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有限元基础 复习题 有限元基础 复习题 1 有限单元法的解题步骤如何 它有限单元法的解题步骤如何 它和经典和经典 Ritz 法的主要区别是什么 法的主要区别是什么 答 解题步骤 划分单元 输入结点和单元信息 单元分析 ee NKP 整体分析 1 e n eee e KG K G 1 e n ee e PG P 引入位移边界条件得到 KaP 求解方程得到解a 对位移a结果进行有关整理 计算单元或结点的应力 应变 有限元法和经典 Ritz 法的区别 经典 Ritz 法是在整个区域内假设未知函数 适用于边界几何形状简单的情形 有限单元法 是将整个区域离散 分散成若干个单元 在单元上假设未知函数 有限单元法是单元一级的 Ritz 法 2 单元刚度矩阵和结构刚度矩阵各有什么特征 刚度矩阵单元刚度矩阵和结构刚度矩阵各有什么特征 刚度矩阵 K奇异有何物理意义 在求奇异有何物理意义 在求 解问题时如何消除奇异性 解问题时如何消除奇异性 答 单元刚度矩阵的特征 对称性 奇异性 主元恒正 平面图形相似 弹性矩阵 D 厚 度 t 相同的单元 e K相同 e K的分块子矩阵按结点号排列 每一子矩阵代表一个结点 占 两行两列 其位置与结点位置对应 整体刚度矩阵的特征 对称性 奇异性 主元恒正 稀疏性 非零元素呈带状分布 K的物理意义是任意给定结构的结点位移得到的结构结点力总体上满足力和力矩的平衡 为消除 K的奇异性 需要引入边界条件 至少需给出能限制刚体位移的约束条件 3 列式说明乘大数法引入给定位移边界条件的原理 列式说明乘大数法引入给定位移边界条件的原理 答 设 jj aa 则将 jjjj kk jjjj Pk a 即 1112112 11 2122222 22 122 2 12 222 2 22 jn jn jjjjj n jjjj nnnjn n nn kkkkaP kkkkaP kkkkak a kkkkaP 15 10 修改后的第j个方程为 1 12222jjjjjj nnjjj k ak ak akak a 由于 得 jjjjjj k ak a 所以 jj aa 对于多个给定位移 12 l jc cc 时 则按序将每个给定位移都作上述修正 得到全部进 行修正后的 K 和 P 然后解方程即可得到包括给定位移在内的全部结点位移值 4 何为等参数单元 为什么要引入等参数单元 何为等参数单元 为什么要引入等参数单元 答 等参变换是对单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的插值 函数进行变换 采用等参变换的单元称之为等参数单元 借助于等参数单元可以对于一般的任意几何形状的工程问题和物理问题方便地进行有限元 离散 其优点有 对单元形状的适应性强 单元特性矩阵的积分求解方便 积分限标准化 便于编制通用化程序 5 对于平面对于平面 4 4 节点 线性 和节点 线性 和 8 8 节点 二次 矩形单元 为了得到精确的刚度矩阵 需要节点 二次 矩形单元 为了得到精确的刚度矩阵 需要 多少个多少个 Gauss Gauss 积分点 说明理由 积分点 说明理由 答 对于平面 4 节点 线性 矩形单元 i N1 22 1 B DB J常数 2m 1 1 5 2 m n 因而积分点数为 2 2 矩阵 对于平面 8 节点 二次 矩形单元 i N 2222 1 B DB 22134 1 J常数 所以 4m 0 ij jj k ij k jjij kkij 14 1 2 5 22 m n 因而积分点数为 3 3 矩阵 6 总刚度矩阵总刚度矩阵 K K 的任一元素的任一元素 kij kij 的物理意义是什么 如何解释总刚度矩阵的奇异性和的物理意义是什么 如何解释总刚度矩阵的奇异性和 带状稀疏性 带状稀疏性 答 K 中元素的 ij K物理意义 当结构的第j个结点位移方向上发生单位位移 而其它结点 位移方向上位移为零时 需在第i个结点位移方向上施加的结点力大小 奇异性奇异性 K 0 力学意义是对任意给定的结点位移所得到的结构结点力总体上是满足力和 力矩的平衡 反之 给定任意满足力和力矩平衡的结点载荷 P 由于 K 的奇异性却不能解得 结构的位移a 因而结构仍可能发生任意的刚体位移 为消除 K的奇异性 结构至少需给 出能限制刚体位移的约束条件 带状稀疏性带状稀疏性 由于连续体离散为有限个单元体时 每个结点的相关单元只是围绕在该结点周 围为数甚少的几个 一个结点通过相关单元与之发生关系的相关结点也只是它周围的少数几 个 因此虽然总体单元数和结点数很多 结构刚度矩阵的阶数很高 但刚度系数中非零系数 却很少 即为总刚度矩阵的稀疏性 另外 只要结点编号是合理的 这些稀疏的非零元素将 集中在以主对角线为中心的一条带状区域内 即为总刚度矩阵的带状分布特性 7 什么是等参单元 等参单元的收敛性如何 什么是等参单元 等参单元的收敛性如何 答 等参变换是对单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的 插值函数进行变换 采用等参变换的单元称之为等参元 等参单元满足收敛性需满足两个条件 即单元必须是协调的和完备的 完备性条件 要求插 值函数中包含完全的线性项 包含常数项和一次项 协调性条件 单元边界上位移连续 相邻单元边界具有相同的结点 每一单元沿边界的坐标和未知函数采用相同的插值函数 8 对于空间对于空间 8 8 节点 线性 和节点 线性 和 2020 节点 二次 六面体单元 为了得到精确的刚度矩节点 二次 六面体单元 为了得到精确的刚度矩 阵 需要多少个阵 需要多少个 Gauss Gauss 积分点 说明理由 积分点 说明理由 答 对于空间 8 节点 线性 六面体单元 i N 1 x y z xy yz zx xyz B DB 22 1 x xy xzx y J常数 所以2m 因而积分点数为 2 2 2 矩阵 对于空间 20 节点 二次 六面体单元 i N 222333222222 1 x y z xyzxy z xy yz zx x y xyx z xzy z yzxyz B DB 4 1 x xy xzx J常数 1 1 5 2 m n 所以4m 因而积分点数为 3 3 3 矩阵 9 为什么说为什么说 3 3 节点三角形单元是常应变单元 节点三角形单元是常应变单元 答 常应变单元指的是在一个单元内的应变为常数 有限元中的常应变单元指的是线性三角 形单元 线性三角形单元的位移场为线性的 应变为位移的一阶导数 故为常数 因此称为 常应变单元 10 以平面以平面 4 4 节点双线性单元为例 说明形函数的两个重要特性 节点双线性单元为例 说明形函数的两个重要特性 答 图形见课件 2 5 矩形单元插值函数 形函数 的性质 进而验证插值函数的性质 二 二 如图所示平面问题有限元网格 每个单元如图所示平面问题有限元网格 每个单元4 个节点 每个节点个节点 每个节点2 个自由度 个自由度 1 给出适当的节点编号 使总的系数矩阵的半带宽最小 并计算半带宽的值 给出适当的节点编号 使总的系数矩阵的半带宽最小 并计算半带宽的值 2 在您的节点编号下 图中节点在您的节点编号下 图中节点A 的主对角线上的元素在总系数矩阵中的行号和列号的主对角线上的元素在总系数矩阵中的行号和列号 如何 如何 3 哪几个单元对节点哪几个单元对节点 A 的主对角线上的系数有非零贡献 的主对角线上的系数有非零贡献 4 尝试另一种节点编号 两种编号下总刚矩阵尝试另一种节点编号 两种编号下总刚矩阵中的非零元素是否相等 为什么 中的非零元素是否相等 为什么 1 答 沿短边回头编号 存储量最小 带宽的计算 1 相邻结点号码的最大差值自由度 5 1 2 12D 1 2 5 2 m n 1 1 11 4 N 2 1 11 4 N 3 1 11 4 N 4 1 11 4 N 1 0 ijjij ij N ij 4 1 1 i i N 2 答 由 得节点 A 的主对角线上的元素 11 11 k 12 12 k在总系数矩阵中的行号为 11 和 12 列号为 11 12 3 答 2 3 4 单元对 A 的主对角线上的系数有非零贡献 注意 杆件单元在每个节点上有 1 个自由度 带宽不用乘以 2 4 答 两种编号方式 非零元素相等 编号的合理化只是将非零元素的位置集中在以主对 角线为中心的一条带状区域内 但并不改变非零元素的个数 三 三 四 图示四 图示 6 节点三角形单元单位体积的重量为节点三角形单元单位体积的重量为 单元厚度为 单元厚度为 t 求单元的等效节点载荷 求单元的等效节点载荷 11 1111 12 66 12 1112 12 kk K kk 12 34 567 891011 12131415 1 2 34 567 A x y 五 五 图示图示6 节点三角形单元的节点三角形单元的142 边作用有均布侧压力边作用有均布侧压力q 单元厚度为 单元厚度为t 求单元的等效 求单元的等效 节点载荷 节点载荷 六六 如图 如图 6 节点三角形单元的节点三角形单元的 1 4 2 边 边长边 边长 l 作用有水平均布侧压 作用有水平均布侧压 q 单元厚度为 单元厚度为 t 求单元的等效节点载荷 求单元的等效节点载荷 七 图示矩形单元若采用如下的七 图示矩形单元若采用如下的插值函数插值函数 1 3 7 2 6 2 54321 xxyyxyyx 2 10 2 9 3 8 yxxyx 2 3 7 2 65 2 4321 xyxyxyx 3 10 2 9 2 8 yxyyx 试分析各自的协调性 12 分 八 八 考虑等截面轴力杆单元 题图中分别示出考虑等截面轴力杆单元 题图中分别示出 2 节点和节点和 3 节点单元体 节点单元体 x y x y 7 8 1 2 3 4 5 6 10 9 1 写出它们的位移插值函数 写出它们的位移插值函数 2 推导这两种单元体的刚度矩阵 推导这两种单元体的刚度矩阵 3 对对 3 节点单元体用静力凝聚法消去中间节点自由度 建立单元体刚度矩阵表达式 节点单元体用静力凝聚法消去中间节点自由度 建立单元体刚度矩阵表达式 解 图 a 令 1212 21 2 2 xxxxxx xxL 则有 12 1 1 11 故有 1 2 11 12 1 1 2 Nl 1 1 22 21 1 1 2 Nl 图 b 令 1212 31 2 2 xxxxxx xxL 则有 123 1 0 1 11 故有 2 23 11 1213 1 1 2 Nl 2 2 13 22 2123 1 Nl 2 12 31 3132 1 1 2 Nl 图 a 有应变矩阵 1212 2dNdNdNdNddN BLN dxdxdddxdL 000 11 2 11 TT LLL eT dNdNEA dNdNEA KB DBdxEAdxd dxdxLddL 图 b 有应变矩阵 111111 2dNdNdNdNdNdNddN BLN dxdxdxddddxdL 000 1421 2 2168 3 1814 TT LLL eT dNdNEA dNdNEA KB DBdxEAdxd dxdxLddL 11 22 33 1421 2168 3 1814 uF EA uF L uF 有 12322213 33 2168 28 16 LL uuuFuFuu EAEA 代入 1231 3 142 L uuuF EA 与 1233 3 814 L uuuF EA 消去 2 u 得 12 1 3 32 1 71 0 8 4 13 210 2 FF u EA uL FF 九 九 如图所示的平面内部三角形单元网格每节点如图所示的平面内部三角形单元网格每节点 2 个自由度 个自由度 1 用图中所给节点编号计算总刚矩阵的半带宽 2 对节点重新编号 使结构总刚矩阵的半带宽最小 并说明此时中心节点主对角线上的元 素在总刚 矩阵中的行号和列号 3 是否所有单元对中心节点主对角线上的元素都有非零贡献 4 两种编号下 结构总刚矩阵中的非零元素是否相等 为什么 解 半带宽 相邻结点号码的最大差值 1 自由度 9 1 216 中心节点元素编号为 5 其余元素编号顺时针依次编写为 1 4 6 9 此时中心节点对应主 对角线上的元素 9 9 K 10 10 K在总刚度矩阵中的行号 列号分别为第 9 行和第 9 列 第 10 行和第 10 列 是 由 于 8 个 三 角 型 单 元 均 有 一 个 节 点 是 中 心 节 点 主 对 角 线 上 元 素 有 12345 5555555555 KKKKK 678 555555 KKK均不为零 故所有单元对主对角线上元素都有非零贡 献 两种编号方式 非零元素相等 编号的合理化只是将非零元素的位置集中在以主对角线 为中心的一条带状区域内 但并不改变非零元素的个数 十十 3 节点三角形单元的节点三角形单元的jm 边作用有分布侧压力 如图示 单元厚度为边作用有分布侧压力 如图示 单元厚度为t 求单元的等 求单元的等 效节点载荷 效节点载荷 解 如图梯形分布力可以分解成为一个三角形分布力和一个均匀分布力 然后叠加 参加课 本 P68 页或者课件 易知 均匀分布部分 11 1 101000 2 T e Pqlt 三角型分布部分 221 121 0000 233 T e Pqq lt 两者相加 2121 1 202000 6 T e Pltqqqq 十一 十一 对图示的矩形单元采用如下的插值函数对图示的矩形单元采用如下的插值函数 1 请分析该单元的协调性 请分析该单元的协调性 2 若将插值多项式写成若将插值多项式写成 解 解 如图所示的矩形单元若满足协调性 因为在 y 方向有三个节点 x 方向有两个节点 故 y 方向上 差值函数视 x 为常数 y 的次数至少为 3 次 x 方向上 插值函数视 y 为常数 x 的次数至少为 2 次 对比给出的方程知 该单元若采用该插值函数满足协调性 插值函数改变后 增加了一个 3 x 而由图中矩形单元知道 x 方向多项式最高次为 2 次 显然不满足协调性 十十二二 证明证明 4 节点平行四边形二维单元的雅可比矩阵是常数矩阵节点平行四边形二维单元的雅可比矩阵是常数矩阵 对于二维平行四边形有 有 44 11 3124 1122 44 33 3124 1144 ii ii ii ii xy NNNNNN xy xy x y J xy NNNNNN xy xy 7 1 等参变换下取 ii NN 而在自然坐标下不妨设该平行四边形的四边的方程分别为 0ab 0c 0ab 0c 从而知道 11 Nkabc 22 Nkabc 33 Nkabc 44 Nkabc 其中 1 1 4 k ac 2 1 4 k ac 3 1 4 k ac 4 1 4 k ac 解得四个节点的坐标 一并代入方程 7 1 得 J的四个元素均为常数 故有