（应用数学专业论文）第二类抛物型变分不等式的边界元近似.pdf

第二类抛物型变分不等式的边界元近似 摘要 摘要 本文讨论了含有不可微项的第二类抛物型变分不等式的边界元近似。首先采，h 时 间项半离散和隐格式方法将抛物型变分不等式化解为个含有不可微项的第二类椭 圆型变分不等式，给出了相应的等价单侧边值问题，并讨论了非线性不可微的混合变 分不等式解的存在唯一性，然后引入常规边界元方法和m r m 一边界元方法。对于常规 边界元方法通过引入齐次h e l m h o l t z 方程建立边界积分方程，并利用边界积分方程把 区域型第二类混合变分不等式转化为相应的边界混合变分不等式，分析了其解的存在 唯一性；对于m r m 一边界元方法则是采用m r m ( 多重互易方法) 方法将等价单侧边值问 题化解为m r m 一边界混合变分不等式，并给出了m r m - 边界混合变分不等式解的存在唯 一性。采用i e 则化方法处理后给出了该边界混合变分不等式的两种数值方法。一是利 用等价非线性变分方程给出了迭代方法讨论了迭代解的收敛性。另一个是通过引入变 量将原边界混合变分不等式化解为标准的凸极值问题，利用标准凸极值方法可以求 解。最后给出了解的误差估计。为使用边界元方法数值求解提供了理论依据。 关键词 抛物型变分不等式，混合边界变分不等式，常规边界元方法，m r 方法 作者：彭人萍 指导教师：丁睿 丝三耋丝竺型銮坌至竺塞塑望墅垂望型旦坚竺! t h e b o u n d a r y e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n o ft h ep a r a b o l i c v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e so f t h es e c o n dk i n d a b s t r a c t i nt h i s p a p e r , i t d i s c u s st h eb o u n d a r ye l e m e n ta p p r o x i m a t i o no ft h ep a r a b o l i c v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s w i t hn o n d i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o no ft h es e c o n dk i n df i r s t ，t h e p a r a b o l i c v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s o ft h es e c o n dk i n dc a nb et u r n e di n t o a l l e l l i p t i c v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t yb yu s i n g s e m i d i s c r e t i z a t i o na n d i m p l i c i t m e t h o di n t i m e ，i t s c o r r e s p o n d i n ge q u a l e n tu n i l n n e r a lb o u n d a r yp r o b l e ma r eg i v e n ；t h e nt h e e x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s sf o rt h es o l u t i o no f n o n l i n e a ri n d i f f e r e n t i a b l em i x e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t ya r e d i s c u s s e dt h e nt h en o r m a l b o u n d a r ye l e m e n t m e t h o da n di v l r m b o u n d a r ye l e m e n t m e t h o df i r ei n t r o d u c e d r e s p e c t i v e l y f o rt h en o r m a l b o u n d a r y e l e m e n t m e t h o d ，b y i n t r o d u c i n gh o m o g e n e o u sh e l m h o l t ze q u a t i o n , i te s t a b l i s hab o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n w h i c hc a nt u r nt h ed o m a i np r o b l e mi n t oi t s c o r r e s p o n d i n gb o u n d a r ym i x e dv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y , t h ee x i s t e n s ea n du n i q u e s so f t h es o l u t i o na g eo b t a i n e d f o rt h em r m m e t h o d ， i tt u r nt h eu n i l a t e r a l b o u n d a r yp r o b l e m i n t oa l l m r m - b o u n d a r y m i x e dv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y i t s c o r r e s p o n d i n gb o u n d a r y v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y a n dt h ee x i g e n c ea n d u n i q u e n e s sa r eg i v e na p p l y i n gr e g u l a r i z a t i o n ，t w ok i n d so fn u m e r i c a lm e t h o d sf o rt h e r e g u l a r i z e dp r o b l e ma r ep r e s e n t e d f i r s ti st h ec o n v e r g e n c eo f t h ei t e r a t i v em e t h o df o ri t s e q u i v a l e n tn o n l i n e a rb o u n d a r yv a r i a t i o n a le q u a t i o n s e c o n d ，i n t r o d u c i n gt h e t r a n s f o r m a t i o n t h em i x e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yi sr e d u c e dt oas t a n d a r dc o n v e xo p t i m i z a t i o np r o b l e m ，i t c a nb es o l v e d b ya n y s t a n d a r dm e t h o d so fc o n v e xo p t i m i z a t i o n f i n a l l y , t h e e r r o r e s t i m a t i o no ft h es o l u t i o na r eg i v e n t h i sp r o v i d e st h et h e o r e t i c a lb a s i sf o ru s i n gb o u n d a r y e l e m e n tm e t h o dt os o l v et h em i x e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y k e yw o r d s ：p a r a b o l i c v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，m i x e db o u n d a r yv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ， n o r m a lb o u n d a r ym e t h o d ，m r m m e t h o d i l w r i t t e n b yp e n gd a p i n g s u p e r v i s e db yp r o fd i n gr u i v 6 4 6 0 3 9 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容夕卜，本论文不含 其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律 责任。 研究生签名：孙篷一日 期：理：生! ! 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：堑查整i q 导师签名：王盎i d 期：型：兰：堡 划：0 业竖：竺：! ! 第二类抛物型变分不等式的边界元近似 镍一章序言 第一章序言 发展型变分不等问题在物理学、力学及工程应用中是一类非常重要的问题。已有 许多学者做了大量有效的工作，如：a l a ne b e r g e r 等提出的广义截断法“1 ；w e im i n h a n 等提出的有限元半离散和全离散数值逼近方法“；j i u h u ac h e n 等提出的正交投 影方法”1 ；a c z e k a n s k i 等在传统n e w m a r k 方法基础上提出了广义一口法“l ：g l o w j n s k i r ”3 、d u v a n tg ”1 、m o s c ou 。1 等文献中都对发展型变分不等问题提h 了一一些相关问 题和求解的方法等等。但对于本文所考虑的含有不可微项的第二类抛物型变分不等式 的研究却不多。对这类抛物型变分不等式的求解，一般对时间项半离散后，再采用有 限元离散方法“1 。或者直接用广义截断方法“1 等。这些方法均有计算量过大的缺点， 特别对于较长时间的计算。这种一个时问步长一次有限元计算的过程是难以忍受的。 本文采用文献 8 的框架。仍对时间项采用半离散格式，并利用隐格式方法将原抛物 问题化为一个椭圆问题，然后再利用等价变分方程的边界元方法，将原问题化解成为 一个边界混合变分不等式问题，从而达到降维、简化计算的目的。 全文结构如下，第二章中提出了第二类抛物型变分不等式问题与相应的等价单侧 边值问题。1 ；第三章中通过引入齐次h e l m h o l t z 方程建立边界积分方程并利用边界积 分方程把区域型第二类混合变分不等式转化为在边界上作积分的常规边界变分小等 式，并证明了相应边界变分不等式解的存在唯一性”1 ；第四章中采用m r m 方法建立了 齐次 e l m h o l t z 问题的m r m 一积分方程和边界积分方程；其次给出了玎次截断的m r m 近似解的误差估计。由此说明了相应阅题的m r m 一边界单元方法中取较小截断的合理 性：最后利用m r m 一边界积分方程把区域型第二类混合变分不等式转化为在边界上作 积分的m l 珈一边界变分不等式，并证明了m r m 一边界变分不等式解的存在唯一性”。这 样既避免了含复杂基本解的边界元方法，又保留r 边界元方法降维、计算量少的优点。 笫。仃章中讨论了边界变分不等式的数值方法。由于边界变分不等式中能量泛函爿是 非l 巴的，且含有不可微泛函项，因此本文首先采用正则化方法去掉不可微项。然后构 造，两种1 i 网的数值方法：第一种是利用可微的边界变分= i ：f ；等式的等价非线性边界变 分方程，构造了迭代方法，并证明了收敛性，第二种是将赈问题化解成为一个标准1 1 1 极值问题，第六章给出了边界元离散解的误差估计。最后一章给 i l 了本文的一些结沦。 第二：类抛物型变分不等式的边界元近似第二章抛物型变分不等式问题的转化 第二章抛物型变分不等式问题的转化 2 1 抛物型变分不等式问题 假设q 是r 2 中具有光滑边界r 的有界开区域，时间区间 0 ，t 】，其中0 0( 2 1 ) v r q 上式中f ，z c ( 【o ，】面) ，“o 矿n 雌( 力) 。 附注2 1 由文献 1 ，5 ，6 可知，对任何固定的i o ，( 2 1 ) 有唯一解。此外 “( ，f ) 呻矿是连续的，“，r ( o ， ，矿) ，并l ；l ： 。s u 。p ( 1 l 心佻z ，m ( ，创k ，) cm 2 2 变分不等式与边值问题的简化 别( 2 1 ) 采用时问项半离散的隐格j = i = 方法”1 。引进时间步i ，：，：上，址 第二类抛物型变分不等式的边界元近似第二章抛物型变分不等式问题的转化 ”= u ( x ，f ”) ，其中r = ，7 ，m = o 1 ) 。给定f ”时刻的近似解”，求1 时的解” ( 兰二，v 一“”1 ) + 西o i n + l , v _ _ m n 4 1 ) + j ( 、，) 一( ”) ( ，”，v 一”1 ) ( 2 2 ) 由文献 5 ，7 知格式( 2 2 ) 是无条件稳定的。上式可另写为； ，v _ z ，“1 ) + 古1 ，v 1 ) + - ，( v ) ( p + 瓦1 妃一“”】 亿。) 令 嘶，咖砸，v ) + 面1 ( 叫) = l v ，v 他+ ( 1 十号l ”扛= l v ”v 池榭0 “诎 ，= 于“+ 扣“，其帆2 = l + l 则( 2 3 ) 变为 a ( u 1 ，v 一“+ 1 ) + j ( v ) 一j ( u ”1 ) ( f ，v 一“+ ) 为方便起见，仍用“表示“1 = u ( x ，f 1 ) ，则( 2 3 ) 变为问题 定理2 1 问题( 2 4 ) 的解可由下面非齐次方程的单侧边值问题表征 f 一”+ 七2 梯= 厂 懈印知圳= 。 ( 2 4 ) d e q 内 ( 2 5 ) a 0 1 1 上 证明：假设”v 日满足( 2 4 ) ，由6 t e e n 公式有 j o ( - a ”x ， “皿+ 确z ( y “+ i 寨 “ ) + c 鼻0 v h 圳皿l ，( 1 玲 v 1 ， 取v = 、r + 以w 疗：( ，贝q v 矿，( 1 ，一“j ，= w l ，= 0 ，叫，= ( w + ”) 1 ，从而 凶此( 2 4 ) 式变为 工0 v h z ，归= o 以杪m溉= l 萋毗 第7 2 类抛物型变分不等式的边界元近似 第二章抛物型变分不等式问慰的转化 o ( ”+ t2 “_ 施l 触，v w e 打j ( q ) l ：式对于一w h j ( q ) 上式也成立，从而得到 f 。( 一幽+ k2 u ) w d x = 办饿，v w 月：) 从而在广义函数意义下有：一+ 2 “= f a e i n q 将上式代入到( 2 6 ) 中得： i 豪+ c 腓i i ”妞 o ，v v y ( ： 记甲= 砂日1 7 2 ( r ) l s u p p y c c r ，对于妒甲，在( 2 7 ) 中取，= 丑，旯o ，则( 2 式变为： 仲脚i 静 当 = 0h i j ，有： 所以一定有： 心，i + 等”p 9 2 _ ov 峭 廿f + 豢”p 廿ii y 静。v 删 f 裔y 幽m i j 小 v y 甲 ( 2 8 ) ( 29 ) 其隐含了映射：y 斗f 舔= 驴瓣妒出在甲中连续，由于v 在州是紧的， 于足由有界线性泛函在紧集上的保范延拓定理和( 2 9 ) 知c 。1 尝r ( r ) 及范数1 ，即 4 cs 驯习 女可酊从 第二类抛物型变分不等式的边界元近似 第二章抛物型变分不等式问题的转化 朴嚣 甜上 又【妇( 2 8 ) n j 得至0 c + 塑z # 0伽r 上 。咖 相反：若( 2 5 ) 成立，则有 鼍。一”) h “胁舢r 上，v ( 21 0 ) 在一t ，+ k2 u = f 两边用( v z ，) 作内积并利用g r e e n 公式得： 口1 1 , y - - 1 2 ) 一l ，p 一“皿一f - 曩一一“= o 利用( 2 i _ 0 ) 得： 口0 ，v 一“) + c f ，卜陋一c i _ ”陋l ，( v 一“迅 即：a ( u ，v 一”) + ，0 ) 一，0 ) 杪，v 一“) v v 矿 2 3 边值问题的简化 设瓦z i , l ( n ) 是下列齐次边值问题的弱解 i 一哥。+ t 2 托= 厂 i n q i 玩= 0 0 7 1r 因此，对于”v ，f r ( 踊，由g r e e n 公式有 叫和。，一删一i ，m 小一蚴出一l 鬻f l t 一( u - u o ) ) d ， 若”是( 2 4 ) 的弱解，则满足下列坷i 等式 a ( u ，v 一( 一吼) ) + ( v + 民) 一( ，) ( f ，v 一( “i 。) ) ，v v v 将( 2 13 ) ，( 2 1 4 ) s h j j n 得 订( t l - - 卜( ”砌州啪叫啦一f ，鲁 一( t t - u o ) ( 2 1 】) ( 2 i2 ) ( 2 13 ) ( 2 i 4 ) 令w = ，一瓦，注意玩| 厂= 0 ，则疋，+ 瓦) = 疋r 0 ) = - ，0 一瓦) = ，( w ) ，从m j 得j ：f 苎三茎丝塑型至竺至兰壅塑望墨歪堑型星三兰塑竺型兰坌至羔茎塑! ! ! ! ! 鲨 口咖，v ) + j ”，( w ) 一j r 等( v w 记h ) = l 【等w + c l w | 凼，则w 是下面变分不等式问题的解 f 求，旷，满足f n 15 ) j 口( w ，v - - w ，) h o t 一月( r ) v v v n e l l i n ( 2 4 ) 可# 9 , j n + l h n ，即边值问题( 2 1 1 ) 和变分不等式问题 众n n n n s r ( q ) 时，边值问题( 2 1 1 ) 在删( q ) 中存在唯一解 ) ，若“是( 2 1 6 ) 的解，则帮= + 弦是( 2 4 ) 的解。 与问题( 2 4 ) 相比较，( 2 1 8 ) 相当于( 2 ，4 ) 中厂= 0 的情形，据定理2 1 ，问题( 2 i s ) 等价t ) h t 齐次方程单侧问题： f 一w + 后2 w = 0 d e n 内 睁割鲍肌缸豢+ 剽叫讣。删吐心- l 7 ( 2 ，1 5 ) 和( 2 1 7 ) 的等价性与( 2 4 ) 和( 2 5 ) 的等价性证明类似。 引理2 1 若口( ，) 对称，双线性，矿一强制的，泛函j ( ) 是凸下半连续的正则函数， 且映射v _ c 、协在矿上连续，则变分问题 摩蒜卜删一。，皿 池 1 a 0 ，v 一”) + 卜) ，0 ) j 。，o ，一，皿 存在唯一的解。 引理2 2 若a ( ，) ，( ) 满足引理1 的条件，则上述变分问题等价于极小值问题 j 求“n 满足( 2 1 9 ) 1 ，( ! f ) 小) v v v 则t v ( v ) = i 1d ( 叫) + 州一矾lm = 上删， 鬻辆毗 羔三鲞塑塑型奎坌至竺塞塑望墨墨堑生 墨三童垫塑型銮坌至竺塞塑墅塑堡些 引理2 3 “”若n 是有界区域且有光滑边界r ，f r ( q ) ，则( 2 is ) 的解 “日2 ) 。 设映射v l ，f v d s 在v 上连续，则得到如下定理 定理2 2 设厂r ( n ) ，订( - ，) 是对称的，p 强制的，且，( v ) 是卜 ：连续，l i ，1 ， 不j i l p , t t t n ，则问题( 2 4 ) 在矿巾有畦一正则解“h 。池1 。 证明：由引理2 1 ，2 3 知只需验证a ( ，) ，( ) 满足引理的条件。这里 叱，) = n v - v v + 2 1 , , 2 皿 2 如+ 哆+ ( ，+ 劫v 2d x 洲； g l a ( u ，、，) 是对称，双线性的。 而_ ，( ) 事实上是矿中的一个半范，因此利用s 。h 。a r 。不等式可得 j 0 ) ( v 】p 0 一昀c 如e 础( r ) ) 肛一，化c 秘一v 。 o 的常数 可知，( ) 在矿上是l i p s c h i t z 连续的，因此疋) 是下半连续的。 容易验证，( 2 上c 卜陋，c o 是凸的，正则的。利用引理2 i ，2 3 知问题( 24 ) 在矿中有唯一正则解“h 2 ( 妫。 一 定理2 3 问题( 2 1 6 ) ( 即( 2 1 5 ) ) 有唯一解。 证明：将( 2 1 6 ) 改写融 求7 ，p 7 ，满足 1 日0 ，v 一“) 十，0 ) 施) 一。r r 藏o n t 7 v 一”协 由1 ：一f 鲁协是( 2 4 ) 中( ，。) 的特殊情形，因此由定理2 2 知( 2 ，1 6 ) 有唯解。 第二类抛物型变分不等式的边界元近似第三章边界变分币等式 3 1 边界积分方程 第三章边界变分不等式 设u 是问题( 2 ，i 6 ) 的解，注意到甜在q 内满足齐次f g l m h ( 】n z 力程 其基本解为零阶修正1 3 e s s e t 函数甄q 曲，其中，= 五肛一y j ，它满足 ；列方程 存r = 0 附近有展式 净无穷远处有展式 今 丁d 2 k o ( r ) + 掣嘲加。，毋2，毋 ) = 妻1 n + 妻”2 n n = i 】 ， h = 1 瓦p ) 2 j 争r + ，且m i m x 。p ) = o ( 3 j ) ( 3 2 ) “垆r p ) 暑昧，) 晦一 v x n ( 3 3 ) 其t 妒抄) h 啦( 厂) 是给定的函数，g , 十v x q ，1 7 x = ( 堪， ：) ，有 掣小y ，去晦， v xe f 2 。， 对_ a v ( x ) | 】有下面的引理 o n x 0 i 耻3 1 ：对于v x r ，有 掣卜砂d m t 心( r ) d s 搿胁黼) c o 吣川晦，比“1 ( 3 ，5 ) 第二类抛物型变分不等式的边界元近似 第三章边界变分不等式 d p ( j ，) a s 证明：分两步证明( 3 5 ) 式 先证明 掣：一掣一：世。( ，) 。( n ，”，) 0 1 p to v o z x 。 经计算有 a 2 k 。0 ) o y 2 出1 皇：茎! 堡巨二兰：一女：垒! 二羔! ! 望型一! 垒! 二丝! = 砂- 1 积a1 i x y 1 2 2 l z y 1 3 a k o ( r ) d rd r a 2 k o ( r ) 砂。盘。 0 2 k o ( r ) ：一t z 西，：m ： 从而由( 3 2 ) 有： 另外 儿： ( 3 6 ) d z k o ( r ) + 生垒! 二苎丛! 二丝) 型 毋2 k y 1 3 a t g ：一，：) 2d 2 k 。p )k ( x i 咒) 2d k 。) = 一一 i r y l 3 西 雨02ko(r)+丽02ko(r)oy c 3 x 一2 掣d r 一七南型d r 11自，2 苏2 2 。i z 一 t 2 f 掣+ 掣 = - k 2 k o p ) 丽o ：k o ( r ) 2 裂燃+ 麴0 ) 7 2 c d c l 蜘裟“+ 裂嘣 孙y 两： 。y l 瓠l 3 j j 。y 。y i 瓠2 “、je y ，融，“3 “ 0 咿2 k o ( _ r ) 裟螗鬻啊鬻姆鬻砖砖 上两式相加且利用( 3 7 ) _ j 得 两02 k o o ) + 鲁掣= - k z k o ( ，i 咖：) = - k2 k o 吣。，) 从m 得到( 3 ( j ) 。 ( ：j 7 ) 第二类抛物型变分不等式的边界元近似 第三章边界变分不等式 下面证明( ：3 5 ) 列v x , ，n 和单位法向量7 = ( ，吱，眩) ，将( 3 7 ) 代入剑( 3 d ) 中去得 掣书力卜掣 、 k 2 x o ( k y 1 ) c o s ( ，凡) 1 嘭 睁裂妒去，篙字呜 一去j r 幻) v 耶旷i ) 勺戒， n ( 嘲，a y e ) = 弓矗0 ，采用分部积分法得 一掣晦= 甍f r 知榔旷蝴 一丢上毒( 州骈陟剐) 砒一毒鼻郴旷枷考呶 对等式右边前两项应用g r e e n 公式，知其为零，从而得到： 掣= 丢垮妊眦 ) d s , - k 枷比心。s k ，。k v r ， 对v t c f ，仉表示x f 的单位法向量，在上式中取= 1 7 x ，注意到k 。( 计x y 1 ) 在r = k x y 1 2 0 附近的展开式，可知甄( a 卜一咖是对数奇异核，在上式中令。x ， 就得到( 3 5 ) 式。 另外，由文献 8 ，1 2 知解的表达式和边界餐“i r ，功a ? i r 应满足的积分方程： = 拟y ) c - 击k o ( ，) 屯一fw ，) 杀吣) 电，x q ( 3 8 ) 扣) 2 叫毒竹城一r 砥( ，f ) 番咖脚蚶 ( ：j9 ) 对( 3 8 ) 关于卫求方向导数，并利用( 3 q ) ，( 3 5 ) 月令丑= 婴i ，有： 第二类抛物型变分不等式的边界元近似 第三章边界变分不等式 丢j r 挚心”小c o s ( 城 l 三k 。( ，) 丑( y ) 凼， 。1 ( 7 1 1 ， 。 以：论述表明，如果n 是齐次h e l m h o l t z 方程一幽+ 青! 群= 0 的解，则在n 叶】逦 过边界量”| r 及五= 婺l ，的积分表出( 见( 3 8 ) ) ，并且其边界量“| r 及五满足边界积分 棚。 方程( 3 9 ) 和( 3 1 0 ) 。反之，若由边界积分方程组( 3 9 ) 和( 3 1 0 ) 一僻2 t a ，边界量“j 及 ， 将其代入( 3 8 ) 便可得到齐次h e l m h o l t z 方程的通解。 3 2 非线性不可微的边界变分不等式 对( 3 ) 两端乘* - u 2 ( ) ：扛h - l z ( r ) ，鼻： ，并在19 hfd s0 f ：积分，有对( 3 ) 两端乘 ( ) = ( r ) ，i ，= ，并在 ：积分，有 扣协。拯。+ 二j 、掣掰( 咖西，一肌e 姑咖。地线= 。( 3 ，z ) 令 q ，( ，a ) = f r j j k ，( ，) ( y ) ( x ) d 斑弓 ( 3 1 2 ) 6 ( 从”) = 一j i 、f 雩警o m z ) 呶晦+ 去r 甜( x m x ) 呶 ( 3 1 3 ) 则( = l 】) 可重写为； 一6 ( ，甜) + ( ， ) = ov 矗一门( r )( 3 1 4 ) x dv v v ，由q 【。| “满足一+ k 2 u = 0 得 口( ) = j o v t t v v d + 2 o ”v d x = r 五诚 ( 3 i j ) 将( 3 1 0 ) 代入( 3 1 5 ) 有 d 舡，岭= f 五翮+ 知2 谳 第二类抛物型变分不等式的边界元近似第三章边界变分不等， = r ( 采! 兰警。( ，) 晦) ，墩一t 2 l “k ( 咖。s ( r ，”功协，啦 一，r 蔷每a 试d s y + 圭r 眺 则第一个积分采用分部积分得 砌，v ) _ 埘掣掣“憾晦掣从m 如0 s ( 帆) j 7 “ ( 置i7 ) 吣) v ( x ) 呶哆一r r 渺) 训x ) d s f l s 一圭 ，五眺 记 q 。) 一鼻f 专竽掣k ( r ，出，一晕2 工正瓦p ) c 。s o 。，b - ( j ， b 。叱 则( 3 1 7 ) 可改写为： a ( u ，v ) = 窿1 ，y ) + 扫( 五，v ) ( 31 8 ) 由( 3 1 4 ) 和( 3 1 8 ) ，问题( 2 1 6 ) 可化为如下仂界蛮分不等式： 一1 o 求0 ，a ) 扩身，满足 $ j p - 一6 ，“) + d 。0 ，五) = 0v 片( r )( 3 1 9 ) a 1 0 ，v 一甜) + 6 以，、，一“) ) 一日0 ) v ，旷 定理3 ，1 边界变分不等式( 3 1 9 ) 存在唯一解。 证明：若卉是( 2 1 6 ) 的解，记“= 女l ，五= 祟l 。由前面的推导过程可知 ( “，五) 矿h( r ) 是问题( 3 1 9 ) 的解。 反之，设 ，五) 矿h( r ) 是( 3 1 9 ) 的解，则满足( 3 1 9 ) 的第一个方程。即 胁) 卜+ r 掣叫幽，一r 竹地地k 。叭2 由，z 0 ) 的任意性，有 第二类抛物型变分不等式的边界元近似第j 章边界变分不等式 扣) = f 掣嘭一i k d 哪抄坶埘z “泖 。 “ 此即( 3 9 ) 。不难看出由及五决定的函数 蛐= j ：，掣晦一脚啪( 力哆舢 在q 上满足方程a u + j | 2 “= 0 ，并目边界量z ，o ) 及丑o ) 还满足( ：j 1 0 j 。由方栉( 3 1 9 ) 的第二式有： q ，v ) ：1 f r 呶d 。f ，d 晦( y ) 氐p ) 啦， 吨一 t 2 上”o ) 瓦( 哆c 。s 魄哆) 晦 池。一鼻i a k o ( r ) v d s , d l + i 、_ ，船 将( 3 1 0 ) 代入上式，得 。，( 叩) 十b ( x ，v ) = p ，, d s 因i 在q 上满足一”+ 后2 ”= 0 ，由( 3 1 5 ) 知a ( a ，v ) = f 丑v 出 迸丽a 1 ( u ，v ) + 6 ( 五，v ) = 口( i ，1 ，) ，故 口( 霸，v i i ) h ( u ) 一h ( ，) 因此由解( 虬五) 决定的函数d 是问题( 2 1 6 ) 的解且d ，= z f ，罢i ，= 丑。 d 玎 设( ”，五) 和( ，五：) 矿x h( r ) 是( 3 t g ) 的两个解，则由它们定义的函数分别 记作女一，i ：。因它们均是( 2 ，1 6 ) 的解， 并且( “。，五；) = ( i i ，导i ，) ， 仃” f 2 2 旯：) = 。i n 等| r ) 。据定理2 3 得i z 也，从而( q ， ，) = ( “：，五。) ，【_ l | ( ： j 9 ) 的 门。 。 1 一 。7 解唯。 一 定理3 2 若令爿( 2 ，丑) = 口。( ，v ) + 6 q ，一6 ，1 1 ) + c i i ，( ，五) ，则( 3 1 9 ) 有蜘1 下等价形式的边界蛮分不等式 第二类抛物型变分不等式的边界元近似 第t 章边界变分不等式 j 求0 ，五) 伊h ( r l 满足( 3 如) 【爿0 ，丑- - u , ) 日0 ) 一i i ( v ) 且( 3 2 0 ) 存在唯解。 - 1 2 证明：先设( 虬a ) 矿( r ) 是( 3 1 9 ) 的解，将( 3 ，1 9 ) 的第式与第二式相助 l ，2十| | 2 即得( 3 2 0 ) 。因此 ， ) 矿日( r ) 是( 3 2 0 ) 的解。反之，若 ， ) 旷( r ) # 1 2 是( 3 2 0 ) 的解，即对任意v 旷，2 h( r ) ，有 a 1 ( i f ，v 一甜) + 6 ( a ，v 一“) 一6 ( 一，f ，) + 以o ( ，五) 月( ) 一h ( v ) 成立特别取v = “旷，有 一6 ( ，“) + a n ( ， ) 20 - 1 2 上式对一，日( r ) 也成立，因此有 一6 ( f ，”) + 口。，( ，五) = 0 将上式代入( 3 2 0 ) 得 v 日( r ) v a ( r ) q o f ，v 一) + 6 ( 五，v 一 ) h ( u ) 一h ( ，) v v 旷 i 2 从而( ”， ) 矿h( r ) 是( 3 1 9 ) 的解 由定理3 1 知( 3 2 0 ) 存在唯一解。 第二类抛物型变分不等式的边界元近似 第四章 非线性不可微的m r m 一边界变分登式 第四章非线性不可微的m r m 一边界变分不等式 4 + 1 m r m - 边界变分方程 咖一扣赤( 1 n r 一静i x - y l “1 封( z ) + 芝 五”；( 墨力一甜珥瓴枷晦= 五2 “艘，x q 寺“( x ) + r ， 旯( y ) z f 沁y ) 一“ ) 巧( 一y ) d s = o ，讥r ( 4 3 ) 兰州十枷掣劬) 掣城 + 善r t 圳掣0 掣地帆；r h 第二类抛物型变分不等式的边界元近似第四章非线性不可微的l v f f u m 边界变分不等式 这里( 4 4 ) 是先对( 4 2 ) 求方向导数，再令区域点趋于边界，其中含掣的奇 g y 异积分的处理和边界元方法是完全一样的( 见文献 1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ) 。 以上论述表明，如果“是齐次l l e l m h o l t z 方程一b u + 女2 “= 0 的解，则“在q 中每 点的值可通过边界量i r 及五= 豢1 r 的积分表出( 见( 4 2 ) ) ，并且其边界量 1 ，及丑满 足边界积分方程( 4 3 ) 和( 4 4 ) 。反之，若由边界积分方程组( 4 3 ) 和( 4 4 ) 斛出边界量 z ，| ，及 ，将其代入( 4 2 ) 便可得到齐次h e l m h o it z 方程的通解。 由于( 4 2 ) - ( 4 4 ) 中的无穷和在具体计算中必须截断，因而有如下关于m r m 方法 中的迭代误差估计 定理4 1 设q 是平面上具有光滑边界r 的有界区域，中是它的直径。“( x ) 是齐 次h e l m h o l t z 方程一l f + 七2 “= 0 的精确解，记 z ，”( 印2 荟胁驰，) v