（概率论与数理统计专业论文）保险公司经济资本计算模型.pdf

摘要 摘要 经济资本是指“特定时期内，特定的风险可接受水平下，为应对不利事件 所需持有的资本”。对保险业而言，经济资本是一种全新的风险管理理念，它涵 盖了保险公司面临的全部风险，有严格的数学理论作为支撑，同时也有实践运 用的广阔前景。 本文分别介绍了“经济资本的研究背景和研究现状、经济资本的概念、经 济资本的数学模型以及计算方法”。在经济资本的数学理论方面，本文主要涉及 到了风险测度理论及经济资本的分配理论。在经济资本的实务计算方面，以假 设的一家保险公司为例，主要针对利率风险、股票价格风险和信用风险结合中 国的数据，进行了随机模拟计算，得出了相应风险的经济资本。最后考虑各种 风险之间的分散化效应，得出了总体上公司所需要的经济资本的数值。 中国保险公司在经济资本的研究及运用方面仍然处于初级阶段。本文的主 要日的在于希望通过对目前经济资本的数学理论的总结，结合中国的实际进行 实务中经济资本计算的尝试。 关键词：经济资本风险风险测度在险价值条件尾期望王氏风险测度 a b s t r a c t ab s t r a c t e c o n o m i cc a p i t a lc a l lb ed e f i n e da ss u f f i c i e n ts u r p l u st oc o v e rp o t e n t i a ll o s s e s ，a ta g i v e nr i s kt o l e r a n c el e v e l ， o v e ras p e c i f i e dt i m eh o r i z o n i ti sat o t a l l yn e w m a n a g e m e n tp r i n c i p l ef o ri n s u r a n c ei n d u s t r y e c o n o m i cc a p i t a l ，c o v e r i n ga l lr i s k s f a c e db yi n s u r a n c ec o m p a n i e s ，b e i n gs u p p o r t e db yr i g o r o u sm a t h e m a t i c a lt h e o r y , h a v e b r o a dp r o s p e c t sf o ra p p l i c a t i o ni np r a c t i c e t h i sa r t i c l eh a v ef o u rs e c t i o n s ，d e s c r i b i n gt h er e s e r c h i n gb a c k g r o u n do fe c o n o m i c c a p i t a l ，t h ed e f i n i t i o no fe c o n o m i cc a p i t a l ，t h em a t h e m a t i c a lm o d l e sa n dt h e c a l c u l a t i o no fe c o n o m i cc a p i t a l t h em a t h e m a t i c a lm o d l eo fe c o n o m i cc a p i t a l m a i n l yr e f e r st ot h er i s km e a s u r et h e o r ya n dc a p i t a la l l o c a t i o nt h e o r y a n df o ra n i n s u r a n c ec o m p a n y , w ec a l c u l a t e dt h ev a l u eo fe c o n o m i cc a p i t a lp r i m a r i l yf o ri n t e r e s t r a t er i s k , s t o c kp r i c er i s ka n dc r e d i tr i s k ，u s i n gs t o c h a s t i cs i m u l a t i o nm e t h o r d f i n a l l y , c o n s i d e r i n gt h es p r e a db e t w e e nt h er i s k s ，w e o b t a i n e dt h en e c e s s a r ye c o n o m i c c a p i t a lv a l u e t h es t u d yo fe c o n o m i cc a p i t a li ss t i l li nt h ed e v e l o p i n gs t a g ei nc h i n a t h em a i n p u r p o s eo ft h i sp a p e r i st r y i n gt oc a l c u l a t ee c o n o m i cc a p i t a li nt h ec h i n e s e c i r c u m s t a n c e s ，b a s e do nt h es u m m i n gu pt h em a t h e m a t i c a lt h e o r yo fe c o n o m i cc a p i t a l k e yw o r d s ：e c o n o m i cc a p i t a l ，r i s k ，r i s km e a s u r e ，v a l u ea tr i s k ，c t e ，w a n gr i s k m e a s u r e 南开大学学位论文使用授权书 根据南开大学关于研究生学位论文收藏和利用管理办法，我校的博士、硕士学位获 得者均须向南开大学提交本人的学位论文纸质本及相应电子版。 本人完全了解南开大学有关研究生学位论文收藏和利用的管理规定。南开大学拥有在 著作权法规定范围内的学位论文使用权，即：( 1 ) 学位获得者必须按规定提交学位论文( 包 括纸质印刷本及电子版) ，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生学位论文， 并编入南开大学博硕士学位论文全文数据库；( 2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开 的学位论文作为资料在图书馆等场所提供校内师生阅读，在校园网上提供论文目录检索、文 摘以及论文全文浏览、下载等免费信息服务；( 3 ) 根据教育部有关规定，南开大学向教育部 指定单位提交公开的学位论文；( 4 ) 学位论文作者授权学校向中国科技信息研究所和中国学 术期刊( 光盘) 电子出版社提交规定范围的学位论文及其电子版并收入相应学位论文数据库， 通过其相关网站对外进行信息服务。同时本人保留在其他媒体发表论文的权利。 非公开学位论文，保密期限内不向外提交和提供服务，解密后提交和服务同公开论文。 论文电子版提交至校图书馆网站：h t t p ：2 0 2 11 3 2 0 1 6 1 ：8 0 0 1 i n d e x h t m 。 本人承诺：本人的学位论文是在南开大学学习期间创作完成的作品，并已通过论文答辩； 提交的学位论文电子版与纸质本论文的内容一致，如因不同造成不良后果由本人自负。 本人同意遵守上述规定。本授权书签署一式两份，由研究生院和图书馆留存。 作者暨授权人签字： 2 0 年月日 南开大学研究生学位论文作者信息 论文题目 姓名 学号答辩日期年月日 论文类别博士口学历硕士口硕士专业学位口高校教师口同等学力硕士口 院系所专业 联系电话e m a i l 通信地址( 邮编) ： 备注：是否批准为非公开论文 注：本授权书适用我校授予的所有博士、硕士的学位论文。由作者填写( 一式两份) 签字后交校图书 馆，非公开学位论文须附南开大学研究生申请非公开学位论文审批表。 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 年月日 第一章引言 第一章引言 1 1 选题的背景意义 随着中国经济的持续发展，中国保险业也飞速发展，2 0 0 8 年全年保费总收入 已达9 7 8 4 1 0 亿元。但另一方面，随着金融竞争的日益激烈，保险资金投资渠道 的逐步放开，保险业面临的潜在风险点也日益增多。因此保险公司必须加强自身 风险管理，适时调整经营管理模式，变被动的风险防范为主动的风险管理。对此， 保险业应该考虑逐步采用最新的基于市场价值的经济资本管理模型，进行有效的 风险管理。经济资本所代表的是一种崭新意义的管理理念，涵盖保险公司资本管 理、产品管理、风险管理、外部信息披露等各个方面。通过对经济资本的计算和 评估，保险公司可以更加准确地衡量并管理风险，反映出公司各种资产和债务的 当前市场价值，并对公司的风险进行市场评估。经济资本管理跟风险管理息息相 关，它一方面可约束风险的数量，另一方面可以通过科学的资本配置实现公司价 值的最大化。 根据2 0 0 6 年s o a ( 北美精算协会) 和t i l l i n g h a s t ( 韬睿通能顾问公司) 的一项调 查表明，欧洲和北美的保险企业中，有6 5 的公司已经在公司或业务层面对经济 资本进行计算，有1 9 的公司计划在接下来的一年内开始计算经济资本，这一比 例数字还在不断增长。 可见，虽然对国内保险公司而言，经济资本是一个相对比较陌生的理论概念， 但是在国际范围内，特别是代表保险技术和经营理念最为成熟的欧洲和北美保险 业，经济资本己经得到普遍的认可，开始逐步应用于保险公司的经营实践中，且 其作用也日渐体现出来。 正是由于经济资本的重要性，对经济资本的数学理论研究也是风险理论研究 的重点。诸如风险测度理论及经济资本在业务单位之间的分配方法都是学者们研 究的热点。1 9 9 4 年，在险价值( v a r ) 方法诞生，由于它的简便和直观很快便被金 融机构所采用。但它是一种成熟的风险测度方法吗? 答案是否定的。由于v a r 在 理论上的缺陷，所以对于风险测度理论的研究一直在进行。 第一章引言 1 2 研究现状 经济资本概念最早出现于2 0 世纪7 0 年代。当时美国信孚银行在衡量自身经 营业绩时，为将风险状况纳入模型，提出了风险调整收益率指标。该指标的分母 就是经济资本。之后，经济资本概念随着风险量化技术的进步而得到日趋广泛的 运用，并集中于商业银行业、保险业等风险集中的领域。在公司层面上，欧美的 大部分保险公司都在尝试采用经济资本的风险管理框架，其中荷兰的i n 6 集团是 最早开展经济资本研究的公司，也是目前在经济资本应用方面做得最好的公司之 一。 在经济资本的数学理论研究方面，也取得了很多成果。在风险测度理论方面， 由a r t z e r ，d e l b a e n ，e b e r 和h e a t h 于1 9 9 9 年提出了一致性风险测度理论。在这 些理论的指导下，h a r r yp a n j e r ( 2 0 0 1 ) 等人利用符合一致性原则的风险测度t a i l v a r 研究了保险公司的风险，并为保险公司的经济资本管理提供了新的思路。在经济 资本的分配理论方面，t a s c h e 提出了利用条件尾期望( c t e ) 进行经济资本分配 的方法，p a n j e r ( 2 0 0 2 ) 在多元正态分布下得到了c t e 经济资本分配方法的封闭 解，l a n d s m a n 和v a l d e z ( 2 0 0 2 ) 则考虑了多元椭圆分布( m u l t i v a t i a t ee l l i p t i c a i ) 的情形。f u r m a n 和l a n d s m a n ( 2 0 0 5 ) 在多元伽马分布下求得了c t e 及基于c t e 的资本分配方法的解析形式，c a i 和l i ( 2 0 0 5 ) 则考虑了多元相型分布( m u l t i v a t i a t e p h a s e t y p e d i s t r i b u t i o n ) 的情形。w a n g ( 2 0 0 2 ) 提出了基于“指数倾向”( “e x p o n e n t i a l t i l t i n g ”) 方法的资本分配方法。d h a e n ee ta 1 ( 2 0 0 3 ) ，m y e r s 和r e a d ( 2 0 0 1 ) 在资本的 分配理论方面也都做了大量的工作。 2 第二章经济资本概述 第二章经济资本概述 2 1 经济资本的定义 在理论层面，经济资本是指“特定时期内，特定的风险可接受水平下，为 应对不利事件所需持有的资本”。而经济资本的具体市场含义，则随着经济资 本的具体运行环境的改变而有所不同。经济资本的使用者是每一家具体的保险 公司。各家保险公司对经济资本认识和理解程度的差异，经济资本运行的广度 和深度的取舍，经济资本量化方法和技术的不同，使得经济资本的具体含义也 有所不同。各家保险公司按照各自对经济资本的理解，来指导经济资本在本公 司的实践运用。 经济资本的计量采用的是市场价值，不同于账面价值。由于经济资本是针 对公司面临的风险对公司市值盈余的影响而要求保险公司持有的以保持一定信 用评级水平的资本，所以计算经济资本首先需要对风险进行定量描述。 2 2 经济资本所涵盖的风险 经济资本框架应包含所有的风险。风险应具备的要素包括：每种风险都存 在对其发生概率和潜在可能损失进行最佳拟合的曲线或函数，长期假设( 水平 和趋势) 的最佳估计值具有不确定性，实际发生值会围绕期望值上下波动， 在经验分析中有可能被遗漏掉的但是在现实中有可能发生的压力事件。 风险分类是计算经济资本的前提条件之一。具体而言，保险公司所面临的 与经济资本相关的风险分解为以下几类：市场风险、保险风险、业务风险( 商业 风险) 、信用风险、操作风险( 运营风险) 、流动性风险( 支付风险) 。 市场风险指因股市价格、利率、汇率等的变动而导致价值未预料到的潜在 损失的风险。因此，市场风险包括权益风险、汇率风险、利率风险以及商品风 险。利率风险是寿险公司的主要风险，它包含资产负债不匹配风险。由于金融 市场因素的变化或经济态势变化而对公司资产和负债价值产生不良影响的风 险，即为市场风险。影响价值的因素主要有利率、信用价差( 风险贴现率曲线和 3 第二章经济资本概述 无风险贴现率曲线间的距离) 、股票价格、汇率及不动产价格。相应的，市场风 险可以分解为利率风险( 由于“基准利率收益曲线”的变动而导致市场价值变 动的风险) 、信用价差风险( 信用价差的变化而导致的资产盈余的变化，信用价 差风险只针对资产计算) 、股权风险( 包括股票价格风险、私募股权和对冲基金 的风险) 、外汇汇率风险和不动产价格风险。 保险风险，是指产品定价和准备金不能有效的覆盖冈未来索赔发生的频率、 程度、时间以及退保等方面估计不准而造成的损失，主要包括：死亡率风险( 实 际死亡率同预期死亡率之间的偏差导致的未来现金流发生时间和数量差异的风 险) 、发病率风险( 由于发病率波动造成理赔水平和时间的波动而导致的风险) 、 退保率风险( 实际退保率和预期退保率的偏差对保险公司即期偿付能力的影 响) 、财产和意外风险。 业务风险( 即商业风险) ，指保险业务的未来收入不能覆盖未来发生的费用 ( 不包括那些己经被其它种类风险所包含的费用和收入项目) 。主要包括费用风 险( 实际发生的费用和预期费用之间的偏差所导致的风险) 、持续率风险( 现有 业务的实际持续率和预期持续率之间的偏差导致的风险) 、重新厘定费率的风险 ( 主要针对那些不保证费率的保险产品，预期如果未来发生不利理赔经验时调整 相应的费率，但是实际中可能不能调整，或者虽然能够调整但是调整幅度同先 前预期有一定差异，这种情况下所导致的风险) 。 信用风险，是债务人或交易对手未能履行金融工具的义务或信用等级发生 变化，影响金融工具的价值，从而给债权人或金融工具持有人带来损失的风险。 保险公司的交易对手主要包括证券发行商( 投资组合中的证券) ，交易商( 再保险 合同、衍生品合同，或存款合同) 以及中介商( 与保险公司有业务往来的保险中 介机构) 。信用风险主要包括违约风险、信用差别风险和信用迁移风险。保险公 司主要考虑在考察期内由于破产和信用级别变化导致的波动。 操作风险，是指因管理体系不完善、管理失误、欺诈以及人为错误等引起 潜在损失的风险。计算机和信息系统风险都被归入操作风险。操作风险具体被 确定为某些“一次性事件”对公司的影响( 如尼克里森事件导致巴林银行破 产，英国的养老金误导销售事件) 。这类一次性事件发生概率小，但是损失程度 大，如果采取得当的内部控制措施可以在很大程度上减轻其影响，因而难以对 其影响进行定量衡量。一般都是基于曾经发生过的重大运用风险事件的概率和 损失程度来进行评估。 4 第二章经济资本概述 流动性风险，是指保险公司的资产变现能力缺失，面临即期或到期保险义 务，没有足够的现金或现汇支付能力，折价变现资产所导致的损失。保险监管 机构对保险公司偿付能力的监管，使得保险公司的流动性风险较其他金融机构 要小很多。需要注意的是对于在海外投资或开展业务的跨国保险公司，流动性 风险需要更多关注。这主要是由于在需要的时候不能顺利收回在海外运作的资 产，以及由于当地政府的限制和监管，海外客户和交易对手不能如期有效清偿 其债务而给保险公司带来不利影响。 2 3 经济资本的运用 经济资本对风险的控制作用，主要体现在事前预防和事后补救两方面，事 前预防的重点是防止风险资产的过度扩张，根据保险公司所持有的资本来设置 承保量边界，将风险控制在预定的限度内；事后补救的措施是在精算的技术准 备金以外，通过经济资本防线，抵御非预期情况发生时所带来的损失。所以， 经济资本管理更多地从保险公司内部进行风险管理，其与监管具有同样重要的 作用，并且在保险公司的许多方面都起到一定的作用。 首先，在风险管理中，由于经济资本注重风险的模型化和定量计算，以严 密的数学理论为支撑，使风险计量更为谨慎、周密，因此，经济资本提高风险 管理的精密度。经济资本能直接反映保险公司的风险状况。它可以方便地进行 分解、合并，清楚地显示各部门和各项业务的风险水平，增强风险防范的主动 性。经济资本作为一种虚拟资本，当它在数量上接近或超过可用资本时，说明 它的风险水平接近或超过其实际承受能力，这时要么通过一些途径增加实际资 本，要么控制其风险承担行为。 第二，在产品管理时，通过经济资本风险衡量，不同产品的风险有了可比 性，再通过产品的内含价值分析或者利润分析，就可以改善有效业务部分的价 值，优化业务组合，使保险公司向价值管理方向迈进。另外，运用经济资本还 可以更加科学的对产品进行定价。 第三，经济资本是重要的业绩衡量要素。无论是股东评价保险公司业绩， 还是保险公司的绩效考核，不仅要考虑经营收益本身，还要考虑这些成果是以 何种风险为代价取得的。将这些风险转换为成本，再与所取得的收益比较，才 能科学地衡量一种产品、一个部门的业绩表现，从而精确体现出为股东创造的 5 第二章经济资本概述 价值。 第四，经济资本使资源优化配置。由于持有资本等同于抽走了业务发展资 金，保险公司必须精确计量风险和所需资本，以释放闲置资本，保证资本的最 优配置，提高保险公司效益。经济资本管理可以根据对保险公司各业务部门的 风险调整的绩效测量，在各部门间进行风险资本限额分配，并根据风险调整后 的绩效评估对经济资本的分配进行动态调整，从而保证资源最优配置，提高盈 利水平。 此外，通过对外信息披露，经济资本为分析师、信用评级机构提供了更多 的信息资料，为投资者提供了决策分析的科学数据，从而能进一步提升公司的 价值。 6 第三章经济资本的数学模型 第三章经济资本的数学模型 3 1 1 一致性风险测度 3 1 风险测度理论简述 定义3 1 1( 风险测度) 令( q ，厂，p ) 为概率空间，v 是尸一可测非负实值随 机变量( 风险) 的非空集合，称任意由v 到腿+ 的映射为风险测度。 定义3 1 2 ( 一致性风险测度) 假设p 为风险测度，对任意风险x ，y y ， 如满足下列4 个条件，则称p 为一致性风险测度。 i ) 次可加性( s u b a d d i t i v i t y ) p ( x + y ) p ( x ) + p ( y ) ii ) 单调性( m o n o t o n i c i t y l 如果在任意情况下都有x y ，那么p ( x ) p ( y ) iii ) 正奇次性( p o s i t i v eh o m o g e n e i t y ) 对任意a 0 ，均有p ( a x ) = 入p ( x ) i v ) 平移不变性( t r a n s l a t i o ni n v a r i a n c e ) 如果对所有实数o t ，有：p ( x + a ) = 烈柳+ 口 一致性风险侧度由a r t z e r , d e l b a e n ，e b e r 和h e a t h 3 1 于1 9 9 9 年提出。其中次 可加性原则表明两个风险组合在一起的总体风险水平不会超过它们单个风险水 平之和，这是必然的。除非个体风险之间完全相关，才会出现总体风险水平等于 个体风险水平之和的情况，否则由于风险的分散作用，必然会使得总体风险水平 小于个体风险水平之和。 3 1 2 与经济资本模型相关的风险测度 定义3 1 3 设x 为概率空间( q ，y - ，p ) 上的实值随机变量，其分布函数为 0 ，定义反函数巧1 ( p ) 为 巧1 ( p ) = i n f z r i 足 ) p ) 7 第三章经济资本的数学模型 定义3 1 - 4 ( v a r ) 给定风险x 和概率水平p ( o ，1 ) ，其相应的v a r 记作 l e a r x ；p j ，定义为 讹r 【x ；p 卜巧1 ( p ) 性质3 1 5v a r 满足单调性、正奇次性、平移不变性，但不满足次可加性。 定义3 1 6 ( t v a r ) 给定风险x 和概率水平p ( o ，1 ) ，相应的t v a r 记 作t v a r 【x ；p 】，定义为 t 玩rk 别= 击f 讹ri x ；s d s 性质3 1 7t v a r 是一致性风险测度。 证只证明t v a r 满足次可加性。 t v a r 卯1 - i 鳝 n + 高科( x 一口) + 】 b 腿 f 于是，对任意的0 v a r z ；p 】) ：竺! 坚垒鬯型! ! p ( x l i a r 【z ；p 】) 而1 k i 譬如 1 p ：正正+ 口鱼! 皇：! ! 翌2 1 l p 性质3 1 1 0 给定风险x ，当其分布函数巴连续时，有 t v a r x ；p 】_ c t e x ；p 】坳( o ，1 ) 定义3 1 1 1 ( 王氏风险测度) 设风险x 的分布函数为足 ) ，记 吱0 ) = 1 - f x ( z ) ，则王氏风险测度巳定义为 巳闭= 上恤g ( 点 ) 其中，夕( z ) 为一非降函数，且满足夕( o ) = o 和g ( 1 ) = 1 。 在王氏风险测度中，函数g 一般被称为畸变函数( d i s t o r t i o nf u n c t i o n ) 。 王氏风险测度与v a r 有如下关系： p g x - f o 慨夕( 乓 ) = = j f 。+ ：。”j f ，r ：x 。( 2 d g ( p ) d z = j ：v a r x ；1 一v d o ( p ) = = f ov a r x ；p d g ( 1 - p ) 性质3 1 1 2 王氏风险测度满足单调性、正奇次性、平移不变性；当畸变函 数g 为凹函数时，满足次可加性。 证( 单调性) 设风险x 0 由于 第三章经济资本的数学模型 q ( x d ) + 】- 上”( 1 一o p ) 故，当d v a r ( x ；1 一a ) 时 e ( x ，d ) 一c ( x ，v a r ( x ；1 一入) ) - - l 眦删( 1 一f a z ) 一( v a r ( z ；1 一a ) 一d n = 上眦。卜柚( 1 一足( z ) 一a 0 同理，当d 0 因此，当d = v a r ( z ；1 一a ) 时，c ( x ，d ) 达到最小，证毕。 3 3 经济资本分配理论 3 3 1 经济资本分配的一般理论 若风险测度p 满足平移不变性，记s = s e o ( s ) ，则 p ( s + ) = p s e ( s ) 】= p ( 8 ) 一e ( s ) 所以，风险s 的经济资本可以看作是风险s + 的风险测度。以下我们均假设 风险测度p 满足平移不变性，因此对经济资本的分配我们只考虑风险测度的影 响，即e c ( s ) = p ( s ) 。 设s = 五+ 五+ + 曩，用a 鼍，s 】表示分配到第k 类风险鼍的经济资 1 2 第三章经济资本的数学模型 本，我们期望4 鼍，别满足如下性质： 1 附加保费非负性( n o n n e g a t i v el o a d i n g ) a 鼍，s 】e ( 鼍) 2 无不合理的附加保费( n ou n j u s t i f i e dl o a d i n g ) 若鼍= c ( 常数) ，则a 【鼍，s 】= c 3 可加性( f u l la d d i t i o n l i t y ) 4 一致性( c o n s i s t e n c y ) v 1 ，七) ，有 其中， 必= 鼍 七 a 阪，s 】_ a s ，s 】 k = l a ，剐= a 瓯，酬 缸；a 5 不削弱性( n ou n d e r o u t ) v 【l ，后 ，有 4 鼍，剐4 必，又】， 七 其中，必= 鼍 女a 6 对称性( s y m m e t r y ) 记= l ，2 ，死 为前n 个自然数的集合，毫，+ = 一 t ，毛) ， m = 五，五，矗) c 旷，设s + = + x + + + + t ，若 a l x ，s + 】= a 【，s 】对v mc + 均成立，则必有 a 暇，s 】一a 晖，s 】 定义3 1 称满足性质4 ( 一致性) 、性质5 ( 不削弱性) 、性质6 ( 对称 性) 的资本分配方法为公允的资本分配方法 例3 3 2 ( 相对分配) 一个简单的分配方法就是相对分配，即分配到风险五 1 3 第三章经济资本的数学模型 的经济资本具有形式 a 【置，别= p ( s ；石亏 性质3 3 3 相对分配满足对称性，但不满足一致性和不削弱性。 例3 3 4 ( 协方差分配法) 设a 【五，s 】_ 入反s ) ，记r = ( 入，人，久) ，表 示分配到资本分配的权重。记x r = ( x 1 ，k ) ，其数学期望用 p r = ( “，心，心) 表示。所以，e p ) = 以。为了求得权重入，我们最小化均 方误差函数： z ( 入) = e 【 一肛) 一a ( z 一心) f r 一p ) 一a 仁一心) 】) 其中，假设矩阵w 是正定的。对a 微分并令导数为o ，我们得到 、一e 【( 茎二丝! ! 兰一u z ) 】一c o v ( x ，z ) 一_=一一一 e 【( z p z ) 2 】 v a r ( z ) i = 1 ，2 ，n 。我们观察到，实际上入的值不依赖于矩阵w 的选取。 性质3 3 5 协方差分配法是经济资本的公允分配法。 3 3 2 基于c t e 的经济资本分配理论 根据数学期望的可加性，我们很自然地根据c t e 来分配经济资本。 设s = 五+ 五+ + 鼍，其中墨，五，x 都为概率空间( q ，p ) 上的非 负随机变量( 风险) ，根据数学期望的可加性，我们有 c t e s ；p = e ( s s r 【s ；p 】) = l s 耽兄p ；p 】) k = l 因此，吲鼍i s 讹r ( s ) 】可以看作是分配到第i 类风险的经济资本。 1 4 第三章经济资本的数学模型 性质3 3 6 ( 多元正态分布) 设x = ( 墨，鼍，) ，x 一虬( p ，) ，其 中，p = ( 以，心，心) r ，= ( 巳，j ) 。，若s = 墨+ 五+ + x ，则第k 个风 险五所分配的经济资本e ( 鼍p v a r g ；p ) 由下式给出 她i s 删2 以+ 等p t e s ；卅如) 证根据正态分布的性质，我们知道 s n 0 仙8 ，0 2 n nn 其中，如= 心，= 仃幻 k = l i = 1j = l 利用条件期望的定义，我们有 其中，吒，s = 盯如 3 = 1 由全概率公式，有 她睁扣以+ 等( s 一心) e ( 鼍i s r 【s ；p 】) = 旧州e ( x ks = s ) 嵋( s l s v a r s ；p ) = 以+ 等( s 训蚓s i s 讹栅】) 2 心+ a k , s ( 、g t e s ；p 】一心) 证毕。 性质3 3 7 ( 同单调随机变量的c t e 经济资本分配) 设x = ( 墨，五，) 为同单调随机向量，且具有连续的边际分布& = p 叫。设 s = + 鼍+ + x ，则在c t e 分配方法下分配到风险鼍的经济资本就是鼍 1 5 第三章经济资本的数学模型 的条件尾期望c 阳【鼍；p 】。 证当x 为同单调随机向量时，存在随机变量z 和非降函数气，乞，乞，使得 x = 。( 气，气，气) ，因此，必有 v r s ；p 】- v a r 鼍；p 1 k = l 当边际分布为连续分布时，仇沉【鼍；p 】是p 的严格递增的函数。所以，对于 o ，1 】 上的均匀分布u 而言， 故而 证毕。 v a r 鼍；矿】 v a r 鼍；纠 k = lk = l 铮矿 p 铮v a r 【鼍；明 v a r 【鼍；p 】ljlj e ( 鼍p v a r s ；p ) = e ( v a r 鼍；u 】j 仇r ；矿】 v a r 【一；p 】) i j = l j = l = e ( v a r x k ；u v a r 【k ；刎 c a r 暇；加 = c t e x k ；p 】 3 3 3 王氏经济资本分配方法 w r a n g ( 2 0 0 2 ) 提出了基于“指数倾向”( “e x p o n e n t i a lt i l t i n g ) 方法的经济资本 分配方法。 设风险五l ，的数学期望存在，定义只【墨卅= 气。 现在考虑公司面临的风险墨，五，设s = 五+ 五+ + 曩，定义分 1 6 第三章经济资本的数学模型 配到风险x 的经济资本为a x ，s 】= 只【置，s 】一e ( 五) ，显然，可以直接得到 4 【置，别= 旦措，这种分配方法满足壹i = l a 【墨，别= 刎s ，别，符合经济 资本分配的定义。这种分配方法就被称为王氏经济资本分配法。 例3 3 8 ( 正态分布的王氏经济资本分配法) 设风险x = ( 五，五，) ， x 一以( p ，) ， 其中， p = ( 以，如，心) t ， = ( q ，j ) 。 ，若 s = 墨+ 五+ + 五，则 e s e x p ( 入s ) 】= e x p ( a # s + 寺( 入2 ) ) 似+ 入) ， e x e x p ( a s ) = e x p ( a # s + 寺( a 2 ) ) ( 肛+ 入吒，s ) 其中如，2 分别是s 的数学期望， 心= 以，2 = 以，0 o j ， i = l l ，j = l 巳，占= ，j 盯；盯j 。这样，分配到风险置的经济资本为 j = l a x ，s 】- a c r t 占 结果仅与协方差相关，因此也是公允的经济资本分配方法。 证 纠s e x p ( a s ) 】 生型： 2 志e 北2 ：竺竺耋堕! n 一学幽= = = f 一j 胄p 9 ，i 鼻 4 2 j 7 r o 。一” = e x p ( a # s + 去( 入2 ) ) ( 心+ 川) 根据正态分布的性质，( x ，s ) 仍然服从二元正态分布，由二元正态分布的 1 7 第三章经济资本的数学模型 密度函数，可得 e x e x p q s ) 】l、，j 三：丽j o 。0 j o 。0 x e 知e x p 一互丽1 ，0 一心) 2 o 7 2 p 硝( z 一以) ( s p 。) o ps 记此积分为i ，做换元变换，令 i = 让2 一心) o 。一( s 一心)移= o og ( 以+ 巳让) e a ( p s + a b v ) e x p - - 厂。e a ( p s + o s 口( t 7 灿 ，一 荆= ( 以- - o i u ) e x p - - i ( 令w = u 一只s 秽 乱一p t s t ) 】) 如如 ( 乱一j d l s 砂) 2 2 ( 1 - p 心2 ) ) z 一兰口。伽 7 2 4 1。， 一可 d u d v 2 一 = 瓜仁沁+ 吒( f 百圯j ) e x p _ 丢 2 “) 伽 注意到 和 故 叫e x p 叼1 硼2 + 衫2 ) 脚= o e e x p 一一1 2 v 2 ) 脚= 届一；铲 1 8 半 + 至厩 一打 一打 第三章经济资本的数学模型 所以 州：历乒瓦 + 巳& ) e j 1 矿 ，= 忑1 ( 以+ 咄卅 利用分部积分即可得到 ，= e x p ( a 如+ 虿1 ( 入2 ) ) + 入只，s 吒) 所以 a i x , s = 兰黼= a 以芦巳= a 巳，s 证毕。 1 9 第四章经济资本的计算 第四章经济资本的计算 在本章中，我们以虚拟的a b c 保险公司为例，结合国内的数据，对经济资 本进行计算。假设a b c 公司是一家中型保险公司，面临的主要风险是市场风险、 信用风险和保险风险。下面我们分别计算应对各种风险所需要的经济资本。值 得说明的是，由于国内相关经营数据比较缺乏，我们主要采用随机模拟的方法 对经济资本进行计算 4 1 1 利率风险 4 1 基于市场风险的经济资本评估 利率风险的定义是基准利率收益曲线的变动而导致的市场价值的变动。 保险资金主要来源于自有资本金与责任准备金。对保险公司而言，安全性 是资金运用的首要原则。为了提高资金运用的安全性，寿险公司通常只会持有 一定限度的股权类投资，而主要投资于同定收益类资产，如银行存款、政府债 券、公司债券和抵押贷款等。这类资产的市场价值对利率高度敏感且它们的期 限相对负债业务而( 寿险保单的期限一般在十年以上) 。寿险公司产品结构和资 产负债结构决定其对利率高度敏感性。 利率变动影响寿险公司的资产价值，寿险公司投资资产的市场价值会因利 率的变动而遭遇贬值的风险，但利率变动对不同形式资产的影响是不同的。 ( 一) 银行存款 对于寿险公司存放于银行的存款，利率的变化与该资产价值是成正相关的。 银行利率的下调会降低寿险公司投资在银行中的可浮动利率协议存款的回报 率。 我国保险公司有很大部分资金是以银行存款的形式存在的( 见表4 1 ) ，银行 利率的下降会引起这部分资产价值缩水。银行存款虽具有较强的流动性，安全 性也比较好，能够满足寿险公司应付赔偿支付的需要，但当银行利率下调时， 会给寿险公司带来利息损失。 第四章经济资本的计算 表4 12 0 0 3 2 0 0 8 年我国保险业资金以银行存款形式存在的情况单位：万元 年份 2 0 0 32 0 0 42 0 0 52 0 0 62 0 0 72 0 0 8 银行存款 4 5 4 9 6 6 8 34 9 6 8 7 8 3 95 2 41 4 3 0 75 9 8 9 0 9 6 86 5 1 6 2 5 8 88 0 8 7 5 5 0 9 资产总额 9 1 2 2 8 3 9 2l l8 5 3 5 4 6 51 5 2 2 5 9 6 8 l1 9 7 3 1 3 2 1 82 9 0 0 3 9 2 0 93 3 4 1 8 4 3 8 7 占比4 9 8 4 1 9 2 3 4 4 2 3 0 3 5 2 2 4 7 2 4 2 0 资料来源：中国保监会：保险公司经营数据统计，2 0 0 3 年一2 0 0 8 年 ( 二) 债券 债券投资的总报酬率主要来自三个项目：债券价格收益或损失，债券利息收 入以及再投资债券利息的收入或报酬。债券的价格与利率变化呈反向变动，当 市场利率上升时，债券价格下降，长期债券的跌幅大于短期债券，中期债券的 跌幅介于两者之间。当市场利率下降时，债券利息收入所能获得的再投资利率 也随之下降。故市场利率的变动对债券投资的总报酬率有重要的影响。 国际经验表明，债券是与保险负债匹配良好，符合保险资金注重安全性和 长期投资、价值投资的理念，能够满足保险公司资产负债匹配管理和追求长期 稳定收益需要的资产类别。随着我国债券市场的快速发展和保险投资渠道的拓 宽，保险机构债券投资快速增加。 在中国，因为监管部门对寿险产品定价所采用的利率水平有严格的规定， 定价利率均不得超过2 5 ，因此，利率对负债的影响不是很大，为简化起见， 我们只针对资产的利率风险进行随机模拟，求得针对利率风险的经济资本。 常见的利率随机模型主要有： l 、v a s i c e k 模型 假设利率的变化服从o m s t e i n - u h l e n b e c k 过程，即 d r , = k ( o r ( t ) ) d t4 - a d b t 其中，k 代表利率的均值回复速度，口代表利率的长期平均水平，矿为利率 的瞬时波动率，k 、0 和盯均被假设为常数，e 是一个标准的维纳过程。根据维 纳过程的性质，可知e ( d r , ) = k ( o r ( ) ) d r ，v a r ( d r 。) = c r 2 。 2 、c i r 模型 c i r 模型假设瞬时短期利率满足如下随机微分方程： d r , = 七( 口一r ( t ) ) d t4 - 盯td _ 玩 其中，k 代表利率的均值回复速度，0 代表利率的长期平均水平，盯i 为 利率的瞬时波动率，后、0 和盯均被假设为常数，最是一个标准的维纳过程。 2 1 第四章经济资本的计算 我们采用v a s i c e k 模型进行随机模拟，考虑一年后利率的可能情景，对寿险 公司所持有的资产的市场价值( 主要是银行存款和债券) 进行评估，得到损失 的最大数额即为公司所需持有的经济资本。 选取参数值k = 0 i ，臼= o 0 5 ，盯= o 0 0 7 5 ，= o 0 4 ，我们利用e x c e l 产生的 正态分布的随机数，对不同的利率情景下以上利率敏感型资产的值进行计算， 得到9 9 9 5 置信度下的分位点，进而求得公司所需要的经济资本。 通过计算，我们分别求得里在9 9 9 5 的概率水平下，利率风险的v a r 值为 4 8 3 0 0 万元，c t e 值为5 0 8 5 0 万元。 4 1 2 股票价格风险 采用以下公式决定股票价格风险所需要的经济资本： 股票价格风险因子股票暴露头寸 该方法是建立在股票价格指数的历史波动率基础上的。 几何布朗运动( g b m ) 是股票价格变化中最为常用的模型之一，g b m 假定资 产价值的变化在时间上是不相关的，即 d s = # s d t 一- a s d z 其中，s 为股票价格变量；d z 是一个服从均值为0 、方差为d t 的正态分布 的随机变量，d z 不依赖于过去的信息，它是价格随机波动的原因；参数u 和0 代表t 时刻的瞬间漂移和波动，它们随时间变化，在简单情况下，可以假定它们 为常量，也可以假定其为变化的。 假设0 时刻股票价格为s ，t 时刻股票价格为，根据i t o 引理，我们可 以得到l n 一l n s 的分布，即 ，r 2r i n 岛一i n s 一妒【( p 一) t ，0 4 t ) 厶 根据以上原理，我们采用如下方法决定股票价格风险因子： 1 、决定适合公司的合适的股票价格指数，所选择的股票价格指数应该能尽 可能地代表公司所持有的股票组合，在本例中，我们选择上证a 股指数( 0 0 0 0 0 2 ) 。 2 、收集该指数每个交易日值的历史数据 3 、计算该指数每交易日对数回报率的平均值和标准差。将日对数回报率平 第四章经济资本的计算 均值乘以年中交易日的数目求得年平均回报率y r r e t u m ，将日对数回报率标准 差乘以一年中交易日数日的平方根，求得年标准差y r s t d v a r 。 4 、