（理论物理专业论文）整数自旋协变波函数.pdf

摘要 本文从静止态的d i r a c 方程出发，通过不同的l o r e n t z 变换定 义了两种不同的运动态正则态和螺度态。把静止态的自旋的概念进 行了扩展，分别定义了两种运动态的运动自旋。运动态是运动自旋 的本征态，就如同静止态是自旋的本征态一样。并且在定义的过程 中，把运动方程代了进去，使得到的运动自旋的形式更加简洁，这 是作者的创造。 作者对壶自夔查的b a r g m a r m - w i g n e r 方程的解进行了改造， 给出了一套系统地构造高自旋态( 整数自旋) 协变波函数的新方法， 并且用塾裳塑垫鎏证明了这套方法的正确性。利用这种方法，分别 构造了任意整数自旋粒子的协变波函数，给出了静止态和两种运动 态( 正则态和螺度态) 的波函数的显式。这对以后的振幅分析是非 常有用的。 a b s t r a c t i nt h i s a r t i c l e ，t h ea u t h o rd e f i n e dt w ok i n d so fm o t o r i a ls t a t e sf r o m r e s ts t a t e sv i ad i f f e r e n tl o r e n t zt r a n s f o r m a t i o n s o n ei st h ec a n o n i c a l s t a t ea n dt h eo t h e ri st h eh e l i c i t ys t a t e h ee x t e n d e dt h ed e f i n i t i o no f s d i no ft h er e s ts t a t e h ed e f m e dt h em o t o r i a ls p i n t h em o t o r i a ls t a t e s a r em ee i g e n v e c t o r so fm o t o r i a ls p i n ，j u s tl i k e t h er e s ts t a t e sa r et h e e i g e n v e c t o r so fs p i n i nh i sd e f i n i t i o no fm o t o r i a ls p i n ，h eu s e dd i r a c e a u a t i o n i tm a k e st h ef o r m u l as e e mm o r es i m p l y t h ea u t h o re n h a n c e dt h em e t h o do fb a r g m a n n w i g n e ra b o u th i g h s p i ns t a t e s h ec r e a t e da n e wm e t h o d a n di th a sb e e np r o v e db y h i m s e l f i nt h i sw a y , h ew r o t et h ec o v a r i a n ts t a t e so fa n yi n t e g r a ls p i n ， i n c l u d i n gc a n o n i c a ls t a t e sa n dh e l i c i t ys t a t e s t h e y a r ev e r yu s e f u lf o r t h ea n a l y s i so ft h ed e c a ya m p l i f y 致谢 挚3 二s 王3 呈 作者首先诚挚感谢导师阮图南教授。他的教诲使作者不仅学 到了丰富的理论知识，还学习了他的严谨的学风e 这些将使作者终 身受益。工作中的每个成果，都和同他多次认真讨论与他的启发 分不开。 还要感谢尹鸿钧教授，他在许多方面给予了作者大量的帮助。 感谢课题组的朱界杰、肖靖、谭平等同学，作者同他们进行 了大量有益的讨论。 感谢唐珂同学对论文打印的帮助，感谢肖靖同学对作者论文 答辩的帮助。 感谢在中国科学技术大学学习和工作七年中绘与作者关心和 帮助的老师和同学们。 真心感谢家人对作者的一贯支持。 1 9 9 9 年5 月1 3 日 符号约定 为了避免混淆，在本文中，除非特别声明，我们用f 、，、七表示笛卡儿指 标：( f ，k = 1 ，2 ，3 ) ；用m 、五表示球谐张量指标：，a = o ，1 ) ：用芦、y 等表 示四维时空指标：0 ，y = 1 , 2 ，3 ，4 ) 。重复指标意味着求和。 时空度规取为： 规定四维矢量的第四分量是虚的，例如，四动量为： p = 侈，i e ) 其模的平方为 p 2 = p u p 。= p 2 一e 2 = 一m 2 梯度四维矢量为： 驴毒= ( v ，一，刳 采用自然单位制： n 、 净瓯 中国科学技术大学硕士学位论文 1 - 1d i r a c 代数 第一章d i r a c 场 我们在这节中讨论d i r a c 代数作为全文的数学准备。 首先引入三个2 x 2 的p a u l i 矩阵： 铲， 把它们写成矢量形式为： 它们满足下述性质： ( 1 ) 厄米 乇= ( ， ( 2 ) 对易关系 f ，r ，】- 2 i 8 耻q ； ( 3 ) 反对易关系 t ，o ) = 2 8 , j 式中瓯为克罗内克符号： 。 f 1 如果f = ， d 9 。l o , 如果j - ，； 占m 为l e v i c i v i t a 全反对称张量： 雌 乃= ( ：二) 。 如果驰是1 ，2 , 3 的一个偶排列， 如果咖是1 ，2 ，3 的一个奇排列， 其它情形。 1 2 1 3 a 1 3 b 1 3 c 1 4 ! 里型堂垫查奎兰堡主兰垡墼一 15 其次引入。”矩阵4 = 0 。) 与m m 矩阵b = ( b b ，) 的直积a b ( 一b ) 曲一1 ) ，+ 。，( 6 j _ l h + 一三4 甜，b b 扩 仁，a = 1 , 2 ，一，”； 6 ，b = 1 , 2 ，m ) 16 a 。b 是小”月矩阵。如果a 和c 都是n 疗矩阵，而b 和d 都是m 肌矩阵 则有： ( a x b ) - ( c d ) = 0 c ) 佃d ) 式中的“”表示普通矩阵乘法。 定义4 4 d i r a c 矩阵矛和芦如下： 矛；亍i ，芦 i f 1 7 1 8 其中，是2 2 单位矩阵，有时在不至于混淆的情况下，也把它简单地写为1 。这 样就有： 矛= ( 瑚 而乃= ( n ，9 ：，见) 由下式给出： p 。= ( ；0 7 ，p ：= ( i 。l 一0 盯 ， p t2 【， j 岛2 lj 矩阵子和乃满足下列关系 此外，定义 盯，= 盯+ ，p ，= 一+ b ，】- 2 i e q k o 。，l o p 】_ b ，) = 2 6 v ， c 口一p ) = b p 】_ 0 匠2 p l 矛，5 p 3 鲈瞄二 。 2 i s 。p k 2 占口 1 9 1 1 0 主曼型堂垫查奎兰堡主兰竺堕苎 一一 11 2 显式为 它们满足 岙= 8i ) a = 口l + ， b 。，口， = 2 i g 啦吼， k ，q = 2 8 v ， 这时我们可以定义y 矩阵为 它们满足 = 瞄三 p = 9 + 缸，) = 0 y ? 一t 8 旺j ，y s 8 y 。2 y 。， v u , y ， = 2 8 有时还要用到，它定义为： 它具有性质 各个y 矩阵的显式为： f0 一i v ，1 2 l f j 0j y ，2 ，l y z r 3 ， 4 y 5 。= 1 5 ，。 = 0 一身舻匕甜 1 1 3 1 1 4 1 1 5 1 1 6 1 1 7 1 18 1 1 9 上述这些4 4 矩阵是一组线性独立完备集的成员，它们共有十六个，按照 l o r e n t z 变换性质可分为如下五类： 4 主璺型兰垫查奎堂堡主堂竺堕苎一 ( 1 ) 标量：1 个，就是单位矩阵1 ； ( 2 ) 赝标量：1 个，y 5 ； ( 3 ) 矢量：4 个，y 。； ( 4 ) 赝矢量：4 个，一i y 5 y 。； ( 5 ) 反对称张量：6 个，o u vs 去陟，凡】。 其中： 盯2 3 = 仃l ，o 、l = 盯2 盯1 2 = 盯3 统一记为： 盯1 4 = 口l ，0 2 45 口2 0 3 45 口3 。 护。) = 5 ，。，几，吒，i y ，以，1 ，0 = 1 州2 一，1 6 ) i g 此- - r 矩阵具有如下性质： ( 1 ) 零迹厄米： n ，_ = o ， ( a = 1 , 2 ，1 5 ) ； ( 2 ) 正交归一 t r y l 6 = t r l = 4 ； y 。= ，。+ ，0l l l l ，j 2 一，1 6 ) 。 t r y 。，d = 4 巧，0 ，b = 1 2 一，1 6 ) 。 ( 3 ) 完备性： 任意一个4 x 4 矩阵m 都可以按儿展开，即： 展开系数为 1 2 0 1 2 1 1 2 2 a 1 2 2 b 1 2 2 c 1 2 3 1 2 4 a 5 c m n i im 中国科学技术大学硕士学位论文 ( 4 ) 乘法公式： y u y ，= 6 。，七t o 。， c 4 = 1 t r y 4 m 盯“，y i = i f i m y ，一i f i m y p + f p n 。y 。y 5 y x g ，= 一f 6 皿y ，+ i 6 “y p + i e p “f y f y 5 y s c r v = 一i 占f m r 盯 r o u v 6 r h = 6 n 6 w 一6u t 6 吐i 6 m o 叶+ i 6 n o m 一 6 盯a 吐一i 6 n o 咀 辱吣兄 1 2 4 b 1 2 5 6 主垦型兰苎查查兰堡圭兰竺兰苎一 1 2 d i r a c 1 2 1 d i r a c 描述自旋为；的粒子的相对论性波动方程称为d i r a c 方程d 1 r a c ，1 9 2 8 ) 其形式为： 6 ，a ，+ m 弦= 0 1 2 6 这里m 时静止质量。波函数( x ) 是四分量旋量。 可以证明的所有四分量满足k l e i n - g o r d o n 方程。用“a 。一吖) 乘式 ( 1 2 6 ) ，得到： 。8 。一w 渺。a 。+ m 弦= o p 。以a 。a ，一m 2 弦= 0 由于a 。a 。是对称的，因此，我们由式( 1 1 6 ) 得到： 三| ，。，4 - ，y 。p ；t o ，- - ，2 = 。 p 2 一m 2 = o 1 2 7 这保证了能量和动量之间满足相对论关系： 卢2 + m 2 = e 2 1 2 2 为了得到d i r a c 方程的哈密顿量形式，我们将式( 1 1 6 ) 乘上y 。并分出时间 导数项，我们得到： i o ，= ( 一f 西v + 芦吖弦 中国科学技术大学硕士学位论文 t 2 9 我们可以把哈密顿量写成： h = a 亘七m 1 3 0 1 2 3自旋 轨道角动量三= i 芦与哈密顿量的对易子不为零，而 7 = 三+ 土矛 1 3 i 与哈密顿量是可对易的，因此7 代表一个运动常数。t 7 可以解释为总角动量， 而1 2 矛是自旋角动量。；矛的本征值为j 1 ，所以。i m c 方程描述的是自旋为； 的粒子。 卜2 4 螺度 螺度又称螺旋度，它是自旋在运动方向的投影，定义为 h ；三厅虿 2 式中孑为动量的方向 醅南 厅与哈密顿量是可对易的，因此螺度是一个运动常数。它的本征值为；。 1 3 2 1 3 3 卜2 5p a u l i l u b a n s k i 矢量 p a u l i l u b a n s k i 协变自旋矢量对于静止粒子，它化为自旋；而在l o r e n t z 变 换下，它按四维矢量变换。它的定义为： 。三一i 1 吒p m 盯，a i a 三一j s 掣m 盯v 刁i 1 1 3 4 生垦型兰垫查奎兰堡主兰堡丝兰 一一 其中气。是四阶全反对称的l e y i c i v i t a 张量a = 雕纂翥篇疏 对于静止的正能量粒子，有 所以0 9 。只有空间分量不为零 即 同理对于静止负能量粒子为 al = - 8 。t m 面；m 云 吼= ，0 ) 0 9 。= 卜m c y ，0 ) 卜2 - 6 乎面波解 让我们对方程( 1 2 9 ) 构造如下形式的解： 庐( x ) = y 0 ，e ) b 9 “积 这个四分量旋量妒0 ，e ) 必须满足方程 利用y 。定义式，且令 ( j 尹多一y 。e 十吖弦，e ) = 0 比班( 瓣勺 其中孝和即是二分量的，我们可以将方程( 1 4 毒) 写成善和刁的联立方程组 l - 3 5 1 3 6 1 3 7 1 3 8 1 3 9 1 4 0 1 4 1 望型兰垫查查兰堡主兰焦堕查一 f 亍多玎= 一m 垮 1 亍多孝：( e + m ) qi 亍多孝= 【 1 4 2 让我们在静止系p = 6 中来考虑这些方程。于是我们得到： e = m 1 4 3 a 或者： 一m 艨 1 4 3 b 其中非零分量，即e = m 时的孝及e = 一m 时的玎，可以任意选定。选定它们是 q 的本征态是比较方便的，即( 或( 0 。这就给出当p = a 时的四个独立解如 下： e = m e ；一m 仃，= + l 0 32 1 o 3 = + l 盯3 = 一1 在物理上，前两个态相当于自旋沿z 轴朝上和朝下的粒子，后两个态相当于自 旋沿z 轴朝上和朝下的反粒子a 对于任意多，由相对论能量动量关系，我们有： e = - - - 4 ；2 + m 2 。 容易看出，正能解为： 俐_ 磊爿 负能解为 主堕型兰垫查奎兰堡主兰焦兰苎一 舯，= ( - 葶刁 上两式中的e 均为托尹了矿。通常有两种方式约定毒和叩，一种是把它们取为 2 3 的本征态，这样得到的解为正则态 和 其中 虬侈) z 儿0 ，e ) = v s 0 ) ；y ，( - 西，一e ) 旋量虬瞄) 和v 。p ) 满足 孕艇航 ：历面f r 卫e + m 氖 。l 以 z f ( ： ， ， q = ( ： 0 一i m ) u ， ) = 0 0 + 浙p ，0 ) = 0 f s = 三1 l2 f j = 1 1 l2 1 4 7 a 1 4 7 b 1 4 8 1 4 9 a 1 4 9 b 另一种孝和玎的选法是把它们取为百r p 的本征态这时得到的旋量为螺度态口 即选手和r 1 分别为 1 5 0 ，0 9 2 9 2 p ，p 口一2口一2 n s 矗 ，。l i i ： z 、l， 卫2 1 2 p p 曰一2 p 一2 瞄 如 ，l l l 主里翌兰垫查查兰堡主兰堡兰兰一 第二章运动自旋 2 1 旋量粒子波函数( 正则态) 2 1 1 静止态 质量为m ( m 。) ，自旋为s ( s = 圭 的静止粒子波函数虬o ) 满足 f h o 虬$ ) = m u ，( - ) ( 能量方程 l s s u ：, 0 ) = s 虬p ) ( 自旋方程 其中： 能量算符( 哈密顿量) ；日。= 厨彳 即 自旋算符第三分量：s 3 = j 1 仃， 本征值：。：委 解为： 其中 $ ) = 扎q 0 ) = 拍 舻阱 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 2 乱卜廊风掣 ，j、l 、， o 1 o 0 ，。l 三 一z 主县型兰垫查查堂塑兰兰篁丝兰一 2 6 2 1 2 定义 作l 。r e n t z 推动变换a ，这个变换把粒子从静止态动量6 推动到运动态芦。 不同的l o r e n t z 变换可以定义不同的运动态。比如：取a 为沿运动方向的推动： 圭d5 人= b ；e 2 2 7 则可定义正则态为： _ 5 f ，( 引，( 多) 主b y ，0 ) 2 _ 8 如果取a 为先把z 轴转到动量多方向，再沿运动方向推动使动量由0 变成p ， 即： a = b r 2 9 其中： r ：。一堕2 。e 一知 = e 2 2 1 0 则可定义螺度态： ( ”， ) ；歙眠$ ) 2 1 1 下面先讨论正则态，为书写方便起见，略去上指标0 ) 。此时相应的l o r e n t z 变 换为： 毛i a = p 2 m 弘函；血孝 c o s h 羔 o es i n h 詈 ej + i e 2 ) s i n h - g - 0 c o s h 要 “一招：) s i n h 妻 一巳s i n h 姜 岛s i 血要 e + 据：妻 c o s h 三 0 e l 一招2 ) s i n h 一巳s i n h - 0 c o s h 兰 2 里型兰堇查查堂堡主兰竺篓苎一 2 1 2 参数亭满足 式中 虿为p 的方向： 则 c o s h 孝= 吉， s i i l l l f ：旦 7 m p ；例 亭；旦 p f a r i a - t a 村，$ ) = a “，( i ) 1 a c t 3a 1 a 虬$ ) ：2 蹦( _ ) 定义运动粒子波函数( 正则态) 为： 虬) ；a 虬6 ) 在考虑归一化之后上述定义还差一个归一化因子厝。 台甚量方程 a 肌一1 = ( c o s h 扣姒c o s h 喜- 5 孑s i n h i ) = r i c o s h 孝+ 厅；s i n h 善 ( 3 c o s h + 舀酗s i i l l l f - 。0 ) = u s 0 ) ( 缶一等) h 2 1 3 2 1 4 2 1 5 2 1 6 2 1 7 2 1 8 2 1 9 主里型堂茎查查堂堡圭兰垒兰塞一 方程两边左乘芦吖得 定义哈密顿量： 则： ( e 匠五) “，岱) = f l m u ，0 ) ( & 多十届w 血，) = e u ，0 ) h = & p + t i m h u ，p ) = e u 。p ) 这是我们所熟悉的运动粒子能量方程。 自旋方程 a a 3 a - 。 = ( o o s h 主珏酗务( c 。出4 2 = 53 s i n h 孝：) ；o 3c o s h 孝十f ( 西虿) ，s i n h 善一p - j k ，( c o s h 吾一1 ) = ( 矛；k ，一【( 矛i ) i lc o s h 掌+ i ( a x ) ，s i n h 亭 把它带入自旋方程得： k 。( 子；x 1 一声) + c r 3 k ，岱) = 2 5 0 ) 所以运动粒子( 正则态) 满足的方程为： f 姣声+ 肌，0 ) = e u ，i f , ) 1 p ，p 亭x 1 一) + c r 3 k ，) = 2 s u ， ) 2 2 0 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 5 里型兰垫查奎茎堡主兰竺丝苎一 2 - 2 运动自旋 2 - 2 1运动自旋的概念 静止态是自旋第三分量的本征态： 吒虬$ ) ：2 s u s ( _ ) 式中的盯。定义为 而且定义 仃；盯i i c r 2 “，l0 ， “，0 相似地，运动态是a c r 3 a - 1 的本征态： a c t ，a - 1 “，g ) = 2 s u ，0 ) 并且同样满足c o r d o n s h o r t l y 规则： a c r + 人_ 1 0 ) = 厄。0 ) 式中的a c t 。a - 定义为： a c t a - 1ia c t l a - 1 + i a a 2 a - 很显然，a 袱一。的各个分量也满足角动量对易关系： a 吒人- 1 ，a c t ，a - 1 = 2 i 6 f k 人吼人_ 1 2 2 6 2 _ 2 7 2 2 8 2 2 9 2 3 0 2 3 l 2 3 2 2 3 3 1 6 陕p 厄 = 灰r 叽 盯 贝规 n s州 足满巨并 里型兰茎查查兰堡主兰笪兰兰一 因此我们可以把a 衍，定义为运动粒子的自旋运动自旋。实际上，我们下 面的定义与此稍有不同，但基本思想是一样的。 2 - 2 2 正则态的运动自旋 作用在态虬p ) 上： 把能量方程带入 定义运动自旋 即 a 面 _ 1 = c o s h i + 5 互s i n h l 矛b 争协劬差) ：o e o s h + i 舀虿s i i 血善一p i ) i ( c o s h 告一1 ) = 忙i ) i p ；) 吾c o s h 善+ i 5 x 吾s i n h a 子 a - 1 虬侈) = 降声牺咖虿吉+ ，警m a ( j = a - 1 “，0 ) = 陋孑弦一p 亭) 印k ，) 矛；p 孑声一p 虿) 于 a s a - 1 u ，0 ) = 矛k 。 ) 这样定义的运动自旋是满足角动量对易关系的，即： b ：，盯小2 括肚盯： 2 3 4 2 3 5 2 _ 3 6 2 3 7 2 _ 3 8 2 3 9 生里型兰垫查查兰堕主堂焦丝兰一 2 - 3 反粒子 2 - 3 1 静止态 静止时的基本方程为 其中h 。和是的定义为： f h 。= t i m 1 b2 j 吒 2 - 3 2 运动态 作l o r e n t z 推动变换a = b ： f a p a 。他( _ ) = 一a v s 0 ) 1 a 盯，a a v ，( i ) = 2 s a v 。( 0 ) 定义运动态( 正则态) 为： 能量方程 k 0 ) = 人叱$ ) ：k 8 心= ，c o s h 善七a i 8s i r l l 孝 旧一喾) v 一v 2 4 0 2 4 l 2 4 2 2 4 3 2 4 4 2 4 5 8 地脚咎 t 墨 ，依r 庆r 吧b 角0 ， p 仃 ! 堕翌兰垫查查兰堕主兰生堡墨一 2 4 6 即 定义哈密顿量为 则有： 自旋方程 作用到态上为 ( 一f t 西+ 芦时卜，) = - e v ，0 ) h ；一覆p + , a m h v ，0 ) = 一e v ，0 ) a o - 3 a 1 = p 虿k ，一p 亭) 虿c o s h 孝+ f 仁孑) ，s i n h f p ，( 矛；x l + 声) 一仃，声p ，岱) = 2 s v ，0 ) 所以运动粒子( 正则态) 满足的方程为： f 卜厦多+ h p ) = 一西，臼) 1 k p 孑x 1 + ) 一c r 3 p ，p ) = 2 s v 。0 ) 运动自旋 把( 2 2 5 ) 式作用到态上并且把能量方程带入得： a s a - v 。) = ( 矛虿弦+ ( 矛f ) ；声p 。0 ) 定义运动自旋为： 矛；p 孑弦十p ；) 筇 这样定义的运动自旋是满足角动量对易关系的，即： k 仃： = 2 i e 驰仃： 2 4 7 2 4 8 2 4 9 2 5 0 2 5 1 2 5 2 2 5 3 2 5 4 2 5 5 里型兰堇查奎兰堡主兰篁兰苎一 2 - 4螺度态 2 - 4 1 定义 把静止粒子变换到螺度态的l o r c n t z 变换为人= b r ，其中： r 一譬吼一等吒 = p o 已 先把r 作用在基本方程( 2 4 ) 上： f r 胆。1 r ”，每) = r ，( ) 一1 r c r ，r 一眠6 ) ：2 s r u ，( ) 其中： 这就是螺度算符。 再把b 作用在方程上： 定义螺度态为 r 8 1 铲= 8 r c r 3 r 一= 6 - 孑 f b p b 一一b r “，$ ) ：衄虬g ) 1 8 6 - 拍- - 歙虬$ ) ：2 奶r 虬 ) “，侈) = b r 虬$ ) 2 5 6 2 5 7 2 5 8 a 2 5 8 b 2 ，5 9 2 6 0 2 6 1 、， ： 垡： p p 口一2口一2 n s 曲 卫2 译： p p 口一2 口一2 s n 酊 ，。l 艘 j 2 肌卜卜灏 廊肌 甜 一p艘玉 ，：l 生里型兰堇立型兰兰堡苎兰垩笙兰i _ 一 2 4 2 运动自旋 b 厅虿b = 矛亭 f h u ( h ) ，0 ) = e u “： ) 一1 厅i “( “，0 ) = 2 s u ( h j , ) a 吼a _ t ：p 舀b 毒+ j 仁事如孝 人仃：a _ - ：( 专孑 _ f l 善一f 仁石b 誊 a c t ，a 一= 矛舌 作用在螺度态上，并且把能量方程带入得： a 甜“【m ，0 ) ：峙百归+ p 孑扮+ 睁i 弦k ( i ，) 定义螺度态运动自旋为 云，_ p 百谚+ 悟石污+ p - 虿弦 这样定义的运动自旋是满足角动量对易关系的，即： b j ，盯小2 f 盯： 2 6 2 2 6 3 2 6 4 a 2 6 4 b 2 6 4 c 2 6 5 2 6 6 2 6 7 2 中国型兰垫查奎堂堕主兰垡矍三 一 第三章 高自旋态 3 - 1b a r g m a n n w i g n e r 方程 3 1 1 方程的引入 质量为m 、自旋为j = 1 的场用秩为2 s 的全对称多重旋量来表示 ，g ) ， 它对于所有指标均满足d i r a c 方程： p + m k 九鼽，( x ) = 0 p + m ) 邸，卵，_ ，g ) = 0 3 - 1 2 平面波解 构造正能量平面波解，令 则有 妒卿，g ) = 矿叻，0 ，e k 卵1 “ ( p - i m k ，| | f ，。竹，0 ，e ) = o 0 一i m ) ，0 ，e ) = 0 3 1 3 2 3 3 p o o 妒。研，q ， z ) = 卿。，0 ，m ) 印p ，印n ，0 ， 彳) = y 叻。，$ ，m ) 。心=f11 _ 一。 是对角的，对于粒子解伍= m 卜y 的指标厉托， 以2 ，= i 。 i 圆 i 。 i ， 出，= 阱 + ( i 固 i 。 i 固 ； 酬翳。= ； p ； 。 i 。p ( ； + ； 。 i 。 ； p 。 i + i。f妻；。i+， + + 、， 1 o 0 0 ，。，。，。 o0 、，j 1 o 0 o ，f，l 固 、， o o o ，。，l o 、， l 0 o o ，t。，。l + 、， 1 0 o o ，。，。l 00 、， l o o o ，l p 、0， 1 0 o o 川一吖，f引0 0 ，+， 1 0 o o ，l 0 、 l o o o ，。，l p ， l o o o ，。，l + ! 里型堂垫查盔堂堡主堂竺堕苎一 3 1 3 。萎 3 6 下面来证明这样构造的解确实构成自旋为j 的极化张量。引进p a u l i l u b a n s k i 协变自旋算符： ( ，l 。，帮研j = 一1 8 p , u v 2 ( o r ，l ，印研? 一a 。 式中；q ，为动量表象的自旋算符，定义为： p 。，l 仰? ；去移，凡一y ，l 。+ p 。y ，一，以k ，+ + p 。y ，一儿 l ) 易见 ；y = f - s ) t ， ( f = o ，l ，2 j ) 可见，y o 是1 2 盯。，的本征函数，本征值为从一s 到+ s 。 3 1 4 谚 把0 一m 砂= 0 转置得 定义电荷共轭算符c 定义为 痧佞一肼) = 0 c 2 y 2 y 4 、c 专。c 一= - y 。 c c = - p 3 8 3 9 3 1 0 3 1 1 3 1 2 、，阳、 po 、 o 1 0 o ，、l p 0 o 0 ，。l i i 卿 妒 ! 里型兰垫查查兰堡：壁型塑竺兰一 3 1 3 。x _ ，一脚) = 0 另外，把a 作用在( ，一i m 杪= 0 上得： a 一m x a ) = o 而把天右乘在( 3 1 0 ) 上有： ( 茹一1a _ 1 x - 卸人- 1 一i m ) = 0 可见，痧c 一1 满足的方程与y 满足的方程是相对应的。 3 1 4 3 1 5 3 1 6 3 2 1 3 2 1 构造自旋为l 的静止粒子波函数为： y 0 $ ，m ) = z + 曩 式中： 计算得 y o $ ，m ) = 击+ z + z 一岩+ ) y 马6 ， 彳) = z 一岩 y 熊吖) = 半 矿唯肘) ：半 y 螗吖) = 半 3 2 2 运动粒子波函数由l o r e n t z 变换得到 i + 口， ， 盯l 压 1 一盯， 3 1 7 a 3 1 7 b 3 1 7 c 3 1 8 3 1 9 a 3 1 9 b 3 1 9 c o 、， o 1 o o ，。，l 善 一z 、0， l o o o ，。l 喜 +z 主里型兰垫查查兰堡主兰垡丝苎一 y ! 0 ，e ) s a y ! 天 3 2 0 定义没有考虑由a 变换引起的归一化问题。 不同a 的选取对应着不同的运动态的定义，这一点与自旋为i 1 的粒子情形 是一样的。当a 选为沿粒子运动方向的推动b 时，对应的运动波函数为正则态， 即： 厶。 人= b ；e 2 3 2 l 天：p 争；y 4 y 2 p 2 “4 ：c - l c y 2 y cc 人= p 2 = y 4 y 2 p 42 a _ 。 其中c 为前面定义过的电荷共轭算符； c 3 y 2 ，4 y ! 0 ，e ) = a 础c 1 a - 1 c 计算得上式中夹在a 和a - 1 之间的部分为： y 卿c 一= f- y ，- i y ：) 所以运动波函数为： 其中彤的定义为 妒5 1 ) c 刊半西， r , 2 c - = i l - - i y 2 ) 砖，o ，占) = 等螂以c ；产 f ：；a n 3 2 2 3 1 l 3 2 3 3 2 4 a 3 2 4 b 3 2 4 c 3 2 5 3 2 6 a 2 7 主璺型兰垫查查兰堡主兰些堡奎一 3 2 6 b 口。，为托的l o r e n t z 变换系数 a 。，的显式为 r 的显式为 ，：l ； a p a f p a - 1 ；口y ， 蚺卜z 鐾d 一蒜掌 f f 0 1 一上 pj 一点 3 2 3 运动自旋 任意一个转动r 作用在静止态上得： r y ! 0 ，m 净 其中转动为 3 2 6 c 3 2 7 3 2 8 3 2 9 a 3 2 9 b 3 2 9 c m州训叫尝盛 一压 o 叫0 0 上压 叭州刘引， 卜卜卜增 啡陋陋 萋 h w 一峥好叫 g g 0 ， ， 、 生压 上压 h v ! 曼型兰垫查查兰堕主兰些笙苎一 ，口一 r = e 2 式中而为转动轴，p 为转动角。 再把转动后的静止态变换到运动态： 眦l f ，! ( - ) i i x 运动转动定义为 其中： ：a r a “! ) 0 ，m 游1 献 = 心a _ 1 以 ，e 弦1 瓢 = r 7 妒! ，e 垮 r i _ a 骱l - a e 翌2 一a - l ：e 等删i ：e 轸 ! 八r = a - = 2 =2 仃 z a 烈 3 3 0 3 3 l 3 3 2 = p 一孑弦一p 亭) 善幽善+ f 画办蟛 3 3 3 可见运动粒子在尺变换下，象一个自旋为1 的静止粒子作转动，我们称r 为运 动转动，它的生成元为运动自旋。 下面计算显式： 我们把转动r 用e u l e r 角a 、b 、c 来表示： r ：= e i a j ，e 一；6 j ：e 一；c 口 儿矩阵的转动变换为 r 7 。r = r y ， 3 3 4 3 3 5 c o s a c o s b c o s c s i n b s i n c 。c o s a c o s b s i n c - s i n b c o s c s i n a c o s b0 1 仕，) ：l 。s 口s i n b 。c i n o s 口c 。+ 。c 。o s 6 s l n c c 。s 口s i n 。b ；n s i 口n 。c ；n + 。c 。3 6 。8 。5 i n 。a 。s d i n 6 。0l 【0 0 0 1 ! 里型兰垫查查兰堡主堂垡堡苎 3 ，3 6 带入运动情形得 c 莨c = r 一 r y 婶6 ，肘猛 喇学( - y i - i y 2 皿。c = ，半吣：砂c 眦y 卿( _ ，m 廊 = 等( - r - ) a 1 c = 甓r m + 聊 = r ，+ y ! 侈，e ) 式中r 。+ 定义为： 尺+ + s 警，r 一+ ；：警，r 。+ ；- b + 而r ，+ ( f = 1 , 2 ，3 ) 又由下式定义： 可以证明( 证明见附录b ) ：r ，+ 与大d 函数d ：。( 口，b ，c ) 是相等的，即： 3 3 7 3 3 8 3 3 9 3 4 0 a 3 4 l a r 。+ = d ：。( 口，b ，c ) 3 4 2 所以， r y 3 0 ，m 皿= d ：。y ? 0 ，e ) 3 4 3 a 可见，y l 0 ，e ) 在r 变换下的行为确实与自旋为1 的静止粒子的转动相同，同 m 一 一。万 b 一 一一 暑 ! 里型兰苎查查兰堡主堂垡堡苎 一 一一 理还可以证明| ；f ，2 ( 芦，e ) 和i 】f ，斗，e ) 也具有同样的性质，即： 证明中用到了定义式： 其中 矗坩p ，膨近= d 二。翘p ，e ) r ，矿2 侈，m 逗= d ：一。! 0 ，e ) a 每笋，炉警， r i 恐。 砧；与笋，疋；警，r o _ - r 3 _ 冠一5 r j o ；如 把式( 3 4 3 a ) 、( 3 4 3 b ) 和( 3 4 3 c ) 写成统一的形式为： 影矿2 ，膨逗= 珑。础岱，e ) 因此我们称只为转动自旋的变换是合适的a 3 4 3 b 3 4 3 c 3 4 0 b 3 4 0 c 3 4 1 b 3 4 l c 3 4 4 3 2 4 螺度态是先把静止粒子的自旋投影方向( 第三轴) 转动到粒子运动方向， 再沿此方向推动使粒子的动量为卢而得到的运动态，即l o r e n t z 变换取为： a = b r 3 4 5 其中 只三口一：，e 一萼f ： j i ：c 。冗。c 3 4 6 3 主璺型堂茎查盔兰堡主兰垡笙兰一 3 4 7 同样有： 所以螺度态为： 其中e ：定义为： 天：c 。1 a _ 1 c 矿e ) ：a i l ) c - l a - l c = 专半厄：以c e ? ；乇if _ i e ： 式中的p ：又由下式决定： e ，o ：_ 。，3 ，e ：s e 百l u - i e ： b r y ，( b r ) - 1 = p ：九 b r z 。r 一1 b = b r y j b = r ，_ e ：= 做) ， 一s i n 口 c o s 口 o 3 4 8 3 4 9 3 5 0 3 5 l 3 5 2 3 5 3 = r 罐卜1 ) r i + s i n 20 c o s 2 妒( c 告一1 )s i n 2 口s i l l 妒c o s 妒0 厅毒一1 ) s i n 口c o s 口c o s 妒【c 孝一1 s i n 2 口s i n 9 c o s 妒g 告一1 ) l + s i n 20 s i n 2 妒( c 孝一1 )s i n o c o s o s i n 妒( c h 掌一1 2 ls i n 伊c o s o c o s p ( c 毒一i ) s i n o c o s o s i n 妒( c h 告- 1 ) t + c o s 2 口善一1 ) lf s i n 毋c o s p s 自亭 f s i i l 臼s 试口孵_ f l 毒 i c o sc p s h 毒 刁 5 4 3 2 、 伊妒 - g 护 c s s相们 缸虬 妒妒 协5 | 的 口口一 哪 啷 一 ，。l 卜 乳川叫j砌m蝣善 唧唧舳 萋 相加 虬虬 rll p 咖。 一 c i l 妒妒 觚触姗。 0 o 一 = ! 里型堂垫查盔兰堡主兰焦堡苎一 3 5 5 最后得到p ：的表达式： p ：1 兰 e ：一招： 4 2 f 一 去l 一 弘萨俺s i n o c o s q 珂c o s h p - u l e t u 、，- z i e 2 u 一 刁 3 5 6 a 3 5 6 b 3 5 6 c 3 3 、， 妒妒 口| 呈 + 一 暑妒的o 出龇 口口 s s 如 呈 “叫矽 嚣等 口口 宝 几 、 一i 压 旦型堂垫查查堂堡主堂篁堡苎 3 3 高自旋波函数 3 - 3 1 静止态 为书写方便，下面简记： y 0 ) $ ) ；妒0 6 ， f ) ，y 0 0 ) sy 9 岱，e ) 自旋为2 粒子静止波函数可以这样构造： 粤( _ ) = z + 岩+ z + 孑+ y 喇= j i 如+ 孑点x - + z + 岩以名+ 坛岩出名+ 坛藏氖列 y = 忑i0 + 孑以x - + x + 玩名- + x - 玩名一 + z 。z - x 琵+ z 甓。z 凳+ z 一甓j 。甓j y g 6 ) ：委如+ z z 一牙一+ z - z + z z 一+ z z z + z 一+ z 一2 _ z 一孑+ ) z y 粤0 ) = z z z 一岩 简单计算得： 矿粤$ ) ：9 ，$ 婶6 ) 吵= 万1y 帅m 6 ) + 万1 矿 $ 枷6 ) 州= 忑i w 舭g ) + 每怖妇( _ ) + 去y 算( - 枷o ) 3 5 7 3 5 8 a 3 5 8 b 3 5 8 c 3 5 8 d 3 5 8 e 3 5 9 a 3 5 9 b 3 5 9 c 中国科学技术大学硕士学位论文 矿喇= 万1y 郫枷每) + 万1 缈掣瞅q ) 3 5 9 d 矿粤 ) =