矩形六面体微元的平衡微分方程后者 l 哈尔滨下程火学硕t 学位论文 对数学弹性力学乃至整个固体力学的发展产生深远的影响法国的圣维南于 1 8 5 5 年用半逆解法解出了柱体的扭转和弯曲问题，并提出了著名的圣维南原 理随后，德国的诺伊曼建立了三维弹性理论弹性薄板的弯曲问题最早于 1 8 2 0 年开始研究，以后再经过一些学者的工作而奠定了理论基础弹性薄壳 的研究是在2 0 世纪发展起来的在固体力学中对弹性规律的研究，发展得比 较完备 可变形固体按其材料的本构关系可分为弹性体、弹塑性体、粘弹性体等 按其形状的几何特征，可变形固体可以分为以下三类杆件：它的纵向尺寸 比两个横向尺寸大很多倍，如梁和柱板和壳：它的长度和宽度远大于第三 个方向的尺寸( 厚度) 平分厚度的中面分别为平面或曲面，如平板闸门的面 板，某些房屋的顶盖空问体( 实体) ：它在三个方向的尺寸是同量级的，如 堤坝、地基 固体力学可以分为若干个分支学科这些分支学科都有各自的发展历史， 形成各自的内容体系另一方面，它们又互有联系，不能截然分开重要的分 支学科有：材料力学，主要研究杆件结构，研究时引用一些附加的假定，使 数学推演简化所得的结果带有一定的近似性，但能满足工程结构的设计要 求结构力学，主要研究杆系结构( 如桁架、刚架、多跨梁) 根据所有支座 反力和内力是否可仅由静力平衡条件确定，结构可分为静定结构和超静定结 构两种超静定结构的基本的分析方法有力法和位移法弹性力学，研究对 象是一般形状的弹性体，包括杆件、实体、板和壳研究方法是精确的数学推 演方法，一般( 对板和壳除外) 只引用弹性体的基本假定，而不再引用其他附加 的假定，由此可以得到精确解为了简化复杂的数学分析，在弹性力学中，还 2 喻力：浜丁程人掌坝j j 掌位论文 i i ，, , ，一 i , , i i 发展了近似解法 固体力学的分支学科还有塑性力学、粘弹性力学、蠕变( 亦称徐变) 力 学、断裂力学( 见混凝土蠕变、混凝土断裂) 等 在固体力学中，可以用实验方法、数学方法，也可以用实验和数学相结 合的方法进行力学分析实验方法足用机械的、电的、光的或其他手段在实物 上或模型上测量所需的量，或将测量结果再经过换算而得到固体力学问题中 需求的量许多复杂而难于计算的问题往往是用实验方法研究的( 见结构试 验) 数学方法就是在一定的初始条件和边界条件下求解固体力学的基本方 程，得到问题的解固体力学的基本方程是根据力学中的平衡或运动规律、变 形的连续规律以及材料的本构关系建立的代数方程或微分方程对于后者，数 学方法可分为精确解法和近似解法两类精确解法有分离变量法、复变函数法 等j 是精确求解微分方程定解问题的方法它只适用于不太复杂的问题近似 解法有变分法、有限差分法、有限元法等这些方法可以在电子计算机上实施， 已得到广泛的应用和迅速的发展 对水利工程来说，固体力学主要用于工程结构的力学分析所得的结果 ( 如结构的内力、应力、位移) 可作为设计的依据，使工程结构满足安全与 经济这两方面的设计要求力学分析的方法可以根据结构的类型或其简化模 型而分别选用工程上常常遇到的杆件或杆系结构是应用材料力学或结构力 学进行力学分析的例如：重力坝、闸墩等可以简化为杆件，应用材料力学分 析它们的应力；对于水电站厂房骨架、闸门粱格系统等杆系结构，则应用结 构力学进行内力分析这样分析只要用简单的数学方法，计算比较方便对于 实体、板和壳等宜用弹性力学进行力学分析工程结构的简化和力学分析可以 1 吩尔滨丁程人学硕j 二学位论文 有不同的方案例如：前述的重力坝又可以简化为楔形体而利用弹性力学中的 楔形体解答；还可以作为弹性力学的平面问题，应用有限元法或其他数值方 法分析坝体应力板和壳也可以简化为杆系结构，作为结构力学问题进行计 算有些问题的研究要综合应用固体力学的多个分支学科例如对基础梁的研 究就需综合应用结构力学和弹性力学 而弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界 因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论它是材料力学、结构力学、 塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工 程领域 弹性力学是研究物体在外力作用下和温度变化时所引起的应力和变形， 以及由变形所产生的位移的- 1 7 学科物体在外力作用下要产生变形，从变形 开始到破坏一般总要经历弹性变形和塑性变形两个阶段当作用在物体上的 外力取消后，物体内可以恢复的形变称为弹性变形，不能恢复的形变称为永久 变形或塑性变形弹性力学所研究的是物体在弹性形交阶段的力学问题 我们所说的弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变 形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状绝对弹性体是不 存在的物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理 对于弹性力学的分类又有如下：数学弹性力学和实用弹性力学前者是只 用精确的数学推演而不引用任何关于应变状态或应交分布的假设；而后者是 引用一些关于应变或者应变分布的假设，以便简化繁复的数学推演，得出具有 相当实用价值的近似解 数学弹性力学的典型问题主要有一般性理论、柱体扭转和弯曲、平面问 4 哈尔滨t 程火学硕，f ：学位论文 题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面 1 2 国内外的研究进展 我们所熟知的数学物理方程是源于物理及工程问题的微分方程( 常微分 方程和偏微分方程) 典型的数学物理方程包括波动方程，运输方程及位势方 程( l a p l a c e 方程) 它们分别描述三类不同的物理现象：波动( 声波和电磁波) ， 运输过程( 热传导和扩散) 和状态平衡( 静电场分布，平衡温度场分布和速度势 等) 从方程本身来看，它们又是三类方程，即双曲型，抛物型和椭圆型方程的 最简单例子 在研究非线性数学物理方程的时候，其中有一类现象是值得我们关注的， 即关于弹性杆的变化也是我们研究非线性方程及行波解的一类经典问题它 的研究得到了很多人的关注主要还是源于它在生活生产中的重要的地位 早在一百多年前，e u l e r 和s a l s c h u e t z 研究了直杆的变形问题在接下来 的研究中，b o r n 研究了弹性弦的稳定性弹性变形以及由弹性变形引起的运 动与控制广泛存在于实际应用技术中，如机械手的抓握结构，机器人的行走系 统等 在文献 1 中作者应用了g a l e r k i n 方法研究了弹性细杆方程的强解的存 在性与唯一性；接下来，在文献 2 中作者利用减缩摄动方法，通过建立这系 统的非线性双曲型方程组，在远场渐进的意义上和小振幅条件下，证明运动中 不仅存在应变孤立子波，而且同时存在速度孤立子波，它们都是杆纵向波动中 的远场简单波 设杆无限长，单位长度质量为常数p ，平均横截面积为s 在任意形状的 s 哈尔滨工程人学硕l j 学位论文 等截面承受轴向拉，压的突加载荷当材料服从非线性本构方程 盯= e ( 6 + e , e 2 ) 并计入横向惯性效应之后，其纵波运动方程为 窘一磊害d e , o 出yo 萨 y 一孚嘉一o 其中y ( x ，) 为振动位移函数，s ：孚是应变，露：皇为线弹性纵波速度，e 为 cp 弹性模量，e 为材料系数，为杆横截面的极惯性矩，v 为泊松比应用减缩摄 动法推导k d v 方程，从而达到所要的理想的结论 在文献 3 中作者在非线性弹性杆中的非线性波动问题的研究中，提出了 如下的一类非线性波动方程 u ，一u 盯一够删= a ( u 一) 该方程为用以描述非线性弹性杆中的纵波振动其中a 0 为任意常数，a 和 n 均为材料常数，口 0 表示 杆由硬非线性材料( 如橡胶聚合物和少数金属) 构成已有不少学者对此方程 的孤立子解及孤波对于固体可能产生的破坏方式作了研究，以及讨论了初边 值问题与初边值局部解的稳定性他进一步讨论用以模拟非线性弹性杆的纵 波振动的一类更广泛的非线性波动方程 的边值问题 辑，一一五一u x , a - - 口( u l ，一甜) ，xa o ，1 1 ，t o ， u ( x ，0 ) = u ( 1 ，f ) = 0 ，0 ， u ( x ，0 ) = 妒( 工) ，x o ，1 】， 6 哈尔演t 程人学硕i ：学位论文 u t ( x ，0 ) = 缈( x ) ，x 【0 ，1 】， 的b l o w u p 问题，其中伊( z ) ，( z ) 为已知函数，进而借助于能量估计方法证明 了当a 0 ， u l ，：o = 材o ( x ) ，u t i ，。o - - _ u l ( x ) ，x q ， “k = o ，x 触，t o 式中：甜为未知函数，表示非线性弹性质点的应变位移；f 为已知函数，表 示非线性弹性杆体所受的非线性外力；q 为适当光滑的有界域于是孤波 的存在性问题就转化为上述四阶非线性耗散、色散波动方程的整体解的存在 性对于这方面的研究，也有了一些成果，如利用g a l e r k i n 方法结合能量估 计讨论了如上问题存在整体强解的充分条件以及利用势井方法研究了问题 整体弱解的存在性与唯一性 在此文中，作者应用g a l e r k i n 方法结合能量估计讨论了初边值问题弱解 的存在性以及解的唯一性与稳定性结论在此过程中，我们注意到一点是，他 对厂的限制在研究问题的时候起到了关键性的作用 7 哈尔滨t 程人学硕j ：学位论文 1 3 本文的主要工作 在本文中，我们采取的研究方法主要是应用位势井以及位势井族来解决 以下问题初边值问题 u f f a u a u = f ( u ) ，x q ，r 0 ， u l ，却= 1 4 。( x ) ，u t l l l o = “i ( x ) ，x q ， u l 硷= o ，z 讹，f o 其中u 为未知函数，为已知函数在这一部分我们主要是对已知函数( 材) 做了如下假设 ( h ) ( 1 ) f c 1 署d f ( o ) = 厂t ( 0 ) = 0 ； ( 2 ) f ( u ) 是单调的当甜 0 时，f ( u ) 是凸的：当“ 0 时，f ( u ) 是凹的； ( 3 ) ( p + 1 ) f ( 甜) 矿( 材) ，i u ：o , ) l - r i r ) 1 其中当刀= 1 , 2 时， 2 p + l ， ：当刀3 时，2 0 ， 2 ，l f 。o = 材o ( x ) ，x er ” 其中“为未知函数，厂为已知函数此部分对f ( u ) 我们同样做了如上的假设， 使其满足研究的需要 在此，我们还要介绍一下我们所采取的研究方法一位势井以往对非线性 发展方程的研究，一般是采用了传统的研究方法n 捌位势井是为了研究不具 有正定能量的方程或方程组而提出的由主部的一项控制另一项从而得到能量 的正定性的一种行之有效的方法1 9 6 8 年s a t t i n g e r 首先提出了位势井理论， 哈尔滨丁程人学硕l 学位论文 从此人们用此方法研究了一系列双曲型或抛物型方程的整体解的存在性或不 存在性具有代表性的工作有：t s u t s u m i 于1 9 7 2 年对h i l b e r t 空间中的半 线性双曲和抛物方程，1 9 7 3 年对强非线性抛物方程，p a y n e 与t s u t s u m i 于 1 9 7 5 年对一般二阶半线性双蓝与抛物方程，l e v i n e 于1 9 8 7 年对具有非线性 边界条件的发展方程，n a k a o 于1 9 9 1 年对柯西问题分别对位势井理论作了推 广和应用但是这些工作所引进的位势井与s a t t i n g e r 引进的位势井并没有 本质的区别，而且这些位势井方法所得到的结果也基本相同乜3 删：即当 甜o ( x ) w 且0 z ( o ) 0 在这篇文献中，作者首先用新的方法得到了位势井深度d 的值，并且首次得到 了位势井内外结构而后用位势井方法得到了问题的整体弱解，整体强解的存 在性最后证明了位势并矽及井外集合y 在问题的流之下的不变性与此同 时也参考了g r o z d e n at o d o r o v a 晦3 1 研究了带有非线性源项和阻尼项的波动方 程的初边值问题 u t t a u + a l u ，ru t = b l u l 矿1 ”，x e f 2 ，t o 。 u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，l l t ( x ，0 ) = “l ( z ) ，x q ， u ( x ，f ) = 0 ，x a q ，t 0 其中qcr 是一个有界域 本文作者是在参考了以上文献之后，首先用新的方法得到了位势井深度 d 的值，并且首次得到了位势井内外结构而后利用位势井理论证明了整体 1 0 哈尔滨丁程火学硕j j 学位论文 弱解的存在性，还证明了整体广义解的存在唯一性和整体古典解的存在唯一 性其运用的理论方法有参考价值最后证明了位势井及井外集合v 在问 题的流之下的不变性这篇文章是在位势井方法提出之后又一次实质的发展 并且还讨论了解的不变集合及真空隔离现象 1 4 用到的一些引理 定义1 1 设qcr ”，0 t 0 0 ，1 p ，1 q ，则 即正幽肛tt 肛嵫o n ) d t o v ) ， o “o 驴。r ；。q = ( 虿i 甜o ：，。q ，沈) 孑 引理1 2 ( s o b o l e v 嵌入定理) 设q c r ”为有界域或无界域，且具有锥性 质，q 表示q 与尺”中的一个k 维平面的交集，l k 珂，m 为正整数，_ ，为 非负整数，l p 0 0 ，则有下列的嵌入关系： ( 1 ) 如果m p 野，且露一m p 七露，贝i j w ( q ) c 口( q ) ，p 9 l ， 刀一m p w j + 啊，( q ) c 9 ( q ) ，p - q l ， 刀m p 帆p ( 渤c ，9 ( q ) ，p s 9 丝 n 。m p 如果p = l ，则脚 露，这时当疗一所= 七时，仍是成立即 形+ 卅 ( q ) c 渺。( q ”) ： ( 2 ) 如果m p = 以，则对l k 刀，有 形7 + 孵p ( q ) cw j , q ( q ) ，p q ( m 一1 ) p ，贝0 m t p ( q ) c c j ，4 ( _ ) ，0 a 聊一旦， p ( 2 ) 假定玎= ( m 一1 ) p ，则 w m ，( q ) c c j ，口( 五) ，0 a l ， 如果p = 1 ，刀= m 一1 ，则上式对口= 1 也成立 眠，( q ) 的紧嵌入 设q 是r ”中的一个区域，q 。是q 的有界子区域，q 七是q 与天一中的一 个七维超平面的交，j f ，聊是整数，0 ，m 1 ，p 是实数，1 p ，则 ( 1 ) 如果q 具有锥性质且婶刀，则下列嵌入是紧的，记为c c ： w j + m , p ( f 2 ) c cw 坷( 聪) ，o n - 叩 尼甩，1 g n ( m 一1 ) p ，o a 所一旦 p 引理1 3 ( 1 ) 0 v i i r ( q ) 为1 1 l 础( q ) 的等价模； ( 2 ) i | “忆( q ) 为1 1 1 l 怫( q ) m z ( 哟的等价模 引理1 4 设 ( - o y ( x ) 为问题国+ 五国= o ，彩l 弛= o 的特征函数系，则 ( 1 ) 当qc c 册时，哆( x ) c ”( 五) n 磁( q ) ch m ( q ) n 剜( q ) ： ( 2 ) h ( x ) j 构成上2 ( q ) 的一个正交函数系； ( 3 ) h ( x ) j 在酬( q ) 中稠密； ( 4 ) 0 - ) 1 ( x ) j 在2 ( q ) n 剜( q ) 中的闭线性扩张为胃2 ( q ) n 硪( q ) 引理1 5 设l g o o ，倍。( x ，t ) q zl q ( q ) 弱收敛且( x ，) 专g ( x ，r ) a e 于q ，则岛( z ，) 于( q ) 弱收敛于g ( x ，) 引理1 6 ( g r o n w a i i 不等式) 设y ( t ) f ( 0 ，t ) 且存在常数口与b ，使得 y ( ，) 以+ 6 y ( z ) d z ，o t t ， 孑 1 3 哈尔滨丁程人学硕i ：学位论文 1 则有 且 y ( t ) a e 加，0 ，t 引理1 7 ( h 。id e r 不等式) 如臬1 o 其中“为未知函数，厂为已知函数 在本文中，记i | i l 以q ) = 1 1 1 i p ，i h i = l l l | 2 ( 锄，及( “，v ) = m , d x q ( 2 - 1 ) ( 2 - 2 ) ( 2 - 3 ) 在这部分，我们首先对问题( 2 - 1 ) - ( 2 - 3 ) 引进位势井族，接下来给出相应 的性质 首先，定义能量函数 e ( ，) = 丢f | 坼| f 2 + 去1 1 v u 2 + 言1 f v u , 2 一n s f ( 甜) 出， 其中f ( “) = 少( s ) 凼 o 进而，给出位势井 = “卅( q ) l ，( “) o ，( “) 0 时，f ( u ) 是凸的；当甜 0 时，f ( u ) 是凹的： ( 3 ) ( p + 1 ) f ) u f ( u ) ，l 矿 ) f y p ) f 其中当疗= l ，2 时， 2 p + l ， ：当打3 时，2 0 和川l ； ( 3 ) z ，( 矿( “) 一厂( ) ) 0 ，当甜= 0 时，等号成立 推论2 2 在引理2 1 的条件下，我们有 ( 1 ) f 矿( 材) l ，f f ( ) l - ( p + 1 ) b u i 川，m 1 引理2 3 如果厂( 蹦) 满足条件( h ) ，材纠( q ) ，h ：o ； ( 1 ) j i mj ( i u ) ：埘： 哈尔滨丁程人学硕1 ：学位论文 ；i ；暑；声in n m 昌i ；i 宣i ；i i i 皇 ( 2 ) 当。 允 o ，o 五 万：i ( 2 u ) 0 ，五 f 彳，“1 一旯2q 。7 7 学”i “出 = ( p + 1 ) b 矿1 州肚1 出， 其中有如下的 q 五= x l x r ，i “1 去 并且，还有 舰州肘1 出= i i 暇l 0 因此，j i m 缈( 旯) = 佃 h 珊存糍们可以帘义 厶( 掰) = 艿0 v 材f f 2 - 矽 ) d x ，万 0 ， q 以及 d ( 6 ) = i n f j ( u ) ，万 0 u e n 引理2 6 如果厂( “) 满足条件( h ) ，o _ 0 其嗍= ( 剖五、以及 1 8 哈尔滨丁程人学硕 j 学位论文 u p 百u f ( u ) ，相c 是由叫( g 嵌入哟的嵌入常数 证明：如果o j j v 甜| j ( 艿) ，则 u f ( “) 出口m d x qo = 口呲- 口c ：l l v 4 7 - - 口c ：l l v 4 p 2 m j 2 o n 引理2 7 如果( “) 满足条件( h ) ，并且有厶( 甜) 厂( 万) 特别地，如果， ) 厂( 1 ) 证明：首先我们可以通过如下不等式 得到了 厶o ) = 8 1 1 v 掰| f 2 _ m 甜) 出，厶( 甜) o ， n 艿吼j 2 7 ( 万) 。 引理2 8 如果厂 ) 满足条件( h ) ，并且有l ) = o ，则有l l v “8 = o 或者 l l v “i | 厂( 万) 特别地，如果，似) = o ，则有0 v 甜0 = o 或者l l v “8 y ( 1 ) 证明：首先，如果i i v “l l = 0 ，则有厶( 甜) = o 其次，如果厶( “) = o ，i i v u l l , o 和以及 万慨1 2 = 矽( z ，) & 口恍 q 邓矿( 耶扣“1 2 一；p 出，对于0 6 0 对于0 万 b 是成立的； ( 3 ) d ( 6 ) 在0 万1 上是严格增的，在1 7 ( 万) 再由( h ) 中的( 3 ) ，能够得到： ，( “) = 剞1v “1 1 2 - p ( “边 吉i v u l l 2 一面1 s u f ( 甜) 出 = 寿卜1 1 2 + 者枷， 口( 艿) 7 2 ( 万) ，o 万 o ，可以由 8 1 1 v ( 五材) 0 2 = p 矿( 知) 出( 2 - 5 ) 定义唯一的五：名( 万) ，则五( 万) ：伊一- ( 万l l v 甜0 2 ) ，并且有厶( 勉) ：0 而且由引理 2 0 阶刀；浜1 程人宇坝i ：字位论又 2 5 可以得到 i i m 2 ( 8 ) = 0 ，j i m 五( 万) = 佃 8 - - * 0 j 因此，由引理2 4 和引理2 3 ，能够推得 l i m j ( 2 u ) = l i m j ( 2 u ) = 0 ，錾碑d ( 万) = 0 5 - * 02 - + 0占_ 0 、7 。l i r nj ( 2 u ) = 1 i m ( 砌) = ，j i md ( 8 ) = 咱 口- - + + 0 0a + d 一- b o o 因此，由本引理的( 1 ) 可知，存在唯一的6 导# ， i f ：d ( b ) ：o ：对于 0 等 因此，可知6 兰 ( 3 ) 现在证明j ( 万) d ( 万) x 寸- 于o 8 - 扩 1 或者l 扩s 扩 6 显然，只 要证明，对任意0 扩 1 或者1 扩 0 ，使得d ( v ) d ( u ) 一占( 万，) 事实上，对于上面的“，我们同样 g 以通f f ( 2 2 ) 定义旯( 万) ，则有，占以( 万) 甜) = 0 ，五( ) = 1 规定g ( a ) = ，( 砌) ， 则有 2 l 进而有 哈尔滨t 程人学顾 ：学位论文 g ( 2 ) = j ( 2 u ) 击鲋m 酬叫j u f ( 刎砒 = 去( a 2o v “j | 2 一允z 矿c 旯“，出) 瑚v c 删2 一p 卿懒 规定1 ，= 兄( 万) “，贝0 有厶( v ) = o ，i i v v l i o 如果0 扩 扩 ( 1 - 8 ”) y 2 ( 万) 力( 万) ( 1 一五( 万) ) 兰c ( 8 ，万- r ) 如果i 扩 扩 ( 万”- 1 ) r 2 ( 万) ( 五( 万) 一1 ) 暑c ( 8 ，万- ) ( 4 ) 很明显的如果对瓯( o ，1 ) 和4 ( 1 ，6 ) 我们能够证明d ( 万) 在 点，1 】和 出 一 ) h 咖 慨 允 d 尺 p q “ 一rjq 旷 一 力 旷 m 沌 乳 护 h刭矛一2 、吖 “力 以 + 川 材 似 n v 巾 陬 万 刮 一h ， 卜 d ，心 一 一旯 0 i l = f i f 力：掇1 丰芏大学坝l ：学位论义 【1 ，岛】上分别是连续的，则便可以证明a ( 8 ) 是连续的 为此，首先，我们要证明对于v 4 ( 0 ，1 ) d ( 万) 在嗡，l 】是连续的对任意 给的占，占要满足o 占 d 以及8 【4 ，l 】选取( x ) 使其满足 o ( ) 一d ( 万) 詈 对于任意8 眵，1 】，我们通过 万慨五材占) f | 2 = ( 勉艿) 厂( 五逑 定义旯= 五。( 万) ，从而有 d 厶( 以( 万) ) = 0 若( 甜) 满足基本模型( 甜) = u i 川甜则，我们能够得到 力删= 可万l l v 1 1 ) 吉姚， 艿= 黔i v u , ，矿1 jj 1 2 并且定义万= 纺( 五) ，1 五以( 1 ) 很明显乃( 万) 在 万，1 】和略( a ) 在【l ，乃( 1 ) 】是增函数并且是连续的 规定 g 。( 旯) = ，( 旯( 万) ) = ，( 以( 艿) ) ，万万1 因此，我们还可以像在( 3 ) 中所做的那样，则我们能够得到 万d 岛( 力) = ( 1 一万) 五0 v 吖o ，万万虬 因此，对于万万l 以及五= 乃( 万) ，我们有 1 f 小7 尺，j ，桎入竽l 口11 ：竽位论又 0 j ( 2 u 占) 一( 甜占) = g 占( 五) 一9 6 ( 1 ) = ( 1 一艿) 彳i l v “占埔2 ( 五一1 ) = ( 1 一磊) f i v “j f 1 2 五( 五一1 ) ， 其中万s 彦1 ，1 彳盖 在这罩还要注意到 ( ：, 1 ) l l v u i i 2 陪寿n | 2 + 一1 p + l z f 。u - 6 、 一l 2p + l “引i = j ( u o , ) d ( 万+ ) + 要 2 d ， 进而删】能够得到阢p 等州鲥 1 ，满足于 4 ( i 一4 而p + 1 1 她( 五一1 ) = 主 口一 z 再结合下面的等式 如器，i l v 1 | 2 我们很容易去验证 哈尔滨t 程人学硕 j 学位论文 并且 办却棚衙g p + l 矿2 = 去( p o a 矽。飘) 一蚋) 地_ 1 ) 艿去( ) ， 对于任意的万 匹，1 】规定( p - 1 ) 6 ( 一1 ) = a ，对于万 万，1 】和 ， 1 竹t 0 万一万 a l ， 很容易去验证 以及 o 力( 万。) 一1 a - 1 ， o j ( 以( 万) 材) 一j ( u 6 ) 等， 0 d ( d ) - d ( 6 ) ( 乃( 万。) “占) 一d ( d ) - = ( 以( 万。) 甜占) 一( ) + ，( ) 一d ( 6 ) 一+ 一= 占 22 接下来我们证明对于任意的五( 1 ，6 ) ，d ( 万) 在【l ，4 】上分别是连续的对 任意给定的占，占要满足o 占 d 以及万e 1 ，磊】选取( 功吩使其满足 噬吲 芝力 哈尔滨t 程人学硕j ：学位论文 。训一d ( 8 ) 三， 对于任意万【l ，盈】我们通过 4 v ( 歹t u 6 ) 0 2 = ( 旯甜占) 厂( 五， n 定义五= 乃( 万) ，从而有以( 乃( 万) 占) - - 0 则我们能够得到 能f h 错氘剃， 万= 爵矿1 阮| f 2 并且定义万= 纺( 旯) ，力( 1 ) 力1 很明显乃( 万) 在【1 ，万】和伤( a ) 在【以( 1 ) ，1 】 是增函数并且是连续的规定 g 。( 五) = ，( 五( 万) ) = ，( 乃( 万心- ) ，1 万万 因此，我们还可以像在( 3 ) 中所做的那样，则我们能够得到 丽d 邑( 五) = ( 1 一万) 五v 订o ，l 万弘 因此，对于万万l 以及名2 乃p ) ，我们有 0 - ，( 允- ) 一- ，( ) = 易( 旯) 一邑( 1 ) = ( 彦一1 ) 互0 v 材占0 2 ( 1 一力) ( 嚷一1 ) 0 v 训2 ( 1 - 元) ， 其中还要满足条件万彦万，元互1 注意到 c i8 , l l v u , , u 2 进而我们能够得到 哈尔滨t 程人学硕l j 学位论文 者肌9 2 + 两1 “吆， 圳d ( 8 ) + 丢 2 d 0 v 1 2 4 j j 等兰毛豸i d ，z 万岛 因此，对于4 万万l 和五= 乃( 万) ，我们有 0 ，( 乃( 万) ) 一t j r ( ) 4 ( 8 2 - 1 j j 等兰匆d 五( 1 一名) ， 如果取0 五 1 满足于 4 ( 8 2 - 1 ) 者耘鲫卅2 三 我们很容易去验证 并且还要满足 缈。占u ) = 字一 o 缈。j ( 1 ) 一伊占( 五) ( p 1 ) ( 1 一五) 对于任意的万 1 ，4 】，规定( p 一1 ) ( 1 一五) = a 2 以及 基于以上的估计，对于万 1 ，万】和0 5 - d ：，很容易去验证 0 l 一乃( 艿) l 一五， 0 5 j ( 2 , ，f 。) 嘲叫叫 三， 0 d ( 5 ) - d ( a ) 2 7 哈尔滨t 程人学硕i j 学位论文 |ii t ( 乃( 万) ) 一d ( a ) t = j ( 乃( 万。) ) 一j ( u 8 ) + j ( u a ) 一d ( 6 ) 6o 一+ 一= 占 22 z j i 里2 10 如果( “) 满足条件( h ) ，o 艿 o ，则有o i i v 1 2 等 制地，如籼邮d 砌咖。删。 酬1 2 o 因此有口( 万) i l v “1 1 2 d ( 艿) ，从而 。 i i v 1 1 2 器 引理2 1 1 如果f ( u ) 满足条件( h ) ， o 万 三笋若假设- ， ) d ( 万) 和 m f 2 d 砸( 8 ) ) h - t 2 - o ，则有帕) 等d 删戢小0 证明：由引理2 1 0 可知，有如下不等式是成立的 形) 胁i t 2t 六抛) m ) 一方面，由j ( u ) a ( 8 ) ，则有 酬m 2 + 击拍) 郴) ， ( 2 - 6 ) 并且由o 万 t p + l 及邓) = 三一寿，能够得到 o 舞，则有 形枘1 1 2 a 舞训n 因此，由( 2 - 5 ) 及( 2 - 6 ) 可得 击帕) 枷 即厶( “) 0 引理2 1 2 如果厂( “) 满足条件( h ) ，o 万 譬若假设， ) d ( 万) 和 ( 甜) = 。成立，则有如下不等式是成立的8 v 材1 1 2 爱舅，其中口( 万) = 三1 一j 击 哈尔滨t 程人学顶l ：学位论文 制地，如籼哪d 矾 1 i ) - 0 侧v 材1 1 2 等d 证明：由引理2 1 l 可知，有如下的不等式是成立的 舻) 酬1 2 + 六驰) o ， 除此之外，我们还可以定义 y = “叫( q ) i 地) 0 ，( 材) d ) ， k = 甜叫( q ) i 厶( 甜) 0 ，( 材) d ( 万) ) ， 岛= “剜( q ) | l | v “0 7 ( 万) i i f ? 力：浜，i ，丰芏入学坝j j 字位论又 引理2 1 3 如果( “) 满足条件( h ) ，o 艿 冬# 则 & ( 占) c c & ( c 劈 其中 & = 甜叫( 删v 甜1 1 2 m i n 叭万) ，2 d ( 万) ) ， b r 2 ( 6 = 卜啪肌1 1 2 l | v 训2 器) 证明：一方面，当0 v “0 2 7 2 ( 万) 成立时，厅* - 匕t - 秒耻得z v “0 o ( 2 8 ) 另一方面，当8 v “1 2 2 d ( 艿) 成立时，又由， ) 要0 v 玎8 2 ，从而推得 d ( u ) d p ) ( 2 - 9 ) 因此，由( 2 8 ) 及( 2 9 ) 可知吃( 声) c 引理的剩余部分可以由引理2