（基础数学专业论文）fock空间拟不变子空间的酉等价.pdf

苏州大学学位论文使用授权声明 本人完全了解苏州大学关于收集、保存和使用学位论文的规定， 即：学位论文著作权归属苏州大学。本学位论文电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致。苏州大学有权向国家图书馆、中国社科院文献 信息情报中心、中国科学技术信息研究所( 含万方数据电子出版社) 、 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社送交本学位论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存和汇编学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索。 涉密论文口 本学位论文属在 年一月解密后适用本规定。 非涉密论文口 论文作者签名： 扭舞 e l 导师签名：至兰亟云日 f o c k 空间拟不变子空间的酉等价 摘要 摘要 f o c k 空间与量子力学，调和分析，小波分析等学科密切相关，长期以 来，f o c k 空间的研究一直受到人们的关注，而如何理解f o c k 空间的几何结 构成为目前与f o c k 空间相关学科研究中所遇到的共同困难由于区域的的 几何特征和多复变中的h a r t o g s 现象，高维区域上的解析h i l b e r t 空间的结 构非常复杂f o c k 空间上，关于坐标函数的乘法算子尬是无界算子，因 此不存在非平凡的不变子空间，所以引入了拟不变子空间的概念与有界区 域上的解析h i l b e r t 空间不同，在f o c k 空间上考虑子空间的分类问题时，首 先遇到的是理想的闭包是否是拟不变的本文主要研究了在酉等价意义下对 由理想的闭包生成的拟不变子空间进行分类，我们利用了引入的控制项的概 念，证明了在c 2 上若纠酉等价于 口 ，则纠= q 或p = c g ( 其中c 为常数) 更进一步，我们证明了若酉等价于蚴，则 = 1 2 从而在酉等价意义下 给出了多项式生成的拟不变子空间的完全分类 关键词：酉等价；拟不变子空间；多项式理想 作者：李丹丹 指导教师：卫淑云( 副教授) a b s t r a c t t h eu n i t a r ye q u i v a l e n c eo fq u a s i i n v a r i a n t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yd e a lw i t ht h eu n i t a r ye q u i v a l e n c eo ft w oq u a s i i n v a r i a n t s u b s p a c e sg e n e r a t e db yp o l y n o m i a li d e a l i fo n ei su n i t a r ye q u i v a l e n tt ot h eo t h e ri f a n do n l yi ft h e ye q u a l s b e c a u s ew ed e a lw i t ht h i n g si nt h ep r i m i s et h a tp o l y n o m i a l i d e a li sq u a s i i n v a r i a n ts u b s p a c e so fx w eh a v es o m ee x a m p l e st h a tp o l y n o m i a li d e a l i sq u a s i i n v a r i a n ts u b s p a c e si nt h ep r i m i s eo ft h es p e c i a lc o n d i t i o n b u tw eh a v et o s t u d ym o r ef o rt h eg e n e r a l l i t y a f t e rt h a t ，w es h o wt h a tt w oq u a s i i n v a r i a n ts u b s p a c e s o fxh a v et h eu n i t a r ye q u i v a l e n c ei fa n do n l yi ft h e ye q u a l s a tl a s t ，w es h o wt h e u n i t a r ye q u i v a l e n c eo ft w oq u a s i i n v a r i a n ts u b s p a c e sg e n e r a t e db yp o l y n o m i a li d e a li s u n i t a r ye q u i v a l e n tt ot h eo t h e ri fa n do n l yi ft h e ye q u a l s k e y w o r d s ：t h eu n i t a r ye q u i v a l e n c e ，q u a s i i n v a r i a n ts u b s p a c e ，p o l y n o m i a li d e a l i i w r i t t e nb yl id a n d a n s u p e r v i s e db yw e is h u x u n 一引言 目录 二预备知识7 三f o c k 空间拟不变子空间的酉等价1 0 参考文献2 5 致谢2 7 f o c k 空间拟不变子空间的酉等价 一引言 芦i 士 l 置 f o c k 空间f 是由佗维复空间c “上关于高斯测度“( z ) = ( 2 丌) 一n e i ：1 2 的 所有可积整函数全体组成的h i l b e r t 空间，是由e r n e s tf i s c h e r 首先提出的， f o c k 空间也被称为f i s c h e r 空间或s e g a r b a r g m a n n 空间 f o c k 空间与量子力学，调和分析，小波分析以及偏微分方程等学科密 切相关，比如f o c k 空间的正规化再生核通过b a r g m a n n 变换后对应于量子 力学中的相干态( c o h e r e n ts t a t e ) 以及信号分析中的g a b o r 波利用f o c k b a r g m a n n 函数可以将v o n n e u m a n n 型子系统中研究的相干态之间的线性 独立关系等价类似于0 函数在有限集上的恒等关系f o c k 空间也是h e i s e n b e r g 群的等价表示空间，其上关于坐标函数的乘积算子与微分算子分别对应于量 子力学中的生成算子与湮灭算子 2 ， 6 ， 1 3 ， 1 7 】) 2 4 由于f o c k 空间与很多学科密切相关，长期以来，f o c k 空间的研究一 直受到人们的关注，包括v f o c k ，i e s e g a l ，v b a r g m a n n ，k s e w 等在内的 一大批物理学家和数学家对f o c k 空间的研究作出了巨大的贡献近年来在 f o c k 空间上的t o e p l i t z 算子及f o c k 空间上的样本序列，插值序列的研究已 取得了深刻的结果，而如何理解f o c k 空间的几何结构成为目前与f o c k 空 间相关学科研究中所遇到的共同困难 一引言f o c k 空间拟不变子空间的酉等价 经典的h a r d y 空间是由单位圆盘d = z l l z i 1 ) 上的满足一定增长条件 的解析函数组成的h i l b e r t 空间，即 h 2 = f l f h 。f ( d ) ，辫丽1 詹丌i f ( r e 坩) 1 2 d o r ，存在m o ，r 0 ， 使得i y ( z ，叫) i m g ( z ，w ) 成立，我们称f5g 控制项： 设二元多项式p ( z ，叫) 可表示成p ( z ，伽) = 孑兰。毗，j ，集合a 是由 多项式各项所对应的( t j ) 全体构成的集合，则集合a 是偏序集，一定存在 极大元，我们把极大元所对应的多项式中的项称为多项式p ( z ，w ) 的控制项 由控制项的定义可知，任意多项式都存在控制项例如：名3 + z 2 + z + 1 的 控制项为z 3 ，z 3 + 加z + w 2 2 2 + z w 2 + 叫3 z 的控制项为z 3 + 叫2 2 2 + 伽3 2 ，z 4 1 t ) 5 + 叫6 + z 2 w 7 的控制项为z 4 w 5 + z 3 w 6 + z 2 w 7 f o c k 空间的f 的再生核是勉( ) = e ( z ，叭，以z r n w ”为正交基，其范 数满足i iz m w ”1 1 2 = m 关于理想的闭包，k g u o 和d z h e n 9 中证明了有限余维的理想的闭包是 拟不变的 8 】k g u o 证明了齐次理想的闭包是拟不变的 9 k g u o 和h o u s 证明了带主项的多项式理想的闭包是拟不变的( 这里带主项就是它的控制项 是一个单项式 1 7 后来有人证明了带齐次主项的多项式理想的闭包是拟不 变的( 这里带齐次主项的多项式是它的控制项是齐次的多项式) 最近，s h o u 7 二预备知识f o c k 空间拟不变子空间的酉等价 和s w e i 证明了任意主理想的闭包都是拟不变的，特别地，在c 2 上，任意 理想的闭包都是拟不变的由于文章还未发表其证明如下： 引理2 1 设妒满足对于任意a o ，i 妒( z ) l = o ( e x p ( ( r 2 2 ) 一a t ) ) 都成立，则下 面几个说法等价： ( 1 ) 川2 打具有逼近性质， ( 2 ) 妒4 ( a a ( z ) ) ，其中妒+ 各项系数是妒各项系数的共轭 其证明具体见 1 4 命题2 1 若j 是多项式主理想，则 卅是f 的拟不变子空间 证明：我们先证明 若以x 中的范数逼近于g 错q n p 以f 中的范数逼近于p g ， 其中x = 【，i 尼。i f l 2 i p l 2 d a 。o ) ， 由引理2 1 知当妒是多项式时，结论也成立 p + ( d ) _ 坞铮衅打具有多项式逼近性质 骨多项式在x = 厂l 尼。i 厂1 2 l p l 2 打 o o ) 中稠密 营对于任意g x ，存在x ，使得一g ( 1 ) 2x 中的范数) 甘对于任意g x ，尼。i g q , d 2 i p l 2 d a o ( 当n 一。) 8 f o c k 空间的拟不变子空间的酉等价二预备知识 甘对于任意g x ，存在q n x ，使得( ( 夕一) p ，( 夕一) p ) 一o ( 当礼一o o ) 错对于任意g x ，存在q n x ，使得一) 洲，o ( 以f 中的范数) 锚对于任意g x ，存在g n x ，使得q n p 一卯( 以f 中的范数) 由拟不变子空间的定义知，要证明 卅是f 的拟不变子空间， 即要证明对于任意，阶若z 厂f ，则z 厂 n 若，令f = j ，则名，= z f l i 因为名，f ，所以z ，f 对于z ，存在多项式q n ，使得一z f l ( 驼ax 中的范数) 由引理2 2 知，存在，使得一z f l ( 以x 中的范数) ， 甘，一z ，= z ，( 以x 中的范数) 所以z ，n 所以 卅是f 的拟不变子空间 9 三f o c k 空间拟不变子空间的酉等价 f o c k 空间拟不变子空间的酉等价 三f o c k 空间拟不变子空间的酉等价 经典的b e a r l i n g 定理表明了，h a r d y 空间的任意两个非零不变子空间 都是酉等价的但r i c h t e r 证明了类似的结果在b e r g m a n 和d i r e c h l e t 空间 中不再成立事实上他证明了b e r g m a n 空间的任意两个非零不变子空间酉 等价当且仅当它们相等，在d i r e c h l e t 空间中，在特定条件下，两个非零不变 子空间酉等价蕴含着它们相等2 0 0 0 年，k g u o 利用他所建立的特征空间 理论，在酉等价意义下对单位球上的h a r d y 空间的不变自空间进行完全分 类关于f o c k 空间拟不变子空间的分类问题，2 0 0 1 年k g u o 和d z h e n g 在 相似和酉等价意义下对有限余维的拟不变子空间进行分类，最近h o u s 和 s w e i 在相似意义下对多项式理想生成的拟不变子空间进行了完全分类，本 文主要研究了在酉等价意义下对由理想的闭包生成的拟不变子空间进行分 类 引理3 1 若p ，q 是二元多项式，纠酉等价于 口】，则对于任意s ，t ，m ，n z ， 有( z s w 。p ，z m w n p ) = ( z s w 。q ，z m w n 口) 证明：因为m 酉等价于【g 】， 所以由酉等价的定义知，对于任意的，f ，有i i p f l l = l l q f l l 1 0 f o c k 空间的拟不变子空间的酉等价三f o c k 空间的拟不变子空间的酉等价 记x 1 = f l p f f jq f f ) 因为z l w 南x 1 所以对于任意s ，t ，m ，m z 有z s w 。一z m w 札x 1 所以 ( z 5 w 。一z m w ”) p ，( z s w 。一z m w “) p ) = ( z 5 w 。一z m w ”) 口，( z s w 。一z m w ”) g ) 令等式左边为a ，右边为b ，左右两边分别展开得 因为 所以 记 所以 a = ( z s w 。p ，z s w 。p ) 一( z s w t p ，z m w n p ) - ( z w ”p ，z s w p ) + ( z m w n p ，z m w n p ) b = ( z s w 。q ，z s w 。q ) 一( z s w 2 q ，z r n w ”q ) - ( z w n q ，z s w 。q ) + ( z m w ”q ，z m w n q ) ( z s w t p ，z s w 。p ) = ( w 。q ，z s w 。口) ( z m 叫印，z m 叫印) =( z m w ”q ，2 ”w ”口) ( z s w 。p ，z m w “p ) + ( z m w ”p ，z s w 。p ) = ( w 。q ，z m w ”q ) + ( z m w ”q ，z s w 。口) o l = ( z s w 。p ，z m w ”p ) ， p = ( 矿w q ，z m w n q ) q + 西= p + p 1 1 三f o c k 空间的拟不变子空间的酉等价f o c k 空间的拟不变子空间的酉等价 所以r e a = r e z 因为对于任意 所以 s ，t ，m ，m z ，有z s w 。一i z “w ”x l ( ( 矿w 。一i z ”w n ) p ，( z s w 一i z ”w n ) p ) = ( z 5 w 。一i z w n ) g ，( z s w 一i z m w n ) 口) 令等式左边为，右边为b + ，左右两边分别展开得 因为 所以 所以 a + = ( z s w p ，z s w 。p ) 一( z s w 。p ，i z m w n p ) - ( i z m w n p ，z s w p ) + ( i z m w n p ，i z m w n p ) b + = ( z s w q ，z s w q ) 一( z s w 。q ，i z ”w “q ) - - ( i z ”w n q ，z s w 。q ) + ( i z m w n q ，i z ”w ”g ) ( z s w 2 p ，z s w p ) = ( z s w 。q ，z s w g ) ( i z m 叫印，i z ”w n p ) =( i z w ”q ，i z ”w ”g ) ( z s w p ，i z m w ”p ) + ( i z m w “p ，z s w 2 p ) = ( 矿w 。q ，i z w n q ) + ( i z m w ”q ，z s w 2 9 ) 池+ 一i a = 筇+ 硒 所以r e ( i a ) = 歌( 妒) 所以i m a = i m f l 综上可得q = p 1 2 f o c k 空间拟不变子空间的酉等价三f o c k 空间拟不变子空间的酉等价 对于任意s ，t ，m ，仡z ，有( z s w 。p ，z m w n p ) = ( z s w q ，z r a w n 口) 引理3 2 若p 是二元多项式， p 】和m 是f o c k 空间f 的拟不变子空间， m 是酉等价于 p ，则存在多项式q ，使得m = 【g 且d e g 。( q ) = d e g 。( p ) ，d e g 。( q ) = d e g 。( p ) 其证明可参照 4 中定理3 3 引理3 3 若p ，q 是二元多项式，若例酉等价于 q ，则多项式p ，q 的控制项中 的每一个极大项相同 证明：设p 的控制项为p ( z ，叫) ， p ( z ，w ) = z m w ”+ z m - l l w n + k 1 + 名“一1 2 w n + k 2 + + z m z 9 加n + b ( 其中1 1 1 2 l p ，k 1 k 2 n 或q = n + 七， ( 其中s 1 8 2 s g ，t l t 2 t 口) 1 3 f o c k 空间拟不变子空间的酉等价f o c k 空间拟不变子空间的酉等价 则 q ( z ，w ) = z m w ”+ 七+a m - s l , a + t lz m - - 8 1w n + 缸+ _ t 1 + a r n - s 2 , g + t 2 z m s 2 w n + 七+ 2 2 + + a m - s q , a + 8 q 名m - s q w n + 七+ 厶 因为纠酉等价于 q ， 所以对于多项式扩，满足l iz i i = l i 扩口 所以 i i z m + p w 礼+z m + f l - l l w ”+ h+z m + p - l p w ”+ b1 1 2 = i | z m + p w n + 膏+ 0 m 叫，叶t 1 2 m - 8 l + p w 叶七州1+ a m - s q , a + s 口z m - s + 卢w ”+ 知+ 。q 忾 因为i lz m w “1 1 2 _ r e ! n ! ， 所以( m + 卢) ! 礼! + ( 仇一f 1 + p ) ! ( 佗+ 七1 ) ! + ( m 一1 p + p ) ! ( 佗+ b ) ! = ( m + p ) ! ( n + 忌) ! +l a m - s l , a + t l l 2 ( m s l + p ) ! ( 佗+ k + t 1 ) ! + i a m - s q , a + 。1 2 ( 仇一s q + p ) ! ( 扎+ 器+ t q ) ! 两边同时除以( m + p ) ! ，则 亿! + 一( m - l l ( + m 1 删3 ) ( n ! + k 1 ) ! + + 虹嘴帑型 = ( 佗+ 七) ! + l a m - 。l , o + t l l 2 止铲 令p 一( 3 0 ， + a m - - s q , a + t q1 2 虻掣 则佗! = ( 佗+ 庇) ! 所以k = 0 1 4 f o c k 空间拟不变子空间的酉等价三f o c k 空间拟不变子空间的酉等价 所以z m w n 也是q ( z ，w ) 中的极大元 因为| ip ( z ，w ) fl i = 1 iq ( z ，w ) fl l ， | iz m w ”，i i = 1 lz m w “川 所以l | ( p ( z ，w ) 一z m w “) 川= i i ( q ( z ，w ) 一z m w n ) 川 同理可证 z m - - l lw 时知也是q ( z ，w ) 中的极大元 有限步后，可得出r ( z ，w ) 中的每一个极大元都是q ( z ，w ) 中的极大元 从而得证 引理3 4 若p ，q 是二元多项式，若捌酉等价于 g ，则纠， q 的控制项相同 证明：设p ，q 的控制项分别为p ( z ，叫) ，q ( z ，叫) ，不妨设 p ( z ，w ) = a m ，n z m w “+ a m - 1 ，n 州l z r n - - i tw ”+ j 1 + a m - ，n + 九z m - i kw “+ j 。+ + a o ，0 q ( z ，w ) = b m ，n z ”w ”+ b m i l ，n 十j 1z m nw n + j 1 + b m - i ，n + 靠z m - - i k w n + 如+ + b o ，0 不失一般性设a m n = b m n = 1 因为纠酉等价于 口 ， 1 5 三f o c k 空间拟不变子空间的酉等价 由引理3 1 得( z s w 。p ，z m w n p ) = 取8 = 0 ，t = 0 ，则 ( p ( z ，叫) ，z m w ”p ( z ，叫) ) = 由正交性和控制项的性质得 所以 f o c k 空间拟不变子空间的酉等价 ( z s w 。q ，z m w n g ) ( q ( z ，叫) ，z m w n q ( z ，训) ) 如( 名，叫) ，z r n w p ( z ，叫) ) = ( z m w n ，a o ，o z ”w n ) ( q ( z ，叫) ，z m w n q ( z ，叫) ) = ( z m w n ，b o ，0 z w n ) ( z m w “，a o ，o z m w n ) = 所以 a o ，o = b 0 1 0 同理由引理3 1 得 ( z m w 住，b o ，0 z ”w ”) 仞( 名，叫) ，z m - 。lw n 卅- p ( z ，掣) ) =( q ( z ，叫) ，z m - - q w 叶j l q ( z ，埘) ) ( 名，叫) ，z m - q w “+ j 1 p ( z ，叫) ) = ( a m - 叱。+ j 1 z m - i x w n + j 1 ，a o ，o z m - * a w n 卅1 ) ( q ( z ，叫) ，z m - - i l w 九q ( z ，叫) ) = ( b m _ t 1 ，礼+ j l z m - i l w ”打1 ，b o ，0 z m - i l w n + j 1 ) ( a m - 死j 1 z r n - - i 1w n + j l ，a o ，o z m - z lw n + j 1 ) = ( 6 m 一也n 卅lz m - i lw ”旬1 ，b o ，0 z m - i 1w ”+ j 1 ) a o ，0 = b o ，0 ， a m - t l ，佗+ j l = b m n ，n + j 1 妇( z ，叫) ，z m - 2 2 w n + j 2 p ( z ，伽) ) = 1 6 ( 口( 名，训) ，z m - 幻。w ”卅：q ( z ，叫) ) f o c k 空间拟不变子空间的酉等价三f o c k 空间拟不变子空间的酉等价 因为 仞( 名，叫) ，z m - 砣w ”+ j 2 p ( z ，叫) ) = ( a m - 坛。+ j 2 z m 卅2 w n 锄，a o ，0 z m - i 2 w n + j 2 ) ( q ( z ，伽) ，z m - - i 2 w “+ 2 q ( z ，叫) ) = ( 6 7 。一t 2 ，n + j 2 z m - - i 2 w 佗+ 2 ，b o ，0 z m - i 2 w n + j 2 ) 所以 ( a m - 2 ，n 钾2 z m - - i 2 w 叶止，a o ，o z m - j 2 w ”+ j 2 ) 因为 所以 = ( 酶n 一 2 ，n + j 2 z 一2 w ”+ 2 ，b o ，0 z m - i 2 w ”+ j 2 ) a o ，o2b o ，0 ， a m _ 2 ，n + j 2 = b m t 2 ，n + j 2 同理 a m - i a , n + j 3 = 6 。一咄州3 以此类推 a m - i k , n 协= b 。也，。+ 靠 所以p = q 所以纠， q 的控制项相同 引理3 5 设p ，q 是二元多项式，p - 是p 的控制项，q ，是q 的控制项，若纠 酉等价于 口 ，则仞一p l , p p 1 ) = ( q q l ，q 9 1 ) 证明： 因为妇一p , p p 1 ) = 妇，p ) + 妇l ，p 1 ) 一( p ，p 1 ) 白1 ，p ) ( q p l ，q p 1 ) = ( q ，q ) + ( q l ，9 1 ) 一( g ，9 1 ) 一( e l ，口) 因为 嘲酉等价于 g 】， 1 7 三f o c k 空间拟不变子空间的酉等价 f o c k 空间拟不变子空间的酉等价 所以 ( p ，p ) = ( q ，口) 甘捌= 【g f o c k 空间拟不变子空间的酉等价三f o c k 空间拟不变子空间的酉等价 因为捌酉等价于 g ， 所以p 1 = q 1 ， 所以p l z m w n = q l z “叫”，( 对于任意整数m ，n 都成立) 缸m 叫n ，p z w ”) = ( q z ”w n ，q z ”w ”) ( 对于任意整数m ，佗都成立) 所以 ( ( p p lz m w ”，( p p xz ”w “) = ( ( 口一q t ) z ”w n ，( q q 1 ) z m w ”) 所以对于任意的多项式n ( z ，叫) ， 有i i ( p p 1 ) r ( z ，w ) l i = l l ( q q 1 ) r ( z ，砌) 1 1 因为多项式在x 中稠密， 所以囟一p 。 和 q q 。 酉等价 设p p 1 的控制项为p 2 ， p 22a m l ，n 1 z ”1 w m + a m 2 , n 2 z m 2 w ”2 + a m k , n k z ”。w n + + a o 0 设q q 。的控制项为q 2 ， q 22b m l m l z ”1 w “1 + b m 2 , n 2 z m 2 w “2 + b m ，n z ”w ”+ + 6 0 ，0 因为加一p 。 和 q q - 酉等价， 1 9 三f o c k 空间拟不变子空间的酉等价f o c k 空间拟不变子空间的酉等价 由引理3 1 得 扫一p 1 ，0 一p 1 ) z m l w m ) = ( q q l ，( q q 1 ) z m l w m ) 因为 白一p 1 ，( p p 1 ) 名? w ”) = ( n m ，n 。z m w ”- ，a o , o z m t w n - ) ( q q l ，( q q 1 ) z m l w m ) = ( 6 m 1 ，m z m l w m ，b o ，0 z m l w m ) 所以 ( a m l , n l z ”1 w m ，a o ，o z ”1 w ”1 ) = ( 6 m l , n 1 名”l w n lb o ，o z 1 w ”1 ) 因为引理3 4 中已证o o o = b 叩， 所以 a m l n ，= 6 m 。，” 同样 妇一p 1 ， 一p lz ：w ”：) = ( q q 1 ，( q q 1 ) z m 。w “z ) 因为 一p l ，0 一p 1 ) z m 2 w n 2 ) = ( 口m 2 ，n 。z m 2 w ”2 ，a o , o z 2 w ”2 ) ( q q l ，( q q 1 ) z m 2 w 他) = ( 6 m 2 ，n 2 名m 2 w n 2 ，b o ，0 z m 2 w 啦) j 听以 ( 口m 2 ，n 2 z m 2 w n 2 ，a o , o z ”2 w ”2 ) = ( b i n 2 ，n 2 z 2 w n 2 ，b o , o z ”2 w ”2 ) 因为 a o ，o = b o ，o ， 所以 a m 2 抛= b m 2 ” 同理 a m 3 ，竹3 = b ” 以此类推a m 椰。= 。 所以q 2 = c 2 p 2 2 0 f o c k 空间拟不变子空间的酉等价三f o c k 空间拟不变子空间的酉等价 设p p 1 一p 2 的控制项为p 3 ，q q 1 一q 2 的控制项为q 3 用同样的方法可证明q 3 = c 3 p 。 以此类推，经过有限的l 步后 有p t = q t ，其中p t = o o o q t = b o 0 多项式p ( z ，w ) 可表示成 p = p l + p 2 + p k + a o o 多项式q ( z ，w ) 可表示成 q ( z ，w ) = q l + q 2 + q k + b o ，0 = p l + c 2 p 2 + c k p k + a o o 因为 q 2 = c 2 p 2 设p p 1 的控制项为仇， p 2 = q m l ，n 1 ( z m l w “1 + q m l n ，n 1 + j 1 名m 1 w “1 + + a o ，o ) 设q q 1 的控制项为9 2 ， q 22 l ，n 1z ”1 w ”1 + 口m 1 一t 1 ，n 1 + j l z m l w n l + + a o ，o ) 因为 仞一p 1 ， 一p 1 ) z t w “- ) = ( g q l ，( q q lz ”- w n ) ( p p 1 ，0 一p 1 ) z m l w m ) = ( 口。1 ，。1 z m l w ，a o ，o z ”1 w 毗) 三f o c k 空间拟不变子空间的酉等价f o c k 空间拟不变子空间的酉等价 ( q q l ，( q q 1 ) z m l w n l ) = ( 风1 ，n l z m l w n l ，b o ，0 z m l w n l ) 所以 ( a m l , n l z m l w m ，a o ，o z ”1 w n l ) = ( 风1 ，n l z m l w m ，b o ，o z l w “1 ) 因为 a 0 0 = b 0 0 ， 所以 q 。= 风。m 所以p 2 = q 2 同理证明p 3 = q 3 以此类推p 2 - 1 = q z - 1 所以多项式p = q 一般地p = c 口( c 为常数) 或 p = q 3 1 若和是两个多项式理想，酉等价于吲，则厶= j 1 2 因为 厶 酉等价于忆 ， 所以存在酉算子u ：厶一1 2 u ( p ) = p ( u f ) ，其中p 为任意多项式，任意的厶 取f = q ，u q = q 1 则i i u ( p q ) l i = l i p ( u q ) l i = i i p q l 2 2 f o c k 空间拟不变子空间的酉等价三f o c k 空间拟不变子空间的酉等价 因为u 为酉算子， 所以 i i u ( p q ) l i = i p q l i 所以 | j p 9 1 | i = i i p q l l 因为p 多项式，多项式理想在x 中稠密 所以【q 。 和 q 酉等价 由定理3 1 得 q = c q 。( 其中c 为常数) 因为c q l 厶， 所以 q 尼 所以厶如 同理j 1 2 厶 所以1 1 = 1 2 定理3 2 若p 是二元多项式， p 和m 是f o c k 空间f 的拟不变子空间，m 是酉等价于旧当且仅当m = p 】 证明：利用引理3 2 ，引理3 3 引理3 4 引理3 5 即可证明 注：由于我们证明的方法具有一般性，因此作为本文的结束，我们研究一般 n 维复空间c n 上由解析函数组成的解析h i l b e r t 空间的多项式理想的闭包 2 3 三f o c k 空间拟不变子空间的酉等价 f o c k 空间拟不变子空间的酉等价 在酉等价意义下的完全分类问题 特别地我们可以得到 若- 厂( z ) = e n 。r n z n ( 大于0 ) 为整函数， 则 k z ( w ) = 县o ( z ，w ) n 为c n 上由解析空间的生成函数， 此时i i z w 佗1 1 2 = 网r e ! n ! 而1 若更进一步我们假设 i i z m w “1 1 2 = l l z m i | 2 | | 伽n | 1 2 则由积分定义的内积都满足此条件 另外若p 是二元多项式，m 是x 的拟不变子空间， p 也是x 的拟 不变子空间，则矧酉等价于m 当且仅当b 】= m 即存在一个多项式q ，使得 m = q 】q 且d e g ：( q ) = d e g ：0 ) ，d e g ( q ) = d e g 伽( p ) ，p ，q 具有相同的控制项其证明 参见( 9 】中性质2 6 和性质2 7 ，再利用 4 】中引理4 3 即可 2 4 f o c k 空间拟不变子空间的酉等价参考文献 参考文献 1 a b e a r l i n g ，o nt w op r o b l e m sc o n c e r n i n gl i n e a rt r a s f o r m a t i o ni nh i l b e r ts p a c e a c t am a t h ，8 1 ( 1 9 4 9 ) ，2 3 9 2 5 5 2 b c h a l l ，h o l o m o r p h i cm e t h o d si na n a l y s i sa n dm a t h e m a t i c a l p h y s i c s t oa p p e a r 3 x m c h c n ，k g u o ，a n a l y t i ch i l b e r tm o d u l e s7 r c h a p m a na n dh a l l c r cr e s n o t e sm a t h ，( 2 0 0 3 ) ，4 3 3 4 】x m c h e n ，k g u o ，h o u ，s a n a l y t i ch i l b e r ts p a c eo v e rc o m p l e xp l a n ed ， j m a t h a n a l a p p l ，2 6 8 ( 2 0 0 2 ) ，6 8 4 7 0 0 5 】d j n e w m a na n dh s s h a p i r o ，c e r t a i nh i l b e r ts p a c e so fe n t i r ef u n c t i o n s ， ( 1 9 6 6 ) ，9 7 1 9 7 7 6 d j n e w m a n a n d h s s h a p i r o ，f i c h e r s p a c eo fe n t i r ef u n c t i o n s ，a m s p r o c s y m p p u r em a t h ，v o l x i e n t i r ef u n c t i o n sa n dr e l a t e d p a r t s o f a n a l y s i s ”e d j k o r e v a a r ，p r o v i d e n c e ，( 1 9 6 8 ) ，3 6 9 3 6 9 k g u o ，h o u ，s q u a s i i n v a r i a n ts u b s p a c e sg e n e r a t e db yp o l y n o m i a l sw i t hn o n z e r o l e a d i n gt e r m s ，s t u d i am a t h e m a t i c a ，1 6 4 ( 3 ) ( 2 0 0 4 ) ，2 3 1 2 4 1 8 】k g u o ，a l g e b r a i cr e d u c t i o n ，o rh a r d ys u b m o d u l e s o v e rp o l y d i s k a l g e b r a s ， j o p e r a t o rt h e o r y , 4 1 ( 1 9 9 9 ) ，1 2 7 - 1 3 8 9 】9 1 0 1 1 k g u o ，h o m o g e n e o u sq u a s i i n v a r i a n ts u b s p a c e so ft h ef o c ks p a c e s ， j a u s t m a t h s o c ，7 5 ( 2 0 0 3 ) ，3 9 9 4 0 7 k g u o ，e q u i v a l e n c eo fh a r d ys u b m o d u l e sg e n e r a t e db yp o l y n o m i a l s ， k g u o ，d e c h a oz h e n g ，i n v a r i a n ts u b s p a c e s ，q u a s i i n v a r i a n ts u b s p a c e s ，a n dh a n k e