（应用数学专业论文）非线性差分方程的同宿轨、周期解与边值问题.pdf

博士学位论文 摘要 本篇博士论文主要应用临界点理论研究非线性差分方程的同宿轨、周期解及 边值问题的存在性本文对差分方程定性理论的发展有重要的促进作用全文共 分五章，主要内容如下 第一章简述了问题产生的历史背景、问题的研究状态、最新进展、预备知识以 及本文的主要工作 第二章利用山路引理结合周期逼近的方法讨论了周期离散非线性薛定谔方程 同宿轨的存在性，并在一定条件下部分地解决了a l e x a n d e rp a n k o v 提出的两个公 开问题 第三章利用山路引理研究高阶非线性差分方程同宿轨的存在性我们分别在 有周期假设条件和无周期假设条件下建立了同宿轨存在的若干判别准则，而且得 到了一些在无穷远处指数退化的同宿轨所得结果推广了某些文献的结论 第四章考虑二阶非线性差分方程周期解的存在性应用鞍点定理对次线性情 形及环绕定理对非超线性和非次线性情形进行了系统的分析，得到了全新的研究 结果 。 第五章讨论了二阶非线性差分方程在不同条件下的边值问题，通过建立变分 框架，运用临界点理论，获得了几类在有限区间上的边值问题解的存在性的若干 充分条件 关键词：薛定谔方程；差分方程；非线性；变分泛函；周期解；边值问题；山路引 理；环绕定理；鞍点定理；同宿轨 非线性差分方程的同宿轨、周期解与边值问题 a b s t r a c t t h ee x i s t e n c eo fh o m o c l i n i co r b i t s ，p e r i o d i cs o l u t i o n sa n db o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sf o rn o n h n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n si ss t u d i e db yu s i n gc r i t i c a lp o i n tt h e - o r yi nt h i sd i s s e r t a t i o n i tw i l lm o t i v a t et h ed e v e l o p m e n to fq u a l i t a t i v et h e o r yo f d i f f e r e n c ee q u a t i o n s t h j sd i s s e r t a t i o ni sc o m p o s e do ff i v ec h a p t e r s t h ec o n t e n t o ft h ed i s s e r t a t i o ni sa sf o l l o w s c h a p t e r1g i v e sa b r i e fi n t r o d u c t i o nt ot h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n d ，s t a t u sa n d t h eu p - t o d a t ep r o g r e s sf o ra l lt h ei n v e s t i g a t e dp r o b l e m st o g e t h e rw i t hp r e l i m i n a r y t o o l sa n dm a i nr e s u l t si nt h i sd i s s e r t a t i o n t h ee x i s t e n c eo fh o m o c l i n i co r b i t sf o rp e r i o d i cd i s c r e t en o n l i n e a rs c h r s d i n g e r e q u a t i o n si so b t a i n e di nc h a p t e r2b yu s i n gm o u n t a i np a s sl e m m ai nc o m b i n a t i o n w i t hp e r i o d i ca p p r o x i m a t i o n s t w oo p e np r o b l e m sp r o p o s e db ya l e x a n d e rp a n k o v a r ep a r t i a l l ys o l v e du n d e rc e r t a i nh y p o t h e s e s i nc h a p e r3 ，t h ee x i s t e n c eo fh o m o c l i n i co r b i t sf o rh i g h e ro r d e rn o n l i n e a rd i f - f e r e n c ee q u a t i o n si ss t u d i e db yu s i n gm o u n t a i np a s sl e m m a s o m ec r i t e r i af o rt h e e x i s t e n c eo fh o m o c l i n i co r b i t so ft h e s ee q u a t i o n sw i t hp e r i o d i ca s s u m p t i o n sa n d w i t h o u tp e r i o d i ca s s u m p t i o n sa r ew o r k e do u t ，r e s p e c t i v e l y m o r e o v e r ，s o m eh o m o - c l i n i co r b i t sd e c a y i n ge x p o n e n t i a l l ya ti n f i n i t ya r eo b t a i n e d o u rr e s u l t se x t e n d s o m ek n o w nr e s u l t si nt h el i t e r a t a r e t h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n st os e c o n do r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a - t i o n si si n v e s t i g a t e di nc h a p t e r4 t h es o l u t i o n st os e c o n do r d e rs u b l i n e a rd i f f e r e n c e e q u a t i o n sb yu s i n gs a d d l ep o i n tt h e o r e ma n dt os e c o n do r d e rn e i t h e rs u p e r l i n e a r n o rs u b l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n sb yu s i n gl i n k i n gt h e o r e ma r ed i s c u s s e d s o m e n e wr e s u l t sa r eo b t a i n e d i nc h a p t e r5 ，b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m st oac l a s so fs e c o n do r d e rn o n l i n e a r d i f f e r e n c ee q u a t i o n sa r es t u d i e d b ye s t a b l i s h i n gv a r i a t i o n a ls t r u c t u r ea n da p p l y - i n gc r i t i c a lp o i n tm e t h o d ，t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s f o rs e c o n do r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n so naf i n i t ed i s c r e t es e g m e n tw i t h v a r i o u sb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n si sc o n s i d e r e d s o m en e ws u f f i c i e n tc o n d i t i o n s a r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：s c h r 6 d i n g e re q u a t i o n s ；d i f f e r e n c ee q u a t i o n s ；n o n l i n e a r - i i 博士学位论文 i t y ；v a r i a t i o n a lf u n c t i o n a l ；p e r i o d i cs o l u t i o n s ；b o u n d a r yv a l u ep r o b - - l e m s ；m o u n t a i np a s sl e m m a ；l i n k i n gt h e o r e m ；s a d d l ep o i n tt h e o r e m ； h o m o c l i n i co r b i t s i i i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究 所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：石淘军日期：加哆年歹月乡日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书。 2 、不保密叼 ( 请在以上相应方框内打“乃) 作者签名：而i 勾卑 导师答名2 承建五 ；( 八 0 ，使得j a b 比 ( 如) 存在e e 岛使得j ( e ) 0 则j 存在一个临界值c 口，且 c _ 9 i n f ru m g 【i o ，a x l j j j ( u ) ， 9 rt g 【i 0 ，l j j ( 1 5 ) 其中 f = 夕c ( 【o ，1 】，e ) ：g ( o ) = 0 ，g ( 1 ) = e ) ( 1 6 ) 定理1 2 3 ( 鞍点定理) 1 0 0 】设e 是实b a n a c h 空间，e=e1o 易，其中 日 o ) 是e 的有限维子空间若j c 1 ( e ，r ) 在e 上满足p s 条件，且有 ( 以) 存在常数p 及p 0 ，使得j a b 。h e l p ； ( 五) 存在e b p ne 1 和常数q p 使得j i e + e 2 口 则，有一个临界值c q ，且 c = i n i umaxhef b p n e l t j r ( 庇( t 1 ) ) ，( 1 7 ) u 、 其中 f = 危c ( 岛ne 1 ，e ) ：h l a s n e l = z d ) ， i d 为恒等算子 定理1 2 4 ( 环绕定理) 1 0 0 】设e 是实b a n a c h 空间，e = e 1oe 2 ，其中蜀 是e 的有限维子空间j c 1 ( e ，r ) 在e 上满足p s 条件，且有 ( 以) 存在常数p ，q 0 ，使得jj o b n e 2 口； ( 以) 存在e o b lne 2 和常数r p 使得j i o q 詈，q = ( j e 7 尺n 蜀) o r e ：0 r 兄 则j 存在临界值c q ，其中 纪为恒等算子 c = = n i n fm u a v xj ( h ( “) ) ， ( 1 8 ) r = h c ( o ，e ) ：h l o o = i d ) ， 非线性差分方程的同宿轨、周期解与边值问题 1 3 问题的研究状态、最新进展与本文的主要工作 众所周知，在薛定谔( s c h r s d i n g e r ) 方程问世以后，它不仅成为量子力学的基 本模型，而且涉及到众多应用数学及物理领域在过去的十年里，离散非线性薛定 谔方程( d n l s ) 的研究成为一个热点，参看文献【1 4 2 1 4 7 在文 1 4 6 】中，a l e x a n d e rp a n k o v 研究了如下离散周期非线性薛定谔方程 t 警= 一2 u n 一。+ e n 讥- - a x ni 饥1 2 讥，n z 间隙孤立子的存在性 令 饥= u n e 一姒 得到 一a 2 u n l + e n 一u 乱n = a x t l l u n l 2 牡n ，n z 实际上，考虑更一般的方程 l u n u t 正竹= 盯x nu n l 2 u n ，n z( 1 9 ) 及 l u n o y u 竹= a f ( u n ) ，n z( 1 1 0 ) 的u f 2 非平凡解的存在性这里o r = 士1 ，u ( a ，p ) 及l 是j a c o b i 算子 l u n = a t 正n + 1 + a n 一1 牡n 一1 + b u n ，( 1 11 ) 其中，对于给定的正整数m ，与6 n 都是胁周期序列，( q ，p ) 为谱区间并得 到了下列结果t 定理1 3 1 假设x n 0 及u 0 若d r = + 1 及p + o o ，或盯= - 1 及 p 一o o ，则方程( 1 9 ) 有非平凡解t l 1 2 且札在无穷远处指数退化t i 乱n i c e 一 y l n i ，n z ， 其中常数c 0 及7 0 若仃= + 1 及p = + ，或d r = - 1 及p = 一o o ，则方程 ( 1 9 ) 不存在2 2 中的非平凡解 假设。 ( i ) 函数厶m ) 关于钍连续，厶+ m ( u ) = 厶( u ) ； ( i i ) 存在p 2 及c 0 使得在u = 0 附近 0 厶( 乱) ciui p - - l ； 一1 m 博士学位论文 ( 锄) 存在p 2 使得 0 0 及，y 0 若盯= + 1 及p = + o 。，或伊= 一1 及p = 一o o ，则方程 ( 1 1 0 ) 不存在f 2 中的非平凡解 此外，a l e x a n d e rp a n k o v 指出，在0 及处非线性项的超线性性质起了关 键的作用，并且提出了下面的公开问题： 非线性项为下列类型 厶( u ) = 伊x n u 3 ( 1 + c n u 2 ) 一1 ，n z( 1 1 2 ) 以及 厶( u ) = o r x 竹( 1 一e 一) u ，n z ( 1 1 3 ) 的薛定谔方程方程间隙孤立子的存在性 f g e r o 及a d w a t t i sj o n a t h a n 1 4 8 】研究了 c 2 q 拶( z ) = v 7 ( q ( z + 1 ) 一口( z ) ) 一( 口( z ) 一q ( z 一1 ) )( 1 1 4 ) 非线性格微粒孤立波的存在性，得到如下结论， 令 t ( 口) ：= 三上艄d z 及 u ( q ) ：= v ( q ( z + 1 ) 一q ( z ) ) d z = k 定理1 3 3 假设v c 2 ( r ) ，在( 一6 ，6 ) 上v 0 ，y ( o ) = 0 ，并且铲在 0 a 上关于例严格递增，其中，a = ( 一。o ，0 ) 或a = ( 0 ，o o ) 则存在硒0 使得对任意的k g o ，有满足t ( 似) 0 ，u 0 及常数o t 2 使得 0 a w ( u ) u w ( u ) ，”0 ， 或 ( 吁) 存在w ( u ) 0 ，u 2 使得 0 a w ( u ) u w 7 ( u ) ，u 0 定理1 3 4 ( a ) 若条件( ) 及( 时) 成立，则对任意的c c o ，方程( 1 1 4 ) 存 在非平凡非减的解t x ； ( b ) 若条件( ) 及( 吁) 成立，则对任意的c c o ，方程( 1 1 4 ) 存在非平凡非增的 解u x 最近，陈鹏及房辉 1 5 0 】考虑了比方程( 1 1 4 ) 更一般的p 拉普拉斯方程 z x , , ( z x z n 一1 ) ) + f ( n ，x n + 1 ，z n ，x n - 1 ) = 0 ，礼z ( 1 1 5 ) 的周期解的存在性，并得到下面的结果t 定理1 3 5 假设下列条件成立： ( 日1 ) ，( t ，札，钉，w ) c ( r 4 ，r ) ，且存在正常数m ，使得 f ( t + m ，牡，秒，w ) = f ( t ，乱，口，加) ，v ( t ，乱，钉，w ) r 4 ； ( 凰) 存在泛函f ( t ，也，u ) c 1 ( r 3 ，r ) 满足f ( t ， ，u ) 0 且 堂杀型+ 1 c o f ( t r , u , v ) = f ( t , u , v , w ) ，踟 踟 尸l i m 。掣- 0 j d = v 伍+ 一v 2 ；p q矿 一 ( 凰) 存在常数p p + 1 ，6 1 0 ，6 2 0 ，使得 f ( ，u ，口) 。( 删卢一n 2 ，v ( 亡，u ，口) r 3 则对任意的正整数口，方程( 1 1 5 ) 至少存在两个非平凡q m - 周期解 对于具有超前和滞后的泛函微分方程 1 5 1 1 5 5 】的研究，在应用和理论上都有 十分重要的意义在时间对称的电动力学中提出了如下的二阶混合型泛函微分方 程【1 5 1 】 岔( t ) - i t - w 2 x ( 芒) = 互1 q z ( t 一下) + 互1 p z ( 亡+ 盯) + 矽( ) ， ( 1 1 6 ) 1 2 博士学位论文 其中，a ，p ，丁 0 ，盯 0 皆为常数，妒( t ) 是给定的函数，这个方程也适用于大 尺度的天文学问题以色列的l s s c h u l m a n 用g r e e n 函数给出( 1 1 6 ) 在初值条 件 x ( t ) = 妒( t ) ，t - - t ，o 】，t 口1 t + 7 - 】 之下，设盯= 1 _ ，求得 0 ，7 - 】上的解 王怀忠 1 5 2 】在1 9 8 8 年获得了下列结果： 考虑具有左、右位移的二阶微分差分方程 y = f ( t ，可( ) ，y ( t 一1 ) ，可( t 十2 ) ，y 7 ( 亡) ，可7 ( 亡一1 ) ，可7 + 2 ) ) ，a t b ，( 1 1 7 ) 可( 亡) = 妒( t ) ，( a a 1 t a ) ；y ( t ) = 咖 ) ，( b t b + a 2 ) ，( 1 1 8 ) 其中1 ，2 为正数，妒c 1 ( a - - a x ，叫，r ) ，c 1 ( 6 ，b + a 1 ，r ) ，f ( t ，y l ，y 2 ，y a ，驰， 可5 ，蜘) 关于t 连续且满足l i p s c h i t z 条件，即： 6 l i ( t ，y l ，y 2 ，y 3 ，y 4 ，y 5 ，y 6 ) 一，( t ，z l ，z 2 ，纫，z 4 ，z 5 ，铂) i 二s i l y , 一乞i ，n t b ， i = l ( 1 1 9 ) 这里的甄( i = 1 ，2 ，6 ) 为非负常数 定理1 3 6 设，( 芒，t 正1 ，u 2 ，u 3 ，u 4 ，u 5 ，u 6 ) 于【a ，6 】r 8 对牡t ( i = l ，2 ，6 ) 可 微，并且i 钆o l 。i l i 于【o ，6 】r t 6 成立，以及 q ：坠掣( l 1 + l 2 + l 3 ) + 宰( l 4 + l 5 + l 6 ) 1 ( 1 2 0 ) 则边值问题( 1 1 7 ) 与( 1 1 8 ) 的解是唯一的 关于非线性差分方程的研究可参见文献 1 5 6 - 1 6 1 1 关于j a c o b i 算子方程的研究可参见文献【8 8 基于以上的研究，本文将进行下面的工作： 第二章利用山路引理结合周期逼近的方法讨论了周期离散非线性薛定谔( 孓 c h r s d i n g e r ) 方程( 1 1 2 ) 及( 1 1 3 ) 同宿轨的存在性，并在一定条件下部分地解决了 a l e x a n d e rp a n k o v 1 4 6 】提出的两个公开问题 第三章分两种情况讨论高阶非线性差分方程 l 一u u t l = ，( 几，u n + t ，u n ，u n - t ) ，7 1 , z( 1 2 1 ) 及 l 一u 乱t l = p n ，( n ，+ t ，u n ，l t n - t ) ，佗z 关于平衡解0 的非平凡同宿轨其中l 是二阶差分算子 l u f l = 口n u n + 1 + c h l 钍竹一1 + b u n ， 1 3 - ( 1 2 2 ) 非线性差分方程的同宿轨、周期解与边值问题 a n ，k 和m 是z 上的实值函数，u r ，( n ， 1 ，t j 2 ，v 3 ) c ( z r a ，r ) ，对于给 定的正整数m ，k 与( n ，7 3 1 ，? 3 2 ，v 3 ) 都是关于佗的m 一周期函数 第一种情况是讨论具有周期假设条件的差分方程( 1 2 1 ) 的同宿轨的存在性 假设，k 和肌关于佗z 都是2 m m 一周期的，我们首先构建变分结构，即对固 定的m ，选择2 m m - 周期函数空间e 2 m m ，该空间与r 加m 同构，并在空间赐m m 上定义泛函 埘=兰1三-wid，ur。un-=-ram砌 厶( “) ：= ) f ( n ，m u n ) l n j 使得厶在e 2 m m 中的临界点正好是差分方程( 1 2 1 ) 的2 m m 周期解，再利用山 路引理证明在有界域【一m m + 1 ，m m 上差分方程( 1 2 1 ) 的2 m m 周期解的存在 性，最后证明2 m m - 周期解在相应的函数空间关于m 的一致有界性( 即2 r a m - 周 期解的界与m 无关) ，再利用这个一致有界性证明该2 r a m 周期解可一致收敛，且 可证其收敛点u 0 是差分方程( 1 2 1 ) 的解，还可证u f 2 及u 在无穷远处指数 退化因此仳是差分方程( 1 2 1 ) 关于0 非平凡的同宿轨所得的结果推广了文献 1 6 2 】的结论 第二种情况是讨论无周期假设条件的差分方程( 1 2 1 ) 及( 1 2 2 ) 的同宿轨的存 在性此时没有假设，k 和m 关于n z 是2 m m - 周期的，首先定义空间 e = u s i - - o o n , - - - - - - - 0 0t c l u t d ，乱n ， 0 , c n 。，天 i k ， 其中及天是如( 2 8 ) 的常数 则方程( 2 1 ) 存在非平凡解牡f 2 定理2