勾股定理习题巩固提高及习题解析.docx

勾股定理习题巩固一、选择题（共6小题；共30分）1. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆 8m 处，发现此时绳子末端距离地面 2m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为 A. 12mB. 13mC. 16mD. 17m 2. 下列四组线段中，能组成直角三角形的是 A. a=1，b=2，c=3B. a=2，b=3，c=4C. a=2，b=4，c=5D. a=3，b=4，c=5 3. 如图，点 A 为正方体左侧面的中心，点 B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为 2，一蚂蚁从点 A 沿其表面爬到点 B 的最短路程是 A. 3B. 2+2C. 10D. 4 4. 如图，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20，点 B 离点 C 的距离为 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是 A. 521B. 25C. 105+5D. 35 5. 如图所示是一棱长为 3 的正方体，把它分成 333 个小正方体，每个小正方体的边长都是 1 .如果一只蚂蚁从点 A 爬到点 B ，那么 A，B 间的最短距离 d 满足 A. 4d5B. 5d6C. 6d4 或 d7 6. “赵爽弦图”是由 4 个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）若直角三角形的两条直角边的长分别是 2 和 1，则图中阴影区域的面积与大正方形的面积之比为 A. 13B. 14C. 15D. 55 二、填空题（共10小题；共50分）7. 定理“直角三角形的两直角边平方和等于斜边的平方”的逆定理是： 8. 如图，m= ，n= 9. 命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是： 10. 如图，将一根 25cm 长的细木棒放入长、宽、高分别为 8cm，6cm 和 300cm 的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 cm 11. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤长几何?”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B 处，则问题中葛藤的最短长度是 尺 12. 已知一个直角三角形的三边的平方和为 1800cm2，则斜边长为 cm 13. 命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是： 14. 若一个三角形的三边满足 c2-a2=b2，则这个三角形是 15. 如图，将一张矩形纸片 ABCD 折叠，使两个顶点 A，C 重合，折痕为 FG，若 AB=4，BC=8，则 ABF 的面积为 16. 如图，在 RtABC 中，ABC=90，AB=3，AC=5 ，点 E 在 BC 上，将 ABC 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 边上的点 B 处，则 BE 的长为 . 三、解答题（共22小题；共286分）17. 如图，已知在 ABC 中，CDAB 交 AB 于点 D，AC=20，BC=15，DB=9（1）求 DC，AB 的长；（2）求证：ABC 是直角三角形 18. 有一圆柱体高为 8cm，底面圆的半径为 2cm，如图，在 AA1 上的点 Q 处有一只蜘蛛，QA1=3cm，在 BB1 上的点 P 处有一只苍蝇，PB=2cm蜘蛛要从点 Q 处沿圆柱体表面去吃点 P 处的苍蝇，求蜘蛛爬行的最短路径长（ 取 3） 19. 如图一只蚂蚁要从正方体的一个顶点 A 爬一个顶点 B，如果正方体棱是 2，求最短的路线长 20. 如图，在 ABC 中，AC=5，BC=12，AB=13，D 是 BC 的中点，求 AD 的长和 ABD 的面积 21. 如图，地上有一圆柱，在圆柱下底面的 A 点处有一蚂蚁，它想沿圆柱表面爬行，吃到上底面上与 A 点相对的 B 点处的食物（ 的近似值取 3，下同）（1）当圆柱的高 h12 厘米，底面半径 r3 厘米时，蚂蚁沿侧面爬行时最短路程是多少?（2）当圆柱的高 h3 厘米，底面半径 r3 厘米时，蚂蚁沿侧面爬行时也可沿 AC 到上底面爬行，最短路程是多少?（3）探究：当圆柱的高为 h，圆柱底面半径为 r 时，蚂蚁怎样爬行的路程最短?路程最短为多少? 22. 一只蚂蚁从长、宽都是 30cm，高是 80cm 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点，如图，求它爬行的最短路线的长 23. 如图，将长方形纸片 ABCD 的一边 AD 向下折叠，点 D 落在 BC 边上的点 F 处已知 AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求 EC 的长 24. 如图，铁路上 A，B 两站（视为直线上两点）相距 25km，有 C，D 两个村庄（视为两个点），DAAB 于点 A，CBAB 于点 B，已知 DA=15km，CB=10km，现在要在铁路 AB 旁建一个土特产收购站 E，使得 C，D 两村到收购站的距离相等，那么收购站应建在离 A 站多远处? 25. 如图，某工厂 A 前有一条笔直的公路，从工厂 A 原有的两条小路 AB，AC 可以到达公路，经测量，AB=6 千米，AC=8 千米，BC=10 千米，现需要修建一条公路，使工厂 A 的负责人员到达公路的距离最短，请你帮工厂 A 设计一种方案，并求出所修公路的长 26. 如图所示是一段楼梯，已知 AC=5m，CD=7m ，楼梯宽 BD=5m .一只蚂蚁要从 A 点爬到 B 点，求蚂蚁爬行的最短路程. 27. 如图，在长方形 ABCD 中，AB=4，AD=6，E 是 AB 边的中点，F 是线段 BC 上的动点，将 EBF 沿 EF 所在直线折叠得到 EBF ，连接 BD ，求 BD 的最小值. 28. 如图是黄河公园三个景点 A，B，C 构成的直角三角形，由于 B，C 景点之间有一山相隔，为方便游客，工作人员准备在 B，C 之间挖一条隧道已知 ACB=90，AB=3km，AC=2km，求这条隧道至少要修多少千米 29. 如图，OAOB，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在点 B 处发现有一个小球自 A 点出发沿着 AO 方向做匀速直线运动，机器人自 BC 方向以与小球同样的速度前进拦截小球，在点 C 处截住了小球，求机器人行走的路程 BC 30. 如图，折叠长方形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 的点 F 处，已知 AB=8cm，BC=10cm，求 CE 的长 31. 如图所示，海中有一小岛 A，在该岛周围 10 海里内有暗礁今有货船由西向东航行，开始在 A 岛南偏西 45 的 B 处，往东航行 20 海里后，到达该岛南偏西 30 的 C 处，之后继续向东航行你认为货船继续向东航行，会有触礁的危险吗?计算后说明理由 32. 如图，一根电线杆在离地面 5m 处断裂，电线杆顶部落在离电线杆底部 12m 处求电线杆折断之前有多高 33. 如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它恰好落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，求 CD 的长 34. 已知，如图所示，折叠长方形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，如果 AB=8cm，BC=10cm求 EC 的长 35. 如图所示，A，B 两点与建筑物底部 D 在一条直线上，从建筑物顶部 C 点测得 A，B 两点的俯角分别是 30，60，且 AB=20，求建筑物 CD 的高 36. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=8，BC=6，点 E 在 AB 上，将 DAE 沿 DE 折叠，使点 A 落在对角线 BD 上的点 F 处，求 AE 长 37. 一架梯子的长度为 25 米，按如图所示方式斜靠在墙上，梯子底部距离墙底端 7 米，这个梯子顶端离地面有多高?如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米? 38. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它恰好落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，求 CD 的长答案第一部分1. D2. D3. C4. B5. B6. C【解析】提示：由题意可知大正方形的边长为 5 ，小正方形的边长为 1 .所以小正方形的面积是大正方形的面积的 15 .第二部分7. 三角形中两边平方和等于第三边的平方的是直角三角形8. 2，59. 如果两个数的平方相等，那么这两个有理数相等10. 511. 25【解析】如图，将立体图形展开转化为平面图形，一条直角边（即枯木的高）长 20 尺，另一条直角边长 53=15（尺），因此葛藤长为 202+152=25（尺）12. 30【解析】设直角三角形的两直角边分别为 acm，bcm，斜边为 ccm，根据勾股定理得：a2+b2=c2， a2+b2+c2=1800， 2c2=1800，即 c2=900，则 c=30cm13. 两直线平行，同位角相等【解析】命题：“同位角相等，两直线平行”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等”故答案为：“两直线平行，同位角相等”14. 直角三角形【解析】 c2-a2=b2， a2+b2=c2， 此三角形是直角三角形15. 6【解析】 将一张矩形纸片 ABCD 折叠，使两个顶点 A，C 重合，折痕为 FG， AF=FC设 AF=FC=x，在 RtABF 中，根据勾股定理得： AB2+BF2=AF2，即 42+8-x2=x2，解得 x=5 CF=5，BF=8-5=3， ABF 的面积为 1234=616. 32第三部分17. （1） 在 RtBCD 中，BC=15，BD=9， CD=BC2-BD2=152-92=12在 RtADC 中，AC=20，CD=12， AD=AC2-CD2=202-122=16 AB=AD+DB=16+9=25（2） AB=25，AC=20，BC=15， AB2=252=625，AC2+BC2=202+152=625， AB2=AC2+BC2， ABC 是直角三角形18. 如图，沿 AA1 和 BB1 剪开，过点 Q 作 QMBB1 于点 M，连接 QP则 PM=8-3-2=3cm，QM=A1B1=1222=6cm，在 RtQMP 中，由勾股定理得：PQ=QM2+PM2=62+32=35cm19. 把正方体展开如图，则 AB=22+2+22=20=2520. 在 ABC 中，AC=5，BC=12，AB=13， AB2=AC2+CB2， ABC 是直角三角形， D 是 BC 的中点， CD=BD=6， 在 RtACD 中， AD=AC2+CD2=52+62=61， SABD=12BDAC=1521. （1） 将圆柱体展开，连接 AB， 底面半径 r=3 厘米， CB=1223=39 （厘米） 圆柱的高 h=12 厘米，即 AC=12 厘米 AB=AC2+CB2=122+92=15（厘米） 蚂蚁爬行的最短路程是 15 厘米（2） 当蚂蚁沿侧面爬行时，同（1）的方法： AC=3 厘米，BC=3=9（厘米）， AB=AC2+CB2=90=310 （厘米）当蚂蚁沿 AC 到上底面，再沿直径 CB 爬行时，有 AC+BC=3+6=9 （厘米）. 3109， 最短路程是 AC 到上底面，再沿直径 CB 爬行，总路程为 9 厘米（3） 在侧面，沿 AB 爬行时，s1=h2+2r2，沿 AC 经过直径 CB 时，s2=h+2r .当 s1=s2 时，h2+2r2=h+2r .整理，得 4h=2-4r，由于 取 3，所以 4h=5r .当 h=54r 时，两种爬行路程一样当 s1s2 时，h2+2r2h+2r，整理，得 4h5r，即 h54r 时，沿侧面 AB 走，路程最短 当 h=54r 时，沿侧面 AB 走和沿 AC 到 CB 走路程一样长，为 h2+9r2 或 h+2r当 h54r 时，沿侧面 AB 走路程最短，为 h2+9r2当 h10 .32. 因为 AC2+BC2=AB2，所以 AB=BC2+AC2=25+144=13 AB+BC=13+5=18答：电线杆折断前高 18m33. 3cm34. 3cm35. 由题意可知 ECA=30，ECB=60， BAC=30，ECA=CAB=30 . BCA=BAC=30 . AB=BC=20 . BCD=30， BD=10 . DC=BC2-BD2=103 .答：建筑物 CD 的高是 10336. 由折叠性质可知：DF=AD=BC=6，EF=EA，EFBD在 RtBAD 中，由勾股定理得：BD=AD2+AB2=10， BF=BD-DF， BF=10-6=4设 AE=EF=x，则 BE=8-x在 RtBEF 中，由勾股定理可知：EF2+BF2=BE2，即 x2+16=8-x2，解得