（应用数学专业论文）函数空间un3上c曲线的构造、性质、及其应用.pdf

函数空间峨+ 。上c 曲线的 构造、性质、及其应用 摘要 本文主要研究了函数空间函数空间+ o 上c 曲线的构造、性质、及其应用。 根据已知的数据点构造一条曲线，一般有两种类型，一种是插值型的，例如 l a g r a n g e 插值曲线和h e r m i t 插值曲线。另一种是拟合型的，例如b d z i e r 曲线和b 样条曲线。从给定的数据点得到插值曲线或者拟合曲线通常是将数据点的坐标各 自乘以一个函数，这个函数的自变量一经指定，就相当于对数据点作出一个线性组 合，因此把这类函数称为调配基函数。根据设计需要，调配基函数需要满足一些好 的性质，例如我们比较熟悉的b 6 z i e r 曲线的调配基函数b e r n s t e i n 多项式，它具有单 位分解、非负性、对称性等好的性质。jm c a r n i c e r ，jm p e f i a ( 1 9 9 4 ) 5 】给出了正规b 基的定义，由定义可以知道正规b 基也是一种好的调配基函数。因此希望能够在函 数空间+ 3 = s p a n f l ，t ，t n ，s i n t ，c o s ) 上构造正规b 基。本文主要讨论了n = 3 ，4 时的情况。 文章首先构造了函数空间u 6 和u 7 的正规b 基，并给出了它们的性质。在此 基础上，我们定义了五次和六次c b z i e r 曲线，讨论了一些与b 6 z i e r 曲线类似的性 质；另外，还定义了五次和六次c b 样条曲线，同样也讨论了它们的性质。我们将 c b 6 z i e r 曲线和c b 样条曲线统称为c 曲线。作为五次和六次c 曲线的应用，我 们给出了圆弧的五次c 。b 6 z i e r 曲线、五次c b 样条曲线、六次c - b 6 z i e r 曲线表示和 椭圆弧的六次c b 样条曲线表示最后，我们讨论了函数空间u n + 3 上k ( k 3 ) 次 c b 样条曲线定义、性质及其细分公式。 关键词：b d z i e r 曲线，b 样条曲线，全正，正规b 基，c b 6 z i e r 曲线， c b 样条曲线，c 曲线。 t h ec o n s t r u c t i o n s p r o p e r ，t i e sa n da p p l l i c a t i o n s o fcc u r v e si nf u n c t i o n a l s p a c e k + 3 a b s t r a c t t h ec o n s t r u c t i o n s ，p r o p e r t i e s ) a n da p p l i c a t i o n so fcc u r v e si nf u n c t i o n a ls p a c e 峨+ 3 a r ed i s c u s s e di nt h i sp a p e r g e n e r a l l y ，t h e r ea r et w oe a s e si nc o n s t r u c t i n gac u r v eo nt h eb a s i so ft h eg i v e nd a t a p o i n t s o n ei s i n t e r p o l a t i o nc u r v es u c ha sl a g r a n g ec u r v e ，h e r m i tc u r v ee t c t h eo t h e r i s f i t t i n gc u r v es u c ha sb 4 z i e rc u r v e ，bs p l i n ec u r v ee t c i n t e r p o l a t i o nc u r v eo rf i t t i n g c u r v ed e r i v e df r o mt h eg i v e nd a t ap o i n t su s u a l l yh a v et h ec o o r d i n a t e so ft h ed a t ap o i n t s m u l t i p l i e db yf u n c t i o n sr e s p e c t l y a n do n c et h ei n d e p e n d e n tv a r i a b l eo ft h ef u n c t i o n s i s g i v e n t h a t i st om a k eal i n e a rc o m b i n a t i o no ft h ed a t ap o i n t s s os u c hg r o u po f f u n c t i o n sa r ec a l l e da l l o c a t i o nb a s i sf u n c t i o n s a c c o r d i n gt ot h en e e do fd e s i g n ，t h ea l l o c a t i o nf l m c t i o n ss h o u l dh a v es o m eg o o dp r o p e r t i e s f o re x a m p l e ，t h ea l l o c a t i o nf u n c t i o n s o fb 4 z i e rc u r v e ，a sw ek n o w ) b e r n s t e i np o l y n o m i a l sh a v es o m eg o o dp r o p e r t i e ss u c ha s p a r t i t i o no fu n i t y n o n n e g a t i v i t y , s y m m e t r ye t c j m c a r n i c e r ，j ，m p e f i a ( 1 9 9 4 ) 5 1g i v e s t h ed e f i n i t i o no fn o r m a l i z e dt o t a l l yp o s i t i v eb b a s i s f r o mt h ed e f i n i t i o nw ek n o wt h a t n o r m m i z e dt o t a l l yp o s i t i v eb b a s i si sak i n do fg o o da l l o c a t i o nf u n c t i o n s s ow eh o p e t h a tan o r m a l i z e dt o t a l l yp o s i t i v eb b a s i sc a l lb ec o n s t r u c t e di nas p e c i a lf u n c t i o n a ls p a c e u ，h 3 = s p a n 1 ，t ，t ”，s i n t ，c o s 地f u n c t i o n a ls p a c e su n + 3 a tn = 3 ，48 , r ed i s c u s s e di n t h i sp a p e r t i l en o r m a l i z e dt o t a l l yp o s i t i v eb - b a s i so ff u n c t i o n a ls p a c e su 6a n du ra r ec o n s t r u c t e d a tf i r s ti nt h ep a p e r ，a n dt h e i rp r o p e r t i e sa r ed i s c u s s e d t h e nt h ed e f i n i t i o n so fq u i n t i c a n ds e x t i cc b 4 z i e rc u r v e sa r eg i v e n ，a n ds o m e g o o dp r o p e r t i e sa n a l o g o u s t ot h a to fb 4 z i e r c u r v ea r ea l s od i s c u s s e d a d d i t i o n a l l y ，w ed e f i n et h eq u i n t i ca n d s e x t i cc bs p l i n ec u r v e si n t h ep a p e ra n d g i v e ss o m eg o o dp r o p e r t i e sw h i c h a r ea n a l o g o u st ot h a to fbs p l i n ec u r v e s f o rc o n v i e n e n c e w ec a l lc b 6 z i e rc u r v ea n dc bs p l i n ec u r v ea scc u r v e t h ea r ce x p r e s s e s o ft h eq u i n t i cc - b 4 z i e rc u r v e ，t h es e x t i cc b d z i e rc u r v ea n dt h eq u i n t i cc bs p l i n ec u r v e a n dt h ee l l i p s ee x p r e s so ft h eq u i n t i ec - bs p l i n ec u r v ea r eg i v e na st h ea p p l i c a t i o n so ft h e q u i n t i ca n ds e x t i cc c u r v e s a tl a s t ，t h ed e f i n i t i o n ，p r o p e r t i e sa n ds u b d i v i s i o nf o r m u l ao f c bc u r v e so fd e g r e e i ns p a c e k + 3a r ed i s c u s s e d k e y w o r d s ：b 6 z i e rc u r v e ，bs p l i n ec u r v e ，t o t a l l yp o s i t i v e ，n o r m a l i z e dt o t a l l yp o s i t i v eb - b a s i s ，c b d z i e rc u r v e ，c - bs p l i n ec u r v e ，cc u r v e 第一章绪论 1 1自由型曲线曲面设计的发展 自由型曲线曲面因不能由画法几何与机械图表达清楚，成为摆在工程师面前首 要解决的问题。1 9 6 3 年美国波音( b o e i n g ) 飞机公司的弗格森( f e r g u s o n ) 首先提出了 将曲线曲面表示为参数的矢函数方法。他最早引入参数三次曲线，构造了组合曲线 和由四角点的位置矢量及两个方向的切矢定义的弗格森双三次曲面片。在这以前， 曲线的描述一直是采用显式的标量函数y = y ( x ) 或隐方程f ( x ，y ) = o 的形式，曲面相 应采用z = z ( x ，y ) 或f ( x ，y ，z ) = o 的形式。 1 9 6 4 年，美国麻省理工学院( m i t ) 的孔斯( c o o n s ) 发表了一个具有一般性的曲 面描述方法，给定围成封闭曲线的四条边界就可以定义一块曲面片。1 9 6 7 年，孔斯 进一步推广了他的这一思想。它与弗格森双三次曲面片的区别，仅在于将将角点扭 矢由零矢量改取为非零矢量两者都存在形状控制与联接问题。 由舍恩伯格( s c h o e n b e r g ) 1 9 6 4 年提出的样条函数提供了解决连接问题的一种技 术。用于自由型曲线曲面设计的样条方法是它的参数形式，即参数样条曲线、曲面。 样条方法用于解决插值问题，在构造整体达到某种参数连续阶( 指可微性) 的插值 曲线、曲面是很方便的，但不存在局部形状调整的自由度，样条曲线和样条曲面的 形状难以预测。 法国雷诺( r e n a u l t ) 汽车公司的贝齐尔( b z i e r ) 1 9 7 1 年发表了一种由控制多边 形定义曲线的方法。设计员只要移动控制顶点就可方便的修改曲线的形状，而且形 状的变化完全在预料之中。贝齐尔方法简单易用，又漂亮的解决了整体形状控制问 题。贝齐尔方法在c a g d 学科中占有重要的地位，它广为人们接受，它为c a g d 的进一步发展奠定了坚实的基础。贝齐尔方法仍存在连接问题，还有个局部修改问 题。 德布尔( d eb o o r ) 1 9 7 2 年给出了关于b 样条的一套标准算法。美国通用汽车公 司的戈登( g o r d o n ) 和里森费尔德( r i e s e n f e l d ) 1 9 7 4 年将b 样条理论应用于自由型曲 线曲面的设计，提出了b 样条曲线曲面。它几乎继承了贝齐尔方法的一切优点， 克服贝齐尔方法存在的缺点，较成功的解决了局部控制问题，有轻而易举得在参数 连续性基础上解决了连接问题。与控制多边形和节点相联系，1 9 8 0 年分别由伯姆 ( b o e h m ) 和科恩( c o h e n ) 等人给出的节点插入技术是b 样条方法中最重要的配套技 术，其次，有福雷斯特( 1 9 7 2 ) 与普劳茨( p r a u t z s c h ，1 9 8 4 ) 等人的升阶技术。 上述各种方法尤其是b 样条方法较成功的解决了自由型曲线曲面形状的描述 问题。然而应用于圆锥截线及初等解析曲面却是不成功的，都只能给出近似表示， 不能适应大多数机械产品的要求。代数几何里的隐方程形式可以满足这一要求。在 参数表示范围里，福雷斯特( 1 9 6 8 ) 首先给出了表达为有理贝齐尔形式的圆锥截线。 波尔( b a l l ，1 9 7 4 ，1 9 7 5 ，1 9 7 7 ) 在他的c o n s u r f 系统中提出的有理方法在英国飞机公 司得到普遍的使用。美国锡拉丘兹( s y r a c u s e ) 大学的弗斯普里尔( v e r s p r i l l e 、1 9 7 5 ) 在 他的博士论文中首先提出了有理b 样条方法。以后，主要的由于皮格尔( p i e 9 1 ) 和 蒂勒( t i l l e r ) 等人的功绩，至8 0 年代后期，非均匀有理b 样条( n u r b s ) 方法成为 用于曲线曲面描述的最广为流行的技术。然而，n u r b s 也存在一些缺点，如需要 额外的存贮以定义传统的曲线曲面、权因子的不合适应用可能导致很坏的参数化等 等。以上这些方法在构造自由型曲线曲面时，通常都是根据事先确定的的控制多边 形( 多面体) 的轮廓做某种意义下的逼近而得到的，目的是使生成的的曲线( 曲面) 具有设计者所期望的某些整体性质。因此要对利用控制多边形( 多面体) 构造曲线 ( 曲面) 提出一些通用的准则： 设锄) 翟。是设计者事先给出的n + l 点，把相邻点连直线构成的多边形称为控 制多边形，由此控制多边形构造的曲线称为生成曲线。 考虑到生成曲线p ( u ) 要便于比例放大与迭加，要求它线性依赖于各控制点，故 其通式为 n p ( u ) = m i ( “) p i ( 0s “1 )( 1 1 ) i = 0 这里眠( u ) 0 = 0 ，1 ，n ) 称为第i 个权函数。 下面根据设计者的一般要求，( s a nj i a c h a n g ，1 9 8 0 ) 提出了式子( 1 1 ) 中权函数选 择的一般准则： ( i ) 协调性当所有的顶点重合为一点时，生成曲线也应聚缩在同一点。 这相当于要求：若p ，i p 0 0 = 1 ，2 ，- ，n ) ，则p ( u ) 5p o ，由此得 n 舰( u ) ；1 ( o s1 )( 1 2 ) i = 0 即要求所有权函数之和恒等于l 。 ( i i ) 直线保持性质当控制多边形退化为一直线时，生成曲线也变为直线。 基本恒等式( 1 2 ) 能保证这一性质自动满足。事实上，设p i = p o 十九( p t p o ) ，( 1 i 茎n ) ，则由( 11 ) ，( 1 2 ) 得 p ( u ) = 蚴( ”) p 0 + 九尬( “) 0 1 一p o ) i = 0t = l n = p o 十( p l p o ) ( 九尬( u ) ) 仍表示一条曲线。 上面两个性质表示，曲线造型把点变成同一点，把赢线变成同一直线( 但彼此 的起点、终点不一定重合) 。 2 ( i i i ) 凸包性希望生成曲线落在控制多边形的凸包之内，而且，当控制多边形 凸时，要求生成曲线也凸。 因为生成曲线线性依赖于各控制顶点，因此要( 1 1 ) 中p ( “) 落在协) 翟。之凸 包中的充要条件是所有的权函数恒非负，即： 尬( “) 兰0( 0 i n ，0 茎“s1 )( 13 ) ( i v ) 对称性 为了考虑几何形状的对称，如果将控制点 p ，) 饕。的次序颠倒为 p n j l o ，希望生成的曲线保持不变。 取t = 1 一“，把( 1 1 ) 用于顶点 m j ) 譬。有 p ( ) = m i ( t ) p 一= 螈一j ( 1 一u ) p 3 4 j 以上四个性质都是对生成单条曲线而言的，在实际设计中，更多的是必须考虑 到曲线段之间的拼接，这就要用到样条的思想，希望生成血线段之间具有一定的光 滑连接。 ( v ) 端点低阶导矢量的局部依赖性要求p ( o ) ，p 邗) ，一，p ( 吲( 0 ) 与末端点p 。无 关；同样，p ( 1 ) ，p ，( 1 ) ，- ，p ( 吲) ( 1 ) 与始端点p o 无关。这相当于要求权函数满足下面 一系列端点条件： ( o ) = 珥( o ) 一= 蜥吒”( 0 ) = 0 ，r n l 、 ( 1 ) = 嗡( 1 ) = 嘲啊“( 1 ) = 0 以上五点便是我们为满足设计者基本要求所提出生成曲线( 1 1 ) 应具有的必要 条件，它们都已相应转化为对权函数的约束条件。 有时凸包性质( i i i ) 中后面一部分内容可单独列出，以示强调： ( v i ) 保凸性当控制多边形凸时，要求生成曲线也凸。 下面一个性质也是与“保凸性”有密切联系： ( v i i ) 变差缩减性质任意一条直线与生成曲线( 1 1 ) 的交点个数不超过该直线 与原控制多边形交点的个数。 我们在这篇文章中构造的曲线将要全部或者部分满足这些准则。 以上内容主要见参考文献( 7 1 f 1 5 6 7 ， 1 8 ，( 2 0 ， 2 2 ) 。 1 2问题的背景及引出 圆弧是c a d c a m 系统中常见的曲线，如连接两条直线段一般用圆弧段来过 渡。但c a d c a m 中最常用的工具b z i e r 曲线却只能近似的表示。作为工业标准的 n u r b s 可以表示圆弧。如对圆心角a ( o 。 ”) 的圆弧，可以用首末端点b o 与b 2 及其切线的交点b l 为控制顶点，取正权因子蛳= u 2 = 1 ，u 1 = c o s ( a 2 ) 的有理二次 3 b 6 z i e r 曲线表示。但是，当“- ”时，b l 远离b o b 。趋向于无穷远处，而且无法表示 圆心角大于”的圆弧。若引入负的权因子，则会丧失其凸包性。汪国瑾和汪国昭提 出了三次有理b 6 z i e r 曲线表示二次曲线的充要条件。但需要选取权因子，并且随着 圆心角变大，存在控制多边形过大的问题。( f a r i n ，1 9 8 9 ；p i e g l ，1 9 9 1 ) ( 2 3 4 ) 指出构造 自由型曲线的有理形式往往存在以下缺点： 有理曲线的控制点对应的权很难选取。 n 次积分曲线的导数是n 1 次曲线，也就是微分可以产生更简单曲线。相反的， 1 x 次有理曲线的导数是2 n 次的有理曲线，因此，反复求导会产生很高次数的曲 线，c a d 系统很难处理。 有理曲线的计算需要花费更长的时间，占用更大的内存。 不能直接表示而只能逼近超越曲线，如螺旋线、旋轮线等，这些曲线是工程中 常用的曲线。 圆弧是c a g d 中最基本的图形之一，尽管它能直接表示出圆弧，但形势复杂， 不易处理。 逼近论里另一个经典的函数空间是三角多项式空间7 斋= s p a n ( s i n ( i t ) ，c o s ( i t ) 罂( ) ( s a n c h e z r e y e s ，1 9 9 s ) 2 6 】给出了此函数空间的正规b 基，用它来表示自由曲线克服 了一些有理曲线的不足，但还存在以下两个缺点： 它不包含线性函数t ，因此不能线性参数化直线段或者设计非参数曲线。 不能表示超越曲线曲面。 于是，人们希望能找到好的调配基函数，使它们在构造自由曲线时不仅保持类 似于b d z i e r 曲线的优点，而且还有三角多项空间上正规b 基的优点。很自然的想到 能找到函数空间珠+ 3 = s p a n ( 1 ，t ，t “，s i n t ，c o s t 的正规b 基? 如果能找到，它 们是否具有所希望的优点? p o t t m a n na n dw a g n e r ( 1 9 9 4 ) 2 5 】研究了函数空间+ 3 在n = l 时的情况，并给 出了螺旋样条曲线的定义。张纪文( 1 9 9 6 ) 3 】也研究了函数空间u 4 ，定义了三次c b 6 z i e r 曲线、三次c b 样条曲线，即三次c 曲线。本文将沿用张纪文叫法。张纪文 指出可以用三次c 曲线准确的表示圆弧和椭圆弧，另外，工程中比较感兴趣的超越 曲线如圆滚线、螺旋线、正弦曲线也可以用c 曲线来表示。e m a i n a r 等( 2 0 0 1 ) 1 】讨 论了一般函数空间上b 基的性质，并给出了函数空间u 5 上的正规b 基。陈秦玉等 ( 2 0 0 3 ) 1 2 】定义了四次c 曲线，并讨论了它们的性质及其应用。很自然的，更高次数 的函数空间u 6 和蜥甚至是函数空间吼+ 3 的情况又是怎么样的呢? 这正是本文所 要解决的问题。 4 第二章函数空间u 6 和u 7 上正规b 基的形成及其性质 2 1引言 由参考文献( m 6 】) 可以知道标准全正b 基具有最优的保形性，如b e r n s t e i n 多 项式和1 3 榉条基。因此正规b 基很适用于曲线和曲面的构造。下面我们就来构造 函数空间魄和u 7 的正规b 基，在这之前，先介绍一些基本知识。 设u ( r ) 是定义在f 爬上的一个有限维的实函数空间，( “o ( t ) ，u 。( 煳 t j ) 是“的一组基函数。如果给定时中的一列点p o ，骱，我们可以定义一条曲线 p ( t ) = 警o p i u i ( t ) t ，点p e ，一，p 。称为控制点，以点p o ，m 为顶点的多边 形p o p 。称为曲线p ( t ) 的控制多边形( 参考文献 2 ) 。设t 。巾= 0 ，m ) 且 t o t 。，则( u a ( t ) ，“。( t ) ) ( t i ) 的配置矩阵定义为 m = ( 罢 f 21 1 如果一个矩阵的所有子阵的行列式都非负，则称这个矩阵是全正的，若( u o ( 如，( t ) ) ( t ，) 的配置矩阵( 2 1 ) 是全正的，我们称这个函数系是全正的。记c ( j ) ( ，) 为定义在 f 嚏上的j 次连续可微的函数空间，若c ( “( f ) 中的函数系( n o ( t ) ，t h ( t ) ) 0 i ) 的任意广义配置矩阵 吖。= ( ： = ( 三 呜j ) ；j = 0 ，n t ost l - - t m 陋，6 j 严格全正，其中厶 u 】：= u ( “) ( 屯) ，= k i l t k = t i ) ，则称( “o ( t ) ，u n ( t ) ) ( t ，) 是广义全正的( 参考文献【l 】) 。由参考文献 【5 j ) 的命题5 1 2 可以知道b 基的定义： 设( 如( ) ，“。( f ) ) 是纠的全正基，则( 如( f ) ，u 。( t ) ) 是b 基的充要条件是它满 足：对v i ， i n f 器睢地o ) _ 0 恒成立。若还有墨。地( t ) 三lv t i 成立，则称它为正规b 基。参考文献( 1 ) 的 推论27 给盘了判断函数系( u o ( 砖，u 。弼) 是否是正规b 基的主要理论依据： 引理2 1 1 设“是一个n + l 维的c ( “( 陋，司) 空间，且关于参数变换不变，如果对 5 v b ( a ，6 ) ，我们都能找到“中的函数系( u o ( t ) ，“。( t ) ) 满足 “( i ) = 0 ， “a 0 ， “6 ) = 0 ， u ，1 ( 6 ) 0 ( 2 2 ) ( 23 ) ( 2 4 ) ( 25 ) 那么( “o ( ) ，“n ( t ) ) m 】是( a ，6 ) 上的广义全正函数系，且是甜( a ，h i ) 的一个b 基 2 2 特殊函数序列及其性质 定义2 2 1 设+ 3 定义在 o ，o ) oe ( o ，2 7 r ) 上，定义特殊函数序列如下： i 妒o ( t ) = 1 一c o s t ， 妒2 ( t ) = 一s i n t ，n n ，n 2 【妒2 。( ) = 一一n ( n 一1 ) c p 2 ( n - 2 ) ( ) ， 我们可以很容易得到此函数序列如下的性质： 命题2 2 2 妒：。( t ) = n 妒2 ( n 1 ) ( t ) ， vn n ( 2 6 ) 妒2 n ( o ) = 0 ， vn e 0 ) u n( 2 7 ) 证明：我们用归纳法来证明。 很容易验证n = 1 有妒；( t ) = 妒o ( t ) ，假设命题对于n 的自然数都成立，则由 归纳假设得： 妒：( 。+ 1 ) ( t ) = i t ”十1 一( n + 1 ) n 0 2 ( n - 1 ) ( t ) = ( n + 1 ) t “一n + 1 ) n 妒：( n - i 】0 ) = ( n + 1 ) 耻“一n ( n 一1 ) 妒2 m 一2 ) ( t ) 】 = ( n + 1 ) 妒2 。( t ) 所以( 26 ) 成立。同理可以证明( 2 7 ) 也成立。 定义2 2 3 设+ 3 定义在 0 ，o 】，o ( 0 ，2 7 r ) ，定义另一组特殊函数序列如下： z = 端，n 0 ) u 妒2 n 【o ) 。 6 由定义2 2 1 的递推公式得 妒2 。( ) 掣严1 够2 卜u k o s 一2 n 吲o ) u ( 28 ) ( 一1 ) “翻印+ 1 + ( - 1 ) k + l n ! s i 毗n = 2 k “ 由( 28 ) 和s i n t 、c o s t 的幂级数展开式可得函数序列 中n + 2 ( t ) ) 巽。的一些重要 性质： 命题2 2 4 设t = o z t ，那么r 0 ，1 ，且有 证明：忽略s i n t 和c 0 8 t 的幂级数展开式中的高阶项，可以得到 将它们带入( 2 8 ) 得 】1 j 兰 ( 巧+ 1 ) ! 惶暑嚣：鼍嚣篓黼，竺“呲i 蓦( - ”卜嗣印“_ 1 产“刊薹( _ 1 p 毋南，一2 1 ， 瓣 n = 2 k e o ) u n n = 2 后+ 1 ：艨，。 o ) u ( n + 2 则对v te 0 ，叫，v n 0 ) un ，由定义2 23 和t = o i t 得 n i t n + 2 磐黜= 一l i m 鐾卅州，吲叭 f n + 2 ) ! 同理可证：觋巾n + 2 ( o 一) = ( 1 一r ) 叶2 ，由( 2 7 ) 式容易得到+ 2 ( o ) = 0 ，将a 代入2 ( t ) 直接验证可得+ 2 ( o ) = l 。 7 ( 2 9 ) ，、l u 1 ， o r l n 2+n r l 2 ，( 叶 一一 r 0 l 一 ， 卜 一 仉l t c - 小北 = i | 叶 ”曲 e _ 垂 “ 1 0 1 0 + 十慨牌 ，-_，-_llili-ll， 倒 s0c 伽 tns 2 3 函数空间u 6 、u 7 的正规b 基及其陛质 在参考文献( 4 ) 中给出了三次c - b 6 z i e r 曲线的基函数 z o ( t ) ：( c 1 - t ) - s 。i n ( a - 一t ) ， 训= m 掣吲t ) z 3 ( t ) ：! 二! 垫! n s i n n 纠牡m i # 罴 其中 肌2 i 菩磐淼，。 。 。，呸坯l 噩五五= 五= 百丽，“ 口 0 ，妒6 ( o ) ：( 2 3 6 ( a s i n a ) 0 再由定义2 2 3 可得西2 ( t ) 也满足i = 5 时的e q s ( 2 2 ) ，( 2 5 ) 。类似的我们可验 证中 ( ) 、西2 ( t ) 分别满足i = 4 、i = 3 时的e q s ( 2 2 ) 一( 2 5 ) ，由对称性知m l ( t ) 、 西 ( t ) 、西2 ( ) 分别满足i = 2 、 = l 、2 = 0 时的e q s ( 22 ) ( 2 5 ) ，再由引理21 l 和单位性得：( 圣2 ( ) ，一，垂2 ( ) ) 是u 6 的正规b 基，故我们可以给出： 定理2 3 1 设u 6 定义在 0 ，2 ；r ，va ( 0 ，2 ”) ，t 0 ，。 ，则由函数组侣叫定义 的函数序列 哦( t ) ) i o 为u 6 的正规日基。 图i 表示了n 取不同的值时u 6 的正规b 基的图像。并且容易得到u 6 的正规 b 基另外的性质： ( i i i ) 端点性质 圣2 ( o ) = 1 ， 垂j ( o ) = 西；( o ) = 垂2 ( o ) 】7 = 垂2 ( o ) 】”= 壬 ( o ) 】( j ) = 垂2 ( o ) ( ) = 0 ， 垂i ( d ) = 1 ， 垂孑( n ) = 西2 ( a ) = 圣j ( 。) 】7 = f 西；( o ) ”= 西 ( a ) ( j ) = 中2 ( a ) ( ) = 0 ， i = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ；m = 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ；j = l ，2 ，3 ；k = 1 ，2 ，3 ，4 ( i v ) 非负性0 垂0 ) l ，vt 【0 ，n 】，v i o ，- ，5 定理2 3 2 令t = 。r ，当d _ 0 时，正规b 基西2 ( t ) ，峨( t ) ，m 2 ( t ) 的极限是 b e r n s t e i n 多项式磁( r ) ，b ( r ) ，b ( r ) 。 证明：由命题2 2 4 可得 删l i r a 嘞) 2t 5 = b 删l i r a m = ( 1 一t ) 5 = b 1 1 所以有 。l i 。r a 。, i , 4 ( t ) = t 4 1 i 。m 。中= r 3 。l i 。r a o 西i ( d f ) = ( 1 一r ) 4 。t i ，m 。圣；( a 一) = ( 1 一r ) 3 由t = o l t ，( 29 ) ，( 2 1 1 ) ( 2 1 3 ) 可得： l i r am 5 屯妊5 - 1 她湍_ 1 0 。l i + r a 。圣 ( t ) 。：虫5 a 如 垂4 ( t ) 一圣5 ( t ) 】= 5 ( r 4 一r 5 ) = b ( r ) 嬲2 磐圣：( 帆黼钏 ( t 3 - - 7 4 ) 一( t 4 - - t 5 ) 】= b ； 。l i + r a 。垂l ( t ) 2 ：i 。m 。q 2 ( a t ) = b ( 1 一r ) = 磁( r ) 。l i + m o 圣j ( t ) = 。l i + r a o 中2 ( n 一) = b 4 ( 1 一f ) = 四 ( t ) 图1z a 取不同值时的u 6 的正规b 基 1 2 类似于定理231 ，我们可以通过计算验证得到： 定理2 3 3 设u 7 定义在 0 2 7 ，vn ( o ，2 7 r ) ，t 0 ，o ，则函数序列 哦( t ) = 西6 ( t ) ， 垂6 5 ( t ) = m 6 垂5 ( ) 一垂6 ( t ) 西= 皑( 。) 6 黼， 西；( t ) = 币 ( o t ) ， 垂 ( t ) = 虫i ( o t ) ， m 8 ( ) = 垂2 ( a t ) ， 西2 ( t ) = 1 一垂b ( t ) 牌稳 【妒6 ( ) = 西4 ( t ) 一m 5 ( ) 一j 西5 ( ) 一圣6 ( ) 】 图2 表示了。取不同的值时u 7 的正规b 基的图像。并且容易得到类似于u 6 ( i ) 对称性圣3 ( t ) = 西2 一。( a t ) ，vt 0 ，n ，vi 0 ，6 ) ( i i ) 单位性圣3 ( t ) i1 ，vt 0 ，o t 西2 ( o ) = 1 ， 西3 ( o ) = 西i ( o ) = 西2 ( o ) 】= 西3 ( o ) ”= 圣i ( o ) 】( j ) = 圣2 ( o ) 】( ) = 0 ， 垂2 ( o ) ( “) = 0 ， 圣2 ( o ) = l ， 垂矿( q ) = 垂2 ( n ) = 圣3 ( n ) 】7 = 垂2 ( o ) 】”= 垂；( o ) ( j ) = 圣 ( o ) ( 。) = 0 ， 壬8 ( o ) “) = 0 i = l ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ；m = 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ；j = 1 ，2 ，3 ；k = l ，2 ，3 ，4 ；n = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ( i v ) 非负性0 圣3 ( t ) l ，vt 0 ，叫，vi ( 0 ，6 ) 定理2 3 4 令t = o t t ，当o t _ + 0 时，正规b 基西8 ( t ) ，垂5 ( ) ，垂2 ( t ) 的极限是 b e t n s t e i n 多项式日6 0 ( r ) ，b 3 ( r ) ，一，磁( r ) 。 定理2 3 4 的证明完全类似于定理2 3 2 的证明。 1 3 图2 ：n 取不同值时的u ，的正规b 基 2 4 小结 函数空间u 6 和u 7 的正规b 基可由特殊函数序列 + 。( t ) ) 墨。通过递推的方 法得到，并且它们具与b e r n s t e i n 多项式和相似的好的性质，如单位性、非负性、对 称性等。由于它们具有很好的保形性，因此可以用来构造曲线曲面，我们将在第三 章和第四章里讨论。 1 4 第三章函数空间u 6 上c 曲线的构造、性质、及其应用 3 1 引言 自从张纪文使用基底1 ，t ，c o s t ，s i n t 构造了一系列c 曲线 3 1 之后，e m a i n a r 等 讨论了在一般空间上b 基的性质，并在函数空间u = s p a n 1 ，t ，t 2 ，c o st ，s i n t 上给出 了正规b 基i l l 。陈秦玉等人在此基础上构造了四次c 曲线【1 2 。本文将讨论更高次 数的c 曲线。我们在上一章中给出了函数空间u 。+ 3 = s p a n 1 ，t ”，s i n t ，c o s t ) 在 n = 3 时的正规b 基【“ ，本章在此基础上构造了以该正规b 基为基函数的曲线： 五次c b 4 z i e r 曲线，并讨论了一些与b z i e r 曲线类似的性质；还构造了五次c b 样 条曲线，同样也讨论了它们的性质。我们将五次c b 4 z i e r 曲线和五次c b 样条曲线 统称为五次c 曲线。在本章中作为五次c 曲线的应用，给出了圆弧的五次c b 4 z i e r 曲线、五次c b 样条曲线表示和椭圆弧的五次c b 样条曲线表示。 3 2 五次c b 4 z i e r 曲线 由上一章定理2 31 ，我们可以定义五次c b 4 z i e r 曲线如下： 定义3 2 1 给定控制点p 0 , p 1 ，p 2 ，p 3 ，p 4 ，p 5 ，任取参数a ，0 a 2 7 r ，则称曲线 p ( t ) = a 哦( t ) ，t 【o ，a ( 31 ) i = 0 为五次c - b d z i e r 曲线。如图? 由正规b 基的性质，可以得到五次c b 4 z i e r 曲线的一些性质： 性质1 、端点性质 p ( 0 ) = p o 、p ( d ) = p 5 p ，( o ) = 1 _ p 0 ) ( a ) = k ( p 5 咄) ，k = 粼 该性质可由函数空间u 6 的正规b 基的端点性质得到。 性质2 、对称性 p ( t ，a ，p o ，p l ，p 2 ，p 3 ，p 4 ，p 5 ) 兰p ( o t ，o ，p 5 ，p 4 ，p 3 ，p 2 ，p l ，p o ) 0 冬t 乜，a ，0 n 2 7 r 该性质可由函数空间u 6 的正规b 基的对称性质得到。 性质3 、凸包性 该性质可由函数空间u 6 的正规b 基的单位性和非负性质得到。 1 5 性质4 、极限性质：当o - 0 时，五次c - b z i e r 曲线的极限是五次b 6 z i e r 曲线 该性质可由定理2 3 2 得到。 p 3 图3 ：五次c b z i e r 曲线 3 3 五次c b 样条曲线 定义3 3 1 如图4 ，给定控制点p 0 ) p l ，p 2 ，p n + 3 ，p 。+ 4 ，n n ，o 是任意的一 个实数，且0 o 7 r ，则下面定义的曲线称为五次c - b 样条曲线： 肌( t ) i + 5 p j b j 一；( t ) j = 0 面耵三而 s i n t , c o st , t 3 , t 2 , t , 1 】 m ，n 】 o t 盘 1 6 p i p + 1 p i + 2 风+ 3 p o + 4 肌+ 5 ( 32 ) 其中 m n 6 + 2 4c o s d 一2 4s i n 血 3 + 2c o s d 一6 0 一6 a c o s o t 一1 8 1 2 c o s o t + 6 0 2c o s n 1 2 a 十1 2 ac o s o l 一2 a 3c 0 8 0 + 4 a 3 3 6 + 2 4c o i l o t 一2 4s i n o t - 2 4 3 6c o s “ 3 6s i n o 一4 6c o s ( t 6 a + 1 2 ac o s n 2 4 + 3 6c o s “ 一1 2 a 一2 4 ac o s “一8 a 3c o s o + 2 a 3 2 4 6c o s o 4 + 6c o s o t- 3 2c 0 8 - 6 a 一6 ac o s a3 a 一2 4 3 6c o s a 一6 a 2c o s n1 8 + 1 2c o s + 3 n 2 1 2 a + 1 2 ac o s n 一2 a 3c o s o + 4 0 36 a + 乜3 图4 五次c b 样条曲线的一段 6 0 l o 一6 0 “ 舻o o u l 口 3 +嘶：一 由定义我们可以得到下面的性质： 性质l 权性 鼠( ) i1t 0 ，0 1 证明：记i = ( 1 ，l ，l ，l ，1 ，1 ) ，由定义3 3 1 知： 5 酬2 丽寿面 s i n t , c o s t , t 4 , t 3 ，t 2 , t , 1 j i m ，邮t 通过计算可以得到：对任意的t o ，。 ，有 m ，n i 丁= ( o ，0 ，0 ，0 ，0 ，1 2 a 3 ( 1 一c o s 口) ) t 所以性质1 成立。 性质2 当a _ 0 时，五次c - b 样条曲线逼近于五次b 样条曲线。 证明：令r = n ，将公式( 3 2 ) 重新参数化，此时0 r 1 ，当a _ 0 时，通过 计算可得曲线逼近于五次b 样条曲线。 3 4 圆弧和椭圆弧的表示 定理3 4 1 - i o 图5 ，设点b o ，b 5 是以原点为圆心半径为r 的圆上的点，且满足 1 6 l b o i 一= l b 5 一b 4 l ，相邻两点的夹角为o ，0 o