（应用数学专业论文）mobius变换群的离散性及其一些性质.pdf

摘要 本文主要讨论了膨6 f 淞变换群的离散准则和复双曲几何中c y g a n 度量不等式，具 体安排如下： 第一章我们主要介绍所讨论问题的一些背景，给出了我们得到的主要结果。 第二章介绍了有关膨6 f 淞变换的一些基本概念及性质，包括p o i n c a r e 扩张，初等 子群和非初等子群；还介绍了双曲几何中的一些概念和性质，给出了双曲平面上几种模 型和三种h e n n i t i a l l 类型，以及c y g a n 度量。 第三章主要讨论了膨6 f 船变换群非初等子群的离散性。根据非初等子群的正规化 子的离散给出了离散的必要条件。 第四章主要讨论了复双曲几何中元素的分类和性质定理。讨论了c y g a l l 度量不等 式，给出了正则椭圆和边界椭圆的c y g a l l 度量不等式，从而推广了已有的相关结论。 关键词：脚6 f 淞变换群；初等子群；非初等子群；离散准则；正规化；h eis e n b e r g 位 移；抛物元；斜驶元；椭圆元 a b s t r a c t t h em a i n 岬o s eo ft h i st h e s i si st 0i n v e s t i g a t et h ed i s c r e t e n e s s 耐t 甜ao f t h e 膨6 f 淞 g r o u p sa n dt h ei n e q u a l i t i e so fc y g a i l m e t r i ci nc o m p l e xh y p e 而o l i cg e o m e t 叮i tl sa 仃a n g e da s f o l l o w s i i lc h a p t e rl ，w em a i n l yp r o v i d e ss o m eb a c k g r o u n di i l f o r m a t i o na b o u t 脚6 f 榔g r o u p sa n dc o m p l e xh y p e r b o l i cg e o m e 仃m 柚d a l s os t a t et l l em a i nr e s u l t s 1 1 1c h a p t e r2 ，w em o d u c es o m eb a s i cc o n c e p t s a n dp r o p e r t i e so f 膨6 f 凇g r o u p s ， i n c l u d i n gt 1 1 ep o i n c a r ce x t c n s i o n ，e l 锄e n t a d ，s u b g r o u p s ，n o n e l e m e n t a 巧s u b g r o u p s 恕1 d a l s o i n 仃o d u c e ss o m eb a s i cc o n c e p t sa l l dp r o p e f t i e so fc o m p l e xh y p e r b o l i cg e o m e 仃y ，s t a t et h r e c m o d e l sa 1 1 dt h r e eh e n n i t i a nf o m ，c y g a nm e t r i c ，e t c i l lc h a p t e r3 ，w em a i n l yd i s c u s sm ed i s c r e t 饥e s so fn o n - c l 锄e i l t a r yg r o u p so f 膨6 f 淞 鲫u p s n o 肌a l i z em en o n - d 锄跚t a d ，伊o u p s ，w eg e tm e d i s c r e t e n e s so fi t ss u b g r o u p s h lc h a p t c r4 ，w em a i l l l yc o n s i d e rt h ec l a s s i f i c a t i o no fi s o m e t r i e si nc o m p l e xh y p e r b o i i c g e o m e t wa n d s o m ep r o p e n i e s w ea l s oc 0 n s i d e r 吐l ei n e q u a l i t yo fc y g a l lm e t r i c f i n a l l y ，w e 西v et h ei n e q u a l i 哆o fc y g a i lm 矧ci nv i e wo fm er e g u l a re l l i p t i c a n db o u n d a r ye l l i p t i c t h e r e f o r eg c n e r a l i z et h ec o n c l l l s i o nr e l a _ t e d k e y w o r d s ： 重石6 f 。岱 g r o u p s ； e l e m e n t a i ys u b g r o u p ； n o n - e l e m e n t a r ys u b g r o u p ； d i s c r e t e n e s sc r i t e r i o n ；n o r m a l i z e ； h e i s e n b e r g t r a n s l a t i o n ；p a r a b o c e l e m e n t ； l o x o d r o m i ce l e m e n t ； e u i p t i ce l e m e n t i i 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名。壶易孑 、 日期：砂吁年月f 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅 本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密团 ( 请在以上相应方框内打“ ) 僦名：酗 嗍砷年蜘曰 导师签名 ! 民僭b 第1 章前言 胸6 f 淞群的研究已有一百多年的历史了，至今仍是主流数学中的一个蓬勃发展的活 跃分支。许多著名的数学家都对这一理论进行过深刻的研究，特别是由于n u r s t o n p 1 】 等的著名工作，使得它与鼬锄锄曲面、t e i d m m l l e r 空间理论、双曲流形以及物理学中 的超弦理论紧密联系在一起，从而使得它成为一个经久不衰的热门数学研究领域。 作用在实双曲空间和复双曲空间的群的离散性是众多学者研究的主要对象。如实双 曲几何群中关于维和二维觞6 f 淞变换的分类与几何性质及子群的离散性等一直是人 们关心的问题。在二维砒伽群中有一个著名又十分有用的不等式，即如俘玩，g ，l 不等式。 这一不等式刻画了非初等离散群中单位元素的孤立性，见文 4 ，1 7 】。早在1 9 7 6 年，著名 数学家t j o 玛e n s e l l 2 给出定理a ：作用在瓦2 上的非初等膨6 f 淞变换子群g 是离散的， 当且仅当g 每一个元素厂和g 生成的子群 是离散的。这定理表明了非初等 觞6 f 淞群g 的离散性取决于g 的所有二阶子群。1 9 7 7 年，j o r g e i l s e i l 3 】给出：脱( 2 ，尺) 中 的离散子群g 是离散的，如果g 中任意循环子群是离散的。1 9 8 9 年，g j m a n i n 1 2 】通 过增加条件证明了定理a 的空间理论。翌年，w a b i k o f r 和a h a a s 【1 3 】构造了一个例 子证明了当，z 4 时，存在尽d 聊( 日“) 的非初等子群不是离散的，但是由有限个元素生成 的子群是离散的结论。并证明了若妇d 聊( 日”) 的一个n 维子群r ( r 不含有任何r 一不变双 曲真子空间) 是离散的当且仅当r 的每一个二元生成子群是离散的。2 0 0 0 年，王仙桃和 杨维奇从拟有界挠率等角度讨论了高维空间中m ( 豆”) 的非初等子群的离散性。见文【3 5 】 关于群的离散性，众多学者考虑了作用在不同领域的群的离散性，并且给出了许多 关于离散的结论。1 9 9 7 年，j o 唱e n s e i l 4 】给出了一个j o 增饥s e n 不等式结论：钇( 2 ，c ) 中 的离散子群g 是离散的，如果g 中任意两个元素生成的子群是离散；随后，x w a i l g 和 w y a m g 推广了这些结论【5 】，他们证明了如果g 中每一个由两个斜驶元素生成的子群是 离散的，那么g 就是离散的；1 9 8 8 年，g i l m a n 8 】证明了脱( 2 ，r ) 中的非初等子群g 是离 散的当且仅当g 的每一个由两个双曲元素生成的非初等子群是离散的。n a i s o c h e n k o 【9 】 将这个结果推广了到皿( 2 ，c ) ，他给出：乩( 2 ，c ) 中包含斜驶元素的非初等子群g 是离 散的当且仅当每一对斜驶元素厂和g 生成的子群 是离散的。文 6 中给出：若g 包 p e l 【l ( an 岫a 和x i a i l t a ow a n g 7 ，1 0 ，4 9 】给出：如果g 包含一个至少3 阶的椭圆元素，g 中 离散的。m gs 柚1 a i 和f a i l g a i n o n g 完善了离散性的结论。他们得出【1 1 】乩( 2 ，c ) 中包含 的子群 是离散的；乩( 2 ，c ) 中包含斜驶和抛物元素的非初等子群g 是离散的当 且仅当g 中每个斜驶元素和抛物元素生成的子群 是离散的；观( 2 ，c ) 中包含抛 物元素的非初等子群g 是离散的当且仅当g 中每对抛物元素厂和g 生成的子群 主要致力于低维的复双曲空间上的等距群。如果通过映射彳h 乳，我们可以把g 厶( 2 ，c ) 中的任意一个2 2 矩阵彳诱导出中的映其中彳= ( ：喇= 碧。若把 圪= z c 2 1i ； = z c 2 ，一 o ) i = 0 ) ； 一= z c 2 1i 0 ) 称为z c 2 1 分别在圪，一的负向量、零向量、正向量。 我们在c 2 1 中对乞。的向量定义一个射影映射尸： 兰 h ( 量：羔) c 2 。实际上， 职2 = p k ，a h c 2 = p ，这就构成了一个射影空间。文【1 3 】，作者从等距群的角度去 考虑了裙的离散性，他给出：如果g 是p u ( 2 ，1 ) 中的一个2 维子群，使得单位变换不是g 中椭圆元素的收敛点，那么g 是离散的。a b a u s m 旬i a n 和r m i n y j i 锄吕j p a r k e r 和 s k a m i ”都分别将j o 唱e n s 不等式推广到了全纯等距群p u ( 2 ，1 ) 。根据以上所得出的 结论，s h i h a iy 姐g 和a i n o n gf a i l g 【1 4 】同样把定理a 推广到复双曲空间中，他们得出： 如果g 是p u ( 2 ，1 ) 中的一个包含椭圆元素的2 维子群，那么g 是离散的当且仅当对每一 对g 中的椭圆元素和g 生成的子群 是离散的。1 9 8 5 年，h o h t a l ( e 给出了包含 一个抛物元素的高维实双曲等距群的离散性，见文【4 7 】。王仙桃、蒋月评、曹文胜等将 群的离散性推广到了复双曲高维空间中去，讨论了p u ( 1 ，拧；o 中非初等子群的离散标准， 见文【4 0 ，4 3 斜，4 5 ，4 8 】。1 9 9 1 年，r p a r k e r 将一维双曲平面中黝f m f z “引理推广到高维复双 曲空间中，即p 【，( 聆，1 ) 中包含垂直位移的子群的鼬砌泐引理。在双曲流形上的等距群的 研究，对离散群的正规化子的离散性的讨论十分重要。例如，r a t c l i 赢利用正规化子的 的离散的结论。在文献【3 7 】中，黄华鹰从群的正规化子的角度考虑了群的离散性，他给 出：设g 是p u ( z ，1 ) 中非初等的离散子群，d i m 三( g ) = 3 ，则g 的正规化子是离散的 在实双曲空间中，1 9 6 3 年，h s l l i l i l i z i l 在文【1 9 】鼢l m f z “引理给出雕l ( 2 ，r ) 中包含 抛物元素的子群离散的一个必要条件。在文【3 3 】，a b a s m a j i a i l 和r m i n e r 从稳定基本点 定理：固定一个稳定基本点( ，s ) ，设g 是一个抛物元，g ( ) = ，如果斜驶元素厂的 吸收型不动觚排斥型不动点啦m 一1 i 等掣( 1 + ，2 + 厨) 挪么 由厂：g 生成的群( 厂，g ) 不是离散的。 文【2 8 】，j p 酞e r 在全纯等距群尸u ( 1 ，2 ；c ) 讨论了群的离散性。 定理：设肌括p ，z 6 p 曙位移g = ( 三三手 ，r e c j ，= 三h 2 。设尸u c ，2 ；c ，中的任意元 定理：设肌括p ，1 6 p 曙位移g = is1 万i ，r e ( j ) = 妄h 2 。设尸【，( 1 ，2 ；c ) 中的任意元 l 口0 1j 一 素厂，其等距球半径为q 。若吩2 万( 一1 ) ，厂一1 ) ) 万( ) ，厂( o o ) ) + 2 h 2 ，那么由厂，g 生成的群( ，g ) 不是离散的。 随后，k 锄i y a 根据以上结果，也是从稳定基本点考虑，得出了以下结论。 定理：固定一个稳定基本点c ，s ，设m 括e 甩6 e 曙位移g = 去三草 ，刁尺，设 斜驶元素厂的不动点为。和g ，i 五( 厂) 一l i r ， = 万 ， = i 旯1 2 定义2 2 1 2 ：设z ，w 分别是列向量( z ，乞，z 3 ) 和( w ，w 2 ，w 3 ) ， 第一一q 峨嘲一种肌一 ， 8 第二胁朋f 砌，l 型： 2 = 一z l 羁+ 乞砚+ 毛羁= 以z ， 第三胁删f 砌以型： 3 = 一z l 羁一z 2 霸+ z 3 嘎= w 以z ， 2 2 2 复双曲平面上的模型 果，跟容易得出相关的结论。其中，最简单的一个模型可以以上半平面h 2 = x + 耖：y o ) 作为双曲平面的一个模型。设z ，w 和f 是h 2 中不同的点，f 在z 和w 之间，那么对于任 何等距映射矽，点矽( f ) 比在矽( z ) 与矽( 叻之间，从而矽把线段【z ，w 】映射成线段 眵( z ) ，( w ) 】o 见文【3 2 】。复双曲空间中，我们通过射影映射，把其转化到一个等距球的 定义2 2 2 1 ：若z c 2 - ，那么 是实数。因此我们可以定义c 2 ，1 的子集 e = z c 2 ，1l o ) ；虼= 口c 2 - 一p ) l ；k = z c 2 1i z ，z o ) 称为z c 2 1 分别在配，k 的负向量、零向量、正向量。由于 _ h 2 ， 因此，我们在c 2 1 中乞。的向量定义一个射影映射p ：f 兰 卜( 主：羔) c 2 。 实际上，册2 = 尸圪，琵配2 = p 我们可设z 3 = l 定义复双曲平面的第一和第二胁朋f 砌，l 型。不妨设z = ( z i ，z ：，1 ) c 2 ”。 如果 i = z l 乏+ z 2 乏一1 o ，那么z 日俨，即2 + l z 2 1 2 l ，这样z = ( 毛，z 2 ) 在c 2 中的单位球中。称为复双曲平面的单位球模型。单位球的边界是球s 3 ，即2 + i 乞1 2 = 1 。 文【3 8 】中介绍了推广了的等距群具有的性质。这里我们先给出标准升的概念，也就是把 标准升：单位球或边界球中的点z = ( 乙，乞) 到c 2 1 的标准升是列向量z = ( z 。，z ：，1 ) ， 、-、 ，、j、j 、ihj o 0 1 l o o o 0 0 l 0 - 0 0 1 o o 0 ，。l，。l = = 以 以 因此如果z 和w 是点z 和w 的标准升，我们有 l = w z 一1 = z i 厩+ z 2 奶一1 情形2 ：对于第二乒昆门能埘口咒型： 如果 - z l + z 2 乏+ 夏 o ，则z 册2 ，即2 吼( z i ) + i 乞1 2 o ，这样z = ( z i ，乞) 是 在c 2 中边界满足条件2 贸( z ，) + i z ：1 2 = o 的一个域中，称这个边界为抛物面。这个域称为 熨孵，域，并形成了一个朋2 中的一个钳呼，域模型。 & 样，域中点z 到c 2 ，1 的标准升是列向量z = ( 刁，乞，1 ) c 2 ”，通常我们增加一个无穷 远点来紧化& 孵j 域。无穷远点0 0 的标准升是列向量( 1 ，o ，o ) c 2 ”。这有利于表达等 距群中的元素。 定义2 2 2 2 ：通过插入z ，w 的标准升到距离函数公式 附细曲2 掣= 毫募篝 得出口p 曙聊口以度量( 见文 5 0 ) ： 如丢d 文差z 篡剥 我们可以通过凯莱变换c = ； 2 c _ 以c = 以或者c - 1 以c = 以，容易得出c = c 。 选取凯莱变换c o = 吾三二。 ，可把球模型转换到研呼，域，c o = 即 以 型 二 第和 型一 第换交以可 1 l 0 - 酊，o 。 o 压o 容易验证c o 以c o = c i 以c i = 彳，其中q = c l 是酉矩阵，且q = 压一压 o1 oo 1 压 1 1 压 l 压 o o ，c ：j s 。= j 2 r l 2 2 、 ii 彳= i 一2 3 2 l l2 _ 2 1 j 定义2 2 2 3 ：第一胁删f 砌玎型的酉群：设么是一个酉矩阵，则有彳彳= 以，即 以_ 1 彳= ，a = j 。一1 。那么对所有的v ，w c 2 ”，有 广彳彳y = l = l = ，。 设彳= 圣兰； ，则彳一= 以。1 彳+ = ( 三三手 1 - 口欢锄m 呱锄。赤l 耋二墨乏二三 ，f 巧一乃 幽一彩 q e t l 以l | 一 = d e t ( 彳) ，则 埘一c e 耐一旷i ，砌( 彳) 是转置伴随矩阵。记 口e 一6 dj 私= 巧一乃，6 = 店一够，弘= 昭一砌， j = 幽一彩，虿= 巧一曙，= 口j i l 一培， 蚕= c p 一鲈，i = 旷一耐，7 = 口p 一掰 因么是酉矩阵，所以i 2 i = d e t ( 彳) d e t ( 么) d e t ( - 1 么) = d e t ( 彳- 1 么) = 1 。根据等式州= j ， 可以得出： l = l 口1 2 + 1 6 1 2 一l c l 2 ，1 = i j l 2 + i e l 2 一i 厂1 2 ，l = 一l g l 2 一i j 1 1 2 + i 歹1 2 ， o = 口孑+ 6 _ 一矿，o = 喀+ 厮一孑，o = 露+ 万一矽 同样，根据彳。1 么= j ，可得 1 = i 口1 2 + i d l 2 一i g l 2 ，1 = 1 6 1 2 + i e l 2 一i 1 2 ，1 = 一i c l 2 一l 厂1 2 + i 1 2 ， 0 = 动+ 如一动，o = 功+ 矽一彭，o = 幻+ 可一| j 1 1 定义2 2 2 4 ：第二肌册豇谊甩型的酉群：设彳是一个酉矩阵，则有彳以么= 以，即 么= 以q 彳以，以- 1 么以彳= 。那么对所有的1 ，w c 2 ”，有 矿彳以么，= 2 = 2 = w 以y 。 设彳= 至兰； ，么= 以叫彳+ 以= ( 至季至 ，同样的方法，我们可以得出： 万= 口口一础，6 = c d 一矿，万= 可一c 口， d = 坛一口 ，虿= 巧一曙，厂= 幽一谚， 喜厶= d h e g ，h = 爬一c b ，j = 句一加 根据似= j 和彳- 1 彳= ，可以得出 1 = 乃+ 习+ 窜，1 = 砌+ 汗+ 矽，1 = 方+ 厮+ 喀，1 = 矿+ 阡+ ， o = 口万+ | 6 f 2 + 面，o = 万+ 西+ 店，o = 方+ | 1 2 + 唐，o = 矿+ 6 虿+ 赢 o = 乃+ 元+ 劢，o = 7 c + l 厂1 2 + 可，o = 庇+ 甜+ 民，o = 蓟+ h 2 + 堙 定义2 2 2 5 ：第三胁栅f 砌以型的酉群：设彳是一个酉矩阵，则有以么= ，即 么= 以- 1 么+ ，以叫以彳= ，。那么对所有的1 ，w c 2 ”，有 广彳以彳v = 3 = 3 = w 以1 ，。 设4 = 三兰； ，则么一= 以一彳+ 以= 三三； ，同样有 口方+ 6 万一阿= o ，口万+ 坛一方= 0 ，龙+ 订一i 卅2 = o ，万+ 腼一矿= o ， 动+ 晶一旰= o ，- c + 矽一面= o ，玉+ 砝一蚓2 = o ，五+ 可一面= o ， 方+ 岖一忻= l ，历+ 沈一动= 1 ，五十可一忻= l ，万+ 悸一忻= l 2 2 3 作用在复双曲空间上的全纯等距群p u ( 1 ，2 ；c ) 作用在复双曲空间的等距群的离散性，以及用c y g a j l 度量来刻画等距群中元素的不 等式都很好的体现出了群的离散性。我们把带有酉结构的3 维的复向量空间记为c 2 ， 其中酉结构由( 2 ，1 ) 型第二胁删f 砌玎形式： _ z 。巧+ z 2 瓦+ z ，百，其中 1 2 z = ( z l ，z 2 ，乃) c 2 ”，w = ( ，嵋) c 2 ”，自同构变换彳c 2 ，1 是双线性的，使得对任意 z ，w c 2 ”，有( 彳( z ) ，彳( 川) = ( z ，d ，这样的变换称之为酉变换，记为u ( 1 ，2 ；c ) 。那么， 全纯等距群的离散性在三种模型下有什么样的性质呢? 我们先给出涉及到的基本知识 点。， 定义2 2 3 1 ：在b p 彬口，l 度量下，尸u ( 1 ，2 ；c ) 作用在磁上是等距群。射影酉群 p 【厂( 1 ，2 ；c ) = u ( 1 ，2 ；c ) u ( 1 ) ，u ( 1 ) = p 曲，i o 9 o ) ，若令气= o ，则此模型是磁的边界a h ：。若令吒= “， 则是极限球矾。一个有限点z 在瓯掣，域的边界上，如果z 的标准升到c ：j 是 z = 【乙 乞 1 】f ，互+ 乏+ f 乞1 2 = o 设f = 乞2 c ，则有2 孵( z 1 ) = _ 2 吲2 ，这样，z = 一吲2 + 如，v r ，即对于 f c y 吨z = 删+ 加皿1 f 1 一廊一计+ 加 考虑映射r ：c r 专g ( 3 ，c ) ，r ( f ，v ) = lo oo 厄 丁( d ) = ( f ，) 。同样可以得出丁( f ，d p u ( 1 ，2 ；c ) ，因为 ，计算容易得出丁 ) = ， ( 丁( f ，v ) ) = 以一1 ( 丁( f ，y ) ) 以= 1 虿 01 oo 一讲一加 一正 1 = r ( 一f ，一v ) r ( f ，1 ，) 通过型( f ，v ) 记为胁括e 玎6 孵位移，若型为( o ，f ) 的胁捃e 刀6 e 曙位移则称为垂 直位移。等距群中元素作用在极限球中，可以得出很多有意义的性质。 定义2 2 3 3 ：固定”皿，对任意点z 硪，其标准升z 满足条件 z ，疹= 一2 “，即 z = 【z 。，z ：，l 】f ，其中毛+ 夏+ i z ：1 2 = 一2 “，即2 倪( z 。) = 一| z 2 1 2 2 ”。同样令z ：= 霹，得 五= 一蚓2 一“+ f ，。这样z 对应点( f ，“，y ) c 酞r + ，z 2 一l 彳1 2 一“+ f v 压 1 满足条件 ：= _ 2 “的点集矾，称之为高度为“极限球。 钳e 酽，域中的点z 满足( 六1 ，“) r + ，( f ，”，y ) 为z 的极限球坐标。用高度为o 的 极限球来表示有限边界点，即风= a 重一p ) ，也就是说( f ，v ) = ( f ，v ，o ) 理一印) 。 第二胁删f 砌刀型在极限球坐标作用下，其形式为 = 一1 f 一孝1 2 一“一j + f ( v f = 2 1 m ( 善善) ) 脚绷度量在极限球坐标o + 纱，“) 下为 如丢d e t 眨篡：差爿= 扣幽4 彬埘+ 2 毋一2 埘， = ( 出咖如西) o _ 2 y “2 一a x y “2 4 + x 2 ) “2 0 2 z “2 o 二孥 “ ，、 2 x u- “2 三 o “ 1 u1 “ 出 咖 如 咖 定义2 2 3 4 ：胁括e ，z 6 p ，g 范数规定为i ( f ，v ) i = 忙1 2 + f v l ，那么上的。移刀度量为 岛( ( 岛，v 1 ) ，( 幺，v 2 ) ) = l ( 乞，v 1 ) 一i 木( 幺，吃) l _ l i 轰一u 1 2 一川+ 咄一2 f i m ( 缶磊) r 1 4 广一 里 + l 矿勘一矿 一矿却一矿 如果我们取在御；一p ) 上的点的标准升到c 2 ”，那么在第二胁朋f 砌刀型表达0 幽，l 度 量：岛( ( 参，u ) ，( 乞，吃) ) 一i 氧| 2 + 川 比 l l 幺1 2 + 比 1 若取( 氧，v i ) = ( o ，o ) ，( 乞，屹) = ( o ，1 ) ，那么就有 扁( ( 乞，匕) ，( 。，1 ) ) ：i | 岛1 2 + 叱户+ i l 乞1 2 + f ( 屹一1 ) f i v 3 声+ l 屹一1 卢风( ( 。，。) ，( 。，1 ) ) 。 我们还可以通过扩张0 酗，l 度量到厅；一和 ，则 岛( ( 氧，h ，) ，( 岛，v 2 ，“：) ) = j i 氧一乞1 2 + l 嵋一“：i - 川+ 也一2 f i m ( 螽互) 1 2 定义2 2 3 5 ：半径，r + ，球心z o = ( 氨，) = ( 氛，o ) 理的。移咒球定义为： 用坐标表示为： 墨( z o ) = z = ( f ，“，1 ，) ：风( z ，气) = r 2 s ( ) = z = ( f ，v ) ：l f 一氛1 2 + “+ 如一毗一2 fh 1 1 ( 纸) = ，2 ) 1 5 3 1 引言 第3 章m 6 b i u s 变换群的离散准则 关于作用在实双曲空间中的脚6 f 淞群的离散准则，a f b e r d o n 首先给出了朋动f 凇 变换的分类。 这里，我们首先引入标准化的觞6 f 埘变换。对于c 中每个非零的后，定义 ( z ) = 乜，( 七1 ) ：n ( z ) = z + l 对于一切尼( 包括后：1 ) 有护：( ) ：七+ 三+ 2 。若g ( j ) 是任一脚6 f 淞变换，则g 或者恰 好在e 内有两个不动点口和，或者在e 内只有唯一的不动点口( 这种情况下我们取 为异于口的某个点) 。再设j i l 满足j i l ) = ，办( ) = o ，j j i ( g ( ) ) = l ( 当g ( ) 时) 的任 一觞6 船变换。显然， ”，纠= 代黝荔 若g 以口和为不动点，则坳_ 1 以o 和为不动点，从而对某个后( 尼1 ) 有蚴= 。 若g 仅以口为不动点，则蚴- 1 仅以o o 为不动点，并且协一1 ( o ) = 1 ；于是有恸= 。 这表明，任何觞6 f 淞变换g ( ，) 是某个标准形式朋。的共轭元素。若将觞6 f 淞群的分好 类，我们可以分类的对其元素进行讨论。 定义3 1 1 ：设g j 是任一膨6 f 凇变换。则称 ( i ) g 是抛物变换当且仅当在爻3 中g 有且仅有一个不动点时( 等价于g 铂) ； ( i i ) g 是斜驶变换当且仅当在晨3 上g 有且仅有两个不动点( 等价于对某个满足 i 尼i l 的后有g 聊。) ； ( i i i ) g 是椭圆变换当且仅当在爻3 中g 有无穷多个不动点时( 等价于对某个满足 i 露i = 1 ，后1 的七有g 聊女) ； 关于在群的觞6 f 淞变换群膨( r “) 的分类，方爱农在文【1 6 】给出了完全共轭分类， 并给出了证明，在文【3 9 】中给出了不变球和更细的分类。这里我们就不做详细讨论了。 定义3 1 2 ：设g 是斜驶变换，我们说g 是双曲变换，如果对于e 中的某个开圆盘( 或 半平面) d 有g ( d ) = d ；否则称为严格斜驶变换。 斜驶变换与其他两种元素有更多的不同点，根据它的不动点，可以很好的去讨论元 素的性质。 定义3 1 3 ：设g g 是斜驶元，口，6 是g 的两个不动点，若! 骢g ”( z ) = 口，任意 z 爻3 6 ) ，则称口是g 的吸收性不动点，6 是g 的排斥性不动点。 定理3 1 1 ：设g j 是任一心6 f 淞变换，则 ( i ) 当且仅当护2 ( g ) = 4 时，g 是抛物变换； ( i i ) 当且仅当扩2 ( g ) 【o ，4 ) 时，g 是椭圆变换； ( i i i ) 当且仅当驴2 ( g ) ( 4 ，佃) 时，g 是双曲变换； ( i v ) 当且仅当护2 ( g ) 甚 0 ，悯) 时，g 是严格斜驶变换。 这里根据用矩阵的形式来表示觞6 f 淞变换群，而矩阵与迹紧密联系，所以我们从矩阵 的迹把脚6 泌变换群进行分类，逐一地对其元素进行讨论。 3 2 定理及证明 关于群的离散性，我们首先给出一些相关定理和性质，这对于研究群的离散性有很 大的帮助。 定理3 2 1 ；当且仅当g 的元素在日3 中有一个公共不动点时，的子群g 只包含椭 圆元素( 及，) ， 定理3 2 2 ：( i ) 若g 是以口为不动点的抛物变换。则对于6 中所有的z ，当刀_ 佃 时，g “( z ) 专口，并且在e 缸) 的每个紧子集上为一致收敛。 ( i i ) 若若g 是斜驶变换，则g 的不动点口和有如下特征：对于所有的z ，当 以_ 佃时有g ”( z ) 专口，并且在e 舻) 的紧子集上为一致收敛。 ( i i i ) 若g 是以口和p 为不动点的椭圆变换。则g 使以口和为反演点的每个圆周保 持不变。 1 7 定义3 2 1 ：的子群g 称为初等子群，当且仅当在r 3 中存在一条有限的g 一轨道。 显然，若有某个点是g 一不变的，那么g 就是初等的。若g 是么6 p ，群，那么或者g 只包含椭圆元素和j ，或者g 包含某个抛物( 或斜驶) 元素g 。因此，的每个彳6 “子群 都是初等子群，否则称之为非初等群。 定理3 2 3 ：若g 是斜驶元素，假定厂和g 只有一个公共不动点。则 不是离散 群。 定理3 2 4 1 7 】：作用在豆2 上的膨6 f 郴变换的一个非初等群g 是离散群，当且仅当 对g 中的任意厂和g ，群 是离散的。 引理3 2 1 ：两个阶不都为2 的椭圆元素厂，g 脱( 2 ，c ) ，生成一个非初等群当且仅当 他们到豆的p d f 玎c 口比扩张没有公共不动点。 引理3 2 2 ：设g 是非初等群，如果g g 是椭圆元素，那么g 存在无限多个元素使 得& 每一个共轭于g g ，并且没有两个蜀有两个公共不动点。 引理3 2 3 ：设g 是非初等群，若g 包含椭圆元素，g 的每一个由两个椭圆元素生成 的非初等子群是离散的，那么g 包含非纯椭圆序列眠) ，使得z 专，以专，其中， 为恒等元。 定理3 2 5 【9 1 ：钇( 2 ，c ) 的一个包含斜驶元素的非初等子群是离散的当且仅当g 中每 一对斜驶元素生成的子群( 厂，g ) 是离散的。 在 3 0 中，曹文胜给出了高维的移( 1 ，z ；c ) 中有限生成的非初等子群g 是离散的当且 仅当任意两个斜驶元素生成的子群是离散的。 定理3 2 6 7 】：设g 是初等群，如果g 包含一个至少三阶的椭圆元素，那么g 是离 散的当且仅当g 的每一个由两个椭圆元素生成的非初等子群是离散的。 定理3 2 7 ：设g 非初等的，若g 包含一个至少三阶的椭圆元素，那么g 是离散的当 且仅当g 的每一个由椭圆元素厂和斜驶元g 生成的非初等子群( 厂，g ) 是离散的。 引理3 2 4 ：设g 非初等的，若g 包含一个至少三阶的椭圆元素，假设g 每一个由 一个椭圆元和一个斜驶元生成的非初等子群是离散的，那么g 的每一个由两个椭圆元素 生成的非初等子群是离散的。 l r 定理3 2 8 2 9 】：假设脱( 2 ，c ) 的非初等子群g 包含抛物元素，那么g 是离散的当且 仅当对g 中任意一对抛物元厂，g 生成的子群( 厂，g ) 是离散的。 引理3 2 5 ：设g 是睨( 2 ，c ) 中一个非初等和非