（水声工程专业论文）板和加筋板附加水质量算法研究.pdf

板和加筋板附加水质量算法研究 s t u d y o na d d e dm a s so f p l a t ea n ds t i f f e n e dp l a t e a b s t r a c t n l ei n f l u e n c eo f t h ea d d e dm a s so nl o c a lv i b r a t i o nh a sd r a w nm o r ea n dm o r ea t t e u t i o n s f r o mp e o p l ei nr e c e n ty e a r s c a l c u l a t i o no np l a t ea n ds t i f f e n e dp l a t eb yu s i n ga d d e di n a s s m e t h o dh a sg r e a tt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n dp r a c t i c a lv a l u e a l t h o u g ht h e3 df l u i d s t r u c t u r e c o u p l i n ga n a l y s i sm e t h o dc a na c c u r a t e l ys i m u l a t et h es t r u c t u r ea n d f l u i d t h ew o r k l o a di sv a s t a n dt h ec o s to fc a l c u l a t i o ni sh i 曲t h i sp a p e ra d o p tp l a t ef i n i t ee l e m e n tm o d e la n d3 df l u i d f i n i t ee l e m e n tm o d e lw h i c ha r ec o u p l e dt o g e t h e rt oa n a l y z et h ec h a r a c t e r i s t i c so fp l a t ea n d s t i f f e n e dp l a t ei nt h ew a t e r , s i m p l i f y i n gt h ec a l c u l a t i o na n dt a k i n gi n t oa c c o u n tt h ee f f e c to f f l u i dl o a d i n gr e a s o n a b l y b a s e do nas e r i e so ft h ee a l c u l a t i o na n da n a l y s i so nn a t u r a lf r e q u e n c i e sa n dm o d e so f t h er e c t a n g u l a rp l a t ea n ds t i f f e n e dp l a t ei n n n e r s e di nt h ew a t e ru n d e rs i m p l ys u p p o s e da n d f a s t e n e dc o n d i t i o n s ，t h i sp a p e rp u t sf o r w a r dt w om e t h o d st oc a l c u l a t e v i b r a t i o nm o d eo f p l a t ei m m e r s e di nw a t e ra n ds t i f f e n e dp l a t e o n e o ft h em e t h o d si st oi n l x o d u c ea d i m e n s i o n l e s sc o e f l i c i e n tm d r a w i n ga d d i t i o n a lw a t e rq u a l i t yc o e m c i e n tc u r v eo fv i b r a t i o n o fp l a t ea n ds t i f f e n e dp l a t e ，u s i n gc t u v ei n t e r p o l a t i o nt oo b t a i na d d i t i o n a lw a t e rq u a l i t y c o e f f i c i e n t , a n dt h e nt a k ei ti n t ot h ec a l c u l a t i n gf o r m u l ao f f e r e db yn l i sp a p e r , w ec a ne a s i l y c a l c u l a t et h en a t u r a lf r e q u e n c yo fr e c t a n g u l a rp l a t ea n ds t i f f e n e dp l a t e n em o d e lo ft h ep l a t e i nw a t e ri sc o n s i d e r e dt ob es i m i l a rw i t ht h em o d e li na i r a n o t h e rm e t h o di st ob r i n gf o r w a r d af o r m u l af o rc a l c u l a t i n ga d d i t i o n a lw a t e rq u a l i t yp e ra r e ao fp l a t ei m m e r s e di nw a t e ra n d s t i f f e n e dp l a t e ，a n dt h e ne n t e rt h er e s u l ti n t ot h ep r e p a r e dp r o g r a mi no r d e rt oc a l c u l a t et h e n a t u r a lf r e q u e n c ya n dm o d eo f p l a t ea n ds t i f f e n e dp l a t ei nw a t e rq u i c k l y f i n a l l y ，w ec o m p a r e t h er e s u l tb yu s i n gt h i sp a p e r sm e t h o dw i t ht h eo n eb yu s i n ga n s y s c o u p l i n gm o d e la n dt h e r e s u l to f t r a i l ， a d d e dr l a s sa r i t h m e t i cm e n t i o n e di nt h i sp a p e rc a l lc a l c u l a t en o to n l yt h e ( 1 ，i ) m o d eo f p l a t ea n ds t i f f e n e dp l a t ei nw a t e rb u ta l s oc a l c u l a t et h e ( 1 ，2 ) ( 2 ，1 ) m o d e 1 1 1 cf o r m e rf o r m u l a c a l l o n l yc a l c u l a t em c ( 1 ，1 ) m o d e b yc a l c u l a t i n go nt h ef l u i d - s t r u c t u r ec o u p l i n gl o c a l v i b r a t i o no fb o xt y p es t r u c t u r ea n de n g i n er o o ms t r u c t u r e ，s h o w i n gt h a tt h em e t h o di nt h i s p a p e ri sf e a s i b l ea n d h a sp r a c t i c a lv a l u ea n ds u p e r i o r i t y k e yw o r d s ：v i b r a t i o na n a l y s i s ；p l a t ea n ds t i f f e n e dp l a t e ；a d d i t i o n a lm a s s ；f i n i t e e l e m e n tm e t h o d ；f l u i d - s t r u c t u r ec o u p l i n g i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存s u # e 编学位论 文。 作者签名：吴荡作者签名：苏门 导师签名：叁丝绳 堕年上月翌日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 摘要：本章对本文的研究意义迸行了阐述；并综述了关于船舶结构局部振动附加水质量系数算 法在国内外的研究概况及发展趋势；最后介绍了本文所完成的主要工作本文各章的主要内容。 1 1 本文的研究意义 在土木、船舶、航空、水利和核动力工程技术中，我们常常会遇到流体与结构的相 互作用问题。即流固耦合问题，如薄膜屋盖和高耸桅杆在风载荷激励下的振动，海洋结 构在波浪作用下的动态分析等。这类问题的分析和研究是预测结构安全性和可靠性的基 础，但由于该问题的复杂性，迄今尚未取得令人满意的结果。 在船体结构中由甲板板、甲板横梁和甲板纵桁组成的甲板结构；由船底板、内底板、 肋板和船底纵桁组成的船底结构；由舷侧板、肋骨、舷侧纵桁组成的舷侧结构；由舱壁 板、水平桁材和垂直扶强材组成的舱壁结构等在振动计算时可以按板梁组合，也可以按 板架迸行计算。 对于整个船体结构来说这些板梁组合称为局部结构。板架结构在外界激振力的直接 作用下( 如机舱底部板架在柴油机不平衡力和不平衡惯性力矩的作用下) ，如果激振力 的频率与板架的固有频率相等时或者即使不相等，但激振力相当大时，板架以位于板架 上的机械设备就会产生剧烈的振动，以致影响船员的舒适性和机械设备的正常工作，所 以计算板架的固有频率具有重要的意义。 随着科学技术的不断进步，工程结构物正朝着大型化和轻量化的方向发展。工业文 明的发展促使工程结构物形式越来越复杂，功能越来越齐全，材料品种也越来越多样。 然而，工程结构物的工作环境也愈趋恶劣，人们对结构物经济效率的要求也越来越高。 轻量化是高速化的前提，高速化是轻量化的结果。众所周知，导弹，火箭和航天器都面 临着高速运行环境，因而结构的重量对这些结构物来说非常重要。为了达到较高的速度， 必须使用高强度的轻质材料或更合理的结构形式来减轻结构的重量。目前，随着国民经 济的发展和旅游业的蓬勃兴起，乘船到各地景点旅游的海内外游客日益增加，传统的船 舶行业受到了新的挑战。船舶正日益成为我国水上运输业中一支重要的力量，起着越来 越重要的作用。而多年的实践经验证明，加筋板结构是非常适合广泛应用于航空、造船、 建筑和机械工程等领域的一种结构形式。这种结构形式具有适应性好的优点，它比较容 易通过调节板上筋的尺寸来满足工程设计中强度、刚度和稳定性等多方面的要求。因而， 它最先被应用于航空工程中。随着船舶科学技术的发展，加筋板结构也正在被越来越多 地应用于船舶建造中。 板和加筋板附加水质量算法研究 加筋板结构在不同环境下使用，受到各种动载荷作用的形式也各不相同。当它处于 液体环境下工作或它的表面与液体介质相接触时，例如：液体压力容器，飞机燃油舱的 舱壁，船舶的外壳板或其舱壁等，受到液体的动力激励或其它非流体的激励而发生振时， 载荷是通过它周围的介质作用传递给结构物的，结构物会受到流体的动压力；而结构物 的运动( 振动) 又直接影响到其周围流场的变化，这种流场的变化反过来又使结构物受 到的流体动压力发生改变，反馈的流体和结构物的相互作用形成流体与固体耦合的振动 问题，称为流固耦合问题。 船体局部振动是指船上各种局部构件的振动，如板、梁、甲板结构、舷侧结构、舱 壁结构、底部结构、桅杆等局部结构。一般而言，局部结构在各种激励的作用下，存在 着不同程度的振动，轻微的振动是正常的，也是允许的。但如果外界激励的频率和局部 结构的频率相近或激励的幅值很大时，会引起共振或剧烈的受迫振动。甲板结构、舷侧 结构、舱壁结构和底部结构在计算时可以简化为板、加筋扳或板架，强烈的受迫振动会 引起下列有害振动：( 1 ) 剧烈的局部振动较容易引起结构在应力过大的部位产生疲劳破 坏；( 2 ) 过大的局部振动及由振动引起的噪声会大大降低结构物的使用效能，例如；在 船舶航行时，振动和噪声会降低其舒适性，影响工作人员的休息和工作效率；( 3 ) 长时 间的局部振动会影响布置在该区域的设备和仪器仪表的正常工作，降低测量精度，缩短 使用寿命。 板和加筋板结构经常处于液体环境下工作或其表面接触到液体，研究单面或双面与 液体接触的板和加筋板结构的流固耦合振动有利于振动预报和振动控制，提高结构物的 使用效能，延长结构物的使用寿命。 1 2 国内外研究概况及发展趋势 水下弹性结构与水介质的耦合振动是比较复杂的问题，涉及结构的弹性振动、结构 与水介质的耦合振动等多方面的理论知识。五六十年代，计算机技术远没有象今天这样 发达，其计算速度和计算能力很差。当时无法对不规则复杂结构的流固耦合振动进行数 值预报，只能对具有正交坐标曲面的结构( 如球、无限长柱等) ，用特殊函数展开或者围 道积分进行解析计算，对工程的实用性有很大的局限。 流固耦合问题的研究历史可追溯到1 9 世纪初，b e s s e l 、g r e e n 、p o i s s o n 和s t o k e s 研究了无界流体介质中一些规则弹性结构的匀速和加速运动；1 9 2 0 年l a m b 首先发表了 与水接触的弹性平板的振动分析方法【2 】：1 9 4 4 年鬼头史城提出了水中振动平板附加水质 量的算法 3 1 ；1 9 7 4 年苏联学者等采用势流理论和源汇法研究了矩形平板在水中的自由振 大连理工大学硕士学位论文 动，计算振动板的动能和相应的流体势能，用它们的比值求得附连水质量系数，但所用 假设和方法是相当粗糙的，板的形状和边界条件也比较简单，并且仅能求得基频【4 - 6 。 由于流固耦合问题的复杂性，几十年来的研究和迸展比较慢，解决的方法也仅局限 于解析方法。六十年代后，随着电子计算机的迅速发展，有限元法、无限元法和边界元 法( g r e e n 函数法) 等适合于计算机求解的各种数值解法或半解析解法被用来解决船体结 构的流固耦合振动问题，流固耦合问题才又为人们所关注，目前有限元法被广泛地应用 于计算二维、三维结构的流固耦合问题1 1 。 迄今力止，各国学者提出不少计算流露耦合振动的方法，可归结为两类：一类是结 构部分和流体部分都按有限元法进行离散，建立流体与固体耦合的振动方程式；另一类 是结构部分仍按有限元法进行离散，而流体部分用边界元法离散，然后建立流固耦合振 动方程式( 。 由于流体边界元法的计算量较小，所以在工程中应用较广。j a d e r u n t z 和t l g e e r s i 3 用边界积分法计算附连水质量，讨论了处理流固耦合问题的不连续边界积分方法。 韩继文【5 】等用g r e e n 函数法计算了船底板在理想流体中弹性振动时的附连水质量系数， 在计算中用连续板的概念考虑了相邻板格振动时的流体动压力影响，结果表明这和仅考 虑单一板格振动时的流体动压力影响有很大差异。沈惠明、赵德有【1 2 谰流体边界元和结 构有限元求解流固耦合问题，采用迭代法求解流固耦合振动的特征对，为了使迭代迅速、 波动小，用结构在空气中的振动模态( 干模态) 作为初始迭代向量，经过若干次迭代收敛 于湿模态。安泽幸隆、青当善人【1 4 l 将结构部分用有限元离散，流体部分用边界元，同时 对结构和流体相互作用的界面模型作出假设，计算结果证明假设是合理的；他们还分析 了单向加强的二维加筋板的振动问题以及加强筋附近附加质量的影响，讨论了影响振动 频率的流体区域，并给出了振动频率、振型形式和压力分布形式。西野宏等f 1 5 】用薄板边 界元法计算流固耦合振动，得出了薄板及腹板周围流体动压力分布，从而提高了薄板流 固耦合振动计算的精度。郭兆璞f 1 6 】等首次将流体边暴元和结构有限元法应用于空间复合 材料加筋板流固耦合振动分析，推导了用于结构分析的分项插值型复合材料八节点板单 元和三节点梁单元以及用于流场分析的线性边界单元；用修正的向量法与波前法相结合 来求解特征值问题，避免了因附加水质量引起的结构质量矩阵为满阵的存储困难和非对 称矩阵方程的约化困难。 然而，边界元方法毕竟是对边界积分方程离散求解的数值分析方法，属于近似解法， 目前只能计算一些比较简单结构的低阶振动。应用流体有限元和结构有限元相结合的方 法可以计算流体对复杂形状结构的影响，但这一方法般要求电子计算机有较大的容 量，并且计算机时较长，这给实际计算带来困难。为了解决这一困难，近年来国内外学 板和加筋板附加水质量算法研究 者对流体有限元和结构有限元相结合的方法提出了一些新的改进和发展，目前这方面的 工作正在卓有成效的展开。恽伟君、段根宝 1 9 指出：在附加水效应的分析中，不可压流 体的有限单元方法存在的问题，即导致充满的附加水质量矩阵，从而破坏了结构矩阵的 稀带性，使用大量的三维有限元构造围绕结构的流体。他们提出采用流体有限元模型的 g u y a n 减缩并忽略其耦合项的方法来克服上述困难，实例计算表明所得结果完全达到工 程所需精度。进而，恽伟君、段根宝【1 8 1 采用流体有限元模型的g u y a n 缩减，先放弃其流 体专有耦合项矩阵进行计算，然后用弱耦合项矩阵对计算结果加以摄动修正，取得了与 流体满阵解相当一致的结果。随后，恽伟君、段根宝【19 】又提出了一种计算流固耦合振动 的新方法一组合模态综合法；该方法建立在流体一固体有限元组成的杂交子结构模型的 基础上，对流体子结构采用约束模态( 静力变换模态) ，和固体子结构的两种模态：( 1 ) 模 态综合超元法中的动力变换模态；( 2 ) c r a i g 的固定界面模态与( i ) 的模态进行组合， 以组合模态作为广义坐标对流固杂交予结构的运动方程进行变换的计算方法。郸伟君、 段根宝1 2 0 j 等将流固耦合振动的组合模态法应用于大型复杂结构的计算；根据组合模态综 合法原理计算了电站闸门的前8 阶模态，显示了该方法在复杂结构动态计算中的优越性： 尤其当某一子结构信息出错时，不必重新计算，只需对该子结构进行改正后续算，明显 地提高了计算效率。并对计算工况进行了相应的试验，从比较可知，二者较一致。吴士 冲等i z m 2 】把流体力学中的奇点法与结构有限元法相结合，计算流体对结构振动的影响； 文中还分析了附加水质量计算中的相似关系，这些关系使得有可能应用奇点法和有限元 法为一些形状较复杂的结构推导出简便而实用的附加水质量计算公式。王振鸿、吴士冲 【2 谰结构有限元和流体力学的源汇分布法相结合来求解流固耦合问题，进行了流体和结 构耦合自由振动和强迫振动的分析。f h h am d “2 3 i 用l a g r a n g i a n 流体有限元法进行流 固耦合分析；可用二维、轴对称或三维有限单元进行流固耦合分析：可应用于无旋流， 对于有旋流，则在流体刚度阵中引入罚函数；在流固界面，选取合适的刚度以防止流体 渗入结构中和在结构表面产生滑动。 基于结构有限元和流体边界元或有限元的理论，国内外一些学者还开发了一系列流 固祸合分析软件。沈惠明，赵德有【1 2 j 用流体边界元和结构有限元法开发了流固耦合分析 软件f s v a ，通过双面浸水板的算例，说明该法求解简单，易于在计算机上实施，且计 算精度较高。张升明、吴士冲【冽用结构有限元与流体有限元相结合的方法，分析了弹性 结构与流体相互作用的耦合振动问题，建立了流固耦合振动的一般方程式，并编制了相 应的计算程序f s c v p ，可对储液器进行水弹性分析。大高腾夫等【2 5 】研究接水加筋板的 动力特性，用流体、结构有限元法开发了专用程序s f v i b ，研究了筋刚度相对较弱和较 强两种加筋板形式，得出结论：接水板的固有频率不能简单的由不接水板的固有频率推 - 4 一 大连理工大学硕士学位论文 得；讨论了沿长边方向有缺陷的加筋板一阶振型，计算了液舱运动时的动响应问题。吴 卫国、翁长俭阿开发了高速船振动计算程序系统s v a p ，计算该系统总振动部分的附连 水质量既可用图谱，也可用二维边界元；局部振动程序则求解计及流体影响的板架、板 和加筋板的固有频率和振型。西野宏【”】等用薄板边界元法开发出程序t p b e m 应用于决 定薄板及腹板周围流体动压力分布；该系统可用于求解三维复杂结构如加筋板、纵桁和 横梁等结构的流固耦合振动问题，具有相当精度。 1 3 本文的主要研究内容 第一章对本文的研究意义和应用前景进行了阐述，并综述了国内外对板和加筋板结 构振动特性和流固耦合数值算法的研究现状，最后，介绍了本文所完成的主要工作和本 文各章的主要内容。 第二章简要介绍了m i n d l i n 板理论，e u l e r - b e m o u l l i 梁理论和t i m o s h e n k o 梁理论， 以及e u l e r - b e m o u l l i 粱元和t i m o s h e n k o 梁元的刚度阵和质量阵的推导，并简要介绍了板 梁组合有限元模型的刚度阵和质量阵。通过数值计算给出了板和加筋板在空气的模态。 第三章简述了流体的有限元法理论，流固耦合理论，并对湿模态法和干模态法进行 了介绍。为下一章的附加水质量算法研究奠定了理论基础。最后，采用耦合有限元法计 算了板和加筋板在水中的耦合振动模态。 第四章以第三章的理论为基础，对不同边长比的矩形板和加筋板在四边刚固和四边 简支两种边界情况下的的附加水质量系数进行了探讨，给出了板和加筋板在水中的固有 频率计算公式；其次，推导得出了附加水质量计算公式，通过该公式计算出来的附加水 质量，代入计算程序，可以快捷的得出板和加筋板在水中的模态，提高了计算效率。最 后通过试验数值和流固耦合三维模型的计算结果进行了比较，验证了本文方法的可行性 和应用性。 第五章对本文研究所得的结论进行了总结和概况，同时对本文课题的相关研究进行 了展望。 板和加筋板附加水质量算法研究 2 板和加筋板振动分析中的有限元方法 摘要l 衙要介绍了m i n d l i n 板理论，e u l e r - b e m o u l l i 梁理论和t i m o s h e n k o 梁理论，以及 e u l e r - b e r n o u l l i 梁元和t i m o s h e n k o 粱元的刚度阵和质量阵的推导，并简要介绍了扳梁组合有限元模 型的刚度阵和质量阵。 2 1 弓l 言 经典薄板理论的板单元，是基于位能泛函的、以w 为场函数的板单元。考虑横向剪 切变形的m i n d l i n 平板理论认为原来垂直于板中面的直线在变形后仍保持为直线，但因 为横向剪切变形的结果，不一定再垂直于变形后的中面。基于此理论的板单元中，挠度 w 和法线转动色及口，为各自独立的场函数。而w 和或及吼之间应满足的约束条件，根 据约束变分原理的方法引入能量泛函，具体做法和考虑剪切的基于t i m o s h e n k o 粱理论 的梁单元相同。认为垂直于中面的变形相对于板的厚度是较小的，可以忽略；忽略板垂 直于中面的应力盯。 2 2m i n d l i n 板单元的刚度阵和质量阵 设单元内任一点0 ，y ，z ) 的位移为 l u ( x ，y ，力= u ( x ，力+ z 只( 毛y ) v ( x ，j ，z ) = v ( x ，力一z p ，( x ，力( 2 1 ) l w ( x ，y ，z ) = w ( x ，y ) 式中，“，v 和w 分别为x ，y ，z 方向的对应该点的中面位移，色，口，分别为该点中面法线变 形后绕y 轴和x 轴的转角。线自由度以与坐标轴的正方向一致时为正；转角自由度以绕 各坐标轴顺时针方向转动为正。 根据m i n d l i n 弯曲理论，单元的中面变形为 7 = 鼻 = 动g 巴吩 巳 一 只 鸣乃 厄 + 岛b勺 大连理工大学硕士学位论文 图2 1 膜板( 壳) 单兀 f i g 2 1m e m b r a n e - p l a t e s h e l le l e m e n t 四边形板单元如图2 1 所示，单元有4 个结点，每个结点含三个线自由度豁，k w ， 两个中面法线转角自由度以，护，和一个面内旋转自由度见。单元的结点自由度可用向量 表示为 妇- = 缸。y 留： r 甄 r 故 r j r ( 2 3 ) 式中 缸y ；0 ，qm 巳钆色) ，( f = l 2 34 ) ( 2 4 ) 设单元的位移场由两部分组成 4 7 , 4 8 妙 = 妙。 + 仁，1 ) ( 2 5 ) 式中：矽。) 是用双线性l a 鲫l g e 插值函数进行插值，由结点自由度，v 。，w l ，如，钆确定 的位移场，可用结点自由度表示为 p 。) ：0 。v 。w 。畿彬) r ：壹埘0 ，v ，坼巳巳y ( 2 6 ) p l j 是由旋转自由度巳确定的高次位移场，可以表示为 p 1 = 0 v 1 0o o ) r = 杰帆帆00 o ) r o r , ( 2 。7 ) 其中 研= ( 1 - ) 0 - 功4 ，：= ( 1 + d ( 1 一功，4 ；= ( i + f ) ( 1 + 功4 ， ，：= ( 1 一f ) ( 1 + 1 7 ) 4 n n = n 一ns 6 n tn 吐= n 5 6 n n 6 6y 2 板和加筋板附加水质量算法研究 n 心= n 6 6 虹一n 7 6 n ，n 。= n 1 6 婚一n 一瞄 虬= 也瓦，一l 疋，n ，：= n s 以：一虬瓯。 ( 2 8 ) n 。，= n 7 6 n n 6 6 n n 。i = n t 6 畦一n 1 6 ；3 5 = ( 1 一f 2 ) ( 1 - ，7 ) 1 6 ，6 = ( 1 + f ) ( 1 一刁2 ) 1 6 7 = ( 1 一f 2 ) ( 1 十1 ) 1 6 ，。= ( 1 - 孝) ( 1 一r 2 ) 1 6 6 n = x i x l ，6 = yj y | ，j = t i m o d 叼+ 1 将( 2 7 ) 式和( 2 8 ) 式代入( 2 6 ) 式，可得单元的中面位移函数为 妙) = 【。 ，【】= 【l 2mn 4 】( 2 9 ) 式中： j 】=( f = 1 ，2 ，3 ，4 )( 2 1 0 ) 弹性矩阵【d 】为平面问题的弹性矩阵、弯曲弹性矩阵以及剪切弹性矩阵的组合 陋】0 0 1 【d 】= io 【d 2 】ol l 0 0 【d 3 】j ( 2 1 1 ) 其中【d l 】为平面应力问题的弹性矩阵，【b 】为弯曲弹性矩阵，【日】为剪切弹性矩阵。具 体形式为 【d l 】= 啬 1 10l 1 0 i oo 坐 2j 一8 一 ( 2 1 2 ) 虬虬o o o o o o o w o o o w o o o 舯o o o w o o o 胛o o o o 大连理工大学硕士学位论文 【d 2 】= 鼎 1 - i 1 00 0 o 1 - _ f 2 ( 2 1 3 ) 【讣黜：| 以上各式中e 为材料的弹性模量，g 为材料的剪切模量，为材料的泊松比，t 为单元 的厚度，k 是考虑实际的剪应变沿厚度方向非均匀分布而引入的校正系数，一般按能量 相当，取k = 6 5 。 单元的应变阵为 吲= b 岛b 3b 4 】( 2 1 5 ) 式中 【且1 = 辑，0 0 00 h n ， 0 n k 0 00 n 啦，n k 0o 0 n 。，+ n ” 000眈0 0 o 000 一屹 o o00 砚一心0 00 峨 一+ 铂z “，x + 心( 吗，) ，轧一( q 2 觑广( ) ， 2 0 0 0 心岛+ 川 “。l 岛，+ 坼( 嘎。l 屯一“： k 一心( 屯) ，k 0 ( 2 1 6 ) 凼此单兀刚度矩阵司表不为 p = 2 2 b r d l b l w , w jd e t l j i ( 2 1 7 ) ，。l 此处取2 x 2 的高斯积分，其中m ，一为高斯积分权系数，i j i 为单元的雅可比变换矩阵。 m i n d l i n 板单元每个结点有三个位移参数：，巳和六，巳以绕x 轴顺时针转动为 正，巳以绕y 轴顺时针转动为正。根据m i n d l i n 理论的假设，单元内任意一点( 毛y ，z ) 的 位移可表示为： i “( x ，y ，力= 胡， v ( 五y ，z ) = z 最( 2 1 8 ) 1w ( x ，y ，z ) = w ( x ，y ) 板和加筋板附加水质量算法研究 故单元位移场可表示为 其中 h v = n 8 e 【刊 n = n 1 2 3 】 = p = oo z 0z n 0 n l00 佗1 9 ) 啼乩z ，以， ，l 是单元结点数，两是单元的形函数。 单元的动能r 。和位能n 窖可分别表示为： 严) = 圭驴矽。) = 丢l s 1 7 m y p 】 磷= 毛鞑t 吼硎+ 毛鞑s 1 i 。l 硎一u 式( 2 2 2 ) 中岛和乞分别表示弯曲应变向量和剪切应变向量；吒和分别表示弯 曲应力向量和剪切应力向量；【尾】和【e 】分别表示弯曲应变阵和剪切应变阵；【见】 、lj、lj 忙 旬 d 狲 p ，陋、 1j 1-二nj_y一1川j 炒 炒 肌川肌川 p 万 大连理工大学硕士学位论文 和【皿】分别表示弯曲弹性阵和剪切弹性阵；u 为单元的力函数：y 。表示单元体 积域。 r = 耖= 擀匿妒坳p 亿2 ， n ，= 扣= 抄陲缈吖【删p 一扩 其中 【b 】= 尾】+ 【e 】；【d 】_ 【岛】+ 【皿】 ( 艿 为总的结点自由度向量；e 为结构总的单元数。 根据拉格朗日方程( l a g r a n g ee q u a t i o n s ) 或哈密顿原理( h a m i l t o n sp r i n c i p l e ) ，可 得到无阻尼系统自由振动方程为： l 妻缈坤矿阿 扯m a h 。 i e 1r p i l l # t l 其中【k 。】为单元的刚度阵，与静力问题得到的单元刚度阵完全相同。 令 吖 = j p r n d v ( 2 2 6 ) 称之为单元一致质量阵。 2 3e u l e r - b e m o u l l i 梁理论和t i m o s h e n k o 梁理论 梁的弯曲理论是以“平断面假定”为基础的在经典梁弯曲理论中，假设变形前垂 直于梁中心线的断面，变形后仍保持为平面，且仍垂直于中心线，此假定称为k i r c h h o f f 假定。基于这种假设而推导出的的梁元，称为e u l e r - b e m o u l l i 梁元。这种梁元忽略了横 向剪切变形的影响，但在梁的高度远小于跨度的条件下，能得到满意的结果。在 t i m o s h e n k o 梁理论中，仍是假设变形前垂直于梁中心线的断面，变形后仍保持为平面， 但不一定仍垂直于中心线。基于这种假设而推导出的的梁元，称为t i m o s h e n k o 梁元。 这种梁元考虑到了横向剪切变形的影响。在不同的假定下，会得到不同的梁元公式，在 计算结果上也会有所差异。 板和加筋板附加水质量算法研究 2 3 1e u l e r - b e r n o u l l i 梁元的刚度阵和质量阵 承受横向载荷和弯矩作用的等界面梁如图2 2 所示，其中q ( x ) 是横向作用的分布载 荷rc ，昱；m 1 鸩，分别是横向集中载荷和弯矩。应用变形前垂直于中面的截面变形后 仍保持垂直的假定，可以把梁弯曲问题简化为一维问题。基本未知函数是中面挠度函数 w ( x 1 。梁弯曲的基本方程如下： 几何关系 图2 2 承受横向载荷作用的等截面梁 f i g 2 2e q u i v a l e n tb e a mw i t ht r s n s v e l $ el o a d 0 -h 2 ，、 kj o h ， 应力应变关系 平衡方程 图2 3 二结点梁单元 f i g 2 3b e a me l e m e n tw i t h2n o d e s ，d 2 w 席= _ 出2 m = e k 川i 芸 q ；警= 一日害d x 出 。 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 大连理工大学硕士学位论文 端部条件 或 马培 一面d q = e d 出4 w = g ( 功戗积 w ：石坐：石 露 w = _ im = 砺 q = 蚕，m = 面 ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 以上各式中k 是梁中面变形后的曲率；膨和q 分别是截面上的弯矩和横向剪力；i 是截 面弯曲惯性矩；w ，护，m ，q 分别是在端部给定的挠度，转角，弯矩和剪力，当它们分别 等于0 时，则以上三类端部条件分别对应于固支端，简支端和自由端。 和上述基本方程相等效的最小位能原理是以下泛函。( 叻取最小值 r i ，( w ) = f 尹1 万d 2 w ) 2 出一f g ( x 协一莓弓叶+ m t 瓦d w ) t ( 2 3 2 ) 用有限单元法分析梁弯曲问题时，通常采用二结点h e r m i t e 单元( 如图2 3 所示) 。 w ( f ) = 日j 。( 善) 川+ 研1 ( 孝h ( 2 3 3 ) 或 吣) = m ( d 口，= n a 其中 = 【1 n 2m 4 】 矿= h q 比岛】r ，只= ( 警) ( i _ l ，2 ) n i ( 孝) = 日f o ( f ) = l 一3 f 2 + 2 孝3 2 ( 善) = 日p ( f ) = ( 善一2 孝2 + 孝3 ) z ，g ) = 日 0 ) 皓) = 3 善2 - 2 亭3 4 ( f ) = 月，( 掌) = ( 孝3 一善2 ) f f 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 板和加筋扳附加水质量算法研究 ( 善= x - - 三x l o 善s 1 ) 将梁用上述单元离散，并将上列挠度函数带入泛函h ，( 叻后，从御，= 0 ，可以得 到有限元求解方程 k a = p 其中 k = k 。p = p口= 矿 肌f 等学，7 够掰= 等 1 26 l- 1 26 l 6 f4 1 2 6 l2 1 2 - 1 2 酣1 2 - 6 1 6 ，2 1 2 6 l4 1 2 ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 肚肌岍军叭鹕一莩警孚 上式中和分别表示对作用于单元内的横向集中载荷和弯矩求和，白和六分别是 它们作用点的自然坐标。在离散梁时，通常在集中载荷作用点处划分单元，这时集中载 荷可以直接施加于结点。这样一来p 中只考虑分布载荷g 的作用。对于常见的均匀分布 载荷 p 。= 要【6 ，6 一1 r ( 2 3 9 ) 1 2 设单元的位移函数为 v ( x ，f ) = n 8 。( f )( 2 4 0 ) 式中，为( 2 3 4 ) d p 的，只是坐标x 的函数，与时间t 无关。 设梁的密度为p ，则单位体积的惯性力密度为 i ( x ，f ) = 一( 五f )( 2 4 1 ) 式中伊( 石，r ) 为梁横向运动加速度，“”表示位移对时间的二阶导数。根据虚功等效 原则，由单元惯性力引起的等效结点载荷为 f ( r ) = 7 ，( x ，t ) d v = 一l | 7 ( x ，t ) d v = 一l p n 7 n d g $ 。( f ) ( 2 4 2 ) 大连理工大学硕士学位论文 令 m 。= l 7 n d v ( 2 4 3 ) 则式( 2 ，4 2 ) 变为 耳o ) = 一m 。葶。( r ) ( 2 4 4 ) 式中吖叫做单元质量矩阵a 由m = m 。，将的表达式代入，经过积分可得到单元 质量阵： m c ：型 4 2 0 1 5 6 2 2 l4 1 2 s y m m e t r i c 5 41 3 11 5 6 1 3 1 - 3 ，2 2 2 f4 f 2 ( 2 4 5 ) 2 3 2t i m o s h e n k o 梁元的刚度阵和质量阵 从前面的讨论中可以看出，在经典梁理论的基础上引入剪切变形影响的梁单元中， 护并非独立插值，而是由华导出，所以对于二结点梁单元，应采用h e r m i t e 插值函 饿 数，不便于推广到板壳单元。，为此本文引入一种考虑剪切变形影响的梁单元，这就是 t i m o s h e n k o 梁单元h g , 5 0 j 。 本文使用的这种t i m o s h e n k o 梁单元具有两个结点，每个结点有三个自由度。结点 变量为横向位移w ，横断面转角口和剪切转角矽。推导交截面梁的单元矩阵，所基于的 假定如下： ( 1 ) 主轴方向的弯曲变形为小变形 ( 2 ) 横断面对称于主轴 ( 3 ) 直梁 ( 4 ) 横断面参数沿纵坐标线性变化 如图2 4 ，断面转角曰和剪切应变缈有如下关系： 板和加筋板附加水质量算法研究 图2 4 梁上位移变量定义 f i g 2 4 d e f i n i t i o no f d i s p l a c e m e n t so f b e a m 口= _ d w + 妒 锻 假定横向位移沿纵向二次变化，剪应变线性变化。这样，由式( 2 4 6 ) 得 ”= x 岱 其中 “；豳 ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) 伍为矢量参数，【口。口l 口2qb ob l r ，并且 r 1xx 2 矿0o l 彳= 10 12 x3 x 2 1 x i ( 2 4 9 ) 1 0 0001 x j 粱端点的结点位移可写作 u = c o t ( 2 5 0 ) 其中( ，为结点位移矢量，h 幺m 吼：】，下标1 和2 分别表示单元中x = o 和x = l 两端点，并且 大k g _ n 2 1 2 大学硕士学位论文 c = loo 0lo o o0 i 三r ol2 三 o 0o oo o 010 olo f00 3 三21 三 o1三 ( 2 5 1 ) u = 三p c 面d o ，2 出+ 三p 2 出 z ， r = 吾曲( 叫出+ 吾弘( 2 出 3 ) oo ，： + 照掣石( 2 5 4 ) 彳：4 + 掣x( 2 5 5 ) 拈1 7 u r k u r ：三u 7 m u - 、7 其中 k = 毛 一与 七l 岛一以 毛。一毛 - 1 7 ， 毛1 岛七1 ： ( 2 5 7 ) 缸乳名舫缸 勋颤囊缸颤 板和加筋板附加水质量算法研究 并且 t ：等( ，l + ，：) ， 如：百2 e ( 2 + 2 ) ， 屯：- 警f ( x 。+ ，：) ， 也：百2 e ( + 2 1 2 ) ， 驴铷蝴 屯：华( 2 ，l + 厶) ， 弘和蝴， 也= 瓦3 e ( + 厶) + 百k g l ( 3 a i + 舢二厶l z 岛= 芋( 协 = 瓦3 e 蝴+ 警( 4 圳， 毛。：导( + 3 ，：) ， k 1 2 瓦3 e ( ，l 圳+ 等( 印3 a ：) ， r i 所2m 5 m ：户| _ 叫5 l ：吨- m 6 m s l m 4 一脚7 m 7一小9 s y m m e t r i c m l o m l om l o 1 8 一 其中 大连理工大学硕士学位论文 m l s s y m m e t r i c m r 6m 1 8 。r o l l m 1 3r o l l m 1 7m 1 9一m 1 4 川2 0 m 1 6m r sm 1 3m 1 9m l $ = 去( 1 叫+ 3 a ：) = 4 丢o ( 1 5 4 + 7 a 2 ) = i 9 4 l o 、 a l + 爿2 ) ： +2)a-；-ff(7al 6a42 0 7 r j = 三( 5 4 + 3 a 2 ) 8 4 0 、 l， ，2 。南( 6 a l + 7 - 4 2 ) = 丢( 4 + a 2 ) = l ( 3 a t + 1 0 a x ) =