（基础数学专业论文）非线性粘性方程的解的存在性和衰减性.pdf

学位论文独创性声明 y 1 7 9 5 2 8 甘 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注 和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本 人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名：毖鱼囵 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名： 苏佼丽 指导教师签名： 签名日期： 助j 口年f 月卜日 辽宁师范大学硕+ 学位论文 摘要 设q 是r ”中的具有光滑边界的有界开区域，对q 上一致有界的函数a ( x 1 0 和一 个常数p 0 ，考虑了非线性粘性方程 j “，1 9 扰盯一“+ l ：“o s ) u ( s ) d s + a ( x ) i u ，1 9 “， + g ( “) = 0v ( x ，f ) q r + ， u ( x ，f ) = 0v ( x ，f ) f r + ， u ( x ，0 夕= n o r x 夕，材，r x ，o ) = u 1 r x 夕 v x q 其中，口似，可以部分或整个区域中消失首先，利用f a e d o - g a l e r k i n 逼近方法证 明了整体弱解的存在性其次，利用扰动能量f ( f ) = e ( f ) + l ( p ( f ) + 2 x ( ，) 的估计，得到 了能量的指数衰减性 关键词：非线性粘性方程：弱解的存在性：指数衰减性 辽j 1 师范火学硕十学位论文 e xis t e n c ea n de x p o n e n tiai d e c a yo fs oiu tio n s t oan o niin e arvis c o eia s tice q u a tio n a b s t r a c t l e tqb eab o u n d e do p e nd o m a i n o fr ”w i t has m o o t hb o u n d a r y f o ra u n i f o r m l yb o u n d e df u n c t i o na ( x ) 0 0 nq ，a n dac o n s t a n tp 0 ，w ec o n s i d e rt h e n o n l i n e a rv i s c o e l a s t i ce q u a t i o n l 甜，1 9 “。一扰+ j ：肛( ，一s ) “( s ) a s + 口( x ) i 甜，1 9 ”， + g ( u ) = 0v ( x ，f ) qxr + ， 一u ( x ，f ) = 0 v ( x ，f ) fxr + ， u ( x ，0 夕= n o r x 夕，甜，( ，x ，0 = u 1 r x 夕 v x q w ew i l la l l o w 口( x ) t ov a n i s ho na n yp a r t 。f i r s t l y b a s e do nf a e d o - g a l e r k i n a p p r o x i m a t i o nm e t h o d ，t h ee x i s t e n c eo fg l o b a lw e a ks o l u t i o n si sp r o v e d s e c o n d l y ，a c c o r d i n g t ot h ee s t i m a t i o no f f ( t ) = e ( t ) + 1 p ( ，) + 2 ) c ( ，) ，a n e x p o n e n t i a ld e c a yr e s u l ti se s t a b l i s h e d k e yw o r d s ：n o n l i n e a rv i s c o e l a s t i ce q u a t i o n ：w e a ke x i s t e n c eo fs o l u t i o n s ： e x p o n e n tia ld e c a y i i i 辽宁师范人学硕十学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i i l 弓i 言1 2 预备知识及主要结论3 2 1 预备知识3 2 2 主要结论。4 3 解的存在性6 3 1 能量估计6 3 2 非线性项分析7 4 能量的指数衰减性9 参考文献19 攻读硕士学位期间发表学术论文情况一2 1 致谢2 2 一v 一 辽宁师范大学硕十学位论文 1 引言 设q 是r ”中的有界开集，对一个常数p 0 和一个在q 上一致有界的函数a ( x ) 0 ， 我们考虑了如下非线性粘性方程： 1 1 , t h a u + f p ( 阳) z x 材( s ) 幽+ 酬甜，扰， ( 1 1 ) + g ( 甜) = 0 v ( x ，r ) q r + ， u ( x ，f ) = 0 v ( x ，f ) f r + ，( 1 2 ) u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，u ，( x , o ) = “l ( z ) v x q ( 1 3 ) 许多自然现象可以用粘性方程来进行研究液体在外力的作用下流动时，分子间的内 聚力阻碍分子间的相对运动而产生一种内摩擦力液体的这种性质较粘性液体只有 在流动时才表现出粘性方程( 1 1 ) 中p 表示记忆项的核，l 材u n ，a ( x ) iu ，f 9u ，和 g ( u ) 是非线性项很多学者已经研究了与粘性方程有关的问题如c a v a c a n t i 在文献 1 中研究了方程 u t t - a u + i 。g ( t - s ) a u ( s ) d s + 口( x ) + i 甜r 材= o ，v ( x ，f ) q r + ， 在q 满足几何限制的子集上，口( x ) a o 0 ，并且 吒1 9 ( t ) p ( f ) t 2 p o ) ，t 0 ， 使得| i 训一( 。声) 足够小的条件下，作者得到了指数衰减性z u a z u a 在文献 1 9 中扩展了这 一结果，他在g = o 以及局部阻尼的条件下考虑了上述方程 在粘性引起阻尼的情况下，c a v a l c a n t i 考虑了存在性和一致衰退结果，他在文献 2 中研究了线性波动方程 lu t1 9u t t 一“一+ i 。o s ) a u ( s ) d s y a u , = o ，v ( x ，f ) o x r + ， 的整体解的存在性以及指数衰减性在源项与由装置及粘性产生的强阻尼互相竞争的 情况下，m e s s a o u d i 和t a t a r 在文献 1 6 中继续扩展结果，他们结合众所周知的扰动 方法表明整体解的存在性以及能量的指数衰减性m e s s a o u d i 在文献 1 7 中考虑了方程 z ，f ，一“+ i 。p o s ) a u ( s ) d s + au ti p “，= 6i ”r “，v ( x ，t ) q x r + ， 并且证明了对于p 施加合适的条件，如果丫 p ，具有衰减能量的解在有限时间内会破裂， 如果丫p ，解仍然存在不存在粘性项( p = 0 ) 的问题与解的存在性有关的结果也研究 了很多，例如 非线性粘性方程的解的存在性和衰减性 u 。- a u + 口i i pu t = b i ur “，v ( x ，f ) q r + b e r r i m i 在文献 3 中研究了具有非线性局部阻尼项的粘性波动方程 ， 一“+ i p ( f s ) a u ( s ) d s + 口( x ) j 坼j 9u t + 6i 甜r “= o ，v ( x ，f ) d x r + 的能量的指数衰减性在本文中，我们将研究非线性粘性方程( 1 1 ) 的弱解的存在性， 利用扰动能量的方法得到指数衰减性 本文的具体布局如下：第二部分介绍一些假设条件以及给出主要结果：第三部分 证明解的存在性：第四部分证明能量的指数衰减性 - 2 一 辽j 叫币范大学硕+ 学位论文 2 预备知识及主要结论 2 1 预备知识 本文将考虑基本空间l q ( f ) ，用u 。和表示它的范数，并用( ，) 和表示r ( q ) 的内 积和范数，符号v 和分别表示梯度和拉普拉斯算子 考虑s o b e l e v 空间明( q ) ，用( v u ，v v ) 和i i 甜吃= ( v “，v v ) 表示内积和范数，对于 2 g 2 n ( n - 2 ) 当3 ) 或者g 2 当n = l ，2 ，我们将利用嵌入磁( q ) h 口( q ) c q 表示嵌入系数，使得 i i u l l 。q i iv u l l ( 2 1 ) 首先，我们对记忆项p 和非线性项g 施加如下条件： ( h 1 ) “：r + - + r + 为有界的连续可微函数，满足p ( o ) o 并且1 一fp ( s ) d s = 1 o ； ( h 2 ) 存在常数亏，号。 o 使得对于任意的t 0 ，满足舡( f ) - l a ( f ) t 1j a ( t ) ； ( 9 1 ) 函数g ：r r 是一个非减的连续可微函数，rg ( o ) = 0 ； ( 9 2 ) 对于某一个丫o ，存在一个常数c o 满足阿( s ) 怿c ( 1 + ) 令g ( s ) = g ( f ) 西，那么从( 9 1 ) ，( 9 2 ) 可以推出存在一个正常数c 1 满足 i g ( s ) l q ( 1 + + 1 ) ： ( 2 2 ) 0 g ( s ) g ( s ) s ( 2 3 ) 其次，定义能量 即) = 雨1 m 伽笔+ 扣舢一s ) d s ) 陬v u ) 幢 + l g 彷+ 吉( p 。v “) ( ，) ， 这里 ( p 。“) ( ，) = j ：p ( f - s ) ) 一材( 堋凼 引理2 1 g r o n w a ii 引理 如果正函数z ( t ) 满足 毛a z + b ，z ( o ) = z o 其中文b o ，那么，对于f 0 - 3 - 非线性粘性方程的解的存在性和衰减性 二一一一 k ) e a t z o + 垒( p 讲一1 ) ， 口0 1 口 【z ( t ) z o + b t ， a 0 引理2 2 赫尔德不等式 设q 是r ”中的有界开子集，i e il _ p l ，岛，见o 。，其中土+ 上+ + 1 ：1 ，对于 p 、p 2p n k = 1 ，2 ，m ，l p , ( q ) ，那么 j n 删。id r 兀i i 所 引理2 3 y o u n g s 不等式 ( 1 ) 如果1 o ，c ( ) = ( e p ) ，q ( 2 ) 如果1 p ，q 0 ，k 0 ，使得方程( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的解具有指数衰减性，即 e ( t ) k e - l av t f o 非线性枯性方程的解的存在性和衰减性 3 解的存在性 在这邵分我们将用f a e d o g a l e r k i n 遇近得到万程( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的弱解，为此，用 c o 。 u = 1 , 2 ，) 表示h ：( q ) 的完备正交基，是由 c o 。) 的前，z 个向量张成的日j ( q ) 的 子空间，令 甜。( f ) = 亏，。o ， 这里u 。是下面c a u c h y 问题的解： ( 卜：o ) 1 9 材：o ) ，) + ( v “胂o ) ，v c o ) 一j ：p o s ) ( v 甜，( s ) ，v c o ) d s + j q 口( 圳“| ：，( f ) 1 9u 二( t ) c o d x + ( g ( u 。) ，c o ) = o ；v 圪 ( 3 1 ) 材。( o ) - - - - u o 。一甜o ( i n 日j ( q ) ) ； “二，( o ) = “l 。_ ”1 ( 觑 r ( q ) ) 其中u 0 m 和z f 。分别为u 。和“，在空间吒上的正交投影由常微分方程解的存在性定理可 知，存在t 0 在， 0 ，t ) 上，上述方程存在唯一解下面的估计是这个结果在整个空 间【0 ，o o ) 的延拓 3 1 能量估计 经过一个简单的计算得到 j 。g ( t s ) ( v “翩，v u 脚( s ) 油 ：三c p 。v “。c ，一兰丢c “。v c r ，+ 三f p c ，一s ，丢j v 。，1 2 凼 3 2 丢加一s ) l v u m ( ，) 1 2 幽 = ( 丢如叫出帆1 2 凼+ 胁叫丢陬1 2 凼 = l a ( t ) 0 v u m ( 邢+ ( p ( ) d l l v u ( w 凼 ( 3 3 在方程( 3 1 ) 中考虑= 甜：( f ) ，并且结合( 3 2 ) ，( 3 3 ) 得到 丢易( f ) + l 口( x ) i “：( 驯 2 出 ：丢( p ，。v ) ( ，) 一丢p ( ，) | | v u m ( t ) 1 2 o ( 3 4 ) 辽宁师范大学硕+ 学位论文 这里 啪) = 壶怕川鬟+ 圭( 1 一j ：此一s ) d s ) l l v 味f ) 1 1 2 + l g ( 胁+ 吉( p 。v ) ( f ) 利用式( 2 2 ) ，( 2 3 ) 以及不等式 t u m t ( o ) 忆+ ：l | 1 i 忆+ ：；v u 。( o ) i l i v l 。i l ，得到 l g ( ( o ) ) 出c l + c 2 h 嚼，q ，乞 o 因此，e 。( 0 ) 有界由式( 3 4 ) ，对v t 【o ，t ) 有 e m ( f ) + j ：口( x ) ( f ) i p + 2 d x d t 0 与m 无关，从而得到 1 。 b o u n d e di n r ( 【o ，】；磁( q ) ) ； 甜。 b o u n d e di n 三。( 【o ，o o ；z v + 2 ( q ) ) n e + 2 ( ( o ，o 。q ) ) ? 3 2 非线性项分析 由能量估计和( 2 1 ) 我们推出 k1 9 甜：b o u n d e di n l 2 ( 0 ，丁) ；日一( q ) ) ( 3 6 ) 由弱拓扑的紧性，存在材。的一个子序列“u 和一个函数材使得 材。一甜w e a k s t a ri n p ( o ，丁) ；磁( q ) ) ： ( 3 7 ) 甜。，一甜7 w e a ks t a ri n r ( 【0 ，t ) ；l p + 2 ( q ) ) n 露+ 2 ( ( 0 ，丁) q ) ： ( 3 8 ) i ”：1 9u ：刊1 t 1 9 “w e a k s t a ri n r ( 【o ，丁) ；h - 1 ( q ) ) ( 3 9 ) 另一方面，根据a u b i n l i o n s 定理可得存在甜。的一个子序列，我们仍然用”“来表 示，使得 u 。j 材a e i nq ( 0 ，t ) ( 3 1 0 ) 应用( 9 1 ) ( 9 2 ) 和( 2 3 ) 有g ( u ) 有界，因此由式( 3 1 0 ) 得到 g ( u 。) j g ( u ) a e i nq ( 0 ，t ) ( 3 1 1 ) 任取紧支集包含在( 0 ，t ) 中的无穷可微函数空间中的函数o ( ，) ，与式( 3 1 ) 相乘，并 且在( 0 ，厂) 中积分可以得到 一7 - 非线性粘性方程的解的存在性和衰减性 一p l + lr ( 1 甜：( f ) 1 9 “：( f ) ，) 。( ，) 西+ i o r v u , , ( f ) ，v ) 。u ) 出 一rj ：p o s ) ( v “。( s ) ，v ) 。( f ) d s d , + rl 口( x ) 卜：( f ) 1 9 材二 ) 。o ) d x d t ( 3 1 2 ) + 如( 甜。) d r ，o ) ) o ( t ) d t = 0 利用( 3 7 ) 一( 3 9 ) 和( 3 i i ) ，在方程( 3 1 2 ) 中各项取极限，所以甜( f ) 是方程( 1 1 ) 的弱 酋| 军 辽宁师范大学硕士学位论文 4 能量的指数衰减性 在这部分我们将证明方程( 3 1 ) 的解u r n 的指数曩减性，并且取材。的极限对于弱解 我们可以得到相同的结果为了方便用u 表示u 。 命题4 1 设p i 4 忑，对于拧3 存在一个只与。，e ( o ) 和p 有关的常数c 使得 方程( 1 1 ) 的解“( f ) 满足 j 二口( x ) i 材1 9 + 2 a x _ c l v 材0 2 ( 4 1 ) 证：利用嵌入公式得 l 口( x ) + 2 出c 黜口1 1 。1 1v u l l 即 钟i 口l l 。l lv 训：( 掣) 导 钟呲( 罕) 礼批i i 因此命题成立 下面我们定义函数 f ( t ) = e ( t ) + 】p u ) + 2 z o ) ， ( 4 2 ) 这里，和：是两个正的不变的数，且 抓d 2 寿n o ) i _ o 如。胁， ) c o ) = 一i n l u , ( t ) 9 o ) ( ：p ( f s ) ( “( ，) 一“( s ) ) d s ) d x 我们将要得到f ( ，) 的指数衰减性，并把这一结果与e ( ，) 联系起来得到最终结果从 ( 2 1 ) 和( 3 5 ) 我们可以推出 j 甜( ，) 噼；q + 2 o v u ( t ) l l 即q + 2 ( 等) t e ( o ) je ( ，) 所以利用y o u n g s 不等式有 i 0 有 0 【l f o ) e ( f ) a 2 f ( f ) ( 4 3 ) 下面我们将要计算f ( r ) 的微分根据方程( 1 1 ) ，我们容易得出 2 南1 ( ( p + 1 ) f ) | 9 姒吐删+ 寿1 | | 删瞄 d +p + = ( iu t ( f ) 1 9 ( f ) ，“( f ) ) + 古i i “) 嶙 d 十l 。 = ( “o ) ，材( f ) ) 一r 肛。一s ) ( “( s ) ，“o ) ) 出 一n m ) 圳w 呲) 出- ( g ( 以咖者i l 删嚼 = - 4 1v u ( 伽+ p ( 卜s ) ( v “( s ) ，v “( r ) ) 西 一n m ) ”删) d x _ ( g ( 以卅吉l i 删嚼 = 击悚，) | 瞄p + ：2 一lv u 幔+ l 踟) 胁q 肌触 - l 口( x ) i ( ，) 1 9 材，( ，) 甜( t ) d x 一( g ( “) ，“) ( 4 4 ) 在上式右端的第三项中，利用c a u c h y s c h w a r z 和y o u n g 不等式，应用命题( 4 1 ) ， 并且由j ：p ( s ) 凼rp ( s ) d s ：1 - l ，对于任意一个q o ，有 j nv u ( t ) ：l a ( t s ) v “o ) a s a x 辽宁师范大学硕十学位论文 并且 s 吉q ”( 圳2 出+ 了1l ( ：p o s ) v “( s ) 出) 2 出 专l z ，( ，) 1 2 出+ 专l ( j ：p o s ) ( iv “( s ) 一v “( f ) i + fv u ( ，) i ) 凼) 2 出 = 专l 甜( 圳2 出+ 吾l ( r p o s ) i v u ( s ) 一v “( 圳出) 2 + ( p ( ) i v “( t ) l d s ) 2 + 2 ( j ：p o s ) i v 材( s ) 一v 材o ) i 凼) ( f ：p o s ) i v “( ，) i 西) 出 = 导l ( ，) 1 2 出+ 吾 l ( ( p o s ) l v “( s ) 一v “( f ) l 幽) 2 出 + j q ( p ( ) i v 材( t ) ld s ) 2 d r + 2 l ( p ( ) iv 材( s ) - v 删幽) ( p ( ) i v 材( t ) ld s ) d x ) 吉l 甜( f ) 1 2 出+ 了t j 小j 0 tp o s ) lv u ( s ) 一v “( ，) l 出) 2 出 + n ( ：p ( ) iv ”( t ) ld s ) 2 d x + i 1 州。tp ( r s ) iv ”o ) - v u ( f ) i 凼) 2 出 + 1 1 l ( 【p o s ) i v 甜( t ) ld s ) 2 d x ) = 吾l “( 圳2 出+ 吾 ( 1 州) l ( r p ( ，一s ) i v 甜( 圳凼) 2 出 + ( 1 + 当) l ( ：p o 一圳v u ( s ) 一v “( 圳出) 2 出 吉l “( 圳2 出+ 吾 ( 1 + t 1 ) l “( 圳2 ( 【p ( ，一s ) 幽) 2 出 + ( 1 + ) l 【此叫出：此叫lv 邢) 一v 蚓2 掀 吉l “( f ) 1 2 出+ 吉( ( 1 + q ) ( 1 一，) 2 l “( f ) 1 2 出 + ( 1 + 寺) ( 1 一，) l 【p o s ) i v u ( s ) 一v “( 圳2 出出) ： ( 4 5 ) l 口( x ) i ( ，) l p ( f ) 甜( t ) a x j ! 垡丝堑竺查堡塑堑堕查垄堡塑! 塞堡堡 - - _ i - - _ - - _ - - _ _ _ - _ - i _ - - i _ _ _ _ - _ 一。 6 ，l 口( x ) ) i p + 2d x + c ( a ，) 上口( x ) f ) i p + 2 d x 6 。c l lv u ( 州+ c ( 6 。) l 口( x ) f ) i p + 2d r ： ( 4 6 ) 利用式( 2 3 ) 得 一( g ( “) ，“) 一j q g ( “) 出 结合( 4 5 ) 一( 4 7 ) ，由式( 4 4 ) 得到 击怕川鬟刈v 酬睁圭n 刚圳2 出 + 圭( 1 + t 1 ) ( 1 一矿l “( 圳2 出一l g ( “) 出 + 圭( 1 + 寺) ( 1 一，) l 【p 一s ) i v “( s ) 一v 甜o ) 1 2 承出 + 6 。c i iv u ( t ) 1 1 2 2 + c ( 8 。) l a ( x ) l 坼( f ) | p + 2d x = 击如川鬟一加畦加 + 圭( 1 + t 1 ) ( 1 一矿l “( ，) 1 2 出一l g ( “) 出 + 丢( 1 + 音) ( 1 一，) l 【p o s ) l v “( s ) 一v 材( f ) 1 2 凼出 + 6 l c l lv u ( t ) 1 1 2 2 + c ( 8 1 ) n 口( x ) f ) l p + 2d x 击帅、1 1 7 p + 2 9 + 2 + ( _ 1 + 1 2 + 三1 ( 1 州) 2 + 6 。c ) l “( ) | 2 出一l g ( ”) 出+ 圭( 1 + 音) ( 1 一项p 。v ) ( f ) + c ( 6 。) l a ( x ) f ) l p + 2 d x 在上式中取t 1 ：l 1 一，6 。= l 4 c , 得- 。 击川鬟一丢l 刚圳2 出+ c ( 6 1 ) l 酬唰m 出 + 导( p 。v 坝沪n g ( “) 出 下面我们估计x ( f ) 的微分利用方程( 1 1 ) z 。，1 0 等式 x ，o ) ：一( p + 1 ) h l u , ( t ) 1 9 “。( ，) c p o s ) ( 甜o ) 一甜( s ) ) d s d x ( 4 7 ) ( 4 8 ) 辽宁师范人学硕士学位论文 一j n b ， ) 1 9 坼o ) j ：p o s ) ( ”( f ) 一”( s ) ) d s d x 一【p ( s ) 凼n k ( f ) i p + 2d x = ( p + 1 ) 也血( f ) j ：p ( f s ) ( 材( ，) 一材( s ) ) a s a x + 上( ：p ( ) 甜( s ) 丞) ( j ：“( ) ( 甜( f ) 一甜( s ) ) d s ) d x + j 二口( x ) l 坼( f ) 1 9 坼o ) rp o s ) ( 甜o ) 一材( s ) ) a s d x + f og ( “) rp ( 卜s ) ( “( f ) 一材( s ) ) d s d x - j t u , ( t ) 1 9 ( f ) r p7 ( t - s ) ( z f ( r ) 一甜( s ) ) d s d x 一【p ( s ) 凼l k ( r ) | p + 2d x = ( p + 1 ) l 砚( 饭p ( ! 一s ) ( v “( ，) 一v 材( s ) ) d s d r l ( ( f s ) v “( s ) d s ) ( j ：o1 t ( t - s ) ( v “( r ) 一v 甜( s ) ) d s ) d x + l 口( x ) j ( f ) 1 9 ( ，) fp o s ) ( ”( f ) 一”( s ) ) d s d x + lg ( “) j ：p ( ，一s ) ( 甜o ) 一“( s ) ) a s d x - j j u , ( t ) 1 9 ( ，) rp 7 ( t - s ) ( “( f ) 一“o ) ) a s t i r 一“( s ) 出n ( r ) l p + 2d x = ( p + 1 ) f n v u ( t ) f o p ( t s ) ( v “( ，) 一v 甜o ) ) d s d r - ( p + 1 ) s n ( s op ( t s ) v “( s ) 出) ( ：p ( f s ) ( v 材( t ) - v 甜o ) ) d s ) d r + ( p + 1 ) j 二口( 力i ( ，) 1 9 o ) j ：p p s ) ( 甜( ，) 一z ，( j ) ) d s a x + ( p + 1 ) lg ( “) j ：肛( 卜s ) ( “( f ) 一甜o ) ) d s d x - j n l u , ( t ) 1 9 9 ) ：p p s ) ( “( ，) 一“p ) ) a s a x 一：p ( s ) 出n k ( f ) | p + 2d x ( 4 9 ) 下面我们估计上式右端的各项应用命题( 4 1 ) 及式( 2 2 ) ，对于任意6 0 ， 第一项是 ( p + 1 ) f 0 珊( f ) cp p s ) ( v “( f ) 一v “( s ) ) d s d x 1 卜线性粘性方程的解的存在性和衰减性 因为 故第二项是 ( p + 1 ) 6 l 阿甜( 圳2 出+ 去l “p o 一圳v u ( f ) 一v “( 驯凼) 2 出) = ( p + 1 ) 6 l 阿“( f ) 1 2d x + 石删。t 吼一s ) ( m s ) iv 甜( f ) 一v 甜( s ) 1 ) 丞) 2 ( p + 1 ) 6 q 材( ，) f 2d x + 石j n j 0 tp ( ) 出：p ( 阳) i v u ( f ) 一v “( 圳2d s a k ( p + 1 ) 6 j q “( f ) 1 2d x + 石1 l ( 1 一，) “o s ) iv “( f ) 一v “( s ) 1 2 出出 = ( p + 1 ) 8 ；n y 酬2 出+ 等( 胛堋) ： ( 4 1 0 ) l ( “o s ) v “( s ) 丞) ( p o s ) ( v 甜( f ) 一v “( s ) ) 凼) 出 6 l 峨。一s ) v u o ) d s l 2 出+ 去l 肛。一顶v “( f ) 一v “( s ) ) 出) 1 2 出 8 工。p ( t s ) ( i v “( r ) 一v “o ) l + lv 甜( od d s ) 2 d x + 去l 幔肛。一烈v “( r ) 一v “( 呦凼) 1 2 出 ( 2 8 + 古) l | ：p o s ) ( v “( r ) 一v 材( s ) ) 幽) 1 2 出 + 2 6 “”( ) v 甜( t ) d s 1 2c l x ( 2 8 + 去) ( 1 一) ( 岬姒卅2 3 ( 1 一) 2 l 瞅圳2 出， - ( p + i ) l ( i op - ( t s ) v “( s ) 凼) ( 【p ( f s ) ( v “( f ) 一v ”( s ) ) 凼) 出 ( p + 1 ) sl i od ( f s ) v “( s ) d sl z 出 + 去n i ：p ( f 一顶v u ( ，) 一v “( 呦凼) 1 2 出) ( p + 1 ) ( 2 6 + 古) ( 1 _ 7 ) ( 岬姒r ) 辽宁师范大学硕十学位论文 因为 故第三项是 因为 + ( p + 1 ) 2 6 ( 1 一妒l 阿“( f ) 1 2d x ： ( 4 1 1 ) ；n l u , ( t ) 1 9 u ) rh ( f s ) ( “o ) 一甜( s ) ) a s a x 胁( r ) h ( ，) ：“i ( ) ( p j ( ，一s ) ( 甜( f ) 一“ ) ) ) a s d x l k ( r ) 1 9 坼( f ) ( 【p ( ，一s ) 出) 三( r p o s ) i 甜( f ) 一扰( s ) 1 2a s ) j 出 6 ：“( f s ) a s l l ( 酬l p + 2 p + 2 l | ( 驯l ；+ ：+ 去l 【p o s ) l 甜( ，) 一“( s ) 1 2 丞出 o 使得 j = “( s ) 豳f 。r l ( s ) a s = v t t 。 ( 4 1 6 ) 根据( 4 2 ) ，( 4 8 ) ，( 4 1 5 ) 和( 4 1 6 ) 可得 f i ( t ) - ( 1 一1 c ( 6 。) ) j n 口( x ) i ( ，) l p 十2d x 一 ( 一( ( p + 1 ) i i 口岛) 6 ( 1 一f ) ( ( p + 2 ) e ( o ) ) 寿) 辽宁师范大学硕十学位论文 一者州俐瞄一 扣) + 等2 6 ( p + 1 ) ( 1 + 2 ( 1 _ f ) 2 + ( i - 竿) v ) 州v u ( 叫1 2 _ l l g 出 一 兰一掣_ 2 ( ( p + 1 ) ( 等懈+ 扣棚 删。鲁+ 鲁) + 警) 灿喇f ) ( 4 1 7 ) 取充分小的6 ，使得 旷( ( p + 1 ) l | 口i 剐一) ( ( p + 2 ) 砖志： 8 ( p + 1 ) ( 1 + 2 ( 1 7 ) 2 + ( 1 - f ) ( 半) 7 0 ： d + 1 乞= 警- 2 a ( p + 1 ) ( 1 + 2 ( 1 2 + ( 1 棚( 半) 7 o 取充分小的。和2 ，使得式( 4 3 ) 和( 4 1 8 ) 仍然成立，并且 1 一l c ( 6 1 ) o ； 善一丛笋一：( ( p + 1 ) ( 等+ ( 2 a + 去) ( 1 - 7 ) 刊l 口l 乙鲁+ 笠4 5 、l + 警) 。 取1 3 为式( 4 1 7 ) 右端各项系数的最小值，则，对v f “，f ( f ) 一p e ( f ) 结合式( 4 3 ) 得到 f ( f ) 一p 仅l f ( f ) ，v t 气 通过简单的积分得到f ( f ) f ( t o ) p 陋- ，v t f o 由这个不等式和式( 4 3 ) 能够得到 e ( r ) q 2 f ( f o ) p f j 。x ! ( t o - t ) , v t f o 汶就讦明了方程f 1 1 、的解的指新嘉猫件 非线性粘性方程的解的存在性和衰减性 注：函数口( x ) 在q 上一致地取0 的时候定理( 2 1 ) 的证明仍然有效也就是说方程 ( 1 1 ) 的阻尼项退化为零的情况下方程的解仍然是指数衰减 辽宁师范人学硕士学位论文 参考文献 1 c a v a l c a n t imm d o m i n g o sc a v a l c a n t ivn ，j a e x p o n e n t i a ld e c a yf o rt h es o l u t i o no f s e m i l i n e a rv i s c o e l a s t i cw a v ee q u a t i o n sw i t hl o c a l i z e dd a m p i n g ， e l e c t r o n j d i f f e r e n t i a l e q u a ti o n s ，2 0 0 2 ，4 4 ：卜1 4 2 3c a v a l c a n t imm ，d o m i n g o sc a v a l c a n t ivn ，f e r r e i r aj e x i s t e n c ea n du n i f o r md e c a y f o ran o n l i n e a rv i s c o e l a s t i ce q u a t i o nw i t hs t r o n gd a m p i n g ， m a t h m e t h a p p l s c i ，2 0 0 1 ， 2 4 ：1 0 4 3 1 0 5 3 3 b e r r i m is ， m e s s a o u d isa e x p o n e n t i a ld e c a yo fs o l u t i o n st oav i s c o e l a s t i ce q u a t i o n w i t hn o n l i n e a rl o c a l i z e dd a m p i n g ， e l e c t r o n j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，2 0 0 4 ，8 8 ：卜1 0 4 c a v a l c 趾汀imm ，o q u e n d on p f r i c t i o n a lv e r s u sv i s c o e l a s t i cd a m p i n gi nas e m i l i n e a r w a v ee q u a t i o n ，s i a nj c o n t r o lo p t i m v o l4 2 # 4 ， 2 0 0 3 ，1 3 1 0 1 3 2 4 5 - c a v a l c a n t imm ，d o m i n g o sc a v a l c a n t ivn ，p r a t e sf i l h ojs ， s o r i a n oja e x is t e n c e a n du n i f o r md e c a yr a t e sf o rv i s c o e l a s t i cp r o b l e m sw i t hn o n l i n e a rb o u n d a r yd a m p i n g ， d i f f e r e n t i a le q u a t i o