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东北大学硕士学位论文 摘要 齿轮轴承转子系统振动特性的研究 摘要 旋转部件被广泛地应用于包括燃气轮机，航空发动机，工业压缩机及各种电 动机等机械装置中。在电力、航空、机械、纺织等国民经济领域中起着非常重要 的作用。由于转子的振动，造成了工程上很多不必要的损失。因此，对转子动力 学的研究具有重要的理论意义和实用价值。 本课题主要是以沈阳鼓风机厂的h 5 1 8 压缩机机组的齿轮轴承转子系统为研 究对象，利用用当今较流行的功能强大的c a e 软件a n s y s ，建立h 5 1 8 压缩 机机组的转子系统在纯弯、纯扭以及弯扭耦合状况下的转予系统的有限元计算模 型，并以此模型为基础，计算系统的振动特性及其响应分析。因此本文主要包括 以下几部分内容： 首先综合分析了单圆盘转子和多圆盘转子的动力特性，研究了涡动、陀螺力 矩以及支承轴承的动刚度等因素的变化对挠性转子系统临界转速的影响。介绍了 分析和计算转子临界转速的有限元法。 其次利用a n s y s 软件采用用三维的管单元、质量单元和矩阵单元创建齿轮一 轴承一转子系统有限元计算模型，分析了系统在纯弯、纯扭以及弯扭耦合状况下的 振动特性，比较分析了耦合和非耦合情况下的系统的振动模态和振动响应。 最后，本文还研究了滑动支承情况下齿轮轴承转子系统的复模态谐响应问题。 研究系统在各种激励下振动性能以及响应分析。 关键词：齿轮轴承转子系统临界转速耦合振动有限元a n s y s i i 查! ! 垄堂塑主堂壁堕查一里塑垦垒里! s t u d y o nt h ev i b r a t i o nc h a r a c t e r i s t i c so f g e a r - b e a r i n g - r o t o rs y s t e m s a b s t r a c t r o t a t i n gc o m p o n e n t s a r ew i d e l ya p p l i e di ns u c hm a c h i n e sa sa e r o e n g i n e s ， i n d u s t r i a lc o m p r e s s o r sa n de l e c t r o - m o t o r s i tp l a y si m p o r t a n tr o l ei ns u c hn a t i o n a l e c o n o m i cf i e l d sa sp o w e r , a v i a t i o n ，m a c h i n e ，s p i na n ds oo n b e c a u s et h ev i b r a t i o no f t h er o t o r sb r i n gp l e n t ye x p e n s ew h i c hc a nb ea v o i d e d ，i ti so fs i g n i f i c a n c et or e s e a r c h r o t o rd y n a m i c s t h er e s e a r c ho b j e c to ft h i sp a p e ri st h em u l t i s t a g eg e a r e dr o t o r - b e a r i n gs y s t e mo f h 518c o m p r e s s o r sw h i c hi sp r o d u c e db ys h e n y a n gb l o wp l a n t i tf i n d st h ef i n i t e e l e m e n tm o d e lo fb e n d i n gv i b r a t i o n 、t o r s i o nv i b r a t i o na n db e n d i n g t o r s i o nc o u p l i n g v i b r a t i o nw i t hu s i n gf a s h i o n a b l ec a es o f t w a r e - f i n i t ee l e m e n ts o f t w a r ea n s y s a n d t h e n ，o nt h eb a s i so ft h ef i n i t ee l e m e n tm o d e l ，i ta n a l y s e sv i b r a t i o nc h a r a c t e r i s t i c so ft h e m u l t i s t a g eg e a r e dr o t o r - b e a r i n gs y s t e ma n ds y s t e m sr e s p o n s e s ot h i sa r t i c l ei n c l u d e s t h es e v e r a lp a r t so f t h ec o n t e n t sm a i n l y ： f i r s t l y ，t h ea u t h o ro f t h ed i s s e r t a t i o na n a l y s e sb ys y n t h e s i sd y n a m i c a lc h a r a c t e r i s t i c o ft h es i n g l e - d i s ca n dm u l t i d i s cr o t o rs y s t e ma n ds t u d i e sh o wt h ev a r i e t yo fs u c h f a c t o r sa sw h i r l 、g y r o s c o p i cm o m e n ta n dt h ef l u c t u a n ts t i f f n e s so f t h eb e a r i n ga f f e c tt h e c r i t i c a ls p e e do ft h ef l e x i b l er o t o rs y s t e ma n di n t r o d u c e st h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d w h i c hc a nb ea p p l i e dt oa n a l y z ea n dc a l c u l a t et h ec r i t i c a ls p e e do f t h er o t o r s e c o n d l y ，a n s y ss o f t w a r e i su t i l i z e dt of i n dt h ef i n i t ee l e m e n tm o d e l so f o n e - s t a g ea n dt w o s t a g eg e a r r o t o rs y s t e m sc r e a t e db yu s i n gt h r e e d i m e n s i o nb e a m e l e m e n t s ，m a s se l e m e n t sa n du s e rm a t r i xe l e m e n t sa n da n a l y s e sv i b r a t i o nc h a r a c t e r i s t i c s o ft h em u l t i - s t a g eg e a r e dr o t o r - b e a r i n gs y s t e mo nt h ee s t a t eo fe n d i n gv i b r a t i o n 、 t o r s i o nv i b r a t i o na n db e n d i n g - t o r s i o nc o u p l i n gv i b r a t i o n a n dt h ev i b r a t i o nm o d e la n d r e s p o n s e so f t h es i n g l es y s t e ma r ec o m p a r e dw i t l lt h a to f t h ec o u p l e ds y s t e m f i n a l l y ，c o m p l e xh a r m o n i cr e s p o n s eo fag e a r - r o t o rs y s t e ms u p p o r t e db yf l u i d d y n a m i cb e a r i n g si sc a l c u l a t e da n da n a l y z e d t h ec o m p l e xr e s p o n s ea n dv i b r a t i o n i i i 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t c h a r a c t e r i s t i c so ft h es y s t e mu n d e re x c i t e m e n t so fd i f f e r e n td i r e c t i o n si nt h ed i f f e r e n t l o c a t i o n si sa l s oc a l c u l a t e da n da n a l y z e d k e yw o r d s g e a r e dr o t o r - b e a r i n gs y s t e m ，c r i t i c a ls p e e d ，c o u p l ev i b r m i o n t h ef i n i t ee l e m e n t ，a n s y s i v 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 工程背景及选题的目的和意义 旋转机械是工业部门中应用广泛的一类机械设备，例如汽轮机、压缩机、风 机、轧机、机床、电机，各种工程机械以及其它许多重要机械设备属于这一类。 转子轴承系统作为旋转机械的核心部件，在电力，能源，交通，石油化工以及国 防等领域中发挥着无可替代的作用。旋转机械常常由于出现各种不同形式的故障 而影响其正常工作，有时甚至会发生由某种故障引发的严重的机毁人亡事故，并 造成重大的经济损失。旋转机械的故障很大一部分是由于机械振动而引起，振动 的害处是产生噪声，降低机器的工作效率，严重的会使元件断裂，转子失稳，造 成重大事故。 早期的旋转机器转速较低，振动的起因主要是圆盘的偏心即重心不在转动轴 线上。因此用静平衡的方法使偏心距尽量小，就可以基本消除转子的振动。随后 机器的工作转速提高及圆盘厚度增加成为圆柱形或锥形，用静平衡方法已不能消 除转子的振动，而要用动平衡的方法。动平衡的理论根据是转轴的弯曲振动与圆 盘质量及偏心距的大小有定量关系，这种关系称为“不平衡质量的动力响应”。旋 转机器还出现过这样的现象：虽然转子经过动平衡，但当升到某个转速时，转子仍 然发生剧烈的振动。发生剧烈振动时的转速称为“l i 缶界转速”。临界转速主要是针 对弯曲振动( 横向振动) 而言的。 常见的旋转机器( 如电动机) 的工作转速都远低于转轴的一阶临界转速。但是随 着社会化大工业的发展，旋转机械在各自的领域里，朝着大功率的方向迅速发展。 为了提高机器的工作容量和效率，要求增大转子的转速，减小各部分结构的重量， 使得转子越来越往高速和细长方向发展。如大型气轮发电机组、医用离心机等， 转子的工作转速往往高于一阶临界转速。通常把工作在转速小于一阶临界转速 7 0 的转子称为刚性转子。转子工作转速高于一阶临界的转子称为挠性转子。对于 刚性转子的平衡，主要是解决力和力矩的平衡问题。对于挠转子的平衡，不仅要 考虑力和力矩的平衡，还有考虑挠性转子由于转子弯曲变形引起的不平响应。挠 性转子的变形即挠度曲线与转子转速有密切关系，所以挠性转子不平衡量的大小、 相位都随转速的变化而变化f l 】。故挠性转子的不平衡无论在理论上还是在技术上都 查! ! 垄芏翌主兰堡垒查一墨二主! 堕 l ：t n i l 性转子的平衡更为深入和复杂。研究挠性转子的不平衡质量的动力响应和动 平衡技术是近来转子动力学的一个重要方面。同时由于旋转机械向大型化和高速 化发展，轴系扭振问题也曰益突出。自1 9 7 0 年和1 9 7 1 年美国m o h a v e 电厂连续发 生两起严重的扭振事故，轴系扭振问题引起了全世界的关注；到8 0 年代末，国内外 由扭振引起的轴系损伤事故己达3 0 余起，造成了巨大的经济损失。扭振问题已成 为当今世界各国发展大型旋转机械必须解决的问题。 到目前为止，鉴于结构的复杂性，人们基本上都是将弯曲振动和扭转振动分 开来研究。认为各种形式的振动现象都发生在一定的参数或参数组合范围内，或 者仅在该范围内，其象才变得的较为明显和具有重要影响。在一般意义上，这些 范围是不相重合的。该方法的优点是，可采用简单模型进行研究，作用机理清晰， 分析方法简洁，定性和定量结果容易获得。但是随着转子转速和转子材料性能的 提高，转子日益呈现出轻质、柔性、大跨度的特征，所表现出来的某些现象无论 用现有的弯曲振动体系还是扭转振动体系，均不能给出令人满意的解释。 传统分析转子系统振动的方法研究对象仅限于转子，后来又考虑到支承，也 不计齿轮轴系( 齿轮增速器或减速器) 的影响。而工程实践却发现，这些因素对转子 系统的振动特性往往有很大影响，只按照传统的方法分析转子的动力特性往往反 映不了实际情况。因此在分析带齿轮轴系的高速旋转机械时，应该考虑到齿轮轴 系的存在，把它作为转子系统的一部分来进行动力特性分析。转子与齿轮轴系之 间通过齿轮衔接，衔接齿轮之间既有径向啮合力也有切向啮合力，因而既会引起 系统的弯曲振动，也会引起系统的扭转振动，两者是结合在一起的。也就是说， 要综合考虑齿轮传动转予系统的弯曲和扭转振动。即弯、扭耦合振动。由于齿轮 轴系本身包含几根齿轮轴，它们的转速、转向不尽相同，齿轮转子轴系的振动是 一个多速、，多轴、多转向复杂转予系统的弯扭耦合振动问题。所以转子动力学的 研究历来就颇受重视。转子动力学是随着工程技术和数学方法的发展而发展的。 转子动力学的应用，将随着生产实践的发展而不断拓宽，它的研究内容也将不断 向着深度和广度拓展。 1 2 国nl b 研究进展、现状和发展趋势 转子动力学是一门既有理论深度，又有很强的实践性的应用基础学科，它的形 成与发展伴随着大工业的发展和科技进步，已走过了一个多世纪的路程。第一篇有 记载的有关转子动力学的文章是1 8 6 9 年r a n k i n e 发表的题为“论旋转轴的离心力” 查些垄兰堡主兰垒垒查 生兰堂 一文，这篇文章得出的“转轴只能在一阶临界转速以下稳定运转”的结论使转子 的转速一直限制在一阶临界以下。最简单的转子模型是由一根两端刚支的无质量 的轴和在其中部的圆盘组成的，这一今天仍在使用的被称做j e f f c o t t 转子的模型最 早是由f o p p i 在1 8 9 5 年提出的，之所以被称做“j e f f c o t t ”转子是由于j e f f c o t t 教授 在1 9 1 9 年首先解释了这一模型的转子动力学特性【”1 。他指出在超临界运行时，转子 会产生自动定心现象，因而可以稳定工作。这一结论使得旋转机械的功率和使用范 围大大提高了，许多工作转速超过临界的涡轮机、压缩机和泵等对工业革命起了很 大的作用。但是随之而来的一系列事故使人们发现转子在超临界运行达到某一转 速时会出现强烈的自激振动并造成失稳。这种不稳定现象首先被n e w k i r k 发现是 油膜轴承造成的，从而确定了稳定性在转子动力学分析中的重要地位。有关油膜轴 承稳定性的两篇重要的总结是由n e w k i r k 和l u n d 写出的，他们两人也是转子动力学 研究的里程碑人物。5 0 年代以来，电力、航空、机械、化工工业的迅猛发展极大地 推动了转子动力学的研究。发电机组的单机容量从几万千瓦发展到了上百万千瓦， 飞机也开始进入喷气发动机时代。旋转机械的转子越来越柔、功率越来越大、转 速越来越高，甚至达到了三、四阶临界以上，这为转子动力学的研究提出了一系列的 研究课题，也有力地促进了转予动力学的发展。 近几年来，在我国随着三峡工程的开工建设，国家在自然科学基金重大项目、 国家重大基础研究项目和三峡关键技术研究项目中都列入了转子动力学的研究课 题投入了大量的经费 6 6 】，从而使我国转子动力学的研究进入了一个新的繁荣期。 目前我国对转子动力学研究的重点是转子系统的状态监测和故障诊断及转子系统 的非线性振动、分叉与混沌，每年发表的相关文章占了转子动力学研究文章的绝 大多数。尤其是有关转子碰摩、裂纹和轴承油膜力引起的分叉和混沌的研究是当 前研究的热点，在这方面也取碍了不少成果，基本摸清了分叉响应的特点和进入 混沌的道路形式。但是我国在大型转子系统振动和稳定性方面的研究，大概相当 于国外8 0 年代的水平。旋转轴系的冲击扭振、亚异步振动、统一固耦合振动等 些关键问题，尚没有得到很好的解决。同时尽管转子动力学的发展己逾1 0 0 年， 但是国内外各类旋转机械仍不断发生事故，其症结是：对临界转速和稳态不平衡 响应预估、瞬态响应及叶片失落后生存能力估计、稳定性分析和失稳裕度的估计 以及系统不稳定性准确分析等问题研究不够。 旋转机械转子动力学从其诞生起就是一门涉及多个学科领域的综合学科。早 期的转予动力学研究包含了数学、理论力学、结构力学、稳定性理论、流体动力 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 润滑理论、摩擦学等学科，后来又涉及到气动力学、控制理论、弹性力学、计算 力学、有限元方法、实验技术、信号采集与处理技术、非线性动力学、电磁学、 流变学、新材料与智能材料等学科。在今后的研究中有以下几个交叉研究领域应 引起重视： 1 1 微重力环境下的转子动力学空间技术。 2 1 超微机械中的转子动力学问题。 3 ) 生物中的转子动力学问题。 1 3 转子系统的分析与计算方法 对简单离散转子系统的分析大多是基于理论力学的分析方法，而对复杂转子 系统则多用传递矩阵法和有限元法。 传递矩阵法在5 0 年代中期被应用于转子系统的分析和临界转速计算，并且直 到现在仍然是转子动力学的主要分析手段之一。这一方法的特点是：矩阵的阶数不 随系统的自由度数增大而增加，因而编程简单、内存用量小、运算速度快，特别 适用于像转子这样的链式系统。其不足是在考虑支承系统等转子周围结构时分析 较困难。随着计算方法的改进和发展以及计算机速度的快速提高，先后出现了如 r i c c a t i 传递矩阵法、传递矩阵- 阻抗耦合法、传递矩阵分振型综合法及传递矩阵 直接积分法等专门针对转子系统而建立的分析方法。既保证了传统的p r o h i 方法的 计算简单的特点，也保证了计算结果的稳定性。 从5 0 年代开始随着电子计算机的应用，有限元作为一种数值分析工具，引起 科学家的极大兴趣。用有限元方法分析转子动为学问题始于1 9 7 0 年，起初考虑转 子只有移动倭量情况下的弯曲振动问题。随着研究的深入，转子的有限元模型也 不断得到完善，在模型中逐渐包括了转动惯量、陀螺力矩、轴向载荷，外阻内阻 以及剪切变形的影响等因素。开发了许多基于有限元的商业软件，如a n s y s 等分 析工具。数字计算机的发展可以进行大型数字计算问题，也在一定程度达上促使 了这些计算方法的发展。目前看来对线性转子系统的建模和分析方法已比较成熟， 基于这种方法计算出的临界转速己比较接近实测结果。但近来由于非线性转子动 力学的发展、特殊材料制成的转子系统的不断出现以及特种转子的需求对转子系 统的非线性分析问题和对如微型旋转机械的动态特性分析已受到了国内外学者的 关注，此外超低频旋转机械的动态特性分析也是当前需要解决的问题。以往的转 子动力学建模和分析主要是针对地面旋转机械的，并假设基础( 支承) 的刚性足够大 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 且是固定不动的，但对如航空发动机等机动运动的转子系统和对一些支承刚度较 小的转子系统这种假设显然是不太合理的，如对机动飞行中的航空发动机转子系 统的建模和分析还应计入空间运动的影响。此类问题虽然研究的难度大，但由于 对国民经济发展具有较大的促进应用，应成为今后研究的重点。 1 4 本文的主要研究内容 本课题将选取一多支承、多圆盘齿轮转子系统，采取比较成熟的动力学理论， 应用有限元分析方法，用大型软件a n s y s 对齿轮转子系统分别建立其在纯扭、纯 弯和弯扭耦合三种状况下的有限元计算模型。并分析在这三种状况下的转子系统 的振动特性。尤其针对齿轮转子耦合系统的振动特性的分析，可以清楚地看出各 耦合扳动的特征，如耦合系统的各阶主振动以及此时各轴各自的主振动，这对于 系统频率的变化有着独特的优越性，同时也可以直观地看出哪些是耦台前后出现 的频率，哪些频率在系统前后均存在，以及出现这种情况的原因。同时进行系统 的不平衡响应分析，简要的说明了耦合新频率的振动机理。 东北大学硕士学位论文第二章轴承一转子系统动力学特性分堑的理壁查壁 第二章轴承转子系统动力学特性分析的理 论基础 2 1 概述 早期的旋转机械结构比较简单。可以把转子看作由圆盘装在无重量的弹性转轴 上，而转轴的两端则由完全刚性的轴承及轴承座支撑。在本章里首先以这种剐性支 承的单盘转子为模型，依据这种模型研究的是单圆盘转子的动力特性及各个参数对 其的影响。 2 2 单圆盘转子的振动 2 2 1 无阻尼自由振动 图2 1 一个转子模型，由于圆盘的重量，即使在没有转动时，转轴也有弯曲变 形即静变形。变形曲线为a c b 。为避开静变形，先考虑将轴的两点放在同一垂直线 上，而圆盘位于水平如图2 1 右所示。假设圆盘质量为聊，位于两支承中间，并且 轴很细。其质量相对圆盘来说很小，可以略去不计。这样转子质量集中在圆盘上， 成为一个最简单的对称单圆盘转子。 图2 1 单圆盘转子 f i g 2 1ar o t o rw i t has i n g l ed i s k 一 7 东北大学硕士学位论文第二章轴承一转子系堕堂垄堂壁些坌堑塑里堡查苎! ! 篡m y 篡k y p t ， “= = 廿考= 一l i 东嚣0 z ， j ) + 群y = j j ：x ycosin8(2cot ：善丹 c ：- 。， y = 。+ 口vj i 其中振幅兄】，和初相位口，口，；都由起始的横向冲击决定。 b ib ：都是复数，由起始的横向冲击决定。第一项是半径为旧i 的反时针方向的 东北大学硕士学位论文第二章轴承一转子系统动力学特性分析的理论基础 运动，与转动角速度q 同向，称为正进动。第二项是半径为i 岛i 的顺时针即与q 反 方向的运动，称为反进动。中心o + 的涡动就是这两种进动的合成。 由于起始的条件不同，圆盘中心的运动可能出现以下儿种不同的情况： 1 ) b ，0 ，b ，= 0 ；涡动为正进动，轨迹为圆，其半径为旧l 。 2 ) b ，= 0 ，b ：0 ：涡动为反进动，轨迹为圆，其半径为l 毋j 。 3 ) b = b ：；轨迹为直线，点o 作直线简谐振动。 4 ) b 1 b ：；轨迹为圆，i b 。i i b 2 i 时，o 。点作正向涡动。i b i b ：l 时，o 反 向涡动。 由上述讨论可知，圆盘或轴中心的进动或涡动属于自然振动。它的频率是圆盘 没有转动时，转轴弯曲振动的自然频率。 2 2 2 圆盘的偏心质量引起的振动，临界转速 由于制造误差，圆盘的重心c 与几何中心口。是不重合的，存在偏心，当转子以 角速度q 转动时，在转子上就产生了不平衡离心力，在不平衡离心力作用下，转予 将作受迫振动。 图2 2 有偏心的单圆盘转子 f i g 2 2a ne c c e n t r i c i t yr o t o rw i t has i n g l ed i s k 如图2 2 ，重心c 的加速度在坐标系上的投影为 囊y ：；二嚣s i n m d t ； ( 2 - s ) 。= j ) e q 2l 、7 e = d c 为圆盘的偏心距。在转轴的弹性力的作用下，由质心运动定理，有： 东北大学硕士学位论文 第二章轴叠二壁! 墨丝塑垄兰茔：些坌堑盟墨丝墨苎! ! 川i 。= 一k x l m y ”。= 一砂j 代入式( 2 6 ) ，可得轴心得运动微分方程： ；：象m e l l 麓s i n ： 陋， j j + y = 2 酊j 这是强迫振动的微分方程。式( 2 7 ) 右边相当于偏心质量即不平衡质量所产生的 激振力。将式( 2 7 ) 改写为复变量的形式： j + 峨2 z = e q 2 e o( 2 8 ) 其特解为： z = 爿8 柚 代入式( 2 8 ) 后，可求的振幅： 怍i i 鑫f _ 圆盘或转轴中心对于不平衡质量的响应为 z = 籍c ： 峨时，a p ，c 在d 和d 之间； 3 ) q 峨时，a 一e ，或。口。一o c 。 9 - 东北大学硕士学位论文 第二章轴承一转子系统动力学特性分析的理论基础 圆盘的重心近似地落在固定点；振动很小，转动反而比较平稳。这种情况称为“自 动对心”。 由式( 2 9 ) ，当q = 峨时，4 一o o ，是共振情况。实际上由于存在阻尼，振 幅不是无穷大而是较大的有限值。但转轴的振动仍然非常剧烈：以致有可能断 裂。称为转轴的“临界角速度”；与其对应的每分钟转数则称为“临界转速”。 2 2 3 陀螺力矩 在前面讨论转子的振动和变形问题时，没有考虑回转效应的影响，因为在分析 连续质量的轴时，把质量段只看成是一个质点；在分析单圆盘转子时，只讨论圆盘 处于中央的情况。如果轴上装有较大的盘类零件，这种处理就会带来很大的误差。 因为在这种情况下，盘上各质点的惯性力的合力，不仅有个作用于质心的主向量， 还有惯性力矩。如图2 3 ，当圆盘不装在两支承的中点而偏于一边时，转轴变形后， 圆盘的轴线与两支点彳和曰的连线有一夹角y 。设圆盘的自转角速度为q ，极转动 惯量为，则圆盘对质心o 的动量矩为 图2 3 考虑陀螺力矩的单盘转子 f i g 2 3ar o t o rw i t has i n g l ed i s kc o n s i d e r i n gg y r o s c o p i cm o m e n t h = j p q ( 2 - 1 1 ) 它与轴线a b 的夹角也应该是矿。当轴有自然振动时，设其频率为国。由于进 动，圆盘的动量矩将不断改变方向。因此有惯性力矩 m g = 一慨刎= h x = j p q 。 方向与平面d 。a b 垂直，大小为： m g = j p o s i n p ( 2 - 1 1 ) 这一惯性力矩称为陀螺力矩或回转力矩。它是圆盘加于转轴的力矩。因夹角 较小， s i n p l * v ，上式可写作： 东北大学硕士学位论文第二章轴承一转子系统动力学特性分析的理论基础 m g = j p r 2 p ( 2 - 1 2 ) 这一力矩与y 成正比，相当于弹性力矩。在正进动( o 矿 州2 的情况下，它 使转轴的变形减小，相当提高了转轴的弹性刚度，即提高了转子的l 临界角速度。在 反进动州2 | ；c ， 厅的情况下，这力矩使转轴的变形增大，从而降低了转轴的弹性 刚度，即降低了转子的临界速度。考虑陀螺力矩情况下，当转子以角速度。作正 进动时，如在轴线的弯曲平面内固结一动坐标x ”d y ，圆盘相对于弯曲平面的角速 度是q c o ，其中q 及均以反时针转向为正，因此对于正进动，只有q = 时， 相对角速度才为零。同理当圆盘作反进动时，圆盘相对弯曲平面的角速度仍可用 q 一表示，但此时是负值，故对于反进动，圆盘的相对角速度与。同向，且总 不为零。由于圆盘对于轴线弯曲平面有转动，转轴上的轴向纤维就处于交替的拉伸 及压缩状态，材料的内阻将影响转子的运动。只要在国= q 的条件下，即圆盘的进 动角速度与自转角速度相等时，圆盘相对轴线弯曲平面才没有转动，转轴上各轴向 纤维始终保持其原来的拉伸或压缩状态，故材料的内阻不起作用。我们称= q 时 轴线弯曲平面的进动为同步正向涡动或同步正进动，类似甜= 一q 时则称为同步反 向涡动或同步反迸动。 在计算转子系统的临界转速时，通常只考虑同步正向涡动时的l 临界速度。因为 实际上转子运转时，由于不平衡质量的激励，转子将作同步正向涡动，故对于同步 正向涡动的i 临界速度，应予以重视，因此通常所谓转子的l 临界转速一般是指同步 正向涡动的临界转速。在本文下面讨论章节中，所求解的l 瞄界速度，如无特别指出， 就是指同步正向涡动时的转速。 图2 4 转子模型 f i g 2 4m o d e lo f ar o t o r 东北大学硕士学位论文第二章轴承一转子系统动力学特性分析的理论基础 2 2 4 考虑陀螺力矩时转子的临界转速 设有如图2 4 所示的例子，其转动角速度为q ，极转动惯量为j p ，直径转动惯 量为j 。，质量为m 。转轴的弹性刚度也是己知的，由下列各刚度系数表示： k ；圆盘中心o 。在工方向有单位位移时所需加于0 点而沿x 方向的力： t ：d 点在y 方向有单位位移时所需加于o 、而沿y 方向的力 k 。圆盘绕o x 轴有单位转角时所需加的对o y 轴的力矩 。圆盘绕0 。y 轴有单位转角时所需对0 y 轴的力矩 女；。圆盘绕0 y 轴有一单位转角时所需加于0 而沿x 方向的力； 女：，圆盘绕o 。x 轴有单位转角时所需加于d 而沿y 方向的力 七，：o 点在y 方向有单位位移时所需对0 x 轴的力矩 。，d 点在x 方向有单位位移时所需对o y 轴的力矩。 以上的单位位移或单位转角都是以其它方向的位移或转角被限制为零作为条 件。为了计算转子的临界转速，需要列出圆盘的运动微分方程。以轴心了的坐标x 、 y 和转角吼、眈二表示圆盘在运动过程中的任意瞬时位置。由质心运动定理可得 到四个微分方程： m * + | | l i 工+ k 1 4 0 y = 0 ，砂+ 2 2 y 一2 3 以= 0 j d 8p + h e i + k n y + k 3 3 0 x = 0 j 9 y h o x + k x 十k u ep = 0 ( 2 1 3 ) 式中i ：，见取( 一) 号是因为圆盘绕o x 轴的转角曰。为负，但加于0 点而沿y 方向 的力为正。七：，y 取( _ ) 号是因o 。在y 方向的位移为正时，所加对o x 轴的力矩应为负。 式( 2 - 1 3 ) 是一组齐次线性微分方程。求解它的特征根就可以得到转子振动的自 然频率( - - o n ，即进动角速度。因动量矩圩= j 。q ，故q 随转动角速度q 改变。另一 方面，临界角速度是与进动角速度相等的转动角速度。因此可以按照n = m 。，的条 件术计算转子的临界角速度。 在通常的情况下，转轴的横截面是圆：各刚度系数有如下的关系： 东北大学硕士学位论文 第二章轴承一转子系统动力学特性分析的理论基础 毛l = 尼2 2 = ，女3 3 = j 4 4 = k 1 4 = k 4 l 。k 2 3 = k 3 2 = k r 2 k 这种情况下，式( 2 1 3 ) 可以用复变量的形式表示，以简化进动角速度的计算。 令： z = x + i y 妒= 吼一i o x 式( 2 一1 3 ) 变为： 膨+ 伊= 0l ，乒一h i q j + 后p z + 女伊= 0 j 令： = k ，| m ，2 = k ，| m 2 = j d2 = ，j 。 设方程的解为： z = z o e t “w9 = 9 a e l ”。 代入式( 2 一1 4 ) ，可得： c 簖+ 。+ 妒= 01 o ) 乙g o - b + c ，山b i + k = 0 f 它的特征方程即频率方程为 硝一d ，以b 一：+ 吒k + 0 ，j 。b ；q + ，2 “，2 一珊，2 ，。，2 = 0 ( 2 - 1 4 ) ( 2 - 1 5 ) ( 2 - 1 6 ) 这是进动角速度c o 的四次方程，因而有四个根，说明由于陀螺力矩，转子有 四个进动角速度。转轴对应于各进动角速度的振型可以由式( 2 1 5 ) r 确定： 石z2 瓦z o2 鑫2 ( 2 1 7 ) 矿 国二一曲： 2 3 多圆盘转子的动力分析 在上一节中，我们讨论了单圆盘转子系统，其动力分析较为简单，但对于多圆 东北大学硕士学位论文 第二章轴承一转子系统动力学特性分析的理论基础 盘转子系统，系统的自由度增加，系统的动力模型也更为复杂，不可能再用简单的 动力方程计算转子的临界转速和振型。因此在分析多圆盘转子系统时，先建立合理 的动力学模型就成了一个首要的问题。 2 3 1 转子系统简化模型的建立 与运动学相比，动力学有更大的复杂性。由于部件形状的复杂性、变形形式的 复杂性和影响系数的复杂性，要进行机械系统精确的弹性动力分析是十分困难的。 因而，必须对实际的工程问题进行简化和抽象，作一个繁简适度的力学描述和数学 描述，这个过程称之为建立动力学模型。建立动力学模型时应遵循的以下原则。 ( 1 ) 功将连续系统简化为离散系统弹性构件的各物理参数，如质量、刚度和 阻尼，都具有连续分布的性质。描述连续弹性体的动力学方程是偏微分方程，求解 困难。为此，应将连续系统离散化，离散系统只有有限个自由度，描述其运动的动 力学方程为常微分方程，求解较为容易。离散化可以建立两类模型，即集中参数模 型和有限元模型。 ( 2 ) 非线性系统线性化工程中实际的结构均为非线性系统，非线性微分方程 的求解比较复杂。忽略掉非线性因数，将非线性系统简化为线性系统，是常见的做 法。但是要注重非线性系统的特性和线性系统有本质的区别。一些线性现象，如分 叉和混沌，使用简化了的线性方程无法揭示的。目前，在机械弹性动力学中如下两 种趋向。并存正确地忽略非线性因素，建立简化的线性模型，以求分析的简便性： 计入必要的非线性因素，求解非线性方程，以求分析的精确性并揭示非线性现象。 ( 3 ) 忽略次要因素影响机械系统动力学表现的因素很多。若把所有因素都考 虑进去，会使问题变得极为复杂。建立模型时，应根据具体问题的精度要求，抓住 最本质的特性，忽略一些次要因素。如简化构件的形状，用线性阻尼代替非线性阻 尼等。 2 3 2 计算临界转速的有限元法 建立近似模型有不同的思路，但都是变无限为有限，将无限多自由系统( 连续 系统) 离散化为有限个自由度系统( 离散系统) 。连续系统模型的离散化方法主要有 两类：集中参数法和有限单元法。 在力学模型建立之后，还得有适当的计算分析方法，才能求得旋转机械的临界 东北大学硕士学位论文 第二章轴承一转子系统动力学特性分析的理论基础 转速、不平衡响应以及才能对旋转机械采取适当的控制方法和手段。常用的计算分 析方法为传递矩阵法和有限元法。传递矩阵法所需存储单元少、计算机时短，是解 决转子动力问愿的一个快速而有效的方法，故得到广泛应用。同传递矩阵法相比， 有限元法是一个比较精确的模型，计算精度高，数值稳定。因而选出有限元法作为 本论文适用的计算分析方法。 一个典型的转子一轴承系统通常是由一些离散的叶轮、具有分布质量及弹性的 轴段和轴承座等部件组成可以沿轴线把转予系统划分为圆盘、轴段和轴承座等单 元。各单元间彼此用节点连接，这些节点通常选在圆盘中心，轴颈中心以及轴线的 某些位景上，并按顺序编号，如果考虑轴承座等效质量的振动，则轴承座中心也可 选为节点。如以轴承座中心线为y 轴，可建立坐标系o x y z ，转子任一轴的横截面其 位置可由轴心坐标x 、y ，截面转角以、以以及自转角妒表示。对于微小变形巳* 以， 但转子以等角速q 自转时，如忽略扭转变形，则莎= o ，。因此任一截面的位移可用 如下两个列向量表示： 岣= i = ) 2 3 2 1 单元的运动方程 1 ) 刚性圆盘 设刚性圆盘质量、过轴心的直径转动惯量和极转动惯量分别为m 、j 。，和，。， 圆盘轴心的位移向量为h i d = k ，b r 和= 陟，一见r ，圆盘轴心与重心重合。则其动 能为： 乃矧7 墨 ( 2 - 1 8 ) 其中：0 孝w 是以轴心结点为原点，d f 轴与圆盘平面垂直，固结于圆盘的动 坐标系。考虑转轴横截面的转角变化时，圆盘中心绕0 的转动用三个欧拉角表示。 以0 为坐标原点建立一移动坐标系o x y z 。另外建立固结于圆盘并与圆盘一起运动 的坐标系o 。毒w 。其中o 芎为圆盘的中心轴，开始时0 1 x y z 与o 翻g 重合。设转动时 圆盘先绕o y 转动一口，角而达到d 茧f ，的位置；然后绕d 卣轴转一以角而达到 o 善矾f ；最后绕o f 轴转妒角而达到d 孝刁f 的位置。圆盘上述三种转动角速度分别 、【r 班胁髀 w i i n 儿 0 0 厶 o 厶0 厶o o ，l、，l， 以编成 ，j、l l 一2 + 、l，j，、l1j 0 m 查苎查主堡主兰堡垒查 苎三主塑垦二鲎垦竺塑查兰竺：垡坌堑堕堡垒垄苎l 刚二等 篡；悯 陋，印 其中或、台，和妒为一阶微量，庐= n 。将式( 2 一1 8 ) 代入式( 2 1 9 ) ，略去高于二阶 乃= i ii i 。r m d i j m + 去庙甜7 毛由甜 + f l i h j j i i + 去j ，q 2 舯 坞= 矧，= 由l a g r a n g e 方程得： 鸭+ 嘁2 鳓( 2 - 2 1 ) m d h 2 l d j t l t = q h 、。 这就是刚性圊盘的运动微分方程。 其中：m 。为圆盘质量矩阵或惯性矩阵；q = 甜为回转矩阵；q j 。、如为广 义力，包括圆盘两端弹性轴所作用的力和力矩、支承的约束力以及不平衡力等。 设圆盘具有微小的偏心距、p 。，且不计此微小偏心距对厶和，的影响，此 时不平衡力所对应的广义力可近似表示为 缆= 伪q 2 苫) c o s f ：t + 一0 s t n q ， q 二= m n 2 ( 之) c 。s q r + 苫 s t n 皿 ( 2 - 2 2 ) 2 ) 弹性轴段 图2 5 是一弹性轴段单元，该单元的广义坐标是两节点的位移，即： 1 1 2 撩：y b 螺 = n ，钆，i rj 卜7 单元的任一截面的位移z 、口，、y 和以是位置= 和时间r 的函数，而且可通过 位移插值函数和该单元节点的位移z o ，) = n 来表示，其中n 是待定的l x 4 阶的 位移插值函数矩阵，即： 东北大学硕士学位论文第二章轴承一转子系统动力学特陛分析的理论基础 图2 5 弹性轴段单元 f i g 2 5e l a s t i c i t ys h a f te l e m e n t n = 【l ：，n ：，3 ：，心】 这样有； z ( z ，f ) = 1 0 扛。o ) + 2 ( z 如( ，) + ，0 b 。( f ) + 。o 汐曲o ) o y ( z ，r ) = 豢= ：g h 。( f ) + ；g ) 钆o ) + ；g b 。o ) + ：o ) ( r ) ( 2 - 2 4 ) 由轴端单元的端点条件： x ( o ，f ) = x a x ( f ，r ) = x b ( f ) x ( o ，r ) ： 立( f ，f ) ：口，。( ，) ( 2 - 2 5 可知插值函数需满足 n 。( o ) - - - 1 ：( 0 ) = 0n ( f ) = 0 ：( f ) = 0 1 n i 墨；! 。0 菇i 霉；：0 1 n ：曷三。i 麓g ；i 0 。 c ：z s ， ，( 0 ) =i ( 0 ) = ，( f ) =i ( f ) ：f 。叫 4 ( o ) = 0 暇( o ) = 0 4 ( ，) = 0m ( ，) = 1j n l g ) = = a l z + a 2 2 2 + 即3 由式( 2 1 2 6 ) 第一行的条件就可决定常数口。0 = o ，1 ，2 ，3 ) 故可得： 1 7 东北大学硕士学住论文第二章轴承一转子系统动力学特性分析的理论基础 删小s ( 甜：( 手) 3 同理 删母钳( 训 m 冉( 矛z 玎 删水州们 对于具有轴对称的轴段，同理有工0 ，r ) = ：。综合以上结果 x = 帆：，嘶r ) = 塞圳 _ y = ，一最= 老剁 ( 2 - 2 7 ) 其中：表示掣由此可知轴端单元的任意点的唯一可以用该单元节点的位