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摘要 具有临界指数的椭圆方程和系统的解 基础数学专业博士研究生丁凌 指导教师唐春雷教授 摘要 本论文主要研究了一类混合边界条件下的半线性和拟线性临界的椭圆方程和d i r i c h l e t 边 界条件下的半线性和拟线性临界的椭圆系统，用变分原理和一些分析技巧得到了其解的存在 性和多重性结果 首先，研究了在d i r i c h l e t - n e u m a n n 混合边界条件下具有h a r d y 项c 和h a r d y - s o b o l e v l 伍 界指数的椭圆方程： 卜“一p 静= 吒芋孔+ h i “l q - 2 u ，z q ， 【b ( t ) = 0 ， 。a q 这里，q 是r ( n 3 ) 中具有光滑边界的区域，边界条件如下 ，、 o u 【“j2u x a n e + 鬲j x e ， 其中是a q 的具有正测度的( 一1 ) 维子流形且a q ，0 a q 是边界的单位外法 向量，x e 是的特征函数，l q 2 + ( s ) ，a q 是c 2 边界0 p 可竺( ( 一2 ) 2 ) 2 ， 0 s 0 是实参 数本文给出了在混合边界条件下三个重要不等式( p o i n c a r d , h a r d y 和推广的p o i n c a r d 不等式) 当1 q 2 ，利用e k e l a n d 变分原理，得到此方程局部极小的第一个正解 当l q 2 ，利用第一个正解和达到函数u ：，选择特殊的山路和能量估计使得对应的能量 泛函在局部范围内满足( p s ) 。条件，再利用m o u n t a i n 引理找第二个正解最后，分别得到 在2 1 满足乜- i - p = 2 ( 5 ) 关键词：半线性椭圆方程；h a r d y - s o b o l e v l ；s o b o l e v 临界指数：d i r i c h l e t n e u m a n n 燃界条件；拟线性椭圆系统 i i u u = 一 一 u l-，、-l a b s t r a c t 皇曼兰蔓鼍鼍皇鼍皇鼍曼! ! 曼曼! ! ! 篡i 1 1 i 一1 1 1 i ! ! 曼皇鼍舅皇皇皇竺苎! 皇蔓皇鼍皇曼墨! 苎笪曼曼曼鼍曼曼曼皇罡鼍曼曼鼍鼍曼曼曼! ! 苎篡! 苎皇皇曼墨 s o l u t i o n sf o re l l i p t i ce q u a t i o n sa n ds y s t e m sw i t h c r i t i c a le x p o n e n t s m a j o r ：f u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s p h dc a n d i d a t e ：l i n gd i n g s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rc h u n - l e it a n g a bs t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni n v e s t i g a t e sac l a s so fs e m i l i n e a ra n dq u a s i l i n e a re l l i p t i c e q u a t i o n so nt h em i x e db o u n d a r yc o n d i t i o n s ，a n dac l a s so fs e m i l i n e a ra n dq u a s i l i n e a re l l i p t i cs y s t e m so nt h ed i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n e x i s t e n c ea n dm u l - t i p l i c i t yo fs o l u t i o n sa r es t u d i e db yt h ev a r i a t i o n a lm e t h o d sa n ds o m ea n a l y s i s t e c h n i q u e s f i r s t l y , w ec o n s i d e r e dt h ef o l l o w i n ge l l i p t i ce q u a t i o ni n v o l v i n gh a r d ya n d h a r d y - s o b o l e vc r i t i c a le x p o n e n t s o nt h em i x e dd i r i c h l e t - n e u m a n nb o u n d a r yc o n - d i t i o n s ： 卜a u - p 许= 晖等u + 入旷2 u ，z q ， 【b ( u ) = 0 ， z a q h e r e ，qi sab o u n d e dd o m a i ni nr ( n 3 ) w i t hs m o o t hb o u n d a r ya n db o u n d a r y c o n d i t i o n s a u j e 7 ( u ) 2u x a n e + 瓦x e ， w h e r e i sa n ( 一1 ) - d i m e n s i o n a ls u b m a n i f o l do f0 i iw i t hp o s i t i v em e a s u r ea n d a q ，0 a q w ed e n o t eb y t h eo u t w a r du n i t a r yn o r m a lt ot h eb o u n d a r y a n db y ) ( t h ec h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o no f ，l q 2 ( s ) ，a qi sc 2b o u n d a r y , 0 p 可竺( ( 一2 ) 2 ) 2 ，0 s 0i sar e a lp a r a m e t e r t h et h r e ei m p o r t a n ti n e q u a l i t i e sa r e o b t a i n e df i r s t l y ( p o i n c a r d ，h a r d ya n dg e n e r a l i z e dp o i n c a r di n e q u a l i t i e s ) t h e n w eg e tt h ef i r s tp o s i t i v el o c a lm i n i m u mf o rt h ea s s o c i a t e df u n c t i o n a lb ye k e l a n d s v a r i a t i o n a lp r i n c i p l ew i t hl g 2 a n db yc h o o s i n gs p e c i a lm o u n t a i np a s s 西南大学博士学位论文 鼍曼! 曼孽曼皇曼曼皇! 曼曼! ! 巴i i 一i i i i ii 舅鼍曼! 烹曼鼍寰曼毫兰曼曼暑皇曼曼曼曼鼍鼍曼鼍毫篡鼍! 曼! ! 曼鼍 i n v o l v i n gt h ef i r s tp o s i t i v es o l u t i o n ，a t t a i n a b l ef u n c t i o nt t e 。a n de n e r g ye s t i m a t e s t of i n dt h a tt h ef u n c t i o n a ls a t i s f i e st h e ( p s ) cc o n d i t i o no nag i v e nr a n g ew i t h l q 2 ，b yu s i n gt h em o u n t a i np a s st h e o r e m ，w ef i n das e c o n dp o s i t i v e s o l u t i o n f i n a l l y , t h ee x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v es o l u t i o n so ft h ea b o v ep r o b l e m w i t h2 ls a t i s f y0 c + p = 2 + ( s ) k e yw o r d s ： s e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n ；h a r d y - s o b o l e vc r i t i c a le x p o - n e n t s ；s o b o l e vc r i t i c a le x p o n e n t s ；d i r i c h l e t n e u m a n nm i x e db o u n d a r yc o n d i t i o n ； q u a s i l i n e a re l l i p t i cs y s t e m i i 独创性声明 学位论文题目：县查! 晦昼指塑的槛圆友猩塑丕统的鲤 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中己加 了标注。 学位论文作者： 1 殇 签字日期： 7 010 年产月2 , o 日 jo 一 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生部可以：侮学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：一不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：- 7 历 导师签名： v 吣 勿耢 签字日期：矽7 。年铲月矽日 签字日期：秒p 年月沙日 第l 章引言 第1 章引言 1 1研究的问题及其背景 本论文研究的主要对象是具有临界指数的椭圆方程和系统的解，它属于非 线性微分方程的领域非线性微分方程是非线性科学的主要研究方向，在微分 几何、数学物理、生态学、经济学和工程技术中有广泛的应用椭圆方程不管 是s o b o l e v l 盎界或是h a r d y - s o b o l e v l 每界及临界的椭圆系统等都是实际问题中常见 的非线性微分方程许多数学物理问题，如源于非线性源的非线性扩散理论f 7 3 1 ， 热力学中气体燃烧理论 6 0 】和【7 2 】，量子场论和统计力学 1 5 】，【3 8 和【9 4 l 以及星系 的重力平衡理论 6 0 1 和 7 2 1 都与偏微分方程有着极大的渊源而且，数学内部的 许多分支，如几何中的y a m a b e i h - j 题【1 4 】和等周不等式【6 1 】，调和分析中的h a r d y l i t t l e - s o b o l e v ：不等式【7 0 1 和人口动力系统f 4 5 1 都与临界指数的椭圆方程和系统系 系相关临界的椭圆方程和系统的研究不仅会给数学学科中的非线性偏微分方程 理论增加新的内容，也将会对其他学科产生影响 本论文的研究方法是非线性泛函分析中的变分方法和临界点理论非线性泛 函分析是现代数学中一个既有深刻理论意义，又有广泛应用价值的研究方向二 十世纪六、七十年代随着非线性泛函分析的迅速发展，用变分方法研究非线性微 分方程已取得了许多举世瞩目的成果微分方程中的变分方法具体地说，就是把 微分方程边值问题转化为变分问题以证明其解的存在性、解的个数及求近似解 的方法例如把方程 i - a u = ( x ，仳) ，z q ，11 、 it = 0 ，z a q ， 、。 的解转化为分析该微分方程所对应的能量泛函： 1，i， 而( u ) = 言i v 让1 2 d x 一f ，u ) d z 二- ，n，n 其中f ( z ，t ) = f ( x ，r ) d r 该能量泛函在础( q ) 中的临界点，就是对任意的 硪( q ) ，使得 ( ( u ) ， ) = v u v u 如一，( z ，u ) v d x = 0 j n，n 成立的1 , 于是寻找泛函的临界点成为解微分方程问题的关键 近几十年来，近代变分法( 又称为大范围变分方法) 逐渐完善并发展起来，近代 变分法主要包括极小极大理论和m o r s e 理论这两种理论都是依靠拓扑方法，研究 西南大学博士学位论文 一般的、未必是极值点的临界点1 9 7 3 年，a m b r o s e t t i 与r a b i n o w i t z 在文献f 8 1 中 开创了以山路引理为代表的一种新的极大极小方法，它是临界点理论与非线性 微分方程理论发展的另一个里程碑，应用这一理论a m b r o s e t t i 等批数学家在 椭圆边值问题，特征值及共振问题的研究中取得了突破性进展随后的鞍点定 理( s a d d l ep o i n tt h e o r e m ) 和环绕定理( l i n k i n gt h e o r e m ) 是对山路引理的进一步 推广这里通常要求与其相应的e u l e r - l a g r a n g e 泛函满足紧性性质( ( 尸s ) 条件) 但是在一些实际问题的研究中，失去紧性条件的现象大量存在，诸如有界区域上 包括s o b o l e v 临界指数或h a r d y - s o b o l e v 临界指数的椭圆方程，无界区域上椭圆方 程1 9 8 3 年，b r e z i s 和n i r e n b e r g l 鬟j 文章 1 4 1 可以说是临界点理论研究的又一个突 破对于含有临界指数的方程，由于缺乏“性”而使泛函不再满足p a l a i s s m a l e 条 件，他们首次选择特殊的山路和能量估计，证明了如果相应的能量泛函满足局部 的( p s ) 条件，那么，在一定的条件下，所研究的问题存在一个山路型的临界点以 上这些都为非线性现象的研究提供了牢固的数学基础，使得人们处理非线性系统 的能力大为增强 为了寻求如在砩( q ) 中的非零临界点，一种典型的方法是按照p a l a i s s m a l e 的 方法 8 5 1 如果每一个( p s ) 序列都在任意一个水平c 上收敛，则称o 满足p a l a i s s m a l e 条件( 简称( p s ) 条件) 特别地，如果每一个( p s ) 序列都在某一个水平c 上收 敛，则称，0 满足( 尸跚。条件 如果厂( z ，t ) 为次临界增长这时由于嵌入是紧的，i o 的任何( p s ) 序列满 足( p s ) 条件，因此任何( p s ) 序列都收敛到方程( 1 1 ) 的一个解这一方面著名的 工作是f 9 】和f 8 7 1 ，也可参阅p l l i o n s 的综述文献1 7 3 1 如果f ( x ，t ) 为s o b o l e v 临 界增长，这时嵌入日3 ( q ) ql 2 ( q ) 的非紧性使得泛函厶的( p s ) 序列可以不满 足( p s ) 条件，因而问题变得复杂得多克服这种“失紧”困难的经典方法源于h b r e z i s 和l n i r e n b e r g 的著名文章1 4 1 在 1 4 1 中h b r e z i s 和l n i r e n b e r g 首先 证明了如果c 哥1 ) _ n 。( 这里s 是最佳s o b o l e v 常数) ，则此( p s ) 序列满足( 尸s ) 。条 件，这时泛函，o 存在非零的临界点然后，对冗中最佳嵌入常数s 的达到函数 作了一些估计并利用这些估计证明了满足( p s ) 。条件( c 击s 譬) 的序列是存在 的1 9 8 4 年，p l l i o n s 给出了著名的集中紧性原理【7 2 卜【7 7 1 ，这一原理对更为 广泛的椭圆方程( 包括p - l a p l a c i a n 方程) 给出了其对应的能量泛函满足( p s ) 条 件的充分条件同年，经过对( p s ) 序列的仔细分析之后，m s t r u w e 9 2 获得了比 集中紧性更强的结果，即全局紧性结果该结果不但给出t ( p s ) 序列失紧的原 因，而且对失紧序列的能量分布和序列的渐进行为也作出了深刻的刻划此后， 近二十年来，依据他们的方法( 山路引理和集中紧性原理) ，对临界增长的椭圆方 2 第1 章引言 程( 包括d i r i c h l e t 边界条件，n e u m a n n 边界条件和混合边界条件) 的正解、变号解 和无穷多个解的存在性，无论是在有界区域还是无界区域上，都得到了一些精彩 的结果此方面的结果可查阅【8 】，【9 】，【1 2 h 1 4 ，【1 9 ，【2 0 ，【2 1 ，【2 6 ， 2 8 】，【5 1 ， 8 4 】， 【9 l 】和p o o 考虑问题( 1 1 ) 的另外一种情形，即如下带有临界h a r d y 项和s o b o l e v 指数 的半线性椭圆方程问题 x u 叫许= 妒。2 u + a f ( x ，札) ，z q ，m 2 、 l “= 0 ， z a q ， 、。7 这里q 是r i v ( n 3 ) 中包含原点的有界光滑开区域，0 p o 是实参数，是满足一定条件的函数 显然，p 0 的情形比p = 0 时更为复杂，因为当p = 0 时，方程( 1 - 2 ) 所对 应的极限方程既具有平移不变性，又具有伸缩不变性，而当肛0 时，方程( 1 - 2 ) 所对应的极限方程只有伸缩不变性而在某种意义下，只有伸缩不变性的情形更 为困难在研究问题( 1 2 ) 解的存在性时，遇到的主要困难是：在变换u u r = r 华( r ( ) ) 之下，h o 模，l 矿模以及带权的l 2 一模( 如品如) 2 都具有不变性，因 此嵌入硪( q ) ql 2 ( q ) 和础( q ) ql 2 ( q ，i x l - 2 d x ) 是非紧的 近几年来，形如( 1 之) 的方程引起了人们的广泛关注，如【3 6 】，【4 5 ，【4 6 】，【5 0 ， 【5 9 】和【9 0 】等还有一些结果可参阅【2 2 】，【2 3 ， 2 4 ，【2 7 ，【2 9 ，【3 0 ，f 3 1 ，【4 6 ， 4 8 ， 5 6 】，【6 4 】和【9 0 】等自此以后，人们就把方程( 1 - 2 ) 中的s o b o l e v 临界指数推广到了 含有h a r d y - s o b o l e v l 备界指数，并且把入u 推广到了更为广泛的形式此方面的结 果可查阅【3 6 】，【4 9 ，【5 0 ，【5 9 ，f 6 a ，【6 4 ，【6 5 ，【6 2 【6 6 ，【9 6 和【9 7 】但是，对既具 有h a r d y 项，又具有h a r d y - s o b o l e v l 盔界指数的半线性椭圆方程和具有临界指数的 拟线性椭圆方程在混合边界条件下解的存在性和多重性结果并不是很多对于具 有边界奇异性( o o f f ) 1 狗d i r i c h l e t - n e u m a n n 边界问题，相应的结果则更为少见 最近，人们对如下的混合边界条件问题越来越有兴趣 i - a u = i u l r _ 2 钍+ a f ( x ，u ) ，z q ，。、 tb ( u ) = 0 ， $ 孤 叫 这里，q 是尺( 3 ) 中具有光滑边界的区域，边界条件如下 月口， b ( u ) = u ) ( 坝暑+ 若x e ，( 1 4 ) 其中是a q 的具有正测度的( 一1 ) 维子流形且a q ，是边界的单位外法 向量，x e 是的特征函数，对r = 2 ，a d i m u r t h i ，p a c e l l a 和y a d a v a 在文献【2 】 3 西南大学博士学位论文 中指出，当入_ ，a q 有良个尖点及适当的a 和f ( x ，) = 一耐，问题( 1 3 ) 的极小 能量解在a q 上有一个最大值点足，r 的极限点包含于最大平均曲率点集里且问 题( 1 _ 3 ) 至少有个解a l v e s 和h a m i d i 在文献【3 l 中利用n e h a r i 流形署t l f i b e r i n g 映 射得至, 1 ( i - 3 ) 至少两个正解的存在性对于次临界情况，可参见文献f 3 3 1 等 本文主要研究比方程( 1 书) 更为广泛的带有h a r d y 项，h a r d y s o b o l e v l 临界指 数的半线性椭圆方程的d i r i c h l e t - n e u m a n n 边值问题： ，一u p 许= 吒竽u + a ”i 2 u ，z q ， 【b ( u ) = 0 ，z a q ， 这里，q 是r ( 3 ) 中具有光滑边界的区域，边界条件如( 1 - 4 ) ，0 a q ，1 q 2 ( s ) ，a q 是g 2 边界0 p 万全( ( 一2 ) 2 ) 2 ，0 s 0 是实参数其次，又把上述 混合边界条件的半线性问题在弘= s = 0 的情形推广到拟线性椭圆方程 - - a p u = i u l p 一2 缸+ 入，( z ，u ) ， z q ， 男( 牡) = 0 ，z a q ， 其中l p 1 满足口+ p = p + 4 地眦 铲舻嚣南器 许奔k憎嘲q 第1 章引言 1 2一些符号和定义 为了对本文的结果作准确地说明，以下我们给出一些符号和定义 在整篇文章中，ec 7 ，g 将用来表示各种正常数，在不同的行或段落中它 们可以不同o ( t ) 和o ( t ) 分别表示i o ( t ) l c t 和挈_ o ( 一o ) 我们始终定 义2 + ( s ) = 2 ( n s ) ( n 一2 ) 是h a r d y - s o b o l e v l 临i 界指数，2 + = 2 n ( 一2 ) 和p + = p n ( 一p ) 是s o b o l e v l l 缶界指数l i ，”分别表示空间硪( qu ) 和l 9 ( q ) 的范 数r 掣表示半空间，l i p ，r 筝：= ( z 7 ：z ) r ：= ( z 1 ，z 2 ，x n - 1 ) ，z o ) i t 士= m a x + u ，o ) “ ，、 明( q ) 上的等价范数为i i u i l 2 = 厶( 1 v u l 2 一肛群) 如且最优常数为 a“s全apc鼻，=uh。墨n。，一 ( 1 - 5 ) 特别，当，= 0 ，s = 2 ，a = 可( 见文献【4 8 】中的引理2 1b 这里万= ( 学) 2 对 于任意的p 【o ，瓦) 及 0 ，从文献 6 2 】我们知道，a ”的达到函数为 赠扯( 2 e ( n - s ) ( f l - p ) ) 萼腆屉而学) 等) 另外，( z ) 是方程 也一嗨= 譬邺倒 0 ) 中的解且满足 肌v 1 2 - p 跹i x l ：、j 如= 上譬如地庐n - - 1 1 ( 1 6 ) 远表示函数族 聃滞肛川舟) 学 ( 等) 一r 从文献【9 8 】或【5 0 】中知惩( z ) 是方程 一a p u = i t ，z r 5 西南大学博士学位论文 i v 递l p d x = l 诞l p d x = s 苦， ( 1 7 ) ，r i r n 其中最优常数 s 全s ( 兄) = 札w f p ( i n r f ) 。) i z f r ：- 1 弼i v u l p d z ( 1 - 8 ) y 3 多 i - ，( g o x ) 2 ：= 础( q ) 硪( q ) 且范数为o ( u ，u ) i i ( 础) ：= ( i i ( n ) + 0 2 础( ) 1 2 ， 其中忆| i h 3 ( = ( i ( t v “1 2 一静) 如) 1 归在( 硪) 。里，最优常数定义为 ap，scf2，：2。u，。，。i日n。f，。、。，。i了兰；静 c 1 9 ， 空间e ：= 眦巾( q ) 眦巾( q ) ，其上的范数为忪怯= ( 1 l 仳o ，( n ) + i l v l l ，( q ) ) p ， 其中z = ( u ，u ) e 和1 l u j l w ，( q ) = ( 矗i v 仳i p d x ) v p h e 上，定义最优常数 甄q ) h 意i n f ( o ) 面i 不i ( u 丽, v ) l l 笛i ( 1 _ 1 0 ) ( q ) 的存在性及否( q ) 和s 的关系 否( q ) = ( q p ) 卢7 q + 卢+ ( a z ) 一口7 n + 卢s ( 1 - 1 1 ) 可以通过修改文献f 7 1 中的定理5 的证明得到 1 3论文的结构安排 我们将整篇论文分为三章第二章主要研究在混合d i r i c h l e t n e u m a n n 边界 条件下的半线性和拟线性椭圆方程解的存在性其中，在第一节中我们主要考虑 在d i r i c h l e t n e u m a n n 混合边界和边界奇异的条件下具有h a r d y 项和h a r d y - s o b o l e v 临界指数的半线性椭圆方程的解的存在性：第二节在d i r i c h l e t - n e u m a n n 混合边 界条件下具有s o b o l e v l 临界指数的拟线性椭圆方程解的存在性和多重性第三章 主要介绍具有临界指数的椭圆系统的解分别考虑了在d i r i c h l e t 边界条件下具 有h a r d y 项和h a r d y s o b o l e v 临界指数的半线性椭圆系统的解和具有s o b o l e v l l 备界 指数的拟线性椭圆系统的解，证明了这些系统正解的存在性和多重性 6 第2 章具有临界指数的椭同方程在混合边界条件下的解 第2 章具有临界指数的椭圆方程在混合边界条件下的解 近年来，形如 一p u p 百u p - 2 u = 1 l u l p * ( f _ , ) - 2 + 枷，u ) ，z q 这样的方程在d i r i c h l e t 边界条件和n e u m a n n 边界条件下的问题分别得到广泛地 研究这里p “表示p - l a p l a c i a n 算子，1 p n ，0 p 万竺i 竿) ， 0 s p ，矿s ) = 礤掣是h a r ：s o b o l e v 临界指数，入是实参数当p = 2 时， 对于d i r i c h l e t 边界条件，第一个令人惊讶的结论是由p o h o 乏a e v 在文献f 8 6 1 中得到， 他证明了在a = 肛= s = 0 ，p = 2 及q 是星形区域时上述问题没有解这之后， 文献f 1 4 1 中，b r e z i s 和n i r e n b e r g 得到了在p = s = 0 ，适当的，( z ，t ) 和a 条件下方 程解的存在性结论最近，人们越来越重视具有s o b o l e v 和h a r d y - s o b o l e v 临界指 数包含奇异算子一一寺( o p 乒) 问题的解( 参见文献【4 6 】【4 8 】，f 5 0 】及其参考 文献) 利用函数f ( x ，t ) ：参数肛，s ，a 或q 的拓扑性质得到了很多有趣的结果( 参 见文献f 9 2 3 ，4 2 ，4 3 ：4 9 ，5 0 等) 后来，人们把半线性椭圆方程的结论推广到拟线 性椭圆方程，见文献f l l 一1 3 ，1 0 9 等总之，文献 1 4 】激发了人们对上述问题广泛 地研究，得到了丰富的结论( 如9 ，1 0 】等) 对于n e u m a n n 边界条件，g h o u s s o u b 和k a n g 在文献【4 9 】中给出当p = 2 ，p = 0 ，f ( x ，t ) = t ，0 s 2 ，a 0 ，o a q 和0 点附近的平均曲率为正条件下一个正解的存在性对于其余相关的文章见文 献【4 1 ，9 5 ，1 0 2 ，i 0 3 等 现在混合边界条件下的问题在应用科学的许多分支中变得越来越重要，并被 越来越多的人研究( 见f 1 ，1 8 ，。3 3 ，3 9 ，5 2 ，5 7 ，8 2 】等等) 近来人们对混合的d i r i c h l e t n e u m a n n 边值问题( 1 - 4 ) 越来越感兴趣( 见【2 3 3 3 1 ) 本章主要研究混合边界条 件下具有临界指数的椭圆方程的解 2 1 在d i r i c h l e t n e u m a n n i 昆合边界条件下具：有h a r d y 项$ f l h a r d y s o b o l e v l 缶界指数的半线性椭圆方程的解 2 1 1 主要结果 本章主要研究带有h a r d y 项，h a r d y - s o b o l e v l l 缶界指数的半线性椭圆方程i 拘d i r i c h | e t 7 西南大学博士学位论文 n e u m a n n 边值问题： f - - a u 一瞬= 瞥川l 扩i 2 牡，z 咄 ( 2 叫 ib ( u ) = 0 ， 茁a q ， 、7 这里，q 是r i n 3 ) 中具有光滑边界的区域，边界条件如( 1 - 4 ) ，0 ，1 q 2 ( s ) ，触是g 2 边界0 p 0 定义 ，= 一i n f 忡，借用f 晶锴 和 州川：剃。，掣磐 如果士d ，则芦( qu ) = 面，入1 ( qu ) = a 1 ( q ) 和a 1 ( qu ，p ) = 入1 ( q ，肛) 且a 1 ( q ) 和a 1 ( q ，肛) 分别是d i r i c h l e t 边界的特征值问题- a u = 入u 和一u 一肛静= 入u 的第一个特征值如果甚= a q ，显然耳( q u ) = 面( 豆) = 0 ，a 1 ( q u ) = a i ( 孬) = 0 ，这是因为这两个下确界在u 为常数函数时取得，且有) 、1 ( que ，p ) = 入1 ( 孬，肛) 另外，入1 ( 瓦，p ) 是n e u m a n n 边界的特征值问题一a u p 寺= 的第一个特征值 但是在这章中，有仍和a q 令f 广= m i n 可( q ，) ，7 c i j ) 我们有下列主 要结论： 定理2 1 1 假定豆a q 则( i ) a l ( qu ) 0 ，( i i ) 豇( qu ) 0 ，( i i i ) 入1 ( qu ，肛) 0 对任意的o p 芦( qu ) 成立 定理2 1 2 假定4 ，0 p 旷，0 8 2 ，0 ，1 q 0 ，对于任意的入( 0 ，”) ，问 题( 2 - 1 1 至少有两个正解 定理2 1 3 假定n 4 ，0 弘+ ，o s 2 ，0 ，2 q 0 ，问题( 2 一1 ) 至少有 一个正解 8 定理2 1 4 假定4 ，0s 弘 矿，0 s 入l ( qu ，p ) 时没有正解 注记2 1 1 如果肛= 0 ，s = 0 ，0 ，1 q 2 ，方程( 2 - i ) 就变成 f a u = l u l 2 * - - 2 乱+ 入l u l 9 2 让，z q ， lb ( u ) = 0 ， z a q ， 就把文献f 3 3 1 中的问题( r ) 推广到临界情况结果，定理2 1 2 和2 1 4 就是文 献f 3 3 1 中的定理1 1 推广至1 s o b o l e v 临界指数的相应结果 在本章中，我们讨论问题( 2 1 ) 在1 q 2 。( s ) 时的多个正解的存在性 主要困难就是这个问题涉及到了混合边界和奇异临界增长本章中的定理2 1 1 是其余定理证明的关键，它给出了在混合边界条件下三个重要不等式( p o i n c a r d ， h a r d y 和推广的p o i n c a r 百不等式) 奇异临界增长导致这些嵌入日1 ( q ) ql 2 ( q ) ， 日1 ( q ) ql 2 ( q ，以( i x ) 和日1 ( q ) ql 2 + ( s ) ( q ，h 叫d x ) 失去紧性而且，相应的 能量泛函在日1 ( q ) 中不满足经典的p a l a i s s m a l e 条件，极小极大水平的估计也变 得更难建立但是我们仍然能得到相似的结论首先，当1 q 2 ，利用e k e l a n d 变分原理可以得到相应泛函的第一个局部极小正解其次，当1 口 2 通过第 一个正解选择特殊的山路，达到函数札：和能量估计使能量泛函在给定范围内满 足( p s ) 。条件，再用山路引理得到第二个正解最后，当2 0 ，对任意的 h 1 ( q ) ， 使得 c 1 刊加叫fl u l 2 - 上u z 如2 删“上臀如) 南 ( 2 - 2 ) 成立，其中0 冬p 芦和0 s 2 证明对每一个z 豆，我们有z q 或z a q 如果z q ，选择以充分小使 得b 以( z ) cq 由式子( 1 5 ) ，础( 玩。( z ) ) c 1 ( r ) 和2 一而2 - $ 1 推出 2 u 协臀如卜l ，( 1 驯z p 群) 如c 2 一s ， 9 西南大学博士学位论文 对u 明( b 以( z ) ) 成立 当o e 1 ，如果名a q ，由a q 的光滑性，存在c 1 函数 ( z ) 定义在开区 域u = ( z 7 r ，l 。7 一z ，i 以) 上满足 i v h ( z ) 一v h ( z ) l 主当i x - - z 2 - 钒，。( 上臀d z ) 2 门1 引陋5 ， 对任意的u 础( b u ：) 成立，这里b = b 以( z ) n z l x n h ( 。，) ) 且：= b 以( z ) n z l z = h ( x ，) ) 通过坐标变化 y = 矽( z ) = ( z 7 ，x n h ( x 7 ) + ( 7 ) + ( v ( 7 ) ，z 一名7 ) ) jz b ， 把b 拉直在妒( 口) 上定义u ( 可) = 趾( z ) 则根据中值定理和式子( 2 _ 4 ) ，可以推出 l l 秽l i x l isb 一茁l l ( z ) 一h ( z ) 一( v 九( 7 ) ，一彳，) | = i ( v h f f z 7 + ( 1 一) 名7 ) 一v h ( z 7 ) ，z 7 一名，) i 面6 1 x - z l ， ( 棚) 其中o 1 如果z = 0 ，由( 2 _ 6 )