第26讲 赋值法.doc

第26讲 赋值法数统治着宇宙.毕达哥拉斯知识方法扫描在解数学题时，将问题中的某些元素赋于适当的数值，把问题“数学化”，然后利用这些数值的大小、正负、奇偶及相互之间的运算结果等来进行推理解题的方法叫做赋值法.常见的赋值方式有：对点赋值、对字母赋值、对线段赋值、对小方格赋值、对区域赋值、对方向赋值.电子线路中的开、关；数理逻辑中的是、非就常用1，0来表示，这其实就是赋值。赋值法的好处是：将实际问题转化为数学问题的同时，还将抽象的推理转化为具体的计算.染色方法也是一种赋值法，只不过赋的是色不是数而已.凡是能用染色方法来解的题目，一般都可以用赋值法来解，只需将染成某一种颜色换成赋于某一数值就行了.因此，赋值法的适用范围更为广泛.经典例题解析1.染色问题例1 在一个圆周上，依次排列n个点：A，A，A，对每个点任意染上白色或黑色.证明：在连接相邻两点的n条圆弧中，端点颜色不同的圆弧的条数必是偶数.证明 我们简称端点颜色不同(相同)的圆弧为异色(同色)圆弧，用数代表颜色，白色记为1，黑色记为-1.任一点A(k=1，2，n)都唯一地对应一个数a，a=1或a=-1.显然，为同色圆弧当且仅当aa=1,为异色圆弧当且仅当aa=-1.因为(aa)(aa)(aa)=(aaa)=1，所以aa，aa，aa这n个数中只能有偶数个-1.即这n条圆弧中必有偶数条异色圆弧.评注 若将题中的圆周从A，A之间剪开，并将圆周拉成直线，附加条件A与A异色，则得到如下问题：在直线l上依次排列着n个点A，A，A，对每个点任意染上白色或黑色，若线段AA的两端异色，就称线段AA为标准线段，又已知A与A异色，证明：直线l上共有奇数条标准线段.证法与例1类似.例2 将正方形ABCD分割成n个相等的小方格(n是正整数)，把相对的顶点A、C染成红色，B、D染成蓝色，其交点染成红、蓝两色中任一种颜色.证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数.分析与解 不妨将红色记为1，蓝色记为-1，并将小方格编号，分别记为1，2，n，记第i个小方格四个顶点相应数字的乘积为A，若恰有三个顶点同色，则A=-1，否则A=1.在乘积AAA中，正方形内部的交点各点相应的代表数重复了4次；边上非顶点各点相应的代表数重复了2次；A、B、C、D四点相应的代表数乘积为1，所以AAA=1.这说明A，A，A中-1的个数必为偶数，也就是恰有三个顶点同色的小方格数必为偶数.评注 上述两例都属于“两色分布”问题，这里我们将两种不同的颜色赋于+1，-1，使染色问题转化为对数值正负性的研究.对于例2也可以将红点记为0，蓝点记为1，并记第i个小方格四个顶点相应数字之和为A(i=1，2，n).若恰有三个顶点同色，则A=1或3，否则A为偶数，然后从考虑和A+A+A的奇偶性入手进行论证.例3 在一个圆上给定10个点，把其中6个点染成黑色的，余下的4个点染成白色的，它们把圆周划分为互不包含的弧段.我们规定：两端都是黑色的弧段标上数字2；两端白色的弧段标上数字；两端异色的弧段标上数字1；把所有这些数字乘在一起，求它们的乘积.解 把黑点都标上，白点都标上，则每段弧所标数字恰好是它两端的数字的乘积.因此所有这些弧段所标数字的乘积就是所有点所标有的数字乘积的平方，即()=4. 评注 这个解法反映了题目的实质，即乘法满足交换律、结合律.对中的20个数的乘积 任意交换顺序，然后依次把两个两个作括号先结合，便对应着弧段上的一种染色方法.反过来，圆弧上的一种染色方法，也对应着中的一次交换、结合过程.正因为解法反映了题目的本质，它不仅优美，而且推广立即成为可能：当黑点为m个，白点为n个时，答案为2.2.棋盘问题例4 将88方格纸板的一角剪去一个22的正方形.问余下的60个方格能否剪成15块形如“”的小纸片？解 将88方格纸板余下的60个小方格分别标上+1或-1(如图所示)，则任一符合要求的“四连格”中的数字之和，或者为2，或者为-2.假定这60个小方格能剪成15块符合要求的“四连格”，设其中数字之和为2的有x块，数字之和为-2的有y块，则解之得x、y不是整数，矛盾.因此，题中所给的60个小方格不可能剪成15块“四连格”小纸片.例5 如图是半张象棋盘.(1)一只马跳了n步回到起点，证明：n是偶数；(2)一只马能否跳遍这半张棋盘，每格都不重复，最后一步跳回起点？(3)证明：一只马不可能从位置B出发，跳遍半张棋盘而每个格点只经过一次(不要求最后跳回起点)；(4)一只车从位置A出发，在这半张棋盘上每步走一格，走了若干步后到了位置B，证明：至多有一个格点没有被走过，或被走过不止一次.解 在棋盘上打“”号的格点记为+1，打“”号的格点记为-1.(1)根据马的跳法，它每跳一步其符号改变一次，跳了n步，符号改变了n次.而它最后又回到了最初出发的地方，也就是经过n次改变以后，其符号还与当初一样.显然，n是偶数.(2)不可能.图中共有45个格点，马要想跳遍这半张棋盘，它要跳45次.这与结论(1)矛盾，由此得证.(3)图中有22个“”，23个“”，即有22个+1，有23个-1，所有这些数的和为-1，马是从B处出发的，即从+1出发，以后反复经过-1和+1，不管它跳多少步，它所经过的这些数的和要么是0(跳奇数步)，要么是+1(跳偶数步)，而不可能是-1，即马不可能无重复地跳遍这半张棋盘.(4)车是从-1出发，反复经过+1，-1，然后走向+1，所以它所走过的数之和为0，而我们已指出过，这半张棋盘上所有数之和为-1，故这只车实际上没有走遍这半张棋盘，或者某些格点走过了不止一次.3.操作问题例6 图中，表甲是一个英文字母电子显示盘；每一次操作可以使某一行4个字母同时改变，或者使某一列4个字母同时改变.改变的规则是，按照英文字母表的顺序，每个英文字母变成下一个字母(即A变成B，B变成C，最后的字母Z变成A)，问能否经过若干次操作，使表甲变为表乙？如果能，写出变化过程，如果不能，说明理由.SOBR KBDS 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1TZFD HEXG -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1HOCN RTBS -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1ADVX CFYA 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1(甲) (乙) (丙) (丁)解 不能.对26个英文字母，按字母表顺序，依次1，-1相间地标数，于是表甲与表乙分别变为表丙、表丁.据题意，对表甲的一次操作，相当于对表丙的如下一次操作：某行或某列各数都乘-1，故每经一次操作表丙中各数之积-1不变.但表丁中各数之积为1，故经若干次操作不能使表丙变为表丁.于是相应地表甲经上述若干次操作不能变为表乙.评注 也可对26个英文字母，依次以1，0相间地标数，则对表甲每次操作，相当于标数后的表中1变0，0变1.由于每行(列)中有4个数同时改变奇偶性，因此每操作一次各数之和的奇偶性保持不变，利用和的奇偶性即可得证.例7 桌面上有p(p100)个杯子，杯口全部向上.按如下规则对杯子进行操作：第1次任意翻动其中1个杯子，第2次任意翻动其中2个杯子，第n次任意翻动其中n(nP)个杯子.每次操作都是把杯口的方向由原来的向上(或向下)改为向下(或向上)，求证：翻动100次以后，杯口向下的杯子必有偶数个.证明 给杯口向上的杯子赋值+1，杯口向下的杯子赋值-1.则操作前各杯子的数值之积为a=1.设第n次操作后各杯子的数值之积为a，依题意，如果有a=1，则命题必成立.因为翻动一个杯子，相当于将该杯子的数值乘以-1，故a=(-1)a (n1).由此得：a=(1)a，a=(1)a，a=(1) a，a=(1)a.将以上各式相乘，并约去公因式，即得a=a(1)=1(1)=1.故命题获证.4.推理问题例8 A、B、C、D、E五人参加一次考试，试题有7道，都是判断题.评分规则是：对于每道题，答对了得1分，答错了倒扣1分，不回答的不得分也不扣分，表中记录的是A、B、C、D、E五个人做的答案.现已知A、B、C、D各得了2分，问E应得多少分？每个题目正确的答案是什么？解 设x= (k=1，2，7)，这样当第k题结论正确，即x=1，此时，如果判断其为正确(即画了符号“”)，则得到x分，如果判断其为错误(即画了符号“”)，则得到-x分；当第k题结论错误，即x=-1，此时，如果判断其为正确，则得x分，如果判断为错误，则得到-x分，由于A、B、C、D各得2分，于是可得方程组把这四个方程相加，得xx2x+2xx+x=8，注意到x=1(i=1，2，7)，因而上式左边8，而右边是8，故有x=1，x=-1，x=-1，x=1，x=-1，x=1，再把这些结果代入方程组的第1式，得x=1.所以第一、四、五、七题是正确的，第二、三、六题是错误的，于是据题设可知E得4分.从以上各例可以看出，将某研究对象标以一个数，其实质仅是给这个研究对象标上一个记号而已.只要便于辨识、分析、运算、推理，达到解题的目的，至于标以什么样的数，往往没有定规，宜灵活选择.譬如，对于具有不同或相反性态的两个研究对象，往往既可标以1，也可标以0、1，还可标以1、2等最简单的数.对于例5来说，棋盘上打“”号的格点记为1，打“”号的标点记为2，照样可以证明，这里不予赘述了.同步训练1. 某班学生(人数大于2)围成一圈席地而坐，并且按照以下规则戴上红帽或蓝帽：如果一个学生的两旁都是男生或都是女生，这个学生就戴红帽；否则就戴蓝帽.求证：戴蓝帽的学生数目必为偶数.2. 男女生若干人围坐一圆桌，相邻为同性者中间插一红花，异性者中间插一蓝花.如果所插红花与蓝花朵数一样，则男女总人数必是4的整数倍.3. 已知ABC内有n个点(无三点共线)，连同A、B、C共n+3个点，以这些点为顶点，把ABC分割为若干个互不重叠的小三角形，现把A、B、C分别染成红色、蓝色、黄色，而其余n个点，每点任意染上红、蓝、黄三色之一，证明：三顶点都不同色的小三角形的总数必是奇数.4. 在(2m+1)(2n-1)的方格纸上，每个方格内有一只蚂蚁，假设在某一时刻所有的蚂蚁都爬到相邻(横向或纵向)的方格里去，证明：这时一定出现一个没有蚂蚁的方格.5. 能否用9块形如的小纸片及7块形如的小纸片盖满88的棋盘？为什么？6. 13只茶杯，开始时杯口全朝上，每次翻动其中的4只算一次翻转，能否经过有限次翻转把茶杯全翻成杯口朝下？为什么？7. 如图甲所示，a、b、c、d、e、f、g七个正六边形分别被涂上了黑、白两种颜色.然后对图甲的着色作这样的修改：每次修改都可以随意挑出一个正六边形，将它以及所有同它相邻的正六边形都改变颜色(即黑变白，白变黑).试问，对图甲进行有限步这样的修改之后，能否得到图乙所示的涂色方式？8. 某校大队部组织少先队员做游戏，首先任选8位同学(男生、女生都有)围坐在一个圆周上，然后对这8位同学作如下调整：如果某同学的左、右两个的性别相同，就将该同学换为男生(若原为男生，则另换一名男生)，否则就将该同学换为女生(若原为女生，则另换一名女生).求证：经过有限次调整之后，圆周上的8位同学都将变成男生.9. 在圆周上均匀地放4枚围棋子，规定操作规则如下：原来相邻棋子若同色，就在其间放一枚黑子；若异色，就在其间放一枚白子，然后把原来的4枚棋子取走，完成这一程序，就算一次操作.证明：无论开始时圆周上的黑白棋子的排列顺序如何，最多只须操作4次，圆周上就全是黑子了.10. 在一张88的方格表中，任意把其中32个方格涂上黑色，其余的32个方格涂上白色.然后对涂上颜色的方格进行操作.每次操作都是把方格表的任意一条横行(或竖列)中的8个方格都改变颜色(即黑变白，白变黑).问通过有限次操作后，能否使方格表中恰好只剩下一个黑色方格？11. 设A、B、C、D、E五人参加一场考试，试题是十道判断题，判断正确得1分，判断错误反扣1分，不答不得分，再设五个人的答案如下表所示：已知A、B、C、D、E的得分分别是5、-1、3、0、4，问：正确的答案是什么？12. 圆周上有个点，依次编号为，按下列规则涂色，（1）先将1号涂色；（2）若上次涂色点编号为号，那么沿编号方向数个点并将最后数到的那个点涂色。问如此循环涂下去，最多可以有多少点被涂色？ 13. 今有A，A，A共n个人.A说A讲假话，A说A讲假话，A说A讲假话，而A却说A，A，A都讲假话，唯有他一人讲真话.试问：他们之中，究竟谁讲真话？谁讲假话？14. 能否对(4n2)(4n2)网格每格涂成黑色或白色，使得关于网格中心对称的格涂不同的颜色，而网格的任意一行及任意一列中黑格和白格都是各占一半？同步训练题参考答案1. 仿例1.2. 用+1表示男人，-1表示女人，则(+1)(+1)或(-1)(-1)时插红花，(+1)(-1)或(-1)(+1)时插蓝花.即两数积为+1时插红花，两数积为-1时插蓝花.于是问题转化为：x，x，x是一种排列，它们均为+1或-1，若xx+xx+xx+xx=0，则n是4的倍数.3. 把这些小三角形的边标数，边的端点同色的，标数0；边的端点异色的，标数1.于是每只小三角形的三边标数的和有如下三种情形：(1)三个点都不同色的小三角形，标数和为3；(2)恰有 两顶点同色的小三角形，标数和为2；(3)三顶点同色的小三角形，标数和为0；设所有小三角形的边的标数和为S，又设情形(1)、(2)、(3)三类小三角形的个数分别为a、b、c，于是S=3a+2b+0c=3a+2b，注意到所有小三角形的边的标数总和中，除了边AB、BC、CA外，其余各边都被计算了两次，故它们的标数和是这些边的标数和的两倍，再加上ABC三边的标数和是3，故S是奇数.再由式知是a是奇数，由此命题得证.4. 将第i行第j列的方格标上数(-1)，则任何相邻两格都是异号格.因2m+1和2n-1都是奇数，故易知正格数比负格数多1，则在正格中的蚂蚁数比在负格中的蚂蚁数多一只，由于在某一时刻所有蚂蚁都爬到相邻(横向或纵向)的方格里去，故一定有一个负格中有两只蚂蚁，也就是说一定有一个正格中没有蚂蚁，这就证明了一定出现一个没有蚂蚁的方格.5. 不能. 提示：仿例4.6. 不能. 提示：仿例7.7. 给涂有白色的六边形赋值+1，涂有黑色的六边形赋值-1，则每次修改着色中，凡涉及到的六边形的数值都被乘了一个-1.因为不论以哪一个六边形为“中心”修改着色，在a、c、d、f中都必有两个或四个六边形的数值同时改变符号，即这四个六边形的数值之积总是不变.由于图甲中这四个六边形的数值之积为+1，而图乙中这四个六边形的数值之积为-1，故不论如何对图甲的着色进行修改，都不能使之变成图乙所示的涂色方式.8. 设圆周上8位同学的座位分别为A、B、C、D、E、F、G、H.如果某座位上是男生，就给该座位赋值+1，否则就给该座位赋值-1，显然，每次调整都是将这8个座位中每个座位上的数值，换为它相邻的两个座位上的数值之积.设这8个位置上的数值依次为a，a，a，注意到a=a=a=1，那么，每次调整之后，A、B、C、D、E、F、G、H各座位上的数值分别是：第一次调整后变为aa，aa，aa，aa，aa，aa，aa，aa;第二次调整后变为aa，aa，aa，aa，aa，aa，aa，aa;第三次调整后变为aaaa，aaaa，aaaa，aaaa，aaaa，aaaa，aaaa，aaaa;第四次调整后，八个座位上的数值都变为了1.所以，只要经过4次调整，就能把圆周上的8位同学全变成男生.9. 提示：仿题8.10. 给黑色方格赋值+1，白色方格赋值-1.则操作前各方格中的数值之积为x=1(-1) .因为每次操作都改变8个方格的着色，相当于改变这8个方格的数值的符号.对于各方格中的数值之积来说，每次操作相当于乘以(-1).于是第k次操作后，各方格中的数值之积为x=x(-1)=1.而方格表中恰好只有一个黑色方格时，各方格中的数值之积为1(-1)=-1.因为不论k为任何自然数，都有x=1-1，故不论经过多少次操作，都不能使方格表中恰好只剩下一个黑色方格.11. 第1，2，4，5，6，9题的正确答案是“对”，其余的各题的正确答案是“错”.提示：参见例8.12.首先赋予圆周上每个点一组编号：即个点有一组编号号（，），