（基础数学专业论文）具有五个几乎相等的素变量的华罗庚定理.pdf

具有五个几乎相等的紊变量的华罗庚定理 吕广世 ( 山东大学数学与系统科学学院，山东济南2 5 0 1 0 0 ，中国) 摘要 1 9 3 8 年。华罗庚【1 l 证明了每个充分大的整数n 兰5 ( m o d 2 4 ) 可以表为五个素 数的平方之和显然这一经典结果可以看成著名的g o l d b a c h v i n o g r a d o v 定理 2 】 的菲线性推广丽对它又深化了l a g l a n g e 四平方定理。 另外。许多作者研究了g o l d b a c h v i n o g r a d o v 定理的另一推广：将一个大奇数 表为三个几乎相等的索数之和( 见文 3 一【5 ) 目前该问题圆法方向的最好结果是 由展涛 6 】在潘承洞和潘承彪【5 】工作的基础上得到的。他证明了每一充分大的奇 数可以表为 n = p 1 + p 2 + p 3 ，i p 。一n 3 1 n ( 1 0 9 n ) 。 且解数有渐近公式成立遂一问题筛法方面的最好结果是由b a k e r 和h a r n ：a n l 7 获 得的，他们证明了上式中的指数；可以改进为；当然如我们所知，筛法的结果得 不到渐近公式 考虑到这些深刻的结果，研究具有五个几乎相等的素变量的华罗庚定理无疑是 很有意义的工作但是这一问题在本质上不同于甚至难于它相应的线性情况因为 我们用来处理线性情况的方法在这里只能给出显然结果这一问题的主要困难在于 应用圆法时我们不得不处理非常大的主区间 刘建亚和展涛在文【8 】中首次给出了此间题的一个有条件的结果具体说来他 们证明了：在广义黎曼假设( g r h ) 下，每个充分大的整数n 兰5 ( m o d 2 4 ) 可以表 为五个几乎相等的素数的平方之和 n = p i + p ；十p ；+ p i + 建， ( o 。1 ) 这里i 功一、鲁l uj = 1 ，2 ，5 且u = 一南押稍后b a u e r 9 】无条件地证明 了( o 1 ) 式对u = i “成立这里6 0 ，其确切数值依赖于d e u r i n 争h e i l b r o n n v s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r 8 ld i s s e r t a t m n 现象中的常数值且文中没有具体定出其值。1 9 9 8 年，刘建亚和展涛【l o 】发现了处理 圆法中扩大了的主区间的新方法。在这一方法中可能存在的s i e g e l 零点没有特殊的 影响，因此我们就可以避开像以往处理扩大了的主区间那样应用d e u f i n g h e i l b r o n n 现象。这一方法在具体应用时不仅简化了处理过程，而且由此得到的结果在本质上 总是优于利用d e u r i n g h e i l b r o n n 现象所得的结果利用这一新方法。他们证明了当 u = 一女“时，( o 1 ) 式成立。这一新方法在文i 1 1 】及【1 6 j 中逐渐得以发展和完 善。最近b a u e r ( 1 7 】利用上述方法得到了结果u = 一龋枉。作者 1 8 】通过改动 刘建亚f 1 9 1 中的处理方法得到了此问题目前最好的结果：( o 1 ) 式对u = 一蠹枢 成立 在这篇毕业论文中，我们改进了已有的结果。我们将证明( 01 ) 式对 u = ；一去“，( o 2 ) 成立。 我们将利用圆法证明该结果。不同于以往，在本文中我们将单位区间分为三部 分：主区间m ，余区间c ( z 4 ) ，及中间区间冗 利用刘建亚和展涛8 1 建立的小区间上的素变数三角和估计我们容易证明余 区间上有可允许的上界估计这样本文的主要困难产生于两方面：一是要处理扩大 了的主区间，建立主区间上合用的渐近公式另外还要证明中间区间上有可允许的 上界估计 为了克服由主区间造成的困难，在应用圆法时我们利用了一个类似于文 1 9 1 中 的迭代过程以便我们可以充分利用引理3 1 中的指数为了实现这一过程，我们 利用g a l l a g h e r 引理，l 函数零点分布的经典结果及关于d i r i c h l e t 多项式的一个 混合型估计来估计文中定义的j ( 9 ) 和( 9 ) 利用这些新要紊，我们在定理2 得到 了主区闯上的渐近公式我们将在第3 章中解释具体的细节 对于中间区间，我们主要是注意到引理4 1 中的指数；大于1 因此我们可以 利用文【2 0 】中的方法的变体来处理中间区间由此我们建立了文中定理3 关键词：堆垒素数论，圆法，迭代方法 v l h u a ，st h e o r e mw i t hf i v ea l m o s t e q u a l p r i m ev a r i a b l e s l i lg u a n g s h i ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y ) a b s t r a c t i n1 9 3 8 ，h u a 1 p r o v e dt h a te a c hl a r g e i n t e g e rc o n g r u e n t t o5m o d u l o2 4c a nb e w r i t t e na st h es u mo ff i v es q u a r e so fp r i m e s o b v i o u s l yt h i sr e s u l tc a nb e r e g a r d e d a san o n l i n e a re x t e n s i o no ft h ew e l l k n o w ng o l d b a c h v i n o g r a d o vt h e o r e m 【2 】a n di t a l s og i v e sad e e pi n s i g h ti n t ol a g l a n g e st h e o r e mo ff o u rs q u a r e s o nt h eo t h e rh a n d a n o t h e rg e n e r a l i z a t i o no ft h eg o l d b a c h v i n o g r a d o vt h e o r e m - t h ep r o b l e mo fr e p r e s e n t i n ga no d d i n t e g e ra sas u m o ft h r e ea l m o s te q u a lp r i m e s h a sb e e na t t a c k e db yan u m b e ro fa u t h o m ( s e e 【3 l - 【5 】) b a s e do nt h ew o r ko fp a n a n dp a n 5 ，z h a n 6 p r o v e dt h a te v e r yl a r g eo d di n t e g e rnc a nb er e p r e s e n t e da s n = p l + p 2 + p 3 ，i p i n 3 1 n ( 1 0 9 n ) 。 a n da na s y m p t o t i cf o r m u l ah o l d sf o rt h en u m b e ro fr e p r e s e n t a t i o n s 。1 1 h eb e s tr e s u l t o b t a i n e db yt h es i e v em e t h o di sd u et ob a k e ra n dh a r m a n 7 ，w h oh a sr e d u c e dt h e e x p o n e n t ；t o a t t h ec o s to ft h ea s y m p t o t i cf o r m u l a i nv i e wo ft h e s er e s u l t si ts e e m si n t e r e s t i n gt os t u d yh u a t h e o r e mw i t hf i v e a l m o s te q u a lp r i m ev a r i a b l e s b u tt h i sp r o b l e mi se s s e n t i a l l yd i f f e r e n tf r o ma n d m o r ed i f f i c u l tt h a nt h ec o r r e s p o n d i n gl i n e a rc a s e t h em e t h o du s e dt ot r e a tt h e l i n e a rc a s ec a no n l yg i v et r i v i a lr e s u l th e r e t h em a i nd i f f i c u l t yi st h a to n eh a st o t r e a tt h eq u i t el a r g em a j o ra r e sw h e na p p l y i n gt h ec i r c l em e t h o d t h ef i r s tc o n d i t i o n a lr e s u l ti nt h i sp r o b l e mi sd u et ol i ua n dz h a af 8 1 u n d e r t h eg e n e r a l i z e dr i e m a n n h y p o t h e s i s ( g a l l ) ，t h e ys h o w e dt h a te a c hl a r g ei n t e g e rn c o n g r u e n tt o5m o d u l o 2 4c a nb ew r i t t e na ss u m so ff i v ea l m o s te q u a lp r i m e s q u a r e s n = p 2 + p l + p i + p ：+ 建，( o 1 ) 1 1 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n w h e 叫功一店i s 玑j = l ，2 ，5 f o r u ：；一击“ l a t e rb a u e rf 9 1s h o w e dt h a tu n c o n d i t i o n a l l yt h ef o r m u l a ( 0 1 ) h o l d st r u ef o ru = _ 一，w h e r e6 0a n di t se x a c tv a l u ed e p e n d so nt h ec o n s t a n t si nt h ed e u r i n g - h e i l b r o n np h e n o m e n o n ，a n di sn o tn u m e r i c a l l yd e t e r m i n e d i n1 9 9 8 ，l i ua n dz h a n 【1 0 】f o u n dt h en e wa p p r o a c ht ot r e a tt h ee n l a r g e dm a j o r a r c si nt h ew a r i n g - g l o d b a c hp r o b l e m ，i nw h i c ht h ep o s s i b l ee x i s t e n c eo fs i e g e lz e r o d o e sn o th a v es p e c i a li n f l u e n c e ，a n dh e n c et h ed e u r i n g h e i l b r o n np h e n o m e n o nc a n b ea v o i d e dt h i sa p p r o a c hi sn o to n l yt e c h n i c a l l ys i m p l e r ，b u ta l s og i v e s ，w h e n a p p l i c a b l e ，s u b s t a n t i a l l yb e t t e r r e s u l t st h a nt h ed e u r i n g h e i l b r o n np h e n o m e n o n d u et ot h i sa p p r o a c h ，t h e yo b t a i n e dt h a t ( o 1 】i st r u ef o r u ：n 一由+ c t h i sa p p r o a c hi ss u b s e q u e n t l yi m p r o v e da n de l a x i f i e di n 【1 1 1a n d 【1 6 r e c e n t l y b a u e r 【1 7 u s e dt h ea p p r o a c hm e n t i o n e d a b o v et os h o wt h a t u ：j ) v 一揣+ s i sa c c e p t a b l e b ym o d i f y i n gt h ea r g u m e n t so fl i uf 1 9 ，t h ea u t h o r 1 8 】o b t a i n e dt h e b e s tr e s u l th i t h e r t ot h a t ( o 1 ) h o l d sf o r u ： 一击+ e i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w es h a l ls h a r p e nt h ef o r m e rr e s u l t sb ys h o w i n gt h a t ( 0 1 ) i s t r u e f o r u = 一去枉 ( 0 , 2 ) t h i st h e o r e mi sp r o v e db yt h ec i r c l em e t h o d u n l i k et h eu s u a lp a r t i t i o no ft h e u n i ti n t e r v a l h e r ei t i sd i v i d e di n t ot h r e et y p e so fa r c s ：t h em a j o ra r c sm ，t h e m i n o ra r c sg ( m ) ，a n dt h ei n t e r m e d i a t ea r c s 冗 o nu s i n gl i ua n dz h a n se s t i m a t e s 【8 】f o re x p o n e n t i a l s u m so v e rp r i m e si ns h o r t i n t e r v a l s ，w ec a ne a s i l yt r e a tt h em i n o r a r c s t h e nt h em a i nd i f f i c u l t i e si nt h i sp a p e r n l s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n a r i s ei nt w o r e s p e c t s ：o n ea r i s e si nc o n t r o l l i n gt h ec o n t r i b u t i o n sf r o mt h eq u i t el a r g e m a j o ra r c s ，t h eo t h e ra r i s e si nb o u n d i n gt h ec o n t r i b u t i o n sf r o mt h ei n t e r m e d i a t e a r c s i no r d e rt oo v e r c o m et h ed i f f i c u l t i e sc a u s e db yt h em a j o r a r c s ，w eu s ea n i t e r a t i v e p r o c e d u r es i m i l a r t ol i u 1 9 i nt h ec i r c l em e t h o ds ot h a tw ec a l lu s et h ef u l ls t r e n g t h o ft h ee x p o n e n t i nl e m m a3 , 1b e l o w t ot h i se n dw eu s eg a l l a g h e r sl e m m a ， c l a s s i c a lr e s u l t so nt h ed i s t r i b u t i o no fz e r o so fl f u n c t i o na n dah y b r i de s t i m a t ef o r d i r i c h l e tp o t y n o m i n a l st ob o u n dj ( g ) a n dk ( g ) d e f i n e di nt h i sp a p e r d u et ot h e s e n e wi n g r e d i e n t sw eo b t a i n e dt h ea s y m p t o t i cf o r m u l ao nt h em a j o ra r e si nt h e o r e m 2t h ed e t a i l sw i l lb ee x p l a i n e di nc h a p t e r3 t 0t h ei n t e r m e d i a t ea r c s ，o u rm a i no b s e r v a t i o ni st h a tt h ee x p o n e n t ；i nl e m m a 4 1i s l a r g e rt h a n1 s ot h a tw ea r ea b l et ou s eav a r i a n to ft h ep r o c e d u r eu s e db y l i u ，w o o l e ya n d 、，u 2 0 】d e a lw i t ht h ec o n t r i b u t i o n sf r o mt h ei n t e r m e d i a t ea r c s t h i sp r o c e d u r eg u a r a n t e e st h a tt h e o r e m3h o l d st r u e k e y w o r d s ：a d d i t i v et h e o r yo fp r i m en u m b e r s ，c i r c l em e t h o d ，i t e r a t i v em e t h o d i v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名：墨主堡 日期：翌口￥、型 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本 学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：兰j 生一导师签名： 期：1 9 以：一：占 p l ，p 2 。 n 1 ，m 2 ，n ( a ，b ) 【a b ，】 n 三b ( m o d q l e ( z ) l ( 扎) p ( n ) a ( n ) 1 _ ( 凡) ) ( r o o dg ，x 。r o o d 口 l ( s ，) r r e c i ( 5 ) = 0 ( 9 ( z ) ) ，( t ) 9 ( z ) n o t a t i o n s p f i m p s i n t e g e r s t h eg r e a t e s tc o m m o nd i v i s o ro faa n db t h el e a s tc o m m o n m u l t i p l eo fo ：6 ， q 0 ，口i o b e x p ( 2 _ 7 r i z ) l o g n e u l e r sf u n c t i o n t h em 5 b i u sf u n c t i o n y o nm a n g o l d t 7 sf u n c t i o n d i r i c h l e t sd i v i s o rf u n c t i o n d i r i c h l e tc h a r a c t e ra n dt h ep r i n c i p a lc h a r a c t e rm o d u l o q t h ed i r i c h l e tl f u n c t i o n r r o ，( 雾) = o ( ( 。) ) c h a p t e r 1i n t r o d u c t i o na n dm a i nr e s u l t s i nt h ea d d i t i v et h e o r yo fp r i m en u m b e r s ，o n es t u d i e st h er e p r e s e n t a t i o no f p o s i t i v ei n t e g e r sb yp o w e r so fp r i m e s f o rt h eq u a d r a t i cc a s e ，h u a 1 】p r o v e dh i s c e l e b r a t e dt h e o r e m ，w h i c hs t a t e st h a te a c hl a r g ei n t e g e rc o n g r u e n tt o5m o d u l o2 4 c a nb ew r i t t e na st h es u mo ff i v es q u a r e so fp r i m e s t h i sr e s u l tc a nb er e g a r d e da s an o n l i n e a re x t e n s i o no ft h eg o l d b a c h v i n o g r a d o vt h e o r e mi 2 ja n di ta l s og i v e sa d e e pi n s i g h ti n t ol a g l a n g e st h e o r e mo f f o u rs q u a r e s o nt h eo t h e rh a n d ，a n o t h e r g e n e r a l i z a t i o no f t h eg o l d b a c h v i n o g r a d o vt h e o r e m t h ep r o b l e mo fr e p r e s e n t i n ga no d d i n t e g e ra sas u m o ft h r e ea l m o s te q u a lp r i m e s h a sb e e na t t a c k e db yan u m b e ro fa u t h o r s ( s e e 【3 1 一【s 1 ) b a s e do nt h ew o r ko fp a n a n dp a n i c ，z h a n 6 】p r o v e dt h a te v e r yl a r g eo d d i n t e g e rn c a nb er e p r e s e n t e da s n = p 1 + p 2 + 舶，i p , 一n a 1 n ( t o g n ) a n da na s y m p t o t i cf o r m u l ah o l d sf o rt h en u m b e ro fr e p r e s e n t a t i o n s t h eb e s tr e s u l t o b t a i n e db yt h es i e v em e t h o di sd u et ob a k e ra n dh a r m a n 7 ，w h oh a sr e d u c e dt h e e x p o n e n tit o a t t h ec o s to ft h ea s 舯p t o t i cf o r m u l a i nv i e wo ft h e s er e s u l t si t s e e m s 、i n t e r e s t i n gt os t u d yh u n t h e o r e mw i t hf i v e a l m o s te q u a lp r i m ev a r i a b l e s b u tt h i s p r o b l e mi se s s e n t i a l l yd i f f e r e n tf r o ma n d m o r ed i f f i c u l tt h a nt h ec o r r e s p o n d i n gl i n e a rc a s e t h em e t h o du s e dt ot r e a tt h e l i n e a rc a s ec a no n l y 西v et r i v i a lr e s u l th e r e u n d e rt h eg e n e r a l i z e dr i e m a n nh y p o t h e s i s ( g r h ) ，l i ua n dz h a n 【8 1a tf i r s t s h o w e dt h a te a c hl a r g ei n t e g e rn c o n g r u e n tt o5m o d u l o2 4c a nb ew r i t t e na ss u m s o ff i v ea l m o s te q u a lp r i m es q u a r e s m o r ep r e c i s e l y , t h e yp r o v e dt h a tu n d e rg r h n = 建+ 锺+ 砖+ 建+ 砖，( 1 1 ) w h e r eb 一、譬i 以j = l ，2 ，5f o r u ：卜由“ l a t e rb a u e r 9 】s h o w e dt h a tu n c o n d i t i o n a l l yt h ef o r m u l a ( i i ) h o l d st r u ef o ru = ；，w h e r e620a n di t se x a c tv a l u ed e p e n d so i lt h ec o n s t a n t si nt h ed e u r i n g - h e i l b r o n np h e n o m e n o n ，a n di sn o tn u m e r i c a l l yd e t e r m i n e d 1 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n i n1 9 9 8 ，l i ua n dz h a n 1 0 f o u n dt h en e w a p p r o a c h t ot r e a tt h ee n l a r g e dm a j o r a r c si nt h ew a r i n g - g l o d b a c hp r o b l e m ，i nw h i c ht h ep o s s i b l ee x i s t e n c eo fs i e g e lz e r o d o e sn o th a v es p e c i a li n f l u e n c e ，a n dh e n c et h ed e u r i n g h e i l b r o n np h e n o m e n o n c a n b ea v o i d e d t h i sa p p r o a c hi sn o to n l yt e c h n i c a l l ys i m p l e r ，b u ta l s og i v e s ，w h e n a p p l i c a b l e ，s u b s t a n t i a l l yb e t t e rr e s u l t s t h a nt h ed e u r i n 争h e i l b r o n np h e n o m e n o n d u et ot h i sa p p r o a c h ，t h e yo b t a l n e dt h a t ( 1 1 ) i st r u ef o r u ：n o 一击“ t h i sa p p r o a c hh a sb e e ns u c c e s s f u l l ya p p l i e dt oan u m b e ro fa d d i t i v ep r o b l e m sc o n c e r n i n gp r i m e s ，s e ef o re x a m p l ef l l 卜【1 6 】r e c e n t l yb a u e r 1 7 u s e d t h ea p p r o a c h m e n t i o n e da b o v et os h o wt h a t u ： 一嫱托 i s a c c e p t a b l e u n d e rt h ed e t a i l e ds u g g e s t i o n so fp r o f e s s o rl i uj i a n y a ，t h ea u t h o r 【1 8 】o b t a i n e dt h eb e s tr e s u l th i t h e r t ot h a t ( 1 1 ) h o l d sf o r u ：n 0 一击+ e i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ea r ea b l et oc o m b i n et h en e wi d e a so fl i u 1 9 】w i t ht h e n e wa p p r o a c ho fl i u ，w o o l e ya n dy u 2 0 ，s ot h a tt h e ya r ec a p a b l eo ft r e a t i n gt h e p r e s e n ts h o r ti n t e r v a lc a s e t h i sr e s u l t si nt h ef o l l o w i n gi m p r o v e m e n t s t h e o r e m1 a n ys u f f i c i e n t l yl a r g ei n t e g e rn c o n g r u e n tt o5m o d u l o2 4c a n b ew r i t t e na s ( 1 1 ) w i t h 慨一厕司u j = 1 ，2 ，5 ，w h e r e u ：v 一去枉( 1 2 ) t h i st h e o r e mi sp r o v e db yt h ec i r c l em e t h o d u n l i k et h eu s u a lp a r t i t i o no ft h e u n i ti n t e r v a l ，h e r ei ti sd i v i d e di n t ot h r e et y p e so fa r c s ：t h em a j o r ，t h em i n o r ，a n d t h ei n t e r m e d i a t e j o n u s i n gl i u a n dz h a n se s t i m a t e s ( 8 1 8f o re x p o n e n t i a ls u m so v e rp r i m e si ns h o r t i n t e r v a l s ，w ec a l le a s i l yt r e a tt h em i n o r a r c s t h e na sw ec a ne x p e c t ，t h e r ea r et w o m a i nd i f f i c u l t i e s ：o n ea r i s e si nc o n t r o l l i n gt h ec o n t r i b u t i o n sf r o mt h eq u i t el a r g e s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n m a j o ra 1 c 8 ，t h eo t h e ra r i s e si nb o u n d i n gt h ec o n t r i b u t i o n sf r o mt h ei n t e r m e d i a t e a r c s i no r d e rt oo v e r c o m et h ed i f f i c u l t i e sc a u s e d b y t h em a j o r a r e s ，w eu s ea ni t e r a t i v e p r o c e d u r es i m i l a rt ol i u 1 9 t ot r e a tt h em a j o r a r c si nt h ec i r c l em e t h o ds ot h a tw e c a nu s et h ef u l ls t r e r l g t ho ft h ee x p o n e n t i nl e m m a3 1b e l o w t ot h i se n dw e u s eg a l l a g h e r sl e m m a ，c l a s s i c a lr e s u l t so nt h ed i s t r i b u t i o no fz e r o so fl + f u n c t i o n a n dah y b r i de s t i m a t ef o rd i r i c h l e tp o l y n o m i n a l st ob o u n dj ( g ) a n dk ( g ) d e f i n e d i nc h a p t e r3 d u et ot h e s en e w i n g r e d i e n t sw eo b t a i n e dt h ea s y m p t o t i cf o r m u l a o i l t h em a j o ra r c si nt h e o r e m2 t h ed e t a i l sw i l lb e e x p l a i n e di nc h a p t e r 3 n o t et h a tt h ee x p o n e n t ；i nl e m m a4 1i sl a r g e rt h a n1a n dt h e nw ea r ea b l e t ou s eav a r i a n to ft h ep r o c e d u r ed e v e l o p e db yl i u ，w o o l e ya n d y u 2 0 】t od e a lw i t h t h ei n t e g r a lo nt h ei n t 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