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扬州大学硕+ 学位论文3 2 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得 的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体 已经发表的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以 明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：体高 l j 签字日期：c 娴占年莎月争日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查 阅和借阅。本人授权扬州大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论 文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文 全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 、 学位论文作者签名：傣焉 签字日期： 咖荸年6 月4 日 名：乃西移 签字日期：p 广年6 月严日 陈琦：小参数微分系统的周期解及其反射醢数 小参数微分系统的周期解及其反射函数 摘要 众所周知，研究微分系统一= ( ，x ) 的解的性态，不但在微分方程理论领 域中具有很重要的价值，同时对研究客观世界中物体的运动规律也具有相当大 的实际应用价值我们知道当微分系统为自治系统，即一= x ( x ) 时，特别对 于多项式自治系统的研究已经取得了丰硕的成果而对于非自治系统 一= x ( f ，x ) 的研究成果就相对少很多即使对于周期系统x 7 = x ( f ，x ) ( 其中 x u + 2 缈，x ) = 彳( f ，x ) ) 的解的性态的研究结果也不是太多已知的经典方法有 l y a p u n o v 变换和p o i n c a r 6 映射，他们对研究周期系统具有很大的帮助，但由 于方法的局限性，实际操作就比较困难而前苏联微分方程专家m i r o n e n k o 创 建的反射函数方法给我们提供了一种新的途径来研究周期系统解的几何性态 本文是在已有文献的基础上，结合反射函数和小参数扰动方法，对微分系 统解的性态作了进一步研究在引言中，介绍了文章的研究背景、研究意义以 及创新之处在预备知识里，为后文叙述方便我们详尽地给出了反射函数、反 射矩阵、等价类、l y a p u n o v 变换的定义和基本性质叙述了反射函数与 p o i n c a r 6 映射定理以及根本矩阵这些概念工具贯穿全文始终 作为本文的主要部分，我们首先研究了线性微分系统f = p ( 江具有形如 ，( f ，x ) = 彳( 一f ) p 。2 胁彳_ 1 ( ，) x 形式的反射函数的充要条件，同时给出了尸( ，) 所具有 的形式我们还给出了以，( f ，x ) 为反射函数的所有的微分系统类的表达式，并 得出当这些微分系统为2 缈一周期系统时，其p o i n c a 托映射的表达式和他们的周 扬州大学硕士学位论文2 期解存在的判定准则，以及其解的几何性态的判据 其次，尝试将线性微分系统的结论推广到小参数的非线性系统根据已有 的结果，借助反射函数及小参数扰动方法，讨论了当g 充分小时带小参数的微 分系统= 厂( f ，五占) 的周期解的存在唯一性且给出了此周期解趋向于已知多 维非线性微分系统周期解的充分条件特别地，得到了拟线性微分系统及自治 小参数微分系统存在唯一的周期解的判定定理 最后给出两个例子验证了结论的可行性 本文推广了m u s a f i r o v 关于线性系统= p ( ，) x 具有形如，( f ，x ) = p 血p 一2 曲p m x 形式的反射函数的研究的相关结论 关键词微分系统；反射函数；反射矩阵；扰动方法；小参数；周期解 陈琦：小参数微分系统的周期解及其反射函数 3 r e n e c t i v ef u n c t i o na n dp e r i o d i cs o l u t i o no f d i f k r e n t i a ls y s t e m sw i t hs m a l lp a r a m e t e r a b s t r a c t a si sw e l lk n o 、v n ，t od i s c u s st h ep r o p e n i t i e so fs o l u t i o n so ft h ed i f k r e n t i a l e q u a t i o nx = o ，x ) i s v e r yi m p o r r t a n t n o to n l yf o rt h e t h e o r y o fo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb u ta l s of o rp r a c t i c a lr e a s o n so ft h e1 a wo fm o t i o no ft h e s e o b j e c t si nt h eo b je c t i v ew o 订d m a n yg o o dr e s u l t sh a v eb e e ng o tw h e ns y s t e mi s a u t o n o m o u ss y s t e m ，i e ，x = x ( x ) ， p a n i c u l a r l y ，p o l y n o m i a la u t o n o m o u ss y s t e m h o w e v e r ，t h er e s u l t so ft h er e s e a r c ha b o u tt h en o n a u t o n o m o u ss y s t e m = x ( f ，x ) a r ea c t u a l l yf b w ，e v e nw h e nt h es y s t e mi sp e r i o d i c ( w h e r ex + 2 国，x ) = x ( ，x ) ) t h et w oc l a s s i c a lm e t h o d sw h i c ha r el y a p u n o vt r a n s f o m a t i o na n dp o i n c a r 6 m a p p i n ga r eh e l p f u lf o rt h er e s e a r c h o fp e r i o d i cs y s t e m b u t ，i t sd i m c u l t t o m a i l i p u l a t ef o r t h em e t h o d s 1 i m i t a t i o n t h er u s s i a nm a t h e m a t i c i a n ，m i r o n e n k o ， f i r s te s t a b l i s h e dt h et h e o 巧o fr e n e c t i n gf u n c t i o nw h i c hp r o v i d e dan e ww a yt o s t u d yt h eg e o m e t r i cp r o p e n i e so ft h es o l u t i o n so f t h ep e r i o d i cs y s t e m o nt h eb a s i so fw o r kw h i c hh a sb e e nd o n e ，i nt h ep r e s e n tp a p e rw i t ht h eh e l p o fr e f e c t i n gf u n c t i o na n dt h es m a up a r a m e t e rm e t h o dw ef - u n h e rr e s e a r c h q u a l i t a t i v e b e h a v i o ro fs o l u t i o n so fd i f f e r e n t i a l s y s t e m s i ti n t r o d u c e st h e b a c k g r o u n d ，s i g n i f i c a n c ea n di n n o v a t i o no ft h i sa n i c l ei ni n t r o d u c t i o n t h e n ，t o c o n v i e n t ，i tg i v e st h ed e t a i l e dd e f i n i t i o na n dt h eb a s i cp r o p e i r t i e so ft h er e f l e c t i n g f u n c t i o n ，r e n e c t i n gm a t r i x ，e q u i v a l e n c ec l a s s e s ，a n dt h el y a p u n o vt r a n s f o m a t i o n w eg i v ead e s c r i p t i o nt h a tt h et h e o r e mo ft h er e f l e c t i n gf u n c t i o n， t h ep o i n c a r 6 扬州人学硕士学位论文4 m a p p i n g ，a n dm o n o d r o m ym a t r i x i nt h es e c t i o n ，w ei n t r o d u c et h eb a s i sc o n c e p t s a n dt o o l s ，w h i c hw i l lb eu s e dt 1 1 r o u g ht h er e s to ft h i sa r t i c l e a sa m a j o rp a r to ft h i sa n i c l e ，f i r s t l y ，w ee s t a b l i s ht h en e c e s s a r ya n ds u m c i e n t c o n d i t i o n so ft 1 1 el i n e a rd i f - f e r e n t i a l s y s t e m ，= 尸( f ) x 、v h e ni t sr e f l e c t i n gf u n c t i o n i s ，o ，x ) = 么( 一f ) p _ 2 脚彳一1o ) x a tt h es a n l et i m e ，t h ee x p r e s s i o no f p o ) i sb e e ng i v e n t o o w ea l s og i v et h ee x p r e s s i o no ft h ew h o l ec l a s so fd i f f e r e n t i a ls y s t e m sw h i c h h a v et h er e f l e c t i n gm n c t i o n sf ( 乙x ) a d d i t i o n ，w h e nt h eg i v e ns y s t e m sa r e2 一 p e r i o d i cs y s t e m s ， t h ep o i n c a r 6m a p p i n ga n dt h ec r i t e r i o no ft h ee x i s t e n c eo f p e r i o d i cs o l u t i o na r eo b t a i n e d ，a sw e l la sq u a l i t a t i v eb e h a v i o ro ft h es o l u t i o n s e c o n d l y ，o b t a i n e dr e s u l t sf o rl i n e a rd i f f e r e n t i a ls y s t e mc a i lb ee x t e n d e df o r n o n l i n e a rs y s t e m sw i t hs m a l lp a r a m e t e r a c c o r d i n gt ot h ek n o w nr e s u l t s ，w i t ht h e h e l po fr e f l e c t i n gf u n e t i o na n dt h es m a l lp a r a m e t e rm e t h o d ，w ed i s c u s ss o m e s y s t e m sw i t hs m a l lp a r a m e t e r i th a sa 1 1 0 w e dt oo b t a i nt h es u m c i e n tc o n d i t i o n so f e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ef o u o w i n gs y s t e m x 7 = 厂( f ，x ，占) i n 、h i c hp e r i o d i c s o l u t i o n sc l o s et oag i v e ns 0 1 u t i o no fm u l t i d i m e n s i o n a ln o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l s y s t e m s i np a r t i c u l a r ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fp e r i o ds o l u t i o n s o ft h eq u a s i l i n e a rs y s t e ma n dt h ea u t o n o m o u sd i f f e r e n t i a l s y s t e md e p e n d i n gf r o m s m a l lp a l r a m e t e r f i n a l l y ，o b t a i n e dr e s u l t sa r ei l l u s t r a t e db yt w oe x a m p l e s i nt h i sp a p e r ，w ee x t e n dt h er e l a t e dc o n c l u s i o n so fm u s a f i r o vo nt h a tt h el i n e a r s y s t e mx 7 = p 0 ) x w h o s er e n e c t i n gf u n c t i o nh a st h ef o mf ( f ，x ) = p m p - 2 成p 月x k e y w o r d sd i f f e r e n t i a ls y s t e m ； r e n e c t i n gf u n c t i o n ；r e f l e c t i n gm a t r i x ； p e r t u r b a t i o nm e t h o d ； s m a l lp a r a m e t e r ； p e r i o d i cs 0 1 u t i o n 陈琦：小参数微分系统的周期解及其反射函数5 第一章引言 众所周知，客观世界中很多物体的运动方程都可以用微分系统 x = x o ，x ) ，f 尺，x 1 = ( 五，而，) r “ ( 1 1 ) 来描述，而研究这些物体的运动规律归结为研究系统( 1 1 ) 的解的性态，特别地， 对于二次多项式微分系统周期解的研究已经取得了若干好成果1 。5 1 而对于一 般的非自治微分系统解的性态的研究成果相对较少，甚至对于特殊的周期微分 系统要研究其解的性态也非常困难而当( 1 1 ) 为周期系统时，即 x ( f + 2 缈，x ) = x ( f ，x ) ( 彩 0 ，( ，x ) r h ”) ， 我们知道研究其解的性态有两种经典的方法，一是通过l y a p u n o v 变换6 州： 另一个就是p o i n c a r 6 映射【润，但是这两种方法都紧密依赖于基解矩阵或通解 表达式，而在一般情况下，这些却很难实现也就是说p o i n c a 珀映射和 l y a p u n o v 方法实际应用起来比较困难，这就促使我们寻找新的方法来解决问 题 1 9 8 0 年前苏联微分方程专家m i r o n e l l l 【o 在文 9 】中首先提出了反射函数的 概念，1 9 8 6 年出版了第一部反射函数理论专著 1 0 该方法的好处在于，即使微 分系统( 1 1 ) 为不可积系统，我们也能通过反射函数法来建立( 1 1 ) 的p o i n c a r 6 映 射，从而达到研究周期系统解的性态的目的 利用反射函数研究微分系统的解的性态是一个新课题，虽然涉足这一领域 的人不多，但也取得了一些丰富而深刻的研究成果9 4 3 1 m i r o n e n k o 【9 。2 0 1 首先利 用反射函数理论研究了微分系统( 1 1 ) 的积分流形的对称性、奇偶性、嵌入系统 的妒- 解和奇偶等价性及其它几何性质在文【1 0 】中他对r i c c a t i 方程进行了深 扬州大学硕士学位论文 6 入研究，并得出了其反射函数为一次分式函数，同时建立了其周期解存在稳定 的充要条件他研究了二阶微分系统具有变量分离的反射函数的充要条件 【1 7 】，以及如何判定一个系统为简单系统1 8 1 在文献【1 9 】中他还将反射函数的 概念推广到偏微分系统、函数族及扰动系统从而可以更广泛地应用反射函数 理论来研究这些微分系统解的性态 a 1 i s e v i c h 【1 9 2 s 1 、v e r e s o v i c h 【2 4 - 2 5 】、d o b l o c s k e y a 【捌等给出了微分系统具 有线性和三角型等特殊类型的反射函数的充要条件，从而得到了这些周期系统 周期解的个数以及稳定性的判定定理周正新2 7 。4 0 1 研究了二次多项式微分系 统 【x = 口l ) x + 口2 0 ) y + 口3 0 ) x 2 + 畋o ) + 口5 0 ) y 2 ， 【) ，7 = 6 1 ( f ) x + 如o ) y + 2 j 3 ) x 2 + 6 4 0 ) 砂+ 良o ) y 2 及更一般的多项式微分系统 f 工= ( ，石) + q ( ，z ) y + 色p ，x ) j ，2 ， 【y 7 = 6 0 0 ，x ) + 轨o ，x ) j ，+ 6 2 0 ，z ) y 2 具有线性的反射函数，以及第一分量与y 无关或满足关系式 鼻2 0 ，z ，y ) + 碍，x ，y ) = 口2 ) ( x 2 + 夕2 ) 等的反射函数的充要条件，以及当该系统为周期系统时其周期解的个数及稳定 性态的判定定理她还研究了疗维非线性微分系统，= 彳( ，) 石+ r ( f ，z ) 具有满足 l lf ( f ，x ) j p 口( ，) i lzlj 的反射函数的充要条件，给出了当该系统为周期系统时其周 期解的个数及稳定性态的判据她在文【3 0 中利用文 1 9 】的知识用，z 维线性系 统，= 一二4 ( f 虹解的性态判定了刀维忉阶系统j f ”+ 4 0 ) 工”1 + + 4 | ( f 冷= o ，卵 解的性态f 3 们另外她还讨论了微分系统之间的等价性【3 5 刁7 1 m u s a f i r o v 【4 1 4 3 】给出了微分系统具有指数乘积类型的线性反射函数的充要 条件特别地，在文 4 1 - 4 2 中讨论了微分系统，= 尸( f ) x 具有形如 陈琦：小参数微分系统的周期解及其反射函数 7 f ( f ) = e m e - 2 研p 爿及，( f ) = p 即) 一丹p 爿形式的反射矩阵的充要条件，并给出这类 微分系统存在周期解的充要条件 利用反射函数理论研究微分系统解的性态虽然是创建不久的常微分方程的 一个新分支，但是它为研究( 1 1 ) 的周期解的存在性及稳定性开辟了又一条新的 道路目前反射函数的概念已经从常微分方程推广到偏微分方程，专家预测可 推广到时滞方程，差分方程及泛函微分方程等领域，还可渗透到其它领域生成 新的交叉学科本人在这篇文章中综合反射函数和小参数扰动方法将文 4 1 4 2 作了进一步推广，研究一类具有线性反射函数f ( ，x ) = 么( 一f ) p - 2 历4 。1 ( f ) x 的微分 系统得到系统，= 尸( f ) x 具有更一般形式的反射矩阵f ( f ) = 彳( 一，弦- 2 研么_ 1 ( ，) 的 充要条件，同时给出了尸( ，) 的表示形式。给出以f ( ，x ) = 4 ( 一f ) p 2 历么- 1 ( f ) x 为反 射函数的所有微分系统类，得到了当这些微分系统为周期系统时，其p o i n c a 砖 映射的表达式以及其周期解存在的判定定理和其解的奇偶性的判据另外还结 合小参数法，给出了带小参数的微分系统存在唯一周期解的判定定理本文推 广了m u s a n r o v 在文 4 2 】中关于线性系统= 尸( ，) x 具有形如f ( f ) = p 加p _ 2 夙p m 形 式的反射矩阵的研究的相关结论 本文的结论对进一步解释一些物体的复杂运动规律，提供了新的理论依据 和新的判定准则本文恒设( f ，x ) 在1 + 刀维欧氏空间上有关反射函数、反射矩 阵及小参数的基本事实和符号完全来源于文献 1 0 1 1 】和【4 1 4 2 】，这里不再赘言 扬州大学硕士学位论文 8 第二章预备知识 我们知道，绝大多数的微分系统是不可积的，尽管如此，在很多时候，我 们可以应用文【1 0 中的反射函数的知识，通过求微分系统的反射函数或应用反 射函数的性质来讨论微分系统解的性态 为本文叙述方便，在此首先给出有关的定义及引理 考虑微分系统 x = x ( f ，x ) ，t 月，x 尺”( 2 1 ) 其中x ( f ，x ) 是连续可微函数且满足解的存在唯一性定理的条件，其c a u c h y 问 题的解为伊( 印，x ) ，厶表示其解缈( ，；0 ，z ) 的存在区间 以下我f 门记五= i o l ) ，d = ( f ，x ) l x 尺”，f l n ) 2 1 反射函数及性质 定义2 1 【1 0 】称连续可微函数 f ( f ，x ) ：= 妒( 一r ；f ，x ) ，( f ，x ) d ， 为微分系统( 2 1 ) 的反射函数 系统( 2 1 ) 的反射函数f ( f ，x ) 具有下列性质 1 ) 对微分系统( 2 1 ) 的任一解x ( f ) ，歹，o 门芎 f ( ，x o ) ) = x ( 一，) ； 2 ) 对任一微分系统的连续可微的反射函数f ( f ，x ) 有恒等式 f ( 一f ，f o ，x ) ) = f ( 0 ，x ) = x ； 陈琦：小参数微分系统的周期解及其反射函数 9 3 ) 可微函数f ：d 寸r ”为微分系统( 2 1 ) 的反射函数，当且仅当它为下面 c a u c h y 问题 乏! ，x + 只o ， c ) x o ，x ) + x ( 一六，p ，x ) ) = o ， ( 2 2 ) 【f ( 0 ，x ) = x 。 的解称( 2 2 ) 式为关于系统( 2 1 ) 的反射函数的基本关系式 4 )若，( f ，x ) 为( 2 1 ) 的反射函数，则任何以f ( ，x ) 为反射函数的微分系统 均可表示为 x 7 = r o ，x ) + j _ 。o ，x ) r o ，x ) 一r ( 一f ，f ( f ，x ) ) ( 2 3 ) 这旱r ( f ，x ) 是任意向量函数 2 2 等价类反射函数与p o i n c a 映射的关系 定义2 。2 【1 0 1若微分系统 ，= 】，( r ，x )( 2 4 ) 与微分系统( 2 1 ) 具有相同的反射函数，则称它们是等价的具有相同反射函数 的微分系统称为同一等价类则有微分( 2 1 ) 与( 2 4 ) 等价( 或属于同一等价类) 的 充要条件是存在f ( ，x ) 满足 ff o ，x ) + c o ，x ) r ，x ) + x ( 一f ，f ( f ，x ) ) = o ， f o ，x ) + c ( f ，x ) 】，( ，x ) + 】，( 一f ，f ( f ，x ) ) = o ， i ，( o ，x ) = x 引理2 1 【1 0 】若系统( 2 1 ) 是关于f 的2 缈一周期解，即x o + 2 缈，x ) = x ( ，x ) ( 为大于零的常数) ，f ( f ，x ) 是( 2 1 ) 的反射函数，则微分系统( 2 1 ) 在【一缈，国 上的p o i n c a 琵映射丁 ) 可以定义为 丁( x ) = f ( 一国，x ) = 妒( 缈；一国，x ) 扬州大学硕+ 学位论文 l o 从而微分系统( 2 1 ) 在卜国，国】上有定义的解缈( f ；一缈，x ) 为2 缈一周期，当且仅当x 为方程，( 一国，x ) = x 的解 由此，要寻找周期系统( 2 1 ) 的p o i n c a r 6 映射，只需要寻找该系统的反射函 数 引理2 2 【1 0 1 若系统( 2 3 ) 的右端为关于，的2 缈一周期连续可微的向量函数， 它们的解在卜国，缈】上具有相同的p o i n c a 砖映射f ( 一国，x ) ，则这些系统的周期解 的性态相同 2 3 反射矩阵及其性质 若系统( 2 ，1 ) 是线性的，即 x 7 = 尸( f ) x ，f r ，x 7 = ( 薯，屯，矗) 尺” ( 2 5 ) 这罩p ( ，) 是，z 甩连续矩阵函数 设( r ) 为( 2 5 ) 的基解矩阵，则其通解为p ( f ；f 0 ，确) = ( f ) - 1 ( 岛) 确，反射函数 为 f ( ，x ) = 缈( 一f ；，x ) = ( 一f ) - 1 ( f 虹= f ( ，) x 定义2 3 【1 0 1 称f ( f ) = ( 一) - 1 ( f ) 为( 2 5 ) 的反射矩阵 系统( 2 5 ) 的反射矩阵具有如下性质 1 ) f ( 一f ) f o ) = f ( 0 ) = e ； 2 ) ，( ，) 是( 2 5 ) 的反射矩阵的充要条件为f ( f ) 是下面c a u c h y 问题 f f7 0 ) + f o ) p ) + 尸( f ) ，( f ) = o ， 【f ( o ) = e ( 2 6 ) ( 2 7 ) 陈琦：小参数微分系统的周期解及其反射函数 11 的解称( 2 7 ) 式为关于系统( 2 1 ) 的反射矩阵的基本关系式 3 ) 对于满足( 2 6 ) 的任意连续可微的矩阵f ( f ) ，存在线性微分系统 = 一( f o ) + e ) - 1 f o ) x ( 2 8 ) 方程( 2 8 ) 的通积分为，( f ) x + x = c 对式( 2 8 ) 的任一解x ( f ) 有 x o ) + x ( 一f ) = 2 x ( o ) 4 ) 非奇异的连续可微矩阵f ( f ) 为某微分系统的反射矩阵当且仅当f ( f ) 满 足( 2 6 ) 5 ) 若f ( f ) 是( 2 5 ) 的反射矩阵，则任何以，( f ) 为反射矩阵的线性微分系统 均可表示为 = 尸o 冷+ ，( o ) r o 一尺( 彳) f o ) x 这里，尼r ( f ) 为任意连续矩阵函数 2 4 根本矩阵及l y a p u n o v 变换 引理2 3 【7 1 若尸( f ) 是2 国一周期，且( f ) 为系统( 2 5 ) 的基解矩阵，则 o + 2 缈) 也是( 2 5 ) 的基解矩阵，且存在非奇异的常数矩阵c ，使得 o o + 2 国) = ( f ) c 称c 为关于基解矩阵( f ) 的根本矩阵，则( 2 5 ) 的任意两个根本矩阵相似 注2 1 当( o ) = e 时，c = ( 2 国) ，有 f ( 一国) = ( 彩) - 1 ( 一国) = o ( 一缈) o ( 2 国) _ 1 ( 一缈) ， 即f ( 一缈) 相似于( 2 缈) 定义2 4 7 1 变系数线性变换z = 丁( f ) z 称为是一l y a p u n o v 变换，系指 1 ) v r ，丁( r ) c 1 ( ，) ，即一阶可微； 扬州大学硕士学位论文 1 2 2 ) j m ，鸩 o ，v f ，有| i 丁( 圳m ，伊( 圳鸩； 3 )jn o ，vt j ，i l t 。( t ) l i n 显然，若了f o ，vt j ，t ( t ) = t ( t + f ) ，则t ( t ) 是以f 为周期线性变换，当 t ( t ) 对f 【o ，f 】上可逆又可微，则t ( t ) 是一l y a p u n o v 变换 陈琦：小参数微分系统的周期解及其反射函数 1 3 3 1 线性系统 第三章主要结果 考虑线性微分系统 x = 尸( ，) x ，r ，x r ”( 3 1 ) 其中p ( f ) 是一个二阶连续可微，z ，z 矩阵 由文献 7 知：如果p + 2 国) = p ( f ) ，对于系统( 3 1 ) ，存在l y a p u n o v 变换 x = 么( f ) y ， 将系统( 3 1 ) 化为 y = 缈( 3 2 ) 其中b 为胛玎常数矩阵则( 3 2 ) 的通解为y ( f ) = p 占卜7 。y ( ) 故系统( 3 1 ) 的通解 为 x o ) = 么o ) p 口一b y ( ) = 彳p 弦且卜幻彳一1 ( 岛) x ( ) 所以，系统( 3 1 ) 的反射函数为 f 0 ，z ) = 么( 一f ) p 之厨么1o ) z ( 3 3 ) 则，( ，) = 爿( 一，弦。2 研么- 1 ( f ) 为( 3 1 ) 的反射矩阵 本文主要讨论微分系统( 3 1 ) ( 在一般情况下，也就是说尸( f ) 不一定为周期函 数) 何时具有形如 f ( ) = 么( 一，) p - 2 厨么一1 ) ( 3 4 ) 形式的反射矩阵同时给出尸( ，) ，彳( f ) 和b 的表达式这里彳( f ) 是，z ，2 连续可微 扬州人学硕士学位论文 1 4 的函数矩阵，b 是，z 甩常数矩阵 引理3 11 ) ，( ，) = 彳( 一，弦枷彳一( ，) 是( 3 1 ) 的反射矩阵的充要条件是 f ( f ) d ) + d ( 一f ) f o ) = 0 ，( 3 5 ) 其中d 0 ) = p o ) 一彳o ) 彳- 1 0 ) 一么o ) 剐- 1 ( ，) 2 ) ，( ，) = 彳( o 弦。2 厨彳1 ( ，) 是( 3 1 ) 的反射矩阵，则 b = 彳- 1 ( 0 ) 尸( o ) 么( o ) 一彳1 ( o ) 彳( o ) ， 且得到下式成立 2 【尸7 ( 0 ) 一彳( o ) 彳- 1 ( o ) 尸( o ) + 尸( 0 ) 么7 ( o ) 彳- 1 ( o ) + 彳( 0 ) 么- 1 ( 0 ) 彳7 ( o ) 彳1 ( o ) 尸( 0 ) 一2 尸( 0 ) p 7 ( 0 ) 一么7 ( o ) 4 - 1 ( o ) p ( o ) + p ( o ) 彳7 ( o ) 4 - 1 ( o ) + 2 彳( 0 ) 么1 ( o ) 彳7 ( 0 ) 彳- 1 ( 0 ) 】 + 2 彳7 ( o ) 彳1 ( 0 ) 尸( 0 ) 一彳7 ( o ) 爿- 1 ( 0 ) 】么7 ( 0 ) 彳- 1 ( 0 ) + 3 【尸( 0 ) 彳”( 0 ) 彳_ 1 ( 0 ) 一么”( o ) 么- 1 ( 0 ) p ( o ) + 彳”( o ) 么- 1 ( o ) 彳7 ( o ) 么- 1 ( 0 ) 】+ p ”( o ) 一4 胛( 0 ) 么- 1 ( 0 ) = 0 ( 3 6 ) 证明1 ) 将f ( ，) = 彳( 一f ) p 。2 厨4 1 ( f ) 代入反射矩阵的基本关系式( 2 7 ) 得到 f 7 0 ) + f ( ，) p o ) + 尸( 一f ) f o ) = o ， 即( 彳( 一f ) ) p 一2 历彳一1 ( f ) 一彳( 一f ) b p 一2 研4 1p ) 一彳( 一，) e 一2 研b 4 1 ( f ) + 彳( 一f ) p 一2 胁( 么一1 ( f ) ) 7 + ，o ) 尸o ) + 尸( 一f ) ，o ) = o ，( 3 7 ) 又因为彳( f ) 4 - 1 ( f ) = e ，则有彳7 ( ，) 么- 1 ( f ) + 彳( f ) ( 么- 1 ( r ) ) 7 = 0 ，从而 ( 彳- 1 ( f ) ) = 一么- 1o ) 彳o ) 彳1o ) ，( 3 8 ) 将( 3 8 ) 式代入( 3 7 ) 式得 ( 彳( 一f ) ) 7 彳1 ( 一f ) ，o ) 一4 ( 一f ) b 4 - 1 ( 一f ) f ( f ) 一f o ) 么o ) 丑4 - 1 ) 一f ) 么0 ) 彳一1o ) + f o ) 尸o ) + 尸( o ) f o ) = 0 ， 即f u ) 【p o ) 一彳7 0 ) 彳- 1o ) 一彳0 ) 删- 1 ( f ) 】+ 【p ( f ) + ( 彳( f ) ) 彳一1 ( 一f ) 一彳( 一f ) 删一1 ( 一f ) 】= 0 令d o ) = 尸o ) 一彳o ) 么。1 q ) 一彳o ) 朋一o ) ， 则上式等价于( 3 5 ) ，所以结论1 ) 成立 陈琦：小参数微分系统的周期解及其反射函数1 5 2 ) 在( 3 5 ) 式中令f = o ，则d ( o ) = o ，即 尸( o ) 一彳( o ) 彳一( o ) 一彳( 0 ) 删卅( 0 ) = o ， b = 彳1 ( o ) p ( 0 ) 彳( 0 ) 一彳_ 1 ( o ) 么( o ) 为书写方便，记f ：= ，( f ) ，d ：= d ( ，) ，彳：= 彳( f ) ，s ：= s ( r ) ，p ：= p ( f ) 等 历：= d ( 一f ) ，乒i - 户( 一r ) 等则( 3 5 ) 式为 f d + d f ：q 对( 3 5 ) 进行二阶求导得 二 一 f t d 七f d fj rd f + d f t = q ， f d + 2 f t d + f d 一+ 曷f + 2 6 f f + 百f 一：o 在上式中令f = o ，得 f 7 ( o ) d 7 ( 0 ) + d 。( 0 ) 一d ( o ) f 7 ( o ) = o 又因为 ( 3 5 ) 7 ( 3 9 ) f t = 一蟮p + p f 、) ， d ( f ) = p ( f ) 一47 0 ) 么一1 ( ，) 一彳o ) 删- 1 0 ) ：= 尸一彳7 彳一彳b 彳， d ：尸一彳一1 + 么7 么一1 彳7 么一彳7 删一1 + 彳尉一1 4 7 么， d 一：p 一一彳”彳一1 + 彳一1 彳一1 + 彳”彳一1 彳么一彳一1 彳么一1 彳彳一1 + 4 彳一1 么一1 一彳彳一1 彳一1 彳彳一彳”b 4 1 + 彳b 4 1 彳彳一1 + 彳上殂一1 彳么一彳b 彳一1 彳么一1 彳彳一1 + 么j 孓4 1 么。彳一彳b 彳一1 彳彳一1 彳么一1 ：p 一彳”彳一1 + 2 彳”4 1 彳彳一一2 么么一1 彳么一1 彳么一2 彳孓4 1 彳么一1 么4 1 + 么7 么一1 彳一1 一彳”b 4 1 + 2 彳b 彳一14 彳一1 + 么b 4 1 彳么， 从而有 f 7 ( o ) = 一2 p ( o ) ， d ( o ) - 尸( o ) 一么”( 0 ) 么- 1 ( o ) + 彳7 ( 0 ) 么- 1 ( o ) 彳7 ( o ) 4 1 ( o ) 一彳( 0 ) 彳一1 ( 0 ) p ( o ) + 尸( o ) 彳( o ) 彳1 ( 0 ) ， 扬州人学硕十学位论文 1 6 d ”( 0 ) = 尸”( 0 ) 一4 ”( 0 ) 彳一1 ( 0 ) 一彳”( 0 ) 彳一1 ( o ) 尸( 0 ) + p ( o ) 彳”( o ) 4 - 1 ( 0 ) + 3 4 ”( 0 ) 彳一1 ( o ) 彳( 0 ) 彳一1 ( 0 ) + 2 彳( o ) 么- 1 ( o ) 尸( o ) 彳7 ( o ) 彳- 1 ( o ) 一 2 尸( 0 ) 彳( o ) 彳一1 ( 0 ) 彳7 ( o ) 彳一1 ( o ) 一2 彳( o ) 彳一1 ( o ) 彳( 0 ) 爿1 ( o ) 彳( 0 ) 彳- 1 ( 0 ) 将上面的f ( o ) ，d ( o ) ，( o ) 代入( 3 9 ) 式经整理易知( 3 6 ) 式成立证毕 注3 1 特别地，当彳( f ) = p ，其中s 为甩，z 常数矩阵，则由( 3 6 ) 可解出s ， 从而可以确定么( f ) 为简便起见，我们规定：如无特别说明在下文中出现的b 均是 b = 彳- 1 ( o ) 尸( o ) 彳( 0 ) 一4 _ 1 ( 0 ) 彳7 ( 0 ) 定理3 1若尸o ) = 彳7 0 ) 么一1 ) + 彳( f ) b 4 1 0 ) + 彳o ) p 历g o 弦一所彳- 1 0 ) ，( 3 1 0 ) 其中g ( f ) 为连续，2 ，z 奇矩阵，则f ( ，) = 彳( 一f ) p 。2 所彳1 ( f ) 为系统( 3 1 ) 的反射矩阵 反之，若f ( f ) = 么( 一f ) p 一2 厨彳- 1 ( ，) 为系统( 3 1 ) 的反射矩阵，则存在奇矩阵g ( f ) 使得系统( 3 1 ) 中的p ( f ) 具有形式( 3 1 0 ) 证明若p ( f ) 具有形式( 3 1 0 ) ，用反射矩阵的基本关系式( 2 7 ) 可以验证 f o ) = 彳( 一f ) p - 2 所么- 1o ) 为系统( 3 1 ) 的反射矩阵 反之，若f ( f ) = 4 ( 一f 弦- 2 厨4 _ 1 ( f ) 为系统( 3 1 ) 的反射矩阵，由引理3 1 知 f o ) d o ) + d ( 一，) f ( f ) = o ， ( 3 5 ) 将f ( f ) = 彳( 一f ) p 2 成彳- 1 ( f ) 代入( 3 5 ) 式得 彳( 一f ) p 一2 成么- 1o ) d ( ，) + d ( 一，) 4 ( 一f ) p 一2 所彳- 1 ) = o 在上式两边分别左乘么。1 ( 一f ) ，右乘4 ( r ) ，则我们可以得到 p 一2 口7 彳一1 ) d o ) 彳( ，) + 么1 ( 一，) d ( 一f ) 彳( 一f ) p - 2 历= o 在上式两边分别左乘、右乘p 厨，得到 陈琦：小参数微分系统的周期解及其反射函数 1 7 p 一所彳一1o ) d ( ，) 彳p ) p 历+ p 厨彳一1 ( f ) d ( f ) 4 ( 一f 弦一所= o 令g o ) = p 一所么一1o ) d o ) 彳o ) p 历，贝0 有g o ) + g ( ，) = o 从而d o ) = 么o ) e 一所g 0 ) p 研4 - 1o ) 又由引理3 1 知 d ( f ) = p ( f ) 一么( f ) 么- 1 ( ，) 一彳( f ) b 4 - 1 ( f ) ， 则尸( f ) = d o ) + 爿o ) 彳一1 0 ) 一彳o ) 别1 ( f ) 证毕 = 彳o ) 彳一1o ) 一彳o ) b 4 1p ) + 彳( f ) p 一所g o ) p 研彳- 1 ( f ) 注3 2 特别地，如果在定理3 1 中取g ( ，) = o ，则 尸o ) = 彳o ) 么一1o ) + 彳o ) 删一o ) ( 3 11 ) 那么推论3 1 的结论仍然成立 注3 3在定理3 1 中，若取彳( 一，) = p m ，即得文 4 2 中的定理2 1 在定理3 1 中取g ( ，) = y ( f ) e ，可得到