三角形结构中的一个证题系统

三角形结构中的一个解题系统 陶平生在初等不等式的范围内，有许多是涉及三角形内角函数关系的不等式。对于这类问题，传统的做法通常是“化杂为弦”，并借助正余弦定理或海伦公式将其归结为边的度量关系来解证。由于其变元受三角形条件约束，处理起来不甚方便。以下从一个基本等式出发，导出相应的运算系统，利用“易弦为切” 的方法以及这一系统的特殊转换结构，可以简便而有效地处理一系列三角形有关不等式的解证问题。一、三角形中的一个运算系统以下常设，x=，y=，z=（或者x=，y=，z=），其中A、B、C为三角形的三个内角，则有：1.1）x，y，z中至少有二个正数，并且x+y、y+z、x+z及x+y+z都是正数。事实上，当x，y，z表示半角的正切函数时，显然x，y，z都是正数。今考虑x，y，z表示余切函数的情形，由于三角形中至少有二个锐角，即x，y，z中至少有二个正数，并且x+y= +=+=0。同理有y+z0，x+z0。又将这三式相加得x+y+z0。1.2）这是由于，在三角形ABC中成立等式 + +=1，以及+ +=1。1.3），这只要将右端展开，并利用（1.2）式立即可得。1.4）；，。这只要利用（1.3）式立即可得。1.5） （当）只需将左端通分，并利用（1.2）式即可得到。1.6）。事实上，1.7）；。事实上，而又=。就本质而言，三角形中的所有恒等关系，皆可转化为这类代数关系，我们可根据实际需要，列出更多的等式.由于这组等式分别具有升幂降幂，化解根式，调整转换诸功能，使得将它们用于解证三角形中一类不等式时，显得十分有力。在解证不等式的过程中，最为重要的是应当进行充分的等价变形，尽量减少不等价变形，而对于必需的不等价变形，应尽可能在小范围和局部进行.三角系统中的恒等关系，在处理这类等价变形时，显得十分灵活、简便.二、若干基本不等式下面的一组不等式，对于x，y，z表示余切函数或半角的正切函数时均为适用。在解证其它不等式时，通常可化归为这些情形。2.1）证：2.2）证：由于，且为正数，故。2.3）证：如果x，y，z中只有二个正数，则，而，此时结论显然；如x，y，z都是正数，则因，故，则有2.4）证：如果x，y，z中只有二个正数，则结论显然；当x，y，z都为正数时，由于，所以2.5）证：以上诸式中，等号成立的充要条件是，即为正三角形。三、三角形中一些常规不等式的证明在中，若记x=，y=，z=，则有，等等（若记x=，y=，z=，则，等等）。我们注意到，采用“易弦为切”后，上述各式的分母均具有形如的结构，而给出的运算系统对于破解和处理这类结构非常有效。下面通过一组例子，来说明采用上述系统解证不等式的一般方法。例1 在中，证明下列不等式：1）2）3）4）证：设x=，y=，z=，则1）=2）=3）4）=例2 在中，证明：1）2）3）证：设x=，y=，z=，则：1）=2）3）例3 在中，证明：证：令x=，y=，z=，即要证：，而，故得证。例4的外接圆半径为R，面积为，证明证：由于，即要证令x=，y=，z=，即要证，也即因为，相乘得式成立，从而命题得证。例5. （Weitzenbck不等式）的边长为a，b，c，面积为，证明证：由于，即要证。令x=，y=，z=，即要证，也即，因此只要证，此为显然。例6设为正数，满足：,试求函数的最小值。（2005年全国联赛试题）解：由条件得， 即： 同理得，因为正数，据以上三式知，故以为边长，可构成一个锐角，因此，问题化为，在锐角中，求函数的最小值。令，则，且，同理，（取等号当且仅当此时，）四、典型方法与技巧下面介绍处理一些较难问题的方法，所列例题，大都取自各杂志的“问题栏”或有关论文中，但按本文给出的方法重新解证，借以说明运用本论证系统解证问题的基本技巧。1齐次化原则此法要点是，利用将所证式的各项化为齐次。运用上述系统解题，齐次化思想是非常重要的，这是由于，在解证不等式，特别是较强的不等式时，须尽量避免作不等价变形（即尽量少用其它不等式过渡）。因为每作一次不等价变形，结论就可能减弱一次。而齐次化之后，有利于把各项重新组凑，使其内在的关系得以充分显现。例7试证，在中，证：令x=，y=，z=，即要证也就是，即。故只要证由于，因此只要证，即，此为显然。例8在锐角三角形ABC中，求证：证：令x=，y=，z=，则x1，y1，z1，只要证：。注意为正值，即要证：即也即再将此式各项齐次化，因为代入，只要证即，也即。此为显然，故命题得证。2系统转换法本文给出的代换系统分为二种类型，一类是“余切系统”，它由代换x=，y=，z=及其运算组成；另一类是“正切系统”，它由代换x=，y=，z=及其运算组成。所谓系统转换法就是：为证三角不等式P，可先按一个系统转换，化归为三角不等式Q，再对不等式Q采用另一转换系统。这样做，通常可降低变元的次数，避开复杂的运算。这一方法，是本文论证系统的特有方法。例9（Finsler-Hadwiger不等式）的边长为a，b，c，面积为，证明：证：整理后，即要证由于，及，即要证：令x=，y=，z=，即要证：即因此即要证，此即；再令=，=，=，即要证移项得，此为显然，故命题得证。在本例中，如果一开始就选取第二种代换，则不仅运算复杂，且难于达到目标。可见两种代换皆不可少。例10（Garfunkel-Bankoff不等式）在中，证明证：令x=，y=，z=，即要证，而=所以故等价于即再证式。当是钝角三角形或直角三角形时，结论是明显的。（事实上，设，则，此时）， 今考虑为锐角三角形的情形。式等价于：据例6，对于锐角三角形ABC,有， 即 从而命题得证。3排序、主元法对于一些较强的不等式，当引进代换，并将各项齐次化以后，有时会出现次数较高，且项数很多的情况，给配凑编组造成困难。这是可以从对称性入手（三角不等式通常都具有某种对称性），设定变元的大小顺序，并选择某一量为主元，将各项整理为该变元的多项式，则项数相对减少，配凑起来就比较容易。例11试用直接证法，再证Garfunkel-Bankoff不等式（题目参见例10）证：仍取代换x=，y=，z=，即要证 即据对称性，可设，并以x为主元，则可写成式左边=为使式两边齐次，将右边乘入因子，且按x降幂排列，得式右边=式左边-式右边=因此式成立，命题得证。例12在非钝角三角形ABC中，求证：证：令x=，y=，z=，即要证，不妨设，则=，故命题得证。4局部放缩法在利用上述系统解证不等式时，常常会遇到形如的结构，它可以分解为，并可借助均值不等式放缩，根据所证问题的不等号方向，并照顾放缩后有关项的对称性（便于利用系统），通常可采用如下四种放缩手段：1）2）3）4）最后一式当在的条件下方为有效（通常用于非钝角三角形，因为此时取正切系统后，由得，则）。同时，为使结果不致减弱太多，这种放缩应在利用系统变型化简后，对其中的部分项使用。例13在中，求证证：令x=，y=，z=，即要证两端通乘，即要证因为同理得，三式相加得：式左边故式成立，命题得证。例14的内切圆半径为r，外接圆半径为R，证明：证：令x=，y=，z=，则由故因此式等价于注意，故式等价于因为同理有，三式相加，得：即成立，故命题得证。5含有约束条件的问题的处理方法对于这类问题，只需将约束条件转化为系统中的关系式便可。例15证明：在非钝角三角形ABC中，。证：令x=，y=，z=，即要证即，也即即而因，故，所以即此式即为由立知式成立（式强于式），因此命题得证。例16已知的三边a，b，c满足条件：；，求证：证：由条件知，的每一内角均小于，令x=，y=，z=，则因，故，所以，即也即故，即，命题得证。此外，如果我们设定一个最大角，例如C为最大角，此时A，B为锐角，则约束条件可变为，所得的等式便可加强。五、几点说明1前面所列举的命题，都是以三角形的边角为变元的不等式，其实，对于含有其它变元的三角不等式、对称的代数条件不等式、齐次对称不等式，往往也能借此运算系统来解证。例17设A，B，C为的内角，证明：对任何实数u，v，w，成立不等式：证：令x=，y=，z=，即要证因为，同理有，。三式相加，式右边，故式成立，命题得证。例18设为锐角，且，证明：证：令，则，且，而同理，。三式相加，得结论成立。例19设，且求证：证：先考虑边界情况。若中有一个为0，不妨设，则化为，故，这时式成为，显然结论成立。若皆大于0，则式化为即将其看成关于的一元二次方程，有两个根、，因此可分解为，由于，故。于是，即，从而可构成一个非钝角三角形的三个内角。将的两边同加，化为令，即要证两端通乘，化为因为，所以同理，有，因此，故成立，命题得证。2关系式蕴含了三角形中的全部信息，因而有关三角形的一切关系（包括恒等关系与不等关系）都可借该系统推出。这由下面的三个命题即可得到说明。命题1设x，y，z为正数，且，则必存在三角形ABC，使x=y=，z=。 命题2设x，y，z中至少有二个正数，且，则必存在三角形ABC，使x=，y=，z=。命题3设x，y，z为正数，且，则必存在锐角三角形ABC，使x=，y=，z=。证：（此处仅证命题1）由条件得，因x，y为正数，故有锐角，使x=，y=，由此，而，故为锐角。命，则为锐角，且，所以，而。命题2与命题3的证明与此类似。借助运算系统，我们还可以简洁地导出三角形中的一系列恒等关系。例20试用系统法证明余弦定理，即：在中，有证：由于，即要证： 令x=，y=，z=，则有故成立，命题得证。3关于三角形的对偶命题由于，等均可通过，来表示，则任一个以内角三角函数为变元的函数关系式均可表达为。式中也可含有与无关的其它参变量。再设P为任一确定的度量性质（例如P可表示“”，“”，“”，“”，“”等等）。利用本论证系统，可以深刻地揭示三角关系式中的一系列同构特征。对偶命题：对任何锐角三角形ABC，关系式：都成立的充要条件是，对任何三角形，关系式成立。证：只需利用命题1、3并结合关系式立即可得。事实上，我们仍可取代换x=，y=，z=及，则对一切锐角三角形ABC，对一切满足的正数x，y，z，有对一切满足的正数，有对一切三角形，有4拓广上面介绍的论证系统，并不局限于解证三角形中的有关问题，对于许多代数不等式与恒等式问题，通过适当变形后，同样可以借助本系统来解证。例如，设是三变元x，y，z的零次齐次函数，P是任一指定的度量性质，欲证，只要证对任何，有，而对这组，