采用Matlab lmi工具进行控制系统鲁棒分析.pdf.pdf

键 采用 m mi 进行控 嚷 李泽滔 摘要 针时用线性矩阵不等式 l mi 描述的 h 控制 问题 本文介 绍如 何 利 用 ma t l a b软件 l mi 工 具进行分析 设计 文 中给 出了算倒和相应的计算 程序 时控制系统的鲁棒设计 县有参考意义 关键词 鲁棒控制 h 控 制 线性矩阵不等式 ma fl a b 一 ab s t r a c t t h i s p a p e r i n t r o d u c e s t h e me t h o d u s i n g l mi b o x o f ma t a l a b t o a n a l y s e h c o n t r o l p rob l e m wh i c h d e s c r i b e t e d b y l i n e a r i t y ma t rix i n e q u a l i t y t h e p a p e r s h o ws u s t h e e x a mp l e s a b o u t c a l c u l a t i o n me th o d a n d t h e p rog r a mme s i t i s h e l p f u l f o r rob u s t d e s i g n o f c o n t r o l s y s t e m ke y wo r d s r o b u s t c o n t r o n h c o n t r o l l m1 ma da h 中图分类号 t p 1 3 文献标识码 a 文章编号 1 0 0 1 2 2 5 7 f 2 0 0 0 0 6 0 0 3 9一o o o 4 0 引言 对不确定性系统的控制 8 0年代产生了鲁棒控 制理论 其中的h 控制理论十多年来获得了令人 瞩目的发展 成为分析和设计不确定性系统的有力 工具 h 控制理论牵涉较多的数学基础 且问题求解 需进行复杂运算 因而这一重要的理论和设计方法 还不为广大工程技术人员所掌握 然而由于该理论 具有许多其他理论没有的优点 吸引 了大量的研究 人员从事研究 使其在概念上和计算方法上获得了 一 次又一次的简化 大大缩短了与工程实际的距离 求解方法 和手段 是 h 控 制理论应用于工程 实际的关键制约因素 h 控制求解方法从最开始的 收稿 日期 l 9 9 9一 呻 一l 6 机械与电子 2 0 0 6 等 精 鼢 f 棒分析 可p 算子方法 插值方法 到后来 的代数 r i c c a t i 方程 方 法 越来越简单和容易 而近年来 出现的 l mi 线性 矩阵不等式 方法 使求解更加容易与合理 国际上著名的工程数据处理 软件包 m a t l a b 在 其工具箱里提供了求解线性矩阵不等式的软件工 具 这为我们用 l m i 方法求解 h 控制问题提供了 有力的支持 l l m i 与 h 鲁棒控制问题 许多有关控制系统鲁棒稳定性的问题都可归结 为 l mi 方程的求解 下面举 2例进行介绍 1 1 系统鲁棒稳定问题 考虑图 l 所示含 2个摄动块的不确定系统 a i 和 2分别表示等效到对象输入端和输出端的模 型 误差 a 1 a 2eh 且 1 i i i i 2 1 我们可以将此系统等效成图2 所示系统 其中 图1 图2 a 为块对角阵 i a 1 i 1 m s 为标称系统广 义模 型 根据结构奇异值理论 该系统存在模型摄 动 a的情况下 鲁棒稳定的充要条件是 s u p i l 如 l 1 一 er 其中 为结构奇异值 m 具有性质 p i n f c r d m d d ed i 1 d d 2 维普资讯 其中 d为结构 与 a相对应 的尼度矩 阵的集 合 这样 我们就得到系统在 a作用下仍保持鲁棒 稳定的充分条件是存在尺度矩阵d满足条件 ll d m s d 1 3 假定 m s 的状态空问实现为 m s c s i a b 4 则存在满足式 3 的尺度矩阵 d的条件归结为 如下线性矩阵不等式 l ni 有解 枷 c r d c x b i l 0 d 1 2 系统在滞后摄动下的鲁棒稳定性分析 考虑系统 t 舭 t 十e t 一 6 其中 er 为状态 向量 a er 为 已知常 数稳定矩阵 h 0为定常时滞 e t e 是 出现 在滞后状态向量系数矩阵中的时变摄动 假定 e t 满足 e t e t p 可以证明 保持系统 6 稳定的 e t 的最大容 许摄动界 p为 mi n p a r 0 s t 1 p a a p p l 0 7 l 0 p a j 0 p ra i n 8 2 ma t l a b中的 l m i 工具箱 值得注意的是 m a t l a b中 l ni 工具并不在鲁棒 控制工具箱 b o x r o b u s t 中 而是在专门的工具箱 b o x u m i 中 这里我们只介绍工具箱 中几个重要 的函 数 a s e t l m i s 1 m i s y s 0 功能 初始化新 的 i i i系 统 方法 键人 t h n is b x n d e c x d e e l m i v a r t y p e s f cu c t 功能 增加新的矩阵变量 到当前的 l mi 系统中 输入 4 0 t y p e 类型 根据变量 的不同类 型设置 1 3 1 对称块对角阵 2 满矩 阵 3 其他 s t r u c t 结构 填 写规则 若 t y p e 1 则 r l l c 的第 i 块描述 的第 i 个块对角阵 其 中 s c l i 1 代表块 的大小 s l mc l i 2 代表块的性质 如果是尺度块 z 则取0 如 果是满块 则取 1 如果是 0 块 则取 一1 若 t y p e 2 假如 是 m n矩阵 则 8 1 f u e l 若t y p e 3 则 s t r u c t 是一个 与 同维 的矩 阵 其中 s l r u c t 取值为 当 0时 s f t u e t i 0 当 j 为第 n个待求变量时 r l l c i n 当 t j 为第 n个待求变量乘上 一1 时 s t r u e t i j 一 n 输出 可选 新矩阵变量 的标识符 n d e c 目 前为止待求变量 的总数 x d e e 与待求变量有关 的 登录信息 c 1 mi t a g n e w l m i 功能 增加新 的 i 3 1 i 到 当前 描述的 l mi 系统中 并给予其标识号 l mi t a g 输出 l mi t g 新 的 l ni 的标识号 l mi l e n n t e n n i d a b fl a g 功能 向当前描 述的 i 3 1 i 系统 中的某个 i i i 增加一个项 下 面 代表矩阵变量 x x t 注意 因为对角块 i 和 i 可以相互转化 所以只需定义其中一个项的内 容 输入 t e n n i d 为4 输入向量用来指定项的位置 和性质 填写方式 该项位于第 n个 l n i 的左边 t e n i d 1 n 该项位于第 n个 i 3 1 i的右边 t e r m l d 1 一 n 该项属于 i 3 1 i 的第 块 t e r m i d 2 3 i j 对于外部因子 t e i d 2 3 0 0 该项属于常数项 t e r m l d 4 0 变量项a x b t e n n i d 4 x 变量项 a x b t e r mi d 4 一x a 可以是外部因子 常数项或者变 量项 a x b或 a x b的左系数 b 变量项 a x b或 a x b的右系数 fl a g 设 置 fl a g s 在一个 l mi t e n n函数内对对角块快捷定义表达 式 a x b a b e l m i s y s g e tl m is 功能 如果 i 3 1 i 系统已经用 l mi v 和 l mi t e n n进行了完整描述 则返 回这个 i 3 1 i 系统的内部描述 l m i s y s 内部描述 l m i s y s 能够直接 传递到i 3 1 i 求解工具或者其他 i i i i a b函数中 去 f t ra i n fl e a s f e a s p 1 m i s o p t io n s t a r g e t 功 能 求解 i 3 1 i 系统定义的线性矩阵不等式约束条件 问题的可解性 如果问题是可解 的 则输出 x f e a s 将 是待求变量向量的一个可解值 给定 机械与电子 2 o 0 0 6 维普资讯 l x 的可解性问题 f e a s p解决凸优化过程 对 r 求 m i n i m i z e f 如果 l l i i 系统 可解 则极小 化值 t rai n将是 负 的 f e a s p 在每次迭代过程中给出 f 的当前最佳值 输 入 l m i s l mi 约束的描述 o p t i o n s 选择项 控制参 数的 5输入向量 当设置 o p t i o n s i 0时 系统默 认缺省值 o p t i o n s的设 置 o p t i o n s 1 没用 0 p t i o n s 2 迭代的最大次数 缺省值 1 0 0 o p t i o n s 3 可行域半径 缺省值 1 0 o p t i o n s 4 如 果为整数 若在过去 次迭代后 t 仍未减小 1 将 强行中断迭代 缺省值 1 0 o p t i o n s 5 如果 非 0 则去掉运算 的中间记录 t a r g e t 目标 t ra i n 的目标值 缺省值 1 0 0 一旦 t t a r g e t 则代码 终止 输出 t rai n 终止时的 t 而且仅当 l mi 系统 是可解性的 t ra i n 0 x f e a 相 应的极 小化值 如 果 t ra in o x f e a s 将是 l mi 约束的一个可行向量 使用 d e c 2 m a t 可 以从 x f e a s 取出矩阵变量的值 g 1 c o p t x o p t j m i n c x 1 m i s c o p t i o n s x i n i t 功能 针对约束 r 极小化 c 其中 是待求变量的向量 输入 l m i s l m i 约束的 系统描述 c 与 同维的向量 o p t i o n s 选 择项 控制参数的 5输入向量 当 o p t i o n s i 0时 系统 使用缺省值 o p t i o n s 1 优化时的相对精度 缺 省值 0 0 1 o p ti o n s 2 迭代的最大次数 缺省 值 1 0 0 o p t i o n s 3 可行 域半径 r 缺省 值 1 0 9 o p t i o n s 4 如果为整数 则在过去 l次迭 代后目标 c 的减小低于 o p t io n s 1 将中断迭代 缺省值 1 0 o p t i o n s 5 如果非 0 则去掉运算 的中问记录 x in i t 的初始值 t a r g e t 目标值 一 旦可行 的 找到 即 t a r g e t 缺省值 一 1 0 2 0 中断造代 输出 c o p 目标 c x的极小化值 x o p t 待求变量 的极小化值 使用d e c 2 m a t 可以从 x f e a s 取 出相应 的矩阵变量的值 3 h 控制 问题 的求解 这里用两个例子说明如何利用 i 3 4 1 工具求 解 h 鲁棒控制问题 3 1 判断图 2所示系统的鲁棒稳定性 机械与电子 2 0 0 0 6 假定问题 已经归结为 5 式所示 l mi 系统的可 解性 其中 b c为已知矩阵 限于篇幅 a b c 的数据见程序清单 假定 o dl l o 0 0 0 d l l o 0 0 0 d 2 2 d 2 3 0 0 3 d 33 根据 ma t l a b的语法 按照题意在 e d i t窗 口编 辑如下 ma t l a b程序 a 一 1 2 81 0 0 1 7 9 3 0 0 1 9 4 0 9 3 0 4 0 0 9 2 0 0 7 01 2 一0 4 5 3 0 0 5 6 5 3 0 3 3 1 0 0 8 4 6 2 0 6 5 3 9 0 91 03 o 1 7 8 9 0 l 1 6 5 一 1 4 6 5 4 0 5 2 6 9 0 41 6 0 0 7 6 2 2 o 0 0 一l 4 4 6 5 0 4 9 2 3 0 0 8 2 5 0 0 0 0 0 2 9 7 一1 1 1 6 6 0 1 8 6 8 o 0 0 0 1 7l 1 0 4 3 3 2 0 9 l l o 输入 a矩阵 b 一0 2 3 7 5 0 1 7 1 8 9 9 1 0 4 9 8 2 5 5 一0 4 5 2 5 0 1 3 2 6 3 6 5 3 4 7 2 2 6 6 0 2 3 6 1 0 2 5 6 4 2 4 7 0 4 7 5 3 3 6 o 0 0 1 51 5 0 3 8 4 7 o 0 0 4 2 73 0 22 7 3 0 0 0 1 3 1 6 0 0 6 3 6 输入 b矩阵 c f 0 7 6 6 5 0 2 3 7 8 0 3 5 9 3 0 4 8 6 5 0 9 0 9 2 0 9 0 4 7 0 4 7 7 7 0 2 74 9 0 1 6 6 5 0 8 9 7 7 0 0 6 0 6 0 5 0 4 5 0 0 0 0 51 6 3 0 9 8 6 6 0 2 6 61 0 0 0 0 31 9 0 0 4 9 4 0 0 0 9 0 7 输入 c矩阵 s e t lm is 初始化新的 l m i 系统 x l mi v a r 1 6 1 定义变量 x d l mi v a r 1 2 0 2 1 定义变量 d b r l n e wl mi 定义 l mi l m i t e r m b r l ll x l a s 定义项 x x a l m i t e ml b r l l l d c c 定义项 c d c l mi t e n a b r ll 2 x 1 b 定义项 x b l m i t e ml b r l 2 2 d 一l 1 定义项 一d x p o s n e wl mi 定义 l m i l mi t e r m 一x p o sl l x l 1 定义右项 x s i mi n e w l m i 定义 l n i ml t e ml 一s l m i l l d 1 1 定义右项 d lm i te m l s l m i l l 0 1 定义项 单位矩 阵 i l m i s y s g e t l r n i s 返 回内部描述 t rai n x f e a s f e a s p 1 m i s y s 求解 将此程序 以某个名字 比如 t e s t 1保存 然后再在 m a t l a b命令窗 口键人 t e s t 1 我们将得到 t rai n 一1 8 3 9 0l 1 0 41 维普资讯 c f 一 f 因此 存在尺度矩 阵 d 满足式 5 图 2所示系统是鲁棒稳定的 3 2 求系统最大容许摄动界 p 进而得知 i mi t e n n t l m i i 1 0 i r l mi n e wl r o i 1 f h 的时滞最大容许摄动界 p 假定 d 一 一 根据 m a fl a b的语法 按 照题意在 e d i t窗 e l 编辑如 下 ma t l a b程序 a 一3 2 1 0 输入 a矩阵 i 1 0 0 i 输入单位矩阵 i s e t l m i s 初始化新 的 l mi 系统 w l m i v a r 1 1 i 定义变量 w 代表 t i mi v a r i 2 1 定义变量 t p i mi v a r i 2 1 定义变量 p b r l n e w l m i 定 义 l mi l m i r m b r l 1 1 t 一i i 定义项 一t l m i r m b r l 1 2 t 1 1 定义项 t m i l e r m b r l 1 3 0 0 定义项 0 l m i t e r m b r l 2 2 p 1 a s 9 定义项 p a a p l m i t e r m b r l 2 3 p 1 1 定义项 p l m i t e r m b r l 3 3 w 一1 i 定义项 一wi t l mi n e wl mi m i t e r m t l mi l i t 代表 一 i 定 义 l mi 定义项 i 定义 l m i i mi ml 一r l mi 1 1 p 1 1 定义右项 p i m i s y s g e l l m j s 逗 回内部描述 c 1 0 0 0 0 0 0 输 优化系数向 量 c 该 u i 系统待求变量共 7个 由于需优化 的待求变量 为 i 故 c i e o p t x o p t j m i n c x 1 m i s y s c 0 0 0 0 0 1 1 1 1 i i i 0 0 0 0 1 求解 用与 3 i同样 的方法运行此程序我们将得到 e o p t 3 4 3 2 5 说明最大容许摄动界 p 3 4 3 2 5 0 5 3 9 8 参考文献 1 冯纯伯等 鲁棒控制系统设计 m 南京 东南大学出 版社 1 9 9 5 1 2 2 俞 立等 具 有滞 后摄 动 的线性 系统 鲁棒 稳 定性 分析 j 控制理论与应用 1 9 9 9 4 3 p a c a r d a d wl e j c t h e c 0 m p i e x s t mc d s i n g u l a r v a l u