云南省2019年中考数学面对面函数与几何图形综合题题库.docx

函数与几何图形的综合题1.已知抛物线y=ax2+bx-8（a0）的对称轴是直线x=1，（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x的方程ax2+bx-8=0，有一个根为4，求方程的另一个根.解：（1）抛物线的对称轴为直线x=1，-=1，2a+b=0；（2）关于x的方程ax2+bx-8=0，有一个根为4，抛物线与x轴的一个交点为（4，0），抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），方程的另一个根为x=-22.在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与y轴交于点A，并且经过点B（3，n）（1）求点B的坐标；（2）如果抛物线y=ax2-4ax+4a-1（a0）与线段AB有唯一公共点，求a的取值范围. 第2题图解：（1）把x=3代入y=x+1，得y=3+1=4，点B的坐标为B（3，4）；（2）由题意可知线段AB的解析式为：y=x+1（0x3），y=ax2-4ax+4a-1=a（x-2）2-1，抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-1），点A（0，1），点B（3，4），当抛物线y=ax2-4ax+4a-1（a0）与线段AB有唯一公共点时，4a11，32a43a+4a14或4a11，32a43a+4a14解得a5，无解，综上所述，当a5时，抛物线与线段AB有一个公共点. 第2题解图3.已知抛物线y=2x2+bx+c经过点A（2，-1）（1）若抛物线的对称轴为x=1，求b，c的值（2）求证：抛物线与x轴有两个不同的交点；（3）设抛物线顶点为P，若O、A、P三点共线（O为坐标原点），求b的值解：（1）由题意得： 8+2b+c1，=1.解得：b4 ，c1；（2）证明：把A（2，-1）代入抛物线y=2x2+bx+c得：8+2b+c=-1，c=-9-2b，=b2-42c=b2-8（-9-2b）=（b+8）2+80，抛物线与x轴有两个不同的交点；（3） A（2，-1），O（0，0），直线OA的解析式为：y=.O、A、P三点共线，P在直线OA上，设P（a,）,则, 解得：b=-8或-9.4.已知二次函数y=ax2-4ax+3a（）求该二次函数的对称轴；（）若该二次函数的图象开口向下，当1x4时，y的最大值是2，且当1x4时，函数图象的最高点为点P，最低点为点Q，求OPQ的面积；（）若二次函数的图象开口向下，对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当tx1t+1，x25时，均满足y1y2，请结合图象，直接写出t的最大值解：（）对称轴x=-=2.（）该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x=2，当x=2时，y取到在1x4上的最大值为2，即P（2，2），4a-8a+3a=2，a=-2，y=-2x2+8x-6，当1x2时，y随x的增大而增大，当x=1时，y取到在1x2上的最小值0当2x4时，y随x的增大而减小，当x=4时，y取到在2x4上的最小值-6当1x4时，y的最小值为-6，即Q（4，-6）OPQ的面积为4（2+6）-222-462-（4-2）（2+6）2=10；（）当tx1t+1，x25时，均满足y1y2，当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，满足条件，t+15，t4，t的最大值为4.5.已知直线y2xm与抛物线yax2axb有一个公共点M(1，0)，且ab.(1)求抛物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示)；(2)说明直线与抛物线有两个交点；(3)直线与抛物线的另一个交点记为N，若1a，求线段MN长度的取值范围解：(1)抛物线过点M(1，0)，aab0，即b2a，yax2axbax2ax2aa(x)2，抛物线顶点Q的坐标为(，)；(2)直线y2xm经过点M(1，0)，021m，解得m2，把y2x2代入yax2ax2a，得ax2(a2)x2a20，(a2)24a(2a2)9a212a4，又ab，b2a，a0，b0，9a212a40，方程有两个不相等的实数根，直线与抛物线有两个交点；(3) 把y2x2代入yax2ax2a，得ax2(a2)x2a20，即x2(1)x20，x()2()2，解得x11，x22，将x2代入y2x2得y6，点N(2，6)，由勾股定理可得，MN2(2)12(6)24520()2，1a，则21，0，MN2()3，又1a，5MN7.6.在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线yx4经过A，C两点在AC上方的抛物线上有一动点P，设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)如图，过点P作PDy轴交AC于点D，当线段PD取得最大值时，求m的值.第6题图解：(1)直线yx4经过A，C两点，A(4，0)，C(0，4)，又抛物线yx2bxc过A，C两点，解得，抛物线的解析式为yx2x4；(2)抛物线的解析式为yx2x4，且点P的横坐标为m(4m0)，P(m，m2m4)，PDy轴，直线AC的解析式为yx4，D(m，m4)，PDm2m4(m4)m22m(m2)22，当m2时，线段PD取得最大值.7.如图，在平面直角坐标系中，直线yx1与抛物线yax2bx3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与点A、B重合)，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PDAB于点D.(1)求抛物线的解析式及sinACP的值；(2)设点P的横坐标为m.连接PB，线段PC把PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为9 10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由第7题图解：(1)由x10，得x2，A(2，0)，由x13，得x4，B(4，3)yax2bx3经过A、B两点，解得，抛物线的解析式为yx2-x3；如解图，设直线AB与y轴交于点E，则E(0，1)PCy轴，ACPAEO.sinACPsinAEO；(2) 存在，m或.【解法提示】如解图，过点D、B作DFPC，BGPC，垂足分别为点F、G.由图中几何关系可知FDPDCPAEO，cosFDPcosAEO，在RtPDF中，DFcosFDPPDPD(m22m8)又BG4m，FG.当时，解得m；当时，解得m.第7题解图m或.8.如图，抛物线yx2x2与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，M是直线BC下方的抛物线上一动点(1)求A、B、C三点的坐标；(2)连接MO、MC，并把MOC沿CO翻折，得到四边形MOMC，那么是否存在点M，使四边形MOMC为菱形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由；第8题图解：(1)令y0，则x2x20，解得x14，x21，点A在点B的左侧，A(1，0)，B(4，0)，令x0，则y2，C(0，2)；(2)存在点M，使四边形MOM C为菱形如解图，连接MM ，设M点坐标为(x，x2x2)(0x4)，四边形MOM C是菱形，MM 垂直平分OC，OC2，M点的纵坐标为1，第8题解图x2x21，解得x1，x2(不合题意，舍去)，M点的坐标为(，1).9.如图，一次函数yx2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线yx2bxc过A、B两点. (1)求这个抛物线的解析式；(2)作垂直x轴的直线xt，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N，求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？(3)在(2)的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标解：(1)yx2分别交y轴、x轴于A、B两点，令x0，则y2，令y0，则x4，A、B点的坐标为：A(0，2)，B(4，0)，将A(0，2)，B(4，0)分别代入yx2bxc中，得，解得，抛物线的解析式为：yx2x2；(2)点N的坐标为(t，t2t2)，点M的坐标为(t，t2)，MNt2t2(t2)t24t(t2)24(0t4)，当t2时，MN有最大值，最大值为4；(3)由(2)可知，A(0，2)，M(2，1)，N(2，5)，当以AN和AM为对角线时，ADMN且ADMN，点D在y轴上，设D(0，a)，由ADMN，得|a2|4，解得a16，a22，第9题解图D1(0，6)，D2(0，2)；当以MN为对角线时，由中点坐标公式可得xAxD3xMxN，yAyD3yMyN，xD34，yD34，D3(4，4)，综上所述，点D的坐标为(0，6)或(0，2)或(4，4)10.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2bxc过点A(0，4)和C(8，0)，P(t，0)是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90得线段PB，过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线交于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)当t为何值时，点D落在抛物线上；(3)是否存在t，使得以A，B，D为顶点的三角形与AOP相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由第10题图解：(1)由抛物线yx2bxc过点A(0，4)和C(8，0)可得，解得.抛物线的解析式为yx2x4；(2)AOPPEB90，OAPEPB90APO，AOPPEB，则2，AO4，P(t，0)，PE2，OEOPPEt2，又DEOA4，点D的坐标为(t2，4)，点D落在抛物线上时，有(t2)2(t2)44，解得t3或t2，t0，t3.故当t为3时，