（基础数学专业论文）关于aluthge变换的值域的研究.pdf

关于a l u t h g e 变换的值域的研究 李泽 摘要算子理论产生于2 0 世纪，由于其在数学和其它科学中的广泛应用， 所以在2 0 世纪的前三十年就得到了很大的发展随着这一理论的不断发展，现 在这一理论已成为现代数学中的一个热门分支它与量子力学，线性系统和控制 理论，以及其他一些重要数学分支都有着密切的联系和相互渗透 本文主要对a l u t h g e 变换的值域中的代数算子，幂等算子和a l u t h g e 变换的 平移性质进行了研究同时还考虑了a l u t h g e 变换的值域的闭性和稠性具体内 容如下： 第一章主要介绍了本文中要用到的一些符号，定义和后两章要用到的一些定 理等第二节我们介绍了谱，点谱，近似点谱，幂等算子，a l u t h g e 变换，* - a l u t h g e 变换等概念第三节主要给出一些熟知的定理，同时还给出了t 和t ( + ) 的几种谱 之间的关系 第二章首先证明了b ( n ) 上a l u t h g e 变换的值域中的代数算子，幂等算子和 a l u t h g e 变换的平移性质证明了一个算子t 的a l u t h g e 变换t 是代数算子的 充要条件是t 是代数算子，并给出了t 是幂等算子的充要条件当咒是有限维 h i l b e r t 空间时，证明了如果算子t 的a l u t h g e 变换具有平移性质t + a = t + a , v a c ，则t 是正规算子 第三章我们考虑了a l u t h g e 变换的值域的闭性和稠性我们证明了r ( ) 在 b ( n ) 中既不闭也不稠，但是如果w 是无限维时，n ( z x ) 在8 ( w ) 中是强稠的 关键词：a l u t h g e 变换极分解代数算子幂等算子平移性质值域 o nt h er a n g eo ft h ea l u t h g et r a n s f o r m l iz e a b s t r a c t ：t h es t u d yo fo p e r a t o rt h e o r yb e g a ni n2 0 t hc e n t u r y s i n c ei ti s u s e dw i d e l yi nm a t h e m a t i c sa n do t h e rs c i e n t i f i cb r a n c h e s ，i tg o tg r e a td e v e l o p m e n t a tt h eb e g i n n i n go ft h e2 0 t hc e n t u r y w i t ht h ef a s td e v e l o p m e n to ft h et h e o r y ，n o w i th a sb e c o m eah o tb r a n c hp l a y i n gt h er o l eo fa l li n i t i a t o ri nm o r d e nm a t h e m a t i c s i th a sc l o s er e l a t i o n sa n di n t e r i n f i l t r a t i o n sw i t hq u a n t u mm e c h a n i c s ，l i n e a rs y s t e m a n dc o n t r o lt h e o r y , a sw e l la ss o m eo t h e ri m p o r t a n tb r a n c h e so fm a t h e m a t i c s ， i nt h i sa r t i c l e ，w es t u d yt h ea l g e b r a i co p e r a t o r sa n di d e m p o t e n to p e r a t o r si n t h er a n g eo ft h ea l u t h g et r a n s f o r m ，a n dt h et r a n s l a t i o np r o p e r t yo ft h ea l u t h g e t r a n s f o r m a tt h es a m et i m e ，w ed i c u s st h ec l o s e da n dd e n s ep r o p e r t i e sa b o u tt h e r a n g eo ft h ea l u t h g et r a n s f o r m t h ed e t a i l sa sf o l l o w i n g ： i nc h a p t e r1 。s o m en o t a t i o n s ，d 馥n i t i o n sa r ei n t r o d u c e da n d $ o n l ew e l l k n o w n t h e o r e m sa r eg i v e n i ns e c t i o n2 ，w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o n so fs p e c t r u m ，p o i n t s p e c t r u m ，a p p r o x i m a t ep o i n ts p e c t r u m ，i d e m p o t e n to p e r a t o r ，a l u t h g et r a n s f o r m ，+ 一 a l u t h g et r a n s f o r ma n d s oo n i ns e c t i o n3 ，w eg i v es o m ew e l l k n o w nt h e o r e m sa n d t h er e l a t i o n s h i po fs o m es p e c t r u mb e t w e e n 于a n d 雪畛 i nc h a p t e r2 ，w ef i r s td i s c u s st h ea l g e b r a i co p e r a t o r sa n di d e m p o t e n to p e r a t o r s i nt h er a n g eo ft h ea l u t h g et r a n s f o r m ，a n dt h et r a n s l a t i o np r o p e r t yo ft h ea l u t h g e t r a n s f o r m w es h o wt h a tti sa na l g e b r a i co p e r a t o ri fa n do n l yi ft i s s u b s e q u e n t l y , w eg i v ean e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rtt ob ea ni d e m p o t e n t w h e n i sa f i n i t ed i m e n s i o n a lh i l b e r ts p a c e 。w ep r o v et h a tti san o r m a lo p e r a t o ri fts a t i s f i e d t r a n s l a t i o np r o p e r t yt + a t + 土，f o ra l l 土i nt h ec o m p l e xp l a n e i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h ec l o s e da n dd e n s ep r o p e r t i e so ft h er a n g er ( ) = t ：t 嚣( 咒) ) o f w ep r o v et h a t 咒( ) i sn e i t h e rc l o s e dn o rd e n s ei nb ( 7 4 ) h o w e v e rr ( a 1i ss t r o n g l yd e n s ei f 咒i si n f i n i t ed i m e n s i o n a l k e y w o r d s ：a l u t h g et r a n s f o r m ，p o l a rd e c o m p o s i t i o n ，a l g e b r a i co p e r a t o r ， i d e m p o t e n to p e r a t o r ，t r a n s l a t i o np r o p e r t y , r a n g e 1 学位论文独创性声明 x9 0 0 0 5 3 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了弱确说踞并表示谢意。 作者签名：j 牟4 摹一 日期：上叠狸二l 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期阋论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校聪，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少薰复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阕：有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 有权将学位论文豹标题和摘要汇编出舨。 作者签名：二担 日期：丛r 前言 算子理论产生于二十世纪初，由于其在数学和其它科学中的广泛应用，所以 在二十世纪的前三十年就得到了很大的发展，并很快成为一门独立的学科，二十 世纪六十年代以后，不仅算子理论本身有了深入的发展，而且算子理论还深入到 了矩阵论，微分方程，最优化理论，统计学等众多数学分支，更值得注意的是它 在量子力学，物理学等许多领域都获得了广泛的应用，已经成为研究自然科学与 工程技术理论不可缺少的重要研究工具 1 9 9 0 年，a l u t h g e 定义了一个新的算子t = i t i u i t i ，其中t = u i t i 是 算子t 的极分解，且i t i = ( t + t ) i ，u 是具有始空间r ( i t i ) 和终空间r ( t ) 的部 分等距为了方便讨论，人们命名算子t 称为t 的a l u t h g e 变换且t 与部分等 距u 的选取无关见文献 1 】在2 0 0 1 年，t a k e a k iy a m a z a k i 在讨论t 与p 亚 正规，l o g - 亚正规，“j 一亚正规算子的幂次之间的关系时，又引入了一个新算子 t ( “，定义为t ( + ) = l t + 1 u i t + l 命名为+ 一a l u t h g e 变换两个新算子t 和t ( + ) 的 引入引起众多学者的注意他们开始了对t ，t 和t ( ) 的诸多性质的讨论在文 献【1 】中证明了，如果t 是p 亚正规算子且0 p ，3 时，r ( ) 中 包含所有的一秩算子进一步我们讨论了a l u t h g e 变换的平移性质，证明了在有限 维空间中正规算子具有平移性质，即若t + a = t + ，v c ，则t 是正规算子 2 2a l u t h g e 变换的值域中的代数算子 对任意t 舀( 咒) ，设a ( t ) = t 则a 定义了召) 上的一个映射，我们用 n ( z x ) = z x ( t ) ：t 召( 饨) ) 表示的值域 设t 8 ) ，若存在非零多项式p ，使得p ( t ) = 0 ，则称t 是代数算子，并 称次数最小的且满足p ( t ) = 0 的多项式p 为t 的极小多项式下面我们证明t 7 是代数算子的充要条件是t 是代数算子，且t 的极小多项式的指数不超过t 的 极小多项式的指数 设空间7 4 的正交分解为7 - t = k e r tok e r t 上，则因为k e r t = k e r t i ，所以有 l t i = ( ：三) ，其中a = 例i 丽可是单射稠值域算子 定理2 2 1 设t 8 ) ，则于是代数算子的充要条件是t 是代数算子且 于的极小多项式的次数不超过t 的极小多项式的次数 证明若空间咒的正交分解为7 t = k e r tok e r t 上，则i t i 有如下的矩阵形式： l t l = ( ：三) ， 其中a 是单射稠值域算子因此，l t p 是r ( i t i ) 上的单射稠值域算子由文献 8 中的引理2 2 可得，i t i p ( t ) = p ( t ) i t 阵 如果存在非零多项式p 使得p ( t ) = 0 ，则p ( 于) i t i = 0 也就是p ( t ) 列 ) = 0 若t 是单射算子，则有i t 一也是单射，所以p ( t ) = 0 否则，若t 不是单射，由 于p ( t ) = 0 ，则p ( z ) = q ( z ) z 因此有p ( t ) = q ( t ) t = 0 注意到k e r ( t ) k e r ( t ) ， 因此，对于任意的z k e r ( t ) = k e r ( i t l l ) ，有p ( t ) z = q ( t ) t x = o ，即v ( t ) = 0 于是有t 是代数算子且t 的极小多项式的次数不超过t 的极小多项式的次数 反之，如果p ( t ) = 0 ，则有1 t i p ( t ) = 0 ，所以卯( t ) = o ，即存在非零多项 式q ( z ) = 印( z ) ，使得q ( t ) = 0 因此t 也是代数算子且t 的极小多项式的次数 不超过t 的极小多项式的次数 也即 定理2 2 2 设t 8 ) ，则亍2 = 于充要条件是t 3 = t 2 证明如果于= t ，即 t i u i t i 1 t i u i t i = t i u i t i 8 则有 所以 反之，如果t 3 = t 2 ，即 ? 3 = t 2 t ( t x ) t = 0 也即 u i t i ( t i ) u i t i = 0 ， 则有 i t i 1 t i ( t i ) u i t i t i = 0 因为俐；是r ( i t i ) 上的单射稠值域算子所以 i t i ( t i ) u i t i ；= 0 ， 即 于z = 于 定理2 2 3 设t = u i t i 是t 的极分解，则于是投影的充要条件是p = t 2 且u + u 2 0 让h 月1 芟i 。= u i 1 1 是t 盯敬分肼，至| 日j 咒的止父分解为w = k e r 7 ok e r ：t ”， 则u 与l t l 分别有如下的矩阵形式： u = ( ：竣) ， 其中巩是从k e r t l 到k e r t 的有界线性算子，巩是作用在k e r t 上上的有界线 性算子，且 黔i ( ：三) ， 9 其中a 是单射稠值域算子于是有 亍= ( ：a ；兰a ；) ( 必要性) 设于是投影，则由命题2 2 2 可知，t 3 = t 2 且有a u 2 a 0 也即对v o w ， ( a 巩a 。，z ) 0 ， 即 ( 巩a i l 。，a i l 。) 0 由于a 是稠值域算子，因此有u 2 0 ，即u + u 2 0 ( 充分性) 由于t 3 = t 2 ，则由定理2 , 2 2 可知，t 是幂等算子由u + u 2 0 可知巩0 又因为a 是稠值域算子，所以可得( 巩a 。，4 。) 0 ，故有亍0 因此于是投影 定理2 2 4 如果铲= t ，则于是投影 证明设t = u i t l 是t 的极分解如果 t 2 = t 则有 l t l ；u l t i l t l u i t i i t l ；= l t l j l u l t l 一1l t l i l 因为i t i 是r ( i t i ) 上的单射，所以 即 即 另外由 t i u i t i i t i ；u i t i = i t i u i t i 于z = 于 u i t i ( t i ) = 0 1 0 可得 t t i ( t j ) = 0 ， 即 i t i u i t i i t i = i t 恳 所以 tk ub tb j i tk ；u + i t p = i tb u + i t i 因此 t ( t ) = ( t ) + ， 也就是 t = t ( t ) + ， 故有 ( 扎，z ) = ( 于( 于) + 。，z ) = ( ( 于) + z ，( 于) z ) = l i ( 于) + 。| 1 2 0 所以于是投影 子 2 3a l u t h g e 变换的值域中的一秩算子 这一节讨论当咒是有限维h i l b e r t 空间时，a l u t h g e 变换的值域中的一秩算 定理2 3 1 设d i m 列 o 。，z oy 是一秩算子 ( i ) 若d i m7 t = 2 ，则x o y r ( a ) 的充要条件是存在常数a c ，使得y = a x ( i i ) 若d i m 丸3 ，贝4z 可r ( ) 证明( i ) 设d i mw = 2 ，如果y = 地，则有茁o y 是正规算子，从而由文献 7 1 中的命题2 1 知，z o y 冗( ) 反之若茁o y = t ，其中t 舀) ，则由文献 2 】 中命题1 1 2 知，于是正规算子+ 因此存在a c ，使得y = a 。 。( ；：) 咖= ( i i i ) ， t = ( ；：1 t 壮( ；1 ) ( 1 ：1 ；) = ( | i ；) u = t l t i + = ( i ：1i ) ( ii ；) = ( i6 ；) 于= ( ；i ；) = z 。暑，冗c ， ( ；) 咖= ( ) ， 邓，= ( ) 则有 t c 卢，+ t ，= ( 号量；) ( ；i ；) = ( ；砻1 8 i 羹。) 陬硎k ( 川轧) 又由于t ( 卢) = u ( d ) i t ( d ) i 是极分解，l t ( p ) | | t ( 卢) i + 是n ( i t ( f 1 ) 1 ) 上的投影，所以 u c 卢，= t c 卢，l t c 卢，i + = 0 ：0 ：1 ) ( ：0l 井01 。i 。p 呈1 ，寻- 1 ) f i q l 2 + 1 t = ( 1i 蛾掌) t ( f l 丽= t ( f 1 ) l u ( f 1 ) i t ( f 1 ) i ；= ( 溆i 掣0 芋) ( 。0 。01卢l；1乜cl。02专，寻)=(。0。00 0i0 0 ：1 ) ， l1 卢l i 乜( 1 0 1 2 + 1 ) 寻l = i ol ， ， 则有 俐 血( 川2 + 1 ) 寻= o 由此知卢有解也就是说，存在卢，使得t ( ) = z 圆y r ( ) ，。、一 2 4a l u t h g e 变换的平移性质 ，、一 设8 ( w ) 是正规算子，则有+ a = n + a = n + a 设t b ( 咒) ，若 ，、一一 对任意a c ，有t + a = t + a ，则称t 的a l u t h g e 变换t 具有平移性质显然 当t 是正规算子时，t 的a l u t h g e 变换t 具有平移性质于是一个自然而有趣 的问题是该命题的逆命题是否成立，即是否只有正规算子的a l u t h g e 变换才具有 平移性质下面我们证明当咒是有限维h i l b e r t 空间时，结论成立 引理2 4 1 若t 有平移性质，则t 和t 相似 证明设t + a = 巩i t + a i 和t = u o l t l 分别是t + a 和t 的极分解，因为 t 有平移性质，也就是t + a = t + a 所以有 i t + a i 巩i t + a l = i t i u o l t i ；+ a ， i t + a i ( t + a ) = ( 于+ a ) i t + a l ， i t + 球t = t i t + 球 因为对充分大的a ，i t + a 悸是可逆的，所以t 和于相似 定理2 4 2 设咒是有限维h i l b e r t 空间，若对任意a c ，有t + a t c i ， 则t 是正规算子 证明如果t + a t c i ，则存在p c ，使得t + a = t + “，而由于 o ( t + a ) = a ( t + a ) = a ( t ) + a ， a ( t + p ) = o ( t ) + 卢= 盯( t ) + 芦 所以a = 地即t + a = t + a 因为对任意a c ，有 t + a t = a j ， 所以对任意a ，p c ，有 t + a + 弘= t + a + “ 故据引理2 3 2 有t + a 与t + a 相似 设空间w 的正交分解为? - l = k e r tok e r t 上，则t 和u 分别有如下的矩阵形 式： t = ( ：笺) ，u = ( ：竣) ， 所以 于= ( ：呈) ，x = ( 耳丑+ 写乃) 巩( 石墨+ 巧乃) 因此可知k e r t 是于的约化子空间再由t 和于相似知k e r t = k e r t 又由于对 任意a c ，有 衔= m = ( ：呈) + ( a 0a 0 ) = ( a 0a 牢x ) 所以有k e r t 也是t + a 的约化子空间，且( t + a ) l k e r t = a 1 胁t 对任意a 盯( t ) ， 取a = t a ，同理可知k e r a 是乃+ 的约化子空间，且k e r n = k e r t 而 a + a = a + a = t ，所以得k e r ( t a ) 是t 的约化子空间，且k e r ( t a ) = 七e r ( 于一a ) ，t i 胁( r 一 ) = a i k 。( t 一 ) 因此对任意两个不同的a ，p a ( t ) = o ( t ) ， 有k e r ( t a ) 上k e r ( t p ) 设a ( t ) = 盯( t ) = a 1 ，a 2 ，h ) ，其中i j 时， 丸，且k 札则有7 t = 墨1 0 k e r ( t 一 ) ，且 t = 九 也就是说于是正规的又因为t 和于相似，所以 于是有 t 一九= 阽r x l k x 2 k ： 儿 a l a ix 1 2x l i 一1 x l i z l i + i 。 z l 2 一a i ，- z 现一1t 2 1x 2 i + l - 茁2 a t l a z p 一1 ix i 一“+ 1 0 x i i + 1 a i + l 一九 1 5 x i - l k z 诎 x i + l k a t a l 因为 所以 而 ( t 一九) + = ( a 一九) r ( ( t 一九) + ) 上k e r ( t 一九) r ( ( t w ) o k e r ( t 一) 婷0 ： + z 矗一1 ( a i 一1 一a i ) + 石矗x i - l i 0 。i l + 1 z l i + 1z 矗+ 1( a 件l a t ) ；j!；! z ；kx 1 i - l k 。拓z 0 1 女( a k a i ) + 则对任意= ( f 1 ，已，靠) c ，有 所以 ( t 一九) + f = ( a - 一九) i 。 z 毳 0 111。 。；kz 耘 ( a - 一九) + - z 孔l + - + z 1 1 6 一i z i t f l + + ( a 女一九) & z ；，1 + 茁；i 6 + + z o n 已一1 = 0 + 堆 由的任意性知，vi ，j 有= 0 因此t = 于是正规算子 1 6 、厂 ，f-一 对于无限维h i l b e r t 空间，我们认为该结论也是成立的，但是目前还不能证 1 7 第三章a l u t h g e 变换的闭性和稠性 5 3 1 引言 虽然t 和t 已经被许多作者研究过，它们之间的诸多性质都被讨论过， 其中包括p 一亚正规性， f 叼一亚正规性，谱的关系，谱图像的关系，不变子 空间之间的关系，数值域包含关系和数值半径的大小的比较等等，但关于值域 r ( a ) = t ：t 8 ) 的闭性和稠性我们却知道的很少下面我们考虑a l u t h g e 变换的值域r ( a ) 的这些性质，我们证明了n ( a ) 在8 ( n ) 中既不闭也不稠但 是如果咒是无限维的，则r ( a ) 是强稠的 在本章我们用咒表示复可分的希尔伯特空间，b ( n ) 表示所有有界线性算 子，表示恒等算子如果7 t = c p ，p o o ，我们用 如代表8 ) ，用厶代表 3 2a l u t h g e 变换的值域的闭性 本节我们考虑在有限维空间中a l u t h g e 变换的值域的闭性 引理3 2 1 设p = 2 ，a = ( 二；) ，其中z 和是非零复数，则a 不属 于r ( ) 证明因为对任意a c ，有a r ( a ) r ( ) ，故我们不妨假定y = 1 假设存 在矩阵t m 2 ，使得a = ( t ) 设t = u i t i 是t 的极分解，取e l ，e 2 ) 为c 2 中 的一组典型基，则我们有 l t 卜1u l t 卜1e 2 ，e 2 ) = ( u i t i e 2 ，i t i e ：) = 0 由于a 可逆，故知 i t 障e 2 0 】8 7 7 = i i i t i e 2 1 i t i e 。， 则有 ( u 叩，叩) = 0 同时取一单位向量f ，使得上叩因为u 是酉算子，对某一常数n ，b c 且 l a l = i b i = 1 ，则有 u 叩= 口，l 博= 卸 对任意c ，d c ，令i tj ；e 1 = + 咖，则有 ( a e 2 ，e 1 ) = ( u i t 降e ：，i t i e 1 ) = a c l l l t i e 2 i i = 1 ， ( a e 。，e 2 ) = u i t i e 。，i t 卜1 e 2 ) = b c l l l t i e 2 | l 一1 ( a e l ，e 1 ) = 3 时，再由文献【2 】中命题1 1 2 可得bo 一3 不属于冗( ) 与以 上证明类似可得b o 一3 硒 2 0 、。矗 万。 一一 = = = 厶 二星l 、 0 1 0 1 0 o 0 0 1 ，l、 = k 、 0 0 1 一n 0 n 0lnuu ， | | 设 r 时 3 = p 当 2 ，一、 0 1 0 1 o 0 o 0 1 ，jl、 、 0 0 n o 1 o 0 n 0 1 o o 三n 0 0 o o 上水 、 0 1 o 1 0 o 0 o 0 ，il、 = 故综上可得r ( a ) 在8 ( w ) 中不闭，其中p 2 , 7 t = 5 3 3a l u t h g e 变换的值域的稠性 我们首先考虑有限维的情况设d i m t - l = p ，我们用所有p p 矩阵 表示b ) 设d 1 ，d 2 ，d p 是p 个复数，定义d i a g ( d 1 ，d 2 ，d p ) 是对角线为 d 1 ，屯，癖 的对角矩阵设t 埤且t 的极分解t = u i t i 假定u 是酉矩 阵对正矩阵i t l 屿，有对角矩阵d = d i a g ( d l ，d 2 ，嘭) 和酉矩阵y 使得 d 1 d 22 如和v i t i v = d 则我们有v t v + = d w d ，其中w = v u v + 是酉算子 引理3 3 1 设p 2 ，a 肘；是幂等算子且r a n k ( a ) = p 一1 ，r ( a ) + r ( 小) = 7 t ，则a 不属于r ( x ) 证明设a 心是幂等算子，且r a n k ( a ) = p 一1 ，r ( a ) + r ( a + ) = 咒，则 k e r ank e r a + = o 通过文献【2 中命题1 1 2 知a 不属于冗( ) 假定a r ( ) ，则存在序列 矗：n n ) c 嗨使得l i r i h _ + o 。( 死) = a 不失一般性，对任意的n n ，选取矗是可逆的设矗= “i 瓦l 是瓦的极 分解，仇，k 分别是对角矩阵和酉矩阵，且有k i 矗沪w = d 。，其中d 。= d i a g ( d 1 ( 礼) ，d 2 ( 礼) ，d p ( n ) ) ，n 是任意的，d i ( n ) 是正实数，i = 1 ，2 ，p ，则对任 意的n n ，都有k 死w = 工k w , d 。，其中i = k 以w 是酉算子如果需要，我 们可选一个子序列假定l i m 。_ + 。以= u ，l i m 。+ 。k = vl i m 。_ + 。od ( n ) = 咄( i = 1 ，2 ，p ) 是非负实数或正无穷大，则u 和y 都是酉算子，且w = l i r a 。_ + 。= y u p 也是酉算子因此存在非负整数k ，l ，s 使得p = + l 十8 ，且 以及 l i md i ( n ) = + 。，1 is 七， t 1 - - - ) o q ) i m 也( 礼) = d i 0 ， i 曼七+ f ，一0 0 。l 。i m 。也( n ) = 0 ，+ f i p 2 1 b = ( 萎孝b 2 12 铃 由于r a n k ( b ) = r a n k ( a ) = p - 1 ，可得d i m k e r ( b 3 1 ) s1 因此有( b x 2b l a ) 肚0 ，。毙0 褂w 2 3 ， b 1 1 b 1 2b 1 3b 1 4 、 肚l 害b 。2 2 。0 0 0 1 5 4 1 0o 0 类似地，如果b 4 l 0 ，则有6 1 4 = 0 而若b 1 4 = 0 则b 1 3 0 又因为若b 1 3 0 ， 则有b 4 l = b 3 1 ，这也与假设r a n k ( b ) p 一1 矛盾 2 若= s ，因为w 3 - = w 矗是等距的，在这种情况下，w 3 1 和w l a 都是酉 = ( 曼，0 计 ( 1 ) k = s = 1 ，在该情况下，有c p = c o c o c ，l i m 。- + 。d l ( n ) = + o o ， l i h 一+ 。d p ( 礼) = 0 ， b = b l l ：罨。2 葛) 因为b 2 = b ，所以b a l b l 3 = 0 如果6 1 3 = 0 ，因为k e r bnk e r b + = o ，则b 3 1 0 令- = ( 础玎( 礼) ) ，通过( 5 ) 和( 6 ) ，有 。1 + i m 。叫l p ( n ) = w 1 3 0 ， ( 7 ) 墨恐伽，- ( n ) = w 3 ，0 ( 8 ) 和 6 1 3 = 1 i md l ( 礼) 叫1 p ( 他) d ；( 礼) = 0 ， ( 9 ) b 3 1 2 一l i m 。d - ( n ) 嘶l ( n ) 如( n ) 0 ( 1 0 ) 因为由( 7 ) 和( 9 ) 可得 l i md l ( 礼) 如( n ) = 0 n - + 0 0 由( 8 ) 和( 1 0 ) 可得 1 i i i ld l ( 礼) d pn ) 0 这就得出矛盾 ( 2 ) 若k = s = 2 ，则c p = c 2 0 c o g 2 由( 2 ) 有r ( b 1 2 ) = r ( b , 3 ) 和b 2 1 8 1 3 = 0 ，所以有b 2 】b 】2 = 0 由此又可得 ( b 3 8 2 1 。) ( 民) = 。 这说明b 1 2 日2 l + b 1 3 岛l 是平方为零的矩阵由于b l l b l = b 1 2 8 2 1 + b 1 3 8 3 1 ， 所以可得a ( b n ) o ，1 如果b 。3 或岛1 中有一为0 ，则r a n k ( b ) s p 一2 ，得出矛盾接下来，假定b 1 3 和风l 都不为0 ，则它们都是一秩的因为( b 1 2b 1 3 ) 是一秩的，且b n b l 3 = b 1 3 ， 所以有b 1 1 8 1 2 = b 1 2 ，因此可得r a n k ( b 1 1 b 1 2b l s ) = r a n k ( b 1 1 ) 如果0 a ( b n ) ，则r a n k ( 日1 1 b 1 2b 1 3 ) 茎1 又因为r a n k ( b 3 1 ) = 1 ，所 以r a n k ( b ) 墨p 一2 这与假设r a n k ( a ) = r a n k ( b ) = p 一1 矛盾 如果丑1 1 可逆，则盯( b 1 t ) = 1 ) 且b n = 2 + x ，其中x 是平方为零的矩 阵，故有 r a n k ( b 3 b n 。b 0 1 2b 0 1 3 ) = 2 假定( b 。b ，s ) = ( 锄o r 2 ) ，其中啦是1 ( p 一2 ) 矩阵，i = 1 ，2 ，且 玩- = ( 6 ( p - 。1 ) lh p - - 。1 归) 事实上，如果x = 0 ，也就是b l l = 1 2 ，则由b 1 1 8 1 2 = 0 ，b 3 l b l 3 = 0 和 r a n k ( b 1 2b 1 3 ) = 1 可得 b ( p 一1 ) 1 a l + b ( p 一1 1 2 n 220 和 b p l c q + b p 2 a 2 = 0 于是有 ( 6 ( p 一1 ) 1 ，6 ( p 一1 ) 2 ，0 ) = 6 ( p 一1 ) 1 ( 1 ，0 ，o z l ) + 6 ( p m ( 1 ，0 ，0 2 ) 和 ( 1 ，b p 2 ，0 ) = 6 p l ( 1 ，0 ，0 2 1 ) + b p 2 ( 1 ，0 ，n 2 ) 也就是 r a n k ( b 岛n 。b 。1 2b 。1 3 ) 观 2 4 如果x 。，则存在一个2 2 酉矩阵y ，使得y b l l y * = ( 。1z 1 ) ，其中 茁0 因此，我们可假定b n 本身也具有这种形式因为b 1 ( b 1 2b t 3 ) = ( b 1 2b 1 3 ) 和b 3 1 b t , = b a l ，所以可得 因此有 故 因此可得 5 2 = 0 ，6 ( p t ) 1 = b p , = 0 b 1 2b 1 3 、 00 j 2 m ( 瓮2 3 ) = z r a n k ( b ) p 一2 这又与r a n k ( b ) = p 一1 矛盾所以通过以上证明，我们可得a 不属于硒 定理3 3 2 设p 2 , 7 t = ，则r ( ) 在昭) 中不稠 证明通过引理3 3 1 ，我们有r ( a ) 在b ( n ) 中不稠 接下来我们考虑无限维的情况 引理3 3 3 设咒是复可分的无限维希耳伯特空间，则r ( 7 ) c 冗( ) ，但 k ( “) 冗( ) ， 证明设a 是有限秩算子，且i i a i i = 1 取m = n ( a ) + 冗( ) ，则m 是咒 的有限维子空间，且m 是a 的约化子空间令 咒= m o m 上， 则有 a = ( 名1 ：) 2 5 、 m 0 o 0 2 z 。州吣 b 1 0 o o ，iiiil、 设v 是从m 到m 上的等距算子，t = ( y u 奠：a ，) ；。0 ) 是部分等距 因为 t + t = ( 吉口“p ) ( 呻0 洲：) 所以 t i = f 。1 设t = u i t l 是t 的极分解因为t 是部分等距，所以u = t 故 ( t ) = i t i u i t i = ( 。1 。0 ) ( 叫只i ；：) ( j ：) = ( a 1 ：) = 4 另一方面，设a 是具有非平凡的核和稠值域的紧算子例如，设 e 。：n n ) 是饨的一组正交基， o 。：n n ) 是一列由正数构成的递减序列，且满足 l i m n - + o 。o l n = 0 ，a 是权为 n 。：n n ) 的后侧加权移位算子，也就是a e l = 0 ， a e n = q n l e 。岫n 2 ，则通过文献f 2 中命题1 1 2 得a 是紧算子，且且不属于 r ( ) 定理3 3 4 设w 是复可分的无限维希耳伯特空间，则r ( ) 在范数拓扑下 既不闭也不稠，但在强拓扑下在召) 中稠 证明由引理3 3 3 知，r ( a ) 在b ( n ) 中不闭但是强稠另一方面，令g ， 表示在b ( n ) 中所有右可逆但不是可逆的算子构成的集合，则g ，是8 ) 中的非 2 6 、 0 0 l a 1 a一 ，0 +j a 0 o 1 a 1 0 ，、 空开子集因此由文献【2 】中命题1 1 2 知g ，nr ( a ) = d ，也就是r ( a ) 在廖) 中不稠 2 7 总结 算子代数上线性映射的研究是算子代数中非常蘸要的课题之一，对人们进一 步认识和理解算子代数的结构起着重要的作用，因此越来越受列嚼内外诸多学者 的关注，本文主要对a l u t h g e 变换的谴域中酶代数算予，幂等算予翻a l u t h g e 交 换的平移性威进行了讨论，同时还考虑了a l u t h g e 变换的值域的一些基本性质， 得到了以下一些结果：本文第二章首先介绍了b ( n ) 上a l u t h g e 变换的值域中的 代数算子，幂等算子狡a l u t h g e 变羧静平移往羼。证骥了一个葵子? 酶a l u t h g e 变换t 是代数算子的充要条件是t 是代数算子，并给出了t 是幂等算子的充簧 条件接着诞明了当7 t 是有限维h i l b e r t 空间时，如果算子? 的a l u t h g e 变换具 霄平移控豢r + a = ? 十a ，v c ，曼l t 燕正规算予本文第兰章考虑了a l u t h g e 变换的值城的闭性和稠性我们证明了r ( ) 在b ( n ) 中既不闭也不稠，但魁如 果咒是无限维时，月( ) 在8 ) 中是强稠的 2 8 零泽 2 0 0 5 年4 月 参考文献 【1 】a a l u t h g e o np - h y p o n o r m a io p e r a t o r sf o r0 p 1 i n t e g r a le q u a t i o n so p e r a t o r t h e o r y , 1 9 9 0 ，1 3 ：3 0 7 - 3 1 5 2 】i b j u n g ，e k oa n dc p e a r c y a l u t h g et r a n s f o r m so fo p e r a t o r s i n t e g r a le q u a t i o n s o p e r a t o rt h e o r y , 2 0 0 0 3 7 ：4 3 7 4 4 8 3 】i b j u n g ，e k oa n dc p e a r c y s p e c t r a lp i c t u r e so fa l u t h g et r a n s f o r m so fo p e r a t o r s i n t e g r a le q u a t i o n so p e r a t o rt h e o r y , 2 0 0 1 ，4 0 ：5 2 6 0 4 t y a m a z a k i o nn u m e r i c a lr a n g eo ft h ea l u t h g et r a u s f o r m t i o n l i n e a